chủ đề 32 bí quyết giải các dạng toán về mặt cầu

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (275.44 KB, 18 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

CHỦ ĐỀ 32: BÍ QUYẾT GIẢI CÁC DẠNG TOÁN VỀ MẶT CẦUA. KIẾN THỨC NỀN TẢNG

1. Sự hình thành mặt cầu, khối cầu:

Mặt cầu: Tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách I một khoảng

Diện tích mặt cầu: S  4 R

Khối cầu: Tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách I một khoảng

 gọi là khối cầu tâm I bán kính R. Như vậy khối cầu bao gồm mặt cầu

và phần khơng gian bên trong mặt cầuThể tích khối cầu: 4 3

2. Phương trình chính tắc của mặt cầu

Mặt cầu (S) có tâm ( ; ; )I a b c và bán kính R thì có phương trình chính tắc là:



x a



2



y b



2



z c



2 R2 (1)

3. Phương trình tổng quát của mặt cầu

Khai triển phương trình (1) ta được: x2y2z2 2ax 2by 2cz a 2b2c2 R2 0Để dễ nhìn ta đặt: A2 ,a B2 ,b C 2 ,c D a 2b2c2 R2

Khi đó ta thu được: 222

Cho mặt cầu ( ) :S



x1



2



y 2



2



z 3



2 25 và mặt phẳng ( ) ( ) : 2 x y  2z m 0. Các giá

trị của m để ( ) và ( )S khơng có điểm chung là

A. m 9 hoặc m 21 B. m  9 hoặc m 21 C. 9m21 D. 9m21

Xét ( ) :S



x1



2



y 2



2



z 3



2 25 I



1; 2;3



và bán kính R 5.Để ( )S và ( ) khơng có điểm chung khi d I P



;( )



R

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

2221.2 2 2.3

52 1 ( 2)

216 15

  

Tổng quát

Ví dụ 2 (Chun Biên Hịa - 2017):

Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S



x 2



2



y1



2



z 3



2 9. Mệnh đề nàođúng?

Xét mặt cầu ( ) :S



x 2



2



y1



2



z 3



2  9 tâm I



2; 1;3



và R 3.

Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz) có phương trình lần lượt là: z0;x0;y0.

Khi đó d I Oxy



;( )



3,d I Oyz



;( )



2,d I Oxz



;( )



1 nên mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oxy).

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

 thì ta có thể dùng phương pháp tham số hóa tọa độ

Gọi H



 1 2 ; 2t   t; 3 t



là chân đường cao hạ từ I xuống d

Khi đó IH



 2 2 ; 4t   t; 6 t



Suy ra IH u  . d 2 2



t 2



      t 4 t 6 0 t 1Suy ra IH  16 9 25 5 2  

Do đó ( ) :S



x1



2



y2



2



z 3



2 50

Tổng kết

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

Mặt cầu (S) tiếp xúc với d thì R IH d I d



;



Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu với các yếu tố cho trướcVí dụ 5 (THPT Hai Bà Trưng - 2017):

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm O, A 1;0;0



và

11 0 0 2.1. 0

Cách 2: Đi từ tâm I của mặt cầu

Gọi ( ; ; )I a b c là tâm mặt cầu thì IO IA IB IC R   

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

0 (2;0;3).2

2 432

 



</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

Gọi R là bán kính khối cầu. Ta có: 4 3

3R    RMặt cầu lại có tâm I



1; 2; 4



nên có phương trình:

V  R , diện tích mặt cầu S  4 R và ta có mối quan hệ V'S và



S dx V. 

Ví dụ 8 (Sở GD-ĐT Phú Thọ - 2017):

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I  



2; 4;5 .



Phương trình nào dưới đây là phương

trình mặt cầu có tâm A và cắt trục Oz tại hai điểm B,C sao cho tam giác ABC vuông.

( ) :P x3y z 1 0. Mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, tiếp xúc với cả  và ( )P . Biết hoành độ điểm I là số

nguyên. Tung độ của điểm I là

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

Dạng 3: Khoảng cách trong các bài tốn về mặt cầu Ví dụ 11 (THPT Lê Q Đôn - 2017):

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2y2z2 4x 2y10z14 0. Mặt phẳng( ) :P x y z   4 0 cắt mặt cầu ( )S theo một đường trịn có chu vi bằng bao nhiêu?

Tâm của mặt cầu là I



1; 2; 5



Ta nhận thấy A mặt cầu. Để AM lớn nhất thì AM là 1 đường kính của hình cầu.

111

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

Gọi H là hình chiếu của I lên đường thẳng d  H t(2 2;2t  1; t 1).

Đường thẳng d có vecto pháp tuyến u d



2; 2; 1



Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A



1;0;0 ,



B



0;0; 2 ,



C



0; 3;0 .



Bán kính mặt cầu ngồi

tiếp tứ diện OABC là

4 C. 14

Giải

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Ngoài cách giải đặt I



a; ;b c rồi thiết lập hệ bậc nhất 3 phương trình 3 ẩn thì ta có thể sử dụng cơng



Cơng thức giải nhanh

Suy ra: OA OB .   0 OAB vuông tại O.

Gọi M là tâm ngoại tiếp OABthì M là trung điểm cạnh huyền AB và  là trục của OAB nên đi

qua M và 



OAB



tại M  (OAB)

Vì tâm I của mặt cầu ngoại tiếp O, A, B thì IA IB IO   I  và IO R

Để IO đạt giá trị nhỏ nhất thì IO d O



;



khi đó I là hình chiếu vng góc của O lên  hay IO  

Lại có  (OAB)  OM  là hình chiếu vng góc của O lên  M I.Vậy tọa độ tâm mặt cầu là I



2;0; 1



Kiến thức

hình chữ nhật và hình vuông là giao điểm 2 đường chéo.

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

Câu 1: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểmA



2;1;0 ,



B 



2;3; 2



và đường thẳng : 1 .

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểmA



1;0;0 ,



B



0;0; 2 ,



C



0; 3;0 .



Bán

kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là

4 C. 14

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểmA



1;2;1 ,



B



3; 1;1 ,



C



1; 1;1 .



Gọi ( )S là1

mặt cầu tâm A, bán kính bằng 2; ( )S và 2 ( )S là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B,C và bán kính đều bằng31. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu ( )S ,1 ( )S ,2 ( )S ?3

( ) :Sx 2 (y1)  z1 9. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường trịn có bán kính bé hơn 3

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

B. (P) tiếp xúc với (S)C. (P) không cắt (S)

D. (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường trịn có bán kính bằng 3

Câu 8: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm I



1; 2;5



và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) có

phương trình là

A.



x1



2(y 2)2



z5



2 2 B.



x1



2(y2)2



z 5



2 2

C.



x1



2(y2)2



z 5



2 4 D.



x1



2(y 2)2



z5



2 4

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểmA



2; 4;0 ,



B



0;0; 4 ,



C



1;0;3 .



Phương

trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là

Câu 13: Trong không gian Oxyz, cho điểmA



3;0; 2



và mặt cầu ( ) :S



x1



2(y2)2



z3



2 25.

Một đường thẳng d đi qua A, cắt mặt cầu tại hai điểm M,N. Độ dài ngắn nhất của MN là:

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

Câu 14: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) :P x y z   6 0,( ) : 2Qx3y 2z 1 0.Gọi

Câu 16: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểmA



1;2;1 ,



B



0;0;3 ,



C



2;1;1 .



Gọi (S) là

mặt cầu có bán kính nhỏ nhất đi qua ba điểm A,B,C. Tính diện tích của mặt cầu (S).

Câu 18: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm (2; 4;1)I và mặt phẳng ( ) :P x y z   4 0. Tìm

phương trình mặt cầu (S) có tâm I sao cho (S) cắt ( )P theo một đường trịn có đường kính là 2.

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

Câu 21: Tìm m để phương trình sau là phương trình của một mặt cầu:

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểmA



1;2;1 ,



B



3; 1;1 ,



C



1; 1;1 .



Gọi ( )S là1

mặt cầu có tâm A, bán kính bằng 2; ( )S và 2 ( )S lần lượt là hai mặt cầu có tâm B,C và bán kính đều bằng31. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu ( )S ,1 ( )S ,2 ( )S ?3

Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu( ) : xS 2y2z2 2x 6y 4 0. Chọn phátbiểu sai.

C. Điểm A



2;3;1



nằm trong mặt cầu (S) D. Điểm A



1; 2;1



nằm ngoài mặt cầu (S)

Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho mặt cầu (S) có tâm I



1; 2;3



và mặt phẳng

( ) : 2Px 2y z  2 0. Biết mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường trịn có bán

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

Câu 28: Mặt cầu (S) có tâm I



1; 2; 3



và đi qua A



1;0;4



có phương trình

A.



x1



2(y2)2



z 3



253 B.



x1



2(y2)2



z3



2 53

C.



x1



2(y 2)2



z 3



2 53 D.



x1



2(y 2)2



z3



2 53

Câu 29: Trong mặt cầu ( ) :S



x1



2(y 2)2



z 3



2 12. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Câu 30: Cho mặt phẳng ( ) : 4 x 2y3z 1 0 và mặt cầu( ) : xS 2y2z2 2x4y6z0. Khi đó,mệnh đề nào sau đây là mệnh đề nào sai?

Câu 31: Phương trình mặt cầu (S) nhận đoạn vng góc chung của 1

 

  

 Mặt phẳng (P) vng góc với  và tiếp xúc với (S )có phương trình là:

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

Câu 34: Cho mặt cầu ( )S có tâm I 



4; 2;0



và bán kính R  104và đường thẳng

 

  

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. d tiếp xúc với S tại điểm có tọa độ là



2; 4; 8



B. d đi qua tâm của S

C. d và S cắt nhau tại 2 điểm có tọa độ là



2; 4; 8



và



2; 6; 2



 Một mặt cầu (S ) tâm thuộc d, tiếp xúc với (P) và cắt (Q) theo một

đường trịn có chu vi 2. Tìm phương trình mặt cầu (S ) có hồnh độ tâm lớn hơn -5

A.



x7



2(y1)2



z 4



24 B.



x5



2(y5)2



z 2



2 4

C.



x3



2(y 5)2



z 7



2 4 D.



x6



2(y3)2z2 4

Câu 38: Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2 x y  2z15 0 và điểm J  



1; 2;1



. Gọi I

là điểm đối xứng của J qua ( ) . Viết phương trình mặt cầu (C) tâm I, biết nó cắt ( ) theo một đườngtrịn có chu vi 8.

A. ( ) :C



x 5



2(y4)2



z 5



2 25 B. ( ) :C



x5



2(y4)2



z 5



2 5

C. ( ) :C



x 5



2(y 4)2



z 5



2 5 D. ( ) :C



x5



2(y 4)2



z 5



2 25

Câu 39: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét mặt cầu (S) đi qua 2 điểm A



1;2;1 ,



B



3; 2;3 ,



có tâm

thuộc mặt phẳng ( ) :P x y  3 0, đồng thời có bán kính nhỏ nhất, hãy tính bán kính R của mặt cầu (S)

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

A. 1B. 2 C. 2D. 2 2

x y z  x y z m  khôngphải là phương trình mặt cầu

 

và hai mặt phẳng (P) và

I thuộc đường thẳng d, tiếp xúc hai mặt phẳng (P) và (Q).

Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) nhận n



3; 4; 5 



là vecto pháp tuyến

và (P) tiếp xúc với mặt cầu ( ) :S



x 2



2(y1)2



z1



2 8.Phương trình của mặt phẳng (P) là:

A. 3x 4y 5z15 0 hoặc 3x 4y 5z 25 0 B. 3x 4y 5z15 0 hoặc 3x 4y 5z 25 0

C. 3x 4y 5z15 0 hoặc 3x 4y 5z25 0 D. 3x 4y 5z15 0 hoặc 3x 4y 5z25 0

Câu 44: Trong không gian tọa độ Oxyz gọi (S) là mặt cầu đi qua 2 điểm A



0; 2;1 ,



B 



2;0;1 ,



có tâm

thuộc mặt phẳng ( ) :P x y z   3 0 và có bán kính nhỏ nhất, hãy tính bán kính R của mặt cầu (S)

( ) : xS y z  2x4y 6z 2 0 vàmặt phẳng ( ) : 2 x y 2z m 0. Giá trị m để ( ) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường trịn có

diện tích bằng 7 là:

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

tích tam giác IAB.

Câu 48: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểmA



1;0;0 ,



B



0;3;0 ,



C



0;0;6 .



Tìm phương

trình mặt cầu (S) tiếp xúc với Oy tại B, tiếp xúc với Oz tại C và (S) đi qua A?

A.



x5



2(y 3)2



z 6



2 61 B.



x 5



2(y 3)2



z6



2 61

C.



x 5



2(y 3)2



z 6



2 61 D.



x 5



2(y3)2



z 6



2 61

Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểmA



2;1;1 ,



mặt phẳng ( ) : x y z   4 0 vàmặt cầu ( ) : xS 2y2z2 6x 6y 8z18 0. Phương trình đường thẳng  đi qua M và nằm trong ( )cắt mặt cầu ( )S theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất là

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

31C32A33C34A35B36A35C38C39D40B

</div>