Xác định số hạng tổng quát của dãy số - Huỳnh Thanh Luân pptx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (750.23 KB, 33 trang )
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Trang 1
1.
1.1.
1. Dãy tuyến tính với hệ số hằng số.
Dãy tuyến tính với hệ số hằng số.Dãy tuyến tính với hệ số hằng số.
Dãy tuyến tính với hệ số hằng số.
1.1 Bài tập cụ thể.
[ ]
( )
( ) ( ) ( )
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1;
2, 1.
3
2;
2 , 1
2
3 1
3; 1
3 1, 1
2 2
2
4; 3 3 6 2 3 1 6
2 3 , 1
3 2 1 , .
2
5;
khác hệ số nên ta vẫn giữ nguyên bậc:
n n
n n
n n
n n
u
CSC
u u n
u
CSN
u u n
u
u u n
u
n n n
u u n n
n g n g n g n an b
u
u
=
=
=
=
=
= +
=
=
= + + +
= +
= = +
=
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2
1
2
0
1
1
1
0
1
1
2 1 2 1 2 1
2 1, 1
2 1 1 , .
1
6; 2 2.2 3.2.2
3 2 , 1
2 2 3 2
1
7;
2 2 , 1
2 2 1 2
cùng hệ số nên phải nâng bậc:
n n
n n n
n
n n
n n n
n
n n
n n n
n n n n n
u n n
n g n g n g n an bn
u
u u n
a a
u
u u n
n n
+ = + +
= + +
+ = = +
=
= +
= +
=
=
= +
= +
( ) ( ) ( ) ( )
0 1
1 2
0 1
1 2
0 1
2 2
1
2
1 2
0 1
1 2
0
1; 2
8;
5 6 0, 2
1; 3
9;
4 4 0, 2
1; 3
10; 2 2 1 5 1 6 2 ,
5 6 2 2 1, 2
1; 4
11;
3 2 2 1, 2
1
12;
n n n
n n n
n
n n n
n n n
u u
u u u n
u u
u u u n
u u
n n g n g n g n g n an b c
u u u n n n
u u
u u u n n
u
= =
+ =
= =
+ =
= =
+ + = + = + +
+ = + +
= =
+ = +
=
1
1 2
0 1
1 2
0 1
1 2
0 1
1 2
; 4
2 2 1, 2
1; 3
13;
5 6 2.5 , 2
1; 3
14;
5 6 2.3 , 2
1; 4
15;
4 4 2 , 2
n n n
n
n n n
n
n n n
n
n n n
u
u u u n n
u u
u u u n
u u
u u u n
u u
u u u n
=
+ = +
= =
+ =
= =
+ =
= =
+ =
www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Trang 2
1.2 Xác lập phơng pháp (Phơng pháp sai phân).
1.2.1 Loại thuần nhất:
1 2
0 1 1
, , ,
0, 1
k
n k n k k n
x x x
a x a x a x n
+ +
+ + + =
(1)
Đầu tiên giải phơng trình đặc trng:
(
)
1
0 1
0, *
k k
k
a a a
+ + + =
Các trờng hợp xảy ra là:
(i) Nếu
(
)
*
có k nghiệm thực phân biệt
1 2
, , ,
k
thì nghiệm của (1) là
1 1 2 2
, 1,2,
n n n
n k k
x c c c n
= + + =
( với
1 2
, , ,
k
c c c
là các hằng số ).
(ii) Nếu
(
)
*
đợc viết lại nh sau
(
)
(
)
(
)
(
)
1
0 1 0 1 2 3
0
s h
k k
k q
a a a a
+ + + = =
,
với các
1 2 3
, , , ,
q
là khác nhau đôi một. Tức là
(
)
*
có
1
là nghiệm bội s, và
2
là nghiệm bội h, và
3
, ,
q
là các nghiệm đơn, và ( 2)
s h q k
+ + =
, thì (1) có nghiệm là
(
)
1
3 3 11 12 1 1
n n s n
n q q s
x c c c c n c n
= + + + + + + +
(
)
1
21 22 2 2
, 1,2,
h n
h
c c n c n n
+ + + + =
( với
11 12 1 21 22 2 3
, , , , , , , , , ,
s h q
c c c c c c c c
là hằng số)
(iii) Nếu
(
)
*
có k-2 nghiệm phân biệt
1 2 2
, , ,
k
và
(
)
cos sin
k
a bi r i
= + = +
(với
2 2
,
k k
r a b Arg
= = + = )
là nghiệm phức thì số phức liên hợp
(
)
cos sin
k
a bi r i
= =
cũng là nghiệm của
(
)
*
. Khi đó (1) có
nghiệm là
(
)
1 1 2 2 2 2
cos sin , 1,2,
n n n n
n k k
x c c c r A n B n n
= + + + + =
( với
1 2 2
, , , , ,
k
c c c A B
là các hằng số ).
(4i) Nếu
(
)
*
có s nghiệm thực phân biệt
1 2
, , ,
s
và
(
)
cos sin
q
a bi r i
= + = +
(với
2 2
,
q q
r a b Arg
= = + = )
là nghiệm phức bội h, thì số phức liên hợp
(
)
cos sin
q
a bi r i
= =
cũng là nghiệm phức bội h của
(
)
*
. Khi đó (1) có nghiệm tổng quát là
= + + +
1 1 2 2
n n n
n s s
x c c c
(
)
(
)
+ + + + + + + + =
1 1
1 2 1 2
cos sin , 1,2,
n h h
h h
r A A n A n n B B n B n n n
( với
1 2 1 1 2 1 2
, , , , , , , , , , ,
k h h
c c c A A A B B B
là các hằng số ).
Tức là cần phải biết cách ghi nghiệm đơn thực, nghiệm bội thực, nghiệm đơn phức, nghiệm bội phức trong
công thức nghiệm của (1).
VD: Giải lại các bài tập trong phần trớc.
1.2.2 Loại không thuần nhất:
1 2
0 1 1
, , ,
, 1
k
n k n k k n n
x x x
a x a x a x f n
+ +
+ + + =
(2)
B1: Tìm nghiệm của loại thuần nhất tơng ứng. Gs:
1 1 2 2
, 1,2,
n n n
n k k
x c c c n
= + + =
B2: Ta thay
(
)
(
)
(
)
*
1 1 2 2
, 1,2,
n n n
n k k
x c n c n c n n
= + + =
vào (2) để xđ các hàm
(
)
i
c n
.
www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Trang 3
B3: Nghiệm của (2) là:
*
n n n
x x x
= +
Để không sử dụng kiến thức ngoài chơng trình thì ta nên làm the
Để không sử dụng kiến thức ngoài chơng trình thì ta nên làm theĐể không sử dụng kiến thức ngoài chơng trình thì ta nên làm the
Để không sử dụng kiến thức ngoài chơng trình thì ta nên làm theo hớng: Làm nháp bằng phơng
o hớng: Làm nháp bằng phơng o hớng: Làm nháp bằng phơng
o hớng: Làm nháp bằng phơng
pháp sai phân để tìm nghiệm rồi ta sẽ chứng minh bằng qui nạp.
pháp sai phân để tìm nghiệm rồi ta sẽ chứng minh bằng qui nạp.pháp sai phân để tìm nghiệm rồi ta sẽ chứng minh bằng qui nạp.
pháp sai phân để tìm nghiệm rồi ta sẽ chứng minh bằng qui nạp.
VD:
Tìm
{ }
1
n
n
x
+
=
sao cho
1 1
0, sin , 1,2,
n n
x x x nx n
+
= = + =
Nháp: Giải phơng trình đặc trng
1 0
=
tìm đợc
1
=
.
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho có dạng
*
n n n
x x x
= +
. Trong đó
, 1,2,
n
n
x c c n
= = = ( c là hằng số
sẽ tìm sau), và
*
n
x
đợc tìm nh sau:
Ta xem c là một hàm theo n và tìm
*
n n
x c
=
. Thay
*
n n
x c
=
vào
1
sin , 1,2,
n n
x x nx n
+
= + = , ta đợc
1
sin , 1,2,
n n
c c nx n
+
= + =
1
sin , 1,2,
n n
c c nx n
+
= =
Suy ra
2 1
sin
c c x
= ,
3 2
sin 2
c c x
= ,
1
sin( 1)
n n
c c n x
=
Cộng lại ta đợc
1
sin sin 2 sin( 1)
n
c c x x n x
= + + +
Vậy
[
]
*
1
sin sin 2 sin( 1) , 1,2,
n n
x c c x x n x n= = + + + + =
Vì
*
n n
x c
=
thõa
1
sin , 1,2,
n n
x x nx n
+
= + = nên
1 1
0
c x
= =
. Vậy
[
]
*
sin sin 2 sin( 1) , 1,2,
n
x x x n x n= + + + =
Nếu
sin 0
2
x
=
thì
*
0 0, 1,2,
n n
x x n= = = . Còn nếu
sin 0
2
x
thì với mọi
1,2,
n
=
, ta có
*
1
sin sin sin sin 2 sin sin( 1)
2 2 2
sin
2
n
x x x
x x x n x
x
= + + + =
3 3 5 ( 2) ( 1)
cos cos cos cos cos cos
2 2 2 2 2 2
2sin
2
x x x x n x n x
x
+ +
=
( 2)
sin sin
1 ( 1)
4 4
cos cos
2 2
2sin sin
2 2
nx n x
x n x
x x
= =
.
Vậy
( 2)
sin sin
4 4
, 1,2,
sin
2
n
nx n x
x c n
x
= + =
Vì
1
0
x
=
nên
sin sin sin
1
4 4 4
0 tan
2 4
sin 2cos
2 4
x x x
x
c c c
x x
= + = = . Bởi vậy
www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Trang 4
( 2)
sin sin
1
4 4
tan , 1,2,
2 4
sin
2
n
nx n x
x
x n
x
= + =
Lời giải: Ta sẽ chứng minh với mọi
1,2,
n
=
thì
( 2)
sin sin
1
4 4
tan
2 4
sin
2
n
nx n x
x
x
x
= + (1)
bằng phơng pháp quy nạp.
Theo giả thiết ta có
1
sin sin sin sin
1 1
4 4 4 4
0 tan tan
2 4 2 4
2sin cos sin
4 4 2
x x x x
x x
x
x x x
= = =
vậy (1) đúng khi n=1.
Giả sử (1) đúng khi n=k, tức là
( 2)
sin sin
1
4 4
tan
2 4
sin
2
k
kx k x
x
x
x
= +
khi đó
1
( 2)
sin sin
1
4 4
sin tan sin
2 4
sin
2
k k
kx k x
x
x x kx kx
x
+
= + = + + =
( 2)
sin sin sin sin
1
4 4 2
tan
2 4
sin
2
kx k x x
kx
x
x
+
= + =
( 1) ( 1)
sin sin
1
4 4
tan
2 4
sin
2
k x k x
x
x
+
= +
Bài toán đợc giải xong.
Giải lại các bài phần trớc.
1.3 Ta sẽ giải một số dãy đặc biệt gọi là dãy số tuần hoàn.
Định nghĩa. Dãy số
{ }
1
n
n
x
+
=
đợc gọi là dãy số tuần hoàn nếu tồn tại số
k N
sao cho
, 1,2,
n k n
x x n
+
= = . (1)
Số k bé nhất thỏa mãn (1) đợc gọi là chu kỳ của dãy số tuần hoàn
{ }
1
n
n
x
+
=
.
Sử dụng phơng trình sai phân ta sẽ xác định đợc các dãy số tuần hoàn.
Bài toán 1. (dãy số tuần hoàn chu kỳ 2)
Tìm dãy số
{
}
1
n
n
x
+
=
biết
1 2
2
,
, 1,2,
n n
x x
x x n
+
= =
= =
Lời giải
www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Trang 5
Phơng trình đặc trng của dãy số đã cho là
{
}
2
1 1,1
= . Do đó
.1 ( 1) , 1,2,
n n
n
x A B n= + = .
Bởi vậy từ giả thiết
1 2
,x x
= =
, ta có
2
2
A
A B
A B
B
+
=
=
+ =
=
.
Do đó
+
= + =
( 1) , 1,2,
2 2
n
n
x n
Bài toán 2. (dãy số tuần hoàn chu kỳ 3)
Tìm dãy số
{
}
1
n
n
x
+
=
biết
3
, 1,2,
n n
x x n
+
= = và
1 2 3
, ,
x x x
cho trớc.
Lời giải
Phơng trình đặc trng
3
1
=
của dãy số đã cho có các nghiệm là
+
1 3 1 3
1, ,
2 2
i i
( hay
2 2 2 2
1, cos sin , cos sin
3 3 3 3
i i
+ )
Do đó
= + + =
2 2
cos sin , 1,2,
3 3
n
n n
x A B C n ,
trong đó các hằng số A, B, C sẽ đợc xác định khi biết
1 2 3
, ,
x x x
.
Ta cũng có thể trình bày nh sau:
Phơng trình đặc trng
3
1
=
của dãy số đã cho có các nghiệm là
2 2
cos sin ,
3 3
h h
i
+ với
0,1,2
h
=
Hay viết cụ thể là
+ +
2 2 4 4
1, cos sin , cos sin
3 3 3 3
i i
Do đó
1 1 1 2 2
2 2 4 4
cos sin cos sin , 1,2,
3 3 3 3
n
n n n n
x c A B A B n
= + + + + =
Mà
2 4 2 4
cos cos ,sin sin
3 3 3 3
n n n n
= = nên ta viết lại nh sau:
= + + =
2 2
cos sin , 1,2,
3 3
n
n n
x A B C n ,
trong đó các hằng số A, B, C sẽ đợc xác định khi biết
1 2 3
, ,
x x x
.
Bài toán 3. (dãy số tuần hoàn chu kỳ k
bất kỳ)
Tìm dãy số
{
}
1
n
n
x
+
=
biết
, 1,2,
n k n
x x n
+
= = và
1 2
, , ,
k
x x x
cho trớc.
Lời giải
Phơng trình đặc trng
1
k
=
của dãy số đã cho có các nghiệm là
2 2
cos sin ,
+
h h
i
k k
với
0,1,2, , 1
=
h k
Hay viết cụ thể là
2 2 4 4 2( 1) 2( 1)
1, cos sin , cos sin , ,cos sin
k k
i i i
k k k k k k
+ + +
Do đó
www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Trang 6
= + + + + +
1 1 2 2
2 2 4 4
cos sin cos sin
n
x c A B A B
k k k k
+ + + =
1 1
2( 1) 2( 1)
cos sin , 1,2,
k k
k k
A B k
k k
Mà
2 2( 1) 4 2( 2)
cos cos ,cos cos ,
k k
k k k k
= =
và
2 2( 1) 4 2( 2)
sin sin ,sin sin ,
k k
k k k k
= =
nên ta có thể viết lại nh sau
=
= + =
1
0
2 2
cos sin , 1,2,
k
n h
h
h h
x n
k k
,
trong đó các hằng số
0 1 1
, , ,
k
sẽ đợc xác định khi biết
1 2
, , ,
k
x x x
.
2.
2.2.
2. Dãy phân tuyến tính với hệ số hằng số.
Dãy phân tuyến tính với hệ số hằng số.Dãy phân tuyến tính với hệ số hằng số.
Dãy phân tuyến tính với hệ số hằng số.
2.1. Định nghĩa. Cho
, , ,
a b c d
sao cho
0
ad bc
và
0
c
. Xét dãy số
(
)
n
x
nh sau:
1
x R
và với mọi
1,2,
n
=
thì
1
n
n
n
ax b
x
cx d
+
+
=
+
, nếu nó tồn tại. Khi đó dãy số
1
( )
n n
x
+
=
gọi là dãy phân tuyến tính.
Chú ý rằng nếu cho
( )
1
n
n
x
+
=
là dãy phân tuyến tính thì ta hiểu rằng với mọi n=1,2, luôn tồn tại
n
x
.
2.2. Nhận xét
a) Xét dãy phân tuyến tính
{
}
n
x
xác định bởi
1
1
, 1
n
n
n
x p
ax b
x n
cx d
+
=
+
=
+
, trong đó a, b, c, d, và p là các hằng
số cho trớc.
Giả sử
n
n
n
y
x
z
= . Khi đó:
1 1
1
1 1
n
n n n n n n
n
n
n n n n n
n
y
a b
ax b y z y ay bz
x
y
cx d z z cy dz
c d
z
+ +
+
+ +
+
+ +
= = =
+ +
+
Nh vậy, nếu ta xác định đợc hai dãy
(
)
(
)
,
n n
y z
:
1 1
1
1
, 1
, 1
, 1
n n n
n n n
y p z
y ay bz n
z cy dz n
+
+
= =
= +
= +
thì coi nh đã xác định
đợc số hạng tổng quát của dãy phân tuyến tính.
b)Ta xét
(
)
(
)
,
n n
y z
:
1 1
1
1
, 1
, 1
, 1
n n n
n n n
y p z
y ay bz n
z cy dz n
+
+
= =
= +
= +
.
Cách 1:
(
)
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 1 1 1
1
1 1 1
2 1
n n n n n n
n n n
n n n n n n
n n n
y ay bz ay b cy dz
ay bcy bdz
ay bcy d y ay a d y bc ad y
y a d y bc ad y
+ + + +
+
+ + +
+ +
= + = + +
= + +
= + + = + +
= + +
Tìm đợc
n n
y z
www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Trang 7
Cách 2:
( ) ( )
( )
1 1
1 1
1 1
1 1
*)
chọn
n n n n n n
n n n n
n n n n n n
n n n n
y ay bz y ay bz
y z a c y b d z
z cy dz z cy dz
b d b d
y z a c y z
c a c
+ +
+ +
+ +
+ +
= + = +
= +
= + = +
= =
( ) ( )
( )
1 1
1 1
1 1
1 1
*)
chọn
n n n n n n
n n n n
n n n n n n
n n n n
a
y ay bz y ay bz
y z a c y b d z
z cy dz z cy dz
b d b d
y z a c y z
a c a
+ +
+ +
+ +
+ +
= + = +
+ = + + +
= + = +
+ +
+ = + + =
+ +
c
c) Theo trên, ta có thể xét sự hội tụ và tìm giới hạn của dãy số
(
)
n
x
, với
n
n
n
y
x
z
= ,
1
y
và
1
z
cho trớc và
1 1
,
n n n n n n
y ay bz z cy dz
+ +
= + = +
2.3. Bài tập
0 0
1 1
1 1
0
1
1
0
1
1
2; 1
1; 2 , 1
2 , 1
1
2;
2
, 1
3 4
2
3;
9 24
, 1
5 13
n n n
n n n
n
n
n
n
n
n
u v
u u v n
v u v n
u
u
u n
u
u
u
u n
u
= =
= +
= +
=
=
+
=
=
+
Tuy nhiên ta có một cách khác để tìm số hạng tổng quát của dãy phân tuyến tính đơn giản nh sau:
( )
0
1
1
1
1 1
0
1
1
2
1
1
1 1
2
1
1;
2
, 1
3 4
3 4
1 1 3 1
*) 2.
2 2
2
2;
9 24
, 1
5 13
9 5 5 22 24
9 9 24
*)
5 5 13 5 5 13
*) : 5 22 24 0
Đặt
Chọn
n
n
n
n
n n n n
n
n
n
n
n
n n n n
n n
u
u
u n
u
u
u u u u
u
u
u n
u
t x t t
x t
u x t x t x
x t x t
t t t
=
=
+
+
= = +
=
=
+
= + + = =
+ + + +
=
1
1 1
2
1 1
*) 3. 5
5 3
n
n
n n n
t
x
x
x x x
=
= = +
+
Sau đây ta xét thêm một số tính chất của dãy này.
2.4. Tính chất.
www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Trang 8
Định lí 1. Cho
, , , 0, 0
a b c d R sao cho ad bc c
. Cho
1
x
và với mọi
1,2,
n
=
, đặt
1
n
n
n
ax b
x
cx d
+
+
=
+
,
nếu nó tồn tại. Xét hàm số f(x) nh sau:
: \ \
d a
f
c c
ax b
x
cx d
+
+
a) Chứng minh f là song ánh.
b)
Cho dãy số
(
)
n
t
đợc định nghĩa bởi:
1
1
1
( ), 1,2,
n n
d
t
c
t f t n
+
=
= =
(Dãy này có thể không xác định kể từ một thứ tự nào đó.) Chứng minh rằng
1
( )
n n
x
+
=
là dãy phân tuyến tính khi và
chỉ khi
1
, 1,2,
n
x t n =
Chứng minh.
Với mọi , , ,
d a
x y x y
c c
ta có
ax b b dy
y cyx dy ax b x
cx d cy a
+
= + = + =
+
Vậy f là song ánh.
b)
{
}
1
n
n
x
+
=
là dãy phân tuyến tính khi và chỉ khi
1 1
2 2 1
3 3 1
,
,
x t
x R x t
x R x t
Điều này quy về
1
n
x t
với mọi n mà
n
t
xác định.
Cho (x
n
) là dãy phân tuyến tính nh sau
1
, 1,2,
n
n
n
ax b
x n
cx d
+
+
= =
+
Khi đó ta có các định lí sau:
Định lí 2. Nếu dãy
{
}
n
x
hội tụ đến L thì
2
( ) 0
cL d a L b
+ =
Chứng minh
Từ
1
, 1,2,
n
n
n
ax b
x n cho n
cx d
+
+
= = +
+
ta đợc
2
( ) 0
aL b
L cL d a L b
cL d
+
= + =
+
Định lí 3. Khi
2
( ) 4
d a bc
= + <0 thì dãy phân kì (không hội tụ)
Định lí 4. Giả sử
2
( ) 4
d a bc
= + >0. Gọi
,
là hai nghiệm của phơng trình (ẩn là x)
2
( ) 0
cx d a x b
+ =
. Khi đó:
a)
1
, 1,2,
n
x x n
= = =
b)
Giả thiết
1
x
, đặt
*
, ,
n
n
n
x
c d
X n N
x c d
+
= =
+
. Khi đó:
1
, 1,2,
n n
X X n
+
= =
c) Nếu
1
c d
c d
+
= <
+
thì lim
n
n
x
=
.
www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Trang 9
Nếu
1
c d
c d
+
= >
+
thì lim
n
n
x
=
Nếu
1
=
và
1
x
=
thì lim
n
n
x
=
Nếu
1
=
và
1
x
thì dãy
{
}
n
x
phân kỳ với các giá trị
1
x
và
n
x
xen kẽ.
Trờng hợp
1
=
không thể xảy ra.
Chứng minh
Vì
,
là nghiệm của phơng trình
aL b
L
cL d
+
=
+
nên
,
a b a b
c d c d
+ +
= =
+ +
a) Ta chỉ cần chứng minh nếu
1
x
=
thì
, 1,2,
n
x n
= = vì chiều ngợc lại là hiển nhiên. Ta dùng
phơng pháp quy nạp. Giả sử
1
x
=
. Khi đó
1
2
1
ax b a b
x
cx d c d
+
+
= = =
+ +
.
Giả sử
n
x
=
. Khi đó
1
n
n
n
ax b
a b
x
cx d c d
+
+
+
= = =
+ +
. Vậy theo nguyên lý quy nạp suy ra nếu
1
x
=
thì
, 1,2,
n
x n
= =
b)Ta có
1
1
1
:
n n n
n
n n n
x ax b ax b
a b a b
X
x cx d c d cx d c d
+
+
+
+ +
+ +
= =
+ + + +
,
1
. , 1,2,
n
n n
n
x
c d
X X n
c d x
+
+
= = =
+
c) Theo kết quả câu (b) suy ra
1
1
, 1,2,
n
n
X X n
= =
Nếu
1
<
thì
1
lim 0
n
n
=
. Do đó
1
1
lim lim 0
n
n
n n
X X
= =
. Từ
n
n
n
x
X
x
=
ta có
lim lim
1 1
n n
n n
n n
n n
X X
x x
X X
= = =
.
Nếu
1
>
thì
1
lim
n
n
=
. Do đó
1
1
lim lim
n
n
n n
X X
= =
. Do đó
1 0
lim 0 lim lim lim
1
1 1 0
1
n n
n
n n n x
n n
n
X X
x
X X
X
= = = = =
.
Ta có
1
1
1
x
X
x
=
. Do đó nếu
1
x
=
thì
1
0
X
=
. Theo kết quả câu (b) suy ra
0, 1,2,
n
X n= = Suy ra
lim 0
n
n
X
=
. Tơng tự nh trên suy ra lim
n
n
x
=
.
Nếu
1
=
và
1
x
thì
1
0
X
và
1 1
( 1) , 1,2,
n
n
X X n
+
= = . Ta sẽ chứng minh dãy số
(
)
n
y
với
( 1)
n
n
y
=
, với mọi n=1, 2,, không hội tụ (phân kỳ).
Ta có
2 1 2
lim lim( 1) 1 1 lim
n n
n n n
y y
= = = . Vậy dãy
(
)
n
y
phân kỳ. Dãy
(
)
n
y
không hội tụ mà
1 1
, 1,2,
n n
X y X n
+
= = nên dãy
{
}
n
X
cũng không hội tụ.
www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Trang 10
Từ
n
n
n
x
X
x
=
suy ra dãy
{
}
n
x
không hội tụ ( vì nếu lim
n
n
x v
=
thì lim
n
n
v
X
v
=
, nghĩa là dãy
{
}
n
X
hội tụ, đến đây ta gặp mâu thuẫn).
Trờng hợp
1
=
không thể xảy ra bởi vì nếu
1
=
thì
1
c d
c d
+
=
+
. Suy ra
c d c d c c
+ = + = =
. Mà điều này không thể xảy ra đợc do
2
( ) 4
d b bc
= + >0.
Định lí 5. Giả thiết
2
( ) 4 0
d a bc
= + =
và đặt
2
a d
g
c
= . Khi đó
a)
1
x g
=
khi và chỉ khi
, 1,2,
n
x g n= =
b) Giả thiết
1
x g
, đặt
1
, 1,2,
n
n
X n
x g
= =
, đặt
2
c
a d
à
=
+
. Khi đó
1
, 1,2,
n n
X X n
à
+
= + =
c) lim
n
n
x g
=
.
Chứng minh
a) Vì
=0 nên phơng trình
2
( ) 0
cL d a L b
+ =
( tức là phơng trình
aL b
L
cL d
+
=
+
) có nghiệm kép là
2
a d
g
c
= . Tiếp theo ta làm tơng tự nh đã làm ở định lý (4a)
b) Với mọi n = 1, 2, , ta có
1
2
1
2 ( )
1
1:
2 ( ) 2
n n
n
n n n
ax b c cx d
a d
X
x g cx d c c a d x bc ad d
+
+
+ +
= = =
+ + + +
Vì
2
( ) 4
d a bc
= + =0, nên
2
( )
2
2
d a
bc
= . Do đó
( )
2
2 2 2 2 2
( ) 1
2 2 2 2
2 2
d a
bc ad d ad d d ad a ad d
+ = + = + + =
2 2
1 1 1
( ) ( )( ) .2 ( ) ( )
2 2 2
d a a d a d gc a d c a d g
= = + = + = +
Từ đó
1
2 ( ) 2( )
( ) ( ) ( )( )
n n
n
n n
c cx d cx d
X
c a d x c a d g a d x g
+
+ +
= =
+ + +
2 ( ) 2 2
( )( )
n
n
c x g cg d
a d x g
+ +
= =
+
2 ( )
2( )
( )( ) ( )( )
n
n n
c x g
cg d
a d x g a d x g
+
+
+ +
2 ( ) 2 1
( )( )
n
n n
c a d c
X
a d a d x g a d x g
à
+
= + = + = +
+ + +
( 2( )
cg d a d
+ = +
Vì
(
)
2 2 2 2 )
cg d cg d a d d a d
+ = + = + = +
c) Nếu
1
x g
=
thì theo định lý (5a) suy ra
, 1,2,
n
x g n= = do đó lim
n
n
x g
=
. Nếu
1
x g
thì theo định
lý (5b) ta có
1
, 1,2,
n n
X X n
à
+
= + =
suy ra
{
}
n
X
là cấp số cộng có công sai là
à
và số hạng đầu là
1
X
. Do đó
1
( 1) , 1,2,
n
X X n n
à
= + =
www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Trang 11
Vì
2
0
c
a d
à
=
+
nên
[
]
1
lim lim ( 1)
n
n n
X X n
à
= + =
. Do đó lim
n
n
x g
=
. Vậy trong mọi trờng hợp ta đều có
lim
n
n
x g
=
.
2.5. Các bài tập.
Bài tập 1.
Xét dãy
(
)
n
v
xác định bởi
0
1
v
=
và
1
1
, 1,2,
3
n
n
v n
v
= =
+
.Chứng minh rằng dãy đã cho có giới hạn
và tìm giới hạn đó.
Lời giải
Cách 1.
(
)
n
v
là dãy phân tuyến tính,
1
n
n
n
av b
v
cv d
+
+
=
+
, với
0
a
=
,
1
b
=
,
1
c
=
và
3
d
=
(
1 0, 0
ad bc c
=
). Phơng trình
2
3 1 0
x x
+ + =
có hai nghiệm phân biệt là
1
3 5
2
x
= = và
2
3 5
2
x
+
= = .
Ta có
0 2
3 5
2
v x
+
= ,
14 6 5
1 1
4
c d
c d
+ +
= = > >
+
Vậy theo định lý (4c) dãy đã cho hội tụ và
3 5
lim
2
n
n
v
+
= = .
Bài tập 2 sau đây là tổng quát của bài tập 1.
Bài tập 2.
Cho dãy
{
}
n
v
nh sau:
1
v
=
và
1
, 1,2,
n
n
a
v n
b cv
+
= =
+
(với
, ,
a b c
là các số dơng,
2
4 0,
2
b
b ac
c
+
= > ). Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ và tính
lim
n
n
v
.
Lời giải
Cách 2. Ta có
2 2 2
b b b
c c c
+
>
Ta có
2
1
2
b
b c
b
b
c
b b
b
b c
c
+
= = <
+ +
+
+
Vậy theo định lý (4c) suy ra lim
2
n
n
b
v
c
+
= .
Bài tập 3.
Cho dãy số
{
}
n
x
định nghĩa truy hồi bởi:
1
1
( 1,2, )
4 3
n
n
x n
x
+
= =
Hãy tìm các giá trị của
1
x
để dãy trên hội tụ và trong các trờng hợp đó hãy tính
lim
n
n
x
.
Hớng dẫn giải
Dãy số đã cho có dạng
1
n
n
n
ax b
x
cx d
+
+
=
+
, với
0, 1, 3, 4
a b c d
= = = =
,
0
c
,
3 0
ad bc
=
www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Trang 12
Xét hai dãy số
(
)
n
y
và
(
)
n
z
thõa mãn điều kiện sau:
1
1
3 4
n n
n n n
y z
z y z
+
+
=
= +
,
1 1 1
, 1
y x z
= =
.
Khi đó
2 1 1
3 4 3 4
n n n n n n
y z y z y y
+ + +
= = + = + . Vậy phơng trình đặc trng của dãy số
{
}
n
y
là
2
1
4 3 0
3
=
+ =
=
Vậy số hạng tổng quát của dãy số
{
}
n
y
là:
.3 , 1,2,
n
n
y A B n= + =
( A và B là các hằng số sẽ tìm sau )
Vì
1
n n
z y
+
= nên
1
.3 , 1,2,
n
n
z A B n
+
= + = .
Vì
1
1
z
=
nên
1 9
A B
= +
. Vì
1 1
y x
=
nên
1
3
x A B
= +
.
Từ hệ
1
3
9 1
A B x
A B
+ =
+ =
ta có
1
1
3 1
2
1
6
x
A
x
B
=
=
. Vậy với mọi n = 1, 2, , ta có
1
1 1 1 1
3 1 1 3 1 1
.3 , .3
2 6 2 6
n n
n n
x x x x
y z
+
= + = +
Ta có
1
1
1
y
x
z
=
. Giả sử
n
n
n
y
x
z
=
, khi đó
1
1
1
1 1
3 4 4 3
4 3
n n
n
n
n n n n
n
y z
x
y
z y z x
z
+
+
+
= = = =
+
Vậy theo nguyên lý quy nạp suy ra
1 1
1
1 1
3 1 1
.3
2 6
, 1,2,
3 1 1
.3
2 6
n
n
n
n
n
x x
y
x n
x x
z
+
+
= = =
+
Tức là
1 1
1
1 1
9 3 (1 )3
, 1,2,
9 3 (1 )3
n
n
n
x x
x n
x x
+
+
= =
+
Vậy
n
x
không xác định khi và chỉ khi
1 1 1
1 1 1 1
1 3
9 3 (1 )3 0 (9 3 ) 3 3
3 3
n
n n n
n
x x x x
+ + +
+ = = =
.
Vậy ta có kết quả nh sau:
+) Khi
1
1 3
3 3
n
n
x
=
,
( 2,3, )
n
=
thì dãy không xác định
+) Khi
1
1
x
=
thì
1, 1,2,
n
x n= = , do đó
lim 1
n
n
x
=
+) Với các giá trị khác của
1
x
thì
n
x
xác định với mọi n = 1, 2, và
1 1
1
1 1
9 3 (1 )3
, 1,2,
9 3 (1 )3
n
n
n
x x
x n
x x
+
+
= =
+
do đó
www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Trang 13
1
1
1
1
1
1
9 3
(1 )
1
1
3
lim lim
9 3
(1 )3 3
(1 )3
3
n
n
n n
n
x
x
x
x
x
x
x
+
= = =
+
.
Nhận xét. Để cho lời giải đợc ngắn gọn thì việc tìm ra công thức tổng quát
n
x
của dãy
{
}
n
x
đợc làm ở ngoài
giấy nháp, còn khi trình bày lời giải ta chỉ cần nêu công thức
1 1
1
1 1
9 3 (1 )3
, 1,2,
9 3 (1 )3
n
n
n
x x
x n
x x
+
+
= =
+
, rồi chứng
minh công thức này bằng phơng pháp quy nạp.
Ngoài cách giải trên, sử dụng định lý 1 và định lý 4 ta cũng suy ra đợc kết quả.
Bài tập 6 ( đề thi học sinh giỏi quốc gia, bảng B, năm học 2002-2003)
Cho số thực
0
và dãy số thực
{
}
, 1,2,3,
n
x n = , xác định bởi:
(
)
1 1
0, ( ) 1 1,2,
n n
x x x n
+
= + = + =
a) Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số đã cho.
b) Chứng minh dãy số
(
)
n
x
có giới hạn hữu hạn khi
n
+
. Hãy tìm
giới hạn đó.
Lời giải
Trờng hợp 1:
1
=
. Khi đó
0, 1,2,
n
x n= =
Trờng hợp 2:
1
. Khi đó
, 1,2,
n
x n
= . Do đó ta có
1
1
, 1,2,
n
n
x n
x
+
+
= =
+
(1)
Vậy
1
n
x
+
có dạng
1
n
n
n
ax b
x
cx d
+
+
=
+
, với
0
a
=
,
1
b
= +
,
1
c
=
, d
=
,
0
c
và
(
)
1 0 1
ad bc do
= +
Xét hai dãy số
(
)
n
y
và
(
)
n
z
thõa mãn điều kiện sau:
(
)
1
1
1
n n
n n n
y z
z y z
+
+
= +
= +
,
1 1 1
0, 1
y x z
= = =
.
Khi đó
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 1 1
1 1 1 1 1
n n n n n n n n
y z y z y z y y
+ + +
= + = + + = + + + = + + .
Vậy phơng trình đặc trng của dãy số
{
}
n
y
là
( )
2
1
1 0
1
=
+ =
= +
Trờng hợp 2a:
2
=
. Khi đó phơng trình
(
)
2
1 0
+ =
có nghiệm kép
1 2
1
= =
. Suy ra
( )( )
1 , 1,2,
n
n
y C Dn n= + = ( với C và D là các hằng số sẽ tìm sau )
Vì
1
0
y
=
nên
0
C D
+ =
.
Vì
(
)
2 1
1 1 1
y z
= + = + =
nên
2 1
C D
+ =
.
Từ hệ
0
2 1
C D
C D
+ =
+ =
ta có
1
1
D
C
=
=
.
Vậy
( )( )
1 1 , 1,2,
n
n
y n n= = và
( )
1
1
1 , 1,2,
1
n
n
n
y
z n n
+
+
= = =
+
Ta có
www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Trang 14
1
, 1,2,
n
n
n
y
n
x n
z n
= = =
Trờng hợp 2b:
2
. Khi đó số hạng tổng quát của dãy số
{
}
n
y
là:
( ) ( )
1 . 1 , 1,2,
n n
n
y A B n
= + + =
( A và B là các hằng số sẽ tìm sau )
Vì
1
0
y
=
nên
(
)
. 1 0
A B
+ + =
.
Vì
(
)
2 1
1 1
y z
= + = +
nên
( )
2
. 1 1
A B
+ + = +
Từ
(
)
( )
2
. 1 0
. 1 1
A B
A B
+ + =
+ + = +
ta có
1
2
1
2
A
B
+
=
+
=
+
. Vậy với mọi n=1, 2, ta có
( ) ( )
1 1
1 1 , 1,2,
2 2
n n
n
y n
+
= + + =
+ +
( ) ( )
1
1
1 1
, 1,2,
1 2 2
n n
n
n
y
z n
+
+
+
= = + =
+ + +
Tơng tự trờng hợp 2a, bằng quy nạp ta chứng minh đợc:
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
1 1
1 1 1
1 1 1
, 1,2,
1 1 1 1
n n
n n
n
n
n n n n
n
y
x n
z
+ +
+ + +
+ + +
= = = =
+ + + +
c) Theo kết quả câu (a) suy ra:
Nếu
1
=
thì
0, 1,2,
n
x n= = . Do đó
lim 0
n
n
x
=
Nếu
2
=
thì
1
, 1,2,
n
n
x n
n
= = . Do đó
1 1
lim lim lim 1 1
n
n n n
n
x
n n
= = =
Nếu
2
thì
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
1
1 1 1
, 1,2,
1 1
n n
n
n n
x n
+
+ + +
= =
+ +
Ta có
( ) ( )
( )
( )
( )
2 1 2 2
2 1
2 1
2 1
1
1
1 1 1
, 1,2,
1
1 1
1
1
n n
n
n
n
x n
+
+ + +
= = =
+ +
+
+
( )
( )
( )
( )
2 2 1
2
2
2
1
1
1 1 1
, 1,2,
1
1 1
1
1
n n
n
n
n
x n
+
+ + + +
= = =
+
+
Do đó nếu
1 1
+ >
thì
2 2 1
lim lim 1 lim 1
n n n
n n n
x x x
= = =
. Nếu
1 1
+ <
thì
(
)
(
)
2 2 1
lim 1 lim lim 1
n n n
n n n
x x x
= + = = +
.
Bài tập 7 ( đề thi học sinh giỏi quốc gia, bảng A, năm 2004)
www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Trang 15
Xét dãy số
{ }
1
n
n
x
+
=
nh sau:
1
1
x
=
và với mọi n = 1, 2 ,, thì
(
)
( )
2
1
2 cos2 cos
2 2cos2 2 cos2
n
n
n
x
x
x
+
+ +
=
+
, trong
đó
là một tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của
để dãy số
{
}
n
y
, với
1
1
, 1,2,
2 1
n
n
k
k
y n
x
=
= =
+
có giới
hạn hữu hạn khi
n
+
. Hãy tìm giới hạn của dãy số
{
}
n
y
trong các trờng hợp đó.
Hớng dẫn giải
Cách 1: Tơng tự nh bài tập 4, bài tập 6, ta tìm đợc số hạng tổng quát của dãy số
(
)
n
x
. Từ đó tìm
đợc số hạng tổng quát của dãy số
{
}
n
y
. Tuy nhiên, giải theo cách này sẽ gặp phải những tính toán không đơn
giản, dễ gây nhầm lẫn nếu kỹ năng tính toán không thật vững.
Cách 2: Dễ chứng minh
0, 1,2,
n
x n> = . Với mọi n = 1, 2, , ta có:
(
)
( )
2
1
2 2 cos2 2cos
2 1 1
2 2cos2 2 cos2
n
n
n
x
x
x
+
+ +
+ = + =
+
(
)
(
)
( )
2
2 2 cos2 2cos 2 2cos2 2 cos2
2 2cos2 2 cos2
n n
n
x x
x
+ + + +
= =
+
(
)
( )
( )
( )
2 2
6 2cos 2 2cos 1
3 2 1
2 2cos2 2 cos2 2 2cos2 2 cos2
n
n
n n
x
x
x x
+ +
+
= =
+ +
Do đó
(
)
( )
1
2 2cos2 2 cos2
1
2 1 3 2 1
n
n n
x
x x
+
+
= =
+ +
( ) ( )
(2 1) 1 2cos2 . 2 cos2 (1 cos2 )(2 1) 1
3 2 1 3 2 1
n n n
n n
x x x
x x
+ + + +
= =
+ +
Bởi vậy
(
)
2
2
1
2sin 2 1 1
1 1 1 1
. 2sin , 1,2,
2 1 3 2 1 3 2 1
n
n n n
x
n
x x x
+
+ +
= = + =
+ + +
Suy ra
2 2
1
1 1 1
sin sin , 1,2,
2 1 3 2 1
n n
n
x x
+
= =
+ +
Gọi
2
1
sin , 1,2,
2 1
n
n
u n
x
= =
+
. Khi đó
1
1
, 1,2,
3
n n
u u n
+
= = . Nh thế
(
)
n
u
là một cấp số nhân
với số hạng đầu
2
1
1
sin
3
u
= và công bội
1
3
q
=
. Do đó
2 2
1
1
1
1 3 1 1
3
sin . sin 1
1
3 2 3 3
1
3
n
n
k
n
k
u
=
= =
.
Suy ra
2 2 2
1 1
1 3 1 1
( sin ) sin 1 sin
2 1 2 3 3
n n
n
n
k k
n
u n
x
= =
= + = +
+
.
Vì dãy số
1
3
n
hội tụ nên dãy số
(
)
n
y
hội tụ
dãy số
{
}
2
1
sin
n
n
+
=
hội tụ
2
sin 0 ,
k k Z
= =
. Khi đó:
3 1 1 3 1 1
lim lim 0 1 .
2 3 3 2 3 2
n
n
n n
y
= = =
.
www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Trang 16
Bài tập 8: Cho dãy
{ }
1
n
n
x
+
=
nh sau:
1 1
2(2 1)
1, , 1,2,
3
n
n
n
x
x x n
x
+
+
= = =
+
. Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ
và tìm giới hạn của dãy số đó.
Đáp số
lim 2
n
n
x
=
Bài tập 9 ( Đề thi vô địch sinh viên Moskva, 1982 ).
Cho dãy
{
}
n
x
nh sau:
0 1
1
1982, ( 0,1, )
4 3
n
n
x x n
x
+
= = =
. Hãy tìm
lim
n
n
x
.
Bài tập 10 ( Đề thi vô địch Tiệp ).
Cho dãy số
(
)
n
a
đợc xác định nh sau:
1 1
3
2, 4 ( 1,2, )
n
n
a a n
a
+
= = = .
Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn và tính giới hạn của dãy số đó.
Đáp số:
lim 3
n
n
a
=
.
Bài tập 11
Cho dãy số
{
}
n
x
nh sau:
(
)
( ) ( )
1
0 1
2 3 2
2 1 1
2 1, , 0,1,2,
2 1 3 2 1
n
n
n
n n
n
x
x x n
x
+
+
+ +
+ +
= = =
+ + +
.
Chứng minh rằng dãy
{
}
n
x
hội tụ và tìm
lim
n
n
x
.
Hớng dẫn giải
Đặt
(
)
1
2 1
n
n n
x u
+
+ =
. Khi đó
0 1
1
1, , 0,1,2,
3
n
n
n
u
u u n
u
+
+
= = =
+
Ta chứng minh đợc
(
)
(
)
( ) ( )
1 1
2 1 2 1
, 0,1,2,
2 1 2 1
n n
n
n n
u n
+ +
+ +
= =
+
Vậy
( )
1
lim lim 2 1
2 1
n
n
n
n n
u
x
+
= =
+
3. phơng pháp quy nạp
phơng pháp quy nạpphơng pháp quy nạp
phơng pháp quy nạp
Việc dự đoán công thức rồi dùng phơng pháp qui nạp để chứng minh cũng là một phơng pháp mạnh cho dãy
số vì các công thức trong phần dãy số đều phụ thuộc vào các số tự nhiên.
( )
1 2
2
1
2
1 2
1 2
1
1; :
2
, 3
0, 3
3,4,5 4; 1; 0 4 , 3
Ta hy vọng rằng sẽ đa đợc về dãy tuyến tính:
Ta dùng qui nạp để chứng minh công thức vừa dự đoán.
n
n
n
n
n n n
n n n
u u
u
u
u n
u
u au bu c n
n a b c u u u n
= =
+
=
+ + + =
= = = = =
www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Trang 17
Tổng quát dãy số có dạng
( )
1 2
2
1
2
;
:
n
n
n
n
u a u b
u
u c
u
u
= =
+
=
có thể tuyến tính hóa.
( )
0
1
1
2; :
3
, 0,1,2,
1 3
n
n
n
n
u
u
u
u n
u
+
=
+
= =
Tìm
1997
u
.
HD: Ta hy vọng rằng dãy này sẽ tuần hoàn. Tính trực tiếp ta thấy
3 0
u u
=
. Do đó ta dự đoán:
3 0
, 0,1,2,
n
u u n= = Bằng quy nạp ta chứng minh điều đó.
1997
3 2
u
=
.
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1 1
0
3
1
3 3
3
3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3
3
1
3
3;
3 , 0,1,2,
*) .
3 3 3 3
3
Xét dạng: Khi đó,
n n
n
n n n n n n n n n n
n
n n n
n n
n n
n
u
u u u n
u u a b
u u a b a b a b ab a b a b
u ab a
+ +
+
+
=
= =
= +
= + + = + + + +
= +
( ) ( )
3 3 3
0
3 3
3
*) 1
3 3.
3
3 5 3 5
*) .
1
2 2
Nh vậy, nếu ta chọn thì đã thỏa công thức truy hồi.
n n n n
n n
n
b a b
ab
u a b
a b
u
ab
+ +
=
= + =
+ =
+
= +
=
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1 1
0
3
1
3 3
3
3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3
3
1
3
4;
3 , 0,1,2,
*) .
3 3 3 3
3
Xét dạng: Khi đó,
n n
n
n n n n n n n n n n
n
n n n
n n
n n
n
u
u u u n
u u a b
u u a b a b a b ab a b a b
u ab a
+ +
+
+
=
= + =
= +
+ = + + + = + + + + +
= +
( ) ( )
3 3 3
0
3 3
3
*) 1
3 3.
3
3 13 3 13
*) .
1
2 2
Nh vậy, nếu ta chọn thì đã thỏa công thức truy hồi.
n n n n
n n
n
b a b
ab
u a b
a b
u
ab
+ + +
=
= + =
+ =
+
= +
=
Lu ý: Mọi đa thức bậc ba ta đều có thể đa về hai dạng trên.
1
3 2
1
2
5;
3 3, 1,2,
n n n
u
u u u n
+
=
= + =
Đặt
1( 1,2, )
n n
v u n= + =
1
3
1
3
3 , 1,2,
n n n
v
v v v n
+
=
= =
Lu ý: Chắc bạn đọc đang băn khoăn tại sao lại đặt
1( 1,2, )
n n
v u n= + = . Điều này đợc lí giải nh sau:
Xét hàm số
3 2
( ) 3 3
f x x x
= +
. Khi đó
1
( ), 1,2,
n n
u f u n
+
= =
www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Trang 18
Ta có f(x) là đa thức bậc 3 và
2
'( ) 3 6 , ''( ) 6 6 0 1
f x x x f x x x
= + = + = =
. Vậy điểm uốn của đồ thị
của hàm số f(x) là
( 1, 1)
A
. Ta biết rằng đồ thị hàm số f(x) nhận điểm uốn
( 1, 1)
A
làm tâm đối xứng. Do đó
ta thờng đổi hệ trục tọa độ theo công thức đổi trục sau:
1
1
X x
Y y
= +
= +
. Nh vậy ở bài tập trên ta phải đặt
1( 1,2, )
n n
v u n= + = .
Bạn đọc nên ghi nhớ một số phép đổi biến rất thờng dùng sau đây (không những thờng dùng trong dãy
số mà những phép đổi biến này còn hay dùng khi giải phơng trình, chứng minh bất đẳng thức, )
+) Nếu ta gặp hàm đa thức bậc hai
2
( )
f x ax bx c
= + +
thì ta dời gốc tọa độ về đỉnh
( , ( ))
2 2
b b
A f
a a
của Parabol. Tức là ta đổi biến
2
b
X x
a
= + .
+) Nếu ta gặp hàm đa thức bậc ba
3 2
( )
f x ax bx cx d
= + + +
thì ta dời gốc tọa độ về điểm uốn
( , ( ))
3 3
b b
A f
a a
của đồ thị của f(x). Tức là ta đổi biến
3
b
X x
a
= + .
+) Nếu ta gặp hàm số tổng quát thì ta đổi biến sao cho hàm số đó trở thành hàm số lẻ hoặc hàm số chẵn.
1
3 2
1
3
6
6;
24 12 6 15 6, 1
n n n n
u
u u u u n
+
=
= +
Đặt
1
3
1
2
6 1
4 3 ( 1,2, )
n n
n n n
v
v u
v v v n
+
=
=
= + =
(Đây là ta mới là mất bậc chẵn, giống chứng minh hàm
lẻ đó mà)
Tiếp theo ta làm mất hệ số của
3
n
v
.
3 3 3 2
1 1
1
4 3 3 4 1
2
n n n n n n
av a v av v v v a a
+ +
= + = + = =
Đặt
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1
1
3
1
3 3 3 3 3 3
4
1
2
3
1 1 1
2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5
2
2 6 6
n n n n n n
n n n
n n n
n n n
x
v ax x
x x x
x v u
+
=
= =
= +
= + + = + + = + + +
1
3
1
2
7;
9 3 , 1,2,
n n n
u
u u u n
+
=
= + =
(đề nghị thi OLYMPIC 30/04/1999)
HD:Đặt
1
3
1
6
3
3
n n
n n n
v
u v
v v v
+
=
=
= +
4. phơng pháp
phơng pháp phơng pháp
phơng pháp lợng giác
lợng giáclợng giác
lợng giác
Khi công thức truy hồi xuất hiện những yếu tố gợi đến các công thức lợng giác thì ta có thể thử với phép thế
lợng giác.
www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Trang 19
1
2
1
1
1
1
1;
2
2 1, 2
*) cos cos2
1
*) cos
2 3
n n
n n
u
u u n
u u
u
=
=
= =
= =
1
2
*) cos , 1
3
. Chứng minh bằng qui nạp
n
n
u n
=
1
1
1
2
1
1
1 1
2
1 1
2
2;
2 1, 2
*) 1 cos cos2
1 1 1 1
*) 1
2 2
n
n
n n
n
n
n
u
u u n
u u u
u u a u a
a
a
=
= =
> = + = +
TQ:
0
2
1
, 2
, 0
n n
u c
ab
u au b n
+
=
=
=
2
1
*) 2 1
n n n n
u bv v v
+
= =
Và ta cũng biết rằng mọi tam thức bậc hai bất kỳ ta đều có thể đổi biến về đỉnh của nó để ta đợc hàm chẵn, tức
là mất đi bậc nhất:
2
ax b
+
. Tuy nhiên, nó có thỏ tính chất trên hay không thì ta cần phải kiểm tra cụ thể.
1
3
1 1
1
1 1
1
1 1
1
1
3
1 1
1
1
1
1
3 2
1 1 1
3;
4 3 , 2
*) 1 cos cos3
1 1 1 1
*) 1
2 2
4;
4 3 , 2
1 1 1 1
*)
2 2
5;
, 2
Đ
n n n
n
n
n
n
n
n n n
n
n
n
n n n n
u
u u u n
u u u
u u a u a
a a
u
u u u n
u a u a
a a
u
u au bu cu d n
=
= =
> = + = +
= +
= =
= + + +
a về hai dạng trên.
www.VNMATH.com
Huúnh Thanh Lu©n
Huúnh Thanh Lu©nHuúnh Thanh Lu©n
Huúnh Thanh Lu©n
X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè
X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sèX¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè
X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè
Trang 20
1
1
2
1
1 1 1
1 1
1
2
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
2
1
2
6; sin
2 2 1
, 2
2
;
2
7; ;0
;
2
*) cos cos ; cos
2 2
*) cos .cos ; cos .cos
2 2 2 2
*) cos .cos cos
2 2 2
n
n
n
n n
n n n n
n n
n
u
u
u
u n
a b
u v bu
a b
u v
u v u v
a
u b v b
b
u b v b
u v b
α
α α
α
α α α α
α α α
−
−
− −
−
=
→ =
− −
= ∀ ≥
+
= =
< <
+
= =
= → = =
= =
= =
( )
1
1
3
8;
2 1
, 1,2,
1 1 2
n
n
n
u
u
u n
u
+
=
+ −
= ∀ =
+ −
T×m
2003
u
( §Ò thi chÝnh thøc OLYMPIC 30/04/2006 ).
HD:
1
1
tan
8
*) 2 1 , 1,2,
8
1 .tan
8
*) tan tan
8
n
n
n
n n
u
tg u n
u
u u
π
π
π
π
α α
+
+
+
= − ⇒ = ∀ =
−
= → = +
( )
1
1
3
3
9;
2 3
, 1,2,
1 3 2
n
n
n
u
u
u n
u
+
=
+ −
= ∀ =
− −
§S:
( 1) , 1,2,
6 12
n
u tg n n
π π
= + − ∀ =
1
1
1
10;
, 2
1
n
n
n
u
u b
u n
bu
−
−
+
= ∀ ≥
−
1
1
2
1
2
1
1 1
2
2
1 1
1
2
1
3
11;
, 2
1 1
1 1 1
*) 1 1
1 1
1 cos 1
*) 1 cot
sin sin 2
n
n
n
n
n n n n
n n n
n
n n
u
u
u n
u
u
u x x x
u u u
u
x cot x cot cot cot
α α
α α α α
α α
−
−
−
− −
− −
−
−
=
= ∀ ≥
+ +
= → = + + → = + +
+
+
+
= → = + + = + = =
www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Trang 21
5.
5.5.
5. một vài Dãy số khác.
một vài Dãy số khác.một vài Dãy số khác.
một vài Dãy số khác.
3.1 Dãy số có dạng:
( )
1 1
1
1 1 2
1 2 1
n n
n(n ) (n k )
x , x x , n , ,
(n k ) (n k )
+
+ +
= = + =
+ + + +
Bài toán 1. Tìm
n
x
biết rằng
( )
1 1
0 1
1
*
n n
n
x , x x , n N
n
+
= = +
+
Lời giải
Từ giả thiết ta có
1
1
n n
(n )x nx n
+
+ = +
. Đặt
n n
u nx
= , ta có
1
1 2
n n
u u n, n , ,
+
= + =
Vậy
2 1
1
u u
= +
3 2
2
u u
= +
4 3
3
u u
= +
1n n
u u n
+
= +
Cộng lại và rút gọn ta đợc:
( )
1 1
1
1 2 1 2
2
n
n(n )
u u n , n , ,
+
+
= + + + + = =
Vậy
1
1 2
2
n
n(n )
u , n , ,
= = . Suy ra
1
1 2
2
n
n
x , n , ,
= =
Bài toán 2. Tìm
n
x
biết rằng
1
0
x
=
và
( )
1
1
1
2 3
*
n n
n(n )
x x , n N
(n )(n )
+
+
= +
+ +
(1)
Hớng dẫn giải
Từ giả thiết (1), ta có
( )
2
1
2
1 2
1
1 2 3
*
n n
n(n ) (n )
x x , n N
(n )(n ) (n )
+
+ +
= +
+ + +
Do đó
2 2 2
1
1 2 3 1 2 1 2
n n
(n )(n ) (n )x n(n ) (n )x n(n ) (n )
+
+ + + = + + + + +
Đặt
2
1 2
n n
n(n ) (n )x u
+ + =
, thay vào trên ta đợc
2
1
1 2 1 2
n n
u u n(n ) (n ), n , ,
+
= + + + =
Từ đây ta tìm đợc
n
u
, sau đó ta tìm đợc
1 2 1
10 1
n
(n )( n )
x
(n )
+
=
+
Nhận xét. Việc giải bài toán tổng quát đợc tiến hành tơng tự.
3.2 Dãy số dạng:
1
1
0
( ) , 1
k
n n
x a
x g n x n
+
= >
=
, trong đó
( ) 0,
g n
>
*
,
n N k R
.
Lời giải
Ta có
1
ln ln ( ) ln
n n
x g n k x
+
= +
. Đặt ln
n n
x y
=
, khi đó:
1
ln ( ), 1,2,
n n
y ky g n n
+
= =
(1)
Đặt
1n
n n
y k u
=
, thay vào (1) ta đợc
1
ln ( )
n n
n
g n
u u
k
+
= . Suy ra
www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Trang 22
2 1
ln (1)
g
u u
k
= +
3 2
2
ln (2)
g
u u
k
= +
1
1
ln ( 1)
n n
n
g n
u u
k
= +
Cộng lại ta đợc
1
1
1
ln ( )
n
n
i
i
g i
u u
k
=
= +
Suy ra với mọi
1,2,
n
=
, thì
1 1
1 1
1
1
1 1
ln ( ) ln ( )
ln
n n
n n
i i
n
i i
n n
g i g i
k u k a
k k
y k u
n
x e e e e
= =
+ +
= = = =
3.3 Dãy số dạng:
( )
1
* *
1
0
( 1)
, ( ) 0, ;
, 1
( )
trong đó
k
n n
k
x a
f n
f n n k
x x n
f n
+
= >
+
>
=
Hớng dẫn giải
Ta có
(
)
1
( 1)
( )
k
n
n
k
x
x
f n
f n
+
=
+
. Đặt
( 1)
n
n
x
v
f n
=
+
, khi đó
1
k
n n
v v
+
=
. Vì
0
n
v
>
, nên từ
1
k
n n
v v
+
=
ta có
1
ln ln
n n
v k v
+
=
. Gọi
ln
n n
u v
=
. Khi đó
1
, 1,2,
n n
u ku n
+
= =
Vậy
{
}
1
n
n
u
+
=
tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu là
1
u
, công bội là k, do đó
1
1
, 1,2,
n
n
u u k n
= =
. Sau
đó thế ngợc trở lại ta tìm đợc
{
}
1
n
n
x
+
=
.
3.4 Dạng:
2
1
1
1 2
n
n
n
x a
x
x
x b, x c
+
=
= =
Cách giải. Từ
2
1
1
n
n
n
x a
x
x
+
= , ta có
2
1 1n n n
x x x a
+
= +
(1)
Tơng tự ta cũng có
2
2 1n n n
x x x a
= +
(2)
Trừ (1) cho (2) theo vế ta đợc
2 2 2 2
1 1 2 1 1 1 1 2
n n n n n n n n n n n n
x x x x x x x x x x x x
+ +
= + = +
( ) ( )
1
1 1 1 2
1 1 2
n n
n n n n n n
n n n n
x x
x x x x x x
x x x x
+
+
+ = + =
+ +
.
Bởi vậy
1
2
2
1 1 2 1 3
n n
n n n n
x x x
c
c a
x x x x x x
b
b
+
= = = = =
+
+ + +
+
Suy ra
(
)
1 1 1 1
0
n n n n n n
x x x x x x
+ +
= + + + =
. Từ đây ta tìm đợc số hạng tổng quát của dãy số đã cho.
www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Trang 23
3.5 Dãy số dạng:
1 1
2 2
1 1
1 1
;
2
n n n
n n n
u v
u u av
v u v
= =
= +
=
HD:
(
)
( )
2
2 2
2 2
1 1
1 1
1 1
2
1 1
1 1
1 1
1
2
2
n n n n
n n n
n n n
n n n
n n n
n n n n
n n
u av u av
u u av
u u av
v u v
av au v
u av u av
u av u a
+ = +
= +
= +
=
=
=
+ = +
( )
(
)
1
2
1
2
1 1
;
n
n n
n n
v
u v
u av u av
=
VD:
1 1
2 2
1 1
1 1
2; 1
2
2
n n n
n n n
u v
u u v
v u v
= =
= +
=
3.6 Dãy số dạng:
0
2
1
1
, 1
2
n
n
n
x
x a
x n
x
=
+
=
HD: Đặt
n
n
n
u
x
v
= ta sẽ đa về dạng 3.5 (Lu ý phơng pháp chuyển về hệ này nhé, cũng khá mạnh đấy)
3.7 Dãy số dạng:
1
2
2
1 1
, 1
, 2
với
n n n
u
a b
u au bu c n
=
=
= + +
HD:
(
)
( )
2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
2 2
1 1
2
2 2
1 1
2 2
1 1 2 2
2 2 0
2 0
2
2 0
2 0
n n n n n n n n n
n n n n n n n n n
n n n n
n n
n n n n
n n n n
u au bu c u au bu c u au bu c
u au u a u bu c u au u a b u c
u au u u c
u au
u au u u c
u au u u c
= + + = + = +
+ = + + =
+ =
+ =
+ =
( )
( )
( )
2
1 1
2
2 2
2 1 2 1
2 2
1 1
2 1
0
,
2 0
2 0
2
là hai nghiệm của pt:
t
n n
n n
n n n n
n n
n n n
u u c
u u
u au u u c
au t u c
u u au
+ =
+ =
+ =
+ =
3.8 Dãy số dạng:
1
2
1
2
1
, 0; 1; 1
, 2
trong đó:
n
n
n
u
u
a a b
u n
a cu b
=
> > =
=
+ +
HD:
2
1
2
1 1
1
1 1 1
1
Đặt sẽ chuyển về dạng trên.
n
n
n n n
n
n
n
u
u a b c
u u u
a cu b
x
u
= = + +
+ +
=
3.9 Dãy số dạng:
( ) ( )
1 2
2 1 1
;
. , 1
n n n n n n n n
u u
u p q u p q u f n
+ +
+ + =
www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Trang 24
HD:
(
)
(
)
(
)
(
)
2 1 1 2 1 1 1 1
1 1
2 1 1 1
3 2 2 2
1 1 1
*) .
*)
Với v
n n n n n n n n n n n n n n n n n
n n n n
n n n n
u p q u p q u u p u q u p u v q v
u p u
v q v f
v q v f
v q v f
+ + + + + +
+
+ + = =
=
=
=
=
( )
( )
( )
2 1 1 1
1 1
3 2 2 2
2 2
1 1 1
1 1
1 1
1 1 1
1 1
1
.
.
.
.
n n n n
n n
n n
i i
n n n
i i
n i i
a a
v q v f
q q
a a
v q v f
q q
a a
v q v f
q q
f f
a
v av a v q v
q q q
= =
=
=
=
= = +
Trờng hợp đặc biệt của dạng này hay gặp là khi một trong hai hàm trên là một hàm hằng.
( ) ( )
1 2
2 1
;
. , 1
n n n n n n
u u
u q u q u f n
+ +
+ + =
, tức là pt trình đặc trng có hai nghiệm là:
;
n
q
VD:
( )( )
1 2
1 2
1; 2
1 , 3
n n n
u u
u n u u n
= =
= +
( ) ( )
1 2
1 1 2
1 1
*) ! 0
1
*) 1;
1
*) 0
Đặt
có hai nghiệm
n n n n n
n n n n
n
u n v v v v
n n
Pt
n
v v v v
n
= =
+ =
www.VNMATH.com
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Trang 25
Luyện tập:
Luyện tập:Luyện tập:
Luyện tập:
Baứi taọp 1 :
1
1
2
3 0, 1
n n
u
u u n
+
=
+ =
Baứi taọp 2 :
1
1
2
3 2, 1
n n
u
u u n
+
=
+ =
Baứi taọp 3 :
1
1
2
2, 1
n n
u
u u n
+
=
=
Baứi taọp 4 :
1
1
1
3 4 5, 1
n n
u
u u n n
+
=
+ = +
Baứi taọp 5 :
1
1
1
4 5, 1
n n
u
u u n n
+
=
= +
Baứi taọp 6 :
1
1
2
3 2 , 1
n
n n
u
u u n
+
=
+ =
Baứi taọp 7 :
1
1
1
1
7 7 , 1
n
n n
u
u u n
+
+
=
=
Baứi taọp 8 :
1 2
2 1
2, 3
3 2 0, 1
n n n
u u
u u u n
+ +
= =
+ =
Baứi taọp 9 :
1 2
2 1
9, 45
2 8 27.5 , 1
n
n n n
u u
u u u n
+ +
= =
+ =
Baứi taọp 10 :
1 2
2
2 1
9, 45
2 8 2 , 1
n n n
u u
u u u n n n
+ +
= =
+ = +
Baứi taọp 11 :
1 2
2
2 1
9, 45
2 3 2 , 1
n n n
u u
u u u n n n
+ +
= =
+ = +
Baứi taọp 12 :
1 2 3
3 2 1
1, 2, 3
6 11 6 0, 1
n n n n
u u u
u u u u n
+ + +
= = =
+ =
Baứi taọp 13 :
1 2 3
2
3 2 1
4, 26, 74
6 11 6 6 4 8, 1
n n n n
u u u
u u u u n n n
+ + +
= = =
+ =
Baứi taọp 14 :
1 1
1
1
1, 1
6
6
n n n
n n n
u v
u u v
v u v
+
+
= =
=
= +
Baứi taọp 15 :
1
1
1
1
3
n
n
n
u
u
u
u
+
=
+
=
+
Baứi taọp 16 : Tìm dãy số
(
)
n
x
biết
1
2
1
2
3 1, 1,2,
n n
x
x x n n
+
=
= + + =
Lời giải
Phơng trình đặc trng
3 0
=
có nghiệm là
3
=
.
www.VNMATH.com
