Bài tập giải tích 12 - Tích Phân pot

Gv: Nguyn Tt Thu Bi tp Gii Tớch 12
Trang
1

TCH PHN

1. nh ngha: Cho hm s y=f(x) liờn tc trờn K; a,b l hai phn t bt kỡ thuc K,
F(x) l m
t nguyờn hm ca f(x) trờn K. Hiu s F(b)-F(a) gi l tớch phõn ca ca f(x)
t
a ủn b v ủc kớ hiu:
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= =


2. Cỏc tớnh ch
t ca tớch phõn:

b
a
a
(1) ( ) 0
(2) ( ) ( )
(3) . ( ) . ( )
(4) [ ( ) ( )] ( ) ( )
(5) f(x) ( ) ( )

(6) Neỏu ( ) 0 treõn [a;b] ( ) 0
(7) Neỏu ( ) ( ) tre
a
a
a b
b a
b b
a a
b b b
a a a
c b
a c
b
f x dx
f x dx f x dx
k f x dx k f x dx
f x g x dx f x dx g x dx
dx f x dx f x dx
f x f x dx
f x g x
=
=
=
=
= +

õn [a;b] ( ) ( )
(8) ( ) treõn [a;b] ( - ) ( ) ( )
(9) t bieỏn thieõn treõn [a;b] ( ) ( ) laứ m
oọt nguyeõn haứm cuỷa ( ) vaứ ( ) 0
b b
a a
b
a
t
a
f x dx g x dx
m f x M m b a f x M b a
G t f x dx f t G a


= =




3. Cỏc vớ d
:
*Chỳ ý:
tớnh tớch phõn
( )
b
a

I f x dx
=

ta phõn tớch
1 1
( ) ( ) ( )
m m
f x k f x k f x
= + +

Trong
ủú cỏc hm
( )
i
f x
cú trong bng nguyờn hm.
Bi 1: Tớnh cỏc tớch phõn sau
Gv: Nguyễn Tất Thu Bài tập Giải Tích 12
Trang
2


π
−
+ + + −
∫ ∫ ∫
1 2
3
3 2
2

0 0 2
2
1) ( 2 1) 2) (2sin 3cos - ) 3)
| 1|
cos
x x x dx x x dx x dx
x

π π
π
π
π
π
π
π
π
+ − +
−
+ +
+
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
2
22 2
3
2
2
0 1
-

2
1
3
4
4
2
0 0
6
1
3
2
4
0
4
2 3 1
4) sin (2 ) 5) sin2 .sin3 6)
4
cos2
7) cos 2 8) 9)
1
sin 2
10) 11)
1
x x x x x
x dx x x dx
x
x dx
xdx dx
x x
x

x
dx tg xdx
x
−
∫
2
2
0
12) |x |x dx

Chú ý: ðể tính
2
2
' '
( 4 0)
a x b
I dx b ac
ax bx c
+
= − ≥
+ +
∫
ta làm như sau

TH1: Nếu
2
4 0
b ac
− =
, khi ñó ta luôn có sự phân tích

2 2
( )
2
b
ax bx c a x
a
+ + = +
2 2
' '
'( ) ' '
'
2 2 2
( ) ( )
2 2 2
b ba ba
a x b b
a dx dx
a a a
I dx
b b b
a a
a x x x
a a a
+ + − −
⇒
= = +
+ + +
∫ ∫ ∫

TH2: Nếu

2 2
1 2
4 0 ( )( )
b ac ax bx c a x x x x
− > ⇒ + + = − − . Ta xác ñịnh A,B sao cho
1 2
' ' ( ) ( )
a x b A x x B x x
+ = − + −

1 2
'
'
A B a
Ax Bx b
+ =

⇔

+ = −


1 2
1 2 2 1
1 ( ) ( ) 1
( )
( )( )
A x x B x x A B
I dx dx
a x x x x a x x x x

− + −
= = +
− − − −
∫ ∫
.

Bài 2: Tính các tích phân sau
+
− + − + + + +
∫ ∫ ∫ ∫
1
5 1 1
4 32
2 2 2 2
4 0 0 0
x 4 11 x
1) 2) 3) 4)
5 6 1 5 6 2 1
dx x
dx dx dx
x x x x x x x

Gv: Nguyễn Tất Thu Bài tập Giải Tích 12
Trang
3

+ + + + + +
= = =
− − + + −
∫ ∫ ∫

1 2 3
2 3 2
2 2 3
0 0 2
2 3 2 3 2 2 3
5) 6) 7)
2 3 2
x x x x x x
I dx I dx I dx
x x x x x x

Bài 3: Tính
2
0
cos
sin 2cos
x
I dx
x x
π
=
+
∫

Ta xác ñịnh A,B sao cho:
cos (sin 2cos ) (cos 2sin )
x A x x B x x
= + + −
2 1
,

5 5
A B
⇒ = =

2
2
0
0
2 1 cos - 2sin 2 1 ln2
( ) ( ln |sin 2cos |)
5 5 sin 2cos 5 5 5
x x
I dx x x x
x x
π
π
π
−
⇒ = + = + + =
+
∫

Chú ý: *
ðể chứng minh BðT có dạng
( )
b
a
q f x dx p
≤ ≤
∫

. Ta chứng minh
( )
m f x M
≤ ≤

[ ; ] ( ) ( ) ( )
b
a
x a b m b a f x dx M b a
∀ ∈
⇒
− ≤ ≤ −
∫
, khi ñó
( ) ; ( )
m b a q M b a p
− = − =

ðể chứng minh
( ) [ ; ]
m f x M x a b
≤ ≤ ∀ ∈
ta có thể ñánh giá trực tiếp hoặc ta khảo sát
hàm f(x) trên [a;b] với chú ý: Nếu f(x) lt trên [a;b] thì
[ ; ]
[ ; ]
min ( ) ( ) ( )
a b
a b
f x f x Max f x

≤ ≤

* ðể chứng minh BðT có dạng
( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx
≤
∫ ∫
ta c/m
( ) ( ) [ ; ]
f x g x x a b
≥ ∀ ∈

Bài 4: Chứng minh các BðT sau
π
π π
π
π
π π
− −
−
≤ + ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
+
≤ ≤ ≤ ≤ ≤
≤ ≤
+
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫

3
2
1 1 2
2
3
1 1 0
2
3
2 2
2
4
0 0 0
6
6
2
0
2 2
1) 4 4 2 5 2) 3) 1 2 4
9 7
8
2 3 sin 1
4) 2 5) sin2 2 cos 6)
4 2
7)
60 36
9 4sin
x
x x
dx
x dx dx

x
x
e dx e xdx xdx dx
x
e
dx
x
π π
π
+ ≤
∫ ∫
2 2
9 8
0 0
8) cos sin
2
xdx xdx

π π
+ ≤ + ≤
∫ ∫ ∫
1
4 4
2 2
0 0 0
9) | sin cos | 10) sin cos
a x b x dx a b xdx xdx


Gv: Nguyễn Tất Thu Bài tập Giải Tích 12

Trang
4

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

I. Phương pháp ñổi biến số dạng 1
Gi
ả sử cần tính
( )
b
a
I f x dx
=
∫
ta thực hiện các bước sau
B1:
ðặt
( )
x u t
=
(với u(t) là hàm có ñạo hàm liên tục trên
[ ; ]
α β
, f(u(t)) xác ñịnh trên
[ ; ]
α β
và
( ) , ( )
u a u b
α β

= =
) và xác ñịnh
,
α β

B2: Thay vào ta có:
( )
( ( )). '( ) ( ) ( ) ( )I f u t u t dt g t dt G t G G
β β
β
α
α α
β α
= = = = −
∫ ∫

M
ột số dạng thường dùng phương pháp ñổi biến số dang 1
* Hàm s
ố dưới dấu tích phân chứa
−
2 2 2
a b x
ta thường ñặt
=
sin
a
x t
b

* Hàm số dưới dấu tích phân chứa
−
2 2 2
b x a
ta thường ñặt
=
sin
a
x
b t

* Hàm số dưới dấu tích phân chứa
+
2 2 2
a b x
ta thường ñặt
=
a
x tgt
b

* Hàm số dưới dấu tích phân chứa −
( )
x a bx
ta thường ñặt =
2
sin
a
x t
b

Ví d
ụ 1: Tính các tích phân sau

1
2
0
1) 1
I x x dx
= −
∫

HD:
ðặt
sin cos .
x t dx t dt
= ⇒ =
. ðổi cận : Với
0 0; 1
2
x t x t
π
= ⇒ = = ⇒ =

2 2 2
2 2 2
0 0 0
1
sin 1 sin .cos . cos .sin cos . (cos )
3

I t t t dt t tdt t d t
π π π
= − = = − =
∫ ∫ ∫


=
−
∫
2
1
2
0
2)
4 3
x
I dx
x
HD: ðặt =
2
sin
3
x t


1
2
0
3)
3 -2 -

x
I dx
x x
=
∫
HD: ðặt
1 2sin
x t
− =


2
2
1
1
4)
x
I
x
−
=
∫
HD: ðặt
1
sin
x
t
=

Gv: Nguyễn Tất Thu Bài tập Giải Tích 12

Trang
5


3
2
1
1
5)
(2 )
x
I dx
x x
+
=
−
∫
HD: ðặt
2
2sin
x t
=

Ví dụ 2: Tính các tích phân sau

=
+
∫
1)
1

2
0

1
dx
I
x

ðặt
2
(1 )
x tgt dx tg t dt
= ⇒ = +
. ðổi cận 0 0 ; 1
4
x t x t
π
= ⇒ = = ⇒ =

2
4 4
2
0 0
(1 )
4
1
tg t dt
I dt
tg t
π π

π
+
= = =
+
∫ ∫

=
+ +
∫
2)
1
2
0

1
dx
I
x x
HD: ðặt
1 3
2 2
x tgt
+ =
0
2 2
1

( 2 2)
dx
I

x x
−
=
+ +
∫
3)
HD: ðặt x+1=tgt
= +
∫
4)
2 3
2 2
2
4
I x x HD: ðặt x=2tgt
* Chú ý: Tích phân
( )
b
a
I f x dx
=
∫
chỉ phụ thuộc vào f, a và b không phụ thuộc vào biến,
nghĩa là
( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x dx f y dy f t dt
= = =
∫ ∫ ∫

Ví dụ 3: Tính các tích phân sau

π
=
+
∫
1)
4
2
4 4
0
sin

sin cos
x
I dx
x x

ðặt
2
x t dx dt
π
= −
⇒
= −
. ðổi cận
0 ; 0
2 2
x t x t

π π
=
⇒
= =
⇒
=

4
4 4
0
2 2
4 4 4 4
4 4
0 0
2
sin ( )
os os
2
sin os sin os
sin ( ) os ( )
2 2
t
c t c x
I dt dt dx
t c t x c x
t c t
π π
π
π
π π

−
= − = =
+ +
− + −
∫ ∫ ∫

4 4
2 2 2
4 4 4 4
0 0 0
sin os
2
2 4
sin os sin os
x c x
I dx dx dx I
x c x x c x
π π π
π π
⇒
= + = =
⇒
=
+ +
∫ ∫ ∫
.
Gv: Nguyễn Tất Thu Bài tập Giải Tích 12
Trang
6

4
0
ln(1 )
I tgx dx
π
= +
∫
2) ðặt
4
x t dx dt
π
= −
⇒
= −
ðổi cận
0 ; 0
4 4
x t x t
π π
=
⇒
= =
⇒
=

0
4 4 4
0 0 0
4
1

ln[1 ( )] ln(1 ) [ln2 ln(1 )] ln2.
4 1
ln2 .ln2
2 .
4 8
tgt
I tg t dt dt tgt dt dt I
tgt
I I
π π π
π
π
π π
−
= − + − = + = − + = −
+
⇒ = ⇒ =
∫ ∫ ∫ ∫

Ví d
ụ 4: Chứng minh các công thức sau

π π
=
∫ ∫
1)
2 2
0 0
sin cos
n n

xdx xdx
HD: ðặt
2
x t
π
= −
.
2) Cho
( )
a
a
I f x dx
−
=
∫
. Cmr: a)
0
2 ( )
a
I f x dx
=
∫
nếu f(x) là hàm số chẵn
b)
0
I
=
nếu f(x) là hàm số lẻ
3) Cmr n
ếu f(x) là hàm số chẵn thì

0
( ) 1
( )
2
1
b b
x
b
f x
dx f x dx
a
−
=
+
∫ ∫
.
Áp d
ụng: Tính
2
2
2
2 1
2 1
x
x
I dx
−
+
=
+

∫
.
4) Cmr
0 0
(sin ) (sin )
2
xf x dx f x dx
π π
π
=
∫ ∫
(HD: ðặt
x t
π
= −
).
Áp d
ụng: Tính
2
0
sin
4 sin
x x
I dx
x
π
=
+
∫
.

Bài t
ập: Tính các tích phân sau
+
−
= − = − =
−
= + = =
− −
= = =
+ + + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
2
21
2
2 2 2 3 2
2
0 0 0
1
23 1
2
2 2 2
2 2
1
0 0
4
0 1 1
2
2 3 2 3

1
0 0
2
1) 2) 1 3)
1
4) 5) 6)
2
7) 8) 9)
( 1) 1 1
a
a
p
p
x
I x a x I x x dx I dx
x
dx x
I x x a dx I I
x x x x
dx x x
I I dx I dx
x x x x

Gv: Nguyễn Tất Thu Bài tập Giải Tích 12
Trang
7

π
π
π

π
−
= = =
+ +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
3
4
2
2
9
0 0
4
2 21 3
4
2006 2007
2
1
1
2 4
sin sin 2
10) 11) 3 - 12)
9 4cos sin 2 cos 2
1-x 1+x
13) I= 14) I= 15) I= cos .sin .
n
n n
x x x
I dx I x x dx I dx
x x x

dx x x dx
x
x

16) Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn
( ) ( ) 2 2cos2
f x f x x
+ − = −
. Tính
2
2
( )
I f x dx
π
π
−
=
∫

17) Tính tích phân sau:
1
2 3
1
[ln( 1)]
I x x dx
−
= + +
∫

18) Cho f là hàm liên t

ục trên [a;b]. Cmr:
1
0
( ) ( ) ( ( ) )
b
a
f x dx b a f a b a x dx
= − + −
∫ ∫


II. Phương pháp ñổi biến số loại 2
ðể tính tích phân
( )
b
a
I f x dx
=
∫
, nếu f(x)=g(u(x)).u’(x), ta có thể thực hiện phép ñổi biến
nh
ư sau
B1:
ðặt
( ) '( )
t u x dt u x dx
=
⇒
=
.

ðổi cận
( ), ( )
x a t u a x b t u b
=
⇒
= =
⇒
=

B2: Thay vào ta có
( )
( )
( ) ( )
u b
b
a
u a
I g t dt G t
= =
∫

Ví d
ụ 1: Tính các tích phân sau

1
10
0
(2 1)
I x dx
= −

∫
1)

ðặt
2 1 2
2
dt
t x dt dx dx
= − ⇒ = ⇒ =
. ðổi cận
0 1; 1 1
x t x t
= ⇒ = − = ⇒ =

1
11
10 1
1
1
1 1 1
.
2 2 11 11
t
I t dt
−
−
= = =
∫

Gv: Nguyễn Tất Thu Bài tập Giải Tích 12

Trang
8


1
1
3

3 1
dx
I
x x
=
+
∫
2)

ðặ
t
2
1 2
3 1
3 3
t
t x x dx tdt
−
= +
⇒ = → =
.
ðổ

i c
ậ
n
1
2; 1 2
3
x t x t
= ⇒ = = ⇒ =

2 2 2
2
2
2 2
2 2 2
2 1 1 1 1 2 1
2 ( ) ln | | | ln ln
3 1 1 1 2
2 1
1 1
3
tdt dt t
I dt
t t t
t t
t
− −
= = = − = = −
− + +
+
− −

∫ ∫ ∫

*
Dạng tổng quát:

( ax+b)
I f dx
β
α
=
∫
.
ðặ
t
ax+b
t =

7
3
3
2
0

1
x
I dx
x
=
+
∫

3)
. HD: ðặt
2
1
t x
= +
ðS:
141
20
I =


1
5
0

(2 1)
xdx
I
x
=
+
∫
4) HD: ðặt
1
2 1
54
t x I= + ⇒ =

2
5
0
5) sin
I xdx
π
=
∫
Ta có:
2
2 2
0
(1 cos ) sin
I x xdx
π
= −
∫
. ðặt
sin cos
t x dt xdx
= ⇒ =

ðổi cận
0 0; 1
2
x t x t
π
= ⇒ = = ⇒ =
1 1
2 2 2 4

0 0
8
(1 ) (1 2 )
15
I t dt t t dt
⇒
= − = − + =
∫ ∫

*Chú ý: Từ ví dụ trên ta thấy khi gặp tích phân có dạng
sin
n
I xdx
=
∫

+ N
ếu n chẵn thì ta hạ bậc
+ Nếu n lẻ ta ñặt t=sinx

2
2sin
0
6) cos
x
I e xdx
π
=
∫
ðặt

2sin 2cos cos
2
dt
t x dt xdx xdx
=
⇒
=
⇒
=

ðổi cận
0 0; 2
2
x t x t
π
=
⇒
= =
⇒
=

2
2 2
0
0
1 1 1
| ( 1)
2 2 2
t t
I e dt e e

⇒
= = = −
∫


2
ln
7)
(ln 1)
e
e
x
I dx
x x
=
+
∫
ðặt
ln
dx
t x dt
x
=
⇒
=
. ðổi cận
2
1; 2
x e t x e t
=

⇒
= =
⇒
=

2 2
2
1
1 1
1 2
(1 ) ( ln(1 ))| 1 ln
1 1 3
t
I dt dt t t
t t
= = − = − + = +
+ +
∫ ∫

Gv: Nguyễn Tất Thu Bài tập Giải Tích 12
Trang
9


Ví d
ụ 2: Tính các tích phân sau

4
4
0

1)
I tg xdx
π
=
∫
ðặt
2
2
(1 )
1
dt
t tgx dt tg x dx dx
t
= ⇒ = + ⇒ =
+

ðổi cận
0 0; 1
4
x t x t
π
= ⇒ = = ⇒ =
ðS:
3 8
12
I
π
−
=
Chú ý:* Bài toán trên ta có thể giải cách khác như sau

4 4 4 4
4 2 2 2
0 0 0 0
3 8
( 1 1) ( 1)( 1) ( 1) ( )
4 12
I tg x dx tg x tg x dx dx tg x d tgx
π π π π
π π
−
= − + = − + + = − + =
∫ ∫ ∫ ∫

* Khi gặp tích phân
( )
b
a
I f tgx dx
=
∫

( (cot ) )
b
a
I f gx dx
=
∫
ta ñặt
( cot )
t tgx t gx

= =

2 2
( )
1 1
dt dt
dx dx
t t
⇒ = − =
+ +

32
3
3
3
sin sinx
2) cotgx.dx
sin
x
I
x
π
π
−
=
∫

Ta có
2 2
2

3
3
2 2 2
3 3
1 1 1
1 .cot . cot .cot .
sin sin sin
I gx dx g x gx dx
x x x
π π
π π
= − =
∫ ∫

ðặt
2
sin
dx
t cotgx dt
x
=
⇒
= −
. ðổi cận
1
; 0
3 2
3
x t x t
π π

= ⇒ = = ⇒ =

1 1
1
5 8
3 3
3
3
2
3
3 3
0
0 0
3 9 3
. |
8 8
I t tdt t dt t= = = =
∫ ∫

1 5
2
2
4 2
1
1
3)
1
x
I dx
x x

+
+
=
− +
∫

1 5 1 5
2 2
2 2
2 2
1 1
2
1 1
1 1
1 1
1 ( ) 1
x x
I dx dx
x x
x
x
+ +
+ +
= =
+ − − +
∫ ∫
. ðăt
1
t x
x

= −
(ðS:
4
I
π
=
)
Gv: Nguyễn Tất Thu Bài tập Giải Tích 12
Trang
10

Chú ý: Chúng ta cần lưu ý ñến các kết quả sau :

2
( )' 1
k k
x
x
x
± =
∓ và
2
2 2
2
( ) 2
k k
x x k
x
x
+ = ±

∓


ln 2
0
1
4)
1
x
x
e
I dx
e
−
=
+
∫

ðặt
1
1
x x
dt
t e dt e dx dx
t
= +
⇒
=
⇒
=

−
. ðổi cận
0 2; ln2 3
x t x t
=
⇒
= =
⇒
=

3
2
2 8
ln
( 1) 9
t
I dt
t t
−
= =
−
∫
.
*Chú ý: Khi gặp
( )
x
I f ae b dx
β
α
= +

∫
ta ñặt
x
dt
t ae b dx
t b
= +
⇒
=
−

6)
2
2 2
0
sin .cos
( , 0; )
sin cos
x x
I dx a b a b
a x b x
π
= ≠ ≠
+
∫

ðặt
2 2
2 2
( )sin cos

sin cos
sin cos
a b x x
t a x b x dt dx
a x b x
−
= + ⇒ =
+

ðổi cận
0 ;
2
x t b x t a
π
= ⇒ = = ⇒ =

1 1
a
b
I dt
a b
a b
⇒ = =
−
+
∫


2 2
0

7)
a
dx
I
x a
=
+
∫

Bài này ngoài cách
ñặt x= a.tgt ta có thể thực hiện phép ñặt như sau
ðặt
2 2
2 2 2 2 2 2
(1 )
x t dt dx
t x x a dt dx dx
t
x a x a x a
= + + ⇒ = + = ⇒ =
+ + +

ðổi cận
0 ; (1 2)
x t a x a t a
= ⇒ = = ⇒ = +
(1 2)
(1 2)
ln | ln(1 2)
a

a
a
a
dt
I t
t
+
+
= = = +
∫

*Chú ý: Nếu
2 2

dx
I
x a
=
−
∫
ta ñặt
2 2
t x x a
= + −

Bài tập
Gv: Nguyễn Tất Thu Bài tập Giải Tích 12
Trang
11

4
2
0
1 2sin
1)
1 sin2
x
I dx
x
π
−
=
+
∫
( ðH Khối B-2003)
2
1
2)
1 1
x
I dx
x
=
+ −
∫
(ðH Khối A-2004)
1
1 3ln ln
3)
e

x x
I dx
x
+
=
∫

(
ðH Khối B-2004)
2
0
sin2 sin
4)
1 3cos
x x
I dx
x
π
+
=
+
∫

(
ðH Khối A-2005)
2
0
sin2 .cos
5)
1 cos

x x
I dx
x
π
=
+
∫


(
ðH Khối B-2005)
2
sin
0
6) ( cos )cos
x
I e x xdx
π
= +
∫

(
ðH Khối D-2005)
2
2 2
0
sin2
7)
cos 4sin
x

I dx
x x
π
=
+
∫

(
ðH Khối A-2006)
ln 2
ln3
8)
2 3
x x
dx
I
e e
−
=
+ −
∫

(
ðH Khối B-2006)
4
3
0
cos2
9)
(sin cos 2)

x
I dx
x x
π
=
+ +
∫

2
4
sin cos
10)
1 sin2
x x
I dx
x
π
π
−
=
+
∫


9
3
1
11) 1
I x x dx
= −

∫

1
7
4
0
12)
1
x
I dx
x
=
+
∫


4
4
0
13)
cos
dx
I
x
π
=
∫

4
2

6
0
sin
14)
os
x
I x
c x
π
=
∫

3
2
15)
ln .ln(ln )
e
e
dx
I
x x x
=
∫


ln 3
0
16)
( 2) 1
x

x x
e
I dx
e e
=
+ +
∫


2
2
4
1
1
17)
1
x
I dx
x
+
=
+
∫

1
2
4
0
1
18)

1
x
I dx
x
−
=
+
∫


2
0
osx
18)
2+cos2x
c
I dx
π
=
∫





Gv: Nguyễn Tất Thu Bài tập Giải Tích 12
Trang
12

III. Phương pháp từng phần

Cho hai hàm s
ố u và v liên tục trên [a;b] và có ñạo hàm liên tục trên [a;b]. Khi ñó
b b
b
a
a a
udv uv vdu
= −
∫ ∫
(1)
ðể tính tích phân
( )
b
a
I f x dx
=
∫
bằng phương pháp từng phần ta làm như sau
B1: Ch
ọn u,v sao cho f(x)dx=udv (chú ý: dv=v’(x)dx). Tính v và du
B2: Thay vào công th
ức (1) và tính
b
a
vdu
∫

C
ần phải lựa chọn u và v hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm ñược v và tích phân
b

a
vdu
∫
dễ tính
h
ơn
b
a
udv
∫
. Ta thường gặp các dạng sau
D
ạng 1 :
sin
( )
cos
b
a
x
I P x dx
x
 
=
 
 
∫
ta ñặt
sin
( ),
cos

x
u P x dv dx
x
 
= =
 
 

D
ạng 2 :
( )
b
ax b
a
I P x e dx
+
=
∫
ñặt
( )
ax b
u P x
dv e dx
+
=



=




D
ạng 3 :
( )ln( )
b
a
I P x mx n dx
= +
∫
ñặt
ln( )
( )
u mx n
dv P x dx
= +


=


D
ạng 4 :
sin
cos
b
x
a
x
I e dx

x
 
=
 
 
∫
ðặt
sinx
cosx
x
u
dv e dx

 
=

 
 


=

ñể tính
b
a
vdu
∫
ta ñặt
sinx
cosx

x
u
dv e dx

 
=

 
 


=


* Chú ý : Có nhi
ều bài tuy không thuộc những dạng trên nhưng ta vẫn sử dụng phương
pháp t
ừng phần, sau ñây là một số ví dụ
Bài 1 : Tính các tích phân sau :

2 0
2
2 1 2
0 0 1
1
2 2
2 2
0 0 0
1) sin2 2) ( 2) 3) (2 1)ln( 2)
4) cos . 5) sin .ln(1 sin ) 6) ln( 1)

x
x
I x xdx I x e dx I x x x dx
I x e dx I x x dx I x x dx
π
π π
+
−
= = − = + + +
= = + = +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫

Gv: Nguyễn Tất Thu Bài tập Giải Tích 12
Trang
13

Giải :
1) ðặt
1
sin2
cos2
2
du dx
u x
dv xdx
v x
=

=



⇒
 
=
= −




2
2 2
0 0
0
1 1 1
.cos2 cos2 sin2
2 2 4 4 4
I x x xdx x
π
π π
π π
⇒ = − + = + =
∫

2)
ðặt
2 1
2 1
2
1

2
x
x
du dx
u x
v e
dv e
+
+
=

= −

 
⇒
 
=
=





2
3
2 1 2 2 1 2 1 2
0 0
0
1 1 1 5
( 2)

2 2 4 4
x x x
e e
I x e e dx e e
+ + +
−
⇒ = − − = − =
∫

3)
ðặt
2
3 2
1
ln( 2)
2
2 1
(2 1)
3 2
du dx
u x
x
dv x x dx
v x x x

=

= +

 

+
⇒
 
= + +



= + +



0
3 2
3 2 0
1
1
0
2 3 2 0
1
1
2 1 1 4 3 6
( )ln( 2)
3 2 6 2
1 32 1 4 5 16 119
(4 5 16 ) ( 16 32ln( 2)) ln2
6 2 6 3 2 3 396
x x x
I x x x x dx
x
x x dx x x x x

x
−
−
−
−
+ +
⇒ = + + + − =
+
= − − + − = − − + − + = −
+
∫
∫
4) ðặt :
2
2 2
2
0
2
2
0
sin
cos
1 1 1 1
cos . sin .
1
2 2 2 2
2
x x
x
x

du x
u x
I xe x e dx J
v e
dv e dx
π
π
= −

=

 
⇒ ⇒ = + = − +
 
=
=




∫

Tính
2
2
0
sin .
x
J x e dx
π

=
∫
: ðặt
2
2
cos
sin
1
2
x
x
du xdx
u x
v e
dv e dx
=

=

 
⇒
 
=
=





2

2
2 2
0
0
1 1 1 1
sin | cos .
2 2 2 2
x x
J e x xe dx e I
π
π
π
= − = −
∫

1 1 1 1 5 2 2
( )
2 2 2 2 4 4 5
I e I I I
π
π π
− −
⇒ = − + − ⇒ = ⇒ =

Gv: Nguyễn Tất Thu Bài tập Giải Tích 12
Trang
14

5) ðặt
cos

ln(1 sin )
1 sin
sin
cos
x
u x
du dx
x
dv xdx
v x

= +
=


⇒
+
 
=


= −


2 2
2
2
0
0 0
cos

cos .ln(1 sin ) (1 sin ) 1
1 sin 2
x
I x x dx x dx
x
π π
π
π
= − + + = − = −
+
∫ ∫

6)
ðặt
1
3
2
2
2 2 1
0
2
2
0
2
1
ln( 1)
1
ln( 1)|
2
1

1
2
x
du dx
x
u x
x
I x x dx
xdv xdx
v x

=


= +
 
+
⇒ ⇒ = + −
 
+=



=


∫

1
2 2 1

0
2
0
1 1 1 1 1
ln2 ( ) ln2 ( ln( 1))| ln2
2 2 2 2 2
1
x
I x dx x x
x
= − − = − − + = −
+
∫

Bài 2 : Tính các tích phân sau
1
3
2 2 2
2
0 0 0
2
2 2 2
2
0
6
sin
1) 2) 3) ln( 1 )
cos
4) 5)
sin

a
a
x x
I x a dx I dx I x x dx
x
xdx
I I x x a dx
x
π
π
π
= + = = + +
= = +
∫ ∫ ∫
∫ ∫

Gi
ải :
1) Ta có :
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
0 0 0
a a a
x a x dx
I dx dx a M a N
x a x a x a
+
= = + = +
+ + +

∫ ∫ ∫

Tính
2
2 2
0
a
x
M dx
x a
=
+
∫
?
ðặt
2 2 2 2
0
2 2
0
2 2
|
a
a
u x
du dx
x
M x x a x a dx
dv dx
v x a
x a

=

=

 
⇒ ⇒ = + − +
 
=
= +



+

∫

2
2
M a I
⇒ = −

Tính
2 2
0
a
dx
N
x a
=
+

∫
? ðặt
2 2 2 2
0
ln( ) | ln(1 2)
a
t x x a N x x a= + + ⇒ = + + = +

Gv: Nguyễn Tất Thu Bài tập Giải Tích 12
Trang
15

Vậy
2 2 2
2 ln(1 2)
2 ln(1 2)
2
I a I a I a
+ +
= − + + ⇒ =

2)
ðặt
3
3
0
2
0
2
|

sin
1
cos cos 3
cos
cos
u x
du dx
x dx
I J
x
dv dx
x x
v
x
x
π
π
π
=
=


 
⇒ ⇒ = − = −
 
=
=
 



∫

Ta có
3 3 3
2
0 0 0
cos (sin ) 1 1 1
( ) (sin )
(1 sin )(1 sin ) 2 1 sin 1 sin
1 sin
xdx d x
J d x
x x x x
x
π π π
= = = +
− + − +
−
∫ ∫ ∫

3
0
1 1 sin 2
ln | | | ln(2 3) ln(2 3)
2 1-sin 3
x
J I
x
π
π

+
= = + ⇒ = − +

3)
ðặt
1
2 2
2 2 1
2 2
0
2 2
0
ln( )
ln( ) |
dx
du
xdx
u x x a
I x x x a
x a
dv dx
x a
v x

=

 
= + +
⇒ ⇒ = + + −
 

+
=

+


=

∫

2 2 2 1 2 2
0
ln(1 1 ) | ln(1 1 ) 1
I a x a a a a
= + + − + = + + + − +

4)
ðặt :
2
2
2
6
6
cot | cot
cot
sin
u x
du dx
I x gx gxdx
dx

dv
v gx
x
π
π
π
π
=

=


⇒ ⇒ = − +
 
=
= −



∫

2
6
3 3
ln |sin | | ln2
6 6
I x
π
π
π π

= + = +

5)
ðặt :
2 2 2 2
2 2
1
( )
3
du dx
u x
v x a x a
dv x x a dx
=

=

 
⇒
 
= + +
= +





3 3
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2

2 2
0
0 0
1 1 1 1
( ) | (2 )
3 3 3 3 3 3
a a
a
a a
I x x a x x a dx x a dx a a I J
= + − + − + = − −
∫ ∫

Theo câu 1
2 4
2 ln(1 2) 7 2 ln(1 2)
2 8
J a I a
+ + − +
=
⇒ =

Bài t
ập : Tính các tích phân sau
Gv: Nguyễn Tất Thu Bài tập Giải Tích 12
Trang
16

2 2 2
0 1 0

2
2 2
2
0 1 1/
1) sin 2) ln 3) .cos
ln
4) sin 5) ( ln ) 6)
(1 )
e
e e
x
e
I x xdx I x xdx I x xdx
x
I e x I x x dx I dx
x
π π
π
= = =
= = =
+
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫

3
2
2 2 2
2 2
0 0 0
2 1

2 2
1 1 0
7) sin2 8) ( sin 2cos )cos 9) ( 1)sin
ln ln( 2)
10) 11) cos(ln ) 12)
1
( 1)
ln(ln )
13) 14) ln
x x
e
e
e
I e xdx I e x x xdx I x xdx
x xdx x
I I x dx I dx
x
x
x
I dx I x
x
π π π
−
= = + = +
+
= = =
+
+
= =
∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫
∫
0 1
2
2
1 0
1 15)
1
x
xdx I dx
x
−
− =
+
∫ ∫

Gv: Nguyễn Tất Thu Bài tập Giải Tích 12
Trang
17

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
TH
Ể TÍCH VẬT TRÒN XOAY

1. Diện tích hình phẳng
Cho f(x) và g(x) là hai hàm s
ố liên tục trên [a;b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ
th
ị các hàm số
( ), ( )
y f x y g x
= =
và bởi các ñường thẳng x=a,x=b ñược tính bởi công
th
ức:

| ( ) - ( ) |
b
a
S f x g x dx
=
∫

Chú ý: * N
ếu bài toán chỉ cho hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hai hàm số y=f(x) và
y=g(x) thì ta
ñi giải phương trình HðGð f(x)=g(x) ta tìm ñược các nghiệm
1 2

n
x x x
< < <
. Khi ñó diện tích hình phẳng là:
1
| ( ) ( )|
n
x
x
S f x g x dx
= −
∫

*Khi tính di
ện tích ta nên vẽ ñồ thị của các hàm số mà bài toán cho.
2. Th
ể tích vật tròn xoay

a) Cho hình ph
ẳng giới hạn bởi các ñường y=f(x), x=a, x=b và y=0 quay quanh trục Ox
thì th
ể tích vât thể tròn xoay là:
2 2
( )
b b
a a
V y dx f x dx
π π
= =
∫ ∫

b) Cho hình ph
ẳng giới hạn bởi các ñường x=g(y), y=a, y=b và x=0 quay quanh trục Oy
thì th
ể tích vât thể tròn xoay là:
2 2
( )
b b
a a
V x dy g y dy
π π
= =
∫ ∫

Ví d
ụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường sau:

1) , 2

y x y x
= = −
và y=0

2
3 2
2
2
2
2) , sin , 0,
3) , 2
4) 3 ,
5) 4 ,
3
y x y x x x x
y x y x
y x x y x
x
y x y
π
= = + = =
= =
= + = −
= − = −

6)
ðường tròn tâm O, bán kính R
7) Hình Elíp
2 2
2 2

1
x y
a b
+ =

8) Parabol (P):
2
2
y x
=
và ñường tròn
2 2
8
x y
+ =

9)
2 2 3
( ): 2 ; ( ): 27 8( 1)
P y x C y x
= = −

10)
2
| 4 3|, 3
y x x y x
= − + = +
(ðH Khối A-2002)
Gv: Nguyễn Tất Thu Bài tập Giải Tích 12
Trang

18

11)
2 2
4 ,
4
4 2
x x
y y= − =
(ðH Khối B-2002)
12)
2
( ): 4
P y x x
= −
và các tiếp tuyến ñị qua
5
( ;6)
2
A
của (P)
Ví d
ụ 2: Cho
2
( ):
P y x
=
. Gọi A,B là hai ñiểm di ñộng trên (P) sao cho AB=2. Tìm A,B
sao cho di
ện tích của phần giới hạn bới (P) và cát tuyến AB lớn nhất?

Ví d
ụ 3: Xét hình phẳng (H) bị chắn phía dưới bởi Parabol (P): y=x
2
và phía trên bởi
ñương thẳng ñi qua A(1;4) có hệ số góc k. Tìm k ñể (H) có diện tích lớn nhất?.
Ví d
ụ 4: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên do ta quay hình (H) quanh trục Ox,
v
ới (H) là hình giới hạn bởi các ñường

2
2 2
2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
1) 2 , 0
2) 4 , 2
3) cos sin , 0, 0,
2
4) , 0, 0, 1
5) 4 6, 2 6
6) ( ) ( )
7) 1
x
y x x y
y x y x
y x x x y x x
y xe y x x

y x x y x x
x a y b a b
x y
a b
π
= − =
= − = +
= + = = =
= = = =
= − + = − − +
− + = >
+ =

Ví dụ 5: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên do ta quay (H) quanh trục Oy, với
(H) là hình giới hạn bởi các ñường
2
2 2
2 2
1) , 2 , 0
2) ( 2) , 4
3) ( 2) 1
4) ,
y x y x y
y x y
x y
y x x y
= = − =
= − =
− + =
= =