§5. DÃY SỐ HỘI TỤ VÀ DÃY SỐ PHÂN KỲ docx

§5. DÃY SỐ HỘI TỤ VÀ DÃY SỐ PHÂN KỲ
1) Đònh nghóa dãy số:
Một hàm số x xác đònh trên tập hợp các số tự nhiên được
gọi là dãy số. Đối với dãy số, người ta thường viết
n
x
thay cho kiểu
viết thông thường của hàm số là
()xn
, với mỗi
.n
Dãy số này
được ký hiệu là
n
n
x
hoặc viết gọn là
n
x
.
Tập hợp
n
xn
được gọi là miền giá trò của dãy số. Dãy
số được gọi là bò chặn trên hoặc bò chặn dưới hoặc là bò chặn nghóa là
miền giá trò của dãy có tính chất bò chặn trên, bò chặn dưới hoặc là
bò chặn.
Cho số và hai dãy
,
nn
xy

thì ta có thể lập ra nhiều dãy
số mới như
; ; ;
n n n n n n n
x x y x y x y
và
n
n
x
y
(nếu
0,
n
yn
).
2) Dãy số hội tụ và dãy số phân kỳ:
Dãy số
n
x
được gọi là có giới hạn hoặc là hội tụ nghóa là
tồn tại một số thực x sao cho

0, , ,
n
p n p x x

Số x được gọi là giới hạn của dãy (x
n
) và được ký hiệu là
lim

n
n
xx

hay viết gọn là
lim
n
xx
, hoặc là
n
xx
khi
n
.
Dãy số không có giới hạn hay không hội tụ được gọi là dãy số
phân kỳ.
Hệ quả. (i)
lim lim( ) 0.
nn
x x x x

(ii)
lim 0 lim 0.
nn
xx

3) Dãy số Cauchy:
Dãy số (x
n
) được gọi là dãy Cô-si nghóa là

0, , ,
nm
p n m p x x

4) Sự phân kỳ ra vô cực:
Dãy số
()
n
x
được gọi là phân kỳ ra dương vô cực hoặc tiến ra
dương vô cực (
n
x
) nghóa là:
0, , , .
n
M p n p x M

Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung
2

Dãy số
()
n
x
được gọi là phân kỳ ra âm vô cực hoặc tiến ra âm
vô cực (
n
x

) nghóa là:
0, , , .
n
M p n p x M


Bài tập
1. Dùng đònh nghóa, hãy chứng minh dãy số (x
n
) đònh bởi
a)
,,
23
n
n
xn
n
hội tụ về
1
2
.
b)
2
2
1
,
21
n
n
xn

nn
, hội tụ về ½.
2. a) C/m rằng nếu dãy số (x
n
) hội tụ (về x) thì dãy số đó bò chặn.
b) C/m rằng nếu dãy số (x
n
) là dãy Cauchy thì nó bò chặn.
3. C/m rằng nếu (x
n
) có giới hạn thì giới hạn là duy nhất.
4. C/m rằng nếu (x
n
) hội tụ (về x) thì dãy số đó là dãy Cô-si. (Chiều
ngược lại sẽ được xét ở bài học sau).
5. C/m rằng dãy số (s
n
) đònh bởi
2 2 2
1 1 1
1
23
n
s
n
là dãy
Cô-si. Hdẫn: khi xét
nm
ss
, sử dụng

2
( 1), .k k k k

6. C/m rằng dãy số (s
n
) đònh bởi
11
1
2
n
s
n
không phải là
dãy Cô-si.
7. Cho số thực và
lim .
n
xx
C/m
lim( ) .
n
xx

8. Cho
lim và lim
nn
x x y y
. C/m
lim( ) .
nn

x y x y

9. Cho
lim và lim
nn
x x y y
. C/m
lim( ) .
nn
x y xy

10. a) Cho (x
n
) hội tụ và
0
0,
n
x n n
(n
0
là số tự nhiên nào đó).
C/m
lim 0.
n
x

b) Cho hai dãy hội tụ (x
n
) và (y
n

) và
0
,
nn
x y n n
. C/m
lim lim .
nn
xy

c) Cho hai dãy số (x
n
) và (y
n
) hội tụ về cùng giới hạn là a. Giả sử
(z
n
) là dãy số thỏa
0
,.
n n n
x z y n n
Khi đó
lim .
n
za


§6. CÁC TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ HỘI TỤ
Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến

3


1) Giới hạn bảo toàn các phép tính của dãy:
Cho hai dãy số hội tụ (x
n
) và (y
n
) và cho số thực . Khi đó
(i)
lim( ) lim lim
n n n n
x y x y

(ii)
lim( ) lim và lim( ) lim . lim .
n n n n n n
x x x y x y

(iii) Nếu
0
lim 0 và 0,
nn
y y n n
(n
0
là số tự nhiên nào đó) thì
lim
lim .
lim

nn
nn
xx
yy

2) Giới hạn bảo toàn thứ tự các dãy:
Cho hai dãy số hội tụ (x
n
) và (y
n
)
(i) Nếu
0
,
nn
x y n n
(với n
0
nào đó) thì
lim lim .
nn
xy

(ii) [tiêu chuẩn “giới hạn kẹp”] Nếu
lim lim
nn
x y a
và có thêm
dãy số (a
n

) thỏa
0
,
n n n
x a y n n
thì
lim .
n
aa


3) Tính chất bò chặn của dãy hội tụ: dãy số nào hội tụ thì dãy số
đó bò chặn.
Như vậy, dãy số nào không bò chặn thì dãy số đó phân kỳ.

4) Các giới hạn cơ bản:
(i) Với r > 0, ta có
1
lim 0,
r
n
n

(ii) Với r > 0, ta có
lim 1,
n
n
r
(iii)
lim 1,

n
n
n

(iv) Với r > 0 và , ta có
lim 0,
(1 )
n
n
n
r

(v) Với
1x
, ta có
lim 0.
n
n
x

Chứng minh.
Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung
4

(i) Với
0
tùy ý, chọn
1/
1
1.

r
p
Khi đó
11
,0
rr
np
np
Như vậy giới hạn được chứng minh theo
đònh nghóa.
(ii) Xét trường hợp r > 1 và xét dãy (x
n
) đònh bởi
1, .
n
n
x r n

Theo khai triển của nhò thức Newton thì
(1 )
n
nn
r x nx
(do
0
n
x
) nên
,0 .
n

r
nx
n
Dùng tiêu chuẩn giới hạn kẹp thì
lim 0,
n
x
suy ra
lim 1.
n
r

Trường hợp r = 1 thì hiển nhiên. Khi 0 < r < 1 thì
1
1s
r
,
áp dụng trường hợp trước, ta có
11
lim 1 lim .
lim
n
nn
s
rr
Vậy
lim 1.
n
r

(iii) Vì
, 1 0
n
n
n x n
nên
2 2 2
( 1)
2, (1 )
2
n
n n n n
nn
n n x C x x
(khai triển nhò thức
Newton). Từ đó ta suy ra
1/ 2
2
2, 0 .
( 1)
n
nx
n
Dùng tiêu chuẩn
giới hạn kẹp và kết quả (i) ta suy ra
0.
n
x
Vậy
lim 1.

n
n

(iv) Để dễ hình dung, ta xét thì
33
(1 ) , 3.
n
n
r C r n

(Trường hợp tổng quát, chọn số tự nhiên
[ ] 1k
thì ta có
(1 ) ,
n k k
n
r C r n k
). Ta suy ra, với mọi
3n
thì
2,7 2,7 2,7 3
3 3 3 3 3 0,3
3! 6 1
0.
( 1)( 2)
(1 ) ( 2)
n
n
n n n n
n n n

r C r r r n n

Dùng tiêu chuẩn giới hạn kẹp và kết quả câu (i), ta có đpcm.
Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến
5

(v) Khi x = 0 thì hiển nhiên. Nếu
01x
, chọn
1
0
x
r
x
thì
ta có
1
1
x
p
và
1
00
(1 )
n
n
n
xx
r
khi

.n


Bài tập
1. Với tập con A của khác rỗng bò chặn trên, hãy chứng minh
rằng có dãy số
()
n
xA
sao cho
sup
n
xA
khi
.n
Phát
biểu kết quả tương tự khi A bò chặn dưới.
2. Cho dãy số (x
n
) bò chặn trên và có tính chất
1
,.
nn
n x x

Chứng minh rằng (x
n
) là dãy hội tụ.
3. Cho dãy số (x
n

) bò chặn dưới và có tính chất
1
,.
nn
n x x

Chứng minh rằng (x
n
) là dãy hội tụ.
4. Cho dãy số (x
n
) hội tụ về 0 và dãy số (y
n
) bò chặn. C/m rằng dãy
số (x
n
y
n
) hội tụ về 0 (tích của một dãy hội tụ về 0 với một dãy bò
chặn là một dãy hội tụ về 0).
5. Cho (x
n
) là dãy số dương hội tụ về x > 0. Chứng minh rằng
lim 1.
n
n
n
x
Nếu x = 0 thì kết quả còn đúng không?
6. Tính a)

2
lim 2
n
n
nn
b)
3
lim 3 7 2
n
n
nn
.
7. Với số thực x tùy ý, chứng minh rằng có một dãy (q
n
) gồm các số
hữu tỉ và một dãy (r
n
) gồm các số vô tỉ sao cho
n
qx
và
n
rx
khi
n
.
8. Cho dãy số (e
n
) đònh bởi
1

1.
n
n
e
n
Chứng minh rằng
a)
1
,.
nn
n e e
Hdẫn:
1
2
21
1
1
( 1)
n
n
n
e
n
en
n
, dùng bất
đẳng thức Bernouli.
b) (e
n
) bò chặn trên. Hdẫn: khai triển nhò thức Newton sẽ cho

thấy
21
1 1 1 1 1 1 1
11
1! 2! ! 1 2
22
n
n
x
n
.