Hướng dẫn giải bài tập lũy thừa và logarit docx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (267.58 KB, 20 trang )
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA
DẠNG : RÚT GỌN
I.
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN
Bài 1: Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a. D = x +2x y + xy + y
2
4
3
3
x + 2 xy + y
4
( x + y) +
4a − 9a −1 a − 4 + 3a −1
B= 1
+ 1
b.
1
1
−
−
2
a2 − a 2
2a − 3a 2
3y ( x − y )
x −1 ( x − y )
2
2
−
1
3
: ( x + y)
−1
( đáp số : D=1 )
2
Giải
a/
x 4 + x3 y + xy 3 + y 4
3 y ( x2 − y 2 )
D=
( x + y) + 1
2
2
x ( x − y)
x + 2 xy + y
3
= ( x + y )
−
1
3
:( x + y)
−1
−
1
3
( x3 + y3 ) ( x + y ) 2
( x + y) ( x − y)
−1
: ( x + y) =
+ 3 xy
2
( x − y)
( x + y)
−
=1
2
4a − 9a −1 a − 4 + 3a −1
+ 1
b/ B = 1
1
1
−
−
2
a2 − a 2
2a − 3a 2
2
2
2
2
2a + 3 ) + ( a − 3 )
a − 4a + 3 (
4a − 9
= 9a
=
+
=
1
( 2a − 3) a ( a − 1)
a
a2
1
1
2
2
a
a
Bài 2. Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a − n + b− n a − n − b− n
−
( ab ≠ 0; a ≠ ±b )
a−n − b−n a−n + b−n
−1
1
− x −1 a −1 + x −1
−1
-1 a
b. B = ( xa − ax ) −1 −1 + −1 −1 ÷
4
a −x
a +x
a. A =
Giải
a − n + b− n a − n − b− n
A = −n
−
=
a.
a − b−n a−n + b−n
a n + bn
bn − a n
a nb n n n
ab
( a n + b n ) − ( b n − a n ) = 4a n b n
bn − an
−
=
n
n
( a n + bn ) ( bn − a n ) b2 n − a 2 n
n n a +b
ab n n ÷
÷
ab
a −1 − x −1 a −1 + x −1
1
b/ B = ( xa −1 − ax -1 ) −1 −1 + −1 −1 ÷ =
4
a −x
a +x
2
2
2
2
1 x2 − a2 x − a x + a 1 2 ( x + a ) 1 x 2 + a 2
+
=
÷
÷=
4 ax x + a x − a 4
ax
2 ax
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ
Bài 1. Cho a,b là các số dương .Rút gọn biểu thức sau
1
2
1
a b 1
2
a. 1 − 2
+ ÷: a − b 2 ÷
b a÷
b.
9
a4 − a4
1
4
a −a
5
4
−
b
−
1
2
3
− b2
1
b2 + b
−
1
2
Giải
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 1
1
3
1
=
( x + y)
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
2
2
1
a b 1
a
a. 1 − 2
+ ÷: a 2 − b 2 ÷ = 1 −
÷ :
b a÷
b÷
1
4
9
4
1
4
5
4
a −a
b/
a −a
−
b
−
1
2
−b
1
2
b +b
−
1
3
2
=
1
2
a 4 ( 1 − a2 )
1
4
a ( 1− a)
−
b
b
−
1
2
−
1
2
(
a− b
)
(
=
2
b− a
)
2
b
.
(
1
a− b
)
2
=
1
.
b
( 1− b ) = 1+ a +1 = a + 2
( b − 1)
2
2
Bài 2. Cho a,b là các số dương .Rút gọn biểu thức sau :
a.
(
3
2
2
a + 3 b a 3 + b 3 − 3 ab ÷
)
1
1
a 3b
+
÷
b
a÷
b. a 3 + b 3 ÷: 2 + 3
Giải
a/
(
3
a + 3 b a + b − 3 ab ÷ =
)
2
3
2
3
(
3
) ( a)
a+3b
3
2
−3 a3b+
( b)
3
2
=
( a) +( b)
3
3
3
3
= a+b
1
1
1
1 1 1
1 1
1 1
a 3 + b 3 ÷a 3 b 3 a 3 + b 3 ÷a 3 b 3
1
1
a 3b
a 3b 3
3
3
=
= 1
b/ a + b ÷: 2 + 3 b + a ÷ = 1 1
2
2
1
÷
1 2
1
2a 3 b 3 + a 3 + b 3
3
3
a3 + b3
a +b ÷
Bài 3.Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
3
2
3
1
a b 2 a 1
A = 3 ÷ +
: a4 + b4 ÷
a.
÷
b a ÷ a b 3 ÷
b.
B=
a2 + 4
2
a2 − 4
a
÷ +4
2a
Giải
a/
3
2
3 1
3
1
1
2
a b + a : a 4 + b 4 = a 2 b 2
A= 3 ÷
÷ 3 1
÷
b a ÷ a b 3 ÷
b 2 a 2
B=
a2 + 4
2
a2 − 4
a
÷ +4
2a
=
a
1
1
1
1
a 2b 2 + 1
÷+ a : a 4 + b 4 = a + 1 : a 4 + b 4 =
÷
÷
3 ÷
1
1
÷ a 2b 3
÷
b ab
ab3 a 4 + b 4
÷
2
2 a 2 : ↔ a ≥ 0
a +4
=
=
2
a
−2 : ↔ a < 0
a2 + 4
(
)
4a
2
Bài 4. Tính giá trị các biểu thức sa ( với giả thiết chúng có nghĩa )
−1
1 + x + x2
1 − x + x2
+2−
a. A =
÷
2
2x − x2
2x + x
( 5 − 2 x ) . Với x =
2
3,92
5
3
3
2
2 + 27 y 5 + 310 32 y 2 − 2 ÷.3−2
b. B =
÷ . Với y = 1,2
2 + 35 y
÷
Giải
Trang 2
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
−4 x 3 + 10
( 4 − x2 ) 2 ( 5 − 2 x2 ) = 8 − 2 x2
2
2
( 5 − 2 x ) = x 4 − x2 ( 5 − 2 x ) =
(
)
( 5 − 2x2 )
2
2
2
Với x= 3,92 ⇒ x = 3,92 ⇔ 4 − x = 0, 08 ⇔ 2 ( 4 − x ) = 0,16
−1
−1
1 + x + x2
1 − x + x2
+2−
a/ A =
÷
2
2x − x2
2x + x
5
3
3
2 2 + 27 y 5
2
÷.3−2
10
B=
+ 3 32 y − 2
2 + 35 y
÷
÷
5
1 3 1 3
2 2 ÷ + 3. y 5 ÷
÷
1 1
+ 3.2 2 y 5 − 2 ÷3−2 =
=
1
1
÷
÷
22 + 3y 5
÷
5
5
1
2
1
1 1
2
= 2 − 2 2.3 y 5 + 32 y 5 + 3.2 2 y 5 − 2 ÷3−2 = y 5 ÷ = y 2 . Với y=1,2 suy ra y 2 = 1, 44
Bài 5. Rút gọn biểu thức sau :
4
3
1
3
4
3
1
3
−1
2
b
3
. 1 − 2
a. A = 2
÷ − a 3 ĐS: A=0
2
a÷
a 3 + 2 3 ab + 4b 3
1 1
1
1
3 3
3
8b − a a b
a − 2b 3
÷
+
b. B =
1
2
1
1
2
−1
−
−
−
− ÷
6
3
3
4a 3 + 2a 3 b 3 + b 3 ÷
2a − b
a − 8a b
Giải
1
3
−1
1
2
2
a ( a − 8b )
b
a3
. 1 − 2 3 ÷ − a 3 = 2
. 1
− a3
a/ A = 2
2
1 1
2
1
a÷
a 3 + 2 3 ab + 4b 3
a 3 + 2a 3 b 3 + 4b 3 a 3 − 2b 3
a − 8a b
=
a
2
3
1
3
1
3
2
3
( a − 8b )
2
3
2
3
1
3
1
3
2
3
−a =
2
3
a + 2a b + 4a b − 2a b − 4a b − 8b
8b − a a b
a − 2b
+
b/ B =
1
1
2
1
1
2
6 −3
2a − b − 3 4a − 3 + 2a 3 b − 3 + b − 3
1
3
1
3
1
3
1
3
a
2
3
( a − 8b ) − a 2 = 0
3
a − 8b
1
2
1
3 2
3
3
3
2 2
a − 2b ÷a b ÷
8b − a a 3 b 3
÷=
÷=
+ 2
1
1 1
2 ÷
÷
6 1
3
÷
2b 3 − a 3 4b + 2a 3 b 3 + a 3 ÷÷
÷
1 1
2
1 2
2
1
3
3 3
3
3
4b + 2a b + a − a − 2b 3 ÷ ÷ 2 2
8b − a
÷a 3 b 3 = 8b − a 6ab = ab
=
÷
3
3
÷
6
6 8b − a
1 1
÷
3
3
2b ÷ − a ÷
÷
Bài 6. Rút gọn biểu thức sau
1
3 5 − 7 1 1 1 2
a. A= 3 2 .5 3 ÷: 2 4 : 16 : 5 3.2 4.3 2 ÷ ( đáp số : A= 15/2 )
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 3
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
b. B = ( 0,5 )
−4
−1
1
− 6250,25 − 2 ÷
4
1
2
+ 19. ( −3)
−3
Giải
3
5
3
7
1
3
1
1
a/ A= 3 2 .5 ÷: 2 4 : 16 : 5 .2 4.3 2 ÷
B = ( 0,5 )
− 625
−
1
2
3 5 7 1 1 1
3 2 5 3 2 4.5 3 2 4 3 4
=
24
1
1
2
3252 2 15
÷ =
=
÷ 22 ÷
2
÷
b/
−4
−1
0,25
1
−2 ÷
4
1
2
+ 19. ( −3)
−3
−4
1
−
1
= ÷ − ( 54 ) 4
2
−2.
3
− ÷
2
3
2
+ 19
1
( −3)
3
= 16 − 5 −
8 19
−
= 10
27 27
Bài 7 . Rút gọn biểu thức sau :
1
1 −1
a − b − a − b : a4 − b4
a. A = 3
÷
1 1
1
1
4
2 4
4
4
a +b
a + a b
1
2
1
2
3
3
3
3
4
4
4
a − b ÷ a + b 4 ÷
÷
− ab ÷
b. B =
1
1
÷
2
a − b2
÷
÷
Giải
a/
1
1
1
1
1 1
1
1
a − b − a + a 2b 2
a −b
a2 − b2 1
a −b
a2 − b2 1
A= 3
− 1
: a 4 − b 4 ÷= 1 1
− 1
: a 4 − b 4 ÷= 1 1
1 1
1
1
1
1
4
a2 a4 + b4
2
a 4 + a2b4 a 4 + b4
a4 + b4
a a + b4 ÷
÷
1
1
1
b2 a2 − b2 ÷
b
= 1
=
1
1 ÷
a
a2 a2 − b2 ÷
3
3
3
1 1
1
1
3
3
3
1
1
a 4 − b 4 ÷ a 4 + b 4 ÷
÷ a 2 − b 2 − a 2 b 2 a 2 − b 2 ÷÷ a 2 − b 2 ÷( a − b )
− ab ÷ =
÷=
= ( a − b)
b/ B =
1
1
1
1
1
1
÷
÷
2
2
2
2
2
2
a −b
a −b
÷
÷
a −b ÷
÷
÷
3
1
3
1
1
x2 − a2
x2 − a2
Bài 8 .a. Rút gọn các biểu thức sau : C = 1 1 + ( ax ) 2
(đáp số C=1)
x−a
x2 − a2
.
b. Chứng minh :
a 2 + 3 a 4b2 + b 2 + 3 b 4 a 2 =
(
3
a2 + 3 b2
Giải
Trang 4
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
)
3
.
1
1
4
a −b ÷
1
4
=
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
3
1
3
1
1
x2 − a2
x2 − a2
2
+ ( ax )
a/ C = 1
1
x−a
2
2
x −a
2
1
1 1
1
1
1
x 2 − a 2 ÷ x + x 2 a 2 + a ÷ 1 1
x2 − a2
+ x2a2
=
1
1
1
1
1
1
2
x2 − a2
x 2 − a 2 ÷ x + a 2 ÷
2
2
1
1
2
2
x +a ÷
=1
=
1
1 2
2
2
x +a ÷
) (
(
(
a 2 + 3 a 4b 2 + b 2 + 3 b 4 a 2 =
b. Chứng minh :
)
3
a2 + 3 b2
)
3
⇔ a 2 + 3 a 4b 2 + b 2 + 3 a 2b 4 + 2 2a 2b 2 + a 2 3 a 2b 4 + b 2 3 a 4b 2 = a 2 + 3 3 a 4b 2 + 3 3 a 2 b 4 + b 2
⇔ 2 a 2 b 2 + a 2 3 a 2 b 4 + b 2 3 a 4 b 2 = 3 a 2 b 4 + 3 a 4 b 2 ⇔ 2 a 2 b 2 + 3 a 8 b 4 + 3 a 4 b 8 = 3 a 8b 4 + 2 3 a 6 b 6 + 3 a 4 b 8
Bài 9.
a. Không dùng bảng số và máy tính hãy tính :
b. Chứng minh rằng :
8
1
=
3+ 8 2
(
8
3−8 2
)(
4
3
847 3
847
( đáp số : =3 )
+ 6−
27
27
6+
3+ 4 2
)(
3+ 2
)
Giải
a/ Đặt y=
12 + 3 y 3
125
= 12 + 5 y ⇔ y 3 − 5 y − 12 = 0 ⇔ ( y − 3 ) ( y 2 + 3 y + 4 ) = 0 ⇒ y = 3
27
b/ ⇔ 1 =
⇔
(
847 3
847
3
3 6 + 847 ÷ 6 + 847 ÷÷ = 12 + 3 y 3 36 − 847 =
6+
+ 6−
⇒ y = 12 + 3 y
÷
27
27
27 ÷
27 ÷
27
3
(
8
3+8 2
3− 2
)(
)(
8
3−8 2
)
)(
4
3+ 4 2
)(
)
3 + 2 ; VP ⇔
(
4
3− 4 2
)(
4
3+ 4 2
)(
3+ 2
)
3 + 2 = 3 − 2 = 1 = VT
Bài 10 .Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau :
11
a. A = 5 2 3 2 2 .
c. C = 4 x 2 3 x
b. B = a a a a : a 16
( x > 0)
d. D = 5
b3a
a b
( a > 0)
( ab > 0 )
Giải
1
1 3
a. A = 5 2 3 2 2 = 2 2.2 ÷ .2
1
5
1
1
1
5
31
3
3 3 1 5
2
= 2 2.2 = 2 2 5 = 210
= 2 ÷ .2
÷
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 5
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
1
1
1
2
1
15
3 1 2
3 1 2 11
11
11
11
1
2
7 +1 2 16 a 16
4 +1 2
2
b/ B = a a a a : a 16 = a ÷ a .a : a 16 = a ÷ .a : a 6 = a 8 ÷ : a = 11 = a 4
a 16
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ VÔ TỶ
Bài 1. Đơn giản các biểu thức :
1
a. a .
÷
a
2 −1
1
a. a .
÷
a
2 −1
( )
b. aπ . 4 a 2 : a 4π
2
3
3
c. a
d. a 2. .a1,3 : 3 a3
2
Giải
=a
2
( )
3
3
c/ a
=a
3. 3
2
(a )
2 −1
−1
1
2
1
= a . b/ aπ . 4 a 2 : a 4π = aπ a = a 2 = a
aπ
a 2..a1,3
= a1,3
d/ a 2. .a1,3 : 3 a 3 2 =
2
a
1− 2
=a a
2
= a3
Bài 2. Đơn giản các biểu thức :
a.
(
a2
−b
a
c.
a
a/
2
a
− b2
2
2 5
3
a2
(
(a
b/
a
d/
− b2
−b
)(
)
a
a
2 5
3
+b
5
4 3
−b
3
3
+a b
7
3
−a
3
3
7
+b
(đáp số : a
2 7
3
(a
+1 =
2
2 7
3
2
−b
)(
−1 a2 3 + a
2 3
a
5
3
−b
7
3
(a
+b
+b 3 +a
2
−b
2
)
3
d.
3
2
2
3
3 3
2
) +1 = a
3
+b
3
3
a
=
5
3
(đáp số : a 3 + 1 )
π
2
π
1
π
π
− 4 π ab ÷ (đáp số : a − b
Giải
)(a
−b
)
3
π
)
3
3
−a
4 3
+ a3
3
2
3
2a
=
a
( a −b )
(
)
+ a ) ( a − 1) ( a + 1) a ( a + 1 + a )
=
=(a
a ( a − 1) ( a + 1 + a )
a
−b
a
π
π
(a
7
7
3
3
3
b.
− 1 a2 3 + a
2 3
(a
−b
5
+a b
c/
a
)
3
+1
2
3
3
2
2
3
7
3
3
3
3
3
2 5
÷ a 3 + a 3 b
÷
2 5
3
3
3
+a b
3
7
3
+b
7
3
+b
2 7
3
2
1
+ bπ ) − 4 π ab ÷ = a 2π + b 2π + 2a π bπ − 4aπ bπ =
−b
2 3
2 3
2 7
3
2
÷
÷
=a
(a
π
5
3
2
3
3
)
+1
7
−b 3
− b π ) = a π − bπ
2
DẠNG : SO SÁNH CÁC CẶP SỐ
• Nếu hai số là hai căn khơng cùng chỉ số , thì ta phải đưa chúng về dạng có cùng chỉ số ,
sau dó so sánh hai biểu thức dưới dấu căn với nha .
• Nếu hai số là hai lũy thừa , thì ta phải chú ý đến cơ số , sau đó sử dụng tính chất của lũy
thừa dạng bất đẳng thức .
Trang 6
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Bài 1. Hãy so sánh các cặp số sau :
∨ 5 20
a. 3 30
b. 4 5 ∨
3
c. 17 ∨
7
3
28
2
1
1
e. ∨ ÷
÷
3
3
d. 4 13 ∨ 5 23
3
f. 4 5 ∨ 4
7
Giải
a/
b/
c/
d/
3 30 = 15 305 = 15 243.105
⇒ 3 30 > 5 20
∨ 5 20 . Ta có
15
3
15
3
5
20 = 20 = 8.10
4 5 = 12 53 = 12 125
3
4
⇒37>45
5 ∨
7 . Ta có :
3 7 = 12 7 4 = 12 2401
17 = 6 173 = 6 4913
⇒ 17 > 3 28
17 ∨ 3 28 . Ta có :
6
2
3
6
28 = 28 = 784
4 13 = 20 135 = 20 371.293
5
4
⇒ 4 13 > 5 23
13 ∨ 23 . Ta có :
5 23 = 20 234 = 20 279.841
3
30
3
2
1
1
e/ ∨ . Vì
÷
÷
3
3
f/ 4 5 ∨ 4 7 ;
3
1
1
3 > 2 ⇒ ÷ < ÷
3
3
7 > 5⇒4
5
<4
2
7
Bài 2. Hãy so sánh các cặp số sau :
1,7
a. 2 ∨ 2
1,7
−
d. 5
÷
7
5
2
0,8
3
3
c. ÷ ∨ ÷
2 ÷
÷
2
2,5
∨1
e. 2−
12
1
∨ ÷
2
a/ 2 ∨ 2 ; vi :1, 7 > 0,8 ⇒ 2 > 2 .
1,7
1,2
0,8
1
1
b. ÷ ∨ ÷
2
2
0,8
1,7
0,8
5
f. 0, 7 6
2
1
∨ 0, 7 3
Giải
b/
1, 7 > 0,8
1,7
0,8
1,7
0,8
1
1
1
1
⇒ ÷ < ÷
1
÷ ∨ ÷ ; do :
2
2
2
0 < 2 < 1 2
1, 2 < 2
1,2
2
1,2
2
3
3
3
3
⇒
c/ ÷ ∨ ÷ ; do :
÷ >
3
2 ÷
2 ÷
÷
2 ÷
÷
0<
<1 2
2
5
5
5
−
−
0
<0
−
2
2
5
5 2 5
⇒ ÷ > ÷ = 1;
d/ ÷ ∨ 1; do :
7
7
0 < 5 < 1 7
7
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 7
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
− 12 < − 6, 25
1
∨ ÷ ; do :
⇒ 2−
2
2 > 1
2,5
−
e/ 2
12
12
5 = 5 > 4 = 1 2
5
÷
6 ÷ 36 36 ÷ 3 ÷
∨ 0, 7 ; do :
⇒ 0, 7 6
0 < 0, 7 < 1
< ( 2)
−
( 2,5) 2
= ( 2)
− 6,25
2
f/ 0, 7
5
6
1
3
1
< 0, 7 3
Bài 3. Chứng minh : 20 2 + 30 3 > 2
Giải
2 > 1 =1
20
20
Ta có : 30
30
3 > 1 =1
⇒ 20 2 + 30 3 > 2
Bài 4. Tìm GTLN của các hàm số sau .
a. y = 3− x + x
b. y = ( 0,5 )
sin 2 x
Giải
− x+ x
a/ y = 3
.
2
Đặt t = x ≥ 0 ⇒ y = − x + x = −t + t ( t ≥ 0 ) ↔ y ' = −2t + 1 = 0 → t =
Do vậy : y = 3− x +
b/ y = ( 0,5 )
sin 2 x
1
1 1
⇔ maxy=y ÷ =
2
2 4
1
x
≤ 3 4 = 4 3 ↔ GTLNy = 4 3
2
2
2
sin x
≤ 0,51 ⇒ y = 0,5sin x ≤
. Vì : 0 ≤ sin x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ 0,5
1
1
↔ GTLNy =
2
2
Bài 5. Tìm GTNN của các hàm số sau “
b. y = 2 x −1 + 23− x
a. y = 2 x + 2 x
2
2
c. y = 5sin x + 5cos x
Giải
GTNNy = 2
x
−x
→ x = −x ↔ x = 0
a/ y = 2 + 2 ≥ 2 ⇔
x
−x
⇔ 2 = 2
2 x −1 = 23− x
y = 2 x −1 + 23− x ≥ 2 2 x −1+3− x = 2 22 = 4 ⇔ min y = 4 ⇔
⇔ x=2
b/
↔ x − 1 = 3 − x
2
2
5sin x = 5cos x
π
π
sin 2 x
cos 2 x
sin 2 x + cos 2 x
≥2 5
= 2 ⇔ min y = 2 ⇔
↔ cos2x=0 → x= + k
c/ y = 5 + 5
2
2
4
2
sin x = cos x
x
x
1
e/ y = e1+ x ≥ e 2 x = e 2 = e ⇔ { x = 1
2
VẼ ĐỒ THỊ
Bài 1. Hãy vẽ đồ thị của mỗi cặp hàm số sau trên cùng một hệ trục
1
a. y = x 4 ∨ y = x 4
( Học sinh tự vẽ đồ thị )
Trang 8
b. y = x 5 ∨ y = x −5
1
c. y = x 2 ∨ y = x 2
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
x
e. y = e1+ x
2
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Bài 2. Chứng minh hàm số sau đây là đơn điệu :
y=
2 x − 2− x
. Sau đó khảo sát và vẽ đồ thị của nó ?
2
Giải
2 > 2 ( 1)
2 x1 > 2 x2 ( 1)
2 x1 > 2 x2 ( 1)
x1
x2 ⇔
⇔
Giả sử : x1 > x2 ⇒ 1 1
− x1
− x2
− x1
− x2
÷ < ÷
( 2 ) < ( 2 )
− ( 2 ) > − ( 2 ) ( 2 )
2
2
x1 > x2
2 x1 − 2− x1 2 x2 − 2− x2
⇒
>
⇔
. Vậy hàm số luôn đồng biến trên R .
2
2
y ( x1 ) > y ( x2 )
x1
x2
Bài 3. Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là đồng biến , hàm số nào là nghịch biến ?
x
x
x
x
3
1
π
2
−x
a. y = ÷
b. y = ÷
c. y =
d. y = 3
÷
÷
3
3+ 2
e
3− 2
Giải
x
x
π
π
π
a/ y = ÷ . Do > 1 ⇒ y = ÷ . Là một hàm số đồng biến
3
3
3
x
x
2
2
2
b/ y = ÷ . Do 0 < < 1 ⇒ y = ÷ Là một hàm số nghịch biến
e
e
e
x
3
c/ y =
÷ . Do
3+ 2
(
3
=3
3+ 2
1
−x
d/ y = 3
÷ =
3− 2 3
x
)
3
3 − 2 <1⇒ y =
÷ là một hàm số nghịch biến
3+ 2
x
x
(
x
1
3+ 2
÷ =
÷ là một hàm số đồng biến (
÷
3
3− 2 ÷
)
3+ 2 >3 )
BÀI TẬP VỀ LƠ-GA-RÍT
I. SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VỀ LOGARIT
Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau :
a. y = log 1
2
d. y = log 1
2
x −1
x+5
x2 + 1
b. y = log 1 log5
÷
x+3
5
x −1
− log 2 x 2 − x − 6
x +1
c. y = log 2
2
e. y = lg ( − x + 3x + 4 ) +
x−3
x +1
1
x − x−6
2
x2 + 2
f. y = log 0,3 log 3
÷
x+5
g. y = log
x −1
2x − 3
Giải
x −1
x −1
≤1
x −1
−2
log 1 x + 1 ≥ 0
−1 ≤ 0
≤ 0 → x ≥ −1
x −1
2
x +1
⇔
⇔ x +1
⇔ x +1
a/ y = log 1
. Điều kiện :
2 x+5
x −1 > 0
x −1 > 0
x < −1 ∨ x > 1 x < −1 ∨ x > 1
x +1
x +1
Vậy D= ( 1; +∞ )
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 9
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
x2 + 1
x2 − x − 2
log 1 log 5
÷≥ 0
x+3 ≥ 0
x+3
x2 + 1
3
2
≥1
x2 + 1
x − 5 x − 14
x2 + 1
x+3
⇔
⇔
≤0
b/ y = log 1 log 5
÷ . Điều kiện : 0 ≤ log 5 x + 3 ≤ 1
2
x+3
x+3
x +1
5
0 <
≤5
x > −3
x2 + 1
x+3
≤5
0 <
x+3
−3 < x < − 1 ∨ x > 2
⇔
⇒ x ∈ ( −3; −2 ) ∪ ( 2;7 )
−∞ < x < −3 ∨ −2 < x < 7
Phần còn lại học sinh tự giải
Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức sau :
1 − 1 log9 4
+ 25log125 8 ÷.49log7 2
a. 814 2
b. 161+ log4 5 + 4 2 log 2 3+ 3log5 5
1 log7 9−log7 6 − log 3 4
+5
c. 72 49 2
÷
d.
1
36log6 5 + 101− lg2 − 3log9 36
Giải
a/ 81
1 1
− log9 4
4 2
1− log3 4
=3
+5
+ 25
log125 8
1
2 .3log5 2
3
log7 2 4 1 − 1 log9 4 ÷ 2log53 23 2log7 2
= ( 3) 4 2 + 5
÷.49
7
log7 4 3
= + 4 ÷4 = 19
÷7
4
1
b/ 161+ log4 5 + 4 2 log2 3+ 3log5 5 = 42( 1+ log 4 5) + 2log2 3+ 6log5 5 = 16.25 + 3.26 = 592
1 log7 9 −log7 6
− log 4
9 1
72 49 2
+ 5 5 ÷ = 72 7 log7 9 −2log7 6 + 5−2log5 4 = 72 + ÷ = 18 + 4,5=22,5
c/
36 16
(
d/ 36log6 5 + 101− lg 2 − 3log9 36
)
= 6log6 25 + 10log5 = 25 + 5 = 30
II. SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC VỀ LO-GA-RÍT
Bài 1. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a. A = log 9 15 + log 9 18 − log 9 10
3
1
2
c. C = log 36 2 − log 1 3
1
2
3
b. B = 2 log 1 6 − log 1 400 + 3log 1 45
3
d. D = log 1 ( log 3 4.log 2 3)
4
6
Giải
15.18
1
3
= log 9 33 = log 3 33 =
a/ A = log 9 15 + log 9 18 − log 9 10 = log 9
10
2
2
1
36.45
2
4
3
b/ B = 2 log 1 6 − log 1 400 + 3log 1 45 = log 1
÷ = log 1 9 = − log 3 3 = −4
2
3
3
3
3 20
3
1
1
1
1
1
c/ C = log 36 2 − log 1 3 = log 6 2 + log 6 3 = log 6 2.3 =
2
2
2
2
2
6
Trang 10
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
3
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
1
2
d/ D = log 1 ( log3 4.log 2 3) = − log 4 ( log 2 3.log 3 4 ) = − log 4 ( log 2 4 ) = − log 2 2 = −
4
Bài 2. Hãy tính
a. A = log 2 2sin
π
π
÷+ log 2 cos
12
12
b. B = log 4
(
3
)
7 − 3 3 + log 4
(
1
2
3
49 + 3 21 + 3 9
)
1
3
c. log10 tan 4 + log10 cot 4
d. D = log 4 x = log 4 216 − 2 log 4 10 + 4 log 4 3
Giải
π
π
π
π
1
π
÷+ log 2 cos = log 2 2sin .cos ÷ = log 2 sin = log 2 = −1
12
12
12
12
2
6
3
3
b/ B = log 4 3 7 − 3 3 + log 4 3 49 + 21 + 3 9 = log 4 3 7 − 3 3 3 49 + 21 + 3 9 = log 4 ( 7 − 3 ) = 1
c/ C= log10 tan 4 + log10 cot 4 = log ( tan 4.cot 4 ) = log1 = 0
a/ A = log 2 2sin
(
)
(
)
1
3
(
)(
)
1
3
d/ log 4 x = log 4 216 − 2 log 4 10 + 4 log 4 3 = log 4 63 − log 4 102 + log 4 34 = log 4
6.34
35
⇒x=
102
50
Bài 3. Hãy tính :
a. A =
1
1
1
1
+
+
+ .......... +
log 2 x log 3 x log 4 x
log 2011 x
b. Chứng minh :
( x = 2011!)
log a b + log a x
1 + log a x
•
log ax ( bx ) =
•
k ( k + 1)
1
1
1
+
+ ......... +
=
log a x log a 2 x
log ak x 2 log a x
Giải
a/ A =
1
1
1
1
+
+
+ .......... +
= log x 2 + log x 3 + ... + log x 2011 = log x 1.2.3...2011
log 2 x log 3 x log 4 x
log 2011 x
= log x 2011! . Nếu x=2011! Thì A= log 2011! ( 2011!) = 1
log a b + log a x
1 + log a x
log a bx log a b + log a x
=
= VP ⇒ ( dpcm )
Vế trái : log ax bx =
log a ax
1 + log a x
k ( k + 1)
1
1
1
+
+ ......... +
=
Chứng minh :
log a x log a 2 x
log ak x 2 log a x
b/ Chứng minh : log ax ( bx ) =
2
k
VT= log x a + log x a + ...log x a = ( 1 + 2 + 3 + ... + k ) log x a =
k ( 1+ k )
= VP
2 log a x
Bài 4. Tính :
a. A = log a a
3
5
a a
b. B = log a a a
3
25
a a
a 5 a3 3 a 2
c. log 1
a4 a
a
d. log tan10 + log tan 20 + log tan 30 + .... + log tan 890
e. A = log 3 2.log 4 3.log 5 4......log15 14.log16 15
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 11
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Giải
1 1 37
÷= 3 + + =
2 5 10
1
1
1+ 1 + 1 + 2 3
÷
3
27 3
3 25
2 5 ÷
= 1+ ÷ = 1+ 3
b/ B = log a a a a a = log a a
÷
10
10
÷
3
1+ 5 + 2
a 5 a3 3 a 2
a 3 ÷ 34 3
91
= − log a 1 1 = − − ÷ = −
c/ log 1
4
+ ÷ 15 4
60
a a
a
a2 4 ÷
3
a/ A = log a a a 5 a = log a a
1 1
3+ +
2 5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
d/ log tan1 + log tan 2 + log tan 3 + .... + log tan 89 = log tan1 tan 89 .tan 2 .tan 87 ...tan 45 = 0
0
0
0
0
0
0
( vì : tan 89 = cot1 ⇒ tan1 tan 89 = tan1 cot1 = 1 ; Tương tự suy ra kết quả
e/ A = log 3 2.log 4 3.log5 4......log15 14.log16 15 = log16 15.log15 14....log5 4.log 4 3.log 3 2 = log16 2 = −
1
4
Bài 5. Chứng minh rằng :
a.Nếu : a 2 + b 2 = c 2 ; a > 0, b > 0, c > 0, c ± b ≠ 1 , thì :
log c +b a + log c −b a = 2 log c +b a.log c −b a
b. Nếu 0
log a N log a N − log b N
=
( a, b, c ≠ 1)
log c N log b N − log c N
c. Nếu : log x a, log y b, log z c tạo thành cấp số cộng ( theo thứ tự đó )thì :
log b y =
2 log a x.log c z
( 0 < x, y, z, a, b, c ≠ 1)
log a x + log c z
d. Giả sử a,b là hai số dương thỏa mãn : a 2 + b 2 = 7ab . Chứng minh : ln
a + b ln a + ln b
=
3
2
Giải
a/ Từ giả thiết : a = c − b = ( c − b ) ( c + b ) ⇒ 2 = log a ( c − b ) + log a ( c + b )
2
⇔2=
2
2
1
1
+
⇔ 2 log c −b a.log c +b a = log c +b a + log c −b a
log c −b a log c +b a
b/ Nếu 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ta có : b 2 = ac
Lấy lo ga rít cơ số N 2 vế :
1
1
1
1
−
=
−
log b N log a N log c N log b N
log a N − log b N log b N − log c N
log a N log a N − log b N
⇔
=
⇔
=
. ( đpcm )
log a N .log b N
log c N .log b N
log c N logb N − log c N
c/ Nếu : log x a, log y b, log z c tạo thành cấp số cộng thì log x a + log z c = 2 log y b
⇔ 2 log N b = log N a + log N c ⇔
⇔
2 log a x.log c z
1
1
2
+
=
⇔ log b y =
log a x log c z logb y
log a x + log c z
2
a+b
= 9ab ⇔
÷ = ab . Lấy lê be 2 vế ta có :
3
d/ Nếu : a + b = 7ab ⇒ ( a + b )
2
Trang 12
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
2
2
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
a+b
a + b ln a + ln b
2 ln
÷ = ln a + ln b ⇔ ln
÷=
2
3
3
III. SỬ DỤNG CƠNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ
Bài 1. Tính
a. A = log 6 16 . Biết : log12 27 = x
b. B = log125 30 . Biết : log 3 = a;log 2 = b
c. C = log 3 135 . Biết: log 2 5 = a;log 2 3 = b
d. D = log 6 35 . Biết : log 27 5 = a;log8 7 = b;log 2 3 = c
e. Tính : log 49 32 . Biết : log 2 14 = a
Giải
a/ A = log 6 16 . Từ : log12 27 = x ⇔
log 3 27
3
3
3− x
3− x
=
= x ⇒ log 3 4 = − 1 =
⇔ log 3 2 =
log 3 12 1 + log 3 4
x
x
2x
(*)
2 ( 3 − x ) .2 x 12 − 4 x
log 3 24
4 log 3 2
=
=
Do đó : A = log 6 16 =
. Thay từ (*) vào ta có : A=
x ( x + 3)
x+3
log 3 6 1 + log 3 2
log 2 5
a
a + 3b
3
+3= +3=
c/ Từ : C = log 3 135 = log3 5.3 = log 3 5 + 3 =
log 2 3
b
b
1
1
d/ Ta có : a = log 27 5 = log 3 5 ⇒ log 3 5 = 3a; b = log8 7 = log 2 7 → log 2 7 = 3b (*)
3
3
log 5.7 log 2 5 + log 2 7 log 2 3.log 3 5 + log 2 7 b.3a + 3b 3b ( a + 1)
=
=
=
=
Suy ra : D = log 6 35 = 2
log 2 2.3
1 + log 2 3
1 + log 2 3
1+ b
b +1
e/ Ta có : log 2 14 = a ⇔ 1 + log 2 7 = a ⇒ log 2 7 = a − 1
log 2 25
5
5
=
=
Vậy : log 49 32 =
2
log 2 7
2 log 2 7 2 ( a − 1)
Bài 2. Rút gọn các biểu thức
a. A = ( log a b + log b a + 2 ) ( log a b − log ab b ) logb a − 1
1
+ log 2 x 4
2
2
c. C = log a p + log p a + 2 ( log a p − log ap p ) log a p
log ( log
b. B = log 2 2 x 2 + ( log 2 x ) x
x
2
x +1)
Giải
2
log b + 1
a/ A = ( log a b + log b a + 2 ) ( log a b − log ab b ) log b a − 1 = a
÷ ( 1 − log ab a ) − 1 =
log a b
2
2
2
log a b + 1
log a b + 1
log a b + 1 log a b
log a a
1
÷ 1 −
÷− 1 =
÷ 1 −
÷− 1 =
÷
÷− 1
log a b log a ab
log a b 1 + log a b
log a b 1 + log a b
log a b + 1
1
=
−1 =
= log b a
log a b
log a b
1
1
2
log ( log x +1)
2
2 4
b/ B = log 2 2 x + ( log 2 x ) x x 2 + log 2 x = 1 + 2 log 2 x + ( log 2 x ) ( log 2 x + 1) + ( 4 log 2 x ) =
2
2
2
2
2
1 + 3log 2 x + ( log 2 x ) + 8 ( log 2 x ) = 9 ( log 2 x ) + 3log 2 x + 1
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 13
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
c/ C = log a p + log p a + 2 ( log a p − log ap p ) log a p =
=
( log a p + 1)
log 2 p
a
÷ log a p =
1 + log a p
log a p
(
log a p
)
( log a p + 1)
2
2
a
log p
log a p
log a p −
÷ log a p =
1 + log a p
3
Bài 3. Trong mỗi trường hợp sau , hãy tính log a x , biết log a b = 3;log a c = −2 :
a. x = a b
3 2
a4 3 b
b. x = 3
c
c
(
a 2 4 bc 2
3
ab 4 c
c. x =
Giải
)
1
2
a/ Ta có : log a x = log a a 3b 2 c = 3 + 2 log a b + log a c = 3 + 2.3 − 1 = 8 = 23
a4 3 b
1
1
2 28
b/Ta có : log a x = log a 3 ÷ = 4 + log a c − 3log a c = 4 + ( −2 ) + 6 = 10 − =
c ÷
3
3
3 3
c/ Ta có :
a 2 4 bc 2
1
1
1
3
1
161
log a x = log a 3 4
÷ = 2 + log a b + 2 log a c − − 4 log a b − log a c = 2 + − 4 − − 12 + 1 =
ab c ÷
4
3
2
4
3
12
Bài 4. Chứng minh
a. log ( a − 3b ) − log 2 =
1
( log a + log b ) với : a > 3b > 0; a 2 + 9b 2 = 10ab
2
b. Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 1, ta có :
log 2
a
•
b
c
= log 2
a
c
b
log a b.log b c.log c a = 1
;
c
a
b
2
2
2
Trong ba số : log a b ;log b c ;log c a ln có ít nhất một số lớn hơn 1
b
c
a
Giải
2
2
2
a/ Từ giả thiết : a > 3b > 0; a + 9b = 10ab ⇔ a 2 − 6ab + 9b 2 = 4ab ⇔ ( a − 3b ) = 4ab
•
Ta lấy log 2 vế : 2 log ( a − 3b ) = 2 log 2 + log a + log b ⇔ log ( a − 3b ) − log 2 =
b
c
= log 2 .
a
c
b
−1
b
c
c
2 b
* Thật vậy : log a = log a ÷ = − log a ⇒ log a = − log a
c
b
c
b
* log a b.logb c.log c a = 1 ⇔ log a b.log b a = log a a = 1
1
( log a + log b )
2
b/ Chứng minh : log 2
a
2
c
2 c
÷ = log a
b
b
* Từ 2 kết quả trên ta có :
2
c
a
b
b
c
a
log log 2 log 2 = log a .log b log c ÷ = 1 Chứng tỏ trong 3 số ln có ít nhất một số lớn
b
c
b
c c
a a
c a
a b
bc
2
a
b
hơn 1
IV. BÀI TẬP VỀ SO SÁNH
Trang 14
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
• Nếu so sánh hai loga rít có cùng cơ số thì ta chú ý đến cơ số trong hai trường hợp (0;1)
và lớn hơn một để so sánh hai biểu thức bị lo ga rít hóa với nhau
• Trong trường hợp hai lo ga rít khác cơ sơ , khác biểu thức bị lo ga rít hóa thì ta chọn
một số b nào đó . Sau đó ta so sánh hai lo ga rít với số b . Từ đó suy ra kết quả
1
. Ta có :
3
1
1
log 3 4 > log 3 3 = 1;log 4 < log 4 4 = 1 ⇒ log 3 4 > log 4
3
3
log 6 1,1
log 6 0,99
∨7
Ví dụ 2. So sánh : 3
. Ta có :
log6 1,1
log 6 1
log 6 0,99
log 6 1
3
>3
= 1; 7
<7
= 1 ⇒ 3log6 1,1 > 7log 6 0,99
• Ví dụ 1: so sánh hai số : log 3 4 ∨ log 4
•
Bài 1. Khơng dùng bảng số và máy tính .Hãy so sánh :
a. log 0,4 2 ∨ log 0,2 0,34
e. log 2 3 ∨ log 3 11
h. 9
log 3 2 + log 1
9
8
9
∨ 5
3
2
∨ log 3
4
4 5
b. log 5
f. 2
3
2log 2 5+ log 1 9
1
log6 2 − log
2
5
6
5
g. 4log
∨ 8
2
k. 1
÷
6
c. 2log 3 ∨ 3log
1
2
d. log 3 2 ∨ log 2 3
2 3 + log 4
5
11
∨ 18
5
∨ 3 18
Giải
2 > 1 → log 0,4 2 < log 0,4 1 = 0
⇒ log 0,2 0,3 > log 0,4 2
0,3 < 1 → log 0,2 0,3 > log 0,2 1 = 0
a/ log 0,4 2 ∨ log 0,2 0,34 . Ta có :
3
3
5
3 > 1 → 0 < 4 < 1 ↔ log 5 4 < log 5 1 = 0
3
2
2
3
3
3
⇒ log 3 > log 5
b/ log 5 ∨ log 3 . Ta có :
3 4
4 5
4 5
3 4
0 < 3 < 1, 0 < 2 < 1 ↔ log 2 > log 1 = 0
3
3
4
5
4 5
4
log5 3
log5 1
0
log 5 3 > log 5 1 ⇒ 2
>2
= 2 =1
1
1
1
⇒ log 5 3 > log 5
c/ 2log5 3 ∨ 3log5 2 . Ta có :
log 5
1
log5 1
0
2
= 3 =1
log 5 < log 5 1 ⇒ 3 2 < 3
2
log 3 1 < log 3 2 < log 3 3 ⇒ 0 < log 3 2 < 1
⇒ log 2 3 > log3 2
d/ log 3 2 ∨ log 2 3 . Ta có :
log 2 2 < log 2 3 < log 2 4 → 1 < log 2 3 < 2
1 < log 2 3 < 2
⇒ log 3 11 > log 2 3
e/ log 2 3 ∨ log 3 11 . Ta có :
log 3 11 > log 3 9 = 2
25
2log 2 5 + log 1 9
log 2
2log 2 5+ log 1 9
25
25
2
=2 9 =
2
f/ 2
∨ 8 . Ta có : 2 log 2 5 + log 1 9 = log 2 25 − log 2 9 = log 2 9 ⇒ 2
9
2
Nhưng :
g/ 4log
2log 2 5 + log 1 9
25
252
625
648
2
=
=
<
= 8⇒2
< 8
2
9
9
81
81
2 3 + log 4
Nhưng :
5
11
∨ 18 . Ta có : 4
log 2 3+ log 4
5
11
=2
1
5
2log 2 3− log 2
2
11
=2
log 2 9− log 2
5
11
=2
log 2
9 11
5
=
9 11
81.11
=
5
5
5
log 2 3+ log 4
81.11
891
90
11
=
>
= 18 ⇒ 4
> 18
5
5
5
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 15
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
h/ 9
9
8
2 + log 1
9
log 3
∨ 5 . Ta có :
9
log 3 2 + log 1
9
8
9
2log3 2 − log 9
=3
1
log 6 2 − log
2
k/ 1
÷
6
6
5
8
9
2.3
log 3
÷
8
8
9
log3 2− log3
=3
=3
=
6
36
40
=
<
= 5
8
8
8
∨ 3 18 .
1
log6 2 − log
2
Ta có : 1
÷
6
6
5
= 6− log6 2 −log6 5 = 6− log6 10 = 6
log 6
1
10
=
1 3 1
=
< 3 18
10
1000
Bài 2. Hãy so sánh :
a. log 2 10 ∨ log 5 30
b. log 3 5 ∨ log 7 4
c. 2 ln e3 ∨ 8 − ln
1
e
Giải
log 2 10 > log 2 8 = 3
⇒ log 2 10 > log 5 30
log 5 30 < log 5 36 = 3
a/ log 2 10 ∨ log 5 30 . Ta có :
log 3 5 > log 3 3 = 1
⇒ log 3 5 > log 7 4
log 7 4 < log 7 7 = 1
b/ log 3 5 ∨ log 7 4 . Ta có :
2 ln e3 = 2.3 = 6
1
1
3
⇒ 8 − ln > 2 ln e3
c/ 2 ln e ∨ 8 − ln . Ta có :
1
e
e
8 − ln = 8 + 1 = 9
e
Bài 3. Hãy chứng minh :
1
2
a. log 1 3 + log 3 < −2
2
d. 3log 5 = 5log
2
b. 4log 7 = 7log
5
e.
23
c. log 3 7 + log 7 3 > 2
54
1
+ log 3 ∨ log19 − log 2
2
f. log
5+ 7
2
∨
log 5 + log 7
2
Giải
1
1
1
1
log 1 3 =
⇒ log 3 +
≥2
1
1
2
a/ log 1 3 + log 3 < −2 . Ta có :
2
log 3
log 3
2
2
2
2
1
1
1
1
1
log 3 < 0 ⇒ − log3 −
> 2 ⇔ log 3 +
< −2
Nhưng :
2
2 log 1
2 log 1
3
3
2
2
b/ 4log 7 = 7log 4 . Ta có : 4log 7 = ( 7log
5
5
5
7
)
4 log 5 7
= 7 log5 7.log7 4 = 7log5 4 . Vậy 2 số này bằng nhau
c/ log 3 7 + log 7 3 > 2 . Ta có : log 3 7 > 0 ⇒ log 3 7 + log 7 3 = log 3 7 +
d/ 3log 5 = 5log 3 . Ta có : 3log 5 = ( 5log
2
Trang 16
2
2
53
)
log 2 5
( *)
1
>2
log 3 7
= 5log 2 5.log5 3 = 5log2 3
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
1
2 + log 3 = log 10 + log 3 = log 3 10 = log 900
1
e/ + log 3 ∨ log19 − log 2 . Ta có :
2
log19 − log 2 = log 19 = log 361
2
4
361
1
⇔ + log 3 > log19 − log 2
4
2
log 5 + log 7
5+ 7
5+ 7
log 5 + log 7
. Ta có :
∨
≥ 5. 7 ⇒ log
≥ log 5. 7 =
2
2
2
2
⇒ log 900 > log
f/ log
5+ 7
2
Bài 4. Hãy so sánh :
6
5
5
∨ log 2
2
a. log 3 ∨ log 3
log 2
5
6
3
2
c. log 1 e ∨ log 1 π
b. log 1 9 ∨ log 1 17
3
3
2
2
d.
Giải
6
5
6 5
log 3 5 > log 3 5 = 0
6
5
6
5
>
⇒ log 3 > log 3 . Hoặc : 5 6 ⇒ log 3 > log 3
a/Ta có :
5
6
5
6
log 5 < log 6 = 0
3 > 1
3
3
6
6
1
0 < < 1
log 1 9 ∨ log 1 17
b/
. Ta có : 3 ⇒ log 1 9 > log 1 17
3
3
3
3
9 < 17
c/
log 1 e ∨ log 1 π
2
2
1
0 < < 1
. Ta có : 2 ⇒ log 1 e > log 1 π
2
2
e < π
HÀM SỐ LO-GA-RÍT
I. ĐẠO HÀM :
Bài 1. Tính đạo hàm các hàm số sau :
2
x
a. y = ( x − 2 x + 2 ) e
2x
b. y = ( s inx-cosx ) e
2
d. y = ln ( x + 1)
e. y =
ln x
x
e x − e− x
c. y = x − x
e +e
f. y = ( 1 + ln x ) ln x
Giải
x
2
x
a/ y = ( x − 2 x + 2 ) e ⇒ y ' = ( 2 x − 2 ) e + ( x − 2 x + 2 ) e = ( x ) e
2
x
x
2
2x
2x
2x
2x
b/ y = ( s inx-cosx ) e ⇒ y ' = ( cosx+sinx ) e + 2 ( s inx-cosx ) e = ( 3sin x − cosx ) e
( e x + e− x ) ( e x + e− x ) − ( e x − e− x ) ( e x − e− x ) = 4
e x − e− x
c/ y = e x + e − x ⇒ y ' =
2
2
( e x + e− x )
( e x + e− x )
ln x
1 1
2x
1 − ln x
⇒ y ' = 2 .x − ln x ÷ =
e/ y =
x
x x
x2
x +1
ln x 1 + ln x 1 + 2 ln x
+
=
f/ y = ( 1 + ln x ) ln x ⇒ y ' =
x
x
x
2
d/ y = ln ( x + 1) ⇒ y ' =
2
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 17
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Bài 2. Tính đạo hàm các hàm số sau :
2
a. y = x ln
(
x2 + 1
)
2
b. log 2 ( x − x + 1)
a/ y = x ln
(
e. y = log 3
)
x + 1 ⇒ y ' = 2 x.ln
2
1− x
÷
÷
2 x
x2 − 9
÷
x+5
x−4
÷
x+4
d. y = log 2
2
c. y = 3 ln 2 x
(
)
f. y = log
Giải
x2 x
x +1 +
= 2 x.ln
2 ( x 2 + 1)
2
(
)
x3
x +1 +
2 ( x 2 + 1)
2
2x −1
2
b/ y = log 2 ( x − x + 1) ⇒ y ' = x 2 − x + 1 ln 2
(
)
2
1
2
− 1
2
y = 3 ln 2 x ⇒ y ' = ( ln x ) 3 ' = ( ln x ) 3 = 3
c/
x 3 x ln x
3
1 16
x−4
16
x−4
⇒ y' =
:
÷= 2
d/ y = log 2
÷
2
ln 2 ( x + 4 ) x + 4 ÷ ( x − 4 ) ln 2
x+4
2
2
x −9
1 2 x ( x + 5) − x + 9 x 2 − 9
x 2 + 10 x + 9
y = log 3
⇒ y'=
:
=
e/
÷
2
ln 3
x + 5 ( x + 5 ) ( x 2 − 9 ) ln 3
( x + 5)
x+5
x +1
1− x
1 x +1 1− x
:
=
f/ y = log
÷⇒ y ' =
2 x ÷
ln10 16 x x 2 x 8 x ln10 1 − x
(
)
(
(
)
)
II. GIỚI HẠN
Bài 1. Tìm các giới hạn sau :
ln ( 3x + 1) − ln ( 2 x + 1)
x→0
x
5 x+3
3
e
−e
d. lim
x→0
2x
a. lim
ln ( 3x + 1)
x→0
sin 2 x
ex −1
e. lim
x→0
x +1 −1
b. lim
ln ( 4 x + 1)
x→0
x
ln ( 1 + x 3 )
f. lim
x→0
2x
c. lim
Giải
ln ( 3x + 1) − ln ( 2 x + 1)
ln ( 3 x + 1)
ln ( 2 x + 1)
= lim
− lim
= 3− 2 =1
x→0
x →0
a/ x→0
3
2
x
x
x
3
2
ln ( 3x + 1)
3x
ln ( 3x + 1)
ln ( 4 x + 1)
ln ( 4 x + 1)
3
3x
= lim
= ,
= lim 4
=4
b/ lim
c/ lim
x→0
x →0
x→0
x →0
sin 2 x
sin 2 x
2
x
4x
2x
2x
5x
( e − 1) = 5e3 ,
ex −1
ex −1
e5 x + 3 − e3
= lim
x + 1 + 1 = 1.2 = 2
= lim e3 5
d/ lim
e/ lim
x→0
x→0
x →0
2x
2. ( 5 x )
2
x + 1 − 1 x →0 x
lim
(
Bài 2. Tìm các giới hạn sau
ln ( 2 x + 1)
x→0
tan x
a. lim
Trang 18
e 2 x − e3 x
x→0
5x
b. lim
e3 x − 1
x→0
x
c. lim
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
)
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
1
d. xlim xe x − x ÷
→+∞
e. lim
x→0
sin 3 x
x
f. lim
x→0
1 − cos5x
x2
Giải
ln ( 2 x + 1)
ln ( 2 x + 1)
2x
= lim
=2
a/ lim
b/
x→0
x →0
tan x
tan x
x
x
2x
3x
2x
e −e
e −1
e3 x − 1 2 3
1
lim
= lim
− lim 3
= − =−
x→0
x →0 5
x →0 5 ( 3 x )
5x
5 5
5
.2 x
2
2x
c/ lim
x→0
e/ lim
x→0
1
e x −1 ÷
1
1
d/ xlim xe x − x ÷ = xlim x e x − 1÷ = xlim 1 ÷ = 1
→+∞
→+∞
→+∞
÷
x
5x
2sin 2
1 − cos5x
2 = 25
= lim
2
f/ lim x 2
x→0
x →0
2
4 5x
÷
25 2
e −1
e −1
= lim 3
=3
x→0
x
3x
sin 3 x
sin 3 x
= lim 3
=3
x→0
x
3x
3x
3x
Bài 3. Tìm các giới hạn sau :
a. lim
x→0
cosx − cos3x
sin 2 x
1
b. lim cosx − t anx ÷
π
x→
2
c. xlim ( x + 2 ) sin
→+∞
3
x
2 − 2 cos x ÷
÷
d. lim
π
π÷
x→
4
sin x − 4 ÷ ÷
Giải
−2sin 2 x sin ( − x )
cosx − cos3x
4 cos x.sin 2 x
= lim
= lim
=4
x→0
x→0
x →0
sin 2 x
sin 2 x
sin 2 x
1
b/ lim cosx − t anx ÷ .
π
x→
a/ lim
2
1
1
1 − cost
π
− tan − t ÷ =
− cot t =
sint
π
Đặt :
2 sin t
cos − t ÷
2
t
t
2sin 2
tan
t
π
2
1
2 = tan
2 =∞
=
− t anx ÷ = lim
. Khi x → ; t → 0 ⇒ lim
π cosx
t →0 t
t
t
t
2
2
x→
2sin cos
2
2
2
2
x → +∞; t → 0
1
3
3
⇒ lim ( x + 2 ) sin = lim ( 6t + 3) = 3
3 1
c/ xlim ( x + 2 ) sin . Đặt : t = ⇒
x →+∞
→+∞
x
x t →0
x
( x + 2 ) x = 2 + t ÷3t = 6t + 3
t=
π
π
1
−x⇒x= t ⇔
− t anx=
2
2
cosx
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 19
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
π
π
x = t + 4 ; x → 4 ;t → 0
2 − 2 cos x ÷
π
π
÷. Đặt : x − = t ⇒
2 − 2 cos + t ÷
d/ lim
π
2 − 2 cos x
π÷
4
x→
4 = 2 ( 1 − cost+sint )
4
=
sin x − 4 ÷ ÷
π
sin t
sint
sin x − 4 ÷
t
t
t
t
t
2sin 2 + 2sin cos
sin + cos
2 ( 1 − cost+sint )
2
2
2= 2
2
2 = 2 tan t + 2
= 2
Do đó :
t
t
t
sint
2
2sin cos
cos
2
2
2
2 − 2 cos x ÷
t
÷ = lim 2 tan + 2 = 2
Vậy : lim
÷
π
t →o
π
2
x→
4
sin x − ÷ ÷
÷
4
Trang 20
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
