bài tập về con lắc đơn có lời giải

Cõu 1: Mt con lc n dao ng iu ho theo phng trỡnh li gúc = 0,1cos(2t + /4) ( rad
). Trong khong thi gian 5,25s tớnh t thi im con lc bt u dao ng, cú bao nhiờu ln con
lc cú ln vn tc bng 1/2 vn tc cc i ca nú?
A. 11 ln. B. 21 ln. C. 20 ln. D. 22 ln.
Gii:
Trong mt chu kỡ dao ng cú 4 ln v =
2
max
v
ti v trớ
W

=
4
1
W > W
t
=
4
3
W
tmax
tc l lỳc li
=
2
3
max

Chu kỡ ca con lc n ó cho T =

2
= 1 (s)
t = 5,25 (s) = 5T +
4
1
T
Khi t = 0 :
0
= 0,1cos(/4) =
2
2
max

; vt chuyn ng theo chiu õm v VTCB
Sau 5 chu kỡ vt tr li v trớ ban u, sau T/4 tip vt cha qua c v trớ = -
2
3
max

Do ú: Trong khong thi gian 5,25s tớnh t thi im con lc bt u dao ng, con lc cú
ln vn tc bng 1/2 vn tc cc i ca nú 20 ln. Chn ỏp ỏn C
Cõu 2: Mt con lc n cú chiu di
l
= 64cm v khi lng m = 100g. Kộo con lc lch khi v
trớ cõn bng mt gúc 6
0
ri th nh cho dao ng. Sau 20 chu kỡ thỡ biờn gúc ch cũn l 3
0
. Ly g
=

2

= 10m/s
2
. con lc dao ng duy trỡ vi biờn gúc 6
0
thỡ phi dựng b mỏy ng h b
sung nng lng cú cụng sut trung bỡnh l
A. 0,77mW. B. 0,082mW. C. 17mW. D. 0,077mW.
Gii:

0
= 6
0
= 0,1047rad.
C nng ban u W
0
= mgl(1-cos
0
) = 2mglsin
2
2
0

mgl
2
2
0

C nng sau t = 20T: W = mgl(1-cos) = 2mglsin

2
2

mgl
2
2

=mgl
8
2
0

gim c nng sau 20 chu kỡ: W = mgl(
2
2
0

-
8
2
0

) = mgl
8
3
2
0

= 2,63.10
-3

J
T = 2
g
l
= 2
2
64,0

= 1,6 (s)
Cụng sut trung bỡnh cn cung cp con lc dao ng duy trỡ vi biờn gúc l 6
0
W
TB
=
3
3
10.082,0
32
10.63,2
20


==

T
W
W = 0,082mW. Chn ỏp ỏn B
Cõu 3. Một con lắc đồng hồ đợc coi nh một con lắc đơn có chu kì dao động
( )
sT 2=

; vật nặng có
khối lợng
( )
kgm 1=
. Biên độ góc dao động lúc đầu là
0
0
5=

. Do chịu tác dụng của một lực cản
không đổi
( )
NF
C
011,0=
nên nó chỉ dao động đợc một thời gian
( )
s

rồi dừng lại. Ngời ta dùng
một pin có suất điện động
( )
V3
điện trở trong không đáng kể để bổ sung năng lợng cho con lắc
A
O M
0

0
víi hiÖu suÊt 25%. Pin cã ®iÖn lîng ban ®Çu

( )
CQ
4
0
10=
. Hái ®ång hå ch¹y ®îc thêi gian bao l©u
th× l¹i ph¶i thay pin?
Giải: Gọi ∆α là độ giảm biên độ góc mỗi lầ qua vị trí cân bằng ∆α = α
0
- α
Cơ năng ban đầu của con lắc đơn
W
0
= mgl(1-cosα
0
) = mgl,2sin
2
22
2
0
2
0
αα
mgl≈

Với

l =
993,0
4

2
2
≈
π
gT
(m)
Độ giảm cơ năng sau nửa chu kỳ: ∆W =
2
22
0
αα
−
mgl
∆W = F
c
(α
0
+ α)l
2
22
0
αα
−
mgl
=
F
c
(α
0
+ α)l > ∆α =

00245,0
2
=
mg
F
c
α
0
=
08722,0
180
14,3.5
=
∆W = 2F
c
(α
0
+ α)l = 2F
c
(2α
0
- ∆α)l = 0,00376 (J).
Đây là phần năng lượng tiêu hao sau một chu kì tức là sau 2s
Năng lượng của nguồn: W = EQ
0
= 3.10
4
(J)
Năng lượng có ích cung cấp cho đồng hồ: W
co ich

= H.W = 0,75.10
4
(J)
Thời gian pin cung cấp năng lượng cho đồng hồ
t = W
co ich
/∆W =
5,19946808
00376,0
7500
=
s = 19946808,5/86400 = 23,086 ngày = 23 ngày
Câu 4 Một con lắc lò xo thẳng đứng và một con lắc đơn được tích điện q, cùng khối lượng m. Khi
không có điện trường chúng dao động điều hòa với chu kỳ T
1
= T
2
. Khi đặt cả hai cong lắc trong
cùng điện trường đều có véc tơ cường độ điện trường E nằm ngang thì độ giãn của con lắc lò xo
tăng 1,44 lần, con lắc đơn dao động với chu kỳ 5/6 s. Chu kì dao động của con lắc lò xo trong điện
trường đều là:
A. 5/6 s. B. 1 s. C. 1,44s. D. 1,2s
Giải:
Khi chưa có điện trường:
T
1
= 2π
g
l∆
; T

2
= 2π
g
l
; Với ∆l : độ giãn của lò xo; l chiều dài của con lắc đơn
T
1
= T
2
> ∆l = l
Khi đặt các con lắc trong điện trường gia tốc trọng trường hiệu dụng tác lên các vật:
g’ = g + a

Khi đó vị trí cân bằng là O’
T’
1
= 2π
'
2.2,1
'
44,1
2
'
'
g
l
g
l
g
l ∆

=
∆
=
∆
ππ
;
T’
2
= 2π
'g
l
= 2π
'g
l∆
2,1
'
'
2
1
=
T
T
> T’
1
= 1,2 T’
2
= 1,2 .5/6 = 1s.
Chọn đáp án B
Câu 5: sợi dây chiều dài l ,được cắt ra làm hai đoạn l
1

,l
2
,dùng làm hai con lắc đơn.Biết li độ con
lắc đơn có chiều dài l
1
khi động năng bằng thế năng bằng li độ của con lắc có chiều dài l
2
khi động
năng bằng hai lần thế năng.Vận tốc cực đại của con lắc l
1
bằng hai lần vận tốc cực đại của con lắc
l
2
.Tìm chiều dài l ban đầu.
Giải:
Giả sử phương trinhg dao động của con lắc đơn có dạng α = α
0
cosωt
g g’
O’ a
Cơ năng của con lắc tại thới điểm có li độ α W=
2
2
mv
+ mgl(1- cosα) = mgl(1- cosα
0
).
W
t
= mgl(1- cosα) = mgl .2sin

2
2
α
≈ mgl.2
4
2
α
= mgl
2
2
α
; W = W
0
= mgl
2
2
0
α
Khi W
đ
= W
t
> α
1
2
=
2
2
01
α

; Khi W
đ
= 2W
t
> α
2
2
=
3
2
02
α
α
1
= α
2
>
2
01
α
=
3
02
α
(*)
Vân tốc cực đại của con lắc đơn v
max
= ωlα
0
= α

0
gl
v
1max
= 2v
2max
> gl
1
2
01
α
= 4gl
2
2
02
α
> l
1
2
01
α
= 4l
2
2
02
α
(**)
Từ (*) và (**) > l
1
= 4l

2
2
3
> l
1
= 2
6
l
2
> l = (1+ 2
6
) l
2
.
Bài ra thiếu điều kiện để xác định cụ thể l
Câu 6: Treo một vật trong lượng 10N vào một đầu sợi dây nhẹ, không co dãn rồi kéo vật khỏi
phương thẳng đứng một góc α
0
và thả nhẹ cho vật dao động. Biết dây treo chỉ chịu được lực căng
lớn nhất là 20N. Để dây không bị đứt, góc α
0
không thể vượt quá:
A: 15
0
. B:30
0
. C: 45
0
. D: 60
0

.
Giải
Xét thời điểm khi vật ở M, góc lệch của dây treo là α
Vận tốc của vật tại M: v
2
= 2gl( cosα - cosα
0
).
Lực căng của dây treo khi vật ở M
T = mgcosα +
l
mv
2
= mg(3cosα - 2cosα
0
).
T = T
max
khi α = 0
T
max
= P(3 – 2cosα
0
) = 10(3 – 2cosα
0
) ≤ 20
> 2cosα
0
≥ 1 > cosα
0

≥ 0,5 > α
0
≤ 60
0
. Chọn đáp án D
Câu 7: Một con lắc đơn gồm 1 vật nhỏ được treo vào đầu dưới của 1 sợi dây không dãn, đầu trên
của sợi dây được buộc cố định. Bỏ qua ma sát của lực cản của không khí. Kéo con lắc lệch khỏi
phương thẳng đứng một góc 0,1rad rồi thả nhẹ. Tỉ số độ lớn gia tốc của vật tại VTCB và độ lớn gia
tốc tại vị trí biên bằng: A: 0,1. B: 0. C: 10. D: 1.
Giải
Xét thời điểm khi vật ở M, góc lệch của dây treo là α
Vận tốc của vật tại M:
v
2
= 2gl( cosα - cosα
0
) > v =
0
)cos2gl(cos
αα
−
a =
22
ttht
aa +
a
ht
=
l
v

2
= 2g(cosα - cosα
0
)
a
tt
=
m
F
tt
=
m
P
α
sin

= gα
Tại VTCB:α = 0 > a
tt
= 0 nên a
0
= a
ht
= 2g(1-cosα
0
) = 2g.2sin
2
2
0
α

= g
2
0
α
Tại biên : α = α
0
nên a
ht
=0 > a
B
= a
tt
= gα
0

Do đó :
B
a
a
0
=
0
2
0
α
α
g
g

= α

0
= 0,1 . chọn đáp án A
A’
A
O M
α
0
α
A’
A
O M
F
tt
α
0
α
Câu 8 : một con lắc đơn dao động điều hòa,nếu giảm chiều dài con lắc đi 44cm thì chu kì giảm đi
0,4s.lấy g=10m/s
2
.π
2
=10,coi rằng chiều dài con lắc đơn đủ lớn thì chu kì dao động khi chưa giảm
chiều dài là
A:1s B:2,4s C:2s D:1,8s
Giải:
T = 2π
g
l
; T’ = 2π
g

ll ∆−
>
T
T '
=
l
ll ∆−
>(
T
T '
)
2
=
l
ll ∆−
>(
T
TT '∆−
)
2
=
l
ll ∆−
< > 1 -
T
T∆2
+ (
T
T∆
)

2
= 1 -
l
l∆
< >
T
T∆2
- (
T
T∆
)
2
=
l
l∆
(*)
T = 2π
g
l
> l =
2
2
4
π
gT
=
4
2
T
T

T∆2
- (
T
T∆
)
2
=
l
l∆
=
2
4
T
l∆
< >
T
8,0
-
2
2
4,0
T
=
2
44,0.4
T
>
T
8,0
=

2
92,1
T
>
T
92,1
= 0,8 > T = 2,4 (s). Chọn đáp án B
Câu 9: Một con lắc đơn có chiều dài l= 40cm , được treo tại nơi có g = 10m/s
2
. Bỏ qua sức cản
không khí. Đưa con lắc lệch khỏi VTCB một góc 0,1rad rồi truyền cho vật nặng vận tốc 20cm/s
theo phương vuông góc với dây hướng về VTCB. Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng của vật nặng,
gốc thời gian lúc gia tốc của vật nặng tiếp tuyến với quỹ đạo lần thứ nhất. Viết phương trình dao
động của con lắc theo li độ cong
A. 8cos(25t +π) cm B. 4
2
cos(25t +π) cm
C. 4
2
cos(25t +π/2) cm D. 8cos(25t) cm
Giải:
Phương trình dao động của con lắc theo li độ cong có dạng
s = S
max
cos( ωt + ϕ)
Gọi α
m
là biên độ góc của dao độngn của con lắc đơn
Khi đo biên độ của tọa độ cong S
max

= α
m
l
α
0
= 0,1 rad.
Theo ĐL bảo toàn năng lượng ta có
mgl(1-cosα
m
) = mgl(1-cosα
0
) +
2
2
0
mv
< >
mgl
2
2
max
α
= mgl
2
2
0
α
+
2
2

0
mv
< >
2
max
α
=
2
0
α
+
gl
v
2
0
= 0,1
2
+ 0,01
< > α
max
= 0,141 = 0,1
2
(rad) < > S
max
= α
m
l = 0,04
2
(m) = 4
2

(cm) (*)
Tần số góc của dao động ω =
l
g
= 25 rad/s
Gốc thời gian t = 0 khi gia tốc của vật nặng tiếp tuyến với quỹ đạo lần thứ nhất tức là gia tốc
hướng tâm a
ht
= 0 > v = 0: tức là lúc vật ở biên âm (ở điểm A).
Khi t = 0 s = -S
max
> ϕ = π.
Vậy: Phương trình dao động của con lắc theo li độ cong s = S
max
cos( ωt + ϕ)
s = 4
2
cos( ωt +π ) (cm). Chọn đáp án B
Câu 10. Một con lắc đơn gồm vật có khối lượng m, dây treo có chiều dài l = 2m, lấy g = π2. Con
lắc dao động điều hòa dưới tác dụng của ngoại lực có biểu thức F = F0cos(ωt + π/2) N. Nếu chu kỳ
A
O M
0
α
maxα0
T của ngoại lực tăng từ 2s lên 4s thì biên độ dao động của vật sẽ:
A tăng rồi giảm B chỉ tăng C chỉ giảm D giảm rồi tăng
Giải;
Chu kỳ doa động riêng của con lắc đơn T
0

= 2π
g
l
= 2π
2
2
π
= 2
2
(s)
Khi tăng chu kì từ T
1
= 2s qua T
0
= 2
2
(s) đến T
2
= 4(s), tấn số sẽ giảm từ f
1
qua f
0
đến

f
2
.Biên độ
của dao động cưỡng bức tăng khi f tiến đến f
0
.

Do đó trong trường hợp nay ta chọn đáp án A. Biên độ tăng rồi giảm
Câu 11:con lắc đơn dao động trong môi trường không khí.Kéo con lắc lệch phương thẳng đứng
một góc 0,1 rad rồi thả nhẹ.biết lực căn của không khí tác dụng lên con lắc là không đổi và bằng
0,001 lần trọng lượng của vật.coi biên độ giảm đều trong từng chu kỳ.số lần con lắc qua vị trí cân
băng đến lúc dừng lại là:
A: 25 B: 50 c: 100 D: 200
Giải: Gọi ∆α là độ giảm biên độ góc sau mỗi lần qua VTCB. (∆α< 0,1)
Cơ năng ban đầu W
0
= mgl(1-cosα) = 2mglsin
2
2
α
≈ mgl
2
2
α
Độ giảm cơ năng sau mỗi lần qua VTCB:
∆W =
])(.2[
2
])([
2
222
αααααα
∆−∆=∆−−
mglmgl
(1)
Công của lực cản trong thời gian trên:
A

cản
= F
c
s = 0,001mg(2α - ∆α)l (2)
Từ (1) và (2), theo ĐL bảo toàn năng lượng: ∆W = A
c


])(.2[
2
2
ααα
∆−∆
mgl
= 0,001mg(2α - ∆α)l
> (∆α)
2
– 0,202∆α + 0,0004 = 0 > ∆α = 0,101 ± 0,099. Loại nghiệm 0,2
ta có ∆α= 0,002
Số lần vật qua VTCB N =
50
002,0
1,0
==
∆
α
α
. Chọn đáp án B.
Câu 12 : Một con lắc đơn: có khối lượng m1 = 400g, có chiều dài 160cm. ban đầu người ta kéo vật
lệch khỏi VTCB một góc 60

0
rồi thả nhẹ cho vật dao động, khi vật đi qua VTCB vật va chạm mềm
với vật m2 = 100g đang đứng yên, lấy g = 10m/s
2
. Khi đó biên độ góc của con lắc sau khi va chạm
là
A. 53,13
0
. B. 47,16
0
. C. 77,36
0
. D.53
0
.
Giải: Gọi v
0
vận tốc của m
1
trước khi va chạm với m
2
; v vận tốc của hai vật ngay au va chạm
Theo ĐL bảo toàn động lượng ta có: m
1
v
0
= (m
1
+ m
2

)v > v =
21
1
mm
m
+
v
0
=
5
4
v
0
(*)
Theo ĐL bảo toàn cơ năng cho hai trường hợp:

2
2
01
vm
= m
1
gl(1- cosα
0
) (**)
2
)2(
2
1
vmm +

= (m
1
+ m
2
)gl(1- cosα) (***)
Từ (**) và (***)
0
cos -1
cos -1
α
α
=
2
0
2
v
v
=
25
16
>
1- cosα) =
25
16
(1- cosα
0
) =
25
16
2

1
=
25
8
= 0,32
cosα = 0,68 > α = 47,156
0
= 47,16
0
. Chọn đáp án B
Câu 13 : Một con lắc đơn đếm giây có chu kì bằng 2s, ở nhiệt độ 20
o
C và tại nơi có gia tốc trọng
trường 9,813 m/s
2
, thanh treo có hệ số nở dài là 17.10
–6
K
–1
. Đưa con lắc đến nơi có gia tốc trọng
trường là 9,809 m/s
2
và nhiệt độ 30
0
C thì chu kì dao động là :
A. ≈ 2,0007 (s) B. ≈ 2,0232 (s) C. ≈ 2,0132 (s) D. ≈ 2,0006 (s)
Giải: Chu kì dao động của con lắc đơn:
T = 2π
g
l

T’ = 2π
'
'
g
l
với l’ = l(1+ α∆t
0
) = l(1 + 10α)
T
T '
=
l
l'
'g
g
=
α
101+
'g
g
Do α << 1 nên
α
101+
≈ 1 +
2
'1
10α = 1+5α
> T’ = (1+5α)T
'g
g

= ( 1 + 5.17.10
-6
).2.
809,9
813,9
≈ 2,00057778 (s) ≈ 2,0006 (s)
Câu 14: Một con lắc đơn có chiều dài 1m, đầu trên cố định đầu dưới gắn với vật nặng có khối
lượng m. Điểm cố định cách mặt đất 2,5m. Ở thời điểm ban đầu đưa con lắc lệch khỏi vị trí cân
bằng một góc (α = 0,09 rad (goc nhỏ) rồi thả nhẹ khi con lắc vừa qua vị trí cân bằng thì sợi dây bị
đứt. Bỏ qua mọi sức cản, lấy g = π
2
= 10 m/s
2
. Tốc độ của vật nặng ở thời điểm t = 0,55s có giá trị
gần bằng:
A. 5,5 m/s B. 0,5743m/s C. 0,2826 m/s D. 1 m/s
Giải:
Chu kì dao động của con lắc đơn T = 2π
g
l
= 2 (s).
Thời gian đễn VTCB là T/4 = 0,5 (s)
Khi qua VTCB sợi dây đứt, chuyển động của vật là CĐ ném ngang từ độ cao h
0
= 1,5m với vận tốc
ban đầu xác định theo công thức:
2
2
0
mv

= mgl(1-cosα) = mgl2sin
2
2
α


= mgl
2
2
α
>
v
0
= πα
Thời gian vật CĐ sau khi dây đứt là t = 0,05s. Khi đó vật ở độ cao
h = h
0
-
2
2
gt
> h
0
– h =
2
2
gt
mgh
0
+

2
2
0
mv
= mgh +
2
2
mv
> v
2
= v
0
2
+ 2g(h
0
– h) = v
0
2
+ 2g
2
2
gt
v
2
= v
0
2
+ (gt)
2
v

2
= (πα)
2
+ (gt)
2
> v = 0,5753 m/s
Bài 15: Một con lắc đơn gồm vật nặng khối lượng m, dây treo có chiều dài l dao động điều hòa với
biên độ góc
0
α
tại một nơi có gia tốc trọng trường g. Độ lớn lực căng dây tại vị trí có động năng
gấp hai lần thế năng là
A:
( )
0
2 2cosT mg
α
= −
B:
( )
0
4 cosT mg
α
= −
C:
( )
0
4 2cosT mg
α
= −

D:
( )
0
2 cosT mg
α
= −
Giải: Xét con lắc ở vị trí M, dây treo tạo với phương thẳng đứng góc α
Tốc độ của vật tại M
v =
)cos2gl(cos
0
αα
−
T + P = F
ht
Lực căng tại vị trí M
T = F
ht
+ Pcosα =
l
mv
2
+ mgcosα
T = mg(3cosα - 2cosα
0
) (*)
Khi W
đ
= 2W
t

> 3W
t
= W
0
3mgl(1-cosα) = mgl(1 – cosα
0
) > 3cosα = 2 + cosα
0
(**)
Do đó T = mg(2 – cosα
0
). Đáp án D
Câu 16: Đưa vật nhỏ của con lắc đơn đến vị trí dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc 5
0
rồi
thả nhẹ cho dao động. Khi dao động vật luôn chịu tác dụng bởi một lực cản có độ lớn bằng 1%
trọng lượng vật. biết biên độ của vật giảm đều trong từng chu kỳ. Sau khi qua vị trí cân bằng được
20 lần thì biên độ dao động của vật là:
A. 4,9
0
B. 4,6
0
C. 4,7
0
D. 4,8
0

Giải:
α
0

= 5
0
= 0,0,0872rad.
Cơ năng ban đầu W
0
= mgl(1-cosα
0
) = 2mglsin
2
2
0
α
≈ mgl
2
2
0
α
Độ giảm cơ năng sau mỗi lần qua VTCB: ∆W = mgl(
2
22
0
αα
−
) = A
Fc
= F
c
l(α
0
+ α)

Độ giảm biên độ góc sau mỗi lần qua VTCB: ∆α = α
0
– α =
mg
F
c
2
=
mg
mg01,0.2
= 0,02
Sau khi qua vị trí cân bằng được 20 lần thì biên độ dao động của vật là:
α
20
= α
0
– 20∆α = 5
0
– 20.0,02
0
= 4,6
0
. Đáp án B.
A’
O M
F
tt
A
α
0

α