phân loại và phương pháp giải các dạng toán tìm giá trị của biến trong đẳng thức và bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối toán 7 trung học cơ sở

Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than

1


PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài:
Toán học là bộ môn khoa học đòi hỏi tư duy trừu tượng cao độ, hệ thống
toán học có kết cấu hết sức chặt chẽ, lôgíc và đa dạng. Nhưng trong thực tế
giảng dạy luôn tồn tại mâu thuẫn giữa tầm quan trọng của nó với việc dạy và
học ở trường trung học cơ sở.
Là một giáo viên giảng dạy Toán bậc trung học cơ sở, bản thân tôi lại
được nhà trường trực tiếp giao trách nhiệm bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi
Toán 7 tôi nhận thấy dạng toán “Tìm giá trị của biến trong đẳng thức và bất
đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối” là một trong những dạng toán khó với các
em học sinh lớp 7. Đồng thời học tốt dạng toán này là bước quan trọng để chuẩn
bị cho việc học phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình vô tỉ ở lớp
8, 9 sau này.
Qua quá trình trực tiếp giảng dạy tôi nhận thấy nhiều em còn vướng mắc
về phương pháp giải, quá trình giải thiếu lôgic và chưa chặt chẽ, chưa xét hết
các trường hợp xảy ra. Lí do là học sinh chưa nắm vững biểu thức về giá trị
tuyệt đối của một số, của một biểu thức, chưa biết vận dụng kiến thức này vào
giải bài tập. Nhiều em học sinh còn yếu về kĩ năng nhận dạng, phương pháp giải
không phù hợp. Một số em còn tâm lí lo sợ khi học dạng toán này.
Mặt khác phạm vi kiến thức ở lớp 6, 7 chưa rộng, học sinh mới bắt đầu
làm quen về vấn đề này, nên chưa thể đưa ra đầy đủ các phương pháp giải bài
toán một cách có hệ thống, cần có cái nhìn tổng quát hơn để tìm ra phương pháp
giải dễ hiểu giúp cho việc lĩnh hội kiến thức và nâng cao chất lượng giáo dục.
Chính vì vậy, tôi nghĩ cần phải làm thế nào để học sinh biết áp dụng định
nghĩa tính chất về giá trị tuyệt đối để phân chia được các dạng, tìm ra được
phương pháp giải đối với từng dạng bài. Từ đó học sinh thấy tự tin hơn khi gặp

loại bài tập này và có kỹ năng giải chặt chẽ hơn, có ý thức tìm tòi, sử dụng
phương pháp giải nhanh gọn, hợp lí. Bước đầu hình thành cho các em các kĩ
năng suy luận biến đổi, nhận dạng và thể hiện tốt lời giải bài toán.
Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than

2

Chính vì những lí do trên mà tôi mạnh dạn trình bày một vài kinh nghiệm:
“Phân loại và phương pháp giải các dạng toán tìm giá trị của biến trong
đẳng thức và bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối toán 7 trung học cơ
sở”
II. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:
1. Phạm vi nghiên cứu: Một số dạng toán tìm giá trị của biến trong đẳng thức và
bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối trong chương trình toán lớp 7.
2. Đối tượng nghiên cứu: Phân loại và phương pháp giải các dạng toán tìm giá
trị của biến trong đẳng thức và bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối toán 7
trung học cơ sở.
III. Mục đích nghiên cứu:
- Nghiên cứu dạng toán tìm giá trị của biến trong đẳng thức và bất đẳng thức
chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Đưa ra các phương pháp giải dạng toán trên để học sinh lựa chọn cách giải hay.
- Hạn chế, khắc phục sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải dạng toán này.
IV. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu:
- Các em biết lựa chọn các phương pháp giải toán phù hợp biết tìm nhiều cách
để giải toán, tìm ra cách giải ngắn gọn, thông minh nhất, phù hợp với trình độ
của các em.
- Đặc biệt các em yêu thích môn toán, các em hào hứng thi đua trao đổi thảo
luận sôi nổi khi gặp các bài toán khó. Biết cách trình bày bài giải một cách mạch
lạc, rõ ràng, ngắn gọn.
- Rút ra được những kinh nghiệm cho bản thân và đồng nghiệp khi dạy về dạng

toán này.
- Thời gian nghiên cứu khá dài (hai năm học) nên bản thân tôi đúc rút được
nhiều kinh nghiệm, khắc phục và thay đổi cách làm, hướng đi cho phù hợp tình
hình thực tế.



Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than

3


PHẦN NỘI DUNG
I. Cơ sở lí luận:
Đề tài trên được nghiên cứu trên thực tế giảng dạy, bồi dưỡng học sinh
giỏi về dạng toán tìm x trong đẳng thức, bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Khi dạy về dạng toán này gặp rất nhiều khó khăn do học sinh chưa học về
phương trình, các phép biến đổi tương đương… Các em thường e ngại, lúng
túng, nhầm lẫn không tìm ra hướng giải hoặc thường mắc sai lầm trong lời giải,
tìm được x nhưng chưa đầy đủ còn thiếu trường hợp.
Cần yêu cầu học sinh nắm vững và ghi nhớ các kiến thức cần thiết để giải
bài tập tìm x trong đẳng thức, bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối như:
- Quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế.
- Tìm x trong đẳng thức.
- Thực hiện phép tính, chuyển vế … đưa về dạng ax = - b

x =
a
b


- Định lí và tính chất về giá trị tuyệt đối.
0
| |
0
A k h i A
A
A k h i A




 

; |A| = |-A| ; |A|  0
- Định lí về dấu nhị thức bậc nhất.
Phương pháp chung để tìm giá trị của biến trong đẳng thức và bất đẳng
thức chứa dấu giá trị tuyệt đối là xét các khoảng giá trị của biến để lập bảng xét
dấu rồi khử dấu giá trị tuyệt đối. Bên cạnh đó ta còn có thể trình bày thành các
cách giải đơn giản hơn với một số dạng cơ bản như:
Dạng 1: Dạng |A(x)| = B với B  0
Dạng 2: |A(x)| = B(x) (trong đó B(x) là biểu thức chứa biến x)
Dạng 3: |A(x)| = |B(x)| hay |A(x)| - |B(x)| = 0
Dạng 4: |A(x)| + |B(x)| = 0
Dạng 5: |A(x)| < B hoặc |A(x)| > B (B là hằng số dương)
II. Thực trạng của vấn đề:
Dạng toán liên quan đến giá trị tuyệt đối là dạng toán trừu tượng và quan
trọng vì nó được sử dụng nhiều trong quá trình dạy Toán ở lớp 8, 9 và cấp
Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than

4

THPT, Việc nắm vững dạng toán này ở lớp 7 sẽ là nền tảng cơ bản cần thiết để
các em có thể tiếp thu những kiến thức cao hơn ở các lớp học sau.
Trong toán học: “tìm x trong đẳng thức, bất đẳng thức chứa dấu giá trị
tuyệt đối” là một vấn đề trừu tượng nhưng nó lại góp phần giải quyết các bài
toán phức tạp sau này. Khi gặp các dạng toán này bản thân tôi và các em học
sinh thấy được một số thuận lợi và khó khăn như sau:
1) Thuận lợi:
- Trường THCS Mường Than đã đạt chuẩn quốc gia và luôn được sự quan tâm
giúp đỡ của các cấp lãnh đạo Đảng và Nhà nước. Sở giáo dục, Phòng giáo dục
và Ban giám hiệu nhà trường thường xuyên quan tâm tới tất cả các hoạt động
của trường.
- Bên cạnh đội ngũ giáo viên nhiều kinh nghiệm nhà trường còn có một đội ngũ
thầy cô giáo trẻ, khoẻ, nhiệt tình và hăng say công việc.
- Đa số các học sinh đều ham thích học bộ môn toán.
2) Khó khăn:
+ Về khách quan:
- Trường THCS Mường Than có phần lớn HS là con em dân tộc, cuộc sống của
các em còn gặp nhiều khó khăn. Ngoài giờ lên lớp các em còn phải phụ giúp gia
đình để kiếm sống cho nên các em không thực hiện tốt được việc tự học ở nhà.
- Trong thời đại thông tin, khoa học kỹ thuật phát triển, nhiều trò vui chơi giải trí
như điện tử, bi a, đã làm một số em sao nhãng việc học tập của mình dẫn tới
kết quả học tập bị giảm sút.
- Bên cạnh những gia đình quan tâm chu đáo cho việc học tập của con em mình
còn một số gia đình chưa quan tâm tới việc học tập của các em do còn phải lo
cho việc làm ăn kinh tế, lao động kiếm sống hàng ngày. Từ sự quản lí không
chặt chẽ của gia đình dẫn tới các em quen thói chơi bời, tụ tập và tư tưởng ỷ nại,
lười học dần dần xuất hiện.
+ Về chủ quan:

- Trong chương trình đại số lớp 7, việc tìm giá trị của biến trong đẳng thức, bất
đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối với học sinh còn gặp những khó khăn
Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than

5

như kiến thức chưa được tường minh, lời giải chưa được trình bày một cách đầy
đủ và chính xác. Học sinh thường mắc một số sai lầm cơ bản như: Chưa xác
định xem đẳng thức có xảy ra không đã thực hiện các phép biến đổi hoặc khi tìm
được x đã kết luận ngay không đối chiếu với điều kiện để chọn x rồi kết luận.
Học sinh thường bỏ qua phép biến đổi tương đương mà trình bày rời rạc không
theo một qui trình, không khoa học, thiếu thẩm mĩ.
- Mức độ kiến thức của dạng toán tìm x có chứa dấu giá trị tuyệt đối tương đối
trừu tượng và phức tạp.
- Do những khó khăn nêu trên và khi chưa áp dụng đề tài tôi khảo sát 30 học
sinh lớp 7 trường THCS Mường Than năm học 2011 - 2012; 2012 - 2013 với đề
bài:
Tìm x biết:
a) |2x – 5| = 7 (5điểm)
b) |x – 5| < 8 (5 điểm)
Kết quả đạt được như sau:
Giỏi Khá Trung bình Yếu
Năm học
SL % SL % SL % SL %
2011 - 2012 0 0 3 10 10 33,3 17 56,7
2012 - 2013 0 0 1 3,3 11 36,7 18 60


Nguyên nhân chủ yếu của những khó khăn trên là:
- Mức độ nắm kiến thức và kĩ năng vận dụng làm bài của đa số học sinh còn yếu.

- Học sinh không nắm được các kiến thức cơ bản, không nhận dạng được các
dạng bài toán tìm x có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Học sinh còn lúng túng trong việc sử dụng định nghĩa và các tính chất của giá
trị tuyệt đối:
0
| |
0
A k h i A
A
A k h i A




 


- Không đặt điều kiện đã phá dấu giá trị tuyệt đối.
- Khi tìm được x, bỏ quên bước so sánh với điều kiện mà kết luận ngay.
- Giáo viên chưa phân biệt cho học sinh thấy rõ được các dạng bài toán cơ bản
của tìm x có chứa dấu giá trị tuyệt đối .
Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than

6

- Giáo viên xem nhẹ việc nhắc lại kiến thức cũ cho học sinh mà tập chung chủ
yếu cho nội dung bài học mới.
Qua thực tế giảng dạy và kết quả bài làm khảo sát của 30 học sinh tôi
nhận thấy sai lầm mà các em thường mắc phải nhất là:
* Sai lầm do không nắm vững kiến thức.

Ví dụ: Tìm x biết: |x + 5| - x = 3
Các em giải:
+ Bước 1: |x + 5| - x = 3


x + 5 – x = 3
+ Bước 2: 0x = - 2
+ Bước 3: Không tìm được giá trị nào của x thỏa mãn đề bài yêu cầu.
Nhận xét
: Các em sai ngay ở bước 1, bỏ ngay dấu giá trị tuyệt đối, cho rằng
|A| = A mà không cần điều kiện gì của A.
Có em giải cách khác:
+ Bước 1: Đưa về dạng | x + 5| = 3 + x
+ Bước 2: x + 5 = x + 3 hoặc x + 5 = -(3 + x)
+ Bước 3: 0x = - 2 hoặc 2x = - 8


x = - 4
Nhận xét: Các em sai ở bước 2, nguyên nhân dẫn đến sai lầm này là do các em
không nắm vững kiến thức, chưa hiểu được ở đây 3 + x có chứa biến x (nên
chưa khẳng định được 3 + x

0 hay 3 + x < 0 để giải tiếp).
* Sai lầm do chủ quan mặc dù nắm vững kiến thức.
Ví dụ : Tìm x biết | 2x – 3| = 5
Học sinh chủ quan vội vàng cho rằng cần xét giá trị của biến để 2x – 3  0
hoặc 2x – 3 < 0 và giải 2 trường hợp tương ứng, trong khi ở đây đẳng thức luôn
xảy ra (vì 5 > 0). Cách làm này của học sinh chưa nhanh gọn.
Khi tôi áp dụng đề tài này vào quá trình hướng dẫn học sinh giải được
bài, hiểu rất rõ cơ sở của việc giải bài toán đó. Các em đã biết lựa chọn ngay

cách giải nhanh.
Cụ thể : |2x - 3| = 5 (vì 5 > 0)
Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than

7



2 3 5 2 8
2 3 5 2 2
x x
x x
  
 

 
  
 


4
1
x
x







III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề.
Do khả năng nhận thức và suy luận của học sinh trong mỗi lớp chưa đồng
bộ nên việc áp dụng lí thuyết cơ bản của dạng tìm giá trị của biến trong đẳng
thức và bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối còn gặp rất nhiều khó khăn, đa
phần học sinh chưa có kỹ năng giải dạng toán này vì các em chưa biết bài toán
đó cần áp dụng phương pháp nào để giải cho kết quả đúng nhất, nhanh nhất và
đơn giản nhất.
Nắm bắt được tình hình trên trong tiết dạy tự chọn tôi đã đưa ra các dạng
bài tập khác nhau để phân loại cho phù hợp với khả năng nhận thức của từng đối
tượng. Để giúp các em phát triển tư duy suy luận và óc phán đoán, kỹ năng trình
bày linh hoạt. Tôi đã đưa ra hệ thống bài tập từ dễ đến khó, bên cạnh đó cũng có
những bài tập nâng cao. Lượng bài tập cũng tương đối nhiều nên các em có thể
tự học, tự chiếm lĩnh tri thức thông qua hệ thống bài tập áp dụng này, điều đó
giúp các em hứng thú học tập hơn rất nhiều.
Ngoài ra còn phối hợp với giáo viên chủ nhiệm, gia đình học sinh thường
xuyên quan tâm tới các em động viên giúp đỡ nhiệt tình, tạo điều kiện thuận lợi
cho việc học của các em.
Bên cạnh đó tôi thường xuyên hướng dẫn, sửa chữa chỗ sai cho học sinh,
lắng nghe ý kiến của các em. Cho học sinh ngoài làm việc cá nhân còn phải
tham gia trao đổi nhóm khi cần thiết. Tôi yêu cầu học sinh phải tự giác, tích cực,
chủ động, có trách nhiệm với bản thân và tập thể.
Từ định nghĩa, tính chất về giá trị tuyệt đối hướng dẫn học sinh phân chia
từng dạng bài, phát triển từ dạng cơ bản sang các dạng khác, từ phương pháp
giải dạng cơ bản, dựa vào định nghĩa, tính chất về giá trị tuyệt đối tìm tòi các
phương pháp giải khác đối với mỗi dạng bài, loại bài. Cụ thể như sau:

Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than

8

1. Một số dạng cơ bản:
1.1. Dạng cơ bản |A(x)| = B với B  0.
1.1.1. Cách tìm phương pháp giải:
Đẳng thức trên có xảy ra không? Vì sao? Nếu đẳng thức xảy ra thì cần sử
dụng kiến thức nào để bỏ được dấu giá trị tuyệt đối (ta sử dụng tính chất giá trị
tuyệt đối của hai số đối nhau thì bằng nhau).
1.1.2. Phương pháp giải:
Ta lần lượt xét: + Trường hợp 1: A(x) = B.
+ Trường hợp 2: A(x) = -B.
1.1.3. Ví dụ:
Ví dụ 1
: Tìm x biết |x - 2| = 5
Đặt câu hỏi bao quát chung cho bài toán:
Đẳng thức có xảy ra không? Vì sao?
(có xảy ra vì |A|  0 , 5 > 0). Đây là dạng cơ bản đầu tiên của đẳng thức chứa
dấu giá trị tuyệt đối nên cần hướng dẫn học sinh tìm tòi và nắm vững các kiến
thức để giải, để bỏ được dấu giá trị tuyệt .Giáo viên trình bày bài tập mẫu, lưu ý
cho các em về các bước giải bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Bài giải
|x - 2| = 5 ( 5 > 0)

2 5
2 5
7
3
x
x
x
x

 



  





 


Vậy x = 7 hoặc x = -3
Ví dụ 2
: Tìm x biết: |2x – 1| + 3 = 2
Có học sinh giải như sau:
|2x – 1| + 3 = 2

2 1 1 0
2 1 1 1
x x
x x
   
 
 
 
  
 

Vậy x = 0 hoặc x = 1.
Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than

9

Cách giải ở ví dụ 2 của bạn học sinh bị sai. Mục đích ở đây là tôi muốn
giúp học sinh nhận dạng và phương pháp giải dạng 1 cần lưu ý đến B

0 hay
không? Do đó chỉ rõ lỗi sai lầm của học sinh và giải lại như sau:
Cách giải đúng: |2x – 1| + 3 = 2
|2x – 1| = - 1
Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn |2x – 1| = - 1.
Từ ví dụ đơn giản, phát triển đưa ra các ví dụ có độ khó được nâng dần lên.
Nhận xét
: Sau mỗi ví dụ tôi lưu ý cho các em phương pháp chung giải dạng
toán đó. Nếu có điểm khác biệt riêng giữa các ví dụ các em cần tìm hiểu và so
sánh chúng với nhau. Một bài toán có thể có nhiều con đường để giải.
1.2. Dạng |A(x)| = B(x) (trong đó B(x) là biểu thức chứa biến x)
1.2.1. Cách tìm phương pháp giải:
Đẳng thức có xảy ra không? Vì sao?
Học sinh thấy được rằng đẳng thức không xảy ra nếu B(x) < 0
(tôi nhấn mạnh thêm: chúng ta đã vừa tìm hiểu ở ví dụ 2).
=> Cần áp dụng kiến thức nào để có thể dựa vào dạng cơ bản trên để suy luận
tìm ra cách giải không? Có thể tìm ra mấy cách?
1.2.2. Phương pháp giải:
- Học sinh có thể hình thành nên cách giải từ mâu thuẫn ở ví dụ 2.
Cách 1
: (Dựa vào tính chất) |A(x)| = B(x)
( ) ( )

( ) ( )
A x B x
A x B x




 


(giải 2 trường hợp với điều kiện B(x)  0)
Cách 2:
Dựa vào định nghĩa xét các quá trình của biến của biểu thức chứa dấu
giá trị tuyệt đối để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
|A(x) | = B(x)
+ Xét A(x)  0

x = ? Ta có A(x) = B(x) (giải để tìm x thoả mãn A(x)  0).
+ Xét A(x) < 0

x = ? Ta có A(x) = - B(x) (giải để tìm x thoả mãn A(x) < 0).
+ Sau đó kết luận về giá trị của x .
Chú ý
: Qua hai dạng trên tôi cho học sinh phân biệt rõ sự giống nhau (đều chứa
1 dấu giá trị tuyệt đối) và khác nhau (|A(x)| = k

0 dạng đặc biệt vì k > 0) của
Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than

10

2 dạng.
Điểm mới ở đây là tôi đã nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ được phương
pháp giải loại đẳng thức chứa 1 dấu giá trị tuyệt đối, đó là đưa về dạng cơ bản
|A(x)| = B(x) (Nếu B(x)

0 đó là dạng đặc biệt, còn nếu B(x) < 0 thì đẳng thức
không xảy ra).
1.2.3. Ví dụ:
Ví dụ 3: Tìm x biết: |9 - 7x| = 5x - 3
Cách 1: Điều kiện: 5x – 3 ≥ 0

5x  3

x 
5
3

Khi đó: |9 - 7x| = 5x - 3

9 7 5 3 12 12 1
9 7 (5 3) 2 6 x = 3
x x x x
x x x
    
  
  
  
   
  

Vậy x = 1 hoặc x = 3
Cách 2:

+ Xét 9 - 7x  0

7x ≤ 9

x ≤
7
9

Ta có: 9 – 7x = 5x – 3


x = 1 (thoả mãn).
+ Xét 9 - 7x < 0

7x > 9

x >
7
9

Ta có: - 9 + 7x = 5x – 3


x = 3 (thoả mãn).
Vậy x = 1 hoặc x = 3.
Sau khi giải xong yêu cầu học sinh so sánh 2 cách giải để tìm con đường

tối ưu.
Trong 2 cách giải trên thì cách giải 1 sẽ thuận lợi ngắn gọn hơn cho học
sinh trong việc giải bài tập.
1.3. Dạng 3: |A(x)| = |B(x)| hay |A(x)| - |B(x)| = 0
1.3.1. Cách tìm phương pháp giải:
Trước hết tôi cho các em quan sát, rút ra nhận xét đây là dạng đặc biệt (vì
đẳng thức luôn xảy ra do cả 2 vế đều không âm), từ đó các em tìm tòi hướng
giải.
Cần áp dụng kiến thức nào về giá trị tuyệt đối để bỏ được dấu giá trị tuyệt
Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than

11

đối và cần tìm ra phương pháp giải ngắn gọn. Có hai cách giải: Xét các trường
hợp xảy ra của A(x) và B(x) (dựa theo định nghĩa) và cách giải dựa vào tính
chất 2 số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau để suy ra ngay A(x) = B(x);
A(x) = - B(x) (vì ở đây cả hai vế đều không âm do |A(x)| ≥ 0 và |B(x)| ≥ 0). Để
học sinh lựa chọn ra cách giải nhanh, gọn, hợp lí để các em có ý thức tìm tòi
trong giải toán, vận dụng tốt trong quá trình học tập.
1.3.2. Phương pháp giải:
Cách 1:
Xét các trường hợp xảy ra của A(x) và B(x) để phá giá trị tuyệt đối.
Cách 2: Dựa vào tính chất hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau ta tìm x
thoả mãn một trong hai điều kiện A(x) = B(x) hoặc A(x) = -B(x)
1.3.3. Ví dụ:
Ví dụ1:
Tìm x biết |x + 2| = |6 - x|
|x + 2| = |6 - x|
2 6 2 4 2
2

2 6 0 8 0 8 ( ô lí)
x x x x
x
x x x x v
    
  
    
  
    
  

Vậy x = 2
Ví dụ 2
: Tìm x biết: |x - 3| + |x + 2| =7
Để khử các dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét khi nào x – 3  0 và x + 2  0.
Ta có thể trình bày theo các bước sau:
Bước 1: Lập bảng xét dấu:
Trước hết cần xác định nghiệm của nhị thức:
x – 3 = 0

x = 3
x + 2 = 0

x = -2
Lập bảng xét dấu ta có:
x -2 3
x – 3 - - 0 +
x + 2 - 0 +

+

Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu các trường hợp xảy ra theo các khoảng giá trị của
biến.
 Trường hợp 1:
Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than

12

Nếu x  - 2 ta có x - 3  0 và x  2  0 nên x - 3 3 - x và x + 2= - x – 2
Đẳng thức trở thành: 3 - x – x –2 = 7


-2x + 1 = 7


-2x = 6


x = -3 ( thoả mãn x  -2)
+ Trường hợp2: Nếu 2

x  3 ta có x - 3= 3 - x và x + 2= x + 2
Đẳng thức trở thành: 3 - x + x +2 = 7

0x + 5 = 7 (vô lí)
Nếu x

3 đẳng thức trở thành:
x - 3 + x + 2 = 7


2x – 1 = 7


2x = 8


x = 4 (thoả mãn x

3)
Vậy x = -3 ; x = 4
Chú ý: Qua 2 cách giải trên tôi cho học sinh so sánh để thấy được lợi thế trong
mỗi cách giải. Ở cách giải 2 thao tác giải sẽ nhanh hơn, dễ dàng xét dấu trong
các khoảng giá trị hơn, nhất là đối với các dạng chứa 3; 4 dấu giá trị tuyệt đối
(các em cần quan sát, có ý thức lựa chọn phương pháp giải sao cho phù hợp).
Tuy nhiên với cách giải 2 (lập bảng xét dấu) sẽ dễ mắc sai sót về dấu trong khi
lập bảng, nên khi xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối cần phải hết
sức lưu ý và tuân theo đúng qui tắc lập bảng như ví dụ dưới đây:
Ví dụ 3 : Tìm x biết  x - 4  +  x - 9  =5
Lập bảng xét dấu:
x 4 9
x - 4 - 0 + +
x - 9 - - 0 +
Xét các trường hợp xảy ra, trong đó với x  9 thì đẳng thức trở thành:
x - 4 + x - 9 = 5. Khi đó x = 9 thỏa mãn x  9, như vậy nếu không kết hợp với
x = 9 để x – 9 = 0 mà chỉ xét tới x  9 để x - 9  0 thì sẽ bỏ qua mất giá trị x = 9
1.4. Dạng 4: |A(x)| + |B(x)| = 0
1.4.1. Cách tìm phương pháp giải:
Với dạng này tôi yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức về đặc điểm của giá
trị tuyệt đối của một số (giá trị tuyệt đối của một số là một số không âm).Vậy

Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than

13

tổng của hai số không âm bằng không khi nào? (cả hai số bằng 0). Vậy ở bài này
tổng trên bằng 0 khi nào? (A(x) = 0 và B(x) = 0). Từ đó ta tìm x thoả mãn hai
điều kiện: A(x) = 0 và B(x) = 0.
1.4.2. Phương pháp giải:
Ta tìm x thoả mãn hai điều kiện A(x) = 0 và B(x) = 0.
1.4.3. Ví dụ: Tìm x biết: |x + 1| + |x
2
+ x| = 0
Bài giải:
|x + 1| + |x
2
+ x| = 0


|x + 1| = 0 và |x
2
+ x| =0
+ Xét |x + 1| = 0


x + 1 = 0


x = -1 (1)
+ Xét |x
2

+ x| = 0


x
2
+ x = 0


x(x + 1) = 0

0
1 0
x
x




 





0
1
x
x




 

(2)
Từ (1) và (2) suy ra x = -1
Chú ý:
Ở dạng này tôi lưu ý cho học sinh khi tìm được giá trị đề bài yêu cầu thì giá
trị đó cần phải thay vào các đẳng thức |A(x)| = 0 và |B(x)| = 0 sao cho hai đẳng
thức này thỏa mãn.
1.5. Dạng: |A(x)| < B hoặc |A(x)| >B.
1.5.1. Phương pháp giải:
- Trường hợp |A(x)| < B

- B < A(x) < B (B là hằng số dương)
- Trường hợp |A(x)| > B

A(x) > B hoặc A(x) < -B
Việc đưa ra phương pháp giải cụ thể, nhấn mạnh dấu của biểu thức giúp các em
dễ dàng giải được bài tập, tránh mắc sai lầm trong lời giải.
Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than

14

1.5.2. Ví dụ:
Tìm x, biết: |3 – 8x| < 19
Bài giải:
|3 – 8x| < 19


- 19 < 3 – 8x < 19



11
2
4
x
  

Chú ý: Sau khi học sinh hiểu được cách giải dạng toán này sẽ vận dụng linh
hoạt vào các dạng toán khác có liên quan đến giá trị tuyệt đối, chuẩn bị cơ sở
vững chắc cho việc giải bất phương trình (toán 8).
2. Dạng mở rộng:
Từ những dạng cơ bản đó đưa ra các dạng bài tập mở rộng khác về loại
toán này: dạng lồng dấu, dạng chứa từ 3 dấu giá trị tuyệt đối trở lên.
2.1. Dạng lồng dấu giá trị tuyệt đối:
2.1.1. Cách tìm phương pháp giải:
Với bài tập chứa lồng dấu giá trị tuyệt đối trước hết tôi cũng hướng dẫn
học sinh xác định dạng bài, rồi tìm cách giải quyết, xét xem cần bỏ dấu giá trị
tuyệt đối bằng cách nào? Phải trải qua mấy lần? Và áp dụng cách bỏ dấu giá trị
tuyệt đối nào? (Chẳng hạn bỏ dấu từ ngoài vào trong để đưa bài tập từ phức tạp
đến đơn giản.)
2.1. 2. Phương pháp giải:
Ta phá dấu giá trị tuyệt đối theo thứ tự từ ngoài vào trong. Tuỳ theo đặc
điểm của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối thuộc dạng cơ bản nào thì ta áp
dụng phương pháp của dạng cơ bản đó.
2.1.3. Ví dụ: Tìm x biết: ||x - 5| + 9| = 10
Bài giải:
||x - 5| + 9| = 10
|x - 5| + 9 = 10 hoặc |x - 5| + 9 = -10

+ Xét |x - 5| + 9 = 10


|x - 5| = 1
Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than

15


5 1
5 1
x
x
 



  



6
4
x
x








+ Xét |x - 5| + 9 = -10


|x - 5| = -19 (loại vì |x - 5|  0)
Vậy x = 6 hoặc x = 4.
Chú ý: Qua ví dụ tôi lưu ý cho các em kĩ hơn các bước làm vì dạng toán này khó
hơn các dạng toán trước dễ nhầm lẫn hơn.
2.2. Dạng chứa ba dấu giá trị tuyệt đối trở lên:
2.2.1. Cách tìm phương pháp giải:
Với dạng này có nên dùng cách xét các giá trị của các biểu thức trong dấu
giá trị tuyệt đối không? (Không nên dùng vì cách đó lâu và rối), vậy nên phá các
giá trị tuyệt đối bằng cách nào nhanh, gọn hơn? (Lập bảng xét dấu để bỏ giá trị
tuyệt đối).
2.2.2. Phương pháp giải:
Với dạng này học sinh nên xét các khoảng giá trị, lập bảng xét dấu rồi khử
dấu giá trị tuyệt đối.
2.2.3. Ví dụ: Tìm x biết:  x - 1 - 2 x - 2 + 3 x - 3 = 4 (1)
Bài giải :
Xét x - 1 = 0

x = 1
x – 2 = 0

x = 2
x – 3 = 0

x = 3
Ta có bảng xét dấu các đa thức x - 1; x - 2; x - 3 sau:

x 1 2 3
x - 1 - 0 + + +
x - 2 - - 0 + +
x - 3 - - - 0 +
*Xét: x ≤ 1 (1)

1 - x – 2(2 – x) + 3(3 – x) = 4


1 – x – 4 + 2x + 9 – 3x = 4
Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than

16



x = 1 (thỏa mãn)
*Xét 1 < x ≤ 2: (1)

x - 1 - 2(2 - x) + 3(3 - x) = 4


x - 1- 4 + 2x + 9 - 3x = 4


0x = 0 (thoả mãn với mọi x)


1 < x ≤ 2
*Xét 2 < x ≤ 3 (1)


x - 1 - 2(x - 2) + 3(3 - x) = 4


x - 1 - 2x + 4 + 9 - 3x = 4


x = 2 (loại)
*Xét x > 3 (1)

x - 1 - 2(x - 2) + 3(x - 3) = 4


x - 1 - 2x + 4 + 3x - 9 = 4


x = 5 (thỏa mãn)
Vậy: 1 ≤ x ≤ 2 và x = 5
Nhận xét
: Với dạng toán này tôi luôn lưu ý các em về việc lập bảng xét dấu và
xét hết các trường hợp. Sau khi xét riêng từng trường hợp thì phải kết hợp lại và
rút ra kết luận.
3. Phương pháp giải và cách tìm phương pháp giải:
Sau khi giới thiệu cho học sinh hết các dạng bài tôi chốt lại cho học sinh:
3.1. Phương pháp giải dạng toán “tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị
tuyệt đối”:
Phương pháp 1
:
Sử dụng tính chất |A| = |-A| và |A|  0 để giải các dạng |A| = |-A| và
|A(x)| = |B(x)|, |A(x)| = B(x).

Phương pháp 2:
Xét khoảng giá trị của biến (dựa vào định nghĩa) để bỏ dấu giá trị tuyệt đối,
thường sử dụng để giải đối với dạng |A(x)| = B(x) hay |A(x)| = |B(x)| + C (nhưng
đây là dạng cơ bản nhất để giải loại toán này).
Phương pháp 3:

Lập bảng xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối để xét các trường
hợp xảy ra, áp dụng đối với đẳng thức chứa từ hai dấu giá trị tuyệt đối trở lên.
3.2. Cách tìm tòi phương pháp giải:
Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than

17

Bản chất của phương pháp giải các dạng bài tập tìm x trong đẳng thức
chứa dấu giá trị tuyệt đối, đó là tìm cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
+ Trước tiên ta phải xác định được dạng bài rơi vào dạng đặc biệt không.
Nếu là dạng đặc biệt |A| = B (B  0) hay |A| = |B| thì áp dụng tính chất về giá trị
tuyệt đối (giải bằng phương pháp 1 đã nêu) không cần xét tới điều kiện của biến.
+ Khi đã xác định được dạng cụ thể chọn cách nhanh gọn hơn để giải.
+ Khi chọn được phương pháp giải thì giải bài toán, đồng thời giải xong
thì phải đối chiếu kết quả tìm được để kết luận giá trị của biến tìm được có phù
hợp với điều kiện không, tránh đề thừa hoặc thiếu kết quả.
IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.

Khi áp dụng đề tài nghiên cứu này vào giảng dạy học sinh lớp tôi dạy đã
biết cách làm các dạng bài toán tìm giá trị của biến trong đẳng thức và bất đẳng
thức chứa dấu giá trị tuyệt đối một cách nhanh và gọn. Học sinh không còn lúng
túng và thấy ngại khi gặp dạng bài tập này, các em yêu thích môn học hơn, chất
lượng bộ môn tăng lên, công tác bồi dưỡng học sinh giỏi hiệu quả hơn.
Trong 2 năm áp dụng liên tiếp vào quá trình giảng dạy tôi đã thu hoạch

được một số kết quả có sự chuyển biến khá rõ rệt. Cụ thể khi điều tra 30 học
sinh lớp 7 trường THCS Mường Than với đề bài sau:
Tìm x biết:
a) |5x + 4| + 7 = 26
b) 8 - |4x +1| = x + 2
c) |2x – 5| + 4 > 25
Kết quả nhận được như sau:
- Học sinh của tôi không còn lúng túng về phương pháp giải cho từng dạng
bài trên.
- Biết lựa chọn cách giải hợp lí, nhanh, gọn.
- Hầu hết đã trình bày được lời giải chặt chẽ.
- Đã biết trình bày nhiều cách giải khác nhau trong mỗi dạng toán.
* Kết quả cụ thể như sau:
Giỏi Khá Trung bình Yếu
Năm học
SL % SL % SL % SL %
2011 - 2012 4 13,3 12 40 12 40 2 6,7
2012 - 2013 7 23,3 15 50 8 26,7 0 0

Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than

18


PHẦN KẾT LUẬN

I. Những bài học kinh nghiệm.
Thông qua việc nghiên cứu đề tài và những kinh nghiệm từ thực tiễn giảng
dạy, cho phép tôi rút ra một số kinh nghiệm sau:
- Đối với học sinh:

+ Đối với học sinh yếu kém: Cần có một quá trình liên tục được củng cố và
sửa chữa sai lầm, cần rèn luyện các kỹ năng để học sinh có khả năng nắm được
phương pháp, cho học sinh bài tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không
nên dẫn các em đi quá xa nội dung sách giáo khoa, chú ý sửa ngay các lỗi nhỏ,
nhấn mạnh, thường xuyên quan tâm tới các em.
+ Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần chú ý cho học sinh chỉ nắm chắc
các phương pháp cơ bản, kĩ năng biến đổi, kĩ năng thực hành và việc vận dụng
từng phương pháp đa dạng hơn vào từng bài tập cụ thể, luyện tập khả năng tự
học, gợi sự say mê hứng thú học, kích thích và khơi dậy óc tìm tòi, chủ động
chiếm lĩnh kiến thức.
+ Đối với học sinh khá giỏi: Ngoài việc nắm chắc các phương pháp cơ bản,
ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm các phương pháp nâng cao khác, các bài tập
dạng mở rộng giúp các em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương tự hoá
vấn đề để việc giải toán tốt hơn. Qua đó tập cho học sinh thói quen tự học, tự
tìm tòi sáng tạo, khai thác cách giải, khai thác bài toán khác nhằm phát triển tư
duy một cách toàn diện cho quá trình tự nghiên cứu của các em.
- Đối với giáo viên:
Khi nghiên cứu đề tài này tôi đã rút ra một số bài học cho bản thân trong
việc bồi dưỡng học sinh khá - giỏi. Những bài học đó là:
+ Hệ thống kiến thức bổ trợ cho dạng toán sắp dạy.
+ Hệ thống các phương pháp cơ bản để giải loại toán đó, phân chia dạng
và dạy học phù hợp với đối tượng học sinh, đối tượng vùng miền.
+ Khái quát hoá, tổng quát hoá từng dạng, từng loại bài tập.
Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than

19

+ Tham gia học tập bồi dưỡng chuyên môn, tập trung tìm ra giải pháp
hoàn thành tốt công tác giảng dạy.
+ Tìm tòi, khai thác sâu kiến thức. Sưu tầm và tích luỹ nhiều bài toán, sắp

xếp thành từng loại để khi dạy sẽ giúp học sinh nắm vững dạng toán.
+ Trao đổi với đồng nghiệp để sáng tỏ hơn các nội dung kiến thức.
+ Khảo sát, kiểm tra thường xuyên để ghi nhận sự tiến bộ của các em và
động viên kịp thời để nâng cao hiệu quả giảng dạy.
II. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm
.
- Qua việc phân loại và tìm hiểu bản chất của dạng toán này các em học
sinh có thể nhận dạng, bài toán đó thuộc dạng bài toán nào, từ đó các em tìm
được đầy đủ các yếu tố có liên quan cần thiết để có thể giải bài toán nhanh nhất.
- Việc phân loại và đưa ra các phương pháp giải dạng toán này giúp bản
thân tôi và các bạn đồng nghiệp có cơ hội trao đổi và tìm ra phương pháp dạy
dạng toán này đạt hiệu quả cao, nâng chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi.
- Các em có thêm lòng say mê, không ngại khó khi học toán.
III. Khả năng ứng dụng triển khai
.
Những kinh nghiệm trên có thể được triển khai phổ biến và áp dụng rộng
rãi trong chương trình toán THCS (đặc biệt ở lớp 7), làm cơ sở cho việc học
phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức cho năm học sau.
IV. Những kiến nghị đề xuất.
Để sáng kiến kinh nghiệm trên được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy và
đem lại hiệu quả cần phải có lượng thời gian nhất định. Vì vậy tôi xin có một vài
kiến nghị sau:
- Đối với nhà trường: Tạo điều kiện về thời gian, không gian, tổ chức các
chuyên đề cấp trường để giáo viên có thể áp dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy.
- Đối với phòng giáo dục: Tổ chức các cuộc hội thảo về công tác bồi
dưỡng học sinh giỏi, đây là cơ hội tốt để mỗi giáo viên chúng tôi được gặp gỡ,
trao đổi, bày tỏ quan điểm để vững vàng về chuyên môn nghiệp vụ.
Trên đây là một số kinh nghiệm của tôi trong việc dạy học sinh khá, giỏi
giải một dạng toán. Rất mong được sự ủng hộ đóng góp ý kiến của các bạn đồng
Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than

20

nghiệp để tôi có những kinh nghiệm nhiều hơn trong việc dạy các em học sinh
giải toán.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Than Uyên, tháng 03 năm 2013
Người viết




Nguyễn Mạnh Hùng

Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than

21


DANH MỤC BÀI TẬP VẬN DỤNG
1. Dạng toán cơ bản:
Dạng 1: Dạng |A(x)| = B với B  0
Tìm x, biết:
a) |5x + 4| + 7 = 26
b) 3 |9 – 2x| - 17 = 16
c) 3 – 4|5 – 6x| = 7
Dạng 2: |A(x)| = B(x) (trong đó B(x) là biểu thức chứa biến x)
Tìm x, biết:
a) |9 – 7x| = 5x – 3
b) 8x - |4x + 1| = x + 2
Dạng 3: |A(x)| = |B(x)| hay |A(x)| - |B(x)| = 0
Tìm x, biết:
a) |x + 2| - |x - 5| = 7
b) |3x + 4| = 2|2x – 9|
Dạng 4: |A(x)| + |B(x)| = 0
Tìm x, biết:
a) |17x – 5| + |17x + 5| = 0
b) |6x + 3| - |5 – 7x| = 0
Dạng 5: |A(x)| < B hoặc |A(x)| > B (B là hằng số dương)
Tìm x, biết:

a) |10x + 7| < 37
b) |3 – 8x|

19
c) |11x – 1| > 31
2. Dạng toán mở rộng:
Dạng lồng dấu giá trị tuyệt đối:
Tìm x, biết:
a) ||x + 5| - 4| = 3
b) |12 + |2x + 6|| = 24
Dạng chứa ba dấu giá trị tuyệt đối trở lên:
Tìm x, biết:
a) |2x - 5| + 2|x + 7| - 4|3 - x| = 12
b) |x + 8| - |x - 6| + 2|x - 3| = 24
Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than

22



TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Vũ Hữu Bình – Nâng cao và phát triển Toán 7 tập một - NXB Giáo Dục Việt
Nam năm – 2003, trang 40 – 54.
2. Bùi Văn Tuyên - Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 7 - NXB Giáo
dục – 2004, trang 10 – 14 và trang 84 – 89.
3. Đỗ Đức Thái – Toán bồi dưỡng học sinh lớp 7- NXB Giáo dục – 2004, trang
10 – 26.
4. Sách giáo khoa Toán 7 – NXB Giáo dục – 2007.

Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than

23


MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU Trang
I. Lý do chọn đề tài 01
II. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu 02
III. Mục đích nghiên cứu 02
IV. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu 02
PHẦN NỘI DUNG

I. Cơ sở lí luận 03
II. Thực trạng của vấn đề 03
III. Các biện pháp tiến hành để giải quyết vấn đề 07
1. Một số dạng cơ bản: 08
1.1.Dạng 1: |A(x)| = B (B

0) 08
1.2. Dạng 2: |A(x)| = B(x) 09
1.3 Dạng 3: |A(x)| = |B(x)| hay |A(x)| - |B(x)| = 0 10
1.4.Dạng 4: |A(x)| + |B(x)| =0 12
1.5.Dạng 5: |A(x)| < B hoặc |A(x)| > B 13
2. Dạng mở rộng 14
2.1.Dạng lồng dấu giá trị tuyệt đối 14
2.2. Dạng chứa ba dấu giá trị tuyệt đối trở lên 15
3. Phương pháp giải và cách tìm phương pháp giải 16
IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 17
PHẦN KẾT LUẬN
I. Những bài học kinh nghiệm 18
II. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm 19
III. Khả năng ứng dụng triển khai 19
IV. Những kiến nghị đề xuất 19
Danh mục bài tập vận dụng 21
Tài liệu tham khảo 22
Mục lục 23