Tập xác định duy nhất các hàm nguyên trên trường đặc số dương

➜➵✐ ❍ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥
❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠
✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲
◆❣✉②Ô♥ ❱➝♥ ❑❤✉②Õ♥
❚❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝➳❝ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥
tr➟♥ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ❞➢➡♥❣
▲✉❐♥ ✈➝♥ t❤➵❝ sÜ ❚♦➳♥ ❤ä❝
❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ✲ ✷✵✵✾
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
➜➵✐ ❍ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥
❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠
✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲
◆❣✉②Ô♥ ❱➝♥ ❑❤✉②Õ♥
❚❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝➳❝ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥
tr➟♥ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ❞➢➡♥❣
❈❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤✿ ➜➵✐ sè ✈➭ ▲ý t❤✉②Õt sè
▼➲ sè✿ ✻✵✳✹✻✳✵✺
▲✉❐♥ ✈➝♥ t❤➵❝ sÜ ❚♦➳♥ ❤ä❝
◆❣➢ê✐ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❦❤♦❛ ❤ä❝✿ ●❙✳❚❙❑❍✳ ❍➭ ❍✉② ❑❤♦➳✐
❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ✲ ✷✵✵✾
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
▼ô❝ ❧ô❝
▼ô❝ ❧ô❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶
▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷
✶ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ së ✺
✶✳✶ ❚r➢ê♥❣ ➤Þ♥❤ ❣✐➳✱ tr➢ê♥❣ ♣❤✐ ❆r❝❤✐♠❡❞✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺
✶✳✷ ❚❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t✱ ➤❛ t❤ø❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼
✶✳✸ ▲ý t❤✉②Õt ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ❞➢➡♥❣✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽
✷ ❚❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝➳❝ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ❞➢➡♥❣ ✶✶
✷✳✶ ❚❐♣ ❦❤➠♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ✈➭ ❝ø♥❣ ❛❢❢✐♥❡ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ➤➷❝
sè ❞➢➡♥❣✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶

✷✳✷ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ✈Ò t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺
✷✳✸ ◆❤÷♥❣ ✈Ý ❞ô ✈Ò t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶
❑Õt ❧✉❐♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✶
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✸✷
✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉
❱✃♥ ➤Ò t×♠ ❝➳❝ t❐♣ ①➳❝ ❞Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❤➭♠ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ❞➢➡♥❣ ❧➭
♠ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ✈✃♥ ➤Ò ♠í✐ ❝ñ❛ ❧ý t❤✉②Õt sè✳ ❈❤♦ ➤Õ♥ ♥❛② ♠í✐ ❝❤Ø ❝ã r✃t
Ýt ❝➠♥❣ tr×♥❤ t❤❡♦ ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♥➭②✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ❝ã ♠ô❝ ➤Ý❝❤ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉
♥❤÷♥❣ ❦Õt q✉➯ ♠í✐ ♥❤✃t ♥❤➺♠ t×♠ r❛ ♥❤÷♥❣ ❝➳❝❤ t✐Õ♣ ❝❐♥ s➞✉ ❤➡♥✳ ◆é✐ ❞✉♥❣
♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❜❛♦ ❣å♠✿
✲❚r×♥❤ ❜➭② ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t r❛ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ❞➢➡♥❣✱
✲❳➞② ❞ù♥❣ ♠ét sè t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝➳❝ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ➤➷❝
sè ❞➢➡♥❣✱
✲❚Ý♥❤ t♦➳♥ ♠ét sè ✈Ý ❞ô ❝ô t❤Ó✳
❚r♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♥❤➞♥ tö ❤♦➳ ❝ñ❛ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ ✭ tr♦♥❣ ♠➷t
♣❤➻♥❣ ♣❤ø❝ ✮✱ ❋✳ ●r♦ss ❬✼❪✱ ♥➝♠ ✶✾✼✻✱ ➤➲ ➤➢❛ r❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤
❞✉② ♥❤✃t✳ ❈✉♥❣ ❝✃♣ ♥❤÷♥❣ ✈Ý ❞ô ✈Ò t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝➳❝ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥
♣❤ø❝ ✭❦❤➳❝ ❤➺♥❣✮ ➤➲ trë t❤➭♥❤ ❝❤ñ ➤Ò ❝ñ❛ ♠ét sè ❜➭✐ ❜➳♦ ❣➬♥ ➤➞②✳ ▲ý t❤✉②Õt
◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ➤➲ trë t❤➭♥❤ ❝➠♥❣ ❝ô ❝❤Ý♥❤ ➤➢î❝ sö ❞ô♥❣ ➤Ó ①➞② ❞ù♥❣ ♥❤÷♥❣ ✈Ý
❞ô ➤ã✳
❇♦✉t❛❜❛❛✱ ❊s❝❛ss✉t ✈➭ ❍❛❞❞❛❞ ❬✺❪ ➤➲ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t
❝❤♦ ❝➳❝ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥ ♣❤✐ ❆r❝❤✐♠❡❞ ✭tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ✵✮ ✈➭ ♥Õ✉ t❤✉ ❤Ñ♣
➤Ó ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝✱ t❤× ❝ã ♠ét sù ❜✐Ó✉ t❤Þ ➤Ñ♣ ✈Ò ♠➷t ❤×♥❤ ❤ä❝ ❝❤♦
t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❤÷✉ ❤➵♥✳
➜Þ♥❤ ❧ý ❆ ✭❇♦✉t❛❜❛❛✱ ❊s❝❛ss✉t ✈➭ ❍❛❞❞❛❞ ❬✺❪✮✳ ❈❤♦ K ❧➭ tr➢ê♥❣ ❝ã ➤➷❝
sè ✵✳ ❈❤♦ F ❧➭ ❤ä ♥❤÷♥❣ ➤❛ t❤ø❝ ❦❤➳❝ ❤➺♥❣ ✈í✐ ❤Ö sè tr➟♥ K✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ♠ét
t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥ S tr♦♥❣ K ❧➭ t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝❤♦ F ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ S ❧➭
❝ø♥❣ ❛❢❢✐♥❡✳

✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
rr ở rộ ị ý trờ ợ
ữ r ột ế tr trờ số
ủ t ứ ớ ột trị tệt ố r
r sốt K sẽ ột trờ ủ t ớ ột
trị tệt ố r ị t ó ĩ t
ị t ể ộ ủ ọ A

(K) ữ r
tr K ó tể tứ tr trờ t ỳ trờ
ợ ệt ủ r ột ế tr K ó
t ể t ọ r ệ ề
ó ũ ú ớ tứ ột ứ t tý
số ì ọủ ị ý t ssst
rõ r ị ý ũ ú tr trờ số ữ t ó ự
ợ tố ớ n ĩ
ị ý ị ý ủ K ó số p 0 ủ
t ứ ớ ột trị tệt ố A

(K) ọ ữ
r tr K S ột t ó ự ợ
ữ n sử tố ớ p ế p > 0 ó S t ị
t ủ ọ A

(K) ế ỉ ế S ứ
ề ì sẽ r số p ết ự ợ ủ ột t r
rr ột í ụ ề ột t tử ứ
ột t ị t tr trờ số
ì ó t ứ ó ự ợ ũ ó t

ị t ó ự ợ tr trờ số tr trờ
số t ì ột số ỏ tế t ợ t r ó t
ị t ó ự ợ p tr trờ số p ồ t t
ữ ứ ó ự ợ n t ị t
n ột ộ ỹ từ ủ số
ụ í í ủ trì ết q ủ t
rr ssst ột ó ọ ọ t ố ụ r ụ tể
ộ ở tr tr ờ ỏ ừ ớ ụ í

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ợ
ế tứ sở r ú t trì
ột số ế tứ ụ ụ ệ ứ ột số ị ý tr
ở
ị t tr trờ
số rớ ết ú t trì ề t ị
t ứ tr trờ số ế t ú t trì
ị ý ứ ủ ó ề t ị t ó ự ợ
4 tr trờ số t ì ũ í trọ t ủ
ố ù ú t r í ụ ề t ị t ó ự ợ
n ớ ọ n 4 tr trờ số t ì ớ t ó ự ợ ỏ t
ò ó tể sử ụ ụ số ì ọ sẽ trì tr ố
ủ
tỏ ò ết s s tớ t
ộ ệ ọ ệ ọ ệ qố ờ
ệt tì ớ ỉ t ữ ế tứ ệ tr q
trì t ứ ọ
ũ tỏ ò ết tớ ữ ờ t tr ì
ữ ờ t tết ộ ú ỡ t tr q trì ọ t
t

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

ế tứ sở
rờ ị trờ r
ị ĩ p ột số tố ột số p ó tể
ợ t ề ột é ể ễ ó ột ỗ
x = a
0
+ a
1
p + a
2
p
2
+ ..., a
i
Z().
ổ r x
n
= a
0
+a
1
p+a
2
p
2
+...+a
n

p
n
s x
n
x
n1
= a
n
p
n

ột số p ũ ó tể ợ ị ĩ ột số
x = {x
0
, x
1
, ...} t x
n
x
n1
mod p
n
, n = 1, 2, ...
ổ tí ủ ữ số p ợ ị ĩ ở é
tứ ế ợ sử ụ ớ é ể ễ t ó
x + y = {x
n
+ y
n
}, xy = {x

n
y
n
}.
ớ é ộ é ị ĩ tr t ó số
p í ệ
p

ị ĩ ố p x = {x
n
} ợ ọ ột ị ủ

p
ũ ọ ị p ế x
0
0 mod p ệt ột số
a ị p ế a 0 mod p
rờ t Q
p
ủ
p
ợ ọ trờ số p ỗ Q
p
ó p
m
u ớ m ột số ó tể u ột ị ủ

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

p

ó trể rt
a
r
p
r
+ ... +
a
1
p
+ a
0
+ a
1
p + ...
ột é ể ễ =
x
p
r
ớ x ột số p r 0
ể ễ t ợ é ộ é tr Q
p

ị ĩ ị p tr Q
p
ột trị
v
p
: Q
p
Z

ợ ị ĩ ở
v
p
(p
m
u) = m.
ổ qt
ị ĩ ột ị v tr trờ K ột trị tự
tr K \ {0} t
v(xy) = v(x) + v(y), x, y K;
v(x + y) min{v(x), v(y)}, x, y K;
ớ t v(0) = +(v(x) = + x = 0).
ột trờ K ớ ị v ợ ọ trờ ị
ế c ột số tự ớ tì ị v s ột trị tệt
ố tr K tứ
|x| = c
v(x)
.
v = v
p
số c ợ p t t ợ trị tệt ố
p
|x|
p
= p
v
p
(x)
.
ì trị tệt ố p ủ p

n
p
n
ỉ ế n
tr số ũ ỉ
ó ế p
e
ỹ từ ớ t ủ p ết n tì
t t |n|
p
= p
e

ổ qt

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ị ĩ ột trị tệt ố tr trờ K ột trị
tự tr trờ K
| ã | : K R
+
= [0, +)
t ề ệ s
|x| 0 tứ r ế ỉ ế x = 0
|xy| = |x|.|y|, x, y K;
|x + y| |x| + |y|, x, y K.
trị tệt ố s ở ột ị t ột tí
t
|x + y| max{|x|, |y|}, x, y K.
ột trị tệt ố t ợ ọ trị tệt ố
r

ột trờ ớ trị tệt ố r ợ ọ trờ
r
trị tệt ố ợ ọ t tờ í ệ | ã |
0
ế
|x|
0
=

1 : x K \ {0}
0 : x = 0.
õ r ó ột trị tệt ố r tr K K ể
ủ t ứ ớ trị tệt ố
ị t tứ ị t
ị ĩ f ột tứ ột
S ột t tr ề trị ủ f ị ĩ
E(f, S) =

aS
{(z, m) : f(z) = a ớ số ộ m},
t ò ù í ệ E
S
(f) z tr ề ị ủ f
m ột số t ỳ f g ợ ọ S

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ớ số ộ ế E(f, S) = E(g, S)
ột t S ợ ọ t ị t ể ộ ủ ột ọ
F ế ớ f, g F s E(f, S) = E(g, S) tì t ó f g
tờ ét ọ F ỉ ì ì

ữ tỉ tứ
ị ĩ f g ì tứ P (z)
ợ ọ tứ ị t ì ế từ tứ
P
S
(f) = P
S
(g) tì f g
tứ P (z) ợ ọ tứ ị t t ĩ rộ
ì ế từ tứ P
S
(f) = c.P
S
(g), c = 0 tì f g ớ f
g ì
ị ĩ ột t ợ ọ ứ ế é ế ổ
t t t ế ổ ồ t
ý tết tr trờ số
rớ ết t ớ tệ ột số í ệ ể s ó t
ể ị ý t sẽ ụ tr ệ ứ ị ý
í ủ t ở s ở K sẽ ột trờ ó số ủ
t ứ ớ ột trị tệt ố r số p 0 f
ột ì r tr K ớ ỗ z
0
K í ệ w
z
0
(f)
trệt t ủ f t z
0

ó ế f(z
0
) = 0 tì w
z
0
(f) í ệ số ộ
ủ ể t z
0
ế f ó ột ự ể tì w
z
0
(f) í ệ ủ
ự ể ị ĩ
w
+
z
0
(f) = max{0, w
z
0
(f)}.
ớ ỗ r > 0 t ị ĩ ế ủ ể ở
Z(r, f) =

0<|z
0
|<r
w
+
z

0
(f) log
r
|z
0
|
+ w
+
0
(f) log r.

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ế p > 0 t u(f) số ớ t s ở tồ t ột
ì g tr K t
f = g
p
u(f)
.
ế p = 0 q ớ t p
u(f)
= 1 ế t t ị ĩ ế t ụt
ở
Z(r, f) =

0<|z
0
|<r
min{1, w
+
z

0
(f) mod p
u(f)+1
} log
r
|z
0
|
+ min{1, w
+
0
(f) mod p
u(f)+1
} log r.
r trờ số t tờ tí modp
u(f)+1
ớ r
tr trờ số ế t ụt ế ú ể ủ f
ể số ộ ủ ú r trờ số p > 0 ó ũ
ố ó ũ tí ể ó số ộ
ột ộ ủ p
u(f)+1
ũ ét ế ự ể ĩ
N(r, f) = Z(r,
1
f
) N(r,
1
f
) = Z(r,

1
f
).
ù t ị ĩ t tự tr ở
T (r, f) = max{Z(r, f), N(r, f)}.
ý tết ị t ễ s r ột
t tự ị ý ứ t ủ
ị ý ị ý ứ t ế f ột ì
tr K a K tì
T (r, f) = T (r, 1/f) = T (r, f a) + O(1).
ệ q ế P ột tứ d f ột ì tr
K tì T (P (f), r) = dT (f, r) + O(1)
tự ủ ị ý ứ t sẽ trờ ợ
ệt ủ ị ý ợ ứ tr

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✸ ✭ ➜Þ♥❤ ❧ý ❈➡ ❜➯♥ ❚❤ø ❤❛✐ ❬✹❪✮✳ ❈❤♦ α
1
, ..., α
n
❧➭ n ➤✐Ó♠ ♣❤➞♥
❜✐Öt tr♦♥❣ K ✈➭ ❝❤♦ f ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ tr➟♥ K✳ ❑❤✐ ➤ã
n − 1
p
u(f)
T (r, f) ≤
n

i=1
Z(r, f − α

i
) + N(r, f) − log r + O(1).
❚❛ sÏ ❝❤Ø t❤ù❝ sù ❝➬♥ ➤Þ♥❤ ❧ý tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ f

≡ 0✱ tr♦♥❣ ➤ã u(f) = 0✳
❍Ö qñ❛ ❞➢í✐ ➤➞② tõ ➤Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✸ sÏ ❝ò♥❣ r✃t ❝ã Ý❝❤✳
❍Ö q✉➯ ✶✳✸✳✹✳ ❈❤♦ f ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ tr➟♥ K s❛♦ ❝❤♦ f

≡ 0 ✈➭ ❝❤♦
α
1
, ..., α
n
❧➭ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ♣❤➞♥ ❜✐Öt tr♦♥❣ K✳ ❑❤✐ ➤ã
n

j=1
[Z(r, f − α
j
) − Z(r, f − α
j
)] ≤ T (r, f) − log r + O(1).
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚õ ➤Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✶✱
n

j=1
Z(r, f − α
j
) = nT (r, f) + O(1),
✈➭ tõ ➤Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✸✱

n

j=1
Z(r, f − α
j
) − log r + O(1) ≥ (n − 1)T (r, f) − log r + O(1).
❱× ✈❐②✱
n

j=1
[Z(r, f −α
j
)−Z(r, f −α
j
)] ≤ nT (r, f)+(1−n)T (r, f)−log r +O(1).
✶✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ị t
tr trờ số
ị t ứ tr
trờ số
sở ọ ệ t tr ò ệ ề ớ
ệ ề K ột trờ ó số ủ t ứ ớ
ột ị r S ột t ữ tr K
P (x) =

sS
(x s) tứ ỏ t ớ ệ số tr K t ệ
ủ ó S ó f g tr A

(K) S ể ộ ế
ỉ ế tồ t số c K, c = 0 s P (f) = cP (g)
ứ ế P (f) = cP (g) tì P (f) = 0 ế ỉ ế P (g) = 0
trệt t ớ ù số ộ ó f g rõ r S ể
ộ f g S ể ộ tì P (f)/P (g) ột
tí tr K ó ể ó số ề
ễ s r từ ý tết ị t ó
ũ s từ ị
ú ý ế ột t t ị t ọ
tứ tì ó ũ t ị t ọ
r tr ỉ ét ớ
tứ

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn