Tài liệu Hướng dẫn giải bài tập bất đẳng thức Max Min ppt
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.5 MB, 35 trang )
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:1
1.1./ Cho các số thực dương x,y,z . Chứng minh rằng:
0
222
xz
zxz
zy
yzy
yx
xyx
HD: Ta có:
22)(2
)(22)(
22
yxyx
x
yx
yx
x
yx
xy
x
yx
xyyxx
yx
xyx
(1)( vì x,y>0)
Tương tự:
2
2
zy
zy
yzy
(2),
2
2
xz
xz
zxz
(3). Cộng từng vế (1),(2),(3) suy ra:
0
222
222
xzzyyx
xz
zxz
zy
yzy
yx
xyx
.Đẳng thức xảy ra khi x = y = z
1. 2/. Tìm các giá trị của tham số
m
để phương trình sau có nghiệm duy nhất thuộc đoạn
1;
2
1
:
mxxx 12213
232
(
Rm
).
HD: Đặt
2 3 2
3 1 2 2 1f x x x x
, suy ra
f x
xác định và liên tục trênđoạn
;
1
1
2
.
'
2
2 3 2 2 3 2
3 3 4 3 3 4
1 2 1 1 2 1
x x x x
f x x
x x x x x x
.
;
1
1
2
x
ta có
2 3 2
4 3 3 4
3 4 0 0
3
1 2 1
x
x x
x x x
.
Vậy:
' 0 0f x x
.
Bảng biến thiên:
' || ||
1
0 1
2
0
1
CÑ
3 3 22
2
4
x
f x
f x
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: Phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất thuộc
;
1
1
2
3 3 22
4
2
m
hoặc
1m
.
2.1/.
HD:
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:2
2. 2/.
HD:
3. 1/ .Cho a,b, c dương và a
2
+b
2
+c
2
=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:3
3 3 3
2 2 2
3 3 3
a b c
P
b c a
HD: Ta có:
3 3 2 6 2
3
2 2
3 3
3
16 64 4
2 3 2 3
a a b a a
b b
(1)
3 3 2 6 2
3
2 2
3 3
3
16 64 4
2 3 2 3
b b c c c
c c
(2)
3 3 2 6 2
3
2 2
3 3
3
16 64 4
2 3 2 3
c c a c c
a a
(3)
Lấy (1)+(2)+(3) ta được:
2 2 2
2 2 2
9 3
16 4
a b c
P a b c
(4)
Vì a
2
+b
2
+c
2
=3
Từ (4)
3
2
P
vậy giá trị nhỏ nhất
3
2
P
khi a=b=c=1.
3. 2/ . Cho x, y, z
0
thoả mãn x+y+z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 3 3
3
16x y z
P
x y z
HD: Trước hết ta có:
3
3 3
4
x y
x y
(biến đổi tương đương)
2
0x y x y
Đặt x + y + z = a. Khi
đó
3 3
3 3
3
3
3 3
64 64
4 1 64
x y z a z z
P t t
a a
với t =
z
a
,
0 1t
); Xét hàm số f(t) = (1 – t)
3
+ 64t
3
với t
0;1
.
Có
2
2
1
'() 3 64 1 , '() 0 0;1
9
f t t t f t t
Lập bảng biến thiên,
0;1
64
inf
81
t
M t
GTNN của P là
16
81
đạt được khi x = y = 4z > 0
4.1/. Cho 3 số thực a, b, c dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
2 2 2
3 3 3
1
2 2 2
a b c
a b b c c a
HD:
2 3 3
3
2
3 3 3
3
6
2 2 2 2 2 4
( 1)
3 9 9 9
2
3
a ab ab
a a a b a a b a a a b ab
a b a b b
ab
Tương tự:
ca
9
4
a
9
2
c
a2c
c
;bc
9
4
c
9
2
b
c2b
b
3
2
3
2
Do đó
2 2 2 2
3 3 3
2 4 7 4 ( )
( ) ( ) ( ) 1
9 9 3 9 3
2 2 2
a b c a b c
a b c a b c ab bc ca
a b b c c a
4. 2/.
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:4
HD:
5.1/ Cho ba số thực dương
, ,a b c
thoả mãn:
1a b c
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3 3 3 2 2 2
2( 3 ) 3( 2 )T a b c abc a b c abc
HD:
3 3 3 2 2 2
2 3 3 2T a b c abc a b c abc
Ta có:
3
3 3 3
3a b c a b c a b b c c a
1 3 1 1 1
1 3
c a b
ab bc ca abc
2
2 2 2
2 1 2a b c a b c ab bc ca ab bc ca
Do đó:
5 6 2 3T ab bc ca abc
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:5
Đặt:
2 3S ab bc ca abc
. Ta tìm GTLN của
S
.Ta có:
2 3 2S ab c c a b
Nếu
2
2 3 0
3
c c
thì
2S c a b
Nếu
2
2 3 0
3
c c
thì
2 3 2 2S ab c c a b c a b
;Suy ra: Chỉ cần xét:
2
0
3
c
Ta có:
2
2 1 2 3 2 1 2 3
2
a b
S c c c ab c c c
;
1a b c
3
3 2
4
c c
S
Xét hàm số:
3
3 2f c c c
trên
2
0;
3
;Ta được :
1 20
3 9
f c f
5
9
S
. Dấu “=” xảy ra khi
1
3
a b c
;Vậy:
5
min
3
T
xảy ra khi
1
3
a b c
.
5.2/. Biết tam giác ABC có một góc không nhọn. Đặt AB=c, AC=b; BC=a, tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
abc
accbba
P
HD: Không mất tính tổng quát, giả sử:
cba
khi đó, do tam giác không nhọn nên
bccba 2
222
hay:
bca 2
Ta lại có P=
)1)(1)(1(
c
a
b
c
a
b
c
ac
b
cb
a
ba
b
c
c
b
a
c
c
a
a
b
b
a
P 2
c
a
b
a
a
cb
a
c
c
a
a
b
b
a
P
422
Dùng cosi cho ba số dương
b
a
c
a
a
cb
;;
và cho hai số
dương b và c ta có:
3
3
22
34
)(
34
bc
bcbc
bc
cba
P
Vậy
234 P
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC vuông cân tại A
…
6.1/ Cho
, ,a b c
là các số thực dương thỏa mãn
2 2 2
5 2a b c a b c ab
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3
3 1
48
10
Q a b c
a b c
.
HD: Ta có
2 2
2
1
5 0 10
2
a b c a b c a b c a b c
.
10 1
2 22
3 6
a
a
;
3
1
3 16
4
b c c b
3
1 1 12 12
48 48
22 16
10
3
Q a b c a b c
a b c
a b c
4 2304
576
38 38
a b c a b c
a b c a b c
Xét
2304
( )
38
f t t
t
với
0;10t
.
2
2304
'( ) 1 0
38
f t
t
với
0;10t
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:6
Do đó hàm số nghịch biến trên nữa khoảng
0;10
, suy ra
( ) (10) 58f x f
.
Suy ra giá trị nhỏ nhất của Q bằng 58. khi a=2, b=3, c=5
6.2/.
HD:
7.
HD:
8. 1/ Chứng minh:
1 1 1
12x y z
x y z
với mọi số thực x , y , z thuộc đoạn
1;3
.
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:7
2/
HD:1/ Ta có:
2
3
1 3 1 3 0 4 3 0 4t t t t t t
t
.
Suy ra :
3 3 3
4 ; 4 ; 4x y z
x y z
;
1 1 1
3 12Q x y z
x y z
1 1 1 1 1 1
3 6 12
2
Q
x y z x y z
x y z x y z
2/
9.
HD:
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:8
10.
HD:
11.
HD:
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:9
12.
HD:
13. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn
.3 zyx
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
111222
222222333
xzxzzyzyyxyxzyx
P
HD: Ta có
.
3
1
11
;
3
1
11
;
3
1
11
333333
zx
xz
yz
zy
xy
yx
Suy ra
.
333
3
222
333
zxyzxy
zyx
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:10
Suy ra
.
111333
3
222222
xzxzzyzyyxyx
zxyzxy
P
Mặt khác, áp dụng BĐT
,
411
baba
với
0, ba
ta có
222222
111111222
3
xzxzzxzyzyyzyxyxxyzxyzxy
P
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
3
2 2 2 4 4 4 1 1 1 1 1 1
4 4 4
2 2 2
16 16 16 3 3.9 3.9
16. 16. 16. 12.
( ) ( ) ( ) (2 2 2 ) 4.3
( ) ( ) ( )
xy yz zx xy yz zx
x y y z z x x y y z z x
x y y z z x x y z
x y y z z x
Do đó
.9P
Dấu đẳng thức xảy ra khi
.1 zyx
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 9, đạt được khi
.1 zyx
14. Cho ba số thực
, , 1;3x y z
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
36x 2y z
P
yz xz xy
HD:
2 2 2
2 2 2 2
36x 2y z
f(x) ,x 1;3 , y,z là tham sô
yz zx xy
36 2y z 36x 2y z 36 2.9 9
f '(x) 0
yz
zx x y x yz x yz
Suy ra
f(x)
đồng biến trên
1;3
nên
2 2 2
2 2 2 2
36 2y z
f(x) f(1) g(y),y 1;3 ,z là tham sô
yz z y
36 2 z 36 2y z 36 2.9 1
g'(y) 0
z
y z y y z y z
Suy ra
g(y)
nghịch biến trên
1;3
2
12 6 z 18 1 18 1
g(y) g(3) h(z),z 1;3;h'(z) 0.
z z 3 3 9 3
z
h(z)
nghịch biến trên
1;3
18
h(z) h(3) 1 7
3
; Vậy P
7
dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x=1 và y = z
= 3; Do đó Min P = 7
15. ;
HD:
16.
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:11
HD:
17.
HD:
18.
HD:
19. . Cho
, ,x y z
lµ c¸c sè thùc d- ¬ng tháa m·n
3x y z
. Chøng minh r»ng:
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:12
2
4 4 4
x y z y z x z x y
xyz
yz zx xy
(1)
HD: Ta cã
2
2
9 3yz zx xy x y z yz zx xy
1 2
4 4 4
y z z x x y
yz yz zx zx xy xy
(2)
Ta cã
2
2 2
4
2
2 2
2 2
y z
yz
yz yz
yz
yz yz yz
yz yz yz
Do ®ã
1 1 1 18
2
4 4 4
2 2 2
6
y z z x x y
yz yz zx zx xy xy
yz zx xy
yz zx xy
18
2
6 3
. VËy (2) ®óng (®pcm).
20.
HD:
21.
HD:C1:
C2:
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:13
C3:
22.
HD:
23.
HD:
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:14
24. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng
2 2 2
52
2 2
27
a b c abc
HD: Ta có
; ;
2
a b c
p p a p b p c
là các số dương
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương
1 ; 1 ; 1a b c
ta có
3
3
1 28
0 1 1 1 1
3 27 27
28
2 2 2
27
a b c
a b c ab bc ca abc
ab bc ca abc
2
2 2 2
2 2 2
56
2 2
27
52
2 2
27
a b c a b c abc
a b c abc
Đẳng thức bên trái xảy ra khi
2
3
a b c
25.
HD:
61. Tìm với x,y dương
HD:
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:15
26.
HD:
27. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn
2 2 2
1a b c
.
Chứng minh rằng
5 3 5 3 5 3
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 3
3
a a a b b b c c c
b c c a a b
HD: Do a, b, c > 0 và
2 2 2
1a b c
nên
, , 0;1a b c
Ta có
2
2
5 3
1
2
3
2 2 2
1
a a
a a a
a a
b c a
;Bất đẳng thức trở thành
2 3
3 3 3
3
a a b b c c
Xét hàm số
3
0;1f x x x x
. Ta có:
0;1
2 3
ax
9
M f x
2 3
3
f a f b f c
;Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c=
1
3
28.
HD:
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:16
29.
HD:
30.
HD:
31. Cho
, , , 0a b a b
CMR:
2 2
3 3 1 1
2 2
4 4 2 2
a b a b a b
HD: Ta có
2
2 2
3 1 1 1 1 1
4 4 2 2 2 2
a b a a a b a a b a b
Tương tự
2
3 1
4 2
b a a b
Ta sẽ CM:
2
1 1 1
2 2 (*)
2 2 2
a b a b
;
Thật vậy:
2 2
1 1
(*) 2 4
4 4
a b ab a b ab a b
2
( ) 0a b
Dấu “=” xảy ra
1
2
a b
32. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn
.3
222
yzyx
Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
)3(
8
)2(
4
)1(
1
222
zyx
P
HD: Ta có
)1()4()1(242
222
zyxzyx
636
222
yzyx
.
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:17
Suy ra
622 zyx
. Dấu đẳng thức xảy ra khi
1
2
z
y
x
.
Chú ý rằng, với hai số dương
ba,
áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
222
)(
811
baba
, (*)
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
ba
.
Áp dụng (*) ta được
2
2
2
)3(
8
)1
2
(
1
)1(
1
z
y
x
P
2
2
)3(
8
)1
2
1(
8
z
y
x
2
2
)1022(
4.64
)32
2
(
64
zyx
z
y
x
.1
)106(
4.64
2
Dấu đẳng thức xảy ra khi
1,2,1 zyx
.Vậy giá trị nhỏ nhất của
P
bằng 1, đạt khi
1,2,1 zyx
33. Cho 3 số
0,, cba
thỏa
2
3
cba
. Chứng minh :
2
15111
cba
cba
HD: Ta có:
2
153
.
4
9
3
1
.
4
9
3
111
4
3
4
1
4
1
4
1111
3
cba
abc
cbac
c
b
b
a
a
cba
cba
côsicôsi
Dấu
xãy ra khi
2
1
cba
34. Cho ba số thực dương
, ,a b c
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2 2a b c
T
a b b c c a
HD:
, , 0a b c
,
2 2 2a b c
T
a b b c c a
Có:
2 2 2
1 1 1
T
b c a
a b c
Đặt :
; ;
b c a
x y z
a b c
. Ta có:
, , 0x y z
và
1xyz
.
2 2 2
2 2 2
1 1 1
T
x y z
G/s:
x y z
. Từ
1 1xyz x
, và
1yz
.
Ta có:
2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
4 2
2 2 2 2
2
1 1 1 1 1
1 1
4 1 4 1
1 1 2
y z
y z y z y z y z
y z y z
y z y z yz y z
2
2 2
2 2 8 8
1 1 1 1
x
y z yz x
Lại có:
2
2
2
2
2 4
1 2 1
1
1
x x
x
x
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:18
Suy ra:
2 2
2
1 1
x
T
x x
Ta có:
2 2
2
1 1
x
x x
2
2 2
2 2
1 1
x x
T
x x
;
2
2
3 1 3
1
x
T
x
.Dấu bằng xảy ra khi
1x y z
hay
a b c
.
Vậy max
3T
khi
a b c
.
35.
HD:
36.
HD:
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:19
37.
HD:
38.
HD:C1:
C2:
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:20
C3:
39.
HD:C1:
C2:
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:21
C3:
40.
HD:C1:
C2:
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:22
C3:
41. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn
3a b c
Chứng minh rằng:
3
a b c
b c a
.
HD: Ta có:
2 2
2 2 2 4 2 4
a b c b a b
c a a a a a a c
b c b c b c
(1)
Tương tự:
2 2
2 4 (2), 2 4 (3)
b c c a
b b a c c b
c a a b
Cộng (1),(2),(3) được
2
3( ) 9
a b c
a b c
b c a
3
a b c
b c a
;Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1
42. Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
3
1 1 1 10
a b c
b c a 3
HD: Vì
a b c 1
nên
1 1 1 1 1 1 1
M a b c abc 1
b c a abc a b c
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có
3
1 a b c 1
abc abc
3 27 27
Lại có:
2 2
2 2 2
1 1 27 1 1 27 1 730
abc abc 2 abc.
abc 27 abc 27 abc 27 abc 27 27
Mặt khác:
1 1 1 1 1 1
a b c 9 9
a b c a b c
Suy ra
730 1000
M 9 1
27 27
Vậy
3
1 1 1 10
a b c
b c a 3
(đpcm); Dấu bằng xảy ra
1
a b c
3
43. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
( ) ( ) ( )
x xy y yz z zx
y zx z z xy x x yz y
HD: Ta có
2 2
( ) ( . . . ) ( )( )y zx z y y x z z z y x z y z z
2 2
2 2
1 1 2 2
( )( 2 ) ( )( 2 )
( ) ( )
x xy x xy
x y z y z x y z y z
y zx z y zx z
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:23
2 2
1 2 1 2 2 2
( ) 2 ( ) 2
x xy x xy xz
x x x
x y z y z x y z y z
2
2
x x
y z x y z
. Tương tự, cộng lại ta được
VT (1)
2 2 2
1
2 2 2
x y z
y z z x x y
2 2 2 2
2( )
2 1 1
2 2 2 3( )
x y z x y z
xy xz yz yx zx zy xy yz zx
Chứng minh được
2
( ) 3( )x y z xy yz zx
.
Suy ra VT (1)
2 1 1
; Đẳng thức xảy ra
x y z
44.
HD:
45.
HD:
46. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
4 8 6 1.P a b ab
Với mọi số thực a, b thay đổi thỏa mãn điều kiện
2 2
4 4 2 2.a b ab a b
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:24
2/.Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn
a b c 1
.
Chứng minh:
a b b c c a
3
ab c bc a ac b
HD:1/. Vì
2
2 2
4 4 2 2 2 1 3 2 1 0 0 2 1 3.a b ab a b a b a b a b
Ta có
2
3 2 2 2 1 2 1 2 1 .P ab b a a b a b a b
Đặt
2 1t a b
, thì
0 3.t
Xét
2
f t t t
với
0 3t
, ta có
1
' 2 1 0 0:3
2
f t t t
.
Ta có:
0 0f
,
3 12f
suy ra GTLN của
2
f t t t
trên
0 :3
là 12 nên
12P
.
KL: GTLN của P là
12
khi
1
1
.
2
a
b
2./ Ta có
a b 1 c 1 c
ab c ab 1 b a (1 a)(1 b)
; VT=
1 c 1 b 1 a
(1 a)(1 b) (1 c)(1 a) (1 c)(1 b)
Do a,b,c dương và a+b+c =1 nên a, b, c
0;1 1 a;1 b;1 c
dương
Áp dụng bđt Cô si cho 3 số dương ta được: VT
1 c 1 b 1 a
3
3 . . 3
(1 a)(1 b) (1 c)(1 a) (1 c)(1 b)
(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi
1
a b c
3
47. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn
1xyz
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
9 9A x y y z z xz x
HD: Do
1xyz
nên
9 9
9 9 1
x y y z z xz x
y z x x
A
xyz x y z z
2 2
9 9 1 9 9.2 1
y z z x x z z x x
x y x z z x x z z
2
9 1
z x x
x z z
do
1 0
x x
z z
Đặt
, 0
z
t t
x
thì
2
2
1 1
( ) 9 1 , 0A f t t t
t t
2
2 2 3
1 1 1 2
'( ) 2 9 1 (9 )f t t t
t t t t
3 2 2
3 3
9 9
2 9 18 (2 3)( 6)
t t
t t t t t t
t t
,
3
'( ) 0
2
f t t
Lập BBT của
( )f t
trên khoảng
(0; )
suy ra
3
(0; )
7
min ( )
4
f t
.
Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:25
Do đó
3
7
4
A
. Đẳng thức xảy ra
2 3
, 1,
3 2
x y z
. Vậy
3
7
minA
4
48.
HD:
49 1/.
HD:1/
