skkn cấp tỉnh phương pháp khai thác bài toán theo định hướng phát triển các mối liên hệ giữa các dối tượng toán học trong sự vận động và phát triển của chúng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (325.3 KB, 24 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP KHAI THÁC BÀI TOÁN

THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN CÁC MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC ĐỐI TƯỢNG TOÁN HỌC TRONG SỰ VẬN ĐỘNG

VÀ PHÁT TRIỂN CỦA CHÚNG

Người thực hiện: Lê Văn ChíChức vụ: P. Hiệu Trưởng

SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

THANH HĨA, THÁNG 5 NĂM 2024

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

1. Mở đầu Trang

2.3. Một số ví dụ điển hình về sử dụng Phương pháp khai thác bàitoán theo định hướng phát triển các mối liên hệ giữa các dối tượngtrong sự vận động và phát triển của chúng.

2.3.1. Bài toán xuất phát từ định lý Pytago trong hình học phẳng 3

2.3.2. Bài toán xuất phát từ định lý Thales trong hình học phẳng 9

2.3.4. Dạy nội dung về Mặt cầu hãy xuất phát từ nội dung Đườngtròn

14 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

1. Mở đầu

1.1. Lý do chọn đề tài:

Nếu triết học nghiên cứu về sự vận động và phát triển của sự vật và hiệntượng thì tốn học nghiên cứu về những đối tượng và các tính chất bất biến củanó. Điều đó cho thấy rằng tốn học và triết học có mối liên hệ chặt chẽ với nhau.Toán học là một thế giới vật chất, Con người đã từ nghiên cứu thực tiễn, kháiquát hóa nên các đối tượng ấy…Chỉ khác, là vốn ban đầu, các đối tượng đó chưađược gọi tên là “hàm số – đồ thị”, “tập số”, “phương trình”, “đường thẳng”…

Tất cả những đối tượng đó đúng như triết học đã nói “tồn tại khách quan, độclập với ý thức của con người, không ai sáng tạo ra và không ai có thể tiêu diệtđược”. [1].

Trong nội tại tốn học có rất nhiều mối liên hệ: “mối liên hệ giữa nộidung - hình thức; mối liên hệ giữa bản chất - hiện tượng; mối liên hệ giữa cáichung - cái riêng; mối liên hệ giữa nguyên nhân và kết quả… ”. Các nhà triếthọc, nhà khoa học dựa trên nền tảng các mối liên hệ, để nghiên cứu làm sâu sắchiểu biết về thế giới. Các nhà sư phạm Toán trên cơ sở của các mối liên hệ, làmsâu sắc thêm quan hệ giữa các đối tượng toán học. Trên cái nhìn tổng qt củamơn học trong q trình dạy học Thầy cô giáo hướng dẫn học sinh nhữngphương pháp và cách thức để các em tìm ra qui luật và chân lý. Đó cũng chínhlà mục đích cao cả của dạy học. Một trong những phương pháp thể hiện rõ nét làviệc nghiên cứu các mối liên hệ của các đối tượng toán học trong sự vận độngvà phát triển theo nhiều chiều hướng khác nhau. Qua nhiều năm giảng dạy, cánhân tơi tâm đắc với phương pháp đó. Tôi xin được trao đổi với các đồng

nghiệp, những người yêu toán và các em học sinh bài viết “Phương pháp khai

thác bài toán theo định hướng phát triển các mối liên hệ giữa các dối tượngtoán học trong sự vận động và phát triển của chúng”. Do khuôn khổ bài viết

tơi chỉ giới hạn ở một số bài tốn hình học trong chương trình tốn THPT. Ngồira đề tài tập trung vào việc định hình phương pháp nên có khai thác một phầnkiến thức hình học cấp 2 làm nền tảng để phát triển. Việc triển khai đề tài với sựthống nhất ý tưởng của cả tổ chuyên môn là định hướng chuyển dạy học theochuyên đề.

1.2. Mục đích nghiên cứu

- Giúp các em học sinh có phương pháp học, phương pháp nghiên cứukhoa học, có cách nhìn sâu sắc để khám phá ra các qui luật tự nhiên, nhận ra vẻđẹp của Toán học.

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

- Học sinh có thể vận dụng phương pháp để liên hệ sang các bài tốn khácnói riêng, các mơn học khác, các vấn đề khác nói chung.

1.3. Đối tượng nghiên cứu

- Phương pháp dạy học theo khuynh hướng vận dụng lý luận triết học duyvật biện chứng trong khai thác mối liên hệ giữa các đối tượng toán học trong sựvận động và phát triển từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp trong nội hàmmột số bài tốn phổ thơng.

- Đối tượng áp dụng để nghiên cứu là học sinh trường THPT Hoằng Hóa4 các năm 2021-2022 và 2022- 2023.

1.4. Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận về các cặp phạm trù và mối liên hệ phổbiến trong triết học duy vật biện chứng. Nghiên cứu đối tượng luôn trong sự vậnđộng và phát triển.

- Phương pháp thực nghiệm, Sử dụng kết quả phân tích các bộ số liệu liênquan.

2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm2.1. Cơ sở lý luận

Trong triết học, phương pháp luận biện chứng xem xét sự vật, hiện tượngtrong sự ràng buộc lẫn nhau, trong sự vận động và phát triển khơng ngừng củachúng. Trong tốn học, tất cả các chứng minh đều là phương pháp luận biệnchứng. Khi chứng minh, đương nhiên các sự vật (ở đây là các đối tượng toánhọc) được nhà toán học dựa trên sự ràng buộc và trong sự vận động khôngngừng. Tất cả các đối tượng trong tốn học đều có mối quan hệ biện chứng.Điều này dẫn chúng ta đến một kết luận có tính quy luật các kết luận tốn họcln trong mối liên hệ với nhau, chúng vận động và phát triển từ thấp đến cao,từ đơn giản đến phức tạp. Các bài tốn hình học ở phổ thơng phản ánh rõ nétmối liên hệ đó. Trong chương trình hình học phổ thơng, việc xây dựng và phát

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

triển từ không gian một chiều (Trục) đến không gian 2 chiều (Hệ trục tọa độtrong mặt phẳng) và cuối cùng là không gian 3 chiều (Hệ trục tọa độ trongkhông gian) thể hiện rõ nét điều đó.

2.2. Thực trạng

Những năm trở lại đây, việc chuyển từ hình thức thi tự luận sang thi trắcnghiệm ở hầu khắp các mơn học. Mơn Tốn cũng nằm trong số đó, các bài tốnsử dụng thi TN thường độc lập, ít mối liên hệ, khó mở rộng và phát triển. Việcthi sẽ ảnh hưởng đến việc học như thế nào và dạy sao cho phù hợp là tất yếu.Mặt tích cực của thi TN là rõ nét, tuy nhiên mặt hạn chế cũng rất đáng kể. Việcdạy để học sinh đáp ứng được các kỳ thi với các bài thi TN đối với học sinhTHPT làm cho học sinh có suy nghĩ tìm phương án nhanh nhất đến với đáp số.Các em dùng mẹo mực và thủ thuật nhiều hơn là tư duy hệ thống. Thậm chí làsử dụng các dự đốn mang tính cảm tính và hình thành thói quen để chọn đáp sốcho các bài tốn.

Ngồi ra một bộ phận thầy cơ giáo hiện nay ít để tâm, ít khi liên hệ đếnkiến thức triết học duy vật biện chứng. Nhiều thầy cơ mặc định đó là kiến thứccủa môn học Triết học, kiến thức vượt với mức độ hiểu biết của học sinh phổthông. Lẽ hiển nhiên các em học sinh sẽ khơng có nhiều cơ hội tiếp cận với líluận, cũng như việc vận dụng triết học vào học tập, công việc hàng ngày. Chínhnhững lí do trên là một trong những nguyên nhân dẫn tới hạn chế sự phát triển tưduy logic, thế giới quan Biện chứng của học sinh.

Trên cơ sở của một số định lý hay kết quả của một số bài tốn có nhiềuthầy cơ cũng chưa hệ thống, chưa khái quát thành một mạch kiến thức hoànchỉnh. Khi học sinh làm toán, nhất là toán trắc nghiệm các em cần có nhữngcơng thức, những kết luận ngắn gọn để có thể vận dụng và sử dụng ngay khi cóthể. Thì trong q trình giảng dạy, nếu thầy cơ có thể hướng dẫn học sinh xâydựng được các cơng thức, các kết luận có tính hệ thống. Có thể áp dụng hữuhiệu khi làm tốn sẽ giúp ích được cho các em rất nhiều. Đặc biệt khi phải chạyđua với thời gian và một số những phát triển mới từ các đề thi.

2.3. Một số ví dụ điển hình về sử dụng Phương pháp khai thác bàitoán theo định hướng phát triển các mối liên hệ giữa các dối tượng trong sựvận động và phát triển của chúng.

2.3.1. Bài tốn xuất phát từ định lý Pytago trong hình học phẳng

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

Định lý Pytago được giới thiệu từ lớp 7. Đây là một định lý được sử dụngnhiều trong hình học .

Phần đơng học sinh vận dụng định lý rất thuần thục để làm toán. Tuy

nhiên khơng mấy em đặt cho mình câu hỏi hay nghi vấn rằng: Định lý chỉ đúngvới Tam giác vuông, tam giác vuông là trường hợp đặc biệt (trường hợp riêng)của tam giác, vậy có mối liên hệ tổng quát nào đúng cho các tam giác thường(cái tổng quát) không? Thông thường khi dạy phần này một số thầy cô thường

giới thiệu và chứng minh cho học sinh định lý cosin.

+ Định lý cosin đúng cho tam giác bất kỳ: Do đó cũng sẽ đúng cho tam

giác vng, tam giác cân, tam giác đều, tam giác nhọn và tam giác tù.

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

+ Nếu xem tam giác là trường hợp đặc biệt của tứ giác: Chúng ta sẽ

phát triển bài tốn và có niềm tin tìm ra công thức mới cho tứ giác.

B <-D

 Với trường hợp tam giác vuông:

Ta xem tam giác vuông ABC là trường hợp đặc biệt có được từ hình chữnhật ABDC suy biến thành tam giác ABC, tức khi điểm D trùng với B. Khơng

khó khăn học sinh sẽ tìm ra được công thức:

Khi B, D trùng O định lý Pytago sẽ được phát biểu là: Trong một tứ giác

có hai đường chéo vng góc thì tổng bình phương của hai cạnh đối diện nàybằng tổng bình phương của hai cạnh đối diện kia.

Tức là:

AB

2

CD

2

BD

2

AC

2

Chứng minh:

Sử dụng định lý Pytago cho các tam giác vng OAC, ODB, OAB và OCD ta có:

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Cộng theo vế (1) với (2); (3) với (4) ta được đpcm.

 Với trường hợp tam giác bất kỳ:

AB <-D

Tứ giác ABCD là hình bình hành khi đó hai đường chéo bằng nhau. Gọi

I, J lần lượt là trung điểm hai đường chéo BC, AD. Độ dài các cạnh được nhưtrên hình vẽ AB= a, BD = b …, IJ =p. Khi ABCD là hình bình hành ta có

BC AD AC AB BD DC khi đó(và) giá trị p = 0.

A

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

Lý luận là ánh sáng chỉ đường để học sinh tìm chân lý. Có thể khẳng địnhsự tồn tại của một hệ thức tổng quát cho tứ giác bất kỳ.

Lúc này với các em học sinh khá giỏi, u thích mơn tốn sẽ dự đốn đếnmột biểu thức dạng:

a2 b2 c2 d2 m2 n2 kp2

Vấn đề là giá trị “k” sẽ tìm ra như thế nào?

Nếu nghĩ đến việc tứ giác ABCD suy biến thành tam giác ABC (điểm Dtrùng với B) khi đó: b=0, c= m, a = n, ta có hệ thức

aa c d c d k

Ta rút ra k =4.

Kết quả này đưa các em đến dự đốn và chứng minh cơng thức(định lý):

Tứ giác lồi bất kỳ ABCD ta ln có:

Việc chứng minh cơng thức này khơng khó khăn. Chỉ cần áp dụng công thứcđường trung tuyến trong tam giác suy ra điều phải chứng minh.

+ Kết quả trên sẽ dẫn đến suy nghĩ táo bạo cho nhiều học sinh rằng. Nếu

xem tứ giác là trường hợp suy biến của ngũ giác, lục giác hay đa giác nói chungthì tổng bình phương độ dài các cạnh sẽ liên hệ được với hệ thức với các đườngchéo, đường trung đoạn (đường nối trung điểm các đường chéo). Trong khảnăng của mình các em khơng khó tìm ra cơng thức liên hệ ở các hình đặc biệtnhư Ngũ giác đều, Lục giác đều …

+ Mở rộng ta sẽ nhìn bài tốn ở khía cạnh khơng gian:

Giờ hãy xem hình bình hành ABCD là trường hợp riêng của hình hộp.ABCD.MNPQ. Khi các điểm M A N, B P C Q D,  ,  .

M

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

Trong hình bình hành thì tổng bình phương các cạnh bằng tổng bìnhphương các đường chéo. Vậy trong hình hộp liệu tổng bình phương các cạnh cóbằng tổng bình phương các đường chéo?

Khơng khó khăn cho việc chứng minh đẳng thức: 4(AB2BC2AM2)AP2BQ2 CM2DN2

Đương nhiên khi đúng với hình hộp thì hình hộp chữ nhật, hình lập phươnglà hiển nhiên. Các em có được ngay kết quả quen thuộc.

- Với hình hộp chữ nhật:

AB2 BC2 AM2 AP2- Với hình lập phương:

3AB2 AP2

Tương tự như hình bình hành. Đối với tam giác có thể xem là trường hợp

suy biến của một tứ diện. Tam giác ABC có được từ tứ diện ABDC khi điểm Dtrùng với điểm B (hoặc C).

Ta hãy xét trường hợp tam giác ABC vuông tại A theo định lý Pytago ta

CB

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

Vậy liệu có hay khơng một đẳng thức liên quan đến diện tích tam giác. Liệu

tổng bình phương diện tích các mặt bên ABC, ACD và ABD có bằng bình

phương diện tích mặt đáy khơng?Tức là:

Đây là một hệ thức đã được chứng minh và sử dụng khá nhiều trong các

bài tốn hình học khơng gian. Nó được xem như là định lý Pytago trong không

gian. Hệ thức này mở ra cho học sinh khát khao tìm kiếm các hệ thức mới mạnh

hơn, tổng quát hơn đối với các hình như Tứ diện (tứ diện đều, gần đều, tứ diệnvuông hay tứ diện bất bất kỳ và ngay cả là hình chóp nói chung…), Hình chóp,…Rõ ràng đây sẽ là đề tài mở để tìm tịi, khám phá vơ tận cho học sinh mà xuấtphát từ việc phát triển định lý Pytago trong hình học phẳng.

2.3.2. Bài toán xuất phát từ định lý Thales trong hình học phẳng

Với phương pháp phát triển bài tốn từ các mối liên hệ và sự mở rộng nhưđịnh lý Pytago cho phép học sinh có thể nghĩ ngay đến việc phát triển:

+ Định lý Thales, từ định lý Thales trong mặt phẳng các em có thể mởrộng thành định lý Thales trong không gian.

+ Từ tỉ lệ diện tích trong tam giác đến tỉ lệ thể tích trong tứ diện. + Từ các bài toán về đường trịn đến các bài tốn về mặt cầu+ Từ Vectơ trong mặt phẳng đến Vectơ trong khơng gián……

Trong hình phẳng ngồi định lý Pytago ta cịn định lý Thales là hai địnhlý được sử dụng khai thác nhiều. Học sinh học lên chương trình cấp trung họcphổ thơng được mở rộng và giới thiệu các ứng dụng của định lý khá nhiều trongchương trình hình học khơng gian.

Ví dụ: Định lý Thales.

Nếu 1 đường thẳng song song với 1 cạnh của tam giác đó và cắt 2 cạnhcịn lại thì nó định ra trên 2 cạnh đó những đoạn thẳng tỉ lệ.

Tức là Trong tam giác ABC, d là đường thẳng song song với cạnh đáy BC cắt

AB, AC lần lượt tịa M, N. Khi đó ta có tỉ số

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

NM

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

2.3.3. Bài toán về khoảng cách

Bài toán: Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm trêncạnh của một tam giác đều đến các cạnh còn lại là không đổi.

Tức là: Tam giác ABC đều, lấy điểm M bất kỳ trên cạnh AC. H, K là hìnhchiếu của M lần lượt lên BC, AB. Ta sẽ chứng minh MK + MH là khơng dổi.

Thầy cơ có thể hướng dẫn học sinh dự đoán kết quả này thông qua trường

hợp riêng [2]. Khi điểm M trùng với đỉnh A, hoặc C. Ta được ngay kết quả MK+ MH = AN (đường cao của tam giác). Như vậy nếu đại lượng khơng đổi mà ta

cần tìm có thể là đường cao của tam giác.

Chứng minh: Kẻ MJ song song BC cắt AN tại I. Khi đó MK= AI, MH=IN. Do đó MK +MH = AI +IN = AH (đpcm).

Nếu việc gắn điểm M trên cạnh tam giác là trường hợp riêng khi điểm Mbất kỳ trong tam giác đều ABC. Liệu kết quả tổng khoảng cách từ M đến cáccạnh có là đại lượng khơng dổi? Tức là MK + MP + MH không đổi.

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

Ta dự đoán kết quả MK + MP + MH bằng việc xét điểm M nằm trênđường cao AN. Khi đó kết quả MK + MP + MH = AN. Và dự đoán rằng trongtrường hợp chung (tổng quát) với M bất kỳ trong tam giác thì MK + MP + MH= AN. Chứng minh kết luận này khơng khó khăn. Qua M kẻ đường thẳng songsong với BC và lần lượt cắt AB, AC tại Y, X. Khi đó ta có MK+MP = AI, MH =IN suy ra:

MK + MP + MH = AI+IN = AN (ĐPCM).

Kết luận 1: Tổng khoảng cách từ một điểm trong một tam giác đều đếncác cạnh là khơng đổi.

Mở rộng bài tốn vào không gian:

+ Nếu xem tam giác đều ABC là trường hợp suy biến của tứ diện đều ABCD khi

đỉnh D trùng với một trong ba đỉnh còn lại. Vậy trong tứ diện đều kết luận trên

sẽ được phát triển như thế nào?

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

Tứ diện đều ABCD, điểm M nằm trong tứ diện. Gọi N,K,L và O lần lượt là hình chiếu của M lên các mặt phẳng (ADC), (ABC), (ABD) và (BCD). Gọi H là hình chiếu vng góc của đỉnh A xuống mặt phẳng (BCD).

Liệu kết quả tổng khoảng cách từ M đến các mặt phẳng có khơng đổi?Tức là: MN+ MO+MK+ML không đổi?

Ta đi xét các trường hợp riêng đặc biệt sau

1. Khi điểm M trung điểm cạnh AB.

Qua M dựng mặt phẳng song song với (BCD) cắt AD tại R, AC tại S, AH tại ITa có: MN+ MO+MK+ML = M0+MN = IH+AI = AH. Điều này cho ta

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

3. Khi M nằm trong tam giác (ABC).

Bằng cách qua M dựng mặt phẳng song song với mặt (BCD) cắt AD tại R, AC tạiS, AH tại I và AB tại X. Khi đó

MN+ MO+MK+ML = MO+ ML+MN = IH+ML+MN Đến đây tổng ML+MN trở về với kết luận 2 là: ML+MN =AI

Do đó: MN+ MO+MK+ML = AH. Kết quả này cho ta đi đến kết luận 4

Kết luận 4: M là điểm bất kỳ trên một mặt của tứ diện đều, tổngkhoảng cách từ M đến các mặt của tứ diện còn lại bằng độ dài đường cao tứdiện.

Với cách xây dựng như vậy đưa chúng ta đến kết luận có tính chung, tổng quáthơn là:

Kết luận 5: M là điểm bất kỳ trong tứ diện đều, tổng khoảng cách từ Mđến các mặt của tứ diện bằng độ dài đường cao tứ diện.

Tức là: MN+ MO+MK+ML = AH (đường cao tứ diện đều) Vậy MN+ MO+MK+ML = AH không đổi.

Kết luận này cho học sinh một công thức thực sự giá trị. Các em có thể sử dụngnhanh để làm các bài toán trắc nghiệm, vận dụng trong các bài toán tính tốnkhoảng cách…

2.3.4. Dạy nội dung về Mặt cầu hãy xuất phát từ nội dung Đường tròn.

Khi nghiên cứu đến vấn đề Mặt cầu. Giáo viên hồn tồn có thể khai tháctrên nền tảng kiến thức các vấn đề liên quan đến Đường trịn để xây dựng. Phảinói rằng đây là một trong những nội dung kiến thức có thể phát triển mối liênhệ và mở rộng bài học rõ nét. Chúng ta sẽ đồng thời đạt được nhiều mục đích

như “ơn kiến thức cũ, huy động xây dựng kiến thức mới, rèn luyện kĩ năng,phát huy được tư duy logic biện chứng…Đặc biệt là các em có thể hình dungvà liên hệ được từ cái biết đến cái chưa biết”. Và điều quan trọng là kiến thức

các em được học luôn nằm trong mối liên hệ với nhau, chúng luôn vận động vàphát triển không ngừng.

</div>