Luận văn: ĐỊNH LÍ ĐIỂM CÂN BẰNG BLUM-OETTLI VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG pdf

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM



ĐOÀN VĂN SOẠN




ĐỊNH LÍ ĐIỂM CÂN BẰNG BLUM-OETTLI
VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG









LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên-2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x ∈ C g(x, y) + h(x, y) ≥ 0 y ∈ C,
C X
g : C × C −→ R h : C × C −→ R
R
h = 0
g = 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x ∈ C f(x, y) ≤ 0 y ∈ C
C f : C × C −→ R
X C
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f f(x, y) +f (y, x) ≥ 0 x, y ∈ C
A : C −→ X
∗
Ax − Ay, x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ C,
X
∗
X
f x, y ∈ C

f(x + t(y − x), y) t [0; 1]
A : C −→ X
∗
A(x + ty), z x, y, z ∈ C
t [0; 1]
ϕ : C −→ R x ∈ C ϕ(x) ≤ ϕ(y) y ∈ C
min{ϕ(x) | x ∈ C}
f(x, y) = ϕ(x)−ϕ(y) x ∈ C
f(x, y) ≤ 0 y ∈ C
f
ϕ : C
1
× C
2
→ R (x
1
, x
2
) ϕ
(x
1
, x
2
) ∈ C
1
× C
2
, ϕ(x
1
, y

2
) ≤ ϕ(y
1
, x
2
), ∀(y
1
, y
2
) ∈ C
1
× C
2
. (1.1)
C = C
1
× C
2
f : C × C −→ R
f((x
1
, x
2
); (y
1
, y
2
)) = ϕ(x
1
, y

2
) − ϕ(y
1
, x
2
).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x = (x
1
, x
2
)
x f
X = X
∗
T : C → C
x ∈ C T (x) = x (1.2)
f(x, y) = x − T x, x −y x
(1.2)
⇒
⇒ (1.2) y = T x
0 ≥ f(x, y) = x − y 
2
≥ 0 x = T x
f(x, y) + f(y, x) = x − Tx, x − y + y − T y, y − x
= T y − Tx, x − y + x − y, x − y
= T y − Tx, x − y+  x − y 
2
= −T x−T y, x−y+  x−y 
2

f
T x − T y, x − y ≤ x − y 
2
.
T : C −→ X

x ∈ C
T x, x − y ≤ 0, ∀y ∈ C (1.3)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f(x, y) = T x, x − y (1.3)
f T
C
C

= {x

∈ X

| x

, y ≥ 0, ∀y ∈ C}
T : C → X

x ∈ X
x ∈ C, T x ∈ C

, T x, x = 0. (1.4)
(1.4) (1.3)
(1.4) ⇒ (1.3)
(1.3) y = 2x y = 0 (1.3) T x, x = 0.

⇒ (1.4)
I i ∈ I
K
i
i K =

i∈I
K
i
.
i ∈ I, f
i
: K −→ R i
x = (x
i
)
i∈I
∈ K
x
i
= (x
j
)
j∈I,j=i
x = (x
i
)
i∈I
∈ K
i ∈ I

f
i
(x) ≤ f
i
(x
i
, y
i
), ∀y
i
∈ K
i
(1.5)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f : K × K −→ R
f(x, y) =

i∈I
(−f
i
(x
i
, y
i
) + f
i
(x)).
x ∈ K x
i ∈ I
i ∈ I y ∈ K x

i
= y
i
,
f(x, y) = −f
i
(x
i
, y
i
) + f
i
(x)
i ∈ I. f
C F : C × C −→ R
F x ∈ C
F (x, y) ≤ 0 y ∈ C F
1976
C X
g : C × C −→ R g(x, x) ≤ 0 x ∈ C
g
x ∈ C, g(x, .)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
B ⊂ C y
0
∈ B
g(x, y
0
) > 0, ∀x ∈ C \ B.
x ∈ C : g(x, y) ≤ 0, ∀y ∈ C (1.6)

B
ψ = 0 ψ = 0
y ∈ C
G(y) = {x ∈ C : g(x, y) ≤ 0}
H(y) = {x ∈ C : g(y, x) ≥ 0}
F (y) = G(y)
A A
T E w ∈ T
F (w) E
{w
1
, w
2
, , w
n
}
co{w
1
, w
2
, , w
n
} ⊂
n

i=1
F (w
i
)
coA A

w
0
∈ T F (w
0
)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

w∈T
F (w) = ∅.
X C
X F : C −→ 2
X
{x
1
, x
2
, , x
n
} ⊂ C
co{x
1
, x
2
, , x
n
} ⊂
n

i=1
F (x

i
).
F : T → 2
X
C X
g : C × C −→ R g(x, x) ≤ 0, ∀x ∈ C
g
x ∈ C, g(x, .)

y∈C
F (y) =

y∈C
H(y) =

y∈C
G(y)
C
G(y) ⊂ F (y) y ∈ C

y∈C
F (y) ⊂

y∈C
H(y) ⊂

y∈C
G(y).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x ∈ G(y) g(x, y) ≤ 0 g

g(x, y) ≤ 0 ≤ g(x, y) + g(y, x).
g(y, x) ≥ 0 x ∈ H(y) G(y) ⊂ H(y)
y ∈ C H(y) g(y, .)
F (y) G(y) G(y) ⊂ H(y) F (y) ⊂ H(y)

y∈C
F (y) ⊂

y∈C
H(y).

y∈C
H(y) ⊂

y∈C
G(y),
g(y, x) ≥ 0 ∀y ∈ C, (1.7)
g(x, y) ≤ 0 ∀y ∈ C. (1.8)
x ∈ C (1.7)
y ∈ C
g(x, y) > 0. (1.9)
x
t
= ty + (1 − t)x, t ∈ [0; 1] g(x
t
, y)
t ∈ [0, 1] t → 0
+
. t > 0
(1.9)

g(x
t
, y) > 0, ∀t ∈ (0; t). (1.10)
y = x
t
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
g(x
t
, x) ≥ 0, ∀t ∈ [0, 1]. (1.11)
g(x, .) (1.10) (1.11)
g(x
t
, x
t
) > 0, ∀t ∈ (0, t),

y∈C
H(y) ⊂

y∈C
G(y).

H(y) y ∈ C
B
{F (y) : y ∈ C}
y ∈ C F (y) F (y
0
)
G(y
0

) B ⊂ C F (y
0
)
{y
1
, y
2
, , y
n
} C
co{y
1
, y
2
, , y
n
} ⊂
n

i=1
F (y
i
).
F (y) G(y)
co{y
1
, y
2
, , y
n

} ⊂
n

i=1
G(y
i
).
y ∈ co{y
1
, y
2
, , y
n
} \
n

i=1
G(y
i
).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
λ
i
≥ 0, i = 1, , n,
n

i=1
λ
i
= 1, y =

n

i=1
λ
i
y
i
g(y, y
i
) > 0, ∀i = 1, 2, , n g(y, .)
0 <
n

i=1
λ
i
g(y, y
i
) ≤ g(y,
n

i=1
λ
i
y
i
) = g(y, y).
g(y, y) ≤ 0
{F (y) : y ∈ C}


y∈C
F (y) = ∅.

y∈C
F (y) =

y∈C
H(y) =

y∈C
G(y) = ∅,

C X
A : C −→ X
∗
∃y
0
∈ C :
Ax,x−y
0

x
−→ +∞ x −→ +∞, x ∈ C. (1.12)
x ∈ C : Ax, x − y ≤ 0, ∀y ∈ C (1.13)
C
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
X g(x, y) = Ax, x − y
(1.12)
y
0

(1.12) B = {x ∈ C : x ≤ R} R > 0 
X C ⊂ X
f : C × C −→ R
x ∈ C, f(x, x) ≤ 0 f(x, .)
B ⊂ C x ∈ C \ B
y ∈ B f(x, y) > 0.
x ∈ C f(x, y) ≤ 0 y ∈ C
y ∈ C
K(y) = {x ∈ B : f(x, y) ≤ 0},
G(y) = {x ∈ C : f(x, y) ≤ 0},
Q(y) F (y) K(y) G(y)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

y∈C
K(y) =

y∈C
[G(y) ∩B] = [

y∈C
G(y)] ∩B =

y∈C
G(y)

y∈C
Q(y) ⊆

y∈C
F (y) =


y∈C
G(y)

y∈C
K(y) ⊆

y∈C
Q(y),

y∈C
K(y) =

y∈C
Q(y).
y
1
, , y
n
∈ C C
0
= co(B ∪{y
1
, , y
n
}) C
0
x
0
∈ C

0
f(x
0
, y) ≤ 0, ∀y ∈ C
0
C
x
0
∈
n

i=1
K(y
i
) ⊆
n

i=1
Q(y
i
).
Q(y), y ∈ C, B
x ∈

y∈C
K(y) =

y∈C
Q(y),
f(x, y) ≤ 0 y ∈ C x


X
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
C = R
n
, n A : C −→ R
n
f : C × C −→ R
f(x, y) = Ax(x − y)
T
Ax = (x
2
, −x
1
, x
4
, −x
3
, , x
n
, −x
n−1
)
{x ∈ C : f(x, y) ≤ 0} y ∈ C
B = {x = (x
1
, , x
n
) ∈ C : −1 ≤ x
i

≤ 1, i = 1, , n}
C X
g : C × C −→ R g(x, x) ≤ 0, x ∈ C
x ∈ C, g(x, .)
y ∈ C, g(., y) X
B ⊂ C y
0
∈ B
g(x, y
0
) > 0 x ∈ C \ B
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x ∈ C : g(x, y) ≤ 0, ∀y ∈ C (1.14)
B
G(y) = {x ∈ C : g(x, y) ≤ 0}, y ∈ C
G(y) y ∈ C g(., y)
G(y
0
) B
G(y
0
)
G
{y
1
, , y
n
} ⊂ C
co{y
1

, , y
n
} ⊂
n

i=1
G(y
i
),
y =

n
i=1
λ
i
y
i
λ
i
≥ 0, ∀i = 1, , n,

n
i=1
λ
i
= 1
y ∈ G(y
i
), ∀i = 1, , n. g(y, y
i

) > 0∀i = 1, , n
n

i=1
λ
i
g(y, y
i
) > 0
g(y, .)
0 <
n

i=1
λ
i
g(y, y
i
) ≤ g(y,
n

i=1
λ
i
y
i
) = g(y, y),
g(x, x) ≤ 0 x ∈ C G

y∈C

G(y) = ∅,
B
(1.14) B 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
C
f : C × C −→ R
y ∈ C f(., y)
x ∈ C f(x, .)
f(x, x) ≤ 0 ∀x ∈ C.
x ∈ C f(x, y) ≤ 0 y ∈ C.
C X a(u, v)
X γ > 0
a(u, v) ≥ γ  u 
2
∀u ∈ X.
u ∈ C : a(u, u − v) ≤ 0 ∀v ∈ C
X
g(u, v) = a(u, u − v).
v ∈ X u → a(u, u − v) X
X a(u, v)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
a(u, u) ≥ 0 u ∈ X
w
0
∈ C B = {u ∈ X : u ≤ R} R > 0
a(u, v)
a(u, u − w
0
) −→ +∞  u → +∞
w

0
B 
X C ⊂ X
f : C × C −→ R
f(x, x) ≤ 0, ∀x ∈ C
x ∈ C f(x, .) C
y ∈ C f(., y) C
B ⊂ C x ∈ C \ B
y ∈ B f(x, y) > 0
x ∈ C f(x, y) ≤ 0 y ∈ C
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
K(y) = {x ∈ B : f(x, y) ≤ 0}, y ∈ C K(y)
B y
1
, , y
n
∈ C C
0
= co(B ∪ {y
1
, , y
n
}) C
0
x
0
∈ C
0
f(x
0

, y) ≤ 0, ∀y ∈ C
0
x
0
∈

n
i=1
K(y
i
) {K(y) : y ∈ C}
K(y) B
x ∈

y∈C
K(y) f(x, y) ≤ 0, ∀y ∈ C 
X = C = R
f : C × C −→ R
f(x, y) =



1, xy < 0
0, xy ≥ 0
B = [−1, 1] y ∈ C
{x ∈ C : f(x, y) ≤ 0}
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2.2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2.3

X C
X f (x, y) C × C
f(x, x) ≤ 0, ∀x ∈ C
x ∈ C, {y ∈ C : f(x, y) > 0}
y ∈ C f(., y)
C X
x, y ∈ C, x
α
C x
f(x
α
, (1 − t)x + ty) ≤ 0, ∀t ∈ [0, 1] f(x, y) ≤ 0
B X y
0
∈ B ∩ C f(x, y
0
) > 0
x ∈ C\B.
x
0
∈ B ∩ C f(x
0
, y) ≤ 0 y ∈ C.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên