ứng dụng maple vào bài toán mô tả bề mặt đồng nhất trong r 4

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (12.2 MB, 66 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM

hghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohghghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohghghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohghghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohghghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohghghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohghghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohghghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohg

66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM

66hghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thị Thùy Dương

Đà Nẵng - 2022

66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM

66hghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM

66hghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM

66hghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM

66hghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM

66hghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

1.6Giới thiệu sơ bộ về Maple . . . .22

1.6.1Các tính năng của Maple . . . .23

1.6.2Một số hàm trong Maple . . . .24

2Ứng dụng Maple vào bài tốn mơ tả siêu bề mặt đồng nhấttrong R

4

292.1Thuật tốn mơ tả các siêu diện đồng nhất trong R

4

. . . .29

2.2Các đại số ma trận Lie và ứng dụng Maple vào bài tốn tíchphân đại số ma trận trong R

4

. . . .38

66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM

66hghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Việc nghiên cứu tính đồng nhất affine và đồng nhất chỉnh của các siêudiện thực trong không gian phức là vấn đề khá lớn và cấp thiết của giải tíchphức hiện đại. Cơng trình của E. Cartan đã mơ tả đầy đủ các siêu diện thựcđồng nhất của không gian phức 2 chiều. Tuy nhiên khi số chiều tăng lêntrong khơng gianC

3

, C

4

thì bài tốn mơ tả đầy đủ các siêu diện thực đồngnhất vẫn chưa được giải quyết, bài toán đang mở cho các nghiên cứu tiếptheo. Nhiều nhóm nhà tốn học khác nhau đã nghiên cứu vấn đề này trong25 năm qua, một số lớn siêu bề mặt đang được xem xét, nghiên cứu và phânloại. Trong những năm gần đây, chỉ có vài cơng trình của các nhà toán họcvề những vấn đề liên quan được công bố, như Fels G., Kaup W., BeloshapkaV.K., Loboda A.V... Bài tốn mơ tả và phân loại siêu bề mặt đồng nhấtchỉnh của Loboda A.V được công bố vào năm 2020 nhưng chỉ trong khơnggian 3 chiều. Chính vì vậy, tơi chọn đề tài "ỨNG DỤNG MAPLE VÀO BÀITỐN MÔ TẢ BỀ MẶT ĐỒNG NHẤT TRONG R

4

" để nghiên cứu với hyvọng sẽ có được các kết quả mới về đề tài này, góp phần nâng cao năng lựcnghiên cứu của mình cũng như góp phần hồn thiện lĩnh vực nghiên cứu bàitốn mơ tả đầy đủ các siêu diện thực đồng nhất trong không gianC

3

, C

4

.2. Đối tượng nghiên cứu

- Đại số Lie

- Phần mềm Maple

- Các bề mặt đồng nhất trong R

4

, cụ thể là tìm cách mô tả các bề mặtđồng nhất trong R

4

.

66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM

66hghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

- Thuật tốn máy tính trên phần mềm Maple để mơ tả bề mặt siêu đồngnhất trong R

4

.

3. Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến phần mềm Maple, các siêu bề mặtđồng nhất, thuật tốn máy tính. Đại số Lie trên khơng gian 4 chiều. Phươngtrình vi phân đạo hàm riêng.

4. Mục đích nghiên cứu của đề tài

Mục đích nghiên cứu của đề tài là giới thiệu về thuật tốn mơ tả bề mặtđồng nhất trong khơng gian 4 chiều R

4

.

5. Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp nghiên cứu lí thuyết trong q trình nghiên cứu đềtài và thực hiện theo quy trình sau:

- Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa các kiến thức.- Mơ tả thuật toán bằng những ma trận cụ thể.

- Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài.- Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn.

6. Kết cấu của luận văn

Nội dung luận văn được chia thành 2 chương. Ngồi ra, cịn có Lời cảmơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận và Tài liệu tham khảo.

Chương 1: Kiến thức cơ sở.

1.1 Siêu bề mặt đồng nhất trong R

4

1.2 Đại số Lie

1.3 Phương trình đạo hàm riêng1.4 Phương trình vi phân

1.5 Chéo hóa ma trận.

1.6 Giới thiệu sơ bộ về Maple.

Chương 2: Ứng dụng Maple vào bài tốn mơ tả siêu bề mặt đồng nhất trongR

4

.

2.1 Bài tốn tích phân đại số ma trận

2.2 Ứng dụng Maple vào bài tốn tích phân đại số ma trận.

66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM

66hghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

Chương 1

Kiến thức cơ sở

Chương này dành cho việc trình bày một số kiến thức về phần mềm Maplecũng như phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng. Các khái niệmvà các định lý trình bày trong chương này được chúng tôi lấy trong [1], [2],[3] nhằm phục vụ cho việc giải bài tốn tích phân ở chương sau.

Định nghĩa 1.1. Các siêu về mặt đồng nhất của không gian R

4

được mơtả bằng các phương trình có dạng:

x

4

= F

2

(x

1

, x

2

) + F

3

(x

1

, x

2

, x

3

) + F

4

(x

1

, x

2

, x

3

) + ...

Các siêu bề mặt đồng nhất affine trong R

4

có thể thu được bằng cách xemxét đại số Lie 3 chiều của các trường affine tiếp tuyến với các bề mặt đượcnghiên cứu. Mỗi trường như vậy được đại diện dưới dạng ma trận (5 x 5) vàđối với ba trường cơ bản của bất kỳ đại số nào được thảo luận, các ma trậnnhư vậy được nghiên cứu, phân hủy dọc theo cơ sở ban đầu của đại số.

Bài tốn mơ tả các siêu bề mặt đồng nhất của không gian phức 4 chiềudựa vào danh sách các siêu bề mặt đồng nhất trong không gian R

4

. Tuynhiên, các bề mặt như thế trong R

4

vẫn chưa được mô tả đầy đủ. Chủ yếudo họ của các bề mặt rất rộng. Số lượng các loại phương trình mô tả các siêudiện đồng nhất affine của không gian R

4

kì vọng là một số có ba chữ số.

66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM

66hghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

Trong tình huống như vậy, ta cần nghiên cứu các cách tiếp cận khác nhauvề tính đồng nhất trong R

4

, điều này giúp có thể mơ tả các lớp bề mặt đồngnhất lớn riêng lẻ.

Ví dụ, khi sử dụng dạng thơng thường của phương trình bề mặt đồngnhất suy biến, cơ sở của đại số trường vectơ trên nó có thể được rút gọn vềdạng đơn giản hơn. Các ma trận cơ sở thỏa mãn các quan hệ giao hoán phátsinh từ tính đồng nhất của các bề mặt được nghiên cứu. Dạng đơn giản hóacủa các ma trận này giúp chúng ta có thể thảo luận các mối quan hệ này ởdạng đơn giản.

Trong luận văn này, để mô tả các siêu bề mặt đồng nhất trong không gianR

4

, ta sử dụng các đại số Lie 3 chiều tương ứng với các mặt đồng nhất.Định nghĩa 1.4.1 ChoKlà một trường vàLlà mộtK- KGVT. Ta nóiLlà mộtK- đại số Lie nếuLđược trang bị thêm một phép nhân gọi là tíchLie (hay móc Lie).

[., .] : L × L → L(x, y) 7→ [x, y].

được gọi là tích Lie của x với y nếu thỏa mãn các tiên đề sau:i)(L

1

) : [., .]song tuyến tính.

ii)(L

2

) : [., .]phản xứng:[x, x] = 0, ∀x ∈ L.iii)(L

3

) : [., .]thỏa mãn đồng nhất Jacobi:

[x, [y, z]] + [z, [x, y]] + [y, [z, x]] = 0.Nhận xét 1.4.1

- Trên mỗi K bất kỳ,Lđều có thể được trang bị tích Lie tầm thường[x, y] =0, ∀x, y ∈ Lđể trở thành đại số Lie. Khi đó, ta gọiLlà đại số Lie giao hốn.- Trên cùng một K – KGVTL, chúng ta có thể trang bị nhiều hay vô số đạisố Lie khác nhau khi thay đổi các tích Lie khác nhau.

- Mỗi đại số Lie là mỗi KGVT, vì vậy số chiều của đại số Lie là số chiều của

66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM

66hghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

- ChoLlà một không gian hữu hạn chiều trên trường K. Giả sử số chiều củaLlàn. Cấu trúc đại số Lie trênLcó thể được cho bởi móc Lie của từng cặpvectơ thuộc cơ sởe

1

, e

2

, ..., e

n

được chọn trước trênLnhư sau:

[e

i

, e

j

] =

n

X

k=1

Ví dụ 1.4.1

a) Khơng gian R

n

với móc Lie[x, y] ≡ 0(tầm thường) hiển nhiên là một đạiLie. Đại số Lie mà móc Lie tầm thường, được gọi là đại số Lie giao hốn.b) Khơng gian R

3

với tích có hướng thông thường là một đại số Lie thực bachiều.

c) Choℑlà một đại số kết hợp trên trường C. Với mọi cặp(x, y) ∈ ℑ, tađịnh nghĩa[x, y] = xy − yx, khi đóℑtrở thành một đại số Lie. Nói riêng,đại số LieM at(n,C)các ma trận vuông cấp n trên C là một đại số Lie vớimóc Lie[A, B] = AB − BA, A, B ∈ M at(n,C)

Định nghĩa 1.2.1. Một phương trình liên hệ giữa các biến độc lập:x

1

, x

2

, ..., x

n

;các hàmu

1

(x

1

, x

2

, ..., x

n

), ..., u

N

(x

1

, x

2

, ..., x

n

)và các đạo hàm riêng của cácẩn hàm đó, gọi là phương trình đạo hàm riêng (PTDHR).

Ở bài tốn chương 2, ta dừng ở phương trình đạo hàm riêng của các ẩnhàmu

1

, u

2

, u

3

, u

4

đối với các biến độc lập:x

1

, x

2

, x

3

, x

4

.

Ví dụ 1.2.1

66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM

66hghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

x∂u∂x+ y

∂u∂y= 0;∂

2

u

∂x

2

+ y∂

2

u∂y

2

= 0.

Dạng tổng quát của phương trình đạo hàm riêng của các ẩn hàmu

1

, u

2

, ..., u

N

đối với các biến độc lập:x

1

, x

2

, ..., x

n

là

Fx

1

, x

2

, ..., x

n

, u

1

, u

2

, ..., u

N

, ...,∂

k

u

i

∂x

k1

1

...∂x

kn

trong đói = 1, N , k

i

ϵZ

∗

và

n

P

i=1

k

i

= k, còn F là một hàm của nhiều biến.Định nghĩa 1.2.2 Cấp của phương trình (1.1) là cấp cao nhất của đạo hàmcó mặt trong phương trình (1.1). Một phương trình khơng có mặt các đạohàm riêng thì khơng phải là một phương trình đạo hàm riêng.

Phương trình đạo hàm riêng cấp một và cấp hai của ẩn hàm u đối với haibiến x, y có dạng:

x, y, u,∂u∂x,

Định nghĩa 1.2.3 Phương trình (1.1) gọi là tuyến tính nếu F là một hàmtuyến tính đối với các ẩn hàmu

1

, u

2

, ..., u

N

và các đạo hàm riêng của chúngcó mặt trong phương trình.

Phương trình khơng tuyến tính gọi là phương trình phi tuyến. Nếu F chỉtuyến tính đối với các đạo hàm riêng cấp cao nhất thì phương trình (1.1) gọilà phương trình á tuyến tính.

Ví dụ 1.2.2∂

2

u

∂x

2

+ 2∂

2

u∂x∂y+

∂y

2

+ x

2

∂u∂x+ y

2

∂u∂y+ (x

2

+ y

2

)u = 0

là phương trình tuyến tính cấp hai của u đối với hai biến x, y.

∂x

2

+ 2xy∂

2

u∂x∂y+ y

∂y

2

+ (x + y)u

2

= 0

66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM

66hghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

là phương trình á tuyến tính.

Định nghĩa 1.2.4 Hệ(u

1

, u

2

, ..., u

N

)được gọi là nghiệm của (1.1) nếu khithay hệ đó vào (1.1), ta được một đồng nhất thức của các biến độc lập.Ví dụ 1.2.3

u

2xx

+ (u

xx

− 2)u

xy

− u

2xy

= 0có nghiệm làu(x, y) = x

2

+ y

2

.

Định nghĩa 1.2.5 Phương trình tuyến tính cấp 1 của ẩn hàm u đối vớix

1

, x

2

, .., x

n

là phương trình có dạng:

X

i

(x

1

, x

2

, .., x

n

, u)∂u∂x

i

= f (x

1

, x

2

, .., x

n

, u)(1.4)

trong đóX

i

, i = 1, n, và f là các hàm củax

1

, x

2

, .., x

n

và u.Nếu (1.4) có dạng:

Rõ ràng u = C(C là hằng số) là nghiệm của (1.5) gọi là nghiệm hiển nhiên.Sau đây ta sẽ chứng minh rằng, với những giả thiết thích hợp nào đó, phươngtrình (1.5) có vô số nghiệm không tầm thường.

Tương ứng với (1.5), ta xét hệ phương trình vi phân thường dạng đốixứng:

dx

1

X

1

=

X

2

= ... =dx

n

(1.7) gọi là hệ đối xứng tương ứng với (1.5).

Nếu với giả thiết (1.6) thì trong một lân cận nào đó củaX

0

hệ (1.7) tương

66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM

66hghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

đương với một hệ dạng chuẩn tắc sau đây:

dx

1

dx

n

=

dx

n−1

dx

n

=

X

n−1

X

n

.

Định nghĩa 1.2.6 Hàmφ(x

1

, x

2

, .., x

n

)khả vi liên tục và không đồng nhấtbằng hằng số gọi là tích phân của hệ (1.7) hay (1.8) nếu nó trở thành đồngnhất bằng hằng số khi ta thayx

1

, x

2

, .., x

n−1

bởi bất kì nghiệm riêng nào của(1.7) hay (1.8).

Giả sửφ(x

1

, x

2

, .., x

n

)là tích phân của (1.8) vàx

1

, x

2

, .., x

n

, trong đóx

i

= x

i

(x

n

), i = 1, n − 1là một nghiệm riêng của (1.7). Khi đó ta có:

dφ = C, C là hằng số

dφ =

n

X

∂x

i

dx

i

= 0

n

X

i

X

n

+

dx

n

= 0

Định lý 1.2.1 1. Nếu hàm sốφ(x

1

, x

2

, .., x

n

)là tích phân khả vi liên tụccủa hệ (1.7) thì u =φ(x

1

, x

2

, .., x

n

)là nghiệm của phương trình (1.5).2. Ngược lại, nếu u =φ(x

1

, x

2

, .., x

n

)khác hằng số là nghiệm của (1.5) thìφ(x

1

, x

2

, .., x

n

)là tích phân của (1.7).

∂x

i

dx

i

= 0

66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM

66hghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

Vớix

i

= x

i

(x

n

), i = 1, n,thỏa mãn (1.8) nên:

dφ =

n

X

i

X

n

+

dx

n

= 0

∂x

i

X

i

= 0

theo định nghĩa,φ(x

1

, x

2

, .., x

n

)chính là tích phân của (1.7).

Như vậy, việc tìm nghiệm của phương trình (1.5) tương đương với việctính tích phân của hệ (1.7). Với giả thiết (1.6) hệ (1.7) tương đương với hệ(1.8) trong một lân cận nào đóX

0

= (x

01

, x

02

, ..., x

0n

)và giả sử rằng trong lâncận này hệ (1.8) có (n - 1) tích phân độc lập

φ

1

(x

1

, x

2

, .., x

n

), φ

2

(x

1

, x

2

, .., x

n

), ..., φ

n−1

(x

1

, x

2

, .., x

n

).Khi đó,

u = Φ(φ

1

, φ

2

, ..., φ

n−1

)(1.10)vớiΦlà một hàm khả vi liên tục bất kì, sẽ là một tích phân của (1.8). Vậyu = Φ(φ

1

, φ

2

, ..., φ

n−1

)là nghiệm của (1.5).

Ví dụ 1.2.4 Xét phương trìnhx∂u

∂x+ y∂u∂y+ z

Hệ đối xứng tương ứng

Dễ thấyφ

1

(x, y) =x

y, φ

2

(x, y) =z

x, (x ̸= 0)là hai tích phân độc lập củahệ (1.12). Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1.11) làu = Φ

,vớiΦlà một hàm khả vi liên tục bất kì.

Phương trình khơng thuần nhấtXét phương trình

X

i

(x

1

, x

2

, .., x

n

, u)∂u

∂x

i

= f (x

1

, x

2

, .., x

n

, u).(1.13)

66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM

66hghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

Giả thiếtX

i

, 1, nvà f liên tục cùng các đạo hàm riêng cấp một củachúng trong một lân cận điểm eX

0

= (X

0

), X

0

= (x

01

, x

02

, ..., x

0n

, u

0

)ngoàiraX

n

(Xe

0

) ̸= 0. Ta sẽ chứng minh rằng nghiệm của phương trình (1.13) códạng ẩn:

V (x

1

, x

2

, .., x

n

, u) = 0(1.14)trong đó V là hàm khả vi liên tục và thỏa mãn điền kiện:∂V

0

) ̸= 0.Thật vậy, theo định lý hàm ẩn, hàm u xác định từ (1.14) khả vi và:

= −

∂V∂xi

, i = 1, n.

Thế vào (1.13) ta được:

n

X

i

∂V∂x

i

+ f

dx

1

X

1

=

X

2

= ... =dx

n

X

n

=du

fKhi đó nghiệm tổng quát (1.15) có dạng:

66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM

66hghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

Trong đóX

i

, i = 1, n, liên tục cùng các đạo hàm riêng cấp một của chúngtrong một lân cận củaX

0

= (x

01

, x

02

, ..., x

0n

)vàφlà một hàm khả vi liên tụccủa các biếnx

1

, x

2

, ..., x

n−1

.

Gọiφ

1

, φ

2

, ..., φ

n

là n-1 tích phân độc lập của hệ vi phân (1.7) tương ứngvới (1.16).

(φ

1

(x

1

, x

2

, ..., x

n−1

, x

0n

) = φ

1

. . .

∂x+ (y + x

2

)∂z

∂y= zz = y − 4, x = 2.

x, φ

2

(x, z) =z

x. Thế x = 2 vào các tích phân độc lập và xéthệ:

y − 4

2= φ

1

z

2= φ

2

y = 2φ

1

+ 4z = 2φ

2

.

Ta cóz = y − 4hay2φ + 4 − 4 = 2φ

2

.Suy raφ

2

= φ

1

, tức là:y − x

2

Vậyz = y − x

2

là nghiệm của bài toán trên.

66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM

66hghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

1.4Phương trình vi phânĐịnh nghĩa 1.3.1 Phương trình vi phân

Một phương trình vi phân là phương trình hàm (một biến) có chứa đạohàm của hàm cần tìm. Nếu bậc cao nhất của đạo hàm trong phương trìnhvi phân là n, thì phương trình này được gọi là phương trình vi phân cấpn.Xét phương trình vi phân cấp n

F (x, y, y

′

, ..., y

(n)

) = 0trong đó biểu thứcF (x, y, ..., y

(i)

)thực sự chứay

(n)

.

Hàm sốy = y(x)được gọi là nghiệm của phương trình vi phân trênkhoảngIvớiI ⊂ Rnếu hàm sốy = y(x)thỏa tính chất

∀x ∈ I, F (x, y(x), y

′

(x), ..., y

n

(x)) = 0.Tính chất trên bao hàm hai tính chất sau:

1. Hàm số y khả vi tới cấp n trên I, tức các đạo hàmy

′

(x), y

′′

(x), ..., y

(n)

(x)tồn tại với mọix ∈ I.

2.∀x ∈ I, (x, y(x), ..., y

(n)

(x))thuộc miền xác định củaF.

Định nghĩa 1.3.2 Nghiệm của phương trình vi phân

Một hệ thứcG(x, y) = 0được gọi là nghiệm ẩn trên khoảngIcủa phươngtrình vi phân nếu tồn tại một hàm số y vừa thỏa hệ thứcG(x, y(x)) = 0vừathỏa phương trình vi phân∀x ∈ I.

Ví dụ 1.3.1 Xét phương trình vi phânyy

′

+ x = 0.

Lấy tích phân hai vế ta được

y22

+

x22

= Chayy

2

+ x

2

= Kvới K là hằngsố. Ta thấy hệ thứcy

2

+ x

2

= 25là một nghiệm ẩn của phương trình vi phânyy

′

+ x = 0trên khoảngI = (−5, 5). Thật vậy, tồn tại hàm sốy =√

25 − x

2

xác định trên (-5,5) và thỏa:

x

2

+ y

2

= 5yy

′

+ x =√

25 − x

2

.−x√

25 − x

2

+ x = 0∀x ∈ I.

66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM

66hghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

Định nghĩa 1.3.3 Phương trình vi phân tồn phầnPhương trình vi phân có dạng

được gọi là phương trình vi phân tồn phần nếu tồn tại hàm hai biếnU (x, y)sao cho

dU (x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy(1.19)Khi đó:

P (x, y) = U

x′

(x, y)Q(x, y) = U

y′

(x, y)

(1.18) được gọi là phương trình vi phân tồn phần nếu∂P

∂y(x, y) =∂Q

∂x(x, y).Nghiệm của (1.18) có dạngU (x, y) = C

Tìm hàmU (x, y):

(1) ⇒ U (x, y) =Z

P (x, y)dx = F (x, y)F + C(y)

⇒ U

′

(x, y) = F

y′

(x, y) + C

′

(y).VìQ(x, y) = U

y′

(x, y)nênQ(x, y) = F

y′

(x, y) + C

′

(y)Suy ra

C

′

= Q(x, y) − F

y′

(x, y) + C

′

(y)C(y) =RC

′

(y)dy

⇒ U (x, y) = F (x, y) + C(y)⇒ U (x, y) = C(C ∈R)

là nghiệm của phương trình (1.18).Ví dụ 1.3.2 Giải phương trình

(3

2

+ 6xy

2

)dx + (6x

2

y + 4y

3

)dy.(1.20)

66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM

66hghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

ĐặtP (x, y) = (3x

2

+ 6xy

2

); Q(x, y) = (6x

2

y + 4y

3

)Khi đó

(3x

2

+ 6xy

2

)dx +

y

Z

∂x(x, y).

Phương trình trên chưa là phương trình vi phân tồn phần. Ta sẽ biếnđổi và đưa về dạng phương trình vi phân tồn phần bằng cách nhân hai vếcủa phương trình với thừa số tích phânm(x, y)(luôn khác 0 trên miền đangxét), ta được phương trình:

m(x, y)P (x, y)dx + m(x, y)Q(x, y)dy = 0Cách tìm thừa số tích phân m(x,y):

1. Nếu

Q1

(

∂P∂y

−

∂Q∂x

= f (x))thìm = m(x) = e

R f (x)dx

.2. Nếu−

1

P

(

∂P∂y

−

∂Q∂x

= g(y))thìm = m(y) = e

R g(y)dy

.Ví dụ 1.3.3 Giải phương trình vi phân sau:

(x

2

− sin

2

y)dx + x sin 2ydy = 0

66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM

66hghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

ĐặtP (x, y) = x

2

− sin

2

y; Q(x, y) = x sin 2yKhi đó

∂y= − sin 2y;∂Q

∂x= sin 2yTừ 1 ta có:

x= f (x)

Suy ra thừa số tích phânm = m(x) = e

R f (x)dx

= e

R −2xdx

= e

−2ln|x|dx

=

x12

.Nhân hai vế của phương trình đã cho vớim(x)ta có:

(1 −sin

2

y

x

2

)dx +1

xsin 2ydy = 0là phương trình vi phân tồn phần.

ĐặtP

1

(x, y) = x

2

− sin

2

y; Q

1

(x, y) = x sin 2y

U =Z

P

1

dx = x +1xsin

2

y + C(y)

U

′

(y) = Q

1

⇒ C(y) = C

1

.Nghiệm của phương trình làx +1

∂P∂y= 1;

∂x= 2xy − 1Từ 1 ta có:

x= f (x)

dx +

y −1x

dy = 0

66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM

66hghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

là phương trình vi phân tồn phần.ĐặtP

1

(x, y) = 2 +y

x

2

; Q

1

(x, y) = y −1xU =

P

1

dx = 2x −yx+

2+ C(y)U

′

(y) = Q

1

⇒ C(y) = C

1

.Nghiệm của phương trình là2x −y

Quan hệ đồng dạng bảo tồn khá nhiều các tính chất của ma trận, chẳnghạn nếuA ∼ BthìdetA = detB, rankA = rankB,P

A

(λ) = P

B

(λ), giá trịriêng củaAvàBlà như nhau.

Định nghĩa 1.5.2 Chéo hóa ma trậnChoAlà ma trận vng cấpn.

Ta nói ma trậnAchéo hóa được nếuAđồng dạng với một ma trận chéo.Như vậy ma trậnAchéo hóa được nếu tồn tại ma trậnTvng cấpnkhơngsuy biến sao choT

−1

ATlà ma trận chéo.

Chéo hóa ma trậnAtức là tìm ma trậnTvng cấpnkhơng suy biếnsao choT

−1

ATlà ma trận chéo.

Định lý 1.5.1 Điều kiện cần và đủ để một ma trận vng chéo hóa được matrậnAvng cấpnchéo hóa được khi và chỉ khiAcó đủnvector riêng độclập tuyến tính, khi và chỉ khi

dimV

λi

= n, trong đóλ

1

, ..., λ

k

là tất cả cácgiá trị riêng củaA.

Chứng minh. Tham khảo [2].Cách chéo hóa một ma trận

66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM

66hghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

ChoAlà ma trận vng cấpn. Để chéo hóa ma trậnA, ta làm như sau:tìm các giá trị riêng và các vector riêng độc lập tuyến tính củaA. Khi đó:1. Nếu tổng số vector riêng độc lập tuyến tính củaAbằngn(tức là

dimV

λi

<n, trong đóV

λi

là không gian con riêng ứng với giá trị riêngλ

i

) thì kết luậnma trậnAkhơng chéo hóa được, tức là khơng tồn tại ma trậnTđểT

−1

ATlà ma trận chéo.

2. Nếu tổng số vector riêng độc lập tuyến tính củaAbằngn(

k

P

i=1

dimV

λi

= n)thì ma trậnAchéo hóa được. Khi đó ma trậnTcần tìm là ma trận mà cáccột của nó chính là các vector riêng độc lập tuyến tính củaAviết theo cộtvà khi đó

T

−1

AT =

λ

1

0· · ·00λ

2

· · ·0... ... ... ...00· · · λ

n

là ma trận chéo, trong đóλ

i

chính là giá trị riêng củaAứng với vector riênglà vector cột thứicủa ma trậnT.

Ví dụ 1.5.1 Chéo hóa ma trận

A =

"0 1 11 0 11 1 0

Trước hết tìm vector riêng, giá trị riêng củaA.

Ma trậnAcó 2 giá trị riêng làλ = −1, λ = 2vàAcó ba vector riêng độc lậptuyến tính làα

1

= (−1, 1, 0), α

2

= (−1, 0, 1)ứng với giá trị riêngλ = −1vàα

3

= (1, 1, 1)ứng với giá trị riêngλ = 2. Do đó, ta kết luận:

- Ma trậnAchéo hóa được.- Ma trận cần tìm là:

66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM

66hghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

Trong trường hợp tổng hợp số vector riêng độc lập tuyến tính của ma trậnAcần chéo hóa bé hơnn(tức là

dimV

λi

< n, trong đóV

λi

là khơng giancon riêng ứng với giá trị riêngλ

i

) thì ta cần phải tìm các vector liên kết riêngđểAchéo hóa được.

Cách tìm vector liên kết riêng và ví dụ:

Nếuλ

0

là một giá trị riêng của một tốn tử tuyến tính và hệ các vectorthỏa mãn điều kiệnA : Vˆ

n

→ V

n

, và hệ các vectorx⃗

0

, ⃗x

1

, ..., ⃗x

k

trong khônggianV

n

thỏa mãn điều kiện:

x

0

= λ

0

x⃗

0

⃗

x

1

= λ

0

x⃗

1

+ ⃗x

0

...

x

i

= λ

0

x⃗

i

+ ⃗x

i−1

...

Ta chọn một số cơ sở trong không gianV

n

và biểu thị ma trậnAcủa tốntử tuyến tínhf : V

n

→ V

n

trong cơ sở này,X

i

, i = 0, k- các cột tọa độ củavectorx⃗

i

tương ứng trong cùng một cơ sở. Để tìm các vector liên kết riêng,ta phải giải hệ phương trình tuyến tính

Quy tắc tìm vector liên kết riêng

1. Tìm các giá trị riêngλ

i

của ma trậnAbằng cách giải phương trình đặctrưng của nó.

2. Đối với tất cả các giá trị riêngλ

i

ta tìm các vector riêng bằng cách giảihệ thuần nhất(A − λ

i

E)X = 0. Số vector riêng độc lập tuyến tính với giá

66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM

66hghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

trị riêngλ

i

bằngm

i

= n − rank(A − λ

i

E)vớinlà bậc của ma trận. Nếu sốvector riêng ứng giá trị riêngλ

i

nhiều hơnk

i

thì khi đó tổng số vector liênkết riêng tương ứng với tất cả các vector riêng có giá trị riêng này làk

i

− m

i

.3. Đối với mỗi vetor riêng được tìm thấy ta tìm thấy những vector liên kếtvới chúng (nếu tồn tại). Từ (1.21) có thể thấy rằng, để tìm vectơ liên kết thứivới một vector riêng có giá trị riêngλ

0

, ta phải giải một hệ phương trìnhtuyến tính với cùng một ma trận mở rộng để thu vector riêng. Ma trận nàyđược tạo thành bằng cách thêm giá trị đã tìm được vào ma trậnA − λ

i

Edưới dạng hạng tự do.

Ví dụ 1.5.2 Tìm các vector liên kết riêng của ma trận sau:

A =

"1−3 3−2 −6 13−1 −4 8

Tìm giá trị riêng củaA

−1−4 − λ 8 − λ

= (1 − λ)

7 − λ134 − λ 8 − λ

+ 3

−2 7 − λ−1 4 − λ

= (1 − λ)(λ

2

− 2λ + 4) + 3(λ − 1)

= (1 − λ)(λ

2

− 2λ + 1) = −(λ − 1)

3

.Phương trình đặc trưng(λ − 1)

3

= 0có nghiệm duy nhấtλ = 1, bội 3.Xác định vector riêng và vector liên kết:

A − λE = A − E =

−2 −7 13−1 −4 7

rank(A − λE) = 2 ⇒ dimV

λ

= n − rank(A − λE) = 3 − 2 = 1. Do đó cơsở mới gồm một vector riêng và hai vector liên kết. Tìm vector riêng bằng

66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM

66hghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 27<div class="page_container" data-page="27">

cách giải hệ phương trình thuần nhất với ma trậnA − λE.

−2 −7 13−1 −4 7

−2 −7 13

x

2

− x

3

= 0x

1

− 3x

3

= 0 ⇔

(x

1

= 3x

3

x

2

= x

3

x

3

= x

3

Ta thu được vector riênge⃗

0

= (3; 1; 1).

3. Tìm vector liên kết riêng bằng cách thêm vào ma trận(1.22)một cột tọađộ của vector riêng đã tìm được dưới dạng cột số tự do

"0−3 3−2 −7 13−1 −4 7

"01−1−2 −7 13

"01 −1

Ta có hệ phương trình:

x

2

− x

3

= −1−x

1

+ 3x

3

= −3

Giải hệ phương trình trên ta được vector liên kết riênge⃗

1

= (3; −1; 0). Đểtìm vector liên kết riêng thứ hai, ta thêm vào(1.21)cột tọa độ của vectore⃗

1

dưới dạng cột các số hạng tự do.

"0−3 3−2 −7 13−1 −4 7

"01−1−2 −7 13

"01 −1

Ta thu được hệ phương trình:

x

2

− x

3

= −1x

1

− 3x

3

= 4

Khi đó, vector liên kết riêng thứ hai làe⃗

2

= (4; −1; 0).Vì vậy, cơ sở mớigồm ba vector: vector riênge⃗

0

= (3; 1; 1)và hai vector liên kết riênge⃗

1

=(3; −1; 0), ⃗e

2

= (4; −1; 0). Ma trận cơ sở cần tìm:

−2 −6 13−1 −4 8

1 −1 −1

66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM66Thursday, June 13, 20249:01:36 PM9:01:36 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM66Thursday, June 13, 20249:01:37 PM9:01:37 PM

66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM66Thursday, June 13, 20249:01:38 PM9:01:38 PM

66hghieh euu ahh huohg euc au xuat eu deh ehat luohg vah gheu thchh dahg glulcm glue lcmihcted timber tu go keo tci tuohgThursday, June 13, 2024

</div>Trang 28<div class="page_container" data-page="28">

1 1 00 1 10 0 1

Ví dụ 1.5.3 Tìm cơ sở thích hợp và các vector liên kết riêng của ma trậnsau:

A =

"−2 −1 1−1 −2 1−2 −2 1#

Tìm giá trị riêng của A

rank(A − λE) = 1 ⇒ dimV

λ

= n − rank(A − λE) = 3 − 1 = 2. Do đó cơsở mới gồm hai vector riêng và một vector liên kết. Tìm vector riêng bằngcách giải hệ phương trình thuần nhất với ma trậnA − λE.

−1 −1 1−1 −1 1−2 −2 2

Ta thu được 2 vector riênge⃗

0

= (0; 1; 1); ⃗e

1