Xây dựng đường cong chỉnh hình với một tập vô hạn số khuyết

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM





ĐỖ THỊ HỒNG NGA




XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH
VỚI MỘT TẬP VÔ HẠN SỐ KHUYẾT





LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC





THÁI NGUYÊN – 2008
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM


ĐỖ THỊ HỒNG NGA

XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH
VỚI MỘT TẬP VÔ HẠN SỐ KHUYẾT



Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC



Người hướng dẫn khoa học:
TS. TẠ THỊ HOÀI AN



THÁI NGUYÊN – 2008
▼ô❝ ❧ô❝
▼ô❝ ❧ô❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶
▲ê✐ ♠ë ➤➬✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷
✶ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ ✺
✶✳✶ ❈➳❝ ❤➭♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤♦ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺
✶✳✷ ◗✉❛♥ ❤Ö sè ❦❤✉②Õt ❝❤♦ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸
✶✳✸ ❈➳❝ ❤➭♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤♦ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼
✷ ➜➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ✈í✐ ✈➠ sè ❣✐➳ trÞ ❦❤✉②Õt ✷✵

✷✳✶ ❈➳❝ ❦Õt q✉➯ ❜æ trî ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵
✷✳✷ ❈➳❝ ✈Ý ❞ô ✈Ò ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ✈í✐ ✈➠ sè ❣✐➳ trÞ ❦❤✉②Õt✳ ✳ ✸✶
❑Õt ❧✉❐♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✶
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✹✷
✶
ờ ở
ý tết r ờ ữ ủ tế ỷ
ợ sự q t ủ ề t ọ tr tế ớ ý tết
ổ ể ứ sự ố trị ủ ì f t
q tr T (f, a, r) t ủ ì ế
N(f, a, r) ế số f trị a tr ĩ í r
ỉ m(f, a, r) ộ ế a ủ f ị ĩ
rọ t ủ ý tết ị ý ị ý
tứ t tể ệ sự ộ ủ tr ớ ọ trị a C {}
ị ý tứ ó r ớ ết trị a ế N(f, a, r)
trộ ỉ m(f, a, r) ề ế ị ĩ số ết
ủ f t trị a s
(f, a) := lim inf
r
{1
N(f, a, r)
T (f, a, r)
}.
trị a ợ ọ trị ết f ế (f, a) > 0 ệ số
ết ột t ể ủ ị ý tứ ủ
ụ tể ứ r

aC{}
(f, a) 2.
t ị ý tứ t t t r số ết ủ

ì t ột trị ó tr [0, 1]. ữ ờ t ứ
ợ r t trị ết ế ợ ột ỏ tự
ợ t r 1 i N , sử {
i
} số tự
s
0 <
i
1,

i

i
2.


sử a
i
, số ệt tr C {}. ồ t
ì f tr C tỏ (f, a
i
) =
i
, (f, a) = 0 ọ a / {a
i
}?
ỏ tr ò ợ ết t ợ ủ
ó ề t ọ ứ t ợ ủ ụ
tể qết t
ột số trờ ợ ệt ế ề tr ợ

qết trọ ẹ ở rs tr r trì rs
ỉ ét t ợ ủ số ết ò số ết
rẽ t ề sự tồ t ủ ì ớ ữ
trị ết ợ ứ trọ ẹ
t ết ì ó tể ợ ờ ỉ
ì từ C P
1
(C) ó ệ ở rộ ý tết ổ ể
ờ ỉ ì P
n
(C) ớ n 2 ột ề tự
rt ứ ị ý s ợ ọ ị ý
rt ờ ỉ ì t s
ị ý ờ ỉ ì f : C P
n
(C) H
1
, . . . , H
q

s ở ị trí tổ qt tr P
n
(C) ó
q

j=1
(H
j
, f) n + 1.
tự ớ trờ ợ ì ờ t ũ ứ tí

t ủ số ết ủ ờ ỉ ì ớ n 2 í ụ ề
ờ ỉ ì ớ ữ trị ết ợ r ở ề
t tr ó ệ ự ờ ỉ ì ó trị
ết ễ út ứ r
í ụ ờ ỉ ì ớ ột t trị ết
ụ í í ủ trì ữ ết q ó ủ
ột ó ọ ọ t ố ụ r ủ t tr ờ ột
ỏ tr
ợ t
ế tứ ị ợ trì ớ ụ í
ế tứ tết ể ờ ọ ễ t õ ứ ết q
ủ s r ú t sẽ ột số tí t

ủ ý tết ì
ờ ỉ ì q ệ số ết ì ữ
ế tứ q ứ r t ợ trị a s
số ết ủ ột ì t ể a ế ợ
ờ ỉ ì ớ số trị ết
í ủ r ú t sẽ ự ờ
ỉ ì ó số số ết ợ t
P tứ t ú t r ết q ổ trợ ự
ệ ế ỉ tr số ết trị ết
ờ ỉ ì ột số tí t ễ t t ố
q trọ ì ó ợ sử ụ ề ứ ữ ết q s
ở ữ s
P tứ trì í ụ ề ờ ỉ ì ớ số trị
ết ết q í ủ ị ý ị ý
ợ t ớ sự ớ t tì tú ủ
ị ớ sự ớ ủ t ớ q
s tr ứ t t tỏ ò í trọ

ết s s tớ
tr trọ ọ
P ệ ọ ệt t tr ị ế tứ
t ề ệ t tr tờ ọ t ệt t r P
ợ ử ờ ế ệ ồ ệ ủ
t ở trờ P ế ị ọ ớ
ọ ú ỡ t rt ề tr q trì ọ t
t ũ ử ờ tớ ễ ú ỡ t rt
ề tr q trì ứ
ố ù t ợ tỏ sự ết tớ ì ố ẹ
t ề ệ tốt t t ợ ọ t t
❈❤➢➡♥❣ ✶
❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ
❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ sÏ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❧ý
t❤✉②Õt ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ✈➭ ♥❤÷♥❣ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ❦❤➳❝ ♥❤➺♠ ❣✐ó♣ ❝❤♦ ♥❣➢ê✐
➤ä❝ ❞Ô t❤❡♦ ❞â✐✳ ❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈➭ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ➤➢î❝ trÝ❝❤ ❞➱♥ tõ
❬✷❪✱ ❬✺❪✱ ❬✻❪✱ ❬✾❪✱ ✳✳✳
✶✳✶ ❈➳❝ ❤➭♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤♦ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤✳
●✐➯ sö f ❧➭ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ tr♦♥❣ ➤Ü❛ ❜➳♥ ❦Ý♥❤ R ✈➭ r < R✳
❑Ý ❤✐Ö✉ n(f, ∞, r), ✭t➢➡♥❣ ø♥❣✱ n(f, ∞, r)), ❧➭ sè ❝➳❝ ❝ù❝ ➤✐Ó♠ tÝ♥❤ ❝➯
❜é✐✱ ✭t➢➡♥❣ ø♥❣✱ ❦❤➠♥❣ tÝ♥❤ ❜é✐✮✱ ❝ñ❛ ❤➭♠ f tr♦♥❣ ➤Ü❛ ➤ã♥❣ ❜➳♥ ❦Ý♥❤ r. ●✐➯
sö a ∈ C✱ t❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛
n(f, a, r) = n

1
f − a
, ∞, r

,
n(f, a, r) = n


1
f − a
, ∞, r

.
✶✳✶✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❍➭♠ ➤Õ♠ tÝ♥❤ ❝➯ ❜é✐ N(f, a, r), ✭t➢➡♥❣ ø♥❣✱ ❤➭♠ ➤Õ♠
❦❤➠♥❣ tÝ♥❤ ❜é✐ N(f, a, r)✮✱ ❝ñ❛ ❤➭♠ f t➵✐ ❣✐➳ trÞ a ➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♥❤➢ s❛✉
N(f, a, r) = n(f, a, 0) log r +

r
0

n(f, a, t) − n(f, a, 0)

dt
t
,
✺
✻
✭t➢➡♥❣ ø♥❣✱
N(f, a, r) = n(f, a, 0) log r +

r
0

n(f, a, t) − n(f, a, 0)

dt
t

).
❱× t❤Õ✱ ♥Õ✉ a = 0 t❛ ❝ã
N(f, 0, r) = (♦r❞
+
0
f) log r +

z∈D(r)
z=0
(♦r❞
+
z
f) log |
r
z
|,
tr♦♥❣ ➤ã D(r) ❧➭ ➤Ü❛ ❝ã ❜➳♥ ❦Ý♥❤ r ✈➭ ♦r❞
+
z
f = max{0, ♦r❞
z
f} ❧➭ ❜é✐ ❝ñ❛
❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠✳
✶✳✶✳✷ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❍➭♠ ①✃♣ ①Ø m(f, a, r) ❝ñ❛ ❤➭♠ f t➵✐ ❣✐➳ trÞ a ∈ C ➤➢î❝
➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♥❤➢ s❛✉
m(f, a, r) =

2π
0
log

+



1
f(re
iθ
) − a



dθ
2π
,
✈➭
m(f, ∞, r) =

2π
0
log
+
| f(re
iθ
) |
dθ
2π
,
tr♦♥❣ ➤ã log
+
x = max{0, log x}.

❍➭♠ m(f, ∞, r) ➤♦ ➤é ❧í♥ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ❝ñ❛ log |f| tr➟♥ ➤➢ê♥❣ trß♥ |z| = r✳
✶✳✶✳✸ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❍➭♠ ➤➷❝ tr➢♥❣ T (f, a, r) ❝ñ❛ ❤➭♠ f t➵✐ ❣✐➳ trÞ a ∈ C
➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♥❤➢ s❛✉
T (f, a, r) = m(f, a, r) + N(f, a, r),
T (f, r) = m(f, ∞, r) + N(f, ∞, r).
❳Ðt ✈Ò ♠➷t ♥➭♦ ➤ã✱ ❤➭♠ ➤➷❝ tr➢♥❣ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ➤è✐ ✈í✐ ❧ý t❤✉②Õt ❤➭♠ ♣❤➞♥
❤×♥❤ ❝ã ✈❛✐ trß t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ❜❐❝ ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝ tr♦♥❣ ❧ý t❤✉②Õt ➤❛ t❤ø❝✳ ❚õ ➤Þ♥❤
♥❣❤Ü❛ ❤➭♠ ➤➷❝ tr➢♥❣ t❛ ❝ã
T (f, a, r) ≥ N(f, a, r) + O(1),
tr♦♥❣ ➤ã O(1) ❧➭ ♠ét ➤➵✐ ❧➢î♥❣ ❜Þ ❝❤➷♥ ❦❤✐ r → ∞✳

ị ĩ ủ ì f ợ ị ĩ ở tứ
(f) = lim sup
r
log T (r, f)
log r
.
ế (f) = tì f ợ ọ ó ế 0 < (f) < tì f
ợ ọ ó ữ
sử 0 < (f) < t
C = lim sup
r
T (r, f)
r

.
ó f ó tố ế C = ó tr ì ế 0 < C < ,
ó tố tể ế C = 0.
í ụ ế f ữ tỷ tì T (f, r) = O(log r), ó ữ tỷ
ó ế f = e

z
tì T (f, r) = r/ + O(1) ó e
z
ó
tr ì e
e
z
ó
tứ Pss s
ị ý sử f(z) 0, ột ì tr ì trò
D = {|z| R} ớ 0 < R < sử a
à
, à = 1, ..., M ể
ủ f tr D, ỗ ể ợ ể ột số ộ ủ ó
b

, ( = 1, 2, ..., N) ự ể ủ f tr tr D, ỗ ự ể ợ
ể ột số ộ ủ ó
ó ớ ỗ z = re
i
D s f(z) = 0, f(z) = t ó
log |f(z)| =
1
2
2

0
log

f(Re
i
)


R
2
r
2
R
2
2Rr cos( ) + r
2
d+
+
M

à=1
log




R(z a
à
)
R
2
a
à

z





N

=1
log




R(z b

)
R
2
b

z




.
✽
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ①Ðt ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❤î♣ s❛✉✿
❚r➢ê♥❣ ❤î♣ ✶✿ ❍➭♠ f(z) ❦❤➠♥❣ ❝ã ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ✈➭ ❝ù❝ ➤✐Ó♠ tr♦♥❣

{|z| ≤ R}✱ z = 0✳
❑❤✐ ➤ã t❛ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤
log |f(0)| =
1
2π
2π

0
log


f(Re
iϕ
)


dϕ.
❉♦ f(z) = 0 tr♦♥❣ D ♥➟♥ log f(z) ❧➭ ❤➭♠ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ tr♦♥❣ D. ❚❤❡♦ ➜Þ♥❤
❧ý ❈❛✉❝❤②✱ t❛ ❝ã✿
log f(0) =
1
2πi

|z|=R
log f(z)
dz
z
=
1
2π

2π

0
log f(Re
iϕ
)dϕ.
▲✃② ♣❤➬♥ t❤ù❝ ❤❛✐ ✈Õ t❛ ❝ã✿
log |f(0)| =
1
2π
2π

0
log


f(Re
iϕ
)


dϕ.
❚r➢ê♥❣ ❤î♣ ✷✿ ❍➭♠ f(z) ❦❤➠♥❣ ❝ã ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ✈➭ ❝ù❝ ➤✐Ó♠ tr♦♥❣
{|z| ≤ R}✱ ✈í✐ z t✉ú ý✱ z = re
iθ
(0 < r < R) ✳
❳Ðt ➳♥❤ ①➵ ❜➯♦ ❣✐➳❝✿
{|ξ|  R} → {ω  1}
z → 0
ξ = z → ω =

R (ξ − z)
R
2
− zξ
◆❤➢ ✈❐② |ς| = R t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐ |ω| = 1✱ ✈×
|ω| =
R |ξ − z|
|R
2
− zξ|
✾
✈➭ |ξ| = R ⇒ ξξ = |ξ|
2
= R
2
s✉② r❛
|ω| =
R |ξ − z|


ξξ − zξ


=
R |ξ − z|
|ξ|


ξ − z



= 1.
❉♦ log f(z) ❧➭ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ tr♦♥❣ |ξ| ≤ R✱ t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý ❈❛✉❝❤②✱ t❛ ❝ã
log f(z) =
1
2πi

|ξ|=R
log f(ς)
dξ
ξ − z
. ✭✶✳✷✮
▼➷t ❦❤➳❝
1
2πi

|ξ|=R
log f(ξ)
zdξ
R
2
− zξ
=
1
2πi

|ξ|=R
log f(ξ)
−dξ
ξ −

R
2
z
= 0. ✭✶✳✸✮
❉♦ |z| = |z| < R ♥➟♥




R
2
z




> R ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ➤✐Ó♠
R
2
z
♥➺♠ ♥❣♦➭✐ |ξ| ≤ R ♥➟♥
❤➭♠ log f(ξ)
1
ξ −
R
2
z
❧➭ ❤➭♠ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤✳ ❑Õt ❤î♣ ✈í✐ ✭✶✳✷✮ ✈➭ ✭✶✳✸✮ t❛ ❝ã
log f(z) =
1

2i

|ξ|=R
log f(ξ)

1
ξ − z
+
1
ξ −
R
2
z

dξ
=
1
2i

|ξ|=R
log f(ξ)

1
ξ − z
+
z
R
2
− zξ


dξ,
✈í✐
1
ξ − z
+
z
R
2
− zξ
=
R
2
− zξ + zξ − zz
(ξ − z) (R
2
− zξ)
=
R
2
− r
2
(ξ − z)

ξξ − zξ

=
R
2
− r
2

ξ |ξ − z|
2
.
✶✵
▼➷t ❦❤➳❝
ξ = Re
iϕ
= R cos ϕ + iR sin ϕ,
z = re
iθ
= r cos θ + ir sin θ,
ξ − z = (R cos ϕ − r cos θ) + i (R sin ϕ − r sin θ) ,
|ξ − z|
2
= (R cos ϕ − r cos θ)
2
+ (R sin ϕ − r sin θ)
2
= R
2
+ r
2
− 2Rr cos(ϕ − θ).
❱❐②
log f(z) =
1
2π
2π

0

log f(Re
iφ
)
R
2
− r
2
R
2
− 2Rr cos(θ − ϕ) + r
2
dϕ. ✭✶✳✹✮
▲✃② ♣❤➬♥ t❤ù❝ ❤❛✐ ✈Õ ❝ñ❛ ✭✶✳✹✮ t❛ ➤➢î❝
log |f(z)| =
1
2π
2π

0
log


f(Re
iϕ
)


R
2
− r

2
R
2
− 2Rr cos(θ − ϕ) + r
2
dϕ.
❚r➢ê♥❣ ❤î♣ ✸✿ ❍➭♠ f(z) ❝ã ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ✈➭ ❝ù❝ ➤✐Ó♠ tr➟♥ ❜✐➟♥ {|z| = R}
♥❤➢♥❣ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ✈➭ ❝ù❝ ➤✐Ó♠ ë tr♦♥❣ ♠✐Ò♥ {|z| < R}✳
❚❛ ❝ã sè ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ✈➭ ❝ù❝ ➤✐Ó♠ ❝ñ❛ ❤➭♠ f(z) tr➟♥ ❜✐➟♥ {|z| = R} ❧➭
❤÷✉ ❤➵♥✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ❣✐➯ sö f(z) ❝ã ✈➠ ❤➵♥ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ {z
k
} , ❦❤✐ ➤ã {|ξ| = R}
❝♦♠♣❛❝t✱ ❞♦ ➤ã

z
k
j

❤é✐ tô ➤Õ♥ z
k
0
∈ {|ξ| = R} ✈➭ f(z
k
j
) = 0, ❞♦ ➤ã f = 0
tr➟♥ ♠ét t❐♣ ❤î♣ ❝ã ➤✐Ó♠ ❣✐í✐ ❤➵♥✳ ➜✐Ò✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦ f ≡ 0 s✉② r❛ ✈➠ ❧ý✳
●✐➯ sö ❝ã ✈➠ ❤➵♥ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ {z
k
} , ❦❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐


z
k
j

→ z
0
∈
{|ξ| = R}, z
0
❧➭ ➤✐Ó♠ ❜✃t t❤➢ê♥❣❀ ✈× f ❧➭ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ ♥➟♥ z
0
❧➭ ❝ù❝
➤✐Ó♠ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ tr♦♥❣ ♠ét ❧➞♥ ❝❐♥ ❝ñ❛ z
0
❤➭♠ f ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ❝❤Ø trõ t➵✐ z
0
s✉②
r❛ ✈➠ ❧ý ✈×

z
k
j

→ z
0
♥➟♥ tr♦♥❣ ♠ä✐ ❧➞♥ ❝❐♥ ❝ñ❛ z
0
➤Ò✉ ❝❤ø❛ z
k
j

♥➭♦ ➤ã ♠➭
t➵✐ ➤ã f ❝ã ❝ù❝ ➤✐Ó♠✳
✶✶
❱❐② f(z) ❝ã ❤÷✉ ❤➵♥ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ✈➭ ❝ù❝ ➤✐Ó♠ tr➟♥ ❜✐➟♥ {|z| = R} . ●✐➯
sö Z
0
❧➭ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ❤♦➷❝ ❝ù❝ ➤✐Ó♠ ❝✃♣ k ❝ñ❛ f(ξ), Z
0
∈ ∂D. ❚r♦♥❣ ♠ét
❧➞♥ ❝❐♥ ♥➭♦ ➤ã ❝ñ❛ Z
0
, t❛ ❝ã ❦❤❛✐ tr✐Ó♥ s❛✉✿
f(ξ) = a(ξ − Z
0
)
k
+ . . . , a = 0.
❑❤✐ ➤ã✱
log |f(ξ)| = k log |ξ − Z
0
| + o(|ξ − Z
0
|).
❳Ðt ✈ß♥❣ trß♥ C
δ
t➞♠ Z
0
✱ ❜➳♥ ❦Ý♥❤ δ ➤ñ ♥❤á✳ ❚❤❛② ✈ß♥❣ trß♥ |ξ| = R ❜ë✐
✈ß♥❣ trß♥ C
δ

, ❦❤✐ ➤ã f ❦❤➠♥❣ ❝ã ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ✈➭ ❝ù❝ ➤✐Ó♠ tr➟♥ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ ♠✐Ò♥
♠í✐ ♥❤❐♥ ➤➢î❝✳
◗✉❛② ❧➵✐ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ✷✱ t❛ ❝ã tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❜➟♥ ♣❤➯✐ ❝ñ❛ ❜➢í❝ ✷ ❝❤Ø ❦❤➳❝ tÝ❝❤
♣❤➞♥ ë tr➟♥ ✈ß♥❣ trß♥ |ξ| = R ♠ét ➤➵✐ ❧➢î♥❣

C
δ
1
2π

|ξ−Z
0
|=δ
log |f(ξ)| |dξ| . ❚❛
❝ã

|ξ−Z
0
|=δ
log |f(ξ)| |dξ| = C
δ
. log δ.δ.
❉♦ ➤ã✱

C
δ
1
2π

|ξ−Z

0
|=δ
log |f(ξ)| |dξ| ≈ A log δ.δ.
❈❤♦ δ → 0 t❛ ❝ã

C
δ
1
2π

|ξ−Z
0
|=δ
log |f(ξ)| |dξ| → 0. ❈➠♥❣ t❤ø❝ ➤➢î❝ ❝❤ø♥❣
♠✐♥❤✳
❚r➢ê♥❣ ❤î♣ ✹✿ ❇➞② ❣✐ê t❛ ①Ðt tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ f(z) ❝ã ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠
✈➭ ❝ù❝ ➤✐Ó♠ tr♦♥❣ |z| ≤ R.
❳Ðt ❤➭♠
ψ(z) = f(z)

N
γ=1
R(z−b
γ
)
R
2
−b
γ
z


M
µ=1
R(z−a
µ
)
R
2
−a
µ
z
.
✶✷
❑❤✐ ➤ã ψ(z) s✉② r❛ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ✈➭ ❝ù❝ ➤✐Ó♠ ë tr♦♥❣ |ξ|  R ✈×
❣✐➯ sö ♥❣➢î❝ ❧➵✐ ψ(z
0
) = 0 s✉② r❛ f(z
0
) = 0. ❉♦ ➤ã ψ(ξ) ❜Þ ❦❤ö ➤✐ ♠➱✉ sè✳
❚➢➡♥❣ tù ψ(ξ) ❝ò♥❣ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❝ù❝ ➤✐Ó♠✳
➳♣ ❞ô♥❣ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ➤➲ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ t❛ ❝ã✿
log |ψ(z)| =
1
2π
2π

0
log



ψ(Re
iϕ
)


R
2
− r
2
R
2
− 2Rr cos(ϕ − θ) + r
2
dϕ.
◆➟♥
log |f(z)| +
N

γ=1
log




R(z − b
γ
)
R
2
− b

γ
z




−
M

µ=1
log




R(z − a
µ
)
R
2
− a
µ
z




=
1
2π

2π

0
log


ψ(Re
iϕ
)


R
2
− r
2
R
2
− 2Rr cos(ϕ − θ) + r
2
dϕ.
❑❤✐ |z| = R t❤×



R(z−b
γ
)
R
2
−b

γ
z



= 1, ✈➭



R(z−a
µ
)
R
2
−a
µ
z



= 1.
❙✉② r❛ ♥Õ✉ |z| = R t❤× |ψ(z)| = |f(z)| .
❉♦ ➤ã
log |f(z)| +
N

γ=1
log





R(z − b
γ
)
R
2
− b
γ
z




−
M

µ=1
log




R(z − a
µ
)
R
2
− a
µ

z




=
1
2π
2π

0
log


f(Re
iϕ
)


R
2
− r
2
R
2
− 2Rr cos(ϕ − θ) + r
2
dϕ.
❱❐②
log |f(z)| =

1
2π

2π
0
log


f(Re
iϕ
)


R
2
− r
2
R
2
− 2Rr cos(ϕ − θ) + r
2
dϕ
+
M

µ=1
log





R(z − a
µ
)
R
2
− a
µ
z




−
N

γ=1
log




R(z − b
γ
)
R
2
− b
γ
z





.
✶✸
❚õ ❈➠♥❣ t❤ø❝ P♦✐ss♦♥✲❏❡♥s❡♥ t❛ ❝ã ➤Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ➤➞②✳
✶✳✶✳✼ ➜Þ♥❤ ❧ý ✭➜Þ♥❤ ❧Ý ❝➡ ❜➯♥ t❤ø ♥❤✃t✮✳ ●✐➯ sö f ❧➭ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤✱ a ❧➭ ♠ét
sè ♣❤ø❝ t✉ú ý✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã
m(f, a, r) + N(f, a, r) = T (f, r) − log |f(0) − a| + (a, r),
tr♦♥❣ ➤ã (a, r) ≤ log a + log 2.
❚❛ t❤➢ê♥❣ ❞ï♥❣ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ t❤ø ♥❤✃t ❞➢í✐ ❞➵♥❣
T (f, a, r) = T (f, r) + O(1),
tr♦♥❣ ➤ã O(1) ❧➭ ➤➵✐ ❧➢î♥❣ ❜Þ ❝❤➷♥ ❦❤✐ r → ∞.
➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ t❤ø ♥❤✃t ❝❤♦ t❛ t❤✃② ✈Õ tr➳✐ tr♦♥❣ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❦❤➠♥❣ ♣❤ô
t❤✉é❝ a ✈í✐ s❛✐ ❦❤➳❝ ♠ét ➤➵✐ ❧➢î♥❣ ❜Þ ❝❤➷♥✳
✶✳✶✳✽ ➜Þ♥❤ ❧ý ✭➜Þ♥❤ ❧Ý ❝➡ ❜➯♥ t❤ø ❤❛✐✮✳ ●✐➯ sö f(z) ❧➭ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ tr♦♥❣
C ✈➭ a
1
, . . . , a
q
❧➭ q sè ♣❤ø❝ ♣❤➞♥ ❜✐Öt✳ ❑❤✐ ➤ã✱
(q − 2)T (f, r) ≤
q

i=1
N(f, a
i
, r) − N
r❛♠

(f, r) + O

log T (r, f)

,
❝❤♦ r → ∞ ❜➟♥ ♥❣♦➭✐ t❐♣ ❤î♣ ❝ã ➤é ➤♦ ▲❡❜❡s❣✉❡ ❤÷✉ ❤➵♥ ✈➭
N
r❛♠
(f, r) = N(f

, 0, r) + 2N(f, ∞, r) − N(f

, ∞, r).
✶✳✷ ◗✉❛♥ ❤Ö sè ❦❤✉②Õt ❝❤♦ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤
◗✉❛♥ ❤Ö sè ❦❤✉②Õt ❧➭ ♠ét ❞➵♥❣ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ ❦❤➳❝ ❝ñ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ t❤ø
❤❛✐ ❝ñ❛ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✳ ❙è ❦❤✉②Õt ❧✐➟♥ q✉❛♥ ❝❤➷t ❝❤Ï ➤Õ♥ ❜➭✐ t♦➳♥ ♥❣➢î❝ ❝ñ❛
◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ tr♦♥❣ ❬✾❪✳ ❚r➢í❝ ❤Õt t❛ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ sè ❦❤✉②Õt✳

ị ĩ ố ết ủ f t ể a ợ ị ĩ ở
(f, a) = lim inf
r

1
N(f, a, r)
T (f, r)

.
ố ết rẽ ủ f t ể a ợ ị ĩ ở
(f, a) = lim inf
r

N(f, a, r) N(f, a, r)
T (f, r)

.
ố ết ị t ủ f t ể a ợ ị ĩ ở
(f, a) = (f, a) + (f, a) = lim inf
r

1
N(f, a, r)
T (f, r)

.
ị ĩ a C{} trị a ợ ọ trị ết ủ
f ế (f, a) > 0; trị a ợ ọ trị ết ự ủ
f ế (f, a) = 1.
ệ ề ớ ọ a C {},
0 (f, a), 0 (f, a), (f, a) = (f, a) + (f, a) 1.
ì f ể ệt a
1
, . . . , a
q
tr C {},
ý ệ
S(f, {a
j
}
q
j=1

, r) = (q 2)T (f, r)
q

j=1
N(f, a
j
, r) + N
r
(f, r).
ó ị ý tứ ó tể ợ t ể ở ế
s
ị ý sử f(z) ì số tr C
a
1
, . . . , a
q
tử ệt tr C {}. ó
lim inf
r
S(f, {a
j
}
q
j=1
, r)
T (f, r)
0.
✶✺
✶✳✷✳✺ ➜Þ♥❤ ❧ý✳ ●✐➯ sö f(z) ❧➭ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ ❦❤➳❝ ❤➺♥❣ sè tr♦♥❣ |z| < R
0

✳
❑❤✐ ➤ã t❐♣ ❤î♣ ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ a ♠➭ δ(f, a) > 0 ✈➭ θ(f, a) > 0 ❧➭ ➤Õ♠ ➤➢î❝✱
➤å♥❣ t❤ê✐ t❛ ❝ã

a∈C∪{∞}
{δ(f, a) + θ(f, a)} =

a∈C∪{∞}
Θ(f, a)  2.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❳Ðt q ➤✐Ó♠ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ a
1
, a
2
, ...., a
q
tr♦♥❣ C ∪ {∞}. ❑❤✐ ➤ã
q

j=1
(δ(f, a
j
) + θ(f, a
j
))
= lim inf
r→∞
qT(f, r) −

q
j=1

N(f, a
j
, r) +

q
j=1
N(f, a
j
, r) −

q
j=1
¯
N(f, a
j
, r)
T (f, r)
.
❘â r➭♥❣ N(f, a
j
, r) −
¯
N(f, a
j
, r) ➤Õ♠ sè ❧➬♥ ❤➭♠ f = a ✈í✐ ❜é✐ ❧í♥ ❤➡♥ ✶
✈➭ ❞♦ ➤ã
q

j=1
N(f, a

j
, r) −
q

j=1
¯
N(f, a
j
, r) ≤ N
r❛♠
(f, r) + n
r❛♠
(f, 0) log
+
1
r
.
◆❤➢ ✈❐②
q

j=1
(δ(f, a
j
) + θ(f, a
j
)) ≤ lim inf
r→∞
qT(f, r) −

q

j=1
N(f, a
j
, r) + N
r❛♠
(f, r)
T (f, r)
= 2 + lim inf
r→∞
(q − 2)T (f, r) −

q
j=1
N(f, a
j
, r) + N
r❛♠
(f, r)
T (f, r)
= 2 + lim inf
r→∞
S(f, {a
j
}
q
j=1
, r)
T (f, r)
≤ 2,
❜ë✐ ➳♣ ❞ô♥❣ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✹✳

❱í✐ ♠ä✐ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ k✱ tå♥ t➵✐ ♥❤✐Ò✉ ♥❤✃t ❤÷✉ ❤➵♥ ❣✐➳ trÞ a s❛♦ ❝❤♦
Θ(f, a) ≥ 1/k. ❉♦
{a : Θ(f, a) ≥ 0} = ∪
∞
k=1
{a : Θ(f, a) ≥ 1/k},
t❛ ❝ã ♥❤✐Ò✉ ♥❤✃t ➤Õ♠ ➤➢î❝ a ♥❤➢ ✈❐②✳
✶✻
✶✳✷✳✻ ❍Ö q✉➯✳ ◆Õ✉ f ❧➭ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥ t❤×

a∈C
Θ(f, a)  1.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❉♦ f ❧➭ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥ ♥➟♥ Θ(f, ∞) = 1.
❈❤ó♥❣ t❛ ❝ã ➤Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ❧➭ ❤Ö q✉➯ trù❝ t✐Õ♣ ❝ñ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý q✉❛♥ ❤Ö sè ❦❤✉②Õt✳
✶✳✷✳✼ ➜Þ♥❤ ❧ý ✭➜Þ♥❤ ❧ý P✐❝❛r❞✮✳ ●✐➯ sö f(z) ❧➭ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤✱ ❦❤➠♥❣ ♥❤❐♥
✸ ❣✐➳ trÞ ✵✱ ✶✱ ∞ ❦❤✐ ➤ã f ❧➭ ❤➭♠ ❤➺♥❣✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐➯ sö f ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ❤➭♠ ❤➺♥❣✱ ❞♦ f(z) ❦❤➠♥❣ ♥❤❐♥ ✸ ❣✐➳
trÞ ✵✱ ✶✱ ∞ ♥➟♥
N(f, 0, r) = 0; N(f, 1, r) = 0; N(f, ∞, r) = 0.
❉♦ ➤ã
Θ(f, 0) = 0; Θ(f, 1) = 1; Θ(f, ∞) = 1.
◆❤➢ t❤Õ

a∈C∪{∞}
Θ(f, a)  2,
♠➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ ➤Þ♥❤ ❧ý ✈Ò sè ❦❤✉②Õt✱ ♥❤➢ ✈❐② f(z) ♣❤➯✐ ❧➭ ❤➭♠ ❤➺♥❣✳
❱✃♥ ➤Ò ♥❣➢î❝ ❝ñ❛ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✳ ❈❤♦ 1 ≤ i ≤ N ≤ ∞, ❣✐➯ sö {δ
i
} ✈➭
{θ

i
} ❧➭ ❞➲② ❝➳❝ sè t❤ù❝ ❦❤➠♥❣ ➞♠ s❛♦ ❝❤♦
0 < δ
i
+ θ
i
≤ 1,

i
(δ
i
+ θ
i
) ≤ 2.
●✐➯ sö a
i
, 1 ≤ i < N ❧➭ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ♣❤➞♥ ❜✐Öt tr♦♥❣ C ∪ {∞}. ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ➤➲
➤➢❛ r❛ ❝➞✉ ❤á✐ s❛✉✿
❚å♥ t➵✐ ❤❛② ❦❤➠♥❣ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ f tr➟♥ C s❛♦ ❝❤♦
δ(f, a
i
) = δ
i
, θ(f, a
i
) = θ
i
, 1 ≤ i < N