Đề tài " Giải toán trên máy tính Casio " - Trương Ngọc Bôn pot
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (548.59 KB, 44 trang )
Tài liệu bồi d ỡng "Giải toán trên máy tính Casio " biên soạn: Tr ơng Ngọc Bôn
A. đặt vấn đề
Máy tính điện tử là một trong những công cụ tích cực trong việc dạy và học toán.
Nhờ có máy tính điện tử mà nhiều vấn đề đợc coi là khó trong dạy học toán ( ví dụ giải
phơng trình bậc hai, phơng trình ba, phơng trình vô tỷ, chuổi số, các định lý số học ) ta
có thể giảng dạy cho học sinh THCS một cách dễ dàng. Các quy trình thao tác trên máy
tính điện tử bỏ túi có thể coi là bớc tập dợt ban đầu để học sinh dần dần làm quen với thuật
toán và lập trình trên máy tính cá nhân. Bộ Giáo Dục và Đào tạo đã tổ chức cho THCS và
THPH các kỳ thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính casio. Phòng Giáo Dục và đào tạo
Cẩm xuyên đã tổ chức các kỳ thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính casio cấp huyện
và tham gia kỳ thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính casio cấp Tĩnh song kết quả còn
khiêm tốn so với các huyện mạnh nh Can Lộc,Hồng lĩnh, TP Hà Tĩnh Một số bài dự thi
của học sinh kết quả còn thấp, hoặc bài làm thiếu tính chính xác, cách trình bày sời sạc,
ngẫu hứng, các thuật toán trên máy tính cha đợc vận dụng vào bài làm
Với lý do đó và niềm đam mê toán học trên máy tính và thực trạng qua nhiều năm
giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi, tôi mạnh dạn biên soạn tập tài liệu bồi dỡng HSG giải
toán trên máy tính Casio này lu hành nội bộ. Mục đích của tài liệu ngoài hớng dẫn chi tiết
các thao tác tính toán, Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay mà còn trình bày
ý nghĩa toán học của các bài toán.Vì vậy nhiều kiến thức toán học ngoài chơng trình vẫn
đợc đa vào.Việc trình bày các kiến thức toán học, tính chính xác kết quả trong từng phép
tính đợc đặc biệt chú trọng. Bởi đó là điều cơ bản và cốt lỏi của việc sữ dụng máy tính.
Ngời viêt xin đợc trao đổi cùng bạn đọc qua đề tài: giải toán trên máy tính casio
Đề tài gồm ba phần:
Phần I: Hớng dẫn sử dụng máy tính casio Fx:500 MS và Fx:570 MS
Phần II: Các dạng bài tập: Giải toán trên máy tính Casio
Phần III: Một số đề thi Giải toán trên máy tính Casio ( hệ THCS )
Trong khi biên soạn mặc dù đã rất cố gắng song không thể tránh khỏi những thiếu sót.
Rất mong nhận đợc sự góp ý chân thành của quý thầy cô và bạn đọc. Xin chân thành cảm
ơn
Cẩm xuyên, ngày 07/10/2010
TrơngNgọcBôn
B. nội dung
Phần I: H ớng dẫn sử dụng máy tính casio Fx:500 MS và Fx:570 MS
A /. máy tính casio Fx:500 MS
I/ Các phím và cách bấm máy sử dụng chung cho cả máy Fx:500 MS và Fx:570 MS :
1
Tài liệu bồi d ỡng "Giải toán trên máy tính Casio " biên soạn: Tr ơng Ngọc Bôn
1) Các loại phím:
+ Phím trắng: Bấm trực tiếp ( ví dụ:
5
ta ấn 5 =
5
)
+ Phím vàng: Bấm SHIFT + Phím vàng (Ví Dụ:
4
81
, ta bấm 4 SHIFT
x
81 =
4
81
)
+ Phím đỏ: Bấm ALPHA + Phím đỏ (ví dụ: A, ta bấm ALPHA A
2) Mở tắt máy:
+ Mở máy: Bấm ON
+ Tắt máy: Bấm SHIFT + OFF
+ Xoá màn hình khi làm tính : - Bấm AC
- Bấm SHIFT CLR 2 =
- Bấm SHIFT CLR 3 =
+ Để kiểm tra lỗi ta dùng các phím
+ Để sữa lỗi: - Dùng phím
>
<
di chuyển.
- Bấm phím DEL xoá ký tự đang nhấp nháy
- Bấm phím SHIFT + IN S chèn ký tự đánh sót
II/ . máy tính casio Fx:500 MS:
*) Chế độ Mode: Nhằm ấn định ngay từ đầu loại hình tính toán, loại đơn vị đo,dạng số
biểu diễn kết quả, chữ số có nghĩa,sai số làm tròn phù hợp với giã thiết của bài toán
a) Bấm Mode ( 1 lần)
hinhman
321
REGSDCOMP
+ Bấm Mode 1
Làm các phép tính thờng
+ Bấm Mode 2
Làm thống kê một biến
+ Bấm Mode
Làm thống kê hai biến
b) Bấm Mode Mode( 2 lần)
hinhman
1
EQR
( giải phơng trình )
+ Bấm Mode Mode 1
hinhman
UNKNO S ( ẩn )
- Bấm tiếp 2
Giải hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn
- Bấm tiếp 3
Giải hệ phơng trình bậc nhất ba ẩn
+ Bấm Mode Mode 1
hinhman
Degree (bậc)
2
Tài liệu bồi d ỡng "Giải toán trên máy tính Casio " biên soạn: Tr ơng Ngọc Bôn
- Bấm tiếp 2
Giải phơng trình bậc hai một ẩn
- Bấm tiếp 3
Giải phơng trình bậc ba một ẩn
c) Bấm Mode Mode Mode ( 3 lần)
hinhman
321
GraDedDeg
+ Bấm Mode Mode Mode 1
Chọn đơn vị đo góc là độ
+ Bấm Mode Mode Mode 2
Chọn đơn vị đo góc là rađian
+ Bấm Mode Mode Mode 1
Chọn đơn vị đo góc là grad
d) Bấm Mode Mode Mode Mode ( 4 lần)
hinhman
321
NormSciFix
+ Bấm Mode Mode Mode Mode 1
Có chọn số số lẻ thập phân
+ Bấm Mode Mode Mode Mode 2
Có chọn hiện số dạng : a.10
n
+ Bấm Mode Mode Mode Mode 3
Có chọn số dạng thờng
e) Bấm Mode Mode Mode Mode Mode( 5 lần)
hinhman
1
Disp
Bấm tiếp 1
hinhman
2
/
1
/ cdcab
+ Bấm Mode Mode Mode Mode Mode 1 1
kết quả dới dạng hổn số
+ Bấm Mode Mode Mode Mode Mode 1 2
kết quả dới dạng phân số
+ Bấm Mode Mode Mode Mode Mode 1
hinhman
21
CommaDot
+ Bấm Mode Mode Mode Mode Mode 1
1
Chọ dấu cách phân nguyên và phần thập phân là dấu (.)
+ Bấm Mode Mode Mode Mode Mode 1
1
Chọ dấu cách phân nguyên và phần thập phân là dấu (,)
III/. Cách làm một bài thi Giải toán trên máy tính casio"
*Quy định:
1. Yêu cầu các em dự thi chỉ dùng máy Casio fx 500 MS, Casio fx 570 MS, Casio
fx 500 ES, Casio fx 570 ES để giải.
2. Nếu không qui định gì thêm thì các kết quả trong các đề thi phảiviết đủ 10 chử số
hiện trên màn hình máy tính.
3
Tài liệu bồi d ỡng "Giải toán trên máy tính Casio " biên soạn: Tr ơng Ngọc Bôn
3. Trình bày bài giải theo các bớc sau :
- Sơ lợc lời giải ( lời giải vắn tắt)
- Thay số vào công thức (nếu có)
- Viết quy trình ấn phím
- Kết quả
*Nhận xét : Qua các đề thi tỉnh, khu vực tổ chức các năm gần đây. Chúng ta có thể nhìn
đề thi Giải toán trên máy tính Casio theo các định hớng sau đây :
1. Bài thi học sinh giỏi" Giải toán trên máy tính Casio " phải là một bài thi Học
sinh giỏi toán có sự trợ giúp của máy tính để thử nghiệm tìm ra các quy luật toán học
hoặc tăng tốc độ tính toán.
2. Đằng sau các bài toán Giải trên máy tính Casio ẩn chứa những định lý, thuật
toán, thậm chí cả một lý thuyết toán học ( số học, dãy tru hồi )
` 3. Phát huy đợc vai trò tích cực của toán học và máy tính trong giải các bài toán
thực tế
Phần II: Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay
I/. Một số dạng toán xác định số (số học):
1/ . Loại 1. Tính chính xác kết quả phép tính :
.Ph ơng pháp: Dựa vào các tính chất sau:
1) Số
874321
aaaaaa
=
4321
aaaa
. 10
4
+
8765
aaaa
2) Tính chất của phép nhân: ( A + B)( C + D) = AC + AD +BC +
BD
3) Kết hợp tính trên máy và làm trên giấy.
.Mục tiêu: Chia số lớn thành nhữngsố nhỏmà không tràn màn hình khi thực hiện trên
máy
ví dụ1: tính chính xác kết quả của phép tính sau: A = 12578963 x 14375
b) Tính chính xác A
c) Tính chính xác của số: B = 123456789
2
d) Tính chính xác của số: C = 1023456
3
Giải: a) Nếu tính trên máy sẽ tràn màn hình nên ta làm nh sau:
A = 12578963.14375 = (12578.10
3
+ 963).14375
= 12578.10
3
.14375 + 963.14375
* Tính trên máy: 12578.14375 = 180808750 12578.10
3
.14375 = 180808750000
4
Tài liệu bồi d ỡng "Giải toán trên máy tính Casio " biên soạn: Tr ơng Ngọc Bôn
* Tính trên máy: 963.14375 = 13843125
Từ đó ta có: A = 180808750000
+ 13843125
= 180822593125
Vậy A = 12578963 x 14375 = 180822593125
b) B =123456789
2
=(123450000 + 6789)
2
= (1234.10
4
)
2
+ 2.12345.10
4
.6789 + 6789
2
Tính trên máy:
12345
2
= 152399025; 2x12345x6789 = 167620410 ; 6789
2
= 46090521
Vậy: B = 152399025.10
8
+ 167620410.10
4
+ 46090521
= 15239902500000000
+ 1676204100000
46090521
= 15241578750190521
d) C = 1023456
3
= (1023000 + 456)
3
= (1023.10
3
+ 456)
3
= 1023
3
.10
9
+ 3.1023
2
.10
6
.456 + 3.1023.10
3
.456
2
+ 456
3
Tính trên máy:
1023
3
= 1070599167; 3.1023
2
.456 = 1431651672
3.1023.456
2
= 638155584; 456
3
= 94818816
Vậy (tính trên giấy): C = 1070599167000000000
1431651672000000
+ 638155584000
94818816
= 1072031456922402816
Bài tập áp dụng:
Bài 1 : Tính kết quả đúng của các tích sau: a) M = 2222255555 x 2222266666
b) N = 20032003 x 20042004
Đáp số: a) M = 4938444443209829630 b) N = 401481484254012
Bài 2: Tính kết quả đúng của các phép tính sau: a) A = 1,123456789 - 5,02122003
b) B = 4,546879231 + 107,3564177895 ; c) C= 52906279178,48 : 565,432
Bài 3: Tính chính xác tổng: S =1.1! +2.2! +3.3! +4.4! + + 16.16!
* Hớng dẫn: Ta có n.n! = ( n + 1 1).n! =(n + 1).n! n! = (n+1)! n!
* Đáp số: S = 355687428095999
Bài 4: a) Tính bằng máy tính: Q = 1 + 2
2
+ 3
2
+ . . . + 10
2
.
b) Có thể dùng kết quả đó để tính tổng : K = 2
2222
20 64. ++++
mà không dùng
máy tính .hãy trình bày lời giải ấy. Đáp số: a) Q = 385; b) K = 1540
5
Tài liệu bồi d ỡng "Giải toán trên máy tính Casio " biên soạn: Tr ơng Ngọc Bôn
Bài 5: Tính chính xác của số A =
2
12
10 2
3
+
Nhận xét:
10 2
3
k
+
là số nguyên có (k - 1) chữ số 3, tận cùng là số 4
2
10 2
3
k
+
là số nguyên gồm k chữ số 1, (k - 1) chữ số 5, chữ số cuối cùng là 6
* Ta dễ dàng CM đợc và tính đợc kết quả là: A = 111111111111555555555556
2/. loại 2: Tìm số d của phép chia của số a cho số b
* Phơng pháp:
1/. Đối với số bị chia tối đa có 10 chữ số:
Thì số d của A: B = A - B.
B
A
(trong đó
B
A
là phần nguyên của A cho
2/. Khi số bị chia A lớn hơn 10 chữ số:
Khi số bị chia A lớn hơn 10 chữ số ta ngắt ra thành hai nhóm. Nhóm đầu 9 chữ
số đầu( kể từ bê trái). tìm đợc số d nh phần 1). Rồi viết tiếp sau số d còn lại tối đa 9 chữ
số rồi tìm số d lần hai. Nếu còn nữa thì làm liên tiếp nh vậy.
*Định lí: Với hai số nguyên bất kỳ a và b, b
0, luôn tồn tại duy nhất một cặp số
nguyên q và r sao cho: a = bq + r và 0
r < |b|
* Từ định lí trên cho ta thuật toán lập quy trình ấn phím tìm d trong phép chia a cho b:
a SHIFT STO A
b SHIFT STO B
ALPHA A
ữ
ALPHA B = (
b
a
)
ALPHA B - ALPHA B
b
a
=(Kquả: r = )
Ví dụ1: a) Viết một quy trình ấn phím tìm số d khi chia 18901969 cho 3041975 Tính số d
b) Tìm số d trong phép chia: 8
15
cho 2004
Giải:
a) Quy trình ấn phím: 18901969
SHIFT
STO
A
3041975
SHIFT
STO
B
ANPHA
A
ữ
ANPHA
B
=
(6,213716089)
SHIFT
A
-
6
ì
B
=
(650119)
Vậy số d là: r = 650119
b) Ta phân tích: 8
15
= 8
8
.8
7
Ta có: 8
8
1732(mod2004)
8
7
968(mod2004)
8
15
1732 x 968 (mod2004)
1232(mod2004)
Vậy số d là: r = 1232
Bài tập áp dụng:
6
Tài liệu bồi d ỡng "Giải toán trên máy tính Casio " biên soạn: Tr ơng Ngọc Bôn
Bài 1: a) Viết quy trình ấn phím để tìm số d khi chia 3523127 cho 2047.
b) Tìm số d đó.Tìm thơng và số d trong phép chia: 123456789 cho 23456
Bài 2: Tìm số d trong phép chia: a) 987654321 cho 123456789 Đáp số: r = 9
3/. loại 3: Tìm UCLN BCNN của a và b:
*Phơng pháp:
1.Với các số a và b nhỏ hơn 10 chữ số thì ta dùng tính chất rút gọn phân số
,
,
,
,
.
.
b
a
mb
ma
b
a
==
Trong đó (a
,
; b ) = 1. Khi đó UCLN (a;b) = m
2. Với các số a và b lớn hơn 10 chữ số thì ta dùng thuật toán ƠLE:
Tìm UCLN(a;b) với a
b ta có thuật toán sau :
0
.
.
.
.
11
12
3321
221
1
1
+=
+=
+=
+=
+=
+
nnn
nnnn
qrr
rqrr
rqrr
rqrb
rqba
Số d cuối cùng khác 0 là r
n
chính là UCLN (a;b) hay : r
n
= UCLN (a;b)
* Chú ý: BCNN(a;b) =
);(
.
baUCLN
ba
Ví dụ 1: Tìm UCLN của hai số: a = 24614205, b = 10719433
Giải:
*C 1: +) Ta có:
,
,
,
,
.
.
b
a
mb
ma
b
a
==
Trong đó (a
,
; b ) = 1. Khi đó UCLN (a;b) = m
+) Quy trình ấm máy:
24614205 SHIFT STO A
ALPHA A : 10719433 = (1155/503) ALPHA A : 1155 = ( 21311)
Vậy UCLN(a;b) = 21311
*C 2:
+)Theo thuật toán Ơle tìm số d trong phép chia số a cho b ta đợc:
+) quy trình ấm máyliên tục: (Bạn đọc có thể dể dàng làm đợc và kết quả UCLN(a, b)
= 21311)
7
Tài liệu bồi d ỡng "Giải toán trên máy tính Casio " biên soạn: Tr ơng Ngọc Bôn
3. Xác định số ớc số của một số tự nhiên n
*: Định lí : Cho số tự nhiên n, n > 1, giả sử khi phân tích n ra thừa số nguyên tố ta đợc:
1 2
1 2
,
k
ee e
k
n p p p=
với k, e
i
là số tự nhiên và p
i
là các số nguyên tố thoả mãn:
1 < p
1
< p
2
< < p
k
Khi đó số ớc số của n đợc tính theo công thức:
(n)
= (e
1
+ 1) (e
2
+ 1) (e
k
+ 1)
Ví dụ2: Hãy tìm số các ớc dơng của số A = 6227020800.
Giải:
Phân tích A ra thừa số nguyên tố, ta đợc:
A = 2
10
.3
5
.5
2
.7.11.13
áp dụng định lí trên ta có số các ớc dơng của A là:
(A)
= 11.6.3.2.2.2 = 1584
Vậy số các ớc dơng của số A = 6227020800 là: 1584
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm ớc chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của:
a = 75125232 và b = 175429800
Đáp số: UCLN(a, b) = ; BCNN(a, b) =
Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên là ớc của:
N = 1890 x 1930 x 1945 x 1954 x 1969 x 1975 x 2004
Đáp số: 46080
4/. loại 4: Tìm chữ số x của số n =
a xa a a
011-nn
M
m với m
N
* Phơng pháp: 1) Dựa vào các dấu hiệu chia hết của 2,3,4,5,6,7,8,9,11
8
Tài liệu bồi d ỡng "Giải toán trên máy tính Casio " biên soạn: Tr ơng Ngọc Bôn
2) Thay x lần lợt từ 0 đến 9 sao cho n
M
m
Ví dụ 1: Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng
4321 zyx
chia hết cho
7
*Sơ l ợc lời giải:
- Số lớn nhất dạng
4321 zyx
chia hết cho 7 sẽ là:
419293z
.
Lần lợt thay z =
{ }
0;1;2;3;4;5;6;7;8;9
ta đợc số lớn nhất dạng
4321 zyx
chia hết cho 7 là:
1929354
,thơng là 275622
- Số nhỏ nhất dạng
4321 zyx
chia hết cho 7 sẽ là:
410203z
.
Lần lợt thay z =
{ }
0;1;2;3;4;5;6;7;8;9
ta đợc số nhỏ nhất dạng
4321 zyx
chia hết cho 7 là:
1020334
, thơng là 145762
Ví dụ 2: Tìm tất cả các số n dạng:
1235679 4N x y=
chia hết cho 24.
*Sơ l ợc lời giải:
Vì N
M
24 N
M
3 ; N
M
8 (37 + x + y)
M
3 ;
4x y
M
8.
y chỉ có thể là 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8.
Dùng máy tính, thử các giá trị x thoả mãn: (x + y + 1)
M
3 và
4x y
M
8, ta có:
N
1
= 1235679048 ; N
2
= 1235679840
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm số lớn nhất, số nhỏ nhất trong các số tự nhiên dạng:
1 2 3 4x y z
chia hết cho 13.
Số 2: Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng
4321 zyx
chia hết cho 25
Số 3: Tìm chữ số a biết rằng
650646928381a
chia hết cho 2009
Số 4: Tìm chữ số x biết rằng
838196506469x
chia hết cho 2009
* loại 4: Tìm chữ số tận cùng của số n =
a xa a a
011-nn
với n
N
. Phơng pháp: (Vận dụng các tính chất sau)
1) Những số có chữ số tận cùng là: 0;1;5;6 khi nâng lên bất kỳ luỹ thừa nào cũng có chữ
số tận cùng là: 0;1;5;6
2) Những số cố chữ số tận cùng là: 2;4;6 khi nâng luỹ thừa bậc 4 dều có chữ số tận
cùng là: 6
3) Những số cố chữ số tận cùng là: 3;7;9 khi nâng luỹ thừa bậc 4 dều có chữ số tận
cùng là: 1
9
Tài liệu bồi d ỡng "Giải toán trên máy tính Casio " biên soạn: Tr ơng Ngọc Bôn
4) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (và chỉ những số
ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (có đuôi bất biến).
5) Một tích có một thừa số có chữ số tận cùng là 0 thì tích đó có chữ số tận cùng là: 0
6) Một tích có một thừa số có chữ số tận cùng là 5 và nhân với số lẻ thì tích đó có chữ
số tận cùng là: 5
7) Số chính phơng chỉ chứa các số tận cùng là: 0;1;4;5;6;9
8) Tìm 2 chữ số tận của một số cùng thì ta tìm số d khi chia số đó cho 10 (hoặc bội của
10 bé hơn 100)
9) Tìm 3 chữ số tận của một số cùng thì ta tìm số d khi chia số đó cho 100 (hoặc bội của
100 bé hơn 1000)
10) Thử trên máy lần lợt các số thoả mãn điều kiện bài toán thì ta chọn
10 Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (và chỉ những số
ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (có đuôi bất biến).
12) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 376 hoặc 625 (và chỉ những
số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 376 hoặc 625 (có đuôi bất biến).
13) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 9376 hoặc 0625 (và chỉ những
số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 9376 hoặc 0625 (có đuôi bất biến).
Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của số: a) 9
9
9
và b) 14
14
14
*Sơ l ợc lời giải::
a) Ta thấy 9
9
là số lẻ nên 9
9
= 2.k + 1
9
9
9
= 9
1.2 +k
nên tận cùng là số 9
b) ta thấy 14
14
chẳn nên 14
14
=2.k
14
14
14
=14
k.2
=196
k
nên chữ số tận cùng là số: 6
Ví dụ 2: Tìm hai chữ số tận cùng của số: 14
14
14
*Sơ l ợc lời giải:
Ta có: 7
4
- 1 = 2400
7
k.4
- 1
M
100
7
14
14
- 1
M
100
7
14
14
có 2 chữ số là : 01
Mặt khác : 14
14
= 2
14
.7
14
Nhng: 2
14
: 20 d 4 (vì : 2
12
- 1 =
{
(2
4
)
3
- 1
}
: (2
4
- 1) =15;
4.(2
12
- 1 ): 20 )
Và : 7
14
: 20 d 9 ( vì :7
k.4
- 1 : 100
7
12
-1 : 100
7
12
: 20 d 1
7
14
: 20 d 9 )
Vậy : 14
14
: 20 d 4.9 = 36
14
14
: 20 d 10
14
14
có 2 chữ số tận cùng là:16
Ví dụ 3: Tìm Các số x ; y sao cho
xxxxx
:
yyyy
có thơng là 16 d r.
Còn
xxxx
:
yyy
có thơng là 16 d r -2000
*Sơ l ợc lời giải:
Theo bài ra ta có:
xxxxx
= 16.
yyyy
+ r
( )
1
xxxx
= 16 .
yyy
+ r - 2000
( )
2
Lấy
( )
1
trừ
( )
2
ta đợc :
0000x
= 16.
000y
+ 2000
10.x = 16.y + 2
5.x = 8.y + 1
y =
8
15 x
( vì x; y
Z ; 0
x;y
9 )
10
Tài liệu bồi d ỡng "Giải toán trên máy tính Casio " biên soạn: Tr ơng Ngọc Bôn
x = 5: y = 3
Ví dụ 4: Tìm các số khi bình phơng sẽ có tận cùng là ba chữ số 4. Có hay không các số khi
bình phơng có tận cùng là bốn chữ số 4 ?
*Sơ l ợc lời giải:
Chữ số cuối cùng của x
2
là 4 thì chữ số cuối cùng của x là 2 hoặc 8. Tính trên máy bình ph-
ơng của số: 2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92,
8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98
ta chỉ có các số:12, 62, 38, 88.
khi bình phơng lên có tận cùng là hai chữ số 4. Tính trên máy bình phơng của các số:
12, 112, 212, 312, 412, 512, 612, 712, 812, 912;
62, 162, 262, 362, 462, 562, 662, 762, 862, 962;
38, 138, 238, 338, 438, 538, 638, 738, 838, 938
88, 188, 288, 388, 488, 588, 688, 788, 888, 988
ta đợc: 462, 962, 38, 538 khi bình phơng có tận cùng là 444.
* Tơng tự cách làm trên, ta có kết luận: không có số N nào để N
2
kết thúc bởi bốn chữ
số tận cùng là : 4444.
Bài tập áp dụng:
Bài 5: Tìm tất cả các số có 6 chữ số thoã mãn:
1) Số tạo thành bởi ba chữ số cuối lớn hơn số tạo thành bởi ba chữ số đầu 1 đơn vị
2) Là số chính phơng.
Bài 6: Tìm tất cả các số tự nhiên x thoả mãn: 10000 < x < 15000 và khi chia x cho 393
cũng nh 655 đều có số d là 210.
Bài 7: Tìm các chữ số x, y, z để
579xyz
chia hết cho 5, 7 và 9.
Bài 8: Tìm số nguyên dơng nhỏ nhất có tính chất sau:
1) Viết dới dạng thập phân a có tận cùng là số 6.
2) Nếu bỏ chữ số 6 cuối cùng và đặt chữ số 6 lên trớc các chữ số còn lại sẽ đợc một số
gấp 4 lần chữ số ban đầu.
Bài 9: Tìm số tự nhiên n sao cho:
a) 2n + 7 chia hết cho n + 1
b) n + 2 chia hết cho 7 - n
Bài 10: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho n
3
là một số có 3 chữ số đầu và 4 chữ số cuối
đều là số 1.
Bài 11: a) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất mà n
2
bắt đầu bởi số 19 và kết thúc bằng số 89
11
Tài liệu bồi d ỡng "Giải toán trên máy tính Casio " biên soạn: Tr ơng Ngọc Bôn
b) Tìm số tự nhiên n sao cho: n
2
= 2525xxxxxx89 (trong đó xxxxxx là 6 số có thể
khác nhau).
Bài 12: Với giá trị tự nhiên nào của n thì:
1,01
n - 1
< (n - 1) và 1,01
n
> n.
Bài 13: Tìm tất cả các số tự nhiên: x
1
; x
2
; ; x
8
Sao cho
821
xxx
=
( )
21
xx
4
Đáp số H ớng dẫn lời giải:
Bài 1: Đáp số: - Số lớn nhất là 129304; - Số nhỏ nhất là 1020344
Số 2: Đáp số: - Số lớn nhất là 2939475; - Số nhỏ nhất là: 1030425
Số 3: Đáp số: a =
Số 4: Đáp số: x =
Bài 5: *Sơ l ợc lời giải:: Gọi số cần tìm là:
1 2 3 4 5 6
n a a a a a a=
.
- Đặt
1 2 3
x a a a=
. Khi ấy
4 5 6
1a a a x= +
và n = 1000x + x + 1 = 1001x + 1 = y
2
hay (y - 1)(y + 1) = 7.11.13x.
Vậy hai trong ba số nguyên tố 7, 11, 13 phải là ớc của một trong hai thừa số của vế
trái và số còn lại phải là ớc của thừa số còn lại của vế trái.
Dùng máy tính, xét các khả năng đi đến đáp số:
n = 183184 ; 328329 ; 528529 ; 715716.
Bài 6: *Sơ l ợc lời giải:
Từ giả thiết, ta có: x = 393.q
1
+ 210 x -210 chia hết cho 393
x = 655.q
2
+ 210 x -210 chia hết cho 655
x -210 chia hết cho BCNN (393 ; 655) = 1965
x -210 = 1965.k ; (k = 1, 2, ) hay x = 1965k + 210
- Từ giả thiết 10000 < x < 15000 10000 < 1965k + 210 < 15000
hay 9790 < 1965k < 14790 5 k < 8.
Tính trên máy:
Với k = 5, ta có: x = 1965.5 + 210 = 10035
Với k = 6, ta có: x = 1965.6 + 210 = 12000
Với k = 7, ta có: x = 1965.7 + 210 = 13965
Vậy các số phải tìm là: 10035, 12000, 13965
Bài 7:
12
Tài liệu bồi d ỡng "Giải toán trên máy tính Casio " biên soạn: Tr ơng Ngọc Bôn
*Sơ l ợc lời giải: Vì các số 5, 7, 9 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta phải tìm các chữ số
x, y, z sao cho
579xyz
chia hết cho 5.7.9 = 315.
Ta có
579xyz
= 579000 +
xyz
= 1838.315 + 30 +
xyz
30 +
xyz
chia hết cho 315. Vì 30 30 +
xyz
< 1029 nên (Dùng máy tính tìm các
bội của 315 trong khoảng (30 ; 1029):
- Nếu 30 +
xyz
= 315 thì
xyz
= 315 - 30 = 285
- Nếu 30 +
xyz
= 630 thì
xyz
= 630 - 30 = 600
- Nếu 30 +
xyz
= 945 thì
xyz
= 945 - 30 = 915
Vậy ta có đáp số sau:
x y z
2 8 5
6 0 0
9 1 5
Bài 8: *Sơ l ợc lời giải:
- Giả sử số cần tìm có n + 1 chữ số.
- Từ điều kiện 1) số đó dạng:
1 2
6
n
a a a
- Từ điều kiện 2), ta có:
1 2
6
n
a a a
= 4.
1 2
6
n
a a a
(*)
- Đặt
1 2
n
a a a a=
, thì:
1 2
6
n
a a a
= 10a + 6
1 2
6
n
a a a
= 6.10
n
+ a
- Khi đó (*) trở thành:
6.10
n
+ a = 4.(10a + 6) 2.(10
n
- 4) = 13a (**)
Đẳng thức (**) chứng tỏ vế trái chia hết cho 13.
Vì (2 ; 13) = 1 nên: 10
n
- 4 chia hết cho 13.
Bài toán quy về: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để (10
n
- 4) chia hết cho 13, khi đó tìm ra
số a và số cần tìm có dạng: 10a + 6.
Thử lần lợt trên máy các giá trị n = 1; 2; thì (10
n
- 4) lần lợt là:
6, 96, 996, 9996, 99996, và số đầu tiên chia hết cho 13 là: 99996.
Khi đó a = 15384 Số cần tìm là: 153846.
Bài 9: *Sơ l ợc lời giải::
a) Lập công thức (2n + 7) : (n + 1) trên máy và thử lần lợt n = 0, 1, 2, ta đợc n = 0
và n = 4 thì 2n + 7 chia hết cho n + 1.
Chứng minh với mọi n 5, ta đều có 2n + 7 không chia hết cho n + 1, thật vậy:
13
Tài liệu bồi d ỡng "Giải toán trên máy tính Casio " biên soạn: Tr ơng Ngọc Bôn
(2n + 7)
M
(n + 1) [(2n + 7) - 2(n + 1)]
M
(n + 1) 5
M
(n + 1) n 5.
Vậy số n cần tìm là 0 hoặc 4.
b) Tơng tự ta có: n = 4 hoặc n = 6.
Bài 10: *Sơ l ợc lời giải::
Nhận xét: 1) Để n
3
có tận cùng là 11 thì n có tận cùng là số 1. Thử trên máy các số:11, 21,
31, 81, 91 đợc duy nhất số 71 khi luỹ thừa bậc ba có tận cùng là 11.
2) Để n
3
có tận cùng là 111 thì n có phải tận cùng là số 471.
(Thử trên máy với các số: 171, 271, 371, 871, 971 )
3) Để n
3
có tận cùng là 1111 thì n phải có tận cùng là số 8471.
(Thử trên máy với các số: 1471, 2471, 3471, 8471, 9471 )
- Giả sử m là số chữ số đứng giữa các số 111 và 1111:
+ Nếu m = 3k, k Z
+
, thì:
111 x 10
3k+4
< n
3
= 111 1111 < 112 x 10
3k+4
(
{
{
{
4 3 4
3 3
111000 000000 111 1111 112000 000000
m k
k k
=
< <
142 43 142 43
)
31 3 1
3 3 3
1110.10 111 1111 1120.10
k k
n
+ +
< = <
Tính trên máy:
10,35398805 x 10
k+1
< n < 10,3849882 x 10
k+1
Do đó, với k 1. Cho k = 1 ta đợc n bắt đầu bằng số 103, nghĩa là:
n = 103 8471
Số nhỏ nhất trong các số đó là: n = 1038471
+ Nếu m = 3k + 1 và m = 3k + 2, ta đợc các số này đều vợt quá số 1038471
Kết luận: Số nhỏ nhất thoã mãn yêu cầu bài toán là: n = 1038471 khi đó:
(tính kết hợp trên máy và trên giấy): n
3
= 1119909991289361111
Bài 11: *Sơ l ợc lời giải::
a) Trớc hết ta tìm số n
2
có tận cùng là 89:
- Vì n
2
có tận cùng là 9 nên n chỉ có thể có tận cùng là 3 hoặc 7.
- Thử trên máy các số: 13, 23, , 93 ; 17, 27, , 97 ta tìm đợc:
để n
2
có tận cùng là 89 thì n phải có 2 số tận cùng là một trong các số sau:
14
Tài liệu bồi d ỡng "Giải toán trên máy tính Casio " biên soạn: Tr ơng Ngọc Bôn
17, 33, 67, 83 (*)
* Bây giờ ta tìm số n
2
bắt đầu bởi số 19:
- Để n
2
bắt đầu bởi số 19 thì nó phải có dạng:
19 x 10
k
n
2
< 20 x 10
k
19.10 20.10
k k
n <
(1)
+ Nếu k = 2m thì ta có (1), trở thành:
19.10 20.10
m m
n <
4,3588989.10
m
n < 4,472135955.10
m
(2)
Trong (2) ta cho m = 0, 1, 2, (tính trên máy):
ta đợc n có thể là: 44, 436, 437, 438, 439, , 447
+ Nếu k = 2m thì ta có (1), trở thành:
190.10 200.10
m m
n <
13,78404875.10
m
n < 14,14213562.10
m
(3)
Trong (3) ta cho m = 0, 1, 2, (tính trên máy):
ta đợc n có thể là: 14, 138, 139, , 141
1379, 1380, 1381, , 1414
Tóm lại để n bắt đầu bởi số 19 thì n có thể là:
14, 44, 138, 139, , 141, 436, 437, , 447, 1379, 1380, , 1414 (**)
Từ (*) và (**) ta nhận thấy trong các số trên chỉ có số 1383 thoả mãn bài toán.
b) Ta có: 2525 x 10
8
x
2
< 2526 x 10
8
50,24937811 x 10
4
x
< 50,25932749 x 10
4
Vậy : 502493 < x < 502593
Số x tận cùng phải là: 17, 33, 67, 83 (theo câu a), do đó các số thoả mãn là:
502517, 502533, 502567, 502583.
B ài 12:*Sơ l ợc lời giải:
Ta có: 1,01
512
163,133 < 512
1,01
1024
26612,56 > 1024
Vậy: 512 < n < 1024
Thu hẹp khoảng cách chứa n bằng phơng pháp chia đôi:
- Chia đôi đoạn [512 ; 1024], ta có:
521 1024
768
2
1,01 1,01 2083,603 768
+
= = >
Vậy lại có: 512 < n < 768
Sau một số bớc chia đôi nh thế đi đến: 650 < n < 652
Cuối cùng ta có: 1,01
651
= 650,45 < 651
15
Tài liệu bồi d ỡng "Giải toán trên máy tính Casio " biên soạn: Tr ơng Ngọc Bôn
1,01
652
= 656,95 > 652
n = 652
* Quy trình trên MT Casio fx: 500 MS
(Thuật toán: Xét hiệu 1,01
A
- A , gán cho A các giá trị tự nhiên: 0, 1, 2,
dừng lại khi hiệu trên chuyển từ (-) sang (+))
- Gán cho ô nhớ
A
giá trị tự nhiên đầu tiên:
0
SHIFT
STO
A
- Lập công thức tính hiệu 1,01
A
- A và gán giá trị ô nhớ bởi số tự nhiên kế tiếp:
1,01
ANPHA
A
-
ANPHA
A
:
ANPHA
A
ANPHA
=
ANPHA
A
+
1
- Lặp lại công thức trên:
=
=
Bài toán kết thúc khi chuyển từ n = 651 sang n = 652.
B ài 13:*Sơ l ợc lời giải:
Ta có: 10.000.000
821
xxx
=
( )
21
xx
4
99999999
57
86
xx
99
Ta ghi lên mà hình
( )
1055600157
4
=
không thoả mãn ở vị trí x
6
; x
8
Dùng phím
để sửa và thử các số từ 57; 58; ;98; 99. ta đợc 3 số : 65; 86; 91
Vậy ta có 3 bộ số x
1
; x
2
; ; x
8
là : 65
4
= 17850625 ; 86
4
= 54700816 ; 91
4
= 68574961
II. đa thức:
* Kiến thức bổ rung:
1) Cho đa thức P (x) bậc n: P (x) = a
n
. x
n
+ a
n-1
. x
n-1
+ + a
1
. x +a
0
(*)
Trong đó: a
n
; a
n-1
; a
1
; a
0
/R ; a
n
0
Khi ó: a
n
; a
n-1;
a
n-2;
a
n-3; ;
a
1;
a
0
gi các h s
N u x
0
mà P(x
0
) = 0 thì x
0
là nghim ca P(x)
2) Khi chia đa thức P (x) cho (x -
) luôn tồn tại một đa thức thơng Q(x) và số d r.
Hay ta luôn có: P(x) = Q(x). (x -
) + r
* Chú ý: (Định lý Bezout)
1) N u x =
là nghim ca P(x)
P(x)
M
(x -
)
2) Nu x
0
là nghim nguyên ca P(x) thì x
0
c ca a
0
16
Tài liệu bồi d ỡng "Giải toán trên máy tính Casio " biên soạn: Tr ơng Ngọc Bôn
3) N u tng các h s bng 0 thì P(x) = 0 có nghim là x = 1 ( Hay P(x)
M
( x - 1) )
4) Nếu tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì P(x) = 0 có
nghiệm là x = -1 (Hay P(x)
M
( x + 1) )
* Sơ đồ Horner: (đối với đa thức một biến)
Khi chia đa thức P(x) cho ( x -
) thơng là: b
n
. x
n-1
+ b
n-1
. x
n-2
+ + b
2
. x + b
1
và có số d là:
r . Khi đó ta có sơ đồ nh sau:
a
n
a
n-1
a
n-2
a
n-3
a
1
a
0
b
n
b
n-1
b
n-2
b
n-3
b
1
r = b
0
Trong ó: b
n
= a
n
b
n-1
=
. b
n
+ a
n-1
b
n-2
=
. b
n-1
+ a
n-2
b
1
=
. b
n-1
+ a
1
b
0
=
. b
1
+ a
0.
Khi ó: 1). P (
) = b
0
2). Nu P (
) = 0 thì P(x)
M
(x -
)
3). Nu P (x)
0 thì P (x) : (x -
) có số d là: r = P (
)
Và có thng là: b
n
. x
n-1
+ b
n-1
. x
n-2
+ + b
2
. x + b
1
1/.Loại 1: Tính giá trị của đa P(x,y,) khi x = x
0
, y = y
0
;
*Phơng pháp:
1). Tính trực tiếp (Thay trực tiếp các giá trị của x, y vào biểu thức rồi tính kết quả.
2). Sử dụng sơ đồ Horner ( chỉ sử dụng khi bài toán yêu cầu tìm thơng và giá trị của đa thức
tại x =
( r = P(
) = b
0
)
*Trên máy tính: 1). - Gán giá trị x
0
vào biến nhớ M. - Rồi thực hiện quy trình
2). -Tính nhờ vào biến nhớ
Ans
Ví dụ 1: Tính A =
534
1323
23
245
++
++
xxx
xxxx
khi x = 1,8165
Giải:
*Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ
Ans
Bấm phím: 1
.
8165
=
2 2
( 3 Ans ^ 5 2 Ans ^ 4 3 Ans x Ans 1) ( 4 Ans ^ 3 Ans x 3 Ans 5 ) + + ữ + + =
Kết qủa: 1.498465582
*Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ
X
Bấm phím: 1
.
8165
SHIFT STO X
2 2
( 3 ALPHA X ^ 5 2 ALPHA X ^ 4 3 ALPHA X x ALPHA X 1) ( 4 ALPHA X ^ 3 ALPHA X x 3 ALPHA X 5 ) + + ữ + + =
Kết qủa: 1.498465582
* Chú ý: Trong các kỳ thi HSG thờng vẫn hay có dạng toán này. Đặc biệt các cuộc thi cấp
huyện. Khản năng tính toán dẫn đến sai số thờng không nhiều. Nhng biểu thức quá phức tạp
nên tìm cách chia nhỏ bài toán. Tránh tình trạng phép tính vợt quá giới hạn nhớ của máy
tính. Sẽ dẫn đến kết quả sai ( Kết quả đã quy tròn trên máy tính trong quá trình thực hiện, có
trờng hợp kết quả sai hẳn). Do vậy không có điểm trong trờng hợp này.
17
Tài liệu bồi d ỡng "Giải toán trên máy tính Casio " biên soạn: Tr ơng Ngọc Bôn
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tính giá trị biểu thức:
a. A(x) =
4 3 2
x 5x 3x x 1+ +
khi x = 1,23456
b.
5 4 3 2
P(x) 17x 5x 8x 13x 11x 357= + +
khi x = 2,18567
2/.Loại 2: Tìm d trong phép chia đa thức P(x) cho nhi thức ax + b
*Phơng pháp: Khi chia đa thức P (x) cho (ax + b) luôn tồn tại một đa thức thơng Q(x) và
số d r. Hay ta luôn có: P(x) = Q(x). (ax + b) + r
P(-
b
a
) = r
Vậy số d trong phép chia P (x) cho (ax + b) là r = P(-
b
a
)
Ví dụ 1: Tìm số d trong phép chia: P=
14 9 5 4 2
x x x x x x 723
x 1,624
+ + +
Giải:
Đặt Q(x) =
+ + +
14 9 5 4 2
x x x x x x 723
Khi đó số d trong phép chia: P=
14 9 5 4 2
x x x x x x 723
x 1,624
+ + +
là Q(1,624)
*Qui trình bấm máy (fx-500MS và fx-570 MS)
1. 624 SHIFT STO X
ALPHA X ^14 ALPHA X ^ 9 ALPHA X ^ 5 ALPHA X ^ 4 ALPHA X ^ 2 ALPHA X 723 + + + =
Kết quả: r = 85,92136979
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm số d trong phép chia
5 3 2
x 6,723x 1,857x 6,458x 4,319
x 2,318
+ +
+
Bài 2: Cho
( )
4 4 2
x
P x 5x 4x 3x 50= + +
.
a) Tìm phần d r
1
, r
2
khi chia P(x) cho x 2 và x-3.
b) Tìm BCNN(r
1
,r
2
)?
3/.Loại 3: xác định tham số m để đa thức P(x)+m chia hết cho nhi thức
a.x+ b
*Phơng pháp: Khi chia đa thức P (x) + m cho (ax + b) luôn tồn tại một đa thức thơng
Q(x) và số d r. Hay ta luôn có: P(x) = Q(x). (ax + b) +m + r
Để P (x) + m chia hết cho (ax + b) thì: m +r = 0
m =- r
m =- P(-
b
a
)
Ví dụ 1: Tìm a để đa thức A(x) =
4 3 2
x 7x 2x 13x a+ + + +
chia hết cho x+6.
Giải: *Sơ lợc lời giải:
Đặt P(x) =
+ + +
4 3 2
x 7x 2x 13x
Khi đó ta có: A(x) = P(x) + a
Mà d khi chia P(x) cho x+6 là: r = P(-6)
Vậy để A(x)
M
x+6 thì r + a = 0
a = - r = - P(-6)
*Qui trình bấm máy fx-500MS
( )
6
SHIFT
STO
X
18
Tài liệu bồi d ỡng "Giải toán trên máy tính Casio " biên soạn: Tr ơng Ngọc Bôn
( )
(
ALPHA
X
^
4
+
7
ALPHA
X
3
x
+
2
ALPHA
X
2
x
+
13
ALPHA
X
)
=
Kết quả: a = -222
Ví dụ 2: Cho P(x) = 3x
3
+ 17x 625. Tìm m để P(x) + m
2
chia hết cho x + 3 ?
Giải: *Sơ lợc lời giải:
Ta có: d khi chia P(x) cho x + 3 là: r = P(-3) để P(x) + m
2
chia hết cho x + 3
Thì: m
2
=- P(-3) = -
( ) ( )
3
3 3 17 3 625
+
=> m =
( ) ( )
3
3 3 17 3 625
+
*Qui trình bấm máy fx-500MS:
3
( ) ( 3 ( ( ) 3 ) 17 ( ( ) 3 ) 625 ) + =x
Kết quả: m =
27,51363298
4/. Loại 4: Tìm th ơng và số d khi chia đa thức cho đơn thức:
*Phơng pháp: Sử dụng sơ đồ Horner
a
n
a
n-1
a
n-2
a
n-3
a
1
a
0
b
n
b
n-1
b
n-2
b
n-3
b
1
r = b
0
Trong ó: b
n
= a
n
b
n-1
=
. b
n
+ a
n-1
b
n-2
=
. b
n-1
+ a
n-2
b
1
=
. b
n-1
+ a
1
b
0
=
. b
1
+ a
0.
Khi ó: 1). P (
) = b
0
2). Nu P (
) = 0 thì P(x)
M
(x -
)
3). Nu P (x)
0 thì P (x) : (x -
) có số d là: r = P (
)
Và có thng là: b
n
. x
n-1
+ b
n-1
. x
n-2
+ + b
2
. x + b
1
Chứng minh :
Ta xét đa thứ bậc ba: P(x) = a
3
x
3
+ a
2
x
2
+ a
1
x + a
0
chia cho x -
Ta có: a
3
x
3
+ a
2
x
2
+ a
1
x + a
0
= (b
3
x
2
+ b
2
x + b
1
)(x-
) + r
= b
3
x
3
+ (b
2
-b
3
)x
2
+ (b
1
-b
2
)x + (r - b
1
)
Từ đó ta có công thứ truy hồi Horner: b
3
= a
3
b
2
= b
3
+ a
2
b
1
= b
2
+ a
1
b
0
= r = b
1
+ a
3
.
Ví dụ 1: Tìm thơng và số d trong phép chia x
7
2x
5
3x
4
+ x 1 cho x + 5.
Giải
Ta có:
= - 5; a
0
= 1; a
1
= 0; a
2
= -2; a
3
= -3; a
4
=
a
5
= 0; a
6
= 1; a
7
= -1; b
0
=
a
0
= 1.
*Qui trình bấm máy fx-
500MS:
19
ì + =
ì =
ì + =
ì + =
ì + =
ì + =
ì + =
( ) 5 SHIFT STO M
1 ALPHA M 0
ALPHA M 2
ALPHA M ( ) 3
ALPHA M 0
ALPHA M 0
ALPHA M 1
ALPHA M ( )1
(-5)
(23)
(-118)
(590)
(-2950)
(14751)
(-73756)
Tài liệu bồi d ỡng "Giải toán trên máy tính Casio " biên soạn: Tr ơng Ngọc Bôn
Vậy: x
7
-2x
5
-3x
4
+x -1 = (x + 5)(x
6
-5x
5
+ 23x
4
-118x
3
+ 590x
2
-2590x + 14751) - 73756.
5/. Loại 5: Phân tích đa thức theo bậc của một đơn thức
*Phơng pháp: Sử dụng sơ đồ Horner cho n lần
áp dụng n-1 lần sử dụng sơ đồ Horner ta phân tích đợc đa thức P(x) bậc n theo x-
:
P(x)=r
0
+r
1
(x-
)+r
2
(x-
)
2
++r
n
(x-
)
n
.
Ví dụ 1: Phân tích P(x) = x
4
3x
3
+ x 2 theo bậc của x 3.
Giải:
Thực hiện phép chia P(x)=q
1
(x)(x-
)+r
0
theo theo sơ đồ Horner ta đợc q
1
(x) và r
0
. Sau tiếp
tục tìm các q
k
(x) và r
k-1
ta đợc bảng sau:
Vậy x
4
3x
3
+ x 2 = 1 + 28(x-3)
+ 27(x-3)
2
+ 9(x- 3)
3
+ (x-3)
4
.
6/. Loại 6: Xác định đa thức &
tính giá trị một số giá trị của
đa thức khi biết một số giá trị của khác của nó :
*Phơng pháp:
1). Giải hệ phơng trình từ đó tìm đợc các hệ số
2). Tìm đa thứ phụ trớc, rồi quay lại tìm đa thức.
Ví dụ 1: Cho P(x) = x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + f. Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) =
16; P(5) = 15. Tính P(6), P(7), P(8), P(9).
Giải:
Đặt A(x) = P(x) - x
2
ta có: A(1) = 0 ; A(2) = 0 ; A(3) = 0; A(4) = 0 ; A(5) = 0;
Nên theo định lý Bezout ta có: x = 1;2;3;4;5 là nghiệm của A(x) do đó ta có:
k.( x - 1)(x-2)( x - 3)(x-4)(x - 5) = P(x) - x
2
=> P(x) = k.( x - 1)(x-2)( x - 3)(x- 4)(x - 5) + x
2
Vì P(x) có bậc lớn nhất là: 5 và có hệ số bằng 1 nên k = 1
Vậy P(x) = ( x - 1)(x-2)( x - 3)(x- 4)(x - 5) + x
2
=> .P(6) = ( 6 - 1)(6-2)(6 - 3)(6-4)(6 - 5) + 6
2
= 156
.P(7) = ( 7 - 1)(7-2)(7 - 3)(7-4)(7 - 5) + 7
2
= 769
.P(6) = ( 8 - 1)(8-2)(8 - 3)(8-4)(8- 5) + 8
2
= 2584
.P(6) = ( 9 - 1)(9-2)(9 - 3)(9-4)(9 - 5) + 9
2
= 6801
Ví dụ 2: Cho P(x) = 6x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ x
2
+ cx + 450. Biết đa thức P(x) chia hết cho các nhị
thức (x - 2) ; (x - 3); (x - 5) . Hãy tìm các giá trị a, b, c và các nghiệm của đa thức.
*HD: Dùng chức năng giải hpt ta đợc kết quả: a = -59; b = 161; c = - 495;
x
1
= 2; x
2
= 3; x
3
=5; x
4
=3/2; x
5
=-5/3
Bài tập áp dụng :
Bài 1: Cho đa thức P(x) = 6x
3
7x
2
16x + m.
a. Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3.
b. Với m vừa tìm đợc ở câu a hãy tìm số d r khi chia P(x) cho 3x-2.
c. Tìm m và n để Q(x) = 2x
3
5x
2
13x + n và P(x) cùng chia hết cho x-2.
1 -3 0 1 -2 x
4
-3x
2
+x-2
3 1 0 0 1 1 q
1
(x)=x
3
+1, r
0
= 1
3 1 3 9 28 q
2
(x)=x
3
+3x+1, r
1
=
28
3 1 6 27 q
3
(x)=x+6, r
0
= 27
3 1 9 q
4
(x)=1=a
0
, r
0
= 9
20
Tài liệu bồi d ỡng "Giải toán trên máy tính Casio " biên soạn: Tr ơng Ngọc Bôn
d. Với n vừa tìm đợc phân tích Q(x) ra tích các thừa số bậc nhất.
Bài 2: Cho P(x) = x
4
+ mx
3
+ nx
2
+ px + q. Biết Q(1) = 5; Q(2) = 7; Q(3) = 9; Q(4) = 11.
Tính Q(10), Q(11), Q(12), Q(13).
Bài 3: Cho P(x) = x
4
+ 5x
3
4x
2
+ 3x + m và Q(x) = x
4
+ 4x
3
3x
2
+ 2x + n.
a. Tìm giá trị của m, n của các đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x 2.
b. Với giá trị của m, n vừa tìm đợc chứng tỏ rằng đa thức R(x) = P(x) Q(x) chỉ có một
nghiệm duy nhất
Bài 4: Cho P(x) = x
5
+ 2x
4
3x
3
+ 4x
2
5x + m.
1. Tìm số d trong phép chia P(x) cho x 2,5 khi m = 2010
2. Tìm gía trị m để P(x) chia hết cho x 2,5
3. P(x) có nghiệm x = 2. Tìm m?
Bài5. Cho P(x) = x
5
+ ax
4
+bx
3
+ cx
2
+ dx + e. Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33,
P(5) = 51. Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11).
Bài 6: Cho đa thức P(x) = x
10
+ x
8
7,589x
4
+ 3,58x
3
+ 65x + m.
a. Tìm điều kiện của m để P(x) có nghiệm là: x = 0,3648
b. Với m vừa tìm đợc, tìm số d khi chia P(x) cho (x -23,55)
Bài 7: 1.Cho x=2,1835 và y= -7,0216. Tính
5 4 3 3 4
3 2 2 3
7x y-x y +3x y+10xy -9
F=
5x -8x y +y
2.Tìm số d r của phép chia :
5 4 2
x -6,723x +1,658x -9,134
x-3,281
3. Cho
7 6 5 4 3 2
P(x)=5x +2x -4x +9x -2x +x +10x-m
. Tì m m để P(x) chia hết cho đa thức x+2
Bài 8:
a. Tìm m để P(x) chia hết cho (x -13) biết P(x) = 4x
5
+ 12x
4
+ 3x
3
+ 2x
2
5x m + 7 b.
Cho P(x) = ax
5
+ bx
4
+ cx
3
+ dx
2
+ ex + f biết P(1) = P(-1) = 11; P(2) = P(-2) = 47; P(3)=107.
Tính P(12)?
Bài 9: Cho ủa thửực P(x) = x
3
+ bx
2
+ cx + d. Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9. Tính:
a. các hệ số b, c, d của đa thức P(x).
b. Tìm số d r
1
khi chia P(x) cho x 4.
c. Tìm số d r
2
khi chia P(x) cho 2x +3.
Bài 10: Cho đa thức P(x) = x
3
+ ax
2
+ bx + c. Biết P(1) = -25; P(2) = -21; P(3) = -41. Tính:
a. Các hệ số a, b, c của đa thức P(x).
b. Tìm số d r
1
khi chia P(x) cho x + 4.
c. Tìm số d r
2
khi chia P(x) cho 5x +7.
d. Tìm số d r
3
khi chia P(x) cho (x+4)(5x +7).
Bài 11: Cho đa thức P(x) = x
4
+ax
3
+ bx
2
+ cx + d. Biết P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18; P(4) =
48. Tính P(2010)?
21
Tài liệu bồi d ỡng "Giải toán trên máy tính Casio " biên soạn: Tr ơng Ngọc Bôn
Bài 12: Chia P(x) = x
81
+ ax
57
+ bx
41
+ cx
19
+ 2x + 1 cho x 1 đợc số d là 5. Chia P(x) cho
x 2 đợc số d là - 4. Hãy tìm cặp (M,N) biết rằng Q(x) = x
81
+ ax
57
+ bx
41
+ cx
19
+ Mx + N
chia hết cho (x-1)(x-2)
3: Liên phân số:
Cho a, b (a>b) là hai số tự nhiên. Dùng thuật toán ơclít chia a cho b, phân số
a
b
có thể viết
dới dạng:
0
0 0
0
b
a 1
a a
b
b b
b
= + = +
Vì b
0
là phân d của a khi chia cho b nên b > b
0
. Do vậy ta đợc
1
1 1
0
0 0
1
bb 1
a a
b
b b
b
= + = +
Tiếp tục nh vậy ta đợc sau n bớc ta đợc:
0
0 0
1
n 2
n
b
a 1
a a
1
b b
a
1
a
a
= + = +
+
+
.
Cách biểu diển này gọi là cách biểu diển số hửu tỉ dới dạng liên phân số. Mọi số hửu tỉ có
một biểu diển duy nhất dới dạng liên phân số, nó đợc viết gọn là
[ ]
0 1 n
a ,a , ,a
.
Vấn đề đặt ra là: hãy biểu diển liên phân số
0
1
n 1
n
1
a
1
a
1
a
a
+
+
+
về dạng
a
b
và ngợc lại
22
Tài liệu bồi d ỡng "Giải toán trên máy tính Casio " biên soạn: Tr ơng Ngọc Bôn
Với sự trợ giúp của máy tính ta có thể tính một cách nhanh chóng.
* Qui trình bấm máy fx-500MS:
1). Tính từ dới lên trên:
Bấm lần lợt các phím:
b/ c b/ c b/ c
n 1 n n 2 0
a 1 a a a 1 a Ans a 1 a Ans
+ = + = + =
2). Tính từ trên xuống dới:
Bấm lần lợt các phím:
+ + + + =
b/ c b/ c b/ c
0 1 2 n 1 n
a (1 a (a 1 a ( a a 1( a a )))))))))
Ví dụ1: Tính giá trị của:
1
A 1
1
2
1
3
2
= +
+
+
Giải:
Qui trình bấm trên máy fx-500MS
*Cách 1: Bấm các phím:
b/ c b/ c b/ c b/ c
3 1a 2 2 1 a Ans 1 1a Ans SHIFT a+ = + = + =
23
( )
16
*Cách 2: Bấm các phím:
+ + + =
b/ c b/ c b/ c
1 (1 a (2 (1 a ( 3 (1 a 2 ))))
23
16
ữ
Ví dụ 2: Biết
15 1
1
17
1
1
a
b
=
+
+
trong đó a và b là các số dơng. Tìm a,b?
Giải:
Ta có:
15 1 1 1 1
17 2 1 1
17
1 1 1
15 1
15 15
7
2 2
= = = =
+ + +
+
. Vậy a = 7, b = 2.
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tính và viết kết quả dới dạng phân số:
5 1
A 3 B 7
4 1
2 3
5 1
2 3
4 1
2 3
5
4
2
3
= + = +
+ +
+ +
+ +
+
Bài 2:
Tìm các số tự nhiên a và b biết:
329 1
1
1051
3
1
5
1
a
b
=
+
+
+
Bài 3: Tìm giá trị của x, y của các phơng trình sau:
a.
x x
4
1 1
1 4
1 1
2 3
1 1
3 2
4 2
+ =
+ +
+ +
+ +
b.
y y
1 1
1 2
1 1
3 4
5 6
+
+ +
+ +
23
Tài liệu bồi d ỡng "Giải toán trên máy tính Casio " biên soạn: Tr ơng Ngọc Bôn
Bài 6: Cho
12
A 30
5
10
2003
= +
+
Hãy viết lại A dới dạng
[ ]
0 1 n
A a ,a , ,a=
?
4.Dãy số:
1. Lập quy trình tính số hạng Dãy số cho bởi công thức số hạng tổng quát:
dãy số (u
n
) cho bởi
trong đó f(n) là biểu thức của n cho trớc.
Cách lập quy trình:
- Ghi giá trị n = 1 vào ô nhớ
A
: 1
SHIFT
STO
A
- Lập công thức tính f(A) và gán giá trị ô nhớ
:
A
=
A
+
1
- Lặp dấu bằng:
=
=
Giải thích:
1
SHIFT
STO
A
: ghi giá trị n = 1 vào ô nhớ
A
f(A)
:
A
=
A
+
1 : tính u
n
= f(n) tại giá trị
A
(khi bấm dấu bằng thứ lần
nhất) và thực hiện gán giá trị ô nhớ
A
thêm 1 đơn vị:
A
=
A
+
1 (khi bấm dấu
bằng lần thứ hai).
* Công thức đợc lặp lại mỗi khi ấn dấu
=
Ví dụ 1: Tính 10 số hạng đầu của dãy số (u
n
) cho bởi:
24
u
n
= f(n), n N
*
Tài liệu bồi d ỡng "Giải toán trên máy tính Casio " biên soạn: Tr ơng Ngọc Bôn
1 1 5 1 5
; 1,2,3
2 2
5
n n
n
u n
+
= =
Giải:
- Ta lập quy trình tính u
n
nh sau:
1
SHIFT
STO
A
(
1
ữ
5
)
(
(
(
1
+
5
)
ữ
2
)
ANPHA
A
-
(
(
1
-
5
)
ữ
2
)
ANPHA
A
)
ANPHA
:
ANPHA
A
ANPHA
=
ANPHA
A
+
1
=
- Lặp lại phím:
=
=
kết quả: u
1
= 1, u
2
= 1, u
3
= 2, u
4
= 3, u
5
= 5, u
6
= 8, u
7
= 13, u
8
= 21, u
9
= 34, u
10
= 55.
2. Lập quy trình tính số hạng Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng:
dãy số (u
n
) cho bởi
trong đó f(u
n
) là biểu thức của
u
n
cho trớc.
Cách lập quy trình:
- Nhập giá trị của số hạng u
1
: a
=
- Nhập biểu thức của u
n+1
= f(u
n
) : ( trong biểu thức của u
n+1
chỗ nào có u
n
ta
nhập bằng
ANS
)
- Lặp dấu bằng:
=
Giải thích:
- Khi bấm: a
=
màn hình hiện u
1
= a và lu kết quả này
- Khi nhập biểu thức f(u
n
) bởi phím
ANS
, bấm dấu
=
lần thứ nhất máy sẽ thực hiện
tính u
2
= f(u
1
) và lại lu kết quả này.
- Tiếp tục bấm dấu
=
ta lần lợt đợc các số hạng của dãy số u
3
, u
4
Ví dụ 1: Tìm 20 số hạng đầu của dãy số (u
n
) cho bởi:
1
1
1
2
, *
1
n
n
n
u
u
u n N
u
+
=
+
=
+
25
1
n+1 n
u = a
u = f(u ) ; n N*
