VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀO BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP ĐỂ NÂNG CAO TÍNH TÍCH CỰC SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH

Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào bài toán tính thể tích khối chóp để phát huy
tính tích cực, sáng tạo của học sinh
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT SÔNG RAY
*_____ oo0oo______*
Mã số: ………
Đề tài:
VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC PHÁT
HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀO BÀI TOÁN
TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP ĐỂ NÂNG CAO
TÍNH TÍCH CỰC SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH

Người thực hiện: Ngô văn Vũ

Lĩnh vực nghiên cứu:
Quản lí giáo dục: 
Phương pháp dạy học bộ môn:
Phương pháp giáo dục: 
Lĩnh vực khác: 
Có đính kèm:
 Mô hình.  Phần mềm.  Phim ảnh.  Hiện vật

Naêm hoïc: 2011 - 2012
Giáo viên: Ngô Văn Vũ 1 Trường THPT Sông Ray
x
Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào bài toán tính thể tích khối chóp để phát huy
tính tích cực, sáng tạo của học sinh
Phần I: MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Luật giáo dục nước Cộng Hoà Xã hội Chủ Nghĩa Việt Nam quy định: “…
phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học

sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự
học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem
lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh…”.
Chương trình môn toán (thí điểm) trường Trung học phổ thông (năm 2002)
cũng đã chỉ rõ: “…Một điểm yếu trong hoạt động dạy và học của chúng ta là phương
pháp giảng dạy. Phần lớn là kiểu thầy giảng - trò ghi, thầy đọc - trò chép; vai trò của
học sinh trở nên thụ động. Phương pháp đó làm cho học sinh có thói quen học vẹt,
thiếu suy nghĩ sáng tạo cũng như thói quen học lệch, học tủ, học để đi thi. Tinh thần
của phương pháp giảng dạy mới là phát huy tính chủ động sáng tạo và suy ngẫm của
học sinh, chú ý tới sự hoạt động tích cực của học sinh trên lớp, cho học sinh trực tiếp
tham gia vào bài giảng của thầy; dưới sự hướng dẫn của thầy, họ có thể phát hiện ra
vấn đề và suy nghĩ tìm cách giải quyết vấn đề…”.
Để phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh thì người thầy không
chỉ dừng lại ở vai trò là người tuyền thụ kiến thức mà còn đảm nhiệm vai trò khơi nguồn
sáng tạo ở người học. Bên cạnh việc hướng dẫn học sinh chiếm lĩnh kiếm
thức cần đạt, người thầy cần phải giúp học sinh nhìn nhận vấn đề ở nhiều
góc độ khác nhau, góp phần trong việc hiểu sâu sắc về đối tượng. Qua đó, kết
hợp với phương pháp đặt vấn đề, người thầy hướng dẫn học sinh tìm ra
những cách làm mới, những con đường mới để giải quyết vấn đề. Những
thành quả đó sẽ tạo tiền đề cho sự sáng tạo của học sinh.
Với lí do nêu trên và với kinh nghiệm hạn chế của mình, tôi mạnh dạn đưa ra
một giải pháp là: " Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn
đề vào bài toán tính thể tích khối chóp để phát huy tính tích cực, sáng tạo của
học sinh''. Với đặc thù của bộ môn, tôi giới thiệu giải pháp thông qua chuyên đề " thể
tích khối đa diện" của chương trình hình học lớp 12 nâng cao.
2. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu
+ Đối tượng: Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.
+ Phương pháp nghiên cứu:
* Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về tâm lí học giáo dục, tài
liệu giáo dục học, triết học, các tài liệu về lí luận và giảng dạy bộ môn Toán. Đặc biệt

là phương pháp dạy học môn toán của Nguyễn Bá Kim xuất bản năm 2004 làm cơ sở
lí luận của giải pháp.
* Quan sát, trao đổi: Thực hiện việc trao đổi với giáo viên và học sinh để
tìm ra giải pháp hợp lí nhằm phát huy tính tính tích cực của học sinh trong quá trình
học.
* Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm trên những đối tượng
học sinh cụ thể nhằm đánh giá hiệu quả của đề tài.
Giáo viên: Ngô Văn Vũ 2 Trường THPT Sông Ray
Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào bài toán tính thể tích khối chóp để phát huy
tính tích cực, sáng tạo của học sinh
3. Thực trạng:
+ Đối với giáo viên: Do những lí do khách quan và cả chủ quan, giáo viên thường sử
dụng phương pháp dạy học truyền thống để mang tri thức đến cho học sinh. Vì thế,
hình thành ở học sinh cách học thụ động.
+ Đối với học sinh: Một mặt, vì kiến thức bị hổng quá nhiều, lười biến suy nghĩ. Mặt
khác, do thói quen học tập thụ động từ trước hoặc do giáo viên chỉ đơn thuần áp đặt
kiến thức cho học sinh, mà dẫn đến mất đi tính tích cực, chủ động, sáng tao.
Phần II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI
A. Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề:
1. Vấn đề
Để hiểu đúng thế nào là một vấn đề và đồng thời làm rõ một vài khái niệm khác
có liên quan, ta bắt đầu từ khái niệm hệ thống.
Hệ thống được hiểu là một tập hợp những phần tử cùng với những quan hệ giữa
những quan hệ giữa những tập hợp đó.
Một tình huống được hiểu là một hệ thống phức tạp gồm chủ thể và khách thể,
trong đó chủ thể có thể là người, còn khách thể là một hệ thống nào đó.
Nếu trong một tình huống, chủ thể còn chưa biết ít nhất một phần tử của khách
thể thì tình huống này được gọi là một tình huống bài toán đối với chủ thể.
Trong một tình huống bài toán, nếu trước chủ thể đặt ra mục tiêu tìm phần tử
chưa biết nào đó dựa vào một số những phần tử cho trước ở trong khách thể thì ta có

một bài toán.
Một bài toán được gọi là vấn đề nếu chủ thể chưa có trong tay một thuật giải nào
để tìm ra phần tử chưa biết của bài toán.
2. Tình huống gợi vấn đề
Tình huống gợi vấn đề, còn được gọi là tình huống vấn đề, là một tình huống
gợi ra cho học sinh những khó khăn về lí luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và
có khả năng vượt qua, nhưng không phải ngay tức khắc nhờ một thuật giải mà phải
trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng hoạt động
hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có.
3. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là thầy tổ chức cho trò học tập trong
hoạt động và bằng hoạt động do thầy tạo ra một tình huống hấp dẫn gợi sự tìm hiểu
của học sinh, gợi ra sự vướng mắc mà họ chưa giải đáp ngay được, nhưng có liên hệ
với kiến thức đã biết, khiến họ thấy có triển vọng tự giải đáp được nếu tích cực suy
nghĩ.
Trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, thầy giáo tạo ra những tình
huống gợi vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực,
chủ động, sáng tạo để giải quyết vấn đề, thông qua đó mà kiến tạo tri thức, rèn luyện
kĩ năng và đạt được những mục tiêu học tập khác.
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có những đặt điểm sau:
• Học sinh phải được đặt vào một tình huống gợi vấn đề chứ không phải là một
thông báo tri thức dưới dạng có sẵn;
Giáo viên: Ngô Văn Vũ 3 Trường THPT Sông Ray
Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào bài toán tính thể tích khối chóp để phát huy
tính tích cực, sáng tạo của học sinh
• Học sinh hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo, tận lực huy động tri
thức và khả năng của mình để phát hiện và giải quyết vấn đề chứ không phải
nghe thầy giảng một cách thụ động;
• Mục tiêu dạy học không phải chỉ là làm cho học sinh lĩnh hội kết quả của quá
trình phát hiện và giải quyết vấn đề, mà còn ở chỗ làm cho họ phát triển khả

năng tiến hành những quá trình như vậy. Nói cách khác, học sinh học được bản
thân việc học.
4. Cơ sở lí luận
4.1. Cơ sở Triết học
Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẩn là động lực thúc đẩy quá trình
phát triển. Một vấn đề được gợi ra cho học sinh học tập chính là một mâu thuẫn giữa
yêu cầu nhiệm vụ nhận thức với tri thức sẵn có. Tình huống này phản ánh một cách
lôgic và biện chứng quan hệ bên trong giữa tri thức cũ, kĩ năng cũ và kinh nghiệm cũ
đối với yêu cầu giải thích sự kiện mới hoặc đổi mới tình thế.
4.2. Cơ sở Tâm lí học
Theo các nhà tâm lí học, con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu
cầu tư duy, tức là khi đứng trước một khó khăn về nhận thức cần phải khắc phục, một
tình huống gợi vấn đề. " tư duy sáng tạo luôn luôn bắt đầu bằng một tình huống gợi
vấn đề" (Rubinstein 1960, tr. 435).
Theo tâm lí học kiến tạo, học tập chủ yếu là một quá trình trong đó người học
xây dựng tri thức cho mình bằng cách liên hệ những cảm nghiệm mới với những tri
thức đã có. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề phù hợp với quan niệm này.
4.3. Cơ sở Giáo dục học
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề phù hợp với nguyên tắc tính tự giác và
tích cực, vì nó khêu gợi được hoạt động học tập mà chủ thể được hướng đích, gợi
động cơ trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề.
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề cũng biểu hiện sự thống nhất giữa kiến
tạo tri thức, phát triển năng lực trí tuệ và bồi dưỡng phẩm chất. Những tri thức mới
(đối với học sinh) được kiến tạo nhờ quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề. Tác
dụng phát triển năng lực trí tuệ của kiểu dạy học này là ở chỗ học sinh học được cách
khám phá, tức là rèn luyện cho họ cách phát hiện, tiếp cận và giải quyết vấn đề một
cách khoa học. Đồng thời, dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề cũng góp phần bồi
dưỡng cho người học những đức tính cần thiết của người lao động sáng tạo như tính
chủ động, tính tích cực, tính kiên trì vượt khó, tính kế hoạch và thói quen tự kiểm tra
5. Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Quá trình dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có thể chia thành 4 bước như sau
Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề
• Phát hiện vấn đề từ tình huống gợi vấn đề thường là do thầy tạo ra.
• Giải thích và chính xác hóa tình huống để hiểu đúng vấn đề được đặt ra.
• Phát biểu vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề đó.
Bước 2: Tìm giải pháp
• Tìm một cách giải quyết vấn đề. Việc này thường được thực hiện theo sơ đồ sau
Giáo viên: Ngô Văn Vũ 4 Trường THPT Sông Ray
Phân tích vấn đề
Bắt đầu
Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết
Hình thành giải pháp
Giải pháp đúng
Kết thúc
Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào bài toán tính thể tích khối chóp để phát huy
tính tích cực, sáng tạo của học sinh



_

+


Giải thích sơ đồ:
Khi phân tích vấn đề, cần phải làm rõ những mối liên hệ giữa cái đã biết và cái
cần tìm. Trong môn toán, ta thường dựa vào những tri thức toán đã học, liên
tưởng tới những định nghĩa và định lí thích hợp.
Khi đề xuất và thực hiện hướng giải quyết vấn đề, cùng với việc thu thập, tổ
chức dữ liệu, huy động tri thức, thường hay sử dụng những giải pháp, kĩ thuật

nhận thức, tìm đoán, suy luận như hướng đích, quy lạ về quen, đặc biệt hóa,
chuyển qua những trường hợp suy biến, tương tự hóa, xem xét những mối liên hệ
phụ thuộc, suy xuôi, suy ngược tiến, suy ngược lùi, Phương hướng được đề xuất
không phải là bất biến, trái lại có thể phải điều chỉnh, thậm chí bác bỏ và chuyển
hướng khi cần thiết. Khâu này có thể được làm nhiều lần cho đến khi tìm ra hướng
đi hợp lí.
Kết quả của việc đề xuất và thực hiện hướng giải quyết vấn đề là hình thành
được một giải pháp.
Việc tiếp theo là kiểm tra giải pháp xem nó có đúng đắn hay không.
Nếu giải pháp đúng thì kết thúc ngay, nếu không thì lặp lại từ khâu phân tích
vấn đề cho đến khi tìm được giải pháp đúng.
Giáo viên: Ngô Văn Vũ 5 Trường THPT Sông Ray
Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào bài toán tính thể tích khối chóp để phát huy
tính tích cực, sáng tạo của học sinh
• Sau khi đã tìm ra một giải pháp, có thể tiếp tục tìm thêm những giải pháp
khác (theo sơ đồ trên), so sánh chúng với nhau để tìm ra giải pháp hợp lí
nhất.
Bước 3. Trình bày giải pháp
Khi đã giải quyết được vấn đề đặt ra, người học trình bày lại toàn bộ từ việc
phát biểu vấn đề cho tới giải pháp.
Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp
• Tìm hiểu khả năng ứng dụng kết quả.
• Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát hóa, lật
ngược vấn đề, và giải quyết nếu có thể.
( Trích từ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN - NGUYỄN BÁ KIM - XB 2004)
B. Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào bài toán
tính thể tích khối chóp để phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh
1) Kết quả gợi mở
Sách giáo khoa hình học lớp 12 chương trình nâng cao, trang 29 có nêu bài tập 23:
"Cho khối chóp tam giác S.ABC. trên ba đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba

điểm A', B', C' khác với điểm S. Gọi V và V' lần lượt là thể tích của các khối chóp
S.ABC và S.A'B'C'. Chứng minh rằng
. .
' ' ' '
V SA SB SC
V SA SB SC
=
. (*) "
Chứng minh:
Ta có: ,
·
' '
1
'. '.sin ' '
2
SB C
S SB SC B SC=
Vì
' , 'B SB B S∈ ≠
và
' , 'C SC C S∈ ≠
nên
·
·
' 'B SC BSC=
hoặc
·
·
0
' ' 180B SC BSC= −

·
·
sin ' ' sinB SC BSC⇒ =
Do đó
' '
' '
.
SB C
SBC
S
SB SC
S SB SC
=
Gọi H và H' lần lượt là hình chiếu của A và A' lên
mặt phẳng (SBC)
SAH
∆
đồng dạng với
' 'SA H
∆
' ' 'SA A H
SA AH
⇒ =
Mặt khác:
. .
1
.
3
S ABC A SBC SBC
V V AH S= =

,
. ' ' ' '. ' ' ' '
1
' '.
3
S A B C A SB C SB C
V V A H S= =
Suy ra:
. .
' ' ' '
V SA SB SC
V SA SB SC
=
.
Sau khi học sinh nắm được nội dung của công thức (*), giáo viên thường yêu cầu làm
một số bài tập áp dụng. Ví dụ như bài tập sau:
2) Ví dụ vận dụng
Giáo viên: Ngô Văn Vũ 6 Trường THPT Sông Ray
H'
S
C
A
B
A'
B'
C'
H
Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào bài toán tính thể tích khối chóp để phát huy
tính tích cực, sáng tạo của học sinh
Cho khối chóp S.ABC có SA

⊥
(ABC), tam giác ABC vuông tại C, SA = a, CA = a,
CB =
2a
.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
b) Trên các tia SA, SB, SC lần lượt lấy A', B',
C' sao cho: SA' =
2
3
SA, SB' =
3
4
SB, SC' =
4
5

SC. Tính thể tích khối chóp S.A'B'C'.
Hoạt động của học sinh
Câu a)
+ Phân tích: Vì SA
⊥
(ABC) nên SA đóng vai
trò là chiều cao của khối chóp, tam giác ABC là
mặt đáy. Cả độ dài đoạn SA và diện tích tam
giác ABC đều dễ dàng xác định. Do đó, dùng công thức V =
1
3
.B.h sẽ hoàn thành yêu
cầu bài toán.

+ Lời giải: Vì SA
⊥
(ABC) nên SA là chiều cao của khối chóp. Tam giác ABC vuông
tại là mặt đáy có diện tích là
2
1 2
. .
2 2
ABC
S CACB a= =
. Vậy
2 3
.
1 2 2
. .
3 2 6
S ABC
V a a a= =
.
Câu b)
+ Phân tích: Nếu dùng trực tiếp công thức V =
1
3
.B.h để tính thể tích của khối chóp
thì sẽ gặp nhiều khó khăn trong việc xác định chiều cao và diện tích mặt đáy. Khó
khăn đó buộc ta phải tìm mối liên hệ giữa khối chóp đã biết thể tích với khối chóp cần
tìm thể tích. Giả thiết của bài toán giúp ta liên hệ với công thức (*).
+ Lời giải
Áp dụng công thức (*), ta có:
. ' ' '

. ' ' ' .
.
' ' ' 2 3 4 2 2 2
. . . . .
3 4 5 5 5 15
S A B C
S A B C S ABC
S ABC
V
SA SB SC
V V abc
V SA SB SC
= = = ⇒ = =
.
Lời bình: Việc áp dụng công thức (*) đã cho chúng ta một lời giải ngắn gọn, dễ hiểu.
Vì thế giáo viên cần rèn luyện cho học kĩ năng vận dụng công thức vào quá trình tính
thể tích khối đa diện.
3) Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
Những bài tập tương tự như trên cũng được nêu ra rất nhiều trong sách giáo khoa và
sách bài tập hình học lớp 12 cơ bản và nâng cao. ( sách xuất bản năm 2008).
Tuy nhiên học sinh chỉ dừng lại ở mức độ áp dụng công thức (*) một cách thụ động.
Sự thụ động đó được biểu hiện qua tình huống như sau:
Thâm nhập vấn đề
Trở lại ví dụ trên, với giả thiết của bài toán thì ta có:
SA = a, SB = 2a, SC =
a 2
suy ra
2 2 3 3 4 4 2
SA' = SA = a, SB' = , SC' = SC
3 3 4 2 5 5

SB a a= =
,
Giáo viên: Ngô Văn Vũ 7 Trường THPT Sông Ray
S
C
B
A
A'
B'
C'
Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào bài toán tính thể tích khối chóp để phát huy
tính tích cực, sáng tạo của học sinh
·
·
·
·
·
·
0 0 0
' ' 60 , ' ' 45 , ' ' 45 .A SB ASB B SC BSC C SA CSA
= = = = = =

Bây giờ, giáo viên nêu bài toán: " Cho khối chóp S.A'B'C' có
2 3
SA' = a, SB' = ,
3 2
a

4 2
SC' =

5
a
và
·
·
·
0 0 0
' ' 60 , ' ' 45 , ' ' 45 .A SB B SC C SA
= = =
Tính thể
tích khối chóp S.A'B'C'. "
Lời bình: Với giả thiết của bài toán mới như thế liệu có học sinh nào nghĩ đến ba
điểm A, B, C có tính chất như ở ví dụ trên hay không? Và rõ ràng việc chỉ sử dụng
công thức V =
1
3
.B.h thì rất khó giải được bài toán nêu trên. Vì khối chóp S.A'B'C'
không có tính chất gì đặc biệt giúp ích cho việc tính chiều cao hạ từ đỉnh S và diện
tích mặt đáy A'B'C'.

Tình huống vừa được nêu ra có tác dụng:
Một mặt cho học sinh thấy rõ họ chỉ biết sử dụng công thức (*) ở mức độ thụ
động, tức là khi giả thiết của bài toán cho những điều kiện cấu thành công thức (*) thì
họ mới nghĩ đến việc vận dụng nó. Chứ không tìm cách tự tạo ra những giả thiết và
điều kiện phù hợp để sử dụng công thức (*).
Mặt khác tạo ra một tình huống gợi vấn đề.
Giáo viên đặt nghi vấn: Liệu chúng ta có thể tìm được ba điểm A, B, C trên ba đường
SA', SB', SC' sao cho khối chóp S.ABC có thể tính được thể tích một cách đơn giản
và các tỉ số
' ' '

, ,
SA SB SC
SA SB SC
dể dàng được xác định hay không?
Lời bình: Câu hỏi giáo viên nêu ra nhằm gợi ý cho người học liên lệ với bài toán ở ví
dụ 1 và góp phần định hướng cho việc tìm lời giải.
Vấn đề vừa đặt ra có thể được giáo viên phát biểu dưới dạng tổng quát như sau:
" Cho khối chóp S.ABD có SA = a, SB = b, SC = c và các góc
·
· ·
ASB , BSC, CSB
lần
lượt bằng
α
,
β
,
γ
.
a) Giả sử
α
=
β
=
γ
. Tính thể tích của khối chóp S.ABD theo a, b, c và
α
.
b) Tính thể tích của khối chóp S.ABD theo a, b, c và
α

,
β
,
γ
. "
Tìm hướng giải quyết câu a
Phân tích vấn đề
Với giả thiết của bài toán thì rất khó xác định được chiều cao của khối chóp S.ABC.
Mặc dù ta có giả thiết
·
· ·
ASB BSC CSB
α
= = =
nhưng SA, SB, SC khác nhau nên ta vẫn
chưa thấy khối chóp S.ABC có gì đặc biệt. Ta nhận thấy rằng: Nếu SA = SB = SC thì
khối chóp S.ABC là khối chóp đều và việc tính thể tích của khối chóp đều thì dể dàng
Giáo viên: Ngô Văn Vũ 8 Trường THPT Sông Ray
Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào bài toán tính thể tích khối chóp để phát huy
tính tích cực, sáng tạo của học sinh
hơn. Với ước muốn đó, kết hợp với gợi ý của giáo viên nêu trên thì học sinh sẽ tìm
được hướng giải quyết.
Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết
Trên ba tia SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm M, N, P sao cho SM = SN = SP = 1 (đơn
vị). Khi đó, khối chóp S.MNP là khối chóp đều. Để tính thể tích khối chóp S.ABC ta
tính thể tích khối chóp S.MNP sau đó sử dụng công thức (*).
Hình thành giải pháp
Lời giải
Trên 3 tia SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm M, N, P sao cho SM = SN = SP = 1 (đơn
vị).

Ta có S.MNP là khối chóp đều. Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) suy
ra H là trọng tâm của tam giác đều MNP.
MN S
∆
cân tại S suy ra:
2.sin
2
MN
α
=
,
MNP
∆
đều cạnh bằng
2.sin
2
α

2 3 2 3
. sin
3 2 3 2
MH MN
α
⇒ = =
, và
2
3.sin
2
MNP
S

α
=
,
SHM
∆
vuông tại H suy ra:
2 2 2
4
1 sin
3 2
SH SM MH
α
= − = −
,
Vậy
2 2
.
1
sin 3 4sin
3 2 2
S MNP
V
α α
= −
.
Áp dụng công thức (*), ta có:
2 2
.
.
.

. . sin 3 4sin
3 2 2
S ABC
S ABC
S MNP
V
SA SB SC abc
V
V SM SN SP
α α
= ⇒ = −
Nghiên cứu sâu giải pháp
+ Một số trường hợp đặc biệt
* Nếu a = b = c và
0
60
α
=
thì khối chóp
S.ABC là tứ diện đều và theo kết quả trên, ta
có:
0 0 3
2 2
.
. . 60 60 2
sin 3 4sin
3 2 2 12
S ABC
a a a a
V = − =

.
* Nếu
0
90
α
=
thì
.
. .
6
S ABC
a b c
V =
+ Cách giải khác
Nếu chúng ta xem tứ diện SABC là hình
chóp có đỉnh là A thì có thể tính thể tích của
tứ diện SABC như gợi ý sau:
Gọi H là hình chiếu của A lên mặt (SBC), ta chứng minh được
·
·
2
BSH HSC
α
= =
. Gọi K
là hình chiếu của H lên cạnh SB suy ra AK
⊥
SB và
SK .cosa
α

=
,
.cosα
SH
cos
2
a
α
=
,
Giáo viên: Ngô Văn Vũ 9 Trường THPT Sông Ray
S
C
B
H
A
M
N
P
Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào bài toán tính thể tích khối chóp để phát huy
tính tích cực, sáng tạo của học sinh
2 2
AH cos cosα
2
cos
2
a
α
α
= −

,
1
. .sin
2
SBC
S b c
α
=
. Do đó:
2 2 2 2
.
. . . .
sin cos cosα sin 3 4sin
3 2 2 3 2 2
A SBC
a b c a b c
V
α α α α
= − = −
+ Đề xuất bài toán vận dụng
Cho tứ diện ABCD có AB = a, AC = b, AD = c và các góc BAC, CAD, DAB bằng
α
.
a) Tính thể tích của tứ diện ABCD theo a, b, c,
α
.
b) Giả sử
α
thay đổi. Tìm
α

để thể tích của tứ diện đạt giá trị lớn nhất.
c) Giả sử a, b, c thay đổi nhưng tổng của chúng là hằng số k không đổi. Tìm a,
b, c để thể tích của tứ diện đạt giá trị lớn nhất.
Tìm hướng giải quyết câu b
Phân tích vấn đề
Câu a) là một trường hợp đặc biệt của câu b). Vì thế nêu chúng ta thực ý tưởng như đã
làm ở câu a) thì có thể thu được kết quả mong muốn.
Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết: như ở câu a).
Hình thành giải pháp
Lời giải
Trên 3 tia SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm M, N, P sao cho SM = SN = SP = 1 (đơn
vị).
Ta có:
MN S
∆
cân tại S suy ra:
2.sin
2
MN x
α
= =
, tương tự:
2.sin
2
NP y
β
= =
,
2.sin
2

PM z
γ
= =
.
Đặt
2
x y z
p
+ +
=
, khi đó:
0
( )( )( )
MNP
S p p x p y p z S= − − − =
Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC).
Suy ra: H là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác MNP. Vì
2
1HM HN HP SH= = = −
.
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP. Ta có:
0
. . . . . .
4 4 4
MNP
MNP
x y z x y z x y z
S R
R S S
= ⇒ = =

SHM
∆
vuông tại H suy ra:
2 2
0
2 2 2
0 0
16. ( )
. .
1 ( )
4 4
S xyz
x y z
SH SM MH
S S
−
= − = − =
Vậy
2 2
. 0 0
1 1
. 16. ( )
3 12
S MNP
V S SH S xyz= = −
Áp dụng công thức (*), ta có:
Giáo viên: Ngô Văn Vũ 10 Trường THPT Sông Ray
Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào bài toán tính thể tích khối chóp để phát huy
tính tích cực, sáng tạo của học sinh
.

.
2 2
. 0
2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2
. .
16. ( )
12
2(sin .sin sin .sin sin .sin ) (sin sin sin 4.sin .sin .sin )
3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
S ABC
S MNP
S ABC
V
SA SB SC
V SM SN SP
abc
V S xyz
abc
α β β γ γ α α β γ α β γ
=
⇒ = −
= + + − + + +
Dùng công thức hạ bậc ta có thể thu gọn biểu thức trên như sau:
2 2 2
.
1 2cos .cos .cos (cos cos cos )
6
S ABC
abc
V

α β γ α β γ
= + − + +
Học sinh hãy kiểm chứng công thức trên như một bài tập.
Nghiên cứu sâu giải pháp
+ Trường hợp đặc biệt
Nếu
α β γ
= =
thì ta có:
3 2 2 2
.
1 2cos 3cos sin 3 4sin
6 3 2 2
S ABC
abc abc
V
α α
α α
= + − = −
.
+ Cách giải khác
Nếu chúng ta xem tứ diện SABC là hình chóp có đỉnh là A thì có thể tính thể tích của
tứ diện SABC như gợi ý sau:
Gọi H là hình chiếu của A lên mặt (SBC), ta đặt
·
·
, BSH x HSC y= =
. Gọi K, L lần lượt là
hình chiếu của H lên cạnh SB, SC suy ra
SK a.cosα SL a.cos

cos , cos
SH SH SH SH
x y
β
= = = =
,
SK - SL.cos
cos cos( )
sin
x y
γ
γ
γ
= − =
2 2 2
2 2
2
(cosα - cos .cos ) +cos .cos
SH
sin
a
β γ β γ
γ
=
,
2 2 2
2 2
2
1 os os os 2 os . os . os
AH

sin
c c c c c c
a
α β γ α β γ
γ
− − − +
=
,
1
. .sin
2
SBC
S b c
α
=
. Do đó:
2 2 2
.
. .
1 os os os 2 os . os . os
6
A SBC
a b c
V c c c c c c
α β γ α β γ
= − − − +
+ Đề xuất bài toán vận dụng
Cho tứ diện ABCD có AB = a, AC = b, AD = c và các góc BAC, CAD, DAB lần lượt
bằng
α

,
β
,
γ
.
a) Tính thể tích của tứ diện ABCD.
b) Giả sử ba số a, b, c thay đổi nhưng tổng luôn bằng k không đổi. Tìm a, b, c
để thể tích tứ diện lớn nhất.
c) Giả sử ba số
α
,
β
,
γ
thay đổi. Tìm
α
,
β
,
γ
để thể tích của tứ diện lớn nhất.
C. Kết quả:
Việc áp dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề đã tạo được hứng
thú học tập và tăng tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh. Cụ thể, theo sự
Giáo viên: Ngô Văn Vũ 11 Trường THPT Sông Ray
Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào bài toán tính thể tích khối chóp để phát huy
tính tích cực, sáng tạo của học sinh
hướng dẫn của thầy, người học đã tìm được công thức tính của một lớp khối chóp tam
giác. Công thức trên là một kết quả hoàn toàn mới. Vì thế, có thể nói học sinh đã góp
phần sáng tạo nên tri thức mới. Điều này khích lệ tinh thần học tập tích cực của các

em học sinh. Và đó cũng là tiền đề cho hoạt động sáng tạo của người học sau nay.
PHẦN III: KẾT LUẬN:
Trên đây chỉ là một ví dụ minh họa cho giải pháp dùng phương pháp dạy học
phát hiện và giải quyết vấn đề để phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học
sinh. Sau một thời gian giảng dạy, tôi nhận thấy rằng nếu giáo viên sử dụng phương
pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề một cách hợp lí, hiệu quả thì sẽ cải thiện
được tính thụ động của học sinh. Và từ đó, học sinh tích cực, chủ động hơn trong quá
trình học. Việc giúp học sinh tự khám phám tri thức sẽ tạo được ở người học sự yêu
thích và lòng đam mê tìm tòi, học hỏi.
Mặc dù cố gắng nhiều nhưng mới trong thời gian ngắn thực nghiệm nên giải pháp
còn nhiều hạn chế và không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong sự đóng góp ý kiến và
giúp đỡ của đồng nghiệp, cấp trên để giải pháp ngày càng hoàn thiện hơn. Tôi xin
chân thành cảm ơn!
PHẦN IV: TÀI LIỆU THAM KHẢO
1) Phương pháp dạy học toán. NXB Giáo dục tác giả Nguyễn Bá Kim , năm 2004.
2) Các tài liệu đổi mới phương pháp dạy học toán trong các kỳ học thay sách và
các kỳ học bồi dưỡng thường xuyên.
3) Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập 11, 12 của Bộ GD-ĐT
Sông Ray, tháng 3 năm 2012
Người thực hiện
NGÔ VĂN VŨ
Giáo viên: Ngô Văn Vũ 12 Trường THPT Sông Ray