VỀ MỘT PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG HÀM BĂM CHO VIỆC XÁC THỰC TRÊN CƠ SỞ ỨNG DỤNG CÁC THUẬT TOÁN MÃ HÓA ĐỐI XỨNG

-
1
-


HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
********************************************





HỒ QUANG BỬU




VỀ MỘT PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG HÀM
BĂM CHO VIỆC XÁC THỰC TRÊN CƠ SỞ
ỨNG DỤNG CÁC THUẬT TOÁN MÃ HÓA ĐỐI
XỨNG






LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT

HÀ NỘI - 2014


-
2
-


HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
*********************************************



HỒ QUANG BỬU


VỀ MỘT PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG HÀM
BĂM CHO VIỆC XÁC THỰC TRÊN CƠ SỞ
ỨNG DỤNG CÁC THUẬT TOÁN MÃ HÓA ĐỐI
XỨNG

Chuyên ngành: Kỹ thuật viễn thông
Mã ngành: 62 52 70 05

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT




NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. GS.TSKH. NGUYỄN XUÂN QUỲNH
2. GS.TS. NGUYỄN BÌNH



HÀ NỘI - 2014


-
26
-
bản rõ đầu vào giống nhau và sử dụng cùng một khóa thì bản mã
đầu ra sẽ giống nhau. Ngoài ra các M-dãy đề xuất trong luận án
hoàn toàn có thể sử dụng mật mã dòng.
 Xây dựng một hàm băm mới có độ dài 128 bit với khối mật mã
được xây dựng trên các cấp số nhân cyclic. Đây là cơ sở để xây
dựng thêm các hàm băm mới với một số ưu điểm: (1) phương
pháp mã hóa đơn giản hơn, (2) có thể dễ dàng mở rộng độ dài
mã băm nhằm mục đích hạn chế phép tấn công ngày sinh nhật,
(3) hàm băm có độ khuếch tán (hay hỗn loạn) khá tốt (đây là một
tính chất quan trọng của hàm băm). Theo các kết quả mô phỏng
đánh giá tính khuếch tán của hệ mật mới và của các hàm băm đề
xuất cho thấy tính khuếch tán khá tốt. Với hệ mật thì độ khuếch
tán tương đương DES, với hàm băm độ khuếch tán đạt xấp xỉ

một nửa độ dài mã băm.
Kiến nghị hướng phát triển
 Phát triển thêm các hệ mật mã mới trên cơ sở hàm mã hóa xây
dựng từ các cấp số nhân cyclic và kết hợp thêm các khâu phi
tuyến để tăng độ an toàn cho hệ mật.
 Trên cơ sở hàm băm đề xuất trong luận án, xây dựng thêm các
hàm băm mới có độ dài lớn hơn.
 Tìm hiểu và thực hiện thêm các phương pháp đánh giá hàm băm
đề xuất để hoàn thiện nghiên cứu về hàm băm mới này.
 Nghiên cứu, thiết kế và thử nghiệm mạch điện phần cứng cho hệ
mật đề xuất.

-
3
-

MỞ ĐẦU
Tính cấp thiết của đề tài
Với sự phát triển của khoa học kỹ thuật và công nghệ, cùng với
các nhu cầu đặc biệt có liên quan tới an toàn thông tin, ngày nay các
kỹ thuật chính trong an toàn thông tin bao gồm: Kỹ thuật mật mã
(Cryptography); kỹ thuật ngụy trang (Steganography); kỹ thuật tạo
bóng mờ (Watermarking – hay thủy vân).
Hiện nay việc trao đổi thông tin thương mại trên Internet có
nhiều nguy cơ không an toàn do thông tin có thể bị lộ hay bị sửa đổi.
Nói chung, để bảo vệ các thông tin khỏi sự truy cập trái phép cần
phải kiểm soát được những vấn đề như: thông tin được tạo ra, lưu trữ
và truy nhập như thế nào, ở đâu, bởi ai và vào thời điểm nào.
Để giải quyết các vấn đề trên, kỹ thuật mật mã hiện đại phải
đảm bảo các dịch vụ an toàn cơ bản: (1) bí mật (Confidential); (2)

xác thực (Authentication); (3) đảm bảo tính toàn vẹn (Integrity).
Tình hình nghiên cứu
Cho đến nay các nghiên cứu về hàm băm được chia thành hai
loại: hàm băm không khóa và hàm băm có khóa, và thông thường các
hàm băm này dựa trên mật mã khối với hai phương pháp chính là Mã
phát hiện sửa đổi (MDC-Manipullation Detection Code) và Mã xác
thực thông báo (MAC-Message Authentication Code).
Các hàm băm dựa trên mật mã khối đã được nghiên cứu khá
mạnh trên thế giới, các nhóm nghiên cứu tập trung chủ yếu vào
hướng xây dựng các hệ mật mã khối và đưa chúng vào lược đồ xây
dựng hàm băm. Các lược đồ được sử dụng để xây dựng hàm băm phổ
biến bao gồm: (1) Matyas – Mayer – Oseas (M-M-O); (2) Davies –

-
4
-

Mayer (D-M); (3) Miyaguchi – Preneel (M-P); (4) MDC-2; (5)
MDC-4…
Hiện nay trên thế giới có khá nhiều hệ mật mã khối khóa bí mật
đã được nghiên cứu sử dụng cho các lược đồ xây dựng hàm băm như
trên, điển hình là các hệ mật sau: DES, IDEA, RD.5, TDEA, AES,
CAST,… Những nghiên cứu về các hệ mật này và phương pháp sử
dụng chúng cho lược đồ hàm băm đã xuất hiện trong rất nhiều công
trình từ rất nhiều năm qua, tuy nhiên chúng đã được tổng kết trong
các công trình sau:
 Knudsen, L.; Preneel, B; Construction of secure and fast hash
functions using nonbinary error-correcting codes, IEEE
Transactions on Information Theory, Volume 48, Issue 9,
Sept. 2002 Page(s): 2524 - 2539.

Ở Việt Nam việc nghiên cứu các hệ mật cũng đã rất phát triển từ
nhiều năm qua, tuy nhiên việc sử dụng các hệ mật này cho các lược
đồ xây dựng hàm băm còn khá mới mẻ. Cũng có một số công trình
nghiên cứu điển hình về vấn đề này trong thời gian qua là: "Nghiên
cứu xây dựng hạ tầng khóa công khai phục vụ thư tín điện tử và
thương mại điện tử, Báo các kết quả nghiên cứu đề tài Bộ Bưu chính
- Viễn thông, 6/2004, của GS.TS. Nguyễn Bình.
Mục tiêu nghiên cứu của luận án
 Khảo sát đánh giá hệ mật khối sử dụng cho lược đồ hàm băm.
 Xây dựng hệ mật trên các cấp số nhân cyclic trên vành đa thức.
 Xây dựng các hàm băm mới sử dụng hệ mật dựa trên các cấp
số nhân cyclic trên vành đa thức.
 Viết các chương trình phần mềm mô phỏng, thử nghiệm và
đánh giá kết quả đã nghiên cứu.

-
25
-
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Các kết quả nghiên cứu chính của luận án bao gồm các nội dung
sau đây:
 Đề xuất phương pháp xây dựng hệ mật trên các cấp số nhân
cyclic của vành đa thức. Hệ mật mới này được xây dựng theo
lược đồ Feistel có sửa đổi với sơ đồ mật mã khối có độ dài đầu
ra 128 bit. Ưu điểm nổi bật của hệ mật này là (1) Mạch điện mã
hóa và giải mã cùng một cấu trúc và rất đơn giản chỉ gồm các
thanh ghi dịch và bộ cộng modul 2, tốc độ xử lý nhanh, (2)
Phương pháp mã hóa hàm f được xây dựng trên cấu trúc của cấp
số nhân cyclic trên vành đa thức
2

[ ]/ 1
n
x x

Z với
2
k
n

,
(Vành đa thức này là vành chẵn đặc biệt và không được xem xét
trong lý thuyết mã sửa sai), do đó dễ dàng mở rộng độ dài từ, (3)
Một số mô phỏng đánh giá cho thấy kết quả khuếch tán của hệ
mật khá tốt (tương đương DES).
 Đề xuất phương pháp tạo khóa cho hệ mật từ các M-dãy theo các
cấp số nhân của vành đa thức có hai lớp kề cyclic, đây cũng là
vành đặc biệt và ít được dùng trong lý thuyết mã sửa sai. Các M-
dãy xây dựng theo phương pháp này có chu kỳ lớn và cũng đảm
bảo tính chất giả ngẫu nhiên của dãy. Trong luận án đã sử dụng
các M-dãy trên vành
61
1
x

vào việc tạo các khóa con bên trong
hệ mật, cụ thể là 16 khóa con cho 16 vòng mã hóa theo sơ đồ
Feistel. Do số lượng khóa tạo được rất nhiều (
60
2 1


khóa) nên
mỗi lần mã hóa một khối thông tin vào, có thể sử dụng các khóa
khác, điều này sẽ tránh được vấn đề của các mật mã khối là khi

-
24
-
160, 256, 320}, SHA-{0,1,224, 256, 384, 512}, đây là họ có nhiều
hàm băm đang được sử dụng rộng rãi.
Phần tiếp theo trong chương 3 là một đề xuất xây dựng hàm băm
mới 128 bit, với mục đích tăng độ dài hàm băm, nhằm hạn chế phép
tấn công ngày sinh nhật; các mô phỏng đánh giá độ khuếch tán của
hàm băm mới đề xuất này cho thấy kết quả rất khả quan.
Để có thêm kết luận về hàm băm đề xuất, phải thực hiện thêm các
đánh khác như: tính xung đột, tính kháng va chạm. Tuy nhiên, hai
tính chất này không dễ dàng đánh giá được, nhất là đối với các hàm
băm có độ dài mã băm lớn. Trong khuôn khổ luận án mới chỉ có thể
đánh giá được tính khuếch tán của hàm băm đề xuất, tuy nhiên đây là
một trong các tính chất quan trọng của hàm băm. Ngoài ra, việc mở
rộng độ dài của hệ mật và hàm băm đề xuất rất đơn giản, từ đó có thể
giảm được khả năng xung đột, kháng tiền ảnh và đặc biệt là hạn chế
được phép tấn công "ngày sinh nhật". Các nghiên cứu về hệ mật và
hàm băm trong luận án là các đóng góp nhằm phát triển và đa dạng
hóa lý thuyết mật mã nói chung và hàm băm nói riêng, để có đánh giá
đầy đủ cần có thêm các nghiên cứu tiếp theo nữa.



-
5

-

Phạm vi nghiên cứu của luận án
Luận án thuộc phạm vi lý thuyết cơ sở, tập trung nghiên cứu
các thuật toán mã hóa và sử dụng chúng trong lược đồ xây dựng các
hàm băm. Các thuật toán mã hóa và sơ đồ tạo khóa trong các sơ đồ
mã hóa được xây dựng trên cấu trúc cấp số nhân cyclic, đây là một
cấu trúc đại số được xây dựng trên cơ sở là nhóm nhân cyclic trên
vành đa thức.
Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu của đề tài là phân tích và tổng hợp
dựa vào các công cụ toán học, đặc biệt là đại số đa thức, lý thuyết
thông tin và mã hóa, lý thuyết xác xuất cùng với sự hỗ trợ tính toán
của máy tính và các chương trình phần mềm mô phỏng để thử
nghiệm đánh giá.
Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án
Những kết quả trong luận án này là một đóng góp nhỏ bé vào việc
phát triển lý thuyết mật mã nói chung và các hàm băm nói riêng. Các
nghiên cứu trong luận án đưa ra được một phương pháp xây dựng
mật mã khối và một số hàm băm trên cơ sở là các cấp số nhân cyclic
của vành đa thức.
Bố cục của luận án
Luận án gồm phần mở đầu, 4 chương nội dung, phần kết luận,
chương trình mô phỏng.
Chương 1. Luận văn tập trung tìm hiểu các vấn đề chung nhất về
mật mã khóa bí mật (hay còn gọi là mật mã cổ điển) và mật mã khóa
công khai (hay mật mã hiện đại), từ đó phân tích các ưu và nhược
điểm của từng hệ mật.

-

6
-

Các nghiên cứu về cấu trúc nhóm nhân và cấp số nhân cyclic trên
vành đa thức cho các kết quả khá lý thú trong việc xây dựng các mã
sửa sai và mật mã. Để tăng chiều dài cho mật mã khối có thể sử dụng
cấu trúc các cấp số nhân cyclic trong các hàm mật mã, nội dung này
sẽ được trình bày trong chương 2.
Chương 2. Nội dung chương này đề cập đến cấu trúc cấp số nhân
của vành đa thức, xây dựng được một hệ mật trên các cấp số nhân
cyclic này. Cụ thể là hệ mật mới này được xây dựng theo lược đồ
Feistel có sửa đổi (sơ đồ mật mã khối có độ dài đầu ra 128 bit), hàm
mật mã f và việc tạo khóa được xây dựng theo cấu trúc của cấp số
nhân cyclic trên vành đa thức chẵn. Một số mô phỏng đánh giá cho
thấy kết quả khuếch tán của hệ mật khá tốt (tương đương DES) và
đây là cơ sở để xây dựng các hàm băm mới, được trình bày trong
chương 3.
Chương 3. Nội dung chương này đề cập đến các phương pháp xây
dựng hàm băm, xây dựng được hai hàm băm mới 128 bit và 384 bit,
với mục đích tăng độ dài hàm băm, thỏa mãn yêu cầu càng cao của
thực tế; các mô phỏng đánh giá các hàm băm mới đề xuất này cho
thấy kết quả rất khả quan.
Phần kết luận nêu những đóng góp của luận án và hướng phát
triển tiếp theo.

-
23
-
Thực hiện lặp lại với 10 bản tin được tạo ngẫu nhiên khác nhau ta
có kết quả như 0.

Bảng 3.3. Khoảng cách Hamming trung bình khi thay đổi khóa K và thay đổi bản tin rõ.
Bản tin thứ
i

1 2 3 4 5
 
i
H tb
d
63,27 63,67 64,23 64,67 64,50
Bản tin thứ
i

6 7 8 9 10
 
i
H tb
d
62,30 63,87 65,37 64,33 63,97
Khoảng cách Hamming trung bình tính được:
 
10
( )
1
1
64,02
10
i
H tb
H tb

i
d d

 


Qua các kết quả khảo sát khoảng cách Hamming ở trên ta thấy
tính khuếch tán của các hàm băm đề xuất là khá tốt.
Để tăng hiệu quả hàm băm ta có thể sử dụng các sơ đồ hàm băm
kép với cách xây dựng tương tự như đã trình bày ở trên.
3.2.2. Các đánh giá kết quả mô phỏng hàm băm mới
Theo kết quả mô phỏng đánh giá độ khuếch tán của hàm băm đề
xuất, khoảng cách Hamming của các mã băm đạt xấp xỉ một nửa độ
dài mã băm, tức là khi ta thay 1 bit trong bản tin đầu vào thì mã băm
đầu ra sẽ thay đổi một nửa chiều dài. Từ đây ta thấy độ khuếch tán là
rất tốt.
Để có thêm kết luận về hàm băm đề xuất, phải thực hiện thêm các
đánh khác như: tính xung đột, tính kháng va chạm…
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3
Nội dung chương này đề cập đến cấu trúc của các hàm băm họ
MD4 đang sử dụng phổ biến như MD4, MD5, RIPEMD-{0, 128,

-
22
-
Bảng 3.2. Khoảng cách Hamming
1
( , )
H i
d MD MD

giữa các cặp giá trị băm
khi các khóa khác khóa
1
K

2 bit.
TT Khóa K
i
Giá trị băm MD
i

1
( , )
H i
d MD MD
1 123456789ABCDEF1 53C51349140008F9AA66F954C307AD44 0
2
B23456789ABCDEF1
537140BB7C26F26EDD57CFDDA9CE1B8F 64
3
173456789ABCDEF1
2BA0259D1F16C021F3A22319AF753ED0 60
4
126456789ABCDEF1
A9FD04E4E1BAC7C06119B3FBD8FFD12D 78
5
123E56789ABCDEF1
773979064BE2FC31F0BE347B1EB2D776 72
6 1234F6789ABCDEF1 CD24285FFA002E865E8AECFACEAB37A5 66
7

12345C789ABCDEF1
12F25C639775234298EFF42CB48F44A8 64
8
123456289ABCDEF1
764025970C5F0A26A623D1A24B6D1809 60
9
1234567D9ABCDEF1
530804E85FA92A29C9D3B064481D81F4 52
10
123456780ABCDEF1
36188474DCE9230F7BFE8799EC1221C4 68
11
123456789FBCDEF1
633497CBED502E08B33AB54809D2DBE2 58
12
123456789AECDEF1
6756EEEBC53E948FE408A13DFF72AA20 66
13
123456789AB6DEF1
8778B1FBDE80A5DA4BEF05156D968B48 58
14
123456789ABC7EF1
18DA5D34CA879807D99ECDBC169ED8AD 74
15
123456789ABCDBF1
F9787D06F99822CB41E264158FF93D0C 64
16
123456789ABCDEA1
27395F8741475A8AA3845BB4FB6D0D0E 58
Khoảng cách Hamming trung bình của các giá trị băm với giá trị

băm ban đầu:
16
( ) 1
2
1
( , ) 64,13
15
H tb H i
i
d d MD MD

 


Để khảo sát thêm tính khuếch tán của hàm băm, ta thay đổi cả bản
tin rõ và khóa như sau: Giữa nguyên bản tin và lần lượt thay đổi từng
bit của khóa K
1
từ bit 1 đến bit 60, bit 61 dùng để kiểm tra chẵn lẻ.
Sau đó tính khoảng cách Hamming trung bình giữa các giá trị băm
với giá trị băm ban đầu theo công thức:
60
( ) 1
2
1
( , )
60
H tb H i
i
d d MD MD






-
7
-

CHƯƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ MẬT MÃ HỌC
1. 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
* Mã hóa (Encryption):

Ta có:


K
C E M
 hay


,
C E M K

* Giải mã (Decryption)

Ta có:







1
,
K K
M E C D C D C K

  
Trong đó: M – bản rõ; C – bản mã; K – khóa
* Các phương pháp xử lý thông tin số trong các hệ thống mật
mã bao gồm:
+ Mật mã khóa bí mật:
 Hoán vị.
 Thay thế.
 Xử lý bit (chú yếu trong các ngôn ngữ lập trình)
 Phương pháp hỗn hợp (điển hình là chuẩn mã hóa dữ
liệu – DES của Mỹ)
+ Mật mã khóa công khai:
Xây dựng trên 5 bài toán cơ bản:
 Bài toán logarith rời rạc
 Bài toán phân tích thừa số
 Bài toán xếp ba lô
 Bài toán mã sửa sai
 Bài toán đường cong eliptic
+ Mật mã khối: quá trình xử lý thông tin được thực hiện trong
các khối có độ dài xác định.
+ Mật mã dòng: quá trình xử lý thông tin thực hiện trên từng
bit.

Decryption

C
M
K
Encryption
M
C
K


-
8
-

+ Độ phức tạp tính toán:
- Độ phức tạp tính toán P (theo thời gian đa thức) các bài toán
này là khả thi và khá đơn giản.
- Độ phức tạp NP (không theo thời gian đa thức) các bài toán
này thường không khả thi và khá phức tạp.
1.2. CÁC HỆ MẬT KHÓA BÍ MẬT
1.2.1. Sơ đồ khối chức năng hệ mật khóa bí mật

Hình 1.1. Sơ đồ khối chức năng hệ mật khóa bí mật
1.2.2. Các hệ mật thay thế
Bao gồm các hệ mật thay thế đơn biểu và thay thế đa biểu. Các hệ
mật tiêu biểu gồm: Mật mã dịch vòng, hệ mật thay thế, hệ mật
Affine, Vigenère…
1.2.3. Các hệ mật hoán vị (MHV)
Khác với hệ mật thay thê, ý tưởng của MHV là giữ các ký tự

của bản rõ không thay đổi nhưng sẽ thay đổi vị trí của chúng bằng
cách sắp xếp lại các ký tự này. Ở đây không có một phép toán đại số
nào cần thực hiện khi mã hoá và giải mã.
1.2.4. Hệ mật mã tích
1.2.5. Các hệ mật mã dòng và tạo dãy giả ngẫu nhiên
1.2.6. Chuẩn mã dữ liệu DES

-
21
-
0123456789AB
4
DEF

C3D7A66C29F82331
31
0123456789ABCDEF
0123456789ABCCEF
8353E1BF4DB4264B
6D7007E1DFA73B51
64
32
0123456789ABCDEF
0123456789ABCDFF
7945A131C04B6182
ED6E54D50BE28723
62
33
0123456789ABCDEF
0123456789ABCDED

5DA15DE212D18181
4813623B0E06F874
68

Tiến hành thay đổi lần lượt từng bit từ bit 1 đến bit 128 của bản
tin đầu vào
1
M
, tính khoảng cách Hamming
1
( , )
H i
d MD MD
của từng
lần thay đổi, cuối cùng tính được khoảng cách Hamming trung bình
giữa các giá trị băm với giá trị băm ban đầu là:
 
 
128
1
1
1
, 63,97
128
H i
H tb
i
d d MD MD

 



Bảng 3.2 là kết quả tính toán phân bố của bộ mã khi thay đổi khóa
khởi tạo
K
, mỗi khóa khác với khóa đầu tiên 2 bit. Sở dĩ ta phải thay
đổi 2 bit (tương ứng thay đổi 2 vị trí) là để đảm bảo đa thức sinh của
khóa có trọng số lẻ.
Bản tin đầu vào gồm 10 khối 128 bit được tạo ngẫu nhiên [2].
Chú ý, chiều dài của khóa là 61 bit, do đó khi mô tả khóa bằng 16
ký tự hexa nhưng thực tế chỉ có 15 ký tự đầu là dạng hexa, còn ký tự
cuối cùng chỉ có 1 bit nên nó nhận giá trị “1” hoặc “0”.
Chọn phần tử đầu của cấp số nhân tạo khóa là:
2
1
a
K x x
  

Phần tử sinh khóa đầu tiên
1
K
như sau:
1( )
123456789ABCDEF.1
Hex
K  (
1
( ) 33
W K


).
Các khóa
i
K
chỉ thay đổi 2 bit trong một số hexa của khóa đầu
tiên
1
K
. Chú ý: vị trí các bit “1” trong các khóa
i
K
tương ứng là số
mũ của x trong đa thức sinh tạo khóa. Ví dụ:




1
5 56 57 58 59 60
12 F.1 1000.0100 1111.1
1
Hex Bin
K
x x x x x x
 
       


-

20
-
0123456789ABCDEF A9C64A47762FF6BD
8
012345
7
789ABCDEF

0123456789ABCDEF
0CA4992082D77070
73C61EA33CE5D66D
68
9
0123456
3
89ABCDEF

0123456789ABCDEF
1E25F66DC86E2888
44CCBDC4367DA463
64
10
01234567
9
9ABCDEF

0123456789ABCDEF
1AD3061B585D4602
FBEBA645F50D0203
58

11
012345678
D
ABCDEF
0123456789ABCDEF

E1589BF99823EF04
1210020DA32B4C50

64
12
0123456789
8
BCDEF

0123456789ABCDEF

1EE7BE47AC923862
90929EA7F6E837C1

60
13
0123456789A
F
CDEF

0123456789ABCDEF
BEB0D922F4ECAE48
CF098E0B9CCDF9CE
78

14
0123456789AB
8
DEF

0123456789ABCDEF
AD5C0C8D0A61348B
B96861BE92EEBB16
64
15
0123456789ABC
5
EF

0123456789ABCDEF

7906EF1395B4DE95
522E47E70DD5C738

64
16
0123456789ABCD
F
F

0123456789ABCDEF

FD4109489863FD3B
4E79C434BF8355DC

72
17
0123456789A
BCDE
B

0123456789ABCDEF

C6DBEA49E116BEDC
1FF11DF8F7A44A3F

68
18
0123456789ABCDEF
8123456789ABCDEF
BBE4AE6094334B90
49D253F55195427D
70
19
0123456789ABCDEF
0323456789ABCDEF
BA79EFB1AF077CB5
1988B7580AEA44C1

68
20
0123456789ABCDEF
0133456789ABCDEF
22C2135FCD25DB6C
BB0CE7ED5F43BEFE

66
21
0123456789ABCDEF
0121456789ABCDEF
ADFA46A0CEC37C5A
E0C53DAF31B45B8D

68
22
0123456789ABCDEF
0123056789ABCDEF
A0A88D98F147A0D7
C4284C7EAF58BC1F
68
23
0123456789ABCDEF
0123416789ABCDEF
8DD5B3218D448641
313E52AD01747037
68
24
0123456789ABCDEF
0123457789ABCDEF
62F9919F4FF1A2AE
27C31BD6042FBB04
54
25
0123456789ABCDEF
0123456589ABCDEF

FF3D7A429626EF4E
C61B8CF1325300F4
60
26
0123456789ABCDEF
0123456799ABCDEF
48CBABA51460CEF1
4ABFA6A62B4C006B
66
27
0123456789ABCDEF
012345678DABCDEF
A69350AB67BBCC6F
0053037523D9343F
54
28
0123456789ABCDEF
01234567892BCDEF
36F0DCFCCF106D0F
76F938F7FBFBBE0C
56
29
0123456789ABCDEF
0123456789AACDEF
4D16387FD0FA8E8A
E12F2ED638A059FF
62
30 0123456789ABCDEF 422DDC211E659AB0 62

-

9
-

Mô tả đầy đủ của DES được nêu trong Công bố số 46 về các
chuẩn xử lý thông tin Liên bang (Mỹ) vào 15/1/1977. DES mã hoá
một xâu bit x của bản rõ độ dài 64 bằng một khoá 54 bit. Bản mã
nhận được cũng là một xâu bit có độ dài 64.
Thuật toán DES thường được thực hiện qua 16 vòng mã hóa
theo lược đồ Feistel, hàm mã hóa trong mỗi bước được thực hiện kết
hợp giữa các phép hoán vị và thay thế.
1.2.7 Ưu nhược điểm của mật mã khóa bí mật
Ưu điểm:
 Đơn giản (thời gian nhanh, yêu cầu phần cứng không phức tạp)
 Hiệu quả: (Tỷ lệ mã bằng 1) dễ sử dụng cho các ứng dụng
nhạy cảm với độ trễ và các ứng dụng di động.
Nhược điểm:
Phải dùng kênh an toàn để truyền khóa (Khó thiết lập và chi phí
tốn kém)
 Việc tạo và giữ khóa bí mật phức tạp, khó làm việc trên
mạng do phải tạo khóa nhiều.
 Các thuật toán là song ánh, vì vậy nếu biết M và K thì chắc
chắn biết C. Thám mã có thể suy luận ra K, kết hợp với C tại
kênh mở có thể suy ra M.
 Khó xây dựng các dịch vụ an toàn khác như: đảm bảo tính
toàn vẹn, xác thực, chữ ký số…
Vì các nhược điểm này nên phải sử dụng cả các hệ mật khóa công
khai.


-

10
-
1.3. HỆ MẬT KHÓA CÔNG KHAI
1.3.1. Sơ đồ chức năng


Hình 1.7. Sơ đồ khối chức năng hệ mật khóa công khai
CB
K
- Khóa công khai của B (Lấy trên kênh mở)
RB
K
- Khóa bí mật của B
Phép mã hóa là ánh xạ 1:1:


,
CB
C E M K
Giải mã:




1
, ,
RB RB
M E C K D C K

 

Ưu điểm của hệ mật khóa công khai:
 Không cần tạo 2 khóa bí mật
 Không cần kênh an toàn riêng
 Biết khóa mã hóa trên kênh mở nhưng rất khó giải mã.
Yêu cầu: Dễ mã hóa, khó giải mã (Hàm một chiều)
Các hướng nghiên cứu từ năm 1976 cho đến nay đã tìm được 5
hàm một chiều, tương ứng với 5 bài toán là các bài toán:
- Bài toán logarith rời rạc: Với các hệ mật tiêu biểu như: Thủ tục
trao đổi khóa Diffie – Hellman, hệ mật Omura-Massey, hệ mật
Elgamal.
- Bài toán phân tích thừa số và hệ mật RSA.
- Bài toán xếp ba lô với hệ mật Merkle – Hellman
- Bài toán mã sửa sai và hệ mật Mc.Eliece
- Hệ mật xây dựng trên đường cong Elliptic.

-
19
-
0 là kết quả tính toán phân bố của 32 hàm băm khi thay đổi duy
nhất một bit dữ liệu trong 32 khối bản tin rõ so với bản tin ban đầu,
để thuận tiện cho việc quan sát chúng tôi chỉ thay đổi 1 bit trong
chuỗi bản tin đầu tiên của một khối.
Mỗi khối bản tin bao gồm 10 bản tin, mỗi bản tin có độ dài 128
bit. Các hàm băm sử dụng cùng một bộ khóa
K
khởi tạo:
Phần tử sinh của khóa khởi tạo là đa thức:
9 18 27 36
1
i

K x x x x
     ;
Phần tử đầu
10 20
1 ;
a
K x x
   phần tử đầu của cấp số nhân (khóa
đầu tiên), cũng là khóa khởi tạo sẽ là:
9 10 18 19 20 27
1
28 29 36 37 38 46 47 56
. 1
IV i a
K K K K x x x x x x
x x x x x x x x
        
       

Khối bản tin đầu tiên được xây dựng như sau: Bản tin đầu tiên
gồm 32 ký tự dạng hexa (tương ứng 128 bit) được chọn là:
M
1
=0123456789ABCDEF0123456789ABCDEF
Các bản tin tiếp theo (từ 2 đến 10) được tạo một cách ngẫu nhiên.
Bảng 3.1. Khoảng cách Hamming
1
( , )
H i
d MD MD

khi các khối dữ liệu
khác khối ban đầu 1 bit
TT Bản rõ
Giá trị băm
1
( , )
H i
d MD MD

1
0123456789ABCDEF
0123456789ABCDEF
4771249F4AB0E564
908F1456E0D3A239
0
2
2
123456789ABCDEF

0123456789ABCDEF
7B13337D3B31DC7B
91287CE5FCDFD274
56
3
0
3
23456789ABCDEF

0123456789ABCDEF
995F0EF13134BFAF

D43A47B676DFA356
62
4
01
3
3456789ABCDEF

0123456789ABCDEF
00EEA6CB284338F5
704DE9AFEC8A592C
68
5
012
B
456789ABCDEF

0123456789ABCDEF
0BC2CE7B57041014
0609BC377F579110
62
6
0123
0
56789ABCDEF
0123456789ABCDEF
E1EDDCED0686C4F6
E1DACEE0AA906D52
64
7
01234

7
6789ABCDEF

09B62BF471BA9644 60

-
18
-
với
a
K
là một đa thức có trọng số lẻ tùy ý sao cho:
deg 61
a
K

;
0
K
là một phần tử nguyên thủy của nhóm nhân cyclic có cấp bằng
60
2 1

và cũng là một đa thức có trọng số lẻ [3].
Giả sử ta chọn khóa:
3
0
1
K x x
  

Phần tử đầu là
2
1
a
K x x
  
.
Phần tử đầu của cấp số nhân và cũng là khóa đầu tiên là:


4 5
1 0
1 045
a
K K K x x     . (Chú ý giá trị


045
là dạng
biểu diễn số mũ của đa thức). Sơ đồ khối bộ mã hóa f

với khóa
1
K

như trong hình 3.13.

Sơ đồ khối mã hóa f với khóa
4 5
1
1
K x x
  
Một khâu mã hóa được thực hiện theo quy tắc:
 
1
1 1
,
i i i
i i i i
L R K
R L f R K

 
 



 



Khối g

trong sơ đồ 3.12 thực hiện việc trích trọn các khóa cho các
vòng tiếp theo của quá trình băm. Khối mật mã f

trong sơ đồ sử dụng
các khóa có độ dài 61 bit. Trong 61 bit khóa ở bước thứ
i
do khối
g

tạo ra thì 60 bit đầu tiên sẽ được trích trọn từ 128 bit của
1
i
H

còn bit
thứ 61 là bit kiểm tra chẵn lẻ. Việc trích trọn được lấy liên tục các bit
cách nhau 2 vị trí trong
1
i
H

(trong khoảng bit 1 đến bit 120). Dưới
đây là một vài kết quả đánh giá của hàm băm xây dựng trên các cấp
số nhân cyclic.

-
11
-
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Trong chương 1, luận án tập trung tìm hiểu các vấn đề chung nhất
về mật mã khóa bí mật (hay còn gọi là mật mã cổ điển) và mật mã
khóa công khai (hay mật mã hiện đại), từ đó phân tích các ưu và
nhược điểm của từng hệ mật.
Các nghiên cứu về cấu trúc nhóm nhân và cấp số nhân cyclic trên
vành đa thức cho các kết quả khá lý thú trong việc xây dựng các mã
sửa sai và mật mã. Để tăng chiều dài cho mật mã khối có thể sử dụng
cấu trúc các cấp số nhân cyclic trong các hàm mật mã, nội dung này
sẽ được trình bày trong chương 2.


-
12
-
CHƯƠNG 2. HỆ MẬT XÂY DỰNG TRÊN
CÁC CẤP SỐ NHÂN CYCLIC
2.1. NHÓM NHÂN CYCLIC TRÊN VÀNH ĐA THỨC
Trong mục này luận án đề cập đến các vấn đề:
- Định nghĩa nhóm nhân cyclic trên vành đa thức.
- Phân loại nhóm nhân cyclic.
2.2. CẤP SỐ NHÂN CYCLIC TRÊN VÀNH ĐA THỨC
Bao gồm các nội dung:
- Khái niệm về cấp số nhân cyclic trên vành đa thức.
- Phân hoạch vành đa thức: khái niệm về phân hoạch, các bước
phân hoạch vành đa thức, các kiểu phân hoạch.
2.3. XÂY DỰNG M-DÃY LỒNG GHÉP TRÊN VÀNH ĐA THỨC CÓ
HAI LỚP KỀ CYCLIC
Trong mục này luận án đề cập đến các vấn đề:
- Vành đa thức có hai lớp kề.
- Các M-dãy xây dựng trên vành đa thức.

- Các M-dãy lồng ghép xây dựng từ các cấp số nhân của vành đa
thức.
2.4. HỆ MẬT XÂY DỰNG TRÊN CÁC CẤP SỐ NHÂN CYCLIC
2.4.1. Vấn đề mã hóa
Trong mục này luận án đề cập đến vấn đề lý thuyết về việc áp
dụng các cấp số nhân cyclic vào việc mã hóa cho hệ mật, có ví dụ
minh họa và mạch điện mã hóa và giải mã.
2.4.2. Xây dựng hệ mật dùng cấp số nhân cyclic
Trong sơ đồ xây dựng hệ mật, sơ đồ Feistel được sử dụng làm nền
cho hệ mật dùng các cấp số nhân cyclic trên vành đa thức.

-
17
-
CHƯƠNG 3. HÀM BĂM XÂY DỰNG TRÊN
CẤP SỐ NHÂN CYCLIC
3.1. HÀM BĂM, XÁC THỰC VÀ CHỮ KÝ SỐ
Mục này đề cấp đến các nội dung:
- Hàm băm: Định nghĩa, các tính cất cơ bản, phân loại hàm băm,
các sơ đồ thực hiện hàm băm.
- Các sơ đồ xác thực dùng hàm băm
- Chữ kỹ số: Các sơ đồ chữ ký số dùng hàm băm và hệ mật khóa
công khai.
3.2. XÂY DỰNG HÀM BĂM MỚI TRÊN CÁC CẤP SỐ NHÂN
CYCLIC
3.2.1. Sơ đồ khối mật mã trong hàm băm
Trong phần này tác giả đưa ra một phương pháp xây dựng hàm
băm 128 bit dựa trên các cấp số nhân cyclic của vành đa thức, với nền
tảng là sơ đồ hàm băm Matyas–Mayer–Oseas như hình 3.12, đầu ra
i

H
có độ dài 128 bit. Khối mật mã E trong sơ đồ này được xây dựng
theo mô hình mạng hoán vị thay thế Feistel (Hình 2.6).

Hàm E được xây dựng trên cơ sở
hệ mật sử dụng các cấp số nhân
cyclic trên vành đa thức có hai lớp
kề (đã được mô tả trong mục 2.5.2).
Các khóa
i
K
là các phần tử trong
một cấp số nhân được chọn như sau
[5]:


61
0
mod 1; 1,16
i
i a
K K K x i  

-
16
-
20
0123456789ABCDEF0103456789ABCDEF
F4C77D14D1C3D56C3BFE5567E88F2FBD 63
21

0123456789ABCDEF0121456789ABCDEF
3829E4410CF0C4F5C44533DC9F167AF9 63
22
0123456789ABCDEF0123556789ABCDEF
72F1CA3D0680EE7D4DA55539D515A021 66
23 0123456789ABCDEF0123476789ABCDEF BD09D0D46298F5133D500DD1B1D4EF8F 63
24
0123456789ABCDEF0123452789ABCDEF
60B685BE82763B4198EF5656014C9B5F 66
25
0123456789ABCDEF0123456F89ABCDEF
CE8966D625E75B2D212E8137A2DD9C62 63
26
0123456789ABCDEF0123456799ABCDEF
96BABA38D98A9752F121910FDA1F6719 66
27
0123456789ABCDEF0123456788ABCDEF
1EFE98838C64E01668B87F5ABC1FFEB3 66
28
0123456789ABCDEF0123456789EBCDEF
5825A87F960913A4241D4445D970B340 66
29
0123456789ABCDEF0123456789AACDEF
2F2F07A8A0186137DEFCF09D37F7E60B 66
30
0123456789ABCDEF0123456789AB8DEF
D369DC985C020CC46CB055A628928946 66
31
0123456789ABCDEF0123456789ABC5EF
B7A8933663E16463FDD0391FE945E8E5 63

32
0123456789ABCDEF0123456789ABCDFF
07564D6E503D8A9F901C46CFE655D09D 66
33
0123456789ABCDEF0123456789ABCDEE
0730E7E6141F31CA7E6B02567FBB85FB 66

Khoảng cách Hamming trung bình giữa các bản mã là:
33
( ) 1
2
1
( , ) 65,16
32
H tb H i
i
d d C C

 


Tiến hành tính toán độ khuếch tán của các từ mã khi thay đổi 1 bit
của khóa so với khóa ban đâu, ta được kết quả là:
16
( ) 1
2
1
( , ) 64,93
15
H tb H i

i
d d C C

 


2.5. KẾT LUẬN CHƯƠNG 2
Nội dung chương này đề cập đến cấu trúc cấp số nhân của vành đa
thức, xây dựng được một hệ mật trên các cấp số nhân cyclic này. Cụ
thể là hệ mật mới này được xây dựng theo lược đồ Feistel có sửa đổi
(sơ đồ mật mã khối có độ dài đầu ra 128 bit), hàm mật mã f và việc
tạo khóa được xây dựng theo cấu trúc của cấp số nhân cyclic trên
vành đa thức chẵn.
Một số ưu điểm nổi bật của hệ mật này là (1) Mạch điện mã hóa
và giải mã cùng một cấu trúc và rất đơn giản chỉ gồm các thanh ghi
dịch và bộ cộng modul 2, tốc độ xử lý nhanh, (2) Dễ dàng mở rộng
độ dài từ mã trên các vành đa thức
1

n
x
với
2

s
n
, (3) Một số mô
phỏng đánh giá cho thấy kết quả khuếch tán của hệ mật khá tốt
(tương đương DES) và đây là cơ sở để xây dựng các hàm băm mới,
được trình bày trong chương 3.

-
13
-
Sơ đồ này (hình 2.5) sẽ mã hóa cho chuỗi bit có độ dài 128, các
hoán vị IP và hoán vị đảo IP
-1
được tác giả xây dựng và phát triển từ
các bảng IP của hệ mật DES, cho trong bảng 2.8 và bảng 2.9.
Hàm
f
được xây dựng trên cơ sở hệ mật sử dụng các cấp số nhân
cyclic trên vành đa thức có hai lớp kề. Các khóa
i
K
là các phần tử
trong một cấp số nhân được chọn như sau:
61
mod 1; ( 1,16)
i
i a o
K K K x i  

với
a
K
là một đa thức có trọng số lẻ tùy ý sao cho:
deg 61
a

K


0
K
là một phần tử nguyên thủy của nhóm nhân cyclic có cấp bằng
60
2 1

và cũng là một đa thức có trọng số lẻ. Cần chú ý rằng với
61
n

vành
61
2
[ ]/ 1
Z x x

là một vành có hai lớp kề cyclic.
Giả sử ta chọn khóa:

3
0
1 (013)
K x x    ,
Phần tử đầu
2
1 (012);
a

K x x    Phần tử đầu của cấp số
nhân và cũng là khóa đầu tiên là:
4 5
1 0
. 1 (045).
a
K K K x x    
Sơ đồ khối bộ mã hóa
f
với
khóa
1
K
như trong hình 2.6.
Một khâu mã hóa được thực hiện theo quy tắc:
 
1
1 1
,
i i i
i i i i
L R K
R L f R K

 
 



 




Trong sơ đồ mã hóa hình 2.5 tác giả có thay đổi so với sơ đồ
Feistel, đó là nửa trái ở bước thứ
i
bằng nửa phải ở bước thứ
1
i


cộng với khóa
i
K
(chỉ cộng 61 bit đầu tiên với khóa). Sở dĩ phải làm
như vậy để tránh trường hợp khi các bit dữ liệu đầu vào toàn là bit
“0” thì dữ liệu mã hóa đầu ra cũng sẽ toàn là bit “0”, vì hàm f trong
sơ đồ của chúng tôi thực hiện cộng các bit dữ liệu chứ không cộng
với các bit của khóa.


-
14
-


-
15
-

Bảng 2.10 là kết quả tính toán phân bố của bộ mã khi thay đổi 32
bản tin rõ [2], mỗi bản tin chỉ khác 1 bit, với cùng một bộ khóa K.
Với phần tử sinh của khóa
3 7 9
1
K x x x x
    
, phần tử đầu
2
1
a
K x x
  
; phần tử đầu của cấp số nhân (khóa đầu tiên) là:
4 5 7 8 10 11
1
. 1
a
K K K x x x x x x
       

Bản tin rõ đầu tiên gồm 32 ký tự dạng hexa là:
M
1
= 0123456789ABCDEF0123456789ABCDEF
Bảng 2.10. Khoảng cách Hamming
1
( , )
H i

d C C
giữa các cặp bản mã khi các bản rõ
khác nhau 1 bit,
1
( , ) 1
H i
d M M

, với cùng một khóa
TT Bản rõ M
i
Bản mã C
i
d
H
(C
1
,C
i
)

1 0123456789ABCDEF0123456789ABCDEF E9D8211132A6A374BC286082EFA45DA8 0
2 2123456789ABCDEF0123456789ABCDEF 3FEDC41619D4B600C059740D7A7D3DB6 63
3
0023456789ABCDEF0123456789ABCDEF
BA63820AED3E453E46236D0BBCE621CB 66
4
0133456789ABCDEF0123456789ABCDEF
64ED9A2B835B2A1A1887D0527791796F 66
5

0122456789ABCDEF0123456789ABCDEF
318B9AB229793B92F6D26B8F66F71FD4 66
6
0123656789ABCDEF0123456789ABCDEF
F15FF724D7A18806A95C1CF3FB2BC871 63
7
0123446789ABCDEF0123456789ABCDEF
F60072AA91BD7CEC5A629A89E22D0EEA 66
8
0123457789ABCDEF0123456789ABCDEF
E029AC24899C12893546C42D5F74C59D 66
9
0123456389ABCDEF0123456789ABCDEF
ABA4425CDC28CF0BDEB34969C3907BE5 66
10
01234567C9ABCDEF0123456789ABCDEF
DCFCE627E6484BB24B0ED91051661ECA 66
11
012345678DABCDEF0123456789ABCDEF
BA9A5D727F482D18C34AFBAB0488698E 66
12
0123456789BBCDEF0123456789ABCDEF
CF9528E0BF93184E0DD5E9EC4B0BED78 66
13
0123456789A9CDEF0123456789ABCDEF
D78E46904ACBF02ACC9A47D3A8634AE9 63
14
0123456789ABEDEF0123456789ABCDEF
EC3B44672A217541592F4BF0FAD021D9 63
15

0123456789ABCCEF0123456789ABCDEF
AABAF5812D7EF0CF1F33BF1A09EEA7A3 66
16
0123456789ABCDFF0123456789ABCDEF
C5EC075C3B572E410712D17F66CAF907 66
17 0123456789ABCDEB0123456789ABCDEF E2D5A84270DAC03952A60CFD8D3F7443 66
18
0123456789ABCDEF4123456789ABCDEF
4668F1890782644268C688441882E43A 66
19
0123456789ABCDEF0523456789ABCDEF
13D32C9861E4DF17F1C6EEEE90C6C681 66