Bài giảng xstk nnp (p1 3)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.39 MB, 68 trang )

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

<b>Xác suất & Thống kêBài giảng môn học</b>

<b><small>Trường Đại học Ngân hàng TPHCM – Bộ môn Toán kinh tế</small></b>

<b><small>GV: Nguyễn Ngọc Phụng</small></b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

<b>Phần 1: Tính xác suất của một biến cố</b>

- Phép thử là việc thực hiện một nhóm điều kiện xác định để quan sát một số đặc tính của một số đối tượng

<i><small>Lưu ý: Một phép thử lớn có thể gồm nhiều phép thử nhỏ hơn</small></i>

<b>-</b> Tung 1 con xúc xắc cân đối, và xem số chấm của mặt trên cùng là bao nhiêu?

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

<b>-</b> Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết cục có thể xảy ra của phép thử, được ký hiệu là .

-Tung 1 con xúc xắc cân đối, và

xem số chấm của mặt trên cùng là bao nhiêu?

- Tung 2 con xúc xắc cân đối, và xem số chấm của mặt trên cùng của chúng lần lượt là bao nhiêu?

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

<b>- Nhắc lại về </b>Chỉnh hợp và Tổ hợp

<b>- Giống nhau: Lấy k phần tử phân biệt từ n phần tử phân </b>

<b>- Khác nhau: Chỉnh hợp quan tâm đến thứ tự phần tử lấy </b>

ra, trong khi tổ hợp thì khơng; tổ hợp quan tâm đến những phần tử cuối cùng lấy được là gì. Ký hiệu lần lượt là

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

<b>-</b> Xác suất của biến cố A trong một phép thử là khả năng xảy ra của biến cố A khi thực hiện phép thử đó. Cơng thức

a) 3 bi đỏ.

b) 3 bi cùng màu.

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

<b>-</b> Lưu ý: Khi thay đổi phép thử thì nhìn chung xác suất của biến cố đó là sẽ thay đổi.

a) Tính xác suất lấy được 3 bi đỏ, biết rằng chọn ngẫu nhiên 3 bi từ hộp có 6 bi đỏ và 4 bi xanh.b) Tính xác suất lấy được 3 bi đỏ,

biết rằng chọn ngẫu nhiên 4 bi từ hộp có 6 bi đỏ và 4 bi xanh.

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

a) Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 12 bạn giỏi Toán, 8 bạn giỏi Tin và 4 bạn giỏi cả Toán và Tin. Lớp trưởng chọn ngẫu nhiên 2 bạn trong lớp, tính xác suất cả 2 bạn được chọn đều giỏi ít nhất một trong hai

mơn trên.

b) Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 12 bạn giỏi Toán, 8 bạn giỏi Tin, 6 bạn giỏi

Anh; 4 bạn giỏi Toán và Tin, 3 bạn giỏi Tin và Anh 2 bạn giỏi Toán và Anh; và 1 bạn giỏi cả 3 môn trên. Lớp trưởng chọn ngẫu nhiên 3 bạn trong lớp, tính xác suất cả 3 bạn được chọn đều giỏi ít nhất một trong ba môn trên.

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

 

- Cơng thức tính xác suất của biến cố bù

Chọn ngẫu nhiên 3 bi từ hộp có 6 bi đỏ và 4 bi xanh. Tính xác suất lấy được ít nhất 1 bi đỏ.

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

- Biến cố A biết được rằng đã xảy ra, khi đó xác suất biến cố B xảy ra, được ký hiệu là

- Cơng thức tính

P(B / A)

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

- Tương tự

- Từ đó ta có

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

Có 3!=6 cách triển khai cơng thức. Dưới đây là 2 cách trong số chúng

P(A A A )P(A ).P(A / A ).P(A / A A )P(A ).P(A / A ).P(A / A A )

Một sinh viên A muốn tốt nghiệp phải trải qua 3 kỳ thi lần lượt, đậu kỳ thi trước mới được thi kỳ thi sau. Xác suất đậu kỳ thi 1 là 0,9, nếu đậu rồi thì xác suất đậu kỳ thi 2 là

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

phẩm, các sản phẩm cịn lại trong các hộp là chính phẩm. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 sản phẩm, tính xác

suất lấy được tổng cộng 2 chính phẩm.

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

Kế thừa cơng thức bù và cơng thức xác suất có điều kiện, ta được

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

Trong một trị chơi, xác suất thắng của người chơi ln là 35/72. Biết rằng kết quả mỗi lần chơi là độc lập nhau, tính xác suất người này tham gia trò chơi 5 lần và thắng được 1 lần.

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

<b>B1.11. Công thức Bernoulli 3 kết cục</b>

DC p .C

q .(1 p q) 

P

Nếu ta có một phép thử lớn gồm n phép thử độc lập. Ở mỗi phép thử chỉ có 1 trong 3 biến cố sau xảy ra với xác suất đều là hằng số, P(A)=p, P(B)=q, P(C)=1-p-q.

Khi đó, xác suất của biến cố D trong n phép thử có k phép thử A xảy ra, l phép thử B xảy ra và (n-k-l) phép thử C xảy ra là

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

 <sub>   </sub>

A<sub>1</sub>,...,A<sub>n</sub> là một phép phân hoạch hay một bộ n biến cố xung khắc từng đôi và đầy đủ

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

b) Chọn ngẫu nhiên 3 bi từ một hộp có 8 bi đỏ và 2 bi xanh.

c) Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm từ một kho. Biết rằng trong kho chỉ có phế phẩm và chính phẩm, đồng thời mỗi sản phẩm chỉ được sản xuất từ 1 trong 3 dây chuyền A,B,C độc lập

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

Khi đó, xác suất của một biến cố B bất kỳ sẽ được tính thơng qua cơng thức xác suất đầy đủ sau đây

    

B  <small>11</small>

   

 <small>22</small>

  



P P A P B/A P A P B/A + +P A P B/A

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

Có 2 hộp sản phẩm, hộp một có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm, hộp hai có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm.

a) Chọn ngẫu nhiên một hộp. Hãy xác định phép phân hoạch cho phép thử này.

Từ hộp được chọn, lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm. Tính xác suất lấy ra được 1 chính phẩm.

b) Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ hộp một bỏ vào hộp hai. Hãy xác định phép phân hoạch cho phép thử

Sau đó, lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp hai. Tính xác suất lấy được 2 chính phẩm.

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

Một thùng sản phẩm có 6 hộp loại I và 4 hộp loại II, hộp loại I có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm, hộp loại II có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm.

a) Chọn ngẫu nhiên 1 hộp sản phẩm từ thùng, rồi từ đó lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm. Tính xác suất lấy ra

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

Nếu biết được biến cố B đã xảy ra, thì xác suất biến cố A<sub>i</sub>xảy ra được tính như sau

<sup></sup>

<sup></sup>

B/ B

P A

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

Một kho chứa sản phẩm gồm 2 loại là chính phẩm và phế phẩm. Biết rằng mỗi sản phẩm chỉ được sản xuất từ 1 trong 3 dây chuyền A,B,C độc lập nhau.

Tỉ lệ sản phẩm trong kho được sản xuất từ 3 dây chuyền trên lần lượt là 45%, 35%, 20%. Tỉ lệ phế phẩm được sản xuất bởi dây chuyền A là 2%, dây chuyền B là 3% và dây chuyền C là 5%.

a) Tính tỉ lệ phế phẩm của kho hàng.

b) Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ kho hàng thì nhận được phế phẩm. Hỏi khả năng phế

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

<b>Phần 2: Biến ngẫu nhiên</b>

- Biến ngẫu nhiên là một phép tương ứng mỗi phần tử của Không gian mẫu của một phép thử ngẫu nhiên, với một giá trị thực. Ví dụ:

Tập giá trị của biến ngẫu nhiên X được ký hiệu là

<i>X</i>  

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

- Biến ngẫu nhiên chia làm 2 loại là bnn rời rạc và bnn liên tục dựa vào tập giá trị của chúng.

- Nếu là tập đếm được (hữu hạn hay vơ hạn), thì X được gọi là bnn rời rạc.

- Nếu là tập khơng đếm được (vơ hạn), thì X được gọi là bnn liên tục.

Hãy cho biết các bnn sau là rời rạc hay liên tục? Xác định tập giá trị của nó.

a) Một hộp có 6 bi đỏ và 4 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên 2 bi từ hộp, gọi X là số bi đỏ lấy được.

b) Chiều cao Y (m) của một loại cây trồng trưởng thành dao động từ 1,2m đến 2m.

<b><small>Nguyễn Ngọc Phụng</small></b>

( )

<i>X</i> ( )

<i>X</i> 

</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

- Hàm phân phối xác suất của X được ký hiệu và định nghĩa như sau

<b>B2.2. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên</b>

Hàm phân phối xác suất tại x của biến ngẫu nhiên X cho ta biết xác suất (tỉ lệ) đại lượng X nhận giá trị tối đa là x

Từ đó, ta được cơng thức tính xác suất thơng qua hàm ppxs như sau

</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

- Cho bnn rời rạc X có bảng ppxs như sau

- Hàm phân phối xác suất của X là

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

- Cho bnn liên tục X có hàm mđxs f(x)- Tính chất của hàm mđxs

</div><span class="text_page_counter">Trang 35</span><div class="page_container" data-page="35">

- Cho bnn liên tục X có hàm mđxs f(x)- Khi đó hàm ppxs của X là

Cho bnn liên tục X có hàm mđxs như sau

</div><span class="text_page_counter">Trang 36</span><div class="page_container" data-page="36">

- Kỳ vọng của bnn X được ký hiệu là E(X), là đại lượng đặc trưng cho giá trị trung bình của X theo xác suất.

- Ta có 2 cơng thức tính lần lượt cho bnn rời rạc và liên tục như sau

<b>C2. Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên</b>

- Nếu X là bnn liên tục:

</div><span class="text_page_counter">Trang 37</span><div class="page_container" data-page="37">

 

b) Cho bnn liên tục X có hàm mđxs như sau

</div><span class="text_page_counter">Trang 38</span><div class="page_container" data-page="38">

- Phương sai của bnn X được ký hiệu là Var(X), là đại lượng đặc trưng cho sự dao động giá trị của biến X xung quanh giá trị trung bình của nó.

- Phương sai càng lớn thì khoảng dao động càng rộng và ngược lại.

</div><span class="text_page_counter">Trang 39</span><div class="page_container" data-page="39">

- Đối với hai loại bnn rời rạc & liên tục, ta lần lượt có các cơng thức triển khai như sau

</div><span class="text_page_counter">Trang 40</span><div class="page_container" data-page="40">

- Mode(X) là đại lượng đặc trưng cho giá trị mà X có khả năng nhận được cao nhất trong một phép thử đối với bnn rời rạc, và tương ứng là giá trị cực đại của hàm mđxs đối với bnn liên tục.

Lưu ý: Bnn có thể khơng có Mode hoặc có nhiều Mode.- Median(X) là đại lượng đặc trưng cho giá trị chia đôi phân bố xác suất của bnn. Đối với bnn rời rạc nó khơng có nhiều ý nghĩa, đối với bnn liên tục thì

<b>C2.3. Yếu vị (Mode) & Trung vị (Median)</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 41</span><div class="page_container" data-page="41">

b) Cho bnn liên tục X có hàm mđxs như sau

Hãy xác định giá trị mà có 50% khả năng X sẽ cao hơn giá trị này, cho biết nó là giá trị đặc trưng gì của X?

</div><span class="text_page_counter">Trang 43</span><div class="page_container" data-page="43">

- Độ lệch chuẩn của bnn X được ký hiệu và tính như sau

- Độ lệch chuẩn cũng dùng để đánh giá sự dao

động của bnn xung quanh giá trị trung bình E(X). Nhưng nó thường được sử dụng trong các cơng thức tính tốn hơn so với Var(X), do nó cùng đơn vị với X và E(X).

</div><span class="text_page_counter">Trang 44</span><div class="page_container" data-page="44">

- Hiệp phương sai của 2 bnn X, Y được ký hiệu và định nghĩa như sau

<b>D2.1. Hiệp phương sai (Co-Variance)</b>

- Hiệp phương sai cho chúng ta biết

<b>D2. Các đại lượng đặc trưng hai biến</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 45</span><div class="page_container" data-page="45">

- Hệ số tương quan được xây dựng để đo lường mức độ tương quan mạnh yếu giữa 2 biến ngẫu nhiên, với giá trị trong miền [-1;1].

- Trong số đó nổi bật nhất là hệ số tương quan Pearson được ký hiệu và định nghĩa như sau

</div><span class="text_page_counter">Trang 46</span><div class="page_container" data-page="46">

Làm theo file bài tập tổng hợp, thầy gửi cho lớp

</div><span class="text_page_counter">Trang 47</span><div class="page_container" data-page="47">

<b>Phần 3: Một số phân phối xác suấtthông dụng</b>

<b>A1. Phép thử Bernoulli</b>

Phép thử Bernoulli là phép thử ngẫu nhiên mà kết quả quan tâm đến việc một biến cố A xảy ra (thành công) hay không xảy ra (thất bại), trong đó là một hằng số.

Một chuỗi các phép thử Bernoulli độc lập nhau thường được xét đến trong thực tế và tùy vào trạng thái nghiên cứu mà biến ngẫu nhiên tương ứng sẽ tuân theo quy luật phân phối nào.

<b><small>Nguyễn Ngọc Phụng</small></b>

( )

</div><span class="text_page_counter">Trang 48</span><div class="page_container" data-page="48">

<b>B1. Phân phối Nhị thức (Binomial)</b>

Xét n phép thử Bernoulli độc lập nhau. Gọi X là số phép thử mà biến cố A xảy ra có trong n phép thử đó.

Khi đó ta nói X tuân theo luật phân phối Nhị thức, ký hiệu với<i>X</i> ~ <i>B n p</i>( ; ) <i>X</i> ( )



0..<i>n</i>



Các công thức quan trọng của phân phối

( ) <i><sub>n</sub><sup>k</sup><sup>k</sup></i> (1 )<i><sup>n k</sup></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 49</span><div class="page_container" data-page="49">

xuất một cách độc lập nhau trong khoảng thời gian xem xét. Chọn ngẫu nhiên 20

sản phẩm do người này sản xuất để kiểm tra.

Phân bố xác suất của một số phân phối

nhị thức

</div><span class="text_page_counter">Trang 50</span><div class="page_container" data-page="50">

a) Xác định số phế phẩm nhiều khả năng nhất có trong 20 sản phẩm.

b) Nếu thực hiện việc kiểm tra này nhiều lần (mỗi lần kiểm tra 20 sản phẩm) thì số phế phẩm trung bình có được ở mỗi lần kiểm tra là bao nhiêu?

c) Tính xác suất có ít nhất 1 phế phẩm có trong 20 sản phẩm được kiểm tra.

d) Tính xác suất có từ 5 đến 15 phế

</div><span class="text_page_counter">Trang 51</span><div class="page_container" data-page="51">

<b>B2. Phân phối Nhị thức âm (Negative Binomial)</b>

Thực hiện các phép thử Bernoulli độc lập . Gọi X là số phép thử Bernoulli đã thực hiện cho đến khi biến cố A xảy ra được r lần.

Khi đó ta nói X tuân theo luật phân phối Nhị thức âm, ký hiệu với

</div><span class="text_page_counter">Trang 52</span><div class="page_container" data-page="52">

c) Nếu người đó thực hiện việc nêu trên nhiều lần, hỏi số lần tung trung bình cho đến khi dừng lại là bao nhiêu?

</div><span class="text_page_counter">Trang 53</span><div class="page_container" data-page="53">

<b>B3. Phân phối Poisson</b>

Phân phối Poisson thường dùng cho các biến mô tả số lần xảy ra của một biến cố nào đó trong một khoảng thời gian hoặc không gian.

Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson với tham số được ký hiệu là và có tập giá trị là

<small></small> 



( )

<i>X</i>  

</div><span class="text_page_counter">Trang 54</span><div class="page_container" data-page="54">

Số lần xảy ra tai nạn giao thông hàng năm trên một cung đường là biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với giá trị trung bình là 10.

a) Tính xác suất trên cung đường đó có 15 vụ tai nạn giao thơng xảy ra trong năm tiếp theo.

b) Tính xác suất trên cung đường đó có ít nhất 15 vụ tai nạn giao thông xảy ra trong năm tiếp theo.

c) Bằng một số biện pháp nhằm ngăn

ngừa tai nạn giao thông xảy ra trên cung đường này. Số vụ tai nạn giao thông trung

</div><span class="text_page_counter">Trang 55</span><div class="page_container" data-page="55">

Để hiểu rõ hơn, ta hãy xem một số phân bố xác suất của một vài phân phối Poisson theo hình bên dưới

<b><small>Nguyễn Ngọc Phụng</small></b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 56</span><div class="page_container" data-page="56">

<b>B4. Phân phối đều (Uniform)</b>

Phân phối đều có 2 loại: rời rạc hoặc liên tục, được định nghĩa lần lượt như sau

X được gọi là có phân phối đều rời rạc trên tập trị tự nhiên [a;b] khi mỗi giá trị mà X nhận trên tập này đều có xác suất bằng nhau, được ký hiệu là

</div><span class="text_page_counter">Trang 57</span><div class="page_container" data-page="57">

X được gọi là có phân phối liên tục trên tập trị thực [a;b] khi hàm mật độ xác suất của X trên miền này là hằng số, được ký hiệu là và có hàm mật độ xác suất như sau

</div><span class="text_page_counter">Trang 58</span><div class="page_container" data-page="58">

<b>C1. Phân phối chuẩn (Normal)</b>

X có phân phối chuẩn, ký hiệu là là một phân phối quan trọng thường được sử dụng trong

khoa học tự nhiên lẫn khoa học xã hội.

Ngoài ra nó cịn quan trọng là bởi vì với một số điều kiện nhất định, giá trị trung bình của các quan sát của một biến ngẫu nhiên, có kỳ vọng và phương sai xác định, sẽ hội tụ về phân phối chuẩn khi số quan sát tăng dần.

</div><span class="text_page_counter">Trang 59</span><div class="page_container" data-page="59">

Trường hợp đặc biệt của phân phối chuẩn khi ta được phân phối chuẩn chuẩn tắc

Hàm mđxs của phân phối này như sau

Để tiện sử dụng một số người không sử dụng hàm ppxs

<b>C1.1. Phân phối chuẩn chuẩn tắc (Standard Normal)</b>

Mà sử dụng hàm Laplace được định nghĩa như sau

~ (0;1)

</div><span class="text_page_counter">Trang 60</span><div class="page_container" data-page="60">

Một số lưu ý đối với hàm Laplace này như sau

( ) ( ) 0, 5( ) ( )

</div><span class="text_page_counter">Trang 61</span><div class="page_container" data-page="61">

Từ cơng thức tính xác suất của phân phối chuẩn chuẩn tắc, người ta xây dựng được cơng thức tính xác suất của phân phối chuẩn tổng quát như sau



</div><span class="text_page_counter">Trang 63</span><div class="page_container" data-page="63">

<b><small>Nguyễn Ngọc Phụng</small></b>

d) Chọn ngẫu nhiên 200 trái cây chín loại này. Xác định số trái cây chín có trọng lượng trên 200gram nhiều khả năng nhất có được trong số chúng.

e) Xác định mức trọng lượng mà có 30% số trái cây chín loại này có trọng lượng từ mức đó trở lên.

f) Xác định mức trọng lượng mà có 20% số trái cây chín loại này có trọng lượng từ mức đó trở xuống.

</div><span class="text_page_counter">Trang 64</span><div class="page_container" data-page="64">

g) Trọng lượng của một loại trái cây chín giống mới là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với tỉ lệ quả có trọng lượng trên 240 gram là 3% và tỉ lệ quả có trọng lượng dưới 180gram là 4%.

Hãy xác định trọng lượng trung bình của một trái cây chín loại này và độ lệch chuẩn tương ứng.

Từ đó tính tỉ lệ trái cây chín giống mới này cho trọng lượng trên 220

</div><span class="text_page_counter">Trang 65</span><div class="page_container" data-page="65">

Ta đã biết rằng ở phần trước là

Ngồi ra, nếu X, Y độc lập thì ta cịn có

<b><small>Nguyễn Ngọc Phụng</small></b>

<b>C1.2. Mở rộng phân phối chuẩn</b>

Vậy trong trường hợp nếu ta có

</div><span class="text_page_counter">Trang 66</span><div class="page_container" data-page="66">

Cho biết thêm rằng nếu là n biến độc lập và đều tuân theo phân phối chuẩn thì bất kỳ tổ hợp tuyến tính nào của chúng

đều tuân theo luật phân phối chuẩn.

</div><span class="text_page_counter">Trang 67</span><div class="page_container" data-page="67">