Chương 1: Các sự kiện ngẫu nhiên và phép tính XS docx

Bài tập XSTK chương I – Các sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất
1
CHƯƠNG I
CÁC SỰ KIỆN NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XS
I. Sự kiện ngẫu nhiên, ñịnh nghĩa xác suất, giải tích tổ hợp.
Câu 1. Một hộp có N quả cầu ñược ñánh số từ 1 ñến N. Rút từng quả ra, ghi số sau ñó
bỏ lại trong hộp, làm n lần như vậy. Hỏi có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra. Có bao
nhiêu khả năng xảy ra biến cố A: “Các quả ñã ñược rút ra là ñôi một khác nhau.”
Câu 2. Có bao nhiêu cách phân tích số 100 thành tổng của
a. ba số nguyên dương.
b. ba số nguyên không âm.
Câu 3. Có 30 tấm thẻ ñánh số từ 1 tới 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất
ñể:
a. Tất cả tấm thẻ ñều mang số chẵn.
b. Có ñúng 5 số chia hết cho 3.
c. Có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong ñó chỉ có một số chia
hết cho 10.
Câu 4. Có bao nhiêu số ñiện thoại gồm 4 chữ số có ñúng 1 cặp chữ số trùng nhau?
Câu 5. Một hộp ñựng 4 viên bi ñỏ, 5 viên bi trắng, 6 viên bi vàng. Người ta chọn 4 viên
bi từ hộp bi. Tính xác suất ñể chọn ñược 4 bi ñủ 3 màu.
Câu 6. Trong 10 sản phẩm có 2 phế phẩm. Tìm xác suất ñể trong 5 sản phẩm chọn ngẫu
nhiên có:
a. 1 phế phẩm
b. Không có phế phẩm
c. Ít nhất 1 phế phẩm
Câu 7. Trong một thành phố có 5 khách sạn. Có 3 khách du lịch ñến thành phố ñó, mỗi
người chọn ngẫu nhiên một khách sạn. Tìm xác suất ñể:
a. Mỗi người ở một khách sạn khác nhau.
b. Có ñúng 2 người ở cùng 1 khách sạn.
Câu 8. Một lớp có 3 tổ học sinh, trong ñó tổ 1 có 12 người, tổ 2 có 10 người và tổ 3 có
15 người. Chọn hú hoạ ra 1 nhóm học sinh gồm 4 người.

a. Tính xác suất ñể trong nhóm có ñúng 1 học sinh tổ 1
b. Biết trong nhóm có ñúng 1 học sinh tổ 1, tính xác suất ñể trong nhóm ñó có
ñúng 1 học sinh tổ 3.
Câu 9. Ba nữ nhân viên phục vụ A, B và C thay nhau rửa ñĩa chén và giả sử ba người
này ñều “khéo léo” như nhau. Trong một tháng có 4 chén bị vỡ. Tìm xác suất
a. Chị A ñánh vỡ 3 chén và chị B ñánh vỡ 1 chén.
b. Một trong 3 người ñánh vỡ 4 chén.

II. Công thức cộng và nhân xác suất, công thức Becnulli.
Câu 10. Trong 1 vùng dân cư, tỷ lệ mắc bệnh tim là 9%, mắc bệnh huyết áp là 12%, và
mắc cả 2 loại bệnh trên là 7%. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong vùng ñó. Tính xác suất
ñể người ñó không mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp.
Câu 11. Ba xạ thủ A, B, C ñộc lập với nhau cùng nổ súng vào bia. Xác suất bắn trúng của
3 người A, B và C tương ứng là 0.7, 0.6 và 0.9
a. Tính xác suất ñể duy nhất 1 xạ thủ bắn trúng
b. Tính xác suất ñể có ít nhất 1xạ thủ bắn trúng
Câu 12. Chia ngẫu nhiên một bộ bài 52 quân thành 4 phần ñều nhau theo cách sau: ñầu
tiên chọn ngẫu nhiên 13 quân bài, sau ñó chọn ngẫu nhiên 13 quân tiếp theo từ số bài
còn lại Tìm xác suất ñể trong mỗi phần ñều có 1 con át.
Câu 13. Cho các sự kiện A,B với P(A) =P(B) = 1/2;
8/1)BA(P
=

Bài tập XSTK chương I – Các sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất
2
a. Tìm
)BA(P
+

b. Tìm

)BA(P
,
)BA(P
+

Câu 14. Một lô hàng gồm 100 sản phẩm, trong ñó có 5 phế phẩm. Lô hàng ñược chấp
nhận nếu chọn hú hoạ ra 50 sản phẩm ñể kiểm tra thì số phế phẩm khômg quá 1. Tìm
xác suất ñể lô hàng ñược chấp nhận.
Câu 15. Một cầu thủ ném bóng rổ cho ñến khi nào trúng rổ thì thôi. Tìm xác suất ñể cầu
thủ ñó dừng ném ở lần ném thứ 4, biết rằng xác suất ném trúng ở mỗi lần ném là 0,4.
Câu 16. Một hộp chứa 3 bi trắng, 7 bi ñỏ và 15 bi xanh. Một hộp khác chứa 10 bi trắng, 6
bi ñỏ và 9 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một viên bi. Tìm xác suất ñể hai bi lấy
ra có cùng mầu.
Câu 17. Có 6 khẩu súng cũ và 4 khẩu súng mới, trong ñó xác suất trúng khi bắn bằng
súng cũ là 0,8, còn súng mới là 0,95. Bắn hú hoạ bằng 1 khẩu súng thì thẩy trúng. Khi
ñó ñiều gì có khả năng xảy ra lớn hơn: bắn bằng khẩu súng mới hay bắn bằng khẩu
súng cũ.
Câu 18. Một máy bay ném bom 1 mục tiêu phải bay qua 3 phòng tuyến. Xác suất ñể mỗi
phòng tuyến tiêu diệt ñược máy bay là 0,8.
a. Tìm xác suất máy bay rơi trước khi ñến mục tiêu.
b. Giả sử máy bay bị rơi, tìm xác suất ñể phòng tuyến 1 bắn rơi.
Muốn bảo vệ mục tiêu với xác suất 99,99% cần tổ chức bao nhiêu tuyến phòng thủ.
Câu 19. Có 2 máy bay A và B. A có 4 ñộng cơ và B có 2 ñộng cơ. A có thể bay ñược nếu
ít nhất 2 ñộng cơ hoạt ñộng, B có thể bay ñược nếu có ít nhất 1 ñộng cơ hoạt ñộng. Các
ñộng cơ hoạt ñộng ñộc lập và mỗi ñộng cơ có cùng xác suất hoạt ñộng là q. Tính các
xác suất ñể A, B bay ñược. Máy bay nào có xác suất bay ñược lớn hơn.
Câu 20. Dân số ở 1 thành phố nọ là 100 000 người. Thành phố có 3 tờ nhật báo A, B và
C. Tỉ lệ người dân của thành phố ñọc các tờ báo trên là như sau: 10% ñọc tờ A, 30%
ñọc tờ B, 5% ñọc tờ C, 8% ñọc cả A và B, 2% ñọc cả A và C, 4% ñọc cả B và C, 1%
ñọc cả 3 tờ báo.

a. Có bao nhiêu người chỉ ñọc một tờ báo.
b. Có bao nhiêu người ñọc ít nhất 2 tờ báo.
c. Có bao nhiêu người không ñọc tờ báo nào.
Câu 21. Một thiết bị chứa 3 bộ phận A, B,C. Biết xác suất hỏng của A là 0,04 và nếu A
hỏng thì xác suất hỏng của B là 0,5. Ngoài ra, xác suất A,B cùng hỏng ñồng thời C
không hỏng là 0,01.
a. Tìm xác suất có ít nhất 1 bộ phận không hỏng.
b. Nếu biết thêm xác suất A và C cùng hỏng là 0,03; Xác suất B và C cùng hỏng là
0,01; Tìm xác suất gặp ít nhất 2 bộ phận hỏng.
Câu 22. Nghiên cứu tập số ño chiều cao của cha và con trong 1 cuộc ñiều tra xã hội học
ta thấy: tỷ lệ cha ñạt chiều cao tiêu chuẩn là 25%, tỷ lệ con có chiều cao ñạt tiêu chuẩn
là 36%, trong khi ñó xác suất ñể cha hoặc con có chiều cao ñạt tiêu chuẩn là 42%. Tính
xác suất ñể người cha ñạt tiêu chuẩn nhưng người con thì không ñạt tiêu chuẩn.
Câu 23. Theo thống kê xác suất ñể 2 ngày liên tiếp có mưa ở 1 thành phố vào mùa hè là
0,5; còn không mưa là 0,3. Biết các sự kiện có 1 ngày mưa, 1 ngày không mưa là ñồng
khả năng.Tính xác suất ñể ngày thứ 2 có mưa, biết ngày ñầu không mưa.
Câu 24. Hai vận ñộng viên bóng bàn A và B ñấu 1 trận gồm tối ña 5 ván (không có kết
quả hòa sau mỗi ván và trận ñấu sẽ dừng nếu 1 người nào ñó thắng trước 3 ván). Xác
suất ñể A thắng ñược ở 1 ván là 0,7.
a. Tính các xác suất ñể A thắng sau x ván (x=3,4,5).
b. Tính xác suất ñể trận ñấu kết thúc sau 5 ván.
Câu 25. Một người say rượu bước 8 bước. Mỗi bước anh ta tiến lên phía trước 1m hoặc
lùi lại phía sau 1m với xác suất như nhau. Tính xác suất ñể sau 8 bước
Bài tập XSTK chương I – Các sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất
3
a. Anh ta trở lại ñiểm xuất phát.
b. Anh ta cách ñiểm xuất phát hơn 4m.

III. Công thức xác suất ñầy ñủ và công thức Bayet.
Câu 26. Một phân xưởng có 3 máy tự ñộng: máy 1 sản xuất 25%, máy 2 sản xuất 30%,

máy 3 là 45% sản phẩm. Tỷ lệ phế phẩm tương ứng của các máy là 0,1%, 0,2% và
0,3%. Chọn ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm của phân xưởng. Tìm các xác suất:
a. Nó là phế phẩm
b. Biết nó là phế phẩm. Tính xác suất ñể sản phẩm ñó do máy thứ 1 sản xuất.
Câu 27. Tỷ lệ người nghiện thuốc lá ở một vùng là 30%. Biết rằng tỷ lệ người bị viêm
họng trong số những người nghiện thuốc là 60%, còn tỷ lệ người bị viêm họng trong số
người không nghiện là 40%.
a. Lấy ngẫu nhiên một người thấy rằng người ấy bi viêm họng. Tính xác suất
người ñó nghiện thuốc lá.
b. Nếu người ñó không bị viêm họng. Tính xác suất người ñó nghiện thuốc.
Câu 28. Một xí nghiệp có 2 phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm. Số lượng sản
phẩm của phân xưởng I gấp 4 của phân xưởng II. Biết tỷ lệ phế phẩm của phân xưởng I
là 5%, còn của phân xưởng 2 là 8%. Tính xác suất ñể nếu lấy hú họa ra ñược 1 sản
phẩm tốt thì ñó là sản phẩm của phân xưởng I.
Câu 29. Một nhà văn hóa có 3 nhóm ñội viên với tỷ lệ nữ tương ứng là 15%, 25% và
55%. Cho biết số hội viên của nhóm 3 nhiều gấp 3 lần nhóm 1 và gấp 2 lần nhóm 2.
Chọn hú họa 1 hội viên nam. Tính xác suất ñể hội viên nam ñó thuộc nhóm 1.
Câu 30. Có 3 hộp: Hộp thứ nhất có 3 bi ñỏ, 2 bi trắng; Hộp thứ 2 có 2 bi ñỏ, 2 bi trắng;
Hộp thứ 3 không có viên nào. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất và 1 viên bi từ
hộp thứ 2 bỏ vào hộp thứ 3. Sau ñó từ hộp thứ 3 lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi.
a. Tính xác suất ñể viên bi ñó màu ñỏ.
b. Biết rằng viên bi lấy ra từ hộp thứ 3 là ñỏ, Tính xác suất ñể lúc ñầu ta lấy ñược
viên bi ñỏ từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ 3.
Câu 31. Bắn 3 phát vào một máy bay với xác suất trúng tương ứng là 0.4, 0.5, và 0.7.
Nếu trúng một phát thì xác suất rơi máy bay là 0.2; nếu trúng hai phát thì xác suất rơi
máy bay là 0.6, còn nếu trúng cả 3 phát thì chắc chắn máy bay rơi. Tìm xác suất ñể máy
bay rơi.
Câu 32. Hộp I có 4 viên bi ñỏ, 2 viên bi xanh; hộp II có 3 viên bi ñỏ, 3 viên bi xanh. Bỏ
ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I sang hộp II, sau ñó lại bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ
hộp II sang hộp I. Cuối cùng rút ngẫu nhiên từ hộp I ra một viên bi.

a. Tính xác suất ñể viên bi rút ra sau cùng mầu ñỏ.
b. Nếu viên rút ra sau cùng mầu ñỏ, tìm xác suất lúc ban ñầu rút ñược viên bi ñỏ ở
hộp I cho vào hộp II.
Câu 33. Một hộp có 10 quả bóng bàn trong ñó có 6 quả mới (nghĩa là chưa sử dụng lần
nào). Hôm qua, ñội bóng lấy ngẫu nhiên ra 3 quả ñể tập sau ñó trả lại hộp. Hôm nay,
ñội bóng lại lấy ngẫu nhiên ra 3 quả ñể tập.
a. Tìm xác suất ñể 3 quả bóng lấy ra hôm nay ñều mới.
b. Biết rằng hôm nay lấy ra ñược 3 quả mới. Tính xác suất ñể hôm qua lấy ra ít
nhất 2 quả mới.
Câu 34. Có 10 sinh viên ñi thi trong ñó có 3 thuộc loại giỏi, 4 thuộc loại khá và 3 thuộc
loại trung bình. Trong ngân hàng thi có 20 câu hỏi, sinh viên loại giỏi trả lời ñược hết,
loại khá trả lời ñược 16 câu và loại trung bình trả lời ñược 10 câu. Gọi ngẫu nhiên 1
sinh viên. Sinh viên ñó trả lời ñược cả 3 câu hỏi trong phiếu thi. Tính xác suất ñó là
sinh viên thuộc loại trung bình.
Câu 35. Một chuồng gà có 9 con mái và 1 con trống, chuồng gà kia có 1 con mái và 5 con
trống. Từ mỗi chuồng bắt ngẫu nhiên ra 1con làm thịt. Các con gà còn lại ñược dồn vào
Bài tập XSTK chương I – Các sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất
4
chuồng thứ 3. Từ chuồng thứ 3 bắt ngẫu nhiên 1 con gà. Tìm xác suất ñể con gà bắt
ñược ở chuồng 3 là gà trống.
Câu 36. Trong 1 kho rượu, số lượng rượu loại A và loại B bằng nhau. Người ta chọn
ngẫu nhiên 1 chai và ñưa cho 5 người nếm thử. Biết xác suất ñoán ñúng của mỗi người
là 0,8. Có 3 người kết luận rượu loại A, 2 người kết luận rượu loại B. Hỏi khi ñó xác
suất chai rượu ñó thuộc loại A là bao nhiêu?
Câu 37. Một hãng hàng không biết rằng 5% số khách ñặt trước vé cho các chuyến ñã
ñịnh sẽ hoãn không ñi chuyến bay ñó. Do ñó hãng ñã ñưa ra một chính sách là sẽ bán
52 ghế cho 1 chuyến bay mà trong ñó mỗi chuyến chỉ chở ñược 50 khách hàng. Tìm
xác suất ñể tất cả các khách ñặt chỗ trước và không hoãn chuyến bay ñều có ghế. Biết
rằng xác suất bán ñược 51 vé hoặc 52 vé là như nhau và bằng 10%.
Bài tập XSTK chương II - Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất

5
BÀI TẬP CHƯƠNG II
I. Biến ngẫu nhiên rời rạc
Câu 1. Tiến hành 3 lần thử nghiệm ñộc lập, trong ñó xác suất ñể thử nghiệm thành công ở
mỗi lần là 0,4. Gọi X là số lần thử thành công.
a. Lập bảng phân bố xác suất của X
b. Tính E( 3X - 1 )
Câu 2. (1.45) Một chùm chìa khoá gồm 4 chiếc giống nhau, trong ñó chỉ có một chiếc mở
ñược cửa. Người ta thử ngẫu nhiên từng chiếc cho ñến khi mở ñược cửa.Gọi X là số lần
thử.
a. Tìm phân phối xác suất của X
b. Tìm kỳ vọng và phương sai của X.
Câu 3. (3.45) Một xạ thủ có 5 viên ñạn. Anh ta phải bắn vào bia với quy ñịnh khi nào có 2
viên trúng bia hoặc hết ñạn thì dừng. Biết xác suất bắn trúng bia ở mỗi lần bắn là 0,4 và
gọi X là số ñạn cần bắn.
a. Tìm phân phối xác suất của X
b. Tìm kỳ vọng và phương sai của X.
Câu 4. Trong 1 thành phố nào ñó 65% dân cư thích xem bóng ñá. Chọn ngẫu nhiên 12
người và gọi X là số người thích xem bóng ñá trong số ñó.
a. Gọi tên phân bố xác suất của X.
b. Tìm xác suất ñể có ñúng 5 người thích xem bóng ñá.
c. Tìm xác suất ñể có ít nhất 2 người thích xem bóng ñá.
Câu 5. Tỉ lệ cử tri ủng hộ ứng cử viên A trong 1 cuộc bầu cử tổng thống là 40%. Người ta
hỏi ý kiến 20 cử tri ñược chọn 1 cách ngẫu nhiên. Gọi X là số người bỏ phiếu cho ông A
trong cuộc bầu cử ñó.
a. Tìm giá trị trung bình, ñộ lệch chuẩn của X và mod X.
b. Tìm P{X < 10}
Câu 6. Biến ngẫu nhiên rời rạc X chỉ có 2 giá trị x
1
và x

2
(x
1
< x
2
). Xác suất ñể X nhận giá
trị x
1
là 0,2. Tìm luật phân phối xác suất của X, biết kỳ vọng EX = 2,6 và ñộ lệch tiêu
chuẩn σ
X
= 0,8.

II. Biến ngẫu nhiên liên tục
Câu 7. Biến ngẫu nhiên X có mật ñộ xác suất
k sin3x , x (0 ,
Π/3 )
f(x) =
0 , x (0 ,
Π/3 )
∈


∉


a. Xác ñịnh k, hàm phân bố F(x)
b. Tính P( Π/6 ≤ X < Π/2 )
Câu 8. (5.45) Biến ngẫu nhiên X có hàm mật ñộ
2 2

f(x) = c / a x
−
trên khoảng (-a,a)
và bằng 0 ở ngoài khoảng ñó. Xác ñịnh hằng số c, sau ñó tính kỳ vọng và phương sai của
X.
Câu 9. (6.45) Biến ngẫu nhiên X có hàm mật ñộ
x x
f(x) c/(e e )
−
= +
. Xác ñịnh hằng số c
và sau ñó tính kỳ vọng của X.

II. Các luật phân phối thông dụng
Câu 10. Tại một trạm kiểm soát giao thông trung bình 30 giây có 10 xe ôtô ñi qua.
a. Tìm xác suất ñể có ñúng 12 xe ñi qua trong vòng 1 phút.
b. Tính xác suất ñể trong khoảng t phút có ít nhất 1 xe ôtô ñi qua.
Bài tập XSTK chương II - Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất
6
Câu 11. Một gara cho thuê ôtô thấy rằng số người ñến thuê ôtô vào thứ bảy cuối tuần là 1
ĐLNN có phân bố poat xông với tham số λ = 2. Giả sử gara có 4 chiếc ôtô. Hãy tìm xác
suất ñể:
a. Tất cả 4 ôtô ñều ñược thuê
b. Gara không ñáp ứng ñược yêu cầu (thiếu xe cho thuê)
c. Trung bình có bao nhiêu ôtô ñược thuê
Câu 12. Một hành khách ñến bến xe buýt ñúng lúc 10 giờ. Thời gian xe buýt ñến bến ñó
ñón khách là biến ngẫu nhiên có phân phối ñều trong khoảng từ 10 giờ ñến 10 giờ 30
phút.
a. Tìm xác suất ñể người ñó phải ñợi ít nhất 10 phút
b. Biết rằng lúc 10 giờ 15 phút xe buýt vẫn chưa ñến. Tìm xác suất ñể người ñó phải

ñợi ít nhất 10 phút nữa.
Câu 13. Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 3 và phương sai
0,16. Hãy tính :
a. P(X > 3), P(X > 3,784)
b. Tìm c sao cho P(3 - c < X < 3 + c) = 0,9.
Câu 14. (8.45) Các viên bi do 1 máy tự ñộng sản xuất ra ñược coi là ñạt yêu cầu nếu
ñường kính X của chúng lệch so với thiết kế không quá 0,7 mm. Cho biến ngẫu nhiên X
tuân theo luật phân phối chuẩn với ñộ lệch tiêu chuẩn σ = 0,4 mm. Tính tỉ lệ bi ñạt yêu
cầu.
Câu 15. (7.46) Chiều dài của 1 loại cây là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn.
Trong 1 mẫu 640 cây có 25 cây thấp hơn 18m, 110 cây cao hơn 24m.
a. Tìm chiều cao trung bình của cây và ñộ lệch tiêu chuẩn tương ứng
b. Ước lượng số cây có chiều cao từ 16m ñến 20m trong số 640 cây nói trên.
Câu 16. Lãi suất (%) ñầu tư vào 1 dự án trong năm 2006 ñược coi như một biến ngẫu nhiên
tuân theo quy luật chuẩn.Theo ñánh giá của uỷ ban ñầu tư thì với xác suất 0,1587 cho lãi
suất cao hơn 20% và với xác suất 0,0228 cho lãi suất lớn hơn 25%. Vậy khả năng ñầu tư
mà không bị lỗ là bao nhiêu?
Câu 17. Một viên ñạn có tầm xa trung bình là 300m. Giả sử tầm xa ñó là 1 biến ngẫu nhiên
tuân theo luật chuẩn với σ = 10. Hãy tìm tỉ lệ ñạn bay quá tầm xa trung bình từ 15 ñến
30m.
Câu 18. Lấy ngẫu nhiên 1 ñiểm M trên nửa ñường tròn tâm O, ñường kính AB = 2a. Biết
rằng xác suất ñiểm M rơi vào cung CD bất kì của nửa ñường tròn AMB chỉ phụ thuộc
vào ñộ dài cung CD
a. Tìm hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y chỉ diện tích tam giác AMB.
b. Tìm giá trị trung bình của diện tích tam giác ấy.
Câu 19. (6.47) Từ ñiểm A(0,-a) (a > 0) trong nửa mặt phẳng toạ ñộ xOy phần x ≥ 0, người
ta kẻ ngẫu nhiên 1 tia At hợp với tia Oy một góc φ. Biết φ là biến ngẫu nhiên có phân
phối ñều trong khoảng (0,Π/4). Tia At cắt Ox tại ñiểm M.
a. Tìm hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X chỉ diện tích tam giác AOM.
b. Tìm giá trị trung bình của diện tích trên.

Câu 20.
Năng suất lúa ở 1 ñịa phương là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ
vọng 42 tạ/ha và σ = 3 tạ/ha. Tìm xác suất ñể khi gặt ngẫu nhiên 3 thửa ruộng thì có 2
thửa có năng suất sai lệch so với trung bình không quá 1 tạ/ha.

Bài tập xác suất thống kê chương III - Bnn nhiều chiều
7
BÀI TẬP CHƯƠNG III

1. Biến ngẫu nhiên rời rạc

Câu 1. Cho biến ngẫu nhiên X và Y có bảng phân bố xác suất ñồng thời như sau

X
Y
1 2 3
1 0.12 0.15 0.03
2 0.28 0.35 0.07
a. CMR X và Y ñộc lập
b. Lập bảng phân phối xác suất của X và của Y.
c. Tìm quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên Z = XY.
Câu 2.Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất ñồng thời là
X Y -1 0 1
-1 4/15 1/15 4/15
0 1/15 2/15 1/15
1 0 2/15 0

a. X và Y có ñộc lập không?
b. Tìm bảng phân phối xác suất của X,Y.
Câu 3 Cho X, Y là 2 biến ngẫu nhiên có bảng phân phối ñồng thời là

X Y 1 2 3
1 0,17 0,13 0,25
2 0,10 0,30 0,05
a. Lập bảng phân phối xác suất của X,Y.
b. X,Y có ñộc lập không?

2. Biến ngẫu nhiên liên tục

Câu 4 Cho X, Y là 2 biến ngẫu nhiên có hàm mật ñộ ñồng thời là




<<<
=
otherwise
yxifkx
yxf
,0
10,
),(


a. Tìm hằng số k
b. Tìm các hàm mật ñộ của X và của Y
c. X và Y có ñộc lập không ?
Câu 5 Cho X, Y là 2 biến ngẫu nhiên có hàm mật ñộ ñồng thời là

( )






<<<<+
=
otherwise
yxif
xy
xk
yxf
,0
20,10)
2
(
,
2


Bài tập xác suất thống kê chương III - Bnn nhiều chiều
8
a. Tìm hằng số k.
b. Tìm hàm phân bố ñồng thời của X và Y
Câu 8. Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên có hàm mật ñộ







=+
=
otherwise
yx
if
yxf
,0
1
49
,
6
1
),(
22
π


a. Tìm hàm mật ñộ của X,Y.
b. Tìm xác suất ñể X,Y nằm trong hình chữ nhật O(0,0);A(0,1);B(1,2);D(2,0)
Câu 9. X, Y là hai biến ngẫu nhiên có hàm mật ñộ ñồng thời là






<<<
=
otherwise
xyif

x
yxf
,0
10,
1
),(


a. Tìm hàm mật ñộ của X,Y
b. Tìm hàm mật ñộ
1 2
f (x| y) ; f (y| x)

Câu 11. Cho X, Y là 2 biến ngẫu nhiên ñộc lập với nhau có cùng phân bố ñều trên [0, 2].
Tìm hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên sau:
a. Z = X + Y d. U = X - Y.
b. T = XY c. P(-1 ≤ Y - X ≤ 1)
Bài 13. Hai người bạn hẹn gặp nhau tại cổng trường trong khoảng từ 5h ñến 6h, với giả thiết
thời ñiểm ñến của mỗi người là ngẫu nhiên.
a. Tìm hàm phân phối xác suất của thời gian giữa 2 thời ñiểm ñến của 2 người.
b. Với quy ước chỉ ñợi nhau trong vòng 10 phút, tìm xác suất ñể 2 người ñược gặp nhau
Câu 14. Cho
2 2
X ~ N(5; 1 ); Y ~ N(3; 0,2 )

a. Tìm P(X + Y < 5,5).
b. Tìm P(X < Y);P(X > 2Y)
c. Tìm P(X < 1; Y < 1)
Câu 15. Trọng lượng của người chồng có phân bố chuẩn với kỳ vọng 70kg và ñộ lệch tiêu
chuẩn 9 kg, còn trọng lượng người vợ có kỳ vọng 55 kg và ñộ lệch tiêu chuẩn 4 kg. Hệ số

tương quan trọng lượng giữa hai vợ chồng là 2/3. Tính xác suất vợ nặng hơn chồng.
Bài tập XSTK chương IV - Ước lượng khoảng tin cậy
9
BÀI TẬP CHƯƠNG IV

Câu 1. Doanh số của một cửa hàng là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với ñộ lệch
chuẩn 2 triệu trên tháng. Điều tra ngẫu nhiên doanh số của 500 cửa hàng có quy mô
tương tự nhau tìm ñược doanh số trung bình là 7,9 triệu. Với ñộ tin cậy 95% hãy ước
lượng doanh số trung bình của các cửa hàng thuộc quy mô ñó.
Câu 2. Một tuyến xe buýt chạy từ A ñến B, chạy thử 31 lần liên tiếp trên ñoạn ñường này
cho ta số liệu lượng xăng hao phí
Lượng xăng hao phí 10,5-11 11-11,5 11,5-12 12-12,5 12,5-13
Tần số 3 6 10 8 4
Với ñộ tin cậy 90% hãy ước lượng lượng xăng hao phí trung bình cho xe buýt ñi từ A ñến
B. Biết lượng xăng hao phí là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn.
Câu 3. Để ước lượng bề dày trung bình của một tấm tôn do một nhà máy sản xuất thử
nghiệm, người ta tiến hành ño 15 tấm thu ñược kết quả sau
Bề dày (mm) 1,8-1,9 1,9-2 2-2,1 2,1-2,2 2,2-2,3
Tần số 1 4 6 3 2
Dựa vào số liệu trên hãy ước lượng bề dày trung bình tấm tôn do nhà máy trên sản xuất
với khoảng tin cậy ñối xứng với ñộ tin cậy 95%. Biết rằng bề dày các tấm tôn là biến
ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn.
Câu 4. Để xác ñịnh trọng lượng trung bình của các bao bột mì ñược ñóng bằng máy tự
ñộng, người ta chọn ngẫu nhiên 15 bao và tính ñược
X
= 29,8 kg, s
2
= 0,144 (giả sử
trọng lượng nói trên tuân theo luật phân phối chuẩn). Tìm khoảng tin cậy 99% cho trọng
lượng trung bình của các bao bột mì.

Câu 5. Khảo sát mẫu gồm 12 người cho thấy số lần ñi xem phim trong 1 năm như sau:
14 16 17 17 24 20 32 18 29 31 15 35
Tìm khoảng tin cậy ñối xứng 95% cho số lần trung bình mà mỗi người tới rạp xem phim
trong một năm (giả sử số lần ñó tuân theo luật phân phối chuẩn).
Câu 6. Để xác ñịnh chiều cao trung bình của các cây bạch ñàn trong khu rừng mới trồng
người ta chọn ra 1 mẫu gồm 35 cây. Kết quả ño ñạc như sau:
Kho
ảng chiều cao (m)

6.5
-
7

7
-
7.5

7.5
-
8

8
-
8.5

8.5
-
9

9

-
9.5

Tấn số 2 4 10 11 5 3
Tìm khoảng tin cậy 95% cho chiều cao trung bình của các cây bạch ñàn trong rừng nói trên.
Câu 7. Người ta ñiều tra 144 sinh viên ở 1 trường ñại học về chi phí cho giáo trình năm
thứ nhất thì thấy trung bình là 190 nghìn ñồng, ñộ lệch chuẩn là 30 nghìn ñồng (chi phí
cho giáo trình giả sử là 1 biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn).
a. Tính ước lượng chi phí trung bình cho giáo trình năm thứ nhất với ñộ tin cậy
95%.
b. Độ tin cậy vẫn là 95%, nếu muốn ñộ chính xác của ước lượng là 3000 ñồng thì
phải ñiều tra bao nhiêu sinh viên.
Câu 8. Ở một quận người ta ñiều tra tiền ñiện phải trả trong một tháng. Người ta chọn ra
200 hộ một cách ngẫu nhiên và ñược kết quả sau:
Ước lượng khoảng cho số tiền trung bình một hộ dân phải trả ở quận ñó với ñộ tin cậy là
90%. Giả sử tiền ñiện phải trả trong một tháng là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối
chuẩn.
Số tiền [50,80)

[80,110)

[110,140)

[140,170)

[170,200)

[200,230)

[230,260]

Số hộ 14 25 43 46 39 23 10
Bài tập XSTK chương IV - Ước lượng khoảng tin cậy
10
Câu 9. Trong số 500 người mua xe máy ở một cửa hàng có 300 người mua xe Honda. Tìm
khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ người mua xe Honda.
Câu 10. Ở 1 bến xe liên tỉnh, kiểm tra ngẫu nhiên 80 chuyến thì có 64 chuyến xuất phát
ñúng giờ. Tìm khoảng tin cậy 99% cho tỉ lệ chuyến xe xuất phát ñúng giờ.
Câu 11. Trong 360 phép thử sự kiện A xuất hiện 270 lần (giả sử các phép thử giống nhau
và ñộc lập). Tìm khoảng tin cậy 95% cho xác suất xuất hiện sự kiện A.Chất lượng
khoảng tin cậy sẽ thay ñổi thế nào nếu ta giảm ñộ tin cậy.
Câu 12. Thử nghiệm 300 bóng ñèn ñiện tử cùng loại thì thấy 6 bóng có lỗi kĩ thuật.Với ñộ
tin cậy 99%, hãy tìm ước lượng cho tỉ lệ bóng có lỗi kĩ thuật. Sau ñó ước lượng ñiểm
không chệch cho phương sai của tỉ lệ ñó.
Câu 13. Mở thử 200 hộp của kho ñồ hộp thấy có 8 hộp bị biến chất. Với ñộ tin cậy 95%
hãy ước lượng tỉ lệ hộp bị biến chất tối ña của kho.
Câu 14. Giả sử mức thu nhập hàng năm của các gia ñình nông thôn là ñại lượng ngẫu nhiên
có phân phối chuẩn. Điều tra thu nhập của 40 gia ñình ở một thôn ta có số liệu:
Thu nh
ập(triệu ñồng/năm)

4

4.
5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

Số gia ñình 1 3 4 6 8 7 6 3 2
Với ñộ tin cậy 95% hãy ước lượng số gia ñình có thu nhập dưới 5 triệu ñồng 1 năm biết
thôn ñó có 80 gia ñình.
Câu 15. Sai số ño của 1 loại dụng cụ ño có phân phối chuẩn với ñộ lệch tiêu chuẩn bằng 20.
Cần phải tiến hành bao nhiêu phép ño ñộc lập ñể sai số phạm phải không vượt quá 10
với ñộ tin cậy 0.95.
Câu 16. Kiểm tra ngẫu nhiên 500 sản phẩm của 1 nhà máy thì thấy có 360 sản phẩm loại A.
Hãy ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại A tối thiểu của nhà máy trên với ñộ tin cậy 95%.
Câu 17. Sản lượng ngày của một phân xưởng là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối
chuẩn. Kết quả thống kê của 10 ngày cho ta bộ số liệu:
23 27 26 21 28 25 30 26 23 26.
Hãy xác ñịnh khoản tin cậy 90% cho phương sai cho sản lượng ngày của phân xưởng
trên.
Câu 18. Để xác ñịnh mức thời gian gia công một chi tiết máy, người ta tiến hành thử
nghiệm gia công 25 chi tiết; kết quả trên tập mẫu thu ñược: thời gian trung bình là 20 h
với ñộ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh s=2,02. Với ñộ tin cậy 95% hãy xác ñịnh khoảng tin
cậy ñối xứng cho phương sai của thời gian gia công. Biết thời gian gia công là biến ngẫu
nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn.
Câu 19. Ở một quận người ta ñiều tra tiền ñiện phải trả trong một tháng. Người ta chọn ra
200 hộ một cách ngẫu nhiên và ñược kết quả sau:

Số tiền [50,80)

[80,110)

[110,140) [140,170)

[170,200) [200,230)

[230,260]
Số hộ 14 25 43 46 39 23 10
Ước lượng khoảng cho phương sai số tiền mà một hộ dân phải trả ở quận ñó với ñộ tin cậy
là 90%. Giả sử tiền ñiện phải trả trong một tháng là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân
phối chuẩn.
Câu 20. Một tuyến xe buýt chạy từ A ñến B, chạy thử 31 lần liên tiếp trên ñoạn ñường này
cho ta số liệu lượng xăng hao phí
Lượng xăng hao phí 10,5-11 11-11,5 11,5-12 12-12,5 12,5-13
Tần số 3 6 10 8 4
Với ñộ tin cậy 95% hãy ước lượng ñộ tản mát lượng xăng hao phí cho xe buýt ñi từ A ñến
B. Biết lượng xăng hao phí là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn.
Bài tập XSTK chương V – Kiểm ñịnh giả thuyết
11
BÀI TẬP CHƯƠNG V
1. Kiểm ñịnh giả thuyết cho 1 giá trị
Câu 1. Một loại bóng ñèn ñược cho biết tuổi thọ trung bình là 4 200 giờ. Kiểm tra ngẫu
nhiên 40 bóng thấy tuổi thọ trung bình là 4100 giờ, biết tuổi thọ của bóng ñèn giả sử
tuân theo luật phân phối chuẩn với ñộ lệch tiêu chuẩn 200 giờ.
Với mức ý nghĩa 5%, tuổi thọ thật sự của bóng ñèn có phải 4 200 giờ hay không?
Câu 2. Một cửa hàng thực phẩm nhận thấy thời gian vừa qua trung bình 1 khách hàng
mua 15 ngàn ñồng thực phẩm. Tuần này của hàng chọn ngẫu nhiên 15 khách hàng thấy
trung bình 1 khách hàng mua 14 ngàn ñồng thực phẩm với ñộ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh

là 2 ngàn. Biết sức mua của khách hàng ñược giả thiết là tuân theo luật phân phối chuẩn.
Với mức ý nghĩa 1%, sức mua của khách hàng có thực sự giảm sút?
Câu 3. Gạo ñược ñóng gói bằng máy tự ñộng có trọng lượng ñóng bao theo quy ñịnh
15kg. Lấy ngẫu nhiên 27 bao ra kiểm tra trọng lượng trung bình của chúng ta ñược bảng
số liệu sau:
Trọng lượng 14,6-14,8 14,8-15 15-15,2 15,2-15,4 15,4-15,6
T
ần suất

4

7

8

6

2

(Giả thiết trọng lượng của các bao gạo tuân theo luật phân phối chuẩn).
Với mức ý nghĩa 0,05 có cần phải dừng máy ñể ñiều chỉnh hay không?
Câu 4. Mức thu nhập trung bình năm ngoái của các gia ñình ở nông thôn là 6 triệu một
năm. Điều tra thu nhập của 40 gia ñình ở một thôn ta có số liệu
Thu nhập (triệu ñồng / năm) 4 4.5

5 5.5

6 6.5

7 7.5

8
Số gia ñình 1 3 4 6 8 7 6 3 2
Với ñộ mức ý nghĩa 5% có thể coi mức thu nhập hàng năm của gia ñình cải thiện hơn năm
trước hay không. Biết mức thu nhập là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn.
Câu 5. Trọng lượng ñóng gói ñường loại 500g một gói trên một máy tự ñộng là biến ngẫu
nhiên có phân phối chuẩn. Kiểm tra ngẫu nhiên 100 gói thu ñược kết quả sau :
Trọng lượng (gam) 495 497 498 500 502 503 504
S
ố gói

8

12

20

32

16

8

4

Với mức ý nghĩa 5%, có thể coi trọng lượng trung bình là bằng 500g theo quy ñịnh hay
không?
Câu 6. Định mức thời gian hoàn thành sản phẩm là 14 phút. Có cần phải ñổi ñịnh mức
không, nếu theo dõi thời gian hoàn thành sản phẩm của 25 công nhân, ta thu ñược bảng
số liệu trung bình 15,2 phút, ñộ lệch hiệu chỉnh 2,6 phút. Yêu cầu kết luận với mức ý

nghĩa 5% biết thời gian hoàn thành một sản phẩm là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân
phối chuẩn.
Câu 7. Người ta ñã thực hiện một cải tiến kỹ thuật trong bộ chế hoà khí của xe ôtô với hy
vọng sẽ tiết kiệm ñược xăng hơn. Dùng thử 12 lần thu ñược kết quả sau về số km chạy
ñược cho 1 lít xăng.
20,6 20,6 20,5 21,0 21,1 21,2 20,8 20,7 20,6 20,9 20,3 20,2
Nếu trước khi cải tiến một lít xăng trung bình chạy ñược 20,2 km thì có thể kết luận rằng cải
tiến trên ñã mang lại hiệu quả ñáng kể hay không với mức ý nghĩa 5%. Giả thiết số km chạy
ñược cho 1 lít xăng tuân theo luật phân phối chuẩn.
Câu 8. Theo một nguồn tin cho rằng tỷ lệ hộ dân thích xem chương trình “ Ở nhà chủ
nhật” trên VTV3 là 50%. Thăm dò 36 hộ dân thấy có 20 hộ dân thích xem chương trình
này. Với mức ý nghĩa 1%. Kiểm ñịnh xem nguồn tin này có ñáng tin cậy hay không?
Bài tập XSTK chương V – Kiểm ñịnh giả thuyết
12
Câu 9. Tại một trại chăn nuôi gà, tỷ lệ gà mắc bệnh K là 34%, sau một thời gian ñiều trị,
người ta kiểm tra 100 con thấy có 20 con mắc bệnh K, có thể kết luận sự ñiều trị có hiệu
quả hay không với mức ý nghĩa 5%.
Câu 10. Một công ti A sản xuất bánh kẹo tuyên bố rằng 1/2 số trẻ em thích ăn bánh kẹo của
công ti. Trong một mẫu gồm 100 trẻ em ñược hỏi, có 47 em tỏ ra thích ăn bánh của công
ti. Với mức ý nghĩa 5%, số liệu trên có chứng tỏ là tuyên bố của công ti là ñúng hay
không?

2.
Kiểm ñịnh giả thiết cho hai giá trị
Câu 11. Chọn ngẫu nhiên 80 bóng ñèn của nhà máy A thấy tuổi thọ trung bình là 1 258 giờ,
ñộ lệch chuẩn là 94 giờ. Chọn ngẫu nhiên 60 bóng ñèn của nhà máy B thấy tuổi thọ
trung bình là 1 029 giờ, với ñộ lệch chuẩn 98 giờ. Với mức ý nghĩa 5%, hãy kiểm ñịnh
giả thiết có phải thực sự tuổi thọ của 2 laọi bóng ñèn khác nhau hay không.
Câu 12. Lương trung bình của 10 công nhân thuộc nhà máy A là 1200 nghìn ñồng với ñộ
lệch hiệu chỉnh 140 nghìn. Lương trung bình của 12 công nhân của nhà máy B là 1300

nghìn ñồng với ñộ lệc hiệu chỉnh 100 nghìn. Thực sự lương trung bình của hai nhà máy
có khác nhau không, với mức ý nghĩa 5%.
Câu 13. Theo dõi 15 năm lượng mưa trung bình vào tháng năm tại huyện A là 1,94 inch với
ñộ lệch tiêu chuẩn hiệu chỉnh 0,45 inch. Theo dõi 10 năm, lượng mưa trung bình huyện
B vào tháng năm là 1,04 inch với ñộ lệch hiệu chỉnh 0,26 inch.
Kiểm ñịnh giả thiết xem phải chăng vào tháng 5 tại ñịa phuơng A mưa nhiều hơn ñịa
phương B hay không với mức ý nghĩa 1%.
Câu 14. Hai máy tự ñộng dùng ñể cắt những thanh kim loại do cùng một kỹ thuật viên phụ
trách và căn chỉnh. Từ mỗi máy lấy ra 31 thanh kim loại ñể kiểm tra thu ñược kết quả
sau:
Máy 1: Trung bình mẫu 12 cm, ñộ lệch hiệu chỉnh 1,2 cm.
Máy 2: Trung bình mẫu 12,3 cm, ñộ lệch hiệu chỉnh 1,4 cm.
Với mức ý nghĩa 0,01 có thể cho rằng chiều dài của các thanh kim loại do máy 2 sản xuất
khác chiều dài do máy 1 sản xuất hay không. ( Biết chiều dài thanh kim loại do các máy
sản xuất có phân phối chuẩn và giả sử phương sai của các thanh kim loại do hai máy sản
xuất là như nhau).
Câu 15. Quan sát 6 lọ chất hoá học do hai cân khác nhau cân. Biết cân nặng của lọ hoá chất
tuân theo luật phân phối chuẩn, ta có
Cân I 0,5 1 2,5 3 4 5
Cân II

1

1,5

2

2

2,5

3

Kiểm ñịnh giả thiết hai cân có cân khác nhau hay không với mức ý nghĩa 5%.
( Giả sử phương sai cân nặng các lọ hoá chất do hai cân là như nhau).
Câu 16. Để so sánh 2 chế ñộ bón phân cho 1 loại cây trồng người ta chia 8 mảnh ruộng mỗi
mảnh thành 2 nửa. Nửa thứ nhất áp dụng phương pháp bón phân I, nửa thứ 2 theo
phương pháp bón phân II (Các chế ñộ chăm sóc khác nhau). Sau khi thu hoạch ta ñược
số liệu về năng suất như sau.
Mảnh 1 2 3 4 5 6 7 8
Năng suất nửa thứ I 15 20 16 22 24 14 18 20
Năng suất nửa thứ II 15 22 14 25 29 16 20 24
Đánh giá xem hai chế ñộ bón phân có giống nhau không với mức ý nghĩa 1%.
Câu 17. Từ kho ñồ hộp 1, lấy ngẫu nhiên 1000 hộp ñể kiểm tra tháy có 20 hộp bị hỏng. Từ
kho 2 lấy ngẫu nhiên 900 hộp thấy 30 hộp bị hỏng. Hỏi chất lượng bảo quản của 2 khô
có thực sự giống nhau hay không với mức ý nghĩa 5%.
Bài tập XSTK chương V – Kiểm ñịnh giả thuyết
13
Câu 18. Bệnh A ñược ñiều trị theo hai phương pháp. Sau một thời gian thấy kết quả như
sau
Trong 102 bệnh nhân ñiều trị phương pháp I có 82 khỏi bệnh.
Trong 98 bệnh nhân ñiều trị phương pháp II có 69 khỏi bệnh.
Hỏi có phải phương pháp I ñiều trị tốt hơn phương pháp II hai hay không với mức ý
nghĩa 5%.
Câu 19. Để ñánh giá hiệu quả của hai dây chuyền sản xuất người ta tiến hành kiểm tra 1000
sản phẩm do dây chuyền 1 sản xuất có 10 sản phẩm hỏng, kiểm tra 1000 sản phẩm do
dây chuyền 2 sản xuất thấy có 8 sản phẩm hỏng.
Với mức ý nghĩa 5%, có kết luận gì về tỷ lệ sản phẩm hỏng từ 2 dây chuyền trên.