chủ đề 26 bí quyết tính thể tích tỉ số thể tích phần bù thể tích

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

<b>CHỦ ĐỀ 26: BÍ QUYẾT TÍNH THỂ TÍCH – TỈ SỐ THỂ TÍCH – PHẦN BÙ THỂ TÍCHA. KIẾN THỨC NỀN TẢNG</b>

<b>1. Cơng thức tính thể tích</b>

Thể tích khối chóp: _. ¹ . _ABCD3

<b>B. VÍ DỤ MINH HỌA</b>

<b>Dạng 1: Sử dụng cơng thức tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ </b>

<b>Ví dụ 1: (THPT Kim Liên- Năm 2018) Cho khối chóp </b><i>S ABCD</i>. có đáy <i>ABCD</i> là hình thang cân với đáy

<i>AD</i> và <i>BC</i>. Biết <i>AD</i>2<i>a</i>, <i>AB BC CD a</i>   . Hình chiếu vng góc của <i>S</i>trên mặt phẳng



<i>ABCD</i>



là điểm <i>H</i> thuộc đoạn <i>AD</i> thỏa mãn <i>HD</i>3<i>HA SD</i>, tạo với đáy một góc 45 . Tính thể tích <small>0</small> <i>V</i> của khốichóp <i>S ABCD</i>. .

Gọi <i>M</i> là trung điểm của <i>AD</i>

Ta có: <i>BC</i><i>AM</i> <i>a</i> và <i>BC</i>/ /<i>AM</i> nên tứ giác <i>ABCM</i> là hìnhbình hành

Diện tích hình thang <i>ABCD</i> là:

<i>a a</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

<small>3</small>3 3

 

 <b> Chọn CMở rộng</b>

<i>ABCD</i> còn được gọi là nửa lục giác đều cạnh a, có 2 góc ở đáy nhỏ là 120 và 2 góc ở đáy lớn là <small>0</small> 60 .<small>0</small>Các tam giác <i>AMB BMC CMD</i>, , là các tam giác đều cạnh <i>^a</i>.

<b>Ví dụ 2 (THPT Hàn Thuyên – Năm 2017). Cho khối chóp </b><i>S ABCD</i>. có đáy là hình vuông cạnh <i>a</i>_{, mặt}

bên <i>SAB</i> là tam giác đều và nằm trên mặt phẳng vng góc với đáy. Thể tích khối chóp là

Thể tích khối chóp là:

       

,d

<b>A. </b>

<b>B. </b><i>a</i><small>3</small>

<b>C. </b>

<b>D. </b>



</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

<i>aSA AD a S</i>

Thể tích tứ diện <i>SBCD</i> bằng<small>23</small>

. .sin2

Thể tích khối lăng trụ là:

<small>2</small> 3 <small>3</small> 3'.S .

Hình lăng trụ tam giác đều là lăng trụ có 2 đáy là tam giác đều <i>ABC A B C</i>. ' ' ', các cạnh bên bằng nhau vàcùng vng góc với đáy

<b>Ví dụ 5 (Chun Thái Bình – Năm 2018). Một tấm kẽm hình vng </b>



<i>ABCD có cạnh bằng 30 cm.</i>



Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh <i>EF</i> và <i>GH</i> cho đến khi <i>AD</i> và <i>BC</i> trùng nhau như hình vẽ bên đểđược một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Giá trị của x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là:

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

<b>A. </b><i>x</i>5



<i>cm</i>



<b>B. </b><i>x</i>9



<i>cm</i>



<b>C. </b><i>x</i>8



<i>cm</i>



<b>D. </b><i>x</i>10



<i>cm</i>



Thể tích khối lăng trụ được tạo thành là: <i>V</i> <i>S_FDH</i>.<i>AD</i>

Thể tích đạt GTLN khi <i>S<small>NAD</small></i>_{lớn nhất. Áp dụng công thức Hê-rơng để tính diện tích tam giác ta có:}

  

15 15

 

15



15



30 2



Hay <i>S</i>  15 15



 <i>x</i>

 

² 2<i>x</i> 15



Xét hàm số

  

15

 

² 2 15

 

15

 

15

 

2 15





15 15 2 15



²27

    

(Áp dụng BĐT



 

<small>3</small>

<i>a b c</i>

<i>abc</i> ^{ }  <i>f x</i> 

 <b> Dấu bằng xảy ra</b>



15 <i>x</i>2<i>x</i>15 <i>x</i>10 <i>cm</i>

 <b> Chọn DBình luận</b>

Ngồi cách áp dụng bất đẳng thức Cơ si dạng biến đổi tổng thành tích ta có thể sử dụng chức năng CALCcủa máy tính để tìm giá trị <i>f x và nhận thấy </i>

 

<i>f max</i>



<i>f</i>

 

10

<b>Ví dụ 6: (THPT Lê Quý Đôn – Năm 2018). Cho tứ diện có </b><i>ABCD</i> có <i>AD BC</i>  6



<i>cm</i>



;



<i>AC BD</i>  <i>B D</i> suy ra tam giác <i>AB D</i>' ' vuông tại

<i>A</i> hay <i>AB</i>'<i>AD</i>'

Tương tự suy ra <i>AB AC AD đơi một vng góc. </i>'; '; 'Ta có: <i>AB</i>' b; <i>AC</i>' c; <i>AD</i>' d thì

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

Cho tứ diện có <i>AD BC a cm</i> 



; <i>AC BD b cm</i> 



và <i>AB CD c cm</i> 



.Khi đó 1



<small>222</small>

 

<small>222</small>

 

<small>222</small>



<i>V</i> ^<i>SA SC SC</i>

<b>Ví dụ 7: (THPT Lý Thái Tổ – Năm 2018). Cho hình chóp tam giác </b><i>S ABC</i>. có thể tích bằng 72. Gọi

<i>M</i> là trung điểm của <i>SA</i> và <i>N</i> là điểm thuộc cạnh <i>SC</i> sao cho <i>NC</i>2<i>NS</i>. Tính thể tích <i>V</i> của khối đadiện <i>MNABC</i>

<b>A. </b><i>V </i>48 <b>B. </b><i>V </i>30

<b>C. </b><i>V </i>24 <b>D. </b><i>V </i>60

Ta có: ^.<small>.</small>

1 1 1

2 3 6

<i><small>S BMNS ABC</small></i>

Phương pháp tỉ số thể tích được sử dụng hiệu quả khi tính thể tích của hình chóp <i>SA B C</i>' ' ' khó dựngchiều cao hoặc khó tính diện tích đáy.

<b>Ví dụ 8: (THPT Thanh Miện – Năm 2018). Cho hình chóp </b><i>S ABC</i>. có đáy là tam giác vuông tại

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

<b>B. </b>

<small>3</small>5 3

<b>C. </b>

<small>3</small> 360

<b>D. </b>

<small>3</small> 310

<i>SC</i>  <i>a</i>  <i>a</i> <i>a</i>

1 1 1

5 2 10

<i><small>SS ABC</small></i>

1 1

. . . 3 ₃3 2

<i><small>S ABCS AKH</small></i>

Đây là một bài toán quen thuộc, dựa nhiều vào kinh nghiệm để đựng được đường vng góc thứ 2 là <i>AK</i>

(ngồi <i>AH</i> là đường vng góc thứ nhất). <i>^BC^AB</i>

<i>VV</i> ^?

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

<i><small>S AMNS ADC</small></i>

Công thức tính tỉ số thể tích chỉ có thể áp dụng cho tam giác nên ta khơng thể tính <i>^SAMNP</i>

<i>V</i> ^{được mà phải}

chia thành 2 tỉ số chóp tam giác như trên.

<b>Ví dụ 10: (THPT Lương Thế Vinh – Năm 2017). Cho khối chóp </b><i>S ABCD</i>. có thể tích <i>V</i> . Gọi <i>M N</i>,lần lượt là trung điểm của <i>SA MC . Thể tích khối chóp </i>, <i>N ABCD</i>. là

Ngồi việc dùng cơng thức tỉ số thể tích ta có thể thực hiện các phép so sánh khoảng cách chiều cao để

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

tìm tỉ số thể tích.

<b>Ví dụ 11: (THPT Trần Hưng Đạo– Năm 2018). Cho khối lăng trụ </b><i>ABC A B C</i>.   . Gọi <i>M</i> là trung điểmcủa <i>BB</i>, <i>N</i> là điểm trên cạnh <i>CC</i> sao cho <i>CN</i> 3<i>NC</i>. Mặt phẳng



<i>AMN chia khối lăng trụ thành hai</i>



phần có thể tích <i>V và </i><small>1</small> <i>V như hình vẽ.</i><small>2</small>

Tính tỉ số ¹<small>2</small>

<b>A. </b> ¹

<i>VV</i> ^

Ta có:

<i>V</i>  <i>BB d BB CC</i>  Do đó <small>2.</small>

 Suy ra <small>1</small> ¹<small>2</small>

1 0,5 0, 25 70 0,5 0,75 5

<i>AAVA A B M C N</i>

<i>VA A B M C N</i>

    

Trên <i>AC</i> lấy <i>E</i>, trên <i>AD</i> lấy <i>F</i> sao cho<i>AE</i><i>AF</i> <i>a</i>. Khi đó <i>ABEF</i> là tứ diện đều cạnha

Thể tích khối tứ diện đều <i>ABEF</i> là: ₁ ¹. ⁶. ² ³ ³ ²

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

<b>Dạng 3: Phần bù thể tích khối chóp, khối lăng trụ phức tạp</b>

<b>Ví dụ 13: (Chun Thái Bình– Năm 2018). Cho hình hộp </b><i>ABCD A B C D</i>.     có thể tích là <i>V</i> . Tính thểtích của tứ diện <i>ACB D</i>  theo <i>V</i>

Ta thấy <i>V<small>ACB D</small></i>_{ } <i>V V<small>A AB D</small></i>_<small>.</small> _{ } <i>B<small>B B AC</small></i><small>.</small> _  <i>V<small>D ACD</small></i><small>.</small> _<i>V<small>C A D C</small></i>_{  }<small>.</small>

Để dễ dàng tính thể tích ta sẽ tiến hành chuẩn hóa, coi hìnhhộp là hình lập phương cạnh a khi đó: <i>V</i> <i>a</i><small>3</small>

Thể tích các khối chóp xung quanh đều bằng <small>3</small>6 6

4.6 3

<i><small>ACB D</small></i>

<i>V</i> <small> </small> <i>V</i> 

 <b> Chọn DPhân tích</b>

Việc chuẩn hóa dựa trên nền tảng tính chất "nếu tỉ số thể tích đúng thì nó đúng với mọi hình hộp" mà hìnhlập phương là hình hộp đặc biệt nên tỉ số thể tích cũng đúng với hình lập phương.

<b>Ví dụ 14: (THPT Yên Lạc – Năm 2017). Cho khối lăng trụ đều </b><i>ABC A B C</i>.    và <i>M</i> là trung điểm củacạnh <i>AB</i>. Mặt phẳng



<i>B C M</i> 



chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỷ số thể tích của hai phần đó

<i><small>SAMNSA B C</small></i>

<i>V</i> _{  } ^<i>SA SB SC</i>  ^ ^

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

<i>V</i> _{ } <i>V</i> _{  }

 Do đó tỷ số thể tích của hai phần là ⁷ : ⁵ ⁷12 12^5

 <b> Chọn ATính chất</b>

3 đường thẳng BM, CN, AA' là 3 giao tuyến của 3 mặt phẳng



<i>B C M</i>' '

 

, <i>A ACC</i>' ' ,

 

<i>A ABB nên chúng</i>' '



đồng quy tại S.

<b>Câu 2 (Chuyên Bắc Ninh - 2018). Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V. Gọi M, N, P , Q lần lượt là</b>

trọng tâm của các tam giác ABC, ABD, ACD, BCD. Tính theo V thể tích của khối tứ diện MNPQ

<b>Câu 3 (Chuyên Thái Bình - 2018). Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với mặt phẳng (ABCD),</b>

đáy (ABCD) là hình thang vng tại A và B có<i>AB a BC a</i> ,  . Biết<i>AD</i>2 , <i>a SA a</i> 3. Tính thể tíchcủa khối S.BCD theo a.

<b>Câu 5 (THPT Thanh Miện - 2018). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích</b>

bằng 1. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho<i>SE</i>2<i>EC</i>. Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD.

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

<b>Câu 6 (THPT Thanh Miện - 2018). Tính thể tích của khối lập phương </b><i>ABCD A B C D</i>.     biết độ dài đoạnthẳng<i>AC</i>2<i>a</i>.

<b>Câu 7 (THPT C- Nghĩa Hưng - 2018). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, cạnh bên</b>

SA vng góc với mặt phẳng đáy và <i>SA a</i> 6. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

<b>A. </b>

<b>C. </b>

<b>D. </b>

<small>3</small> 34

<b>Câu 10 (THPT C- Nghĩa Hưng - 2018). Hình chóp tứ giác đều </b><i>S ABCD</i>. có cạnh đáy có độ dài a. Mặtphẳng

 

<i>P qua A và vng góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại ; ;B C D</i>   cho <i>SB</i>2<i>BB</i>. Tỉ số giữathể tích hình chóp <i>S AB C D</i>.    và thể tích hình chóp <i>S ABCD</i>. bằng

<b>Câu 11 (Chuyên Hùng Vương - 2018). Lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng 3. Thể</b>

tích khối lăng trụ đã cho bằng

<b>Câu 12 (Chuyên Hùng Vương - 2018). Cho hình tứ giác đều </b><i>S ABCD</i>. có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bênbằng 3a. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

<b>A. </b><i>V</i> 4 7<i>a</i><small>3</small> <b>B. </b>

<small>3</small>4 7

<small>3</small>4 7

<i>aV </i>

<b>Câu 13 (Chuyên Hùng Vương - 2018). Cho khối hộp </b><i>ABCD A B C D</i>.     có thể tích bằng 2110. Biết, 3

<i>A M</i> <i>MA DN</i>  <i>ND</i> và<i>CP</i>2<i>PC</i>. Mặt phẳng



<i>MNP chia khối hộp thành hai khối đa điện. Thể</i>



tích khối đa diện nhỏ hơn bằng

<b>Câu 14 (THPT Thạch Thành 1 - 2018). Cho khối chóp </b><i>S ABCD</i>. có đáy <i>ABCD</i> là hình vng có cạnhđáy bằng 3a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khốichóp biết tam giác SAB vuông.

<b>A. </b> <small>3</small>

<small>3</small>9 3

<b>C. </b>

<b>D. </b> <small>3</small>9<i>a</i> 3

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

<b>Câu 15 (THPT Lý Thái Tổ - 2018). Cho hình lăng trụ </b><i>ABC A B C</i>.   . Gọi M, N lần lượt là trung điểmcủa <i>AA BB</i>, . Tính tỉ số <i>^{MNC ABC}</i>

<i><small>MNA B C</small></i>

<small>  </small>.

<b>Câu 18 (THPT Yên Lạc 2 - 2018). Người ta gọt một khối lập phương gỗ để lấy khối tám mặt đều nội</b>

tiếp nó (tức là khối có các đỉnh là các tâm của các mặt khối lậpphương). Biết các cạnh của khối lập phương bằng a. Hãy tính thểtích của khối tám mặt đều đó:

<b>A. </b>

<b>D. </b>

' 14

' 34

<i>VV</i> ^

<b>Câu 22 (THPT Nguyễn Tất Thành - 2018). Cho tứ diện </b><i>OABC</i> có các cạnh <i>OA OB OC đôi một</i>, , vng góc với nhau và<i>AB</i>5, <i>BC</i>6, <i>CA</i>7. Thể tích V của tứ diện <i>OABC</i> là

<b>Câu 23 (THPT Nguyễn Tất Thành - 2018). Một hình chóp tam giác có đường cao bằng 100cm và các</b>

cạnh đáy bằng 20cm, 21cm, 29cm. Thể tích khối chóp đó bằng

<b>A. </b><i>7000cm </i><small>3</small> <b>B. </b><i>6213cm</i><small>3</small> <b>C. </b><i>6000cm</i><small>3</small> <b>D. </b><i>7000 2cm</i><small>3</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

<b>Câu 24 (THPT Nguyễn Tất Thành - 2018). Cho hình hộp </b><i>ABCD A B C D</i>.     có các cạnh3, 4

<b>B. </b>

<small>3</small> 36

<b>C. </b>

<small>3</small> 22

<b>D. </b>

<small>3</small> 62

<small>3</small> 312

<small>3</small> 36

<small>3</small> 34

<i>aV </i>

<b>Câu 27 (THPT Lê Hồng Phong - 2018). Cho hình chóp </b><i>S ABCD</i>. có đáy ABCD là hình thang vngtại A và B, ¹

.2<i>^{SA AB}</i>

<b>Câu 29 (THPT Bình Xuyên - 2018). Cho khối hộp </b><i>ABCD A B C D</i>.     có thể tích bằng <i>24a . Tính thể</i><small>3</small>tích V của khối chóp <i>A ABCD</i>. ?

<b>Câu 31 (THPT C Bình Lục - 2018). Tính thể tích V lập phương </b><i>ABCD A B C D</i>.    , biết <i>A C a</i>  3

<b>A. </b><i>V</i> 3 3<i>a</i><small>3</small> <b>B. </b>

<small>3</small>3 6

<b>Câu 33 (THPT Nam Trực - 2018). Cho hình chóp </b><i>S ABCD</i>. có đáy ABCD là hình vng cạnh a, biết,

<i>SA SB SC SD</i>  ,



<i>SAB</i>

 

 <i>SCD</i>



. Tổng diện tích hai tam giác <i>SAB SCD bằng </i>, ⁷ ²10

. Thể tích khốichóp <i>S ABCD</i>. là

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

<b> A. </b>

<b>B. </b>

<b>C. </b>

<b>D. </b>

<b>Câu 34 (THPT Nam Trực - 2018). Cho tứ diện ABCD có thể tích </b><i>9 3cm . Gọi </i><small>3</small> <i>M N P Q lần lượt</i>^{, , ,}

là trọng tâm các mặt của khối tứ diện ABCD. Thể tích khối tứ diện MNPQ là

<b>A. </b>2 3 <small>3</small>

<b>A. </b> <small>21</small>18

<b>Câu 40 (THPT Nguyễn Thị Giang - 2018). Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh</b>

bằng a là

<b>A. </b> 2 <small>3</small>

<small>3</small>23 <i>^a</i>

<b>Câu 41 (THPT Vĩnh n - 2018). Cho hình chóp </b><i>S ABCD</i>. có thể tích bằng <i>27m . Lấy A' trên SA sao</i><small>3</small>cho<i>SA</i>3<i>SA</i>'. Mặt phẳng đi qua A' và song song với đáy hình chóp cắt <i>SB SC SD lần lượt tại ', '</i>, , <i>B C ,</i>

<i>D</i> . Tính thể tích hình chóp <i>S A B C D</i>.    

<b>Câu 42 (THPT Vĩnh Yên - 2018). Cho hình chóp </b><i>S ABCD</i>. có đáy ABCD là hình chữ nhật,

<i>AB SA a</i>  , <i>AD a</i> 2, <i>SA</i> vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, gọi I làgiao điểm của BM và AC.

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

<b>Câu 43 (THPT Lục Ngạn 1 - 2018). Cho hình chóp </b><i>S ABCD</i>. có đáy ABCD là hình vng tâm O. GọiH và K lần lượt là trung điểm của SB, SD. Tỷ số thể tích

<i><small>AOHKS ABCD</small></i>

<b>Câu 44 (THPT Lục Ngạn 1 - 2018). Cho lăng trụ đứng </b><i>ABC A B C</i>.    có đáy là tam giác đều cạnh3. ' 3

<i>aA B</i> <i>a</i>. Thể tích khối lăng trụ là

<b>A. </b>

<i><small>S A B CS ABC</small></i>

<b>Câu 47 (Sở GD&ĐT Bình Thuận- 2018). Cho hình chóp </b><i>S ABCD</i>. có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a,và <i>BAC</i>60 ,<small>0</small> <i>SO</i>



<i>ABCD</i>



và ³

<small>3</small> 32

<i>aV </i>

<b>Câu 49 (Chuyên Lê Q Đơn - 2018). Cho hình lăng trụ đứng </b><i>ABC A B C</i>.    có đáy <i>ABC</i> là tam giácđều cạnh a, mặt bên ABB’A’ là hình thoi  <small>0</small> 3

<b>B. </b>

<small>3</small>3 3

<b>C. </b>

<small>3</small> 316

<b>D. </b>

<small>3</small>3 3

<i>a</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

<b>Câu 50 (THPT Phan Ngọc Hiển - 2018). Hình chóp </b><i>S ABC</i>. có <i>SB SC BC CA a</i>    . Hai mặt phẳng



<i>ABC và </i>



<i>ASC cùng vuông góc với </i>



<i>SBC .</i>



Thể tích khối chóp <i>S ABC</i>. bằng

312

</div>