TỨ DIỆN VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐƯỢC MỞ RỘNG TỪ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TAM GIÁC

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.23 MB, 47 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

GIÁC

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 5, năm 2019

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TỐN

------

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Tên đề tài:

TỨ DIỆN VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐƯỢC MỞ RỘNG TỪ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TAM GIÁC

Sinh viên thực hiện

Quảng Nam, tháng 5, năm 2019

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

LỜI CẢM ƠN

Để hồn thành được khóa luận một cách hồn chỉnh, em ln nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của Thầy giáo Thạc sĩ Trần Anh Dũng - Giảng viên khoa Toán trường Đại học Quảng Nam. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy và xin gửi lời tri ân nhất của em đối với những điều thầy đã làm cho em. Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể các thầy cơ trong khoa Tốn, Trường đại học Quảng Nam dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập. Nhân dịp này em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.

Xin trân trọng cảm ơn

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ...

1. Lý do chọn đề tài ...

2. Mục tiêu của đề tài...

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ...

3.1. Đối tượng nghiên cứu ...

3.2. Phạm vi nghiên cứu ...

4. Phương pháp nghiên cứu ...

4.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận ...

4.2. Phương pháp phỏng vấn và lấy ý kiến chuyên gia. ...

1.1.1 Khái niệm về tam giác ... 1

1.1.2. Tổng hợp các kết quả đã biết trong tam giác ... 1

a.Tính chất của các đường đồng quy ... 1

b.Tính chất của đường thẳng Euler ... 2

c.Tính chất của đường trịn Euler ... 3

2.1. Một số khái niệm và tính chất liên hệ giữa tam giác và tứ diện ... 16

2.1.1. Một số khái niệm liên quan... 16

2.1.2. Một số tính chất liên hệ ... 16

a.Tính chất về trọng tâm tam giác và tứ diện (Gravity Centre) ... 16

b.Tính chất tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện (Circumscribed Sphere Centre) ... 18

c.Tính chất tâm đường tròn nội tiếp tam giác và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ... 19

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

d.Tính chất về trực tâm tam giác và tứ diện trực tâm (Orthocentric Tetrahedron) ... 20

e. Tính chất về tỷ số diện tích của hai tam giác chung một góc và thể tích 2 tứ diện có chung một góc tam diện ... 22

2.2. Tìm kiếm mối liên hệ giữa tam giác trong mặt phẳng và tứ diện trong không gian ... 23

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài

Trong nghiên cứu khoa học tự nhiên ta đều có được một bài học: nếu biết rõ thành phần nhỏ nhất cấu tạo nên vật chất, ta sẽ hiểu rõ được bản chất của vật chất. Trong hình học cũng vậy, nếu biết rõ thành phần cơ bản cấu tạo nên hình học, ta sẽ hiểu rõ

hình học.

Hình học nói chung và hình học khơng gian nói riêng là một mơn học khó đối với học sinh trong nhà trường THPT. Vì hình học là mơn học có tính chặt chẽ, logic và trừu tượng hóa cao hơn các mơn học khác.

Để học hình học khơng gian, ngồi tính trừu tượng cịn địi hỏi học sinh phải có kĩ năng tư duy cao. Hình học khơng gian bước đầu người học cảm thấy khó song càng học càng thấy sự thú vị trong đó. Do việc nghiên cứu hình học khơng gian là cần thiết nên trong bài khóa luận này em sẽ đi sâu vào một phần nhỏ của hình học khơng gian là hình tứ diện.

Trong hình học, thành phần đơn giản nhất là điểm, đường thẳng và mặt phẳng. Vì thế việc nghiên cứu mối quan hệ giữa điểm, đường và mặt mang ý nghĩa nền tảng của hình học. Hệ tiên đề hình học xuất phát từ những tiên đề về những mối quan hệ giữa những khái niệm nền tảng đó. Xuất phát từ đó, hình được nghiên cứu kỹ nhất là hình tam giác, có vai trị ngun tố trong số tất cả các đa giác nói riêng và hình phẳng nói chung. Vì thế tam giác có thể coi là chìa khóa để hiểu rõ tất cả các hình phẳng. Các bài tốn và định lý về tam giác đóng vai trị cốt lõi trong nghiên cứu hình học phẳng.

Tương tự, tứ diện là chìa khóa để hiểu rõ tất cả các hình trong khơng gian 3 chiều. Các bài tốn và định lý về tứ diện đóng vai trị cốt lõi trong nghiên cứu hình học 3 chiều.

Tứ diện là một hình khơng gian 3 chiều khép kín được giới hạn bởi 4 mặt. Không gian ấy được xác định bởi 4 điểm không đồng phẳng. Mỗi điểm là một đỉnh của tứ diện. Mỗi đỉnh ứng với một góc tam diện, 3 đỉnh xác định một mặt của tứ diện. Mỗi cặp 2 mặt của tứ diện xác định một nhị diện. Cạnh của nhị diện chính là cạnh của tứ diện. Tứ diện có 6 cạnh, chia làm 3 cặp, mỗi cặp gồm 2 cạnh chéo nhau, gọi là 2 cạnh đối.

Giống như tam giác có 4 đường: trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao, thì tứ diện cũng có những đường và mặt khác nhau. Việc khảo sát những đường và mặt chủ yếu ấy sẽ cung cấp một cái nhìn tồn cảnh và sâu rộng về tứ diện, trong đó các yếu

tố của tứ diện sẽ lộ ra dưới một cấu trúc nhất quán. Tuy nhiên, qua nghiên cứu, chúng

tôi thấy rằng vấn đề về tứ diện trong không gian chưa được nghiên cứu rõ ràng, sâu sắc như vấn đề tam giác trong mặt phẳng. Do mối tương đồng giữa hai khái niệm: Tam giác trong mặt phẳng và tứ diện trong không gian nên chắc chắn sẽ còn nhiều nội dung khai thác được lẫn nhau giữa hai yếu tố này (mà chủ yếu là khai thác những vấn từ tam giác sang tứ diện).

Chúng ta đã thấy được tầm quan trọng của tứ diện trong hình học khơng gian. Ngồi ra tứ diện cịn là một chủ đề thường xuyên xuất hiện trong cấu trúc đề thi cao đẳng, đại học và các đề thi tuyển chọn học sinh giỏi trong các trường THPT. Nhằm

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

cung cấp đầy đủ kiến thức, rèn luyện kĩ năng liên quan đến các dạng bài tập về hình tứ

diện nên em đã lựa chọn nghiên cứu đề tài "Tứ diện và một số vấn đề được mở rộng từ các tính chất của tam giác". Là một giáo viên trong tương lai, em nhận thấy việc

nghiên cứu đề tài này là hợp lý và có ý nghĩa thực tiễn trong quá trình giảng dạy.

2. Mục tiêu của đề tài

Nghiên cứu cơ sở lý luận, hệ thống hóa và phân dạng bài tập về hình tứ diện, nhằm tích cực hóa hoạt động của học sinh nâng cao năng lực sư phạm cho giáo viên và tăng hiệu quả giảng dạy mơn tốn ở trường THPT.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1. Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là hình tứ diện.

3.2. Phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu các tam giác, tứ diện đặc biệt và một số tính chất của tam giác, tứ diện.

- Mối liên hệ giữa tam giác và tứ diện và một số bài toán mở rộng.

4. Phương pháp nghiên cứu

4.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận

Phương pháp phân tích và tổng hợp kiến thức.

4.2. Phương pháp phỏng vấn và lấy ý kiến chuyên gia.

Tham gia học hỏi và trau dồi những kinh nghiệm quý báu của các thầy cơ giáo cũng như những ý kiến đóng góp của giáo viên hướng dẫn để làm tốt đề tài.

5. Lịch sử nghiên cứu

Nội dung nghiên cứu mở rộng từ các vấn đề tam giác sạng tứ diện xuất hiện rải rác trong các nội dung mở rộng từ hình học phẳng sang hình học khơng gian. Vấn đề này được xem như một giải pháp tốt để giải quyết một số vấn đề phức tạp của hình học không gian, làm cầu nối giúp học sinh sử dụng kế thừa các kiến thức về hình học phẳng cho hình học khơng gian. Tuy nhiên, hiện chưa có tài liệu hoàn chỉnh nào nghiên cứu riêng biệt mối liên hệ giữa tam giác trong hình học phẳng và tứ diện trong không gian. Nhận thức vấn đề ở mức độ đó, chúng tơi tập trung nghiên cứu sâu hơn về vấn đề này.

6. Đóng góp của đề tài 6.1. Về mặt lý luận

- Xây dựng hệ thống các kiến thức liên quan đến hình học phẳng và hình học không gian giúp học sinh nắm bắt được yêu cầu, vai trò và tầm quan trọng trong việc sử dụng các phương pháp giải toán.

- Phân tích và tổng hợp được một số dạng toán được mở rộng từ tam giác lên tứ diện.

6.2. Về mặt thực tiễn

Kết quả của đề tài có thể:

- Giúp cho giáo viên và học sinh có thêm một tài liệu mới.

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

7. Cấu trúc đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và mục lục, nội dung khóa luận gồm hai chương:

Chương 1: Cơ sở lí thuyết

Chương 2: Một số vấn đề được mở rộng từ các tính chất của tam giác.

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1.1. Tam giác

1.1.1 Khái niệm về tam giác

Tam giác là một loại hình cơ bản của hình học phẳng, là đa giác đơn giản nhất, có số cạnh/ đỉnh ít nhất. Không giống như những loại đa giác khác, chính vì sự đơn giản đó mà tam giác khơng có đường chéo, khơng có khái niệm lồi/ lõm. Chúng ta có thể dễ dàng chỉ ra các yếu tố của hình tam giác (đỉnh, cạnh, trung tuyến, đường cao, đường trung trực, đường phân giác, đường trung bình, …), phân loại các hình tam giác (tam giác thường, tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều) nhưng chúng ta sẽ khơng dễ dàng trình bày hết được những tính chất, vận dụng, ứng dụng các tính chất của loại

hình này. Có nguyên những cuốn sách Hình học của tam giác của tác giả Nguyễn Văn Ban và Hoàng Chúng và Hình học mới của tam giác của tác giả X.I. Đê-chen. Hai

cuốn sách này trình bày rất chi tiết hầu hết về vấn đề tam giác.

1.1.2. Tổng hợp các kết quả đã biết trong tam giác

a. Tính chất của các đường đồng quy

 Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác:

Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2

3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy. (Giao điểm ba đường trung tuyến được gọi là trọng tâm của tam giác)

 Tính chất ba đường phân giác của tam giác:

Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.

(Giao điểm ba đường phân giác là tâm đường trịn nội tiếp của tam giác đó)

 Tính chất ba đường trung trực của tam giác:

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

(Giao điểm ba đường trung trực là tâm đường trịn ngoại tiếp của tam giác đó)

 Tính chất ba đường cao của tam giác:

Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. (Giao điểm ba đường cao được gọi là trực tâm của tam giác).

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

 Tính chất của đường trịn bàng tiếp các góc:

 Về các đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam giác cân:

- Tính chất của tam giác cân: Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh đối diện với cạnh đó.

- Ngược lại với tính chất trên ta có: Trong một tam giác, nếu hai trong 4 loại đường: (đường phân giác, đường trung tuyến, đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh và đường trung trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh này) trùng nhau thì tam giác đó là một tam giác cân.

- Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp là bốn điểm trùng nhau.

b. Tính chất của đường thẳng Euler

Định nghĩa về đường thẳng Euler : "Trong tam giác ABC không đều, nếu gọi O

là giao điểm của ba đường trung trực (tâm đường tròn ngoại tiếp); G là giao điểm của đường trung tuyến (trọng tâm); H là giao điểm 3 đường cao (trực tâm) thì

, ,

O G H cùng thuộc một đường thẳng gọi là đường thẳng Euler"

Nói ngắn gọi: "Đường thẳng Euler là đường thẳng chứa , ,O G H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm."

F'F''

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

Tính chất 1.1: Trong một tam giác, điểm trọng tâm G nằm giữa tâm đường tròn

ngoại tiếp O và trực tâm H đồng thời OH3OG.

Phép vị tự bảo tồn tính vng góc nên sẽ biến trực tâm của tam giác ABC thành trực tâm của tam giác MNP. Theo giả thiết, H là trực tâm của tam giác ABC và dễ dàng chứng minh được O là trực tâm của tam giác ABC.

c. Tính chất của đường trịn Euler

Chúng ta biết rằng đường tròn Euler của tam giác là đường tròn đi qua chín điểm, gồm: trung điểm các cạnh; chân các đường cao hạ từ ba đỉnh xuống cạnh đối diện và trung điểm của các đoạn thẳng nối trực tâm đến các đỉnh.

Ta có các tính chất về đường trịn Euler:

Tính chất 1.2: Cho tam giác ABC , các đường cao AA BB CC cắt nhau tại H . 1, 1, 1Gọi A B C M N P  , , , , , lần lượt là tung điểm của BC AC AB HA HB HC . Khi đó , , , , ,chín điểm:A B C A B C M N P  , , , 1, 1, 1, , , cùng nằm trên một đường tròn (gọi là “đường

trịn chín điểm” hay gọi tắt là “đường tròn Euler” của tam giác ABC ).

Chứng minh: (Hình 1.3)

GH

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

Hình 1.3

Ta có MN // AB ; NA// CH . Từ đó MN NA hay MNA 900. Chứng minh

trung tuyến trong tam giác vng ta có MAMB A B1;  1 A C nên các tam giác MAB 1

và A B C 1 là các tam giác cân. Do đó: AB M1 A B C 1 MAB1B CA1 900. Suy ra:

C M N P cùng nằm trên một đường trịn đường kính MA.

Nhận xét: Vì vai trò của các đoạn thẳng là giống nhau nên NB PC;  cũng là đường

kính đường trịn Euler của tam giác ABC . Như vậy, các đường thẳng A M B N C P ,  , 

đồng quy tại tâm đường tròn Euler của tam giác ABC .

Tính chất 1.3: Tâm đường trịn Euler của tam giác là trung điểm của đoạn thẳng

nối trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.

Chứng minh: (Hình 1) Gọi J và O lần lượt là tâm đường tròn Euler và tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Dễ dàng chứng minh hai tam giác HBA và

hình bình hành, mà J là trung điểm của MA nên J là trung điểm của OH .

Chú ý: Chân ba đường cao của một tam giác bất kì, ba trung điểm của ba cạnh, ba

trung điểm của ba đoạn thẳng nối ba đỉnh với trực tâm, tất cả chín điểm này cùng nằm

trên một đường tròn. Đường tròn này thường được gọi là đường tròn Euler hay còn gọi

B1

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

là đường tròn Feuerbach, đường tròn Terquem hay đường trịn chín điểm, đường trịn

trung bình...

Một số định lý liên quan

Định lý Mênelaus: Là một định lý cơ bản trong hình tam giác, được phát biểu như

sau: Cho tam giác ABC , các điểm D E F lần lượt nằm trên các đường thẳng , , BC,,

CA AB . Khi đó D E F thẳng hàng khi và chỉ khi , , FA DB EC. . 1

FB DC EA  .

Chứng minh:

Hình 1.4

 Phần thuận: Giả sử , ,D E F thẳng hàng với nhau. Vẽ đường thẳng qua C và

song song với AB cắt đường thẳng DE tại G .

Vì CG // AB (cách dựng) nên theo định lý Ta-lét, ta có: DBFBDC  CG (1)

EA  FA (2)

Nhân vế theo vế (1) và (2) ta được: DB EC. FB

DC EA  FA. Từ đó suy ra: FA DB EC. . 1

FB DC EA  .

Phần đảo: Giả sử FA DB EC. . 1

FB DC EA  .

Khi đó gọi F là giao điểm của đường thẳng ED với đường thẳng AB

Theo chứng minh ở trên, ta có: F A DB EC. . 1

A

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

1.2. Tứ diện

1.2.1. Tổng hợp các kết quả đã biết trong tứ diện.

Tứ diện: Hình trong không gian 3 chiều xác định bởi 4 đỉnh và giới hạn bởi 4 mặt.

- Trọng tâm: Trọng tâm tứ diện là giao điểm của bốn đường thẳng nối đỉnh và trọng tâm của tam giác đối diện hay còn gọi là đường trọng tuyến.

- Mặt cầu ngoại tiếp: Mặt cầu đi qua bốn đỉnh của tứ diện.

- Mặt cầu nội tiếp: Mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của tứ diện đó.

- Tâm mặt cầu ngoại tiếp: tồn tại điểm cách đều các đỉnh của tứ diện. - Tâm mặt cầu nội tiếp: tồn tại điểm cách đều các mặt của tứ diện.

- Mặt cầu giả nội tiếp tứ diện: Mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện đó.

Một số định lý liên quan

Định lý Mênelaus: Cho tứ diện ABCD , các điểm M N P Q lần lượt nằm trên , , ,

các đường thẳng AB BC CD DA . Khi đó , , , M N P Q cùng phẳng khi và chỉ khi , , ,

MA NB PC QDMB NC PD QA  . Chứng minh:

Phần thuận: Trong mặt phẳng



ABC gọi E



 ACMN.

Theo định lý Mênelaus trong ABC và M N E thẳng hàng ta có: , ,

QC

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

Khi đó mặt phẳng qua M N P cắt cạnh DA tại Q, , . Theo chứng minh ở trên, ta có: MA NB PC Q D. . . 1

MB NC PD Q A

 .

Định nghĩa 1.1: Tứ diện có các cặp cạnh đối bằng nhau được gọi là tứ diện gần đều.

Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy tứ diện gần đều có bốn mặt là các tam giác bằng nhau.

 Bốn mặt của tứ diện là các tam giác có diện tích bằng nhau.

 Tứ diện có hai trục đối xứng.

 Bốn đường cao của tứ diện bằng nhau.

 Tâm mặt cầu nội tiếp và tâm mặt cầu ngoại tiếp bằng nhau.

 Tâm mặt cầu ngoại tiếp và trọng tâm trùng nhau.

 Tâm mặt cầu nội tiếp và trọng tâm trùng nhau.

 Tổng các cơsin của các góc phẳng nhị diện chứa cùng một mặt của tứ diện bằng 1.

 Góc nhị diện của các cặp cạnh đối bằng nhau.

C

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

Dễ thấy tổng các góc ở mỗi đỉnh bằng 180 nên các điểm , ,A B C thuộc các cạnh của

tam giác D D D . 1 2 3

Ta có: D A1 DAD A BD2 , 1BD3 BD CD, 2 CD3 CD nên A B C lần lượt là , ,trung điểm củaD D D D1 2, 1 3, D D do đó: 2 3 1 2 3 2

AB D D CD CD. Tương tự ACBD, ADBC.

Vậy ABCD là tứ diện gần đều.

 Giả sử ABCD là tứ diện gần đều và ,I J lần lượt là trung điểm của các cạnh

  , từ đó ta có IJ CD, tương tự IJ AB hay IJ là đường vng góc

chung của AB và CD . Lí luận tương tự ta được đoạn thẳng nối trung điểm của hai

cặp cạnh đối cịn lại cũng là đường vng góc chung của chúng.

Đảo lại, giả sử đoạn IJ là đoạn vng góc chung của AB và CD , khi đó IJ là đường trung trực của AB và CD nên phép đối xứng trục qua IJ biến:AB C, D ,

tương tự ta cũng có ADBC AB, CD nên ABCD là tứ diện gần đều.

 Giả sử ABCD là tứ diện gần đều thì các

mặt của nó là các tam giác bằng nhau nên có

diện tích bằng nhau. Ngược lại, giả sử ABCD

suy ra hai tam giác vuông CHF và DKF

FFECD, vậy đường vng góc chung

của AB và CD đi qua trung điểm của CD

Do vai trị bình đẳng giữa AB và CD nên F cũng là trung điểm của AB . Vậy EF là trục đối xứng của tứ diện ABCD nên ACBD AD, BC. Tương tự AB CD , vì

vậy ABCD là tứ diện gần đều.

 Hiển nhiên mỗi trục đối xứng phải đi qua trung điểm của một cặp cạnh đối nên nó là đường vng góc chung của các cặp cạnh đối đó theo tính chất 2 ta có (đpcm).

 Nếu ABCD là tứ diện gần đều thì theo tính chất 3 ta có diện tích các mặt bằng

H

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

Ngược lại nếu tứ diện có bốn đường cao bằng nhau thì cũng từ cơng thức 1

V  hS ta có diện tích bốn mặt bằng nhau, theo tính chất 3 ta cũng có đpcm.

 Giả sử O là tâm mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện gần đều ABCD ta sẽ chứng minh

O cũng là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD . Thậy vậy, gọi O O lần lượt là hình 1, 2

chiếu của O trên các mặt ABC và DBC , khi đó O O là tâm đường tròn ngoại tiếp 1, 2các tam giác ABC và DBC . Gọi I là trung điểm của BC . Ta có : ABC  DBC

O IO I

tứ diện, do đó O là tâm mặt cầu nội tiếp. Ngược lại, giả sử tứ diện ABCD có tâm mặt

cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau. Gọi O O là các tiếp điểm của mặt cầu nội tiếp 1, 2

với các mặt ABC và DBC thì O O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tam giác 1, 2 ABC và

DBC và:

Hoàn tồn tương tự ta có: CADCBD BAD, BCD suy ra tổng các góc phẳng tại

180 , và điều này đúng cho tất cả các đỉnh của tứ

diện, vì vậy theo tính chất 1 thì ABCD là tứ diện gần đều.

Hình 1.8

 Giả sử ABCD là tứ diện gần đều, gọi M N lần lượt là trung điểm của , AB CD ,

và O là trung điểm của MN thì O là trọng tâm của tứ diện ABCD . Ta chứng minh

O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . Thật vậy, ta có MN là đường trung trực

của AB và CD nên OAOB OC, OD, lại có

C

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

Ngược lại nếu tâm mặt cầu ngoại tiếp và trọng tâm trùng nhau thì đường thẳng đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối chính là đường vng góc chung của chúng nên

theo tính chất 2 ta có đpcm.

 Tính chất này được suy ra từ hai tính chất 6 và 7.

 Giả sử ABCD là tứ diện gần đều khi đó ta có:

   lần lượt là các góc nhị diện của các cạnh AB BC AC khi đó từ , ,



cos cos cos



Hình 1.9

 Giả sử A A A A là tứ diện gần đều, 1 2 3 4 S S S S là diện tích các mặt đối diện với 1, 2, 3, 4

đỉnh A. Gọi ,  lần lượt là các góc phẳng nhị diện cạnh A A và 1 2 A A 3 4

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

Ngược lại, giả sử tứ diện A A A A có góc nhị diện các cặp cạnh đối bằng nhau, khi 1 2 3 4

đó áp dụng công thức 2 12sin3

S SV

 ta có S1S2 S3S4ABCD là tứ diện đều.

Tứ diện đều

Định nghĩa 1.2: Tứ diện đều là tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau.

Tính chất 1.5:

* Các mặt là các tam giác đều bằng nhau.

* Các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau và đều bằng 0

60 . * Các mặt bên nghiêng đều với đáy.

* Chân đường cao hạ từ 1 đỉnh bất kỳ trùng với trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường trịn ngoại tiếp của mặt đó.

* Tâm mặt cầu ngoại tiếp, tâm mặt cầu nội tiếp và tâm của tứ diện trùng nhau.

(trong đó a

là độ dài ác cạnh của tứ diện).

* Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là

* Các cặp cạnh đối của tứ diện đôi một vng góc với nhau.

* Đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh đối diện bất kỳ là đoạn vng góc chung của các đường thẳng chứa hai cạnh ấy.



</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

 Gọi , ,   là các góc giữa OH với OA OB OC thì , , cos2cos2 cos2 1.

 Gọi , ,A B C là ba góc của tam giác ABC thì a2tanAb2tanBc2tanC.

 Độ dài đoạn thẳng nối trung điểm các cặp cạnh đối bằng nhau.

Tương tự AB CH , do đó H là trực tâm tam giác.

 Gọi I là giao điểm của AH và BC .

BH

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

 Từ trung điểm I của BC kẻ đường thẳng d vng góc với mặt phẳng



OBC ,



gọi J là giao điểm của d với mặt phẳng trung trực của đoạn OA thì J là tâm mặt cầu

B

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

Tính chất 1.7:

Mỗi điều kiện sau là một điều kiện cần và đủ để một tứ diện là tứ diện trực tâm.

 Một tứ diện có hai cặp cạnh đối vng góc.

 Các đoạn thẳng nối các cặp cạnh đối bằng nhau.

 Tổng các bình phương của các cặp cạnh đối bằng nhau.

 Các góc giữa các cạnh đối bằng nhau.

 Chân đường cao hạ từ đỉnh xuống mặt đối diện là trực tâm của mặt đó.

Chứng minh:

AH CD BH CD nên CD



ABH



CD AB. Tương tự ADBC AC, BD

. Ngược lại, giả sử tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối vng góc. Gọi AI là đường cao của hình chóp và E là giao điểm của BI và CD. Kẻ BK AE K, AE, gọi H là giao điểm của AI và BK. Khi đó CDAB và CDBI CDBK. Từ đây suy ra

tương tự ta được bốn đường cao của tứ diện đơi một cắt nhau, khi đó bốn đường cao hoặc đồng phẳng hoặc đồng quy, mặt khác bốn đường cao của tứ diện thì khơng thể đồng phẳng nên chúng đồng quy.

 Gọi , , ,K L M N theo thứ tự là trung điểm của AB BC CD DA thì KLMN là , , ,

bình hành có hai đường chéo bằng nhau khi và chỉ khi nó là hình chữ nhật). Vì vậy ta có đoạn thẳng nối trung điểm các cặp cạnh đối bằng nhau khi và chỉ khi các cặp cạnh đối vng góc ABCD là tứ diện trực tâm (TC1).

 Đặt ABa BC, b CD, c. Ta chứng minh tổng bình phương của hai cặp cạnh đối bằng nhau khi và chỉ khi cặp cạnh còn lại vng góc.

Vậy tứ diện ABCD có tổng bình phương các cặp cạnh đối bằng nhau  tứ diện

ABCD các cặp cạnh đối vng góc  ABCD là tứ diện trực tâm (TC1).

 Ta chứng minh góc giữa các cạnh đối bằng nhau khi và chỉ khi các cặp cạnh đối

vng góc. Gọi α là số đo góc giữa hai cạnh đối (của tất cả các cặp cạnh đối). Giả sử

  . Ta chứng minh trong ba số AB CDcos. ,CB ADcos. ,AC BDcos.  có một

số bằng tổng của hai số còn lại. Dựng hình hộp ngoại tiếp tứ diện ABCD mà mỗi mặt

của hình hộp đi qua một cạnh và song song với cạnh đối diện (hình vẽ). Đặt '= , '

ADx D B y, giả sử x y khi đó theo định lí cơsin ta có:

AD OA OD  OA OD   OA OD  OA OD  Hay:4x2  AB2CD22AB CD. cos



(1).

4y  AB CD 2AB CD. cos (2)

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

Lấy (1) trừ (2) ta được: 22

AB CD  x y . Thiết lập các hệ thức tương tự nữa ta thu được ba số AB CDcos. , CB ADcos. , AC BDcos.  có một số bằng tổng của hai số còn lại. Giả sử :

từ đỉnh xuống mặt đối diện là trực tâm của mặt đó. Ngược lại nếu chân đường cao hạ từ đỉnh xuống mặt đối diện là trực tâm của mặt đó thì ta chứng minh được các cặp cạnh đối vng góc, vì vậy tứ diện này là tứ diện trực tâm.

</div>