skkn cấp tỉnh ứng dụng hàm số trong giải một số bài toán về phương trình bất phương trình

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

<b>TRƯỜNG PHỔ THÔNG NGUYỄN MỘNG TUÂN</b>

<b>SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM</b>

<b>ỨNG DỤNG HÀM SỐ TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH</b>

<b>Người thực hiện: Trần Lương HảiChức vụ: Phó tổ trưởng chun mơn</b>

<b>Đơn vị cơng tác: Trường PT Nguyễn Mộng TnSKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn học</b>

<b>Đông Sơn, tháng 5 năm 2024</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

<b>MỤC LỤC</b>

PHẦN MỞ ĐẦU………..…1

1. Lí do chọn đề tài………..…….…1

2. Mục đích nghiên cứu……….………..…….…1

3. Đối tượng nghiên cứu………..…….…2

4. Phương pháp nghiên cứu………..2

5. Những điểm mới của sáng kiến………..…..2

PHẦN II: NỘI DUNG……….….………...2

1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIẾN……….………...

2.3.2. Ứng dụng hàm số để giải và biện luận phương trình……….…..9

2.3.3. Ứng dụng hàm số tìm điều kiện của tham số để phương trình, bất phương trìnhthoả mãn điều kiện cho trước. ……….…..12

2.4. Một số bài tập tự giải: ……….….……….…..18

3. KẾT QUẢ VÀ ỨNG DỤNG……….…..………20

3.1. Hiệu quả về mặt định tính……….…..……….…20

3.2. Hiệu quả về mặt định lượng……….…..………20

TÀI LIỆU THAM KHẢO……….…..………21

PHỤ LỤC……….…..………….…..…………..………22

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

<b>PHẦN I. MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài:</b>

Trong chương trình Tốn học phổ thơng, phương trình và bất phương trình ( PTvà BPT) là một phần kiến thức rất quan trọng, với lượng kiến thức lớn và xunsuốt chương trình Tốn học bậc trung học phổ thông, từ PT, BPT Đại số lớp 10,PT lượng giác lớp 11 cho đến PT, BPT mũ và lôgarit lớp 12. Các bài tập về PT vàBPT rất phong phú và đa dạng với nhiều dạng bài tập, nhiều mức độ khác nhau.Mỗi dạng lại có nhiều phương pháp giải khác nhau và luôn là thách thức, đồng thờicũng là sự sự kích thích tìm tịi sáng tạo, là nguồn cảm hứng lớn đối với học sinhvà cả các nhà nghiên cứu Tốn học trên tồn thế giới.

Như chúng ta đã biết, chuyên đề về phương trình, bất phương trình chiếm mộtlượng khá lớn trong chương trình Tốn học phổ thơng. Tuy nhiên trong số các bàitập đó có một lượng lớn bài tập mà ta không thể giải được bằng phương phápthông thường (trong phân phối chương trình), nhất là bậc trung học phổ thơng hoặccó thể giải được nhưng gặp rất nhiều khó khăn và phức tạp.

Trong khi đó giữa PT, BPT và hàm số có mối liên quan rất chặt chẽ với nhau vàkhi định nghĩa PT, BPT, người ta cũng dựa trên khái niệm hàm số. Do đó, nếu tabiết sử dụng hàm số để giải các bài tập đó thì chúng sẽ đơn giản hơn. Tuy nhiênkhơng phải bài tốn nào cũng có thể sử dụng hàm số để giải nhưng hàm số để giải

<i><b>là rất lớn. Chính vì vậy tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: "Ứng dụng hàmsố trong giải một số bài toán về phương trình, bất phương trình" với mong muốn</b></i>

giúp các em học sinh THPT, đặc biệt là các em HS lớp 12 đang chuẩn bị bước vàokì thi tốt nghiệp THPT năm 2024 này.

Thực tế khi áp dụng đề tài này vào việc giảng dạy cho HS lớp 12 ở các lớp tôiđang giảng dạy đã mang lại được hiệu quả đáng kể khơng chỉ riêng đối với họcsinh có nguyện vọng thi Đại học mà cịn gây hứng thú, kích sự say mê học Tốncủa cả các em chỉ có nguyện vọng thi Tốt nghiệp THPT.

Dù dã cố gắng nhưng với cách nhìn chủ quan của cá nhân tơi chắc chắn khơngthể tránh khỏi thiếu sót. Rất mong được sự góp ý chân thành của các em học sinhvà các bạn động nghiệp giúp tơi có cơ sở để hồn thiện hơn cho đề tài của mình đểcó thể áp dụng tốt hơn cho các khóa học sinh sau.

<b>2. Mục đích nghiên cứu:</b>

<i>Việc áp dụng đề tài SKKN "Ứng dụng hàm số trong giải một số bài tốn về </i>

<i>phương trình, bất phương trình" nhằm đạt được một số mục đích sau đây:</i>

- Trang bị cho học sinh một phương pháp giải PT, BPT mang lại hiệu quả rõ nét, giúp các em tự tin hơn trong việc tự học, tự rèn luyện kĩ năng giải PT, BPT.

- Bồi dưỡng cho học sinh một phương pháp, kỹ năng giải toán, kĩ năng nhận biết một số bài toán giải PT, BPT có khả năng áp dụng hàm số để giải. Qua đó học

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.

<b>3. Đối tượng nghiên cứu:</b>

<b>- Chủ thể nghiên cứu: Các dạng toán giải PT, BPT nằm trong chương trình </b>

tốn phổ thơng bao gồm cả các phương trình chứa tham số mà nếu áp dụng phươngpháp giải trong phạm vi sách giáo khoa sẽ rất khó thậm chí khơng thể

giải được mà phải áp dụng hàm số để giải.

<b>- Khách thể nghiên cứu: 32 học sinh lớp 12A2 và 47 học sinh lớp 12A7</b>

Trường PT Nguyễn Mộng Tuân.

<b>4. Phương pháp nghiên cứu:</b>

Ở đề tài này, khi giảng dạy cho học sinh, tôi đã cung cấp cho học sinh lí thuyếtcơ bản về hàm số, đồ thị hàm số, sự tương giao của hai đồ thị. Thơng qua hệ thốngcác ví dụ cụ thể từ đễ đến khó, kết hợp với sử dụng hình ảnh sinh động trực quanvề đồ thị hàm số thông qua các phần mềm toán học Geogebra nhằm giúp cho họcsinh từ việc tiếp cận để thấy được ưu thế của việc sử sụng hàm số trong việc giảiPT và BPT, giải và biện luận PT và BPT chứa tham số dẫn đến việccác em mạnhdạn, tự tin áp dụng và tiến tới việc tìm tịi sáng tạo trong việc giải PT và BPT.

Trong quá trình thực hiện đề tài, tôi đã sử dụng các phương pháp như sau:+ Phương pháp nghiên cứu tài liệu;

+ Phương pháp nghiên cứu quan sát các sản phẩm hoạt động của học sinh;+ Phương pháp thống kê xử lý số liệu.

+ Phương pháp phân tích, tổng hợp.

<b>5. Những điểm mới của sáng kiến:</b>

Sử dụng phần mềm Geogebra trực tiếp giảng dạy, giúp học sinh có cách nhìntrực quan về sự tương giao của hai đồ thị. Qua đó giúp các em hiểu rõ bản chất củahàm số và ứng dụng của hàm số vào việc giải các bài toán về PT và BPT, gây hứngthú học tập cho các em, kích thích sự say mê, sáng tạo trong học tập.

<b>PHẦN II: NỘI DUNG1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIẾN</b>

<b>1.1. Cơ sở lí luận. </b>

Giáo dục phổ thơng phải phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo củahọc sinh trong học tập, phù hợp với từng môn học, từng đối tượng học sinh; bồidưỡng cho học sinh khả năng tự học, vận dụng kiến thức đã học vào thực tiễn.

Mơn Tốn là mơn khoa học tự nhiên rất quan trọng, có liên quan đến nhiều mơnhọc khác, tuy nhiên kiến thức tốn chương trình THPT lại rất rộng và khó. Muốnhọc tốt mơn Tốn, ngồi việc phải nắm được lí thuyết một cách có hệ thống, họcsinh cịn phải biết biết vận dụng linh hoạt lí thuyết đó vào từng dạng bài tập cụ thể.

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

Muốn vậy học sinh phải có kiến thức, có tư duy logic, học phải đi đơi với hành. Trong chương trình sách giáo khoa cấp 3 chỉ nêu một số cách giải PT và BPTđơn giản, sự tương giao của hai đồ thị cũng chỉ trình bày ở mức độ đơn giản. Trongkhi nhiều vài tập vận dụng cao về PT, BPT trong các đề thi tốt nghiệp TPHT, đềthi học sinh giỏi THPT lại có những bài tập khơng thể giải được bằng các phươngpháp thơng thường mà địi hỏi phải vận dụng kiến thức về hàm số.

<i><b>Trên cơ sở đó, tơi tơi mạnh dạn đưa ra SKKN "Ứng dụng hàm số trong giảimột số bài tốn về phương trình, bất phương trình" với mục đích giúp cho học</b></i>

sinh THPT có thêm kiến thức, biết nhận dạng một số bài PT, BPT nói trên và ápdụng hàm số để giải được các PT, BPT cũng như các bài toán giải và biện luận PT,BPT chứa tham số đó. Đồng thời có nguồn tài liệu bổ sung cho các đồng nghiệplàm tư liệu dạy học.

<b>1.2. Cơ sở thực tiễn</b>

Năm học 2023 - 2024 tôi được nhà trường phân công giảng dạy mơn Tốn lớp12A2 có 32 học sinh và lớp 12A7 có 47 học sinh. Qua thời gian dạy học tơi nhậnthấy khi giải một số PT, BPT trong sách giáo khoa thì đa phần các em giải được,nhưng khi giải một số bài toán vận dụng cao trong các đề thi tốt nghiệp THPT vàcác đề thi thử tốt nghiệp THPT của các trường thì các em đều khơng giải được. Dođó một số học sinh chỉ có nguyện vọng thi tốt nghiệp thì khơng có hứng thú vìvượt q khả năng; Các em có nguyện vọng thi Đại học thì cảm thấy khó khăn vàmất rất nhiều thời gian tìm tịi, nghiên cứu tài liệu, các video bài giảng trên mạnginternet, tuy nhiên vẫn chưa thực sự hiểu và vận dụng tốt.

Để có số liệu đánh giá đúng thực trạng và có cơ sở đánh giá tính hiệu quả củacác biện pháp thực hiện, đầu năm học tôi đã tiến hành khảo sát học sinh để nắm rõđặc điểm tình hình học sinh cụ thể hơn.

<b>- Nội dung khảo sát:</b>

+ Khảo sát về mức độ hứng thú trong học tập mơn Tốn đối với các bài tốnPT và BPT

+ Khảo sát về chất lượng học tập mơn Tốn đối với các bài toán PT và BPT

<b>- Đối tượng khảo sát: 32 học sinh lớp 12A2 có lực học khá và 47 học sinh lớp</b>

12A7 có lực học trung bình Trường PT Nguyễn Mộng Tuân.

<b>- Thời gian khảo sát: Đầu tháng 12 năm 2023.- Đánh giá kết quả khảo sát:</b>

+ Về hứng thú học tập, 3 mức độ: Hứng thú; Bình thường và Khơng hứng thú.+ Về chất lượng bộ môn với 4 mức độ: Tốt; Khá; Đạt; Chưa đạt.

<b>- Kết quả khảo sát trước khi áp dụng đề tài</b>

+ K t qu kh o sát v h ng thú h c t p:ết quả khảo sát về hứng thú học tập: ả khảo sát về hứng thú học tập: ả khảo sát về hứng thú học tập: ề hứng thú học tập: ứng thú học tập: ọc tập: ập:

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

<i><b>Nhận xét: Từ kết quả khảo sát cho thấy, đối với những bài toán trong chuyên đề</b></i>

PT, BPT khi chưa nắm được phương pháp giải tốn thì cịn nhiều học sinh chưa cóhứng thú đối với. Khi khơng có hứng thú học tập, các em mất tập trung, khơng tíchcực, chủ động trong học tập vì vậy mà kết quả học tập chưa cao, năng học tập cũngchưa được hình thành và phát triển.

Như vậy, giáo viên cần cung cấp cho học sinh thêm kiến thức, phương pháp,kỹ năng giải toán, kĩ năng nhận biết một số bài toán giải PT, BPT, hướng dẫn họcsinh áp dụng hàm số để giải được các dạng tốn đó. Từ đó học sinh có hứng thúhọc tập, tự tin học tập, nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo. Trong năm học 2023 -2024 tôi đã thực hiện các giải pháp sau đây.

<b>2. NỘI DUNG BIỆN PHÁP THỰC HIỆN2.1. Cơ sở lí thuyết</b>

<i><b>Tính chất 1: Cho phương trình: ( )</b>^{f x}</i> <i>^{g x}</i>^{( )}<i>xác định trên tập D.</i>

Nếu một trong hai hàm số <i>^{f x}</i>^{( )}hoặc<i>^{g x}</i>^{( )}là hàm số đơn điệu, hàm còn lại là hàmhằng hoặc đơn điệu ngược với hàm kia thì phương trình nếu có nghiệm thì nghiệmđó là duy nhất.

<i><b> Tính chất 2: Cho phương trình </b>^{f x}</i>^{( )}<i>^m xác định trên tập D.</i>

<i>Điều kiện cần và đủ để PT có nghiệm là m thuộc miền giá trị của hàm số <small>f x</small></i><small>( )</small>.

<i><b> Tính chất 3: Cho phương trình </b>^{f x}</i>^{( )}<i>^m xác định trên tập D.</i>

Nếu <i>f x</i>( )<i>_{là hàm số liên tục và đơn điệu trên D thì phương trình trên có khơng}</i>

q một nghiệm.

<i><b> Tính chất 4: Cho bất phương trình: </b>f x</i>( )<small>0</small> <i>m</i> ( hoặc <i>f x</i>( )<small>0</small> <i>m</i>)

i) Nếu <i>^{f x}</i>^{( )}<i>là hàm đơn điệu tăng trên tập D và tồn tại x</i><small>0</small><i>D</i> sao có <i>f x</i>( )<small>0</small> <i>m</i> thì tập nghiệm của bất PT là: <i>T</i> <i>D</i>( ;<i>x</i><small>0</small> ) hoặc <i>T</i> <i>D</i>  ( ; )<i>x</i><small>0</small> ) .

ii) Nếu <i>^{f x}</i>^{( )}<i>là hàm đơn điệu giảm trên D và tồn tại x</i><small>0</small><i>D</i> sao có <i>f x</i>( )<small>0</small> <i>m</i> thì

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

tập nghiệm của bất PT là: <i>T</i> <i>D</i>  ( ; )<i>x</i><small>0</small> (hoặc <i>T</i> <i>D</i>( ;<i>x</i><small>0</small> )).

<i><b> Tính chất 5: Cho hàm số </b>^{f x}</i>^{( )}<i> xác định trên tập D</i>

1. ( )<i>^{f x}</i> <i>^m</i>^, <i>^{x D}</i> min ( )

<i>m</i> <i>f x. Khi đó trên tập D, mọi điểm thuộc đồ thị </i>

hàm số <i>^{f x}</i>^{( )} đều nằm phía trên hoặc thuộc đường thẳng <i>^{y m}</i>

2. ( )<i>^{f x}</i> <i>^m</i>^, <i>^{x D}</i> <i>^m</i>^{max ( )}<i>_D^{f x}. Khi đó trên tập D, mọi điểm thuộc đồ thị </i>

hàm số <i>^{f x}</i>^{( )} đều nằm phía dưới hoặc thuộc đường thẳng <i>^{y m}</i> .

3. <i>^{f x}</i>^{( )}<i>^m</i> có nghiệm <i>^{x D}</i>  <i>^m</i><i>_D</i>^{max ( )}<i>^{f x}. Khi đó trên tập D, tồn tại ít nhất</i>

một điểm thuộc đồ thị hàm số <i>f x</i>( )_{nằm phía trên hoặc thuộc đường thẳng}<i>^{y m}</i> .4. <i>^{f x}</i>^{( )}<i>^m</i> có nghiệm <i>^{x D}</i>  <i>^m</i>^{min ( )}<i>_D^{f x}. Khi đó trên tập D, tồn tại ít nhất </i>

một điểm thuộc đồ thị HS <i>^{f x}</i>^{( )} nằm phía dưới hoặc thuộc đường thẳng <i>^{y m}</i> . 5. Nếu <i>f x</i>( )<i>_{là hàm số đơn điệu tăng trên D và tồn tại u, v}</i><i>D. Khi đó: </i>

<i><b>Bước 1: Biến đổi phương trình đã cho về dạng ( )</b>^{f x}</i> <i>^{g x}</i>^{( )}<i> (hoặc ( )^{f u}</i> <i>^{g u}</i>^{( )})

<i><b>Bước 2: Xét hai hàm số </b>^y</i><i>^{f x}</i>^{( )} và <i>^{y g x}</i> ^{( )}<i> trên D</i>

* Tính <i>^{f x}</i>^{'( )}, xét dấu <i>^{f x}</i>^{'( )}, kết luận tính đơn điệu của HS <i>^y</i><i>^{f x}</i>^{( )}<i> trên D</i>

* Tính <i>g x</i>'( )_{, xét dấu}<i>g x</i>'( )_{, kết luận tính đơn điệu của HS}<i>y g x</i> ( )<i> trên D</i>

* Kết luận hai hàm số <i>^y</i><i>^{f x y g x}</i>^{( );}  ^{( )} đơn điệu ngược nhau, hoặc một trong hai hàm số là hàm số hằng.

* Tìm <i>x sao cho </i><small>0</small> <i>f x</i>( )<small>0</small> <i>g x</i>( )<small>0</small> (hoặc tìm <i>u sao cho </i><small>0</small> <i>f u</i>( )<small>0</small> <i>g u</i>( )<small>0</small> )

<i><b>Bước 3: Kết luận:</b></i>

<i>* Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi x = x<small>o</small> (hoặc u = u<small>o</small></i> rồi giải

<i>phương trình u = u<small>o</small></i>)

* Kết luận nghiệm của phương trình đã cho

<b>Dạng 2: PT đã cho biến đổi được về dạng ( )</b><i>^{f u}</i> <i>^{f v}</i>^{( )} trong đó <i>^{u u x}</i> ^{( ),} <i>v v x</i> ( )

<i><b>Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng f (u) = f (v) Bước 2: Xét hàm số y = f (x) trên D</b></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

<b>Dạng 1: BPT biến đổi về dạng ( )</b><i>^{f x}</i> <i>^{g x}</i>^{( )}<i> (hoặc ( )^{f u}</i> <i>^{g u}</i>^{( )}) trong đó <i>^{u u x}</i> ^{( )}.

<i><b>Bước 1: Biến đổi BPT đã cho về dạng ( )</b>^{f x}</i> <i>^{g x}</i>^{( )}<i> (hoặc ( )^{f u}</i> <i>^{g u}</i>^{( )})

<i><b>Bước 2: Xét hai hàm số </b>^y</i><i>^{f x y g x}</i>^{( );}  ^{( )}<i> trên D</i>

* Tính <i>^{f x}</i>^{'( )}, xét dấu <i>^{f x}</i>^{'( )}, kết luận tính đơn điệu của hàm số <i>^y</i><i>^{f x}</i>^{( )}<i> trên D</i>

* Tính <i>^{g x}</i>^{'( )},xét dấu <i>^{g x}</i>^{'( )}, kết luận tính đơn điệu của hàm số <i>^{y g x}</i> ^{( )}<i> trên D</i>

* Tìm <i>x sao cho </i><small>0</small> <i>f x</i>( )₀ <i>g x</i>( )₀ (hoặc tìm <i>u sao cho </i><small>0</small> <i>f u</i>( )₀ <i>g u</i>( )₀ )* Nếu <i>^{f x}</i>^{( )} đơn điệu tăng, <i>^{g x}</i>^{( )} đơn điệu giảm (hoặc là hàm hằng) thì

<i>f x</i> <i>g x</i>  <i>x x</i> <i>x D</i> (hoặc <i>f u</i>( )<i>g u</i>( ) <i>u u x D</i> <small>0</small>,  ) * Nếu <i>^{f x}</i>^{( )} đơn điệu giảm, <i>^{g x}</i>^{( )} đơn điệu tăng (hoặc là hàm hằng) thì

<i>f x</i> <i>g x</i>  <i>x x</i> <i>x D</i> (hoặc <i>f u</i>( )<i>g u</i>( ) <i>u u</i> <small>0</small>, <i>x D</i> )

<i><b>Bước 3: Kết luận nghiệm của bất phương trình đã cho</b></i>

<b>Dạng 2: BPT biến đổi được về dạng ( )</b><i>^{f u}</i>  <i>^{f v}</i>^{( )} trong đó <i>^{u u x v v x}</i> ^{( ),}  ^{( )}

<i><b>Bước 1: Biến đổi bất phương trình về dạng ( )</b>^{f u}</i>  <i>^{f v}</i>^{( )}

<i><b>Bước 2: Xét hàm số </b>^y</i><i>^{f x}</i>^{( )}<i> trên tập D</i>

* Tính <i>^{f x}</i>^{'( )}, xét dấu <i>^{f x}</i>^{'( )}. Kết luận hàm số <i>^y</i><i>^{f x}</i>^{( )}<i> đơn điệu trên tập D</i>

* Nếu <i>f x đơn điệu tăng thì: ( )</i>

 

<i>f u</i>  <i>f v</i>( ) <i>u v x D</i> , * Nếu <i>f x đơn điệu giảm thì: ( )</i>

 

<i>f u</i>  <i>f v</i>( ) <i>u v x D</i> , 

<i><b>Bước 3: Kết luận nghiệm của bất phương trình đã cho</b></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

dụng hàm số giải các phương trình này.

<i><b>a) </b>_x</i>_{ }₁ <i>_x</i>_{ }₆ <i>_x</i>_ _{2 6}_

TXĐ: <i>D </i>



2 ; + 



Xét hàm số: ( )<i>f x</i>  <i>x</i> 1 <i>x</i>6 <i>x</i> 2+ TXĐ : <i>D </i>



2 ; + 



  với t > 0. Khi đó VT = <i>f</i>



2<i>x </i> 5



_{, VP =} <i>f x </i>



1



Ta xét hàm số <i>f t</i>( ) <i>e<small>t</small></i> ¹<i>t</i>

  với t > 0 ( <i>f t</i>( ) <i>e<small>t</small></i> ¹<i>t</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

Đặt t = <i>x</i><small>2</small>  <i>x</i>5 với <i>t e</i> , thì phương trình trên trở thành: log<small>2</small> 38

<i>t</i> ^ ⁽²⁾

Xét hàm số: log<small>2</small>( ) <i>^t</i>

<i>f t</i>

 với <i>t e</i> ; '( ) ^{1 ln}₂ln 2

<i>tf t</i>

<i>f</i>   Phương trình (2) có nghiệm duy nhất <i>t </i>8

Với <i>t </i>8ta có <i>x</i><small>2</small>  <i>x</i>  5 8

1 1321 13

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm ¹ ¹³2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất <i>x </i>1.

<b>Bài 2: Giải các bất phương trình sau:</b>

Lại có: <i>^f</i>^{(3) 3} <i>; do đó, bất phương trình có nghiệm x thì ^{x }</i>^(3;⁾.

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

Vậy tập nghiệm là: <i>T </i>



2;4



(3; )



3;4



<i><b>b) </b></i>4 2<i>x</i> 1 (<i>x</i>²  <i>x</i>1) <i>x</i>³ 6<i>x</i>² 15<i>x</i> 14 (1)

<i>TXĐ: D = </i><small></small> , BPT (1)  2<i>x</i> 1 (2_ <i>x</i> 1)² 3_ (<i>x</i> 2)³3<i>x</i> 6  2<i>x</i> 1³ 3 2<i>x</i> 1 ( <i>x</i> 2)³3(<i>x</i> 2) (2)Xét hàm số: <i>f x</i>( )<i>x</i>³3<i>x</i> là hàm số đồng biến trên <small></small>.

Điều kiện: <i>x</i> 1 0  <i>x</i>1<i> . Vậy TXĐ: D = </i>



<small>1;</small>



(1)  3 ²⁽<i>^x</i><small></small>^{1) 1}<small></small> 2(<i>x</i> 1) 3<i><small>x</small>x</i>² 2<i>x</i> 1

<b>2.3.2. Ứng dụng hàm số để giải và biện luận phương trình</b>

<i><b>Bài 2: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau:a) </b></i> ² 4 3

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

<i><b>a. </b></i> <small>2</small> 4 32

<i>x</i>  <i>x</i>  <i>m</i> (1)

<i><b> Nhận xét: Bài tập này ta có thể giải bằng phương pháp thơng thường. Tuy nhiên, </b></i>

nếu giải bằng phương pháp đó, ta phải kiểm tra điều kiện của ẩn số rất phức tạp. Tasẽ giải bài này bằng cách sử dụng hàm số

<i><b>Giải: </b></i>

<i>TXĐ: D = </i>



<small>;1</small>

 

<small>3;</small>



<i>Trên D, (1) </i> ² 4 32

Xét hàm số ( ) <small>2</small> 4 32

<i>f x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>  với <i>x D</i> ; Ta có: ^{'( )} ₂ ² ¹24 3

<i>xf x</i>

24 3

Số nghiệm của phương trình (1) là số điểm chung của đồ thị hàm số <i>^y</i> <i>^{f x}</i>^{( )} và đường thẳng <i>^{y m}</i> .

Dựa vào bảng biến thiên ta có kết quả biệnluận sau:

Nếu ³2

<i><small>y = m m</small></i>

Nếu ¹2

<i>m </i> , đường thẳng <i>^{y m}</i> và đồ thị hàm số <i>^y</i><i>^{f x}</i>^{( )} có hai điểm chung, dođó phương trình (1) có 2 nghiệm.

<i><small>xy = m </small></i>

<small>-21</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

Nếu ³ ¹

    , đường thẳng <i>^{y m}</i>

và đồ thị hàm số <i>^y</i> <i>^{f x}</i>^{( )} có một điểm chung, do đó phương trình (1) có 1 nghiệm.

<i><small>y = m m</small></i>

<i><b>b. </b>^mx</i>^{1 (}<i>^{m x}</i>² ² ²<i>^mx</i>²⁾<i>^x</i>³  ³<i>^x</i>² ⁴<i>^x</i> ²

Viết lại phương trình dưới dạng <i>^mx</i>^{1 (}_ <i>^mx</i>¹⁾² ¹_ ⁽<i>^x</i> ¹⁾³⁽<i>^x</i> ¹⁾  <i>mx</i>1³  <i>mx</i> 1 (<i>x</i> 1)<small>3</small> (<i>x</i> 1) (2)Nhận thấy VT là hàm số <i>f mx</i>



1



<i>mx</i>1³ <i>mx</i>1

+ Giải và biện luận (I)

- Với <i>m </i>1 thì (3) vơ nghiệm nên (I) vơ nghiệm- Với <i>m </i>1 thì (3) có nghiệm ²

+ Giải và biện luận (II)

- Với <i>m </i>1<i> thì (4) nghiệm đúng với mọi x, nên (II) nhận x </i>1 làm nghiệm- Với <i>m </i>1 thì (4) có nghiệm <i>x </i>0, nhưng khơng là nghiệm của (II)

<i><b>c. </b></i>2<i>^{m x}</i>² <small>6</small> 2<small>4</small><i>^x</i><small>3</small><i>^m</i> (4 <i>m x</i><small>2</small>) 3<i>m</i> 6

Viết lại phương trình dưới dạng 2<i>^{m x}</i><small>26</small> <i>m x</i><small>2</small> 6 2<small>4</small><i>^x</i><small>3</small><i>^m</i> 4<i>x</i> 3<i>m</i>

</div>