Luận văn: XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VỚI MỘT TẬP VÔ HẠN SỐ KHUYẾT docx

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM





ĐỖ THỊ HỒNG NGA




XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH
VỚI MỘT TẬP VÔ HẠN SỐ KHUYẾT





LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC





THÁI NGUYÊN – 2008
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM


ĐỖ THỊ HỒNG NGA

XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH
VỚI MỘT TẬP VÔ HẠN SỐ KHUYẾT



Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC



Người hướng dẫn khoa học:
TS. TẠ THỊ HOÀI AN



THÁI NGUYÊN – 2008
f
T (f, a, r)
N(f, a, r) f a r
m(f, a, r) a f
a ∈ C ∪ {∞}
a N(f, a, r)
m(f, a, r)

f a
δ(f, a) := lim inf
r→∞
{1 −
N(f, a, r)
T (f, a, r)
}.
a f δ(f, a) > 0

a∈C∪{∞}
δ(f, a)  2.
[0, 1].
1 ≤ i ≤ N ≤ ∞, {δ
i
}
0 < δ
i
≤ 1,

i
δ
i
≤ 2.
a
i
, C ∪ {∞}.
f C δ(f, a
i
) = δ
i

, δ(f, a) = 0 a /∈ {a
i
}?
C P
1
(C)
P
n
(C) n  2
f : C → P
n
(C) H
1
, . . . , H
q
P
n
(C)
q

j=1
δ(H
j
, f)  n + 1.
n  2
a
a
f R r < R
n(f, ∞, r), n(f, ∞, r)),
f r.

a ∈ C
n(f, a, r) = n

1
f − a
, ∞, r

,
n(f, a, r) = n

1
f − a
, ∞, r

.
N(f, a, r),
N(f, a, r) f a
N(f, a, r) = n(f, a, 0) log r +

r
0

n(f, a, t) − n(f, a, 0)

dt
t
,
N(f, a, r) = n(f, a, 0) log r +

r

0

n(f, a, t) − n(f, a, 0)

dt
t
).
a = 0
N(f, 0, r) = (
+
0
f) log r +

z∈D(r)
z=0
(
+
z
f) log |
r
z
|,
D(r) r
+
z
f = max{0,
z
f}
m(f, a, r) f a ∈ C
m(f, a, r) =


2π
0
log
+



1
f(re
iθ
) − a



dθ
2π
,
m(f, ∞, r) =

2π
0
log
+
| f(re
iθ
) |
dθ
2π
,

log
+
x = max{0, log x}.
m(f, ∞, r) log |f| |z| = r
T (f, a, r) f a ∈ C
T (f, a, r) = m(f, a, r) + N(f, a, r),
T (f, r) = m(f, ∞, r) + N(f, ∞, r).
T (f, a, r) ≥ N(f, a, r) + O(1),
O(1) r → ∞
f
ρ(f) = lim sup
r→∞
log T (r, f)
log r
.
ρ(f) = ∞ f 0 < ρ(f) < ∞ f
0 < ρ(f) < ∞
C = lim sup
r→∞
T (r, f)
r
ρ
.
f C = ∞ 0 < C < ∞,
C = 0.
f T (f, r) = O(log r),
f = e
z
T (f, r) = r/π + O(1) e
z

e
e
z
f(z) ≡ 0, ∞
D = {|z| ≤ R} 0 < R < ∞ a
µ
, µ = 1, , M
f D,
b
ν
, (ν = 1, 2, , N) f D,
z = re
iθ
∈ D f(z) = 0, f(z) = ∞
log |f(z)| =
1
2π
2π

0
log


f(Re
iφ
)


R
2

− r
2
R
2
− 2Rr cos(θ − φ) + r
2
dφ+
+
M

µ=1
log




R(z − a
µ
)
R
2
− a
µ
z




−
N


ν=1
log




R(z − b
ν
)
R
2
− b
ν
z




.
f(z)
{|z| ≤ R} z = 0
log |f(0)| =
1
2π
2π

0
log



f(Re
iϕ
)


dϕ.
f(z) = 0 D log f(z) D.
log f(0) =
1
2πi

|z|=R
log f(z)
dz
z
=
1
2π
2π

0
log f(Re
iϕ
)dϕ.
log |f(0)| =
1
2π
2π


0
log


f(Re
iϕ
)


dϕ.
f(z)
{|z| ≤ R} z z = re
iθ
(0 < r < R)
{|ξ|  R} → {ω  1}
z → 0
ξ = z → ω =
R (ξ − z)
R
2
− zξ
|ς| = R |ω| = 1
|ω| =
R |ξ − z|
|R
2
− zξ|
|ξ| = R ⇒ ξξ = |ξ|
2
= R

2
|ω| =
R |ξ − z|


ξξ − zξ


=
R |ξ − z|
|ξ|


ξ − z


= 1.
log f(z) |ξ| ≤ R
log f(z) =
1
2πi

|ξ|=R
log f(ς)
dξ
ξ − z
.
1
2πi


|ξ|=R
log f(ξ)
zdξ
R
2
− zξ
=
1
2πi

|ξ|=R
log f(ξ)
−dξ
ξ −
R
2
z
= 0.
|z| = |z| < R




R
2
z





> R
R
2
z
|ξ| ≤ R
log f(ξ)
1
ξ −
R
2
z
log f(z) =
1
2i

|ξ|=R
log f(ξ)

1
ξ − z
+
1
ξ −
R
2
z

dξ
=
1

2i

|ξ|=R
log f(ξ)

1
ξ − z
+
z
R
2
− zξ

dξ,
1
ξ − z
+
z
R
2
− zξ
=
R
2
− zξ + zξ − zz
(ξ − z) (R
2
− zξ)
=
R

2
− r
2
(ξ − z)

ξξ − zξ

=
R
2
− r
2
ξ |ξ − z|
2
.
ξ = Re
iϕ
= R cos ϕ + iR sin ϕ,
z = re
iθ
= r cos θ + ir sin θ,
ξ − z = (R cos ϕ − r cos θ) + i (R sin ϕ − r sin θ) ,
|ξ − z|
2
= (R cos ϕ − r cos θ)
2
+ (R sin ϕ − r sin θ)
2
= R
2

+ r
2
− 2Rr cos(ϕ − θ).
log f(z) =
1
2π
2π

0
log f(Re
iφ
)
R
2
− r
2
R
2
− 2Rr cos(θ − ϕ) + r
2
dϕ.
log |f(z)| =
1
2π
2π

0
log



f(Re
iϕ
)


R
2
− r
2
R
2
− 2Rr cos(θ − ϕ) + r
2
dϕ.
f(z) {|z| = R}
{|z| < R}
f(z) {|z| = R}
f(z) {z
k
} , {|ξ| = R}

z
k
j

z
k
0
∈ {|ξ| = R} f(z
k

j
) = 0, f = 0
f ≡ 0
{z
k
} ,

z
k
j

→ z
0
∈
{|ξ| = R}, z
0
f z
0
z
0
f z
0

z
k
j

→ z
0
z

0
z
k
j
f
f(z) {|z| = R} .
Z
0
k f(ξ), Z
0
∈ ∂D.
Z
0
,
f(ξ) = a(ξ − Z
0
)
k
+ . . . , a = 0.
log |f(ξ)| = k log |ξ − Z
0
| + o(|ξ − Z
0
|).
C
δ
Z
0
δ |ξ| = R
C

δ
, f
|ξ| = R

C
δ
1
2π

|ξ−Z
0
|=δ
log |f(ξ)| |dξ| .

|ξ−Z
0
|=δ
log |f(ξ)| |dξ| = C
δ
. log δ.δ.

C
δ
1
2π

|ξ−Z
0
|=δ
log |f(ξ)| |dξ| ≈ A log δ.δ.

δ → 0

C
δ
1
2π

|ξ−Z
0
|=δ
log |f(ξ)| |dξ| → 0.
f(z)
|z| ≤ R.
ψ(z) = f(z)

N
γ=1
R(z−b
γ
)
R
2
−b
γ
z

M
µ=1
R(z−a
µ

)
R
2
−a
µ
z
.
ψ(z) |ξ|  R
ψ(z
0
) = 0 f(z
0
) = 0. ψ(ξ)
ψ(ξ)
log |ψ(z)| =
1
2π
2π

0
log


ψ(Re
iϕ
)


R
2

− r
2
R
2
− 2Rr cos(ϕ − θ) + r
2
dϕ.
log |f(z)| +
N

γ=1
log




R(z − b
γ
)
R
2
− b
γ
z




−
M


µ=1
log




R(z − a
µ
)
R
2
− a
µ
z




=
1
2π
2π

0
log


ψ(Re
iϕ

)


R
2
− r
2
R
2
− 2Rr cos(ϕ − θ) + r
2
dϕ.
|z| = R



R(z−b
γ
)
R
2
−b
γ
z



= 1,




R(z−a
µ
)
R
2
−a
µ
z



= 1.
|z| = R |ψ(z)| = |f(z)| .
log |f(z)| +
N

γ=1
log




R(z − b
γ
)
R
2
− b
γ

z




−
M

µ=1
log




R(z − a
µ
)
R
2
− a
µ
z




=
1
2π
2π


0
log


f(Re
iϕ
)


R
2
− r
2
R
2
− 2Rr cos(ϕ − θ) + r
2
dϕ.
log |f(z)| =
1
2π

2π
0
log


f(Re
iϕ

)


R
2
− r
2
R
2
− 2Rr cos(ϕ − θ) + r
2
dϕ
+
M

µ=1
log




R(z − a
µ
)
R
2
− a
µ
z





−
N

γ=1
log




R(z − b
γ
)
R
2
− b
γ
z




.
f a
m(f, a, r) + N(f, a, r) = T (f, r) − log |f(0) − a| + (a, r),
(a, r) ≤ log a + log 2.
T (f, a, r) = T (f, r) + O(1),
O(1) r → ∞.

a
f(z)
C a
1
, . . . , a
q
q
(q − 2)T (f, r) ≤
q

i=1
N(f, a
i
, r) − N (f, r) + O

log T (r, f)

,
r → ∞
N (f, r) = N(f

, 0, r) + 2N(f, ∞, r) − N(f

, ∞, r).
f a
δ(f, a) = lim inf
r→∞

1 −
N(f, a, r)

T (f, r)

.
f a
θ(f, a) = lim inf
r→∞

N(f, a, r) − N(f, a, r)
T (f, r)

.
f a
Θ(f, a) = θ(f, a) + δ(f, a) = lim inf
r→∞

1 −
N(f, a, r)
T (f, r)

.
a ∈ C ∪{∞} a
f δ(f, a) > 0; a
f δ(f, a) = 1.
a ∈ C ∪ {∞},
0 ≤ δ(f, a), 0 ≤ θ(f, a), Θ(f, a) = θ(f, a) + δ(f, a) ≤ 1.
f a
1
, . . . , a
q
C ∪ {∞},

S(f, {a
j
}
q
j=1
, r) = (q − 2)T (f, r) −
q

j=1
N(f, a
j
, r) + N (f, r).
f(z) C
a
1
, . . . , a
q
C ∪ {∞}.
lim inf
r→∞
S(f, {a
j
}
q
j=1
, r)
T (f, r)
≤ 0.
f(z) |z| < R
0

a δ(f, a) > 0 θ(f, a) > 0

a∈C∪{∞}
{δ(f, a) + θ(f, a)} =

a∈C∪{∞}
Θ(f, a)  2.
q a
1
, a
2
, , a
q
C ∪ {∞}.
q

j=1
(δ(f, a
j
) + θ(f, a
j
))
= lim inf
r→∞
qT(f, r) −

q
j=1
N(f, a
j

, r) +

q
j=1
N(f, a
j
, r) −

q
j=1
¯
N(f, a
j
, r)
T (f, r)
.
N(f, a
j
, r) −
¯
N(f, a
j
, r) f = a
q

j=1
N(f, a
j
, r) −
q


j=1
¯
N(f, a
j
, r) ≤ N (f, r) + n (f, 0) log
+
1
r
.
q

j=1
(δ(f, a
j
) + θ(f, a
j
)) ≤ lim inf
r→∞
qT(f, r) −

q
j=1
N(f, a
j
, r) + N (f, r)
T (f, r)
= 2 + lim inf
r→∞
(q − 2)T (f, r) −


q
j=1
N(f, a
j
, r) + N (f, r)
T (f, r)
= 2 + lim inf
r→∞
S(f, {a
j
}
q
j=1
, r)
T (f, r)
≤ 2,
k a
Θ(f, a) ≥ 1/k.
{a : Θ(f, a) ≥ 0} = ∪
∞
k=1
{a : Θ(f, a) ≥ 1/k},
a
f

a∈C
Θ(f, a)  1.
f Θ(f, ∞) = 1.
f(z)

∞ f
f f(z)
∞
N(f, 0, r) = 0; N(f, 1, r) = 0; N(f, ∞, r) = 0.
Θ(f, 0) = 0; Θ(f, 1) = 1; Θ(f, ∞) = 1.

a∈C∪{∞}
Θ(f, a)  2,
f(z)
1 ≤ i ≤ N ≤ ∞, {δ
i
}
{θ
i
}
0 < δ
i
+ θ
i
≤ 1,

i
(δ
i
+ θ
i
) ≤ 2.
a
i
, 1 ≤ i < N C ∪ {∞}.

f C
δ(f, a
i
) = δ
i
, θ(f, a
i
) = θ
i
, 1 ≤ i < N
δ(f, a) = θ(f, a) = 0 a /∈ {a
i
}?
(C
∗
)
n+1
= C
n+1
\ (0, . . . , 0)
(C
∗
)
n+1
(x
0
, . . . , x
n
) ∼ (y
0

, . . . , y
n
)
0 = λ ∈ C (x
0
, . . . , x
n
) = λ(y
0
, . . . , y
n
).
n C P
n
(C) P
n
(C
∗
)
n+1
∼ . P
n
= (C
∗
)
n+1
/ ∼ .
P
n
(x

0
, . . . , x
n
)
∼ . P P
n
P = (x
0
: · · · : x
n
) (x
0
: · · · : x
n
)
P
f = (f
0
: f
1
: · · · : f
n
) : C → P
n
(C)
f
i
C
f = (


f
0
,

f
1
, . . . ,

f
n
)

f
i
(

f
0
,

f
1
, . . . ,

f
n
)
f
f : C → P
n

(C) f = (f
0
, . . . , f
n
)
f f
0
, . . . , f
n
C
f(z) = (|f
0
(z)|
2
+ · · · + |f
n
(z)|
2
)
1
2
.
T
f
(r)
T (r, f) =
1
2π

2π

0
log f(re
iθ
)dθ.
Q d n+1 m(r, Q, f)
f Q
m(r, Q, f) =
1
2π

2π
0
log
f(re
iθ
)
d
|Q ◦ f(re
iθ
)|
dθ.
n(r, Q, f), n(r, Q, f)
Q ◦ f |z| ≤ r
N(r, Q, f),
N(r, Q, f)),
N(r, Q, f) =

r
0
n(t, Q, f) − n

f
(0, Q)
t
dt − n(0, Q, f) log r,
N(r, Q, f) =

r
0
n(t, Q, f) − n(0, Q, f)
t
dt − n(0, Q, f) log r).
f : C → P
n
(C)
Q d P
n
(C)
Q ◦ f(C) ≡ 0 0 < r < ∞
m(r, Q, f) + N(r, Q, f) = dT (r, f) + O(1),
O(1) r
f : C → P
n
(C)
L
1
, . . . , L
q
P
n
(C)


2π
0
max
K
log

j∈K
f(re
iθ
)L
j

|L
j
(f)(re
iθ
)|
dθ
2π
 (n + 1)T (r, f) + o(T (r, f)),
K {1, . . . , q}
L
j
, j ∈ K L
j

L
j
a

a
a
0
z
0
+ · · · + a
n
z
n
= 0
H P
n
.
H a = (a
0
, . . . , a
n
) ∈ C
n+1
\ {(0, , 0)}
P
n
C
n+1
a = (|a
0
|
2
+ + |a
n

|
2
)
1
2
,
(a, f) = a
0
f
0
+ + a
n
f
n
,
(a, f(z)) = a
0
f
0
(z) + + a
n
f
n
(z),
f := (f
0
, . . . , f
n
) : C → P
n

(C)
a ∈ C
n+1
− {0}
m(r, a, f) =
1
2π
2π

0
log
a


f(re
iθ
)


|(a, f(re
iθ
))|
dθ,
N(r, a, f) = N(r, 1/(a, f)).
f := (f
0
, . . . , f
n
) : C → P
n

(C)
C f
0
, , f
n
C
f := (f
0
, . . . , f
n
) : C → P
n
(C)
f lim
r→∞
T (r,f)
log r
= ∞.
ρ(f) = lim sup
r→∞
log T (r, f)
log r
f.
f : C → P
n
(C)
a ∈ C
n+1
− {0}
T (r, f) = m(r, a, f) + N(r, a, f) + O(1),

O(1)
f : C → P
n
(C) a ∈ C
n+1
−{0}
δ(f, a) = 1 − lim sup
r→∞
N(r, a, f)
T (r, f)
= lim inf
r→∞
m(r, a, f)
T (r, f)
f a.
0  δ(f, a)  1.
a ∈ C
n+1
− {0} a
f δ(f, a) > 0; a
f δ(f, a) = 1.
X C
n+1
− {0} , N
N  n X N
#X  N + 1 N + 1 X C
n+1
.
X X n
N

N = n N > n
f : C → P
n
(C) q
a
1
, , a
q
X N
q

j=1
δ(a
j
, f)  2N − n + 1,
2N − n + 1  q  ∞.
{η
v
}
η
v
> 0,
∞

v=1
η
v
= 1, η
0
= η

1
.
θ
0
= 0, θ
k
= π
k−1

v=0
η
v
, (k = 1, 2, 3, ).
{θ
k
}
π
∞

v=0
η
v
= πη
0
+ π
∞

v=1
η
v

 2π,
k → ∞.
k  1, z = re
iθ
θ
θ
k
−
1
3
πη
k
< θ  θ
k
+
1
3
πη
k
.
cos(θ
v
− θ)  cos(
2
3
πη
k
) ν = k.




e
ze
−iθ
v



 e
r cos
2
3
πη
k
ν = k.
v < n
θ − θ
v
 (θ
n
− θ
n−1
) −
1
3
πη
n
= π(η
n−1
−

1
3
η
n
) 
2
3
πη
n
,
v > n
θ
v
− θ  (θ
n+1
− θ
n
) −
1
3
πη
n
=
2
3
πη
n
.
|θ
v

− θ| 
2
3
πη
n
(mod2π), (v = n).
cos(θ
v
− θ)  cos(
2
3
πη
k
).



e
ze
−iθ
v







e
re

i(θ−θ
v)



= e
r cos(θ−θ
v
)
 e
r cos
2
3
πη
k
, (v = k).