Luận văn: Tập xác định duy nhất các hàm nguyên trên trường đặc số dương ppt

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
K
F K
S K F S
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
K
A
∗
(K)
K
K
n
K p ≥ 0
A
∗
(K)
K S
n p p > 0 S
A
∗
(K) S
p
p p
n
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
≥ 4
n n ≥ 4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

p p
x = a
0
+ a
1
p + a
2
p
2
+ , a
i
∈ Z(∗).
x
n
= a
0
+a
1
p+a
2
p
2
+ +a
n
p
n
x
n
−x
n−1

= a
n
p
n
p−
x = {x
0
, x
1
, } x
n
≡ x
n−1
mod p
n
, n = 1, 2,
p−
x + y = {x
n
+ y
n
}, xy = {x
n
y
n
}.
p θ
p
p x = {x
n

}
θ
p
p x
0
≡ 0 mod p
a p a ≡ 0 mod p
Q
p
θ
p
p α ∈ Q
p
p
m
u m u
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
θ
p
α
a
−r
p
r
+ +
a
−1
p
+ a
0

+ a
1
p +
α =
x
p
r
x p r ≥ 0
Q
p
p Q
p
v
p
: Q
p
→ Z
v
p
(p
m
u) = m.
v K
K \ {0}
v(xy) = v(x) + v(y), ∀x, y ∈ K;
v(x + y) ≥ min{v(x), v(y)}, ∀x, y ∈ K;
v(0) = +∞(v(x) = +∞ ⇔ x = 0).
K v
c v
K

|x| = c
−v(x)
.
v = v
p
c p
p
|x|
p
= p
−v
p
(x)
.
p p
n
p
−n
n
∞
p
e
p n
|n|
p
= p
−e
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
K
K

| · | : K → R
+
= [0, +∞)
|x| ≥ 0 x = 0
|xy| = |x|.|y|, ∀x, y ∈ K;
|x + y| ≤ |x| + |y|, ∀x, y ∈ K.
|x + y| ≤ max{|x|, |y|}, ∀x, y ∈ K.
| · |
0
|x|
0
=

1 : x ∈ K \ {0}
0 : x = 0.
K K
f
S f
E(f, S) =

a∈S
{(z, m) : f(z) = a m},
E
S
(f) z f
m f g S
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
E(f, S) = E(g, S)
S
F ∀f, g ∈ F E(f, S) = E(g, S) f ≡ g

F
f g P (z)
P
S
(f) = P
S
(g) f ≡ g
P (z)
P
S
(f) = c.P
S
(g), c = 0 f ≡ g f
g
K
p ≥ 0 f
K z
0
∈ K w
z
0
(f)
f z
0
f(z
0
) = 0 w
z
0
(f)

z
0
f −w
z
0
(f)
w
+
z
0
(f) = max{0, w
z
0
(f)}.
r > 0
Z(r, f) =

0<|z
0
|<r
w
+
z
0
(f) log
r
|z
0
|
+ w

+
0
(f) log r.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
p > 0 u(f)
g K
f = g
p
u(f)
.
p = 0 p
u(f)
= 1
Z(r, f) =

0<|z
0
|<r
min{1, w
+
z
0
(f) mod p
u(f)+1
} log
r
|z
0
|
+ min{1, w

+
0
(f) mod p
u(f)+1
} log r.
modp
u(f)+1
f
p > 0
p
u(f)+1
N(r, f) = Z(r,
1
f
) N(r,
1
f
) = Z(r,
1
f
).
T (r, f) = max{Z(r, f), N(r, f)}.
f
K a ∈ K
T (r, f) = T(r, 1/f) = T (r, f − a) + O(1).
P d f
K T (P (f), r) = dT (f, r) + O(1)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
α
1

, , α
n
n
K f K
n − 1
p
u(f)
T (r, f) ≤
n

i=1
Z(r, f − α
i
) + N(r, f) − log r + O(1).
f

≡ 0 u(f) = 0
f K f

≡ 0
α
1
, , α
n
K
n

j=1
[Z(r, f − α
j

) − Z(r, f − α
j
)] ≤ T (r, f) − log r + O(1).
n

j=1
Z(r, f − α
j
) = nT (r, f) + O(1),
n

j=1
Z(r, f − α
j
) − log r + O(1) ≥ (n − 1)T (r, f) − log r + O(1).
n

j=1
[Z(r, f −α
j
)−Z(r, f −α
j
)] ≤ nT (r, f)+(1−n)T (r, f)−log r+O(1).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
K
S K
P (x) =

s∈S
(x − s) K

S f g A
∗
(K) S
c ∈ K, c = 0 P (f) = cP (g)
P (f) = cP (g) P (f) = 0 P (g) = 0
f g S
f g S P (f)/P (g)
K
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
K p > 0 n
q = p
n
≥ 3
P (X) = X
q
+ (X − 1)
q−1
.
f(z) = z
q−1
g(z) = (z − 1)
q−1
P (f(z)) = P(g(z)).
P q S P
q
K
P (f(z)) = P (g(z))
P (X)
P (f(z))(z
q

− z) = P (g(z))(z
q
− z),
P (f(z)) = P(g(z))
P (f(z))(z
q
− z) = [z
q(q−1)
+ (z
q−1
− 1)
q−1
](z
q
− z)
= z
q
2
− z
q(q−1)+1
+ z(z
q−1
− 1)
q
= z
q
2
− z
q(q−1)+1
+ z

q(q−1)+1
− z = z
q
2
− z.
P (g(z))(z
q
−z) = P (g(z))((z−1)
q
−(z−1)) = (z−1)
q
2
−(z−1) = z
q
2
−z.
P (f(z)) = P(g(z))
P (X) =
X
q+1
− 1
X − 1
P (q + 1)
S

s∈S
s = −1.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
S σ(z) = az + b
−1 =


s∈S
σ(s) = qb + a

s∈S
s = −a.
qb = 0 p a = 1
b = 0 q ≥ 3
s ∈ S s + b S (s + b)
q+1
= 1
1 = (s + b)
q+1
= (s + b)(s
q
+ b
q
) = s
q+1
+ s
q
b + sb
q
+ b
q+1
.
s
q+1
= 1 b(s
q

+ sb
q−1
+ b
q
) = 0 b = 0
b
q
+ sb
q−1
+ s
q
= 0.
s ∈ S

s∈S
s = −1
0 = qb
q
+ b
q−1

s∈S
s +

s∈S
s
q
= −b
q−1
+ (


s∈S
s)
q
= −b
q−1
+ (−1)
q
.
b
q−1
= (−1)
q
= −1
b = s
q
− s.
p ≥ 3 s ∈ S
(q − 1)b =

s=−1
s
q
−

s=−1
s = (

s=−1
s)

q
−

s=−1
s = 0 − 0 = 0,
b = 0
p = 2 S = {ζ, ζ
2
, , ζ
2
n
}
b = ζ
2
n
+1−j
+ ζ
j
j,
ζ
2
n
j
= ζ
2
n
+1−j
ζ
2
n

+1
= 1 j =
1, , 2
n−1
2
n−1
b =
2
n

j=1
ζ
j
= 1.
n = b = 1 n ≥ 2 b = 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
K
K
S = {s
1
, s
2
, s
3
} P (x) = (x − s
1
)(x −
s
2
)(x − s

3
)
G(x, y) =
P (x) − P (y)
x − y
P
2
P (x) − P (y)
G G
f g
P (f) = P (g) f g S
S = {s
1
, s
2
, s
3
}
P (x) = (x − s
1
)(x − s
2
)(x − s
3
) = x
3
+ a
2
x
2

+ a
1
x + a
0
.
a
2
= 0 a
1
= 0 P
b ∈ K
b
2
+ a
1
= 0
P (z + b) = z
3
+ b
3
+ a
1
(z + b) + a
0
= P (z) + b(b
2
+ a
1
) = P (z).
S

a
2
= 0 x x + a
1
/a
2
P S
a
1
= 0
f(z) = a
2
(z
2
− 1), g(z) = a
2
(z
2
+ z).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
P (f(z)) = a
3
2
(z
6
+ z
4
+ z
2
) + a

0
= P (g(z)),
S
p p
K
A
∗
(K)
K
K p ≥ 0
P (x) = x
n
− ax
m
+ 1,
n > m a = 0 K
m
m
(n − m)
n−m
a
n
= n
n
m
m
(n − m)
n−m
a
n

= n
n
(1 − ζ)
p
d
(n−m)
,
d = 0 ζ ∈ K
ζ
n−m
= (−1)
n−m
.
m n
n > m > 1
|(n, m)|
p
= 1
n|n|
p
m
n − 2 ≥ m ≥ 5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(n, m) = 1
S P K n
A
∗
(K)
d
(1 − ζ)

p
d
= 1 − ζ,
m
m
(n − m)
n−m
a
n
= n
n
(1 − ζ)
p
d
(n−m)
d ≥ 0 a
a
n, m, a P c = 1
P − c
−1
P − c
P − c
−1
P − c
c = 1
m n p
m
m
(n − m)
n−m

a
n
= n
n
(1 − c)
n−m
= n
n
(1 − c
−1
)
n−m
,
n, m n − m p
(1 − c
−1
)
n−m
= (1 − c)
n−m
,
c
n−m
= (−1)
n−m
m
m
(n − m)
n−m
a

n
= n
n
(1 − ζ)
n−m
ζ ∈ K ζ
n−m
= (−1)
n−m
P − ζ ζ = 1
c = 1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
n > m > 1
h
K α ∈ K
w
+
α
(h
n
− 1) > w
α
(h
m
− 1).
n = p
s
d d = n|n|
p
≥ 2 p

d m
n ζ m α
h(α) = ζ α
w
+
α
(h
n
− 1) > w
α
(h
m
− 1),
h ζ h
K K ∪ {∞}
h ζ
s > 0 |(n, m)|
p
= 1 (m, p) = 1 x
m
− 1
m p
s
x
n
− 1
α h(α) = 1
w
+
α

(h
n
− 1) = p
s
w
α
(h
m
− 1),
s = 0 n
n(n ≥ 3)
n m n ζ
η η
n
= 1 η
m
= 1 α
h(α) = η
f g
f

g

K, p, a, P, n m f g
A
∗
(K) P (f) = cP (g) f
s
g
s

A
∗
(K) a
s
= 0 c
s
= 0 K
P
s
(x) = x
n
− a
s
x
m
+ 1,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
P
s
(f
s
) = c
s
P (g
s
).
a
s
a
f


s
≡ 0 g

s
≡ 0
P (f) = cP (g)
P

(f)f

= cP

(g)g

.
|(n, m)|
p
= 1 P

f

g

f g
f
1
g
1
A

∗
(K) f
p
1
= f
g
p
1
= g
P
1
(x) = x
n
− a
1
x + 1,
a
1
a
p
1
= a
[P
1
(f
1
)]
p
= P (f) = cP (g) = [c
1

P
1
(g
1
)]
p
,
c
p
1
= c f f
1
g g
1
P P
1
f
s
g
s
m
m
(n − m)
n−m
a
n
s
= n
n
m

m
(n − m)
n−m
a
n
s
= n
n
(1 − ζ)
p
d
(n−m)
d
p
s
a = a
p
s
s
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
a P
P − ζ
ζ = 1 ζ
n−m
= (−1)
n−m
f g A
∗
(K) S P (f) = cP (g) c
f


g

≡ 0
P (f) = cP (g)
c = 1 c = 1
Q(x) = x
n
− ax
m
+ 1 − 1/c.
Q(g) = P (g) − c
−1
= c
−1
(P (g) − 1) = c
−1
(f
n
− af
m
).
Q
1
(x) = P (x) − c
Q
1
(f) = P (f) − c = c(c
−1
P (f) − 1) = c(P (g) − 1) = c(g

n
− ag
m
).
Q Q
1
Q
f g
Q(x) =
n

j=1
(x − e
j
),
e
j
f
n
− af
m
=
n

j=1
(f − e
j
).
(3) Z(r, Q(g)) − Z(r, Q(g)) = Z(r, f
n

− af
m
) − Z(r, f
n
− af
m
)
≥ (m − 1)Z(r, f).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(4) Z, (r, Q(g)) − Z(r, Q(g)) =
n

j=1
[Z(r, g − e
j
) − Z(r, g − e
j
]
≤ T (r, g) − log r + O(1).
nT (r, f) = T(r, P (f)) + O(1) = T (r, P(g)) + O(1) = nT (r, g) + O(1),
T (r, g) = T (r, f) + O(1).
(m − 1)T (r, f) = (m − 1)Z(r, f) ≤ T(r, g) − log r + O(1),
m < 1 c = 1
h = f/g P(f) = P (g)
g
n−m
= a
h
m
− 1

h
n
− 1
.
h f g
m n h
α ∈ K
w
+
α
(h
n
− 1) > w
α
(h
m
− 1).
α g
n−m
h
f g
m n
(n, m) = 1 n
m n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
m p m − 1 ζ
1
, , ζ
m−1
K n m

α ∈ K h(α) = ζ
j
g
n−m
(α) = a
h
m
(α) − 1
h
n
(α) − 1
= 0.
∞ g α
h n − m
(m − 2)T (r, h) ≤
m−1

j=1
Z(r, h − ζ
j
) + N(r, h) − log r + O(1)
≤ (n − m)
m−1

j=1
Z(r, h − ζ
j
) + N(r, h) − log r + O(1).
(m − 2)T (r, h) ≤ (
m − 1

n − m
+ 1)T (r, h) − log r + O(1).
m − 2 < (
m − 1
n − m
+ 1).
n − m ≥ 2 m < 5
≥ 4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
≥ 6
K
P (x) = x
n
− ax
n−1
+ 1.
n > 2 p K
a = 0 K
(n − 1)
n−1
a
n
= n
n
(n − 1)
n−1
a
n
= 2n
n

.
S P n
A
∗
(K)
K n (n−1)
n−1
a
n
= 2n
n
.
a = 0 n
n = n m = n − 1 n|n|
p
n n|n|
p
> 1 n p n
n − 1
n − m = 1 a
(n − 1)
n−1
a
n
= n
n
(n − 1)
n−1
a
n

= n
n
2
p
d
(n−m)
d ≥ 0 2
p
d
= 2 d ≥ 0
p
d
K p ≥ 3 n =
p
r
≥ 7 r
P (x) = x
n
− ax
n−2
+ 1.
a = 0
4(n − 2)
n−2
a
n
= n
n
(n − 2)
n−2

a
n
= n
n
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
S P n
A
∗
(K)
K n = 2
r
≥ 8
r
P (x) = x
n
− ax
n−3
+ 1.
a = 0 S P n
A
∗
(K)
P (x) S
F
c
(x, y) = P (x) − cP (y) = 0
c = 0 f g S
f g F
c

= 0
c = 0
F
c
c = 1
F
1
x − y = 0 f = g
S
P (x) F
c
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên