Luận văn: Một kết quả hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor doc

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
> s
> s
> s
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
(R, m)
m, I R M R A R
Z I = mZ m = p
α
1
1
. . . p
α
k
k
m Ass
Z
Z/I
n
Z = {p
1
Z, . . . , p
k
Z}
n
Z
Ass
R
(M/I

n
M) Ass
R
(I
n
M/I
n+1
M) n
n  0.
Att
R
(0 :
A
I
n
) Att
R
(0 :
A
I
n+1
/0 :
A
I
n
)
n n  0
M/I
n
M

∼
=
Tor
R
0
(R/I
n
, M) (0 :
A
I
n
)
∼
=
Ext
0
R
(R/I
n
, A).
Ext
i
R
(R/I
n
, A) Tor
R
i
(R/I
n

, M) i
Ass
R

Tor
R
i
(R/I
n
, M)

Att
R

Ext
i
R
(R/I
n
, A)

, n = 1, 2, . . .
n
Att
R

Tor
R
i
(R/I

n
, A)

Ass
R

Ext
i
R
(R/I
n
, M)

, n = 1, 2, . . .
n n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

n
Att
R

Tor
R
i
(R/I
n
, A)


n

Ass
R

Ext
i
R
(R/I
n
, M)


n0
Att
R

Tor
R
i
(R/I
n
, A)


n0
Ass
R

Ext
i
R

(R/I
n
, M)

M
> s > s M I depth
>s
(I, M)
dim Supp H
i
I
(M)  s i  r
{p ∈

n0
Ass
R

Ext
t
R
(R/I
n
, M)

| dim(R/p) ≥ s}
t  r, r = depth
>s
(I, M).
> s

(Att
R
A)
≥s
= {p ∈ Att
R
A | dim(R/p) ≥ s}


n∈N
Att
R
(Tor
R
t
(R/I
n
, A))

s
,


n
1
, ,n
k
∈N
Att
R

(Tor
R
t
(R/(x
n
1
1
, . . . , x
n
k
k
)R, A

≥s
t  r n n
1
, . . . , n
k
r = Width
>s
(I, A) > s A I
(x
1
, . . . , x
k
) I
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
3 1
2 M
> s

> s
> s
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
R A
R M R
. . .
m R m
Γ
m
(A) A
Γ
m
(A) =

n≥0
(0 :
A
m
n
).
A R
m R Γ
m
(A) = 0
m
1
, . . . , m
r
A = Γ

m
1
(A) ⊕ . . . ⊕ Γ
m
r
(A) Supp A = {m
1
, . . . , m
r
}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
j ∈ {1, . . . , r} s ∈ R \ m
j
s
Γ
m
j
(A) Γ
m
j
(A)
R
m
j
Γ
m
j
(A) R
R
m

j
A
m
j
∼
=
Γ
m
j
(A), j = 1, . . . , r.
(R, m) m
R,

R,
m
t
, t = 0, 1, 2, . . .

R

R
r ∈ R
r
A R
(R, m) A

R

R m R
A R A


R A
A

R
(R, m) E = E(R/m)
R/m D() = Hom
R
(, E) C
R
R R R M
µ
M
: M −→ DD(M) = Hom
R
(Hom
R
(M, E), E)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
R µ
M
(x)(f) = f(x), x ∈ M,
f ∈ Hom(M, E).
R E f ∈ Hom
R
(E, E)
a
f
∈ R : f(x) = a
f

x, ∀x ∈ E.
N R D(N)
A R D(A)
Ann M = Ann D(M) M R 
R
(M) < ∞

R
(D(M)) = 
R
(M).
N R A R j ∈ N
D(N/I
j
N)
∼
=
(0 :
D(N)
I
j
)
D(I
j−1
N/I
j
N)
∼
=
(0 :

D(N)
I
j
)/(0 :
D(N)
I
j−1
);
D(0 :
A
I
j
)
∼
=
D(A)/I
j
D(A)
D((0 :
A
I
j
)/(0 :
A
I
j−1
))
∼
=
I

j−1
D(A)/I
j
D(A).
R M M = 0
x ∈ R x M
Rad(Ann
R
M) p
M p
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
M R M
M = N
1
+ . . . + N
n
p
i
N
i
.
M = 0 M
p
i
N
i
i = 1, . . . , n
M
{p
1

, . . . , p
n
}
M M
Att
R
M N
i
, i = 1, . . . , n
M
Att
R
A A
A
p
p ∈ Att
R
A.
A p
A Q Rad(Q) = p.
A Q p
Ann
R
Q.
A Q Ann
R
Q = p.
M R M = 0
Att
R

M = ∅
R Ann(M) Att
R
M.
0 −→ M

−→ M −→ M

−→ 0 R
Att
R
M

⊆ Att
R
M ⊆ Att
R
M

∪ Att
R
M

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
A R A Att
R
A
A


R A R

R
A R

R
Att
R
A = {

p ∩ R :

p ∈ Att

R
A}.
R
N R Att
R
(D(N)) = Ass
R
(N).
A R Ass
R
(D(A)) = Att
R
(A).
p
0
⊆ p

1
⊆ . . . ⊆ p
n
p
i
= p
i+1
R dim R
R M dim M
n n Supp M M
Supp M = V (Ann
R
M)
dim M = dim R/ Ann
R
M = sup
p∈Ass M
dim(R/p).
A N-dim
R
A,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
A = 0, N-dim
R
A = −1.
A = 0, d ≥ 0, N-dim
R
A = d
N-dim
R

A < d A
0
⊆ A
1
⊆ . . .
A, n
0
N-dim
R
(A
n+1
/A
n
) < d,
n > n
0
.
R M
N-dim
R
M = 0.
M dim M = 0 M = 0 
R
(M) < ∞.
N-dim
R
A = 0 A = 0 
R
(A) < ∞
Att

R
A = {m}.
0 −→ A

−→ A −→ A

−→ 0
R
N-dim
R
A = max{N-dim
R
A

, N-dim
R
A

}.
N-dim
R
A  dim R/ Ann
R
A = max{dim R/p : p ∈ Att
R
A}
A N-dim
R
A < dim R/ Ann
R

A.
N-dim

R
A = dim

R/ Ann

R
A = max{dim

R/

p :

p ∈ Att

R
A}.
(R, m) A R A

R
N-dim
R
A = N-dim

R
A.
N-dim A N-dim
R

A N-dim

R
A.
A
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

R
(0 :
A
J
n
A
) n  0
N-dim A = deg((0 :
A
J
n
A
))
= inf{t : ∃x
1
, . . . , x
t
∈ J
A
(0 :
A
(x
1

, . . . , x
t
)R) < ∞},
J
A
=

m∈Supp A
m.
Ext
Tor
M, N R n ≥ 0
n Hom(−, N) M
n M N Ext
n
R
(M, N)
Ext
n
R
M
. . . −→ P
2
u
2
−→ P
1
u
1
−→ P

0

−→ M −→ 0.
Hom(−, N)
0 −→ Hom(P
0
, N)
u
∗
1
−→ Hom(P
1
, N)
u
∗
2
−→ Hom(P
2
, N) −→ . . .
Ext
n
R
(M, N) = Ker u
∗
n+1
/ Im u
∗
n
n
M

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
M, N R n ≥ 0
n − ⊗ N M
n M N Tor
R
n
(M, N)
Tor
R
n
M
. . . −→ P
2
v
2
−→ P
1
v
1
−→ P
0

−→ M −→ 0.
− ⊗ N
. . . −→ P
2
⊗ N
v
∗
2

−→ P
1
⊗ N
v
∗
1
−→ P
0
⊗ N −→ 0.
Tor
R
n
(M, N) = Ker v
∗
n
/ Im v
∗
n+1
n
M
Ext Tor
Ext
0
R
(M, N)
∼
=
Hom(M, N) Tor
R
0

(M, N)
∼
=
M⊗N
M N Tor
R
n
(M, N) = 0 n ≥ 1
M N Ext
n
R
(M, N) = 0 n ≥ 1
0 −→ N

−→ N −→ N

−→ 0
Ext
n
R
(M, N

) −→ Ext
n+1
R
(M, N

) n ≥ 0
0 −→ Hom(M, N


) −→ Hom(M, N) −→ Hom(M, N

) −→ Ext
1
R
(M, N

)
−→ Ext
1
R
(M, N) −→ Ext
1
R
(M, N

) −→ Ext
2
R
(M, N

) −→ . . .
0 −→ M

−→ M −→ M

−→ 0
Ext
n
R

(M

, N) −→ Ext
n+1
R
(M

, N) n ≥ 0
0 −→ Hom(M

, N) −→ Hom(M, N) −→ Hom(M

, N) −→ Ext
1
R
(M

, N)
−→ Ext
1
R
(M, N) −→ Ext
1
R
(M

, N) −→ Ext
2
R
(M


, N) −→ . . .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
0 −→ N

−→ N −→ N

−→ 0
Tor
R
n
(M, N

) −→ Tor
R
n−1
(M, N

) n ≥ 0
. . . −→ Tor
R
n
(M, N

) −→ Tor
R
n
(M, N) −→ Tor
R
n

(M, N

)
−→ Tor
R
n−1
(M, N

) −→ Tor
R
n−1
(M, N) −→ Tor
R
n−1
(M, N

)
. . . −→ Tor
R
1
(M, N

) −→ (M ⊗ N

) −→ (M ⊗ N) −→ (M ⊗ N

) −→ 0.
M, N Ext
n
R

(M, N) Tor
R
n
(M, N)
n
Ext Tor
Ext Tor
S R
S
−1
(Ext
n
R
(M, N))
∼
=
Ext
n
S
−1
R
(S
−1
M, S
−1
N),
S
−1
(Tor
R

n
(M, N))
∼
=
Tor
S
−1
R
n
(S
−1
M, S
−1
N),
S
−1
(Ext
n
R
(M, N))
p
∼
=
Ext
n
R
p
(M
p
, N

p
),
(Tor
R
n
(M, N))
p
∼
=
Tor
R
p
n
(M
p
, N
p
)
p R
I R
Ext
i

R
(

R/I

R, D(A))
∼

=
Tor

R
i
(

R/I

R, A),
i ≥ 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
R M R
0 = a ∈ R M M = aM
a M (a
1
, . . . , a
n
) ∈ R
M
M/(a
1
, . . . , a
n
)M = 0
a
i
M/(a
1
, . . . , a

i−1
)M i = 1, . . . , n
(a
1
, . . . , a
n
) ∈ R M
I R M = IM
M I I
M I
M I depth(I, M). M = IM
depth(I, M) = ∞.
M (a
1
, . . . , a
n
) ∈ R
M a
i
/∈ p, ∀p ∈ Ass
R
M/(a
1
, . . . , a
i−1
)M.
R m
(a
1
, . . . , a

n
) ∈ m M/(a
1
, . . . , a
n
)M = 0
M
M m
M depth M.
(a
1
, . . . , a
n
) M I (a
t
1
1
, . . . , a
t
n
n
)
M I t
1
, . . . , t
n
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
depth(I, M)
(R, m) M R

depth(M)  dim(M).
I R
i H
i
I
(M) M I
H
i
I
(M) = R
i
(Γ
I
(M)),
Γ
I
(M) I M
Ext
I R
depth(I, M) = inf{i | Ext
i
R
(R/I, M) = 0} = inf{i | H
i
I
(R/I, M) = 0}.
depth(I, M) = t.
Ass
R
(Ext

t
R
(R/I, M)) = Ass
R
(H
t
I
(M)).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
> s
(R, m) I
R A R N-dim
R
A = d.
A > s
A > s
Tor
R
i
(R/I, A)
A
M R
x
1
, . . . , x
r
R M M
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
(0 :
M

(x
1
, . . . , x
r
)R) = 0.
x
i
(0 :
M
(x
1
, . . . , x
i−1
)R) = (0 :
M
(x
1
, . . . , x
i−1
)R) 1  i  r.
x ∈ R M 0 :
M
x = 0
xM = M.
A R I R (0 :
A
I) = 0.
A I
I
A I Width

I
A
Width(I, A) A I
I = m Width
m
A A m
Width A.
A R
x
1
, . . . , x
r
∈ m
(0 :
A
(x
1
, . . . , x
r
)R) = 0
x ∈ m A
N-dim(0 :
A
xR) = N-dim A − 1. A
A
Width(A)  N-dim A.
(x
1
, . . . , x
r

) ∈ R A
x
i
/∈ p, ∀p ∈ Att
R
(0 :
A
(x
1
, . . . , x
i−1
)R) i = 1, . . . , r
I R
A I.
A ⊗
R
R/I = 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
A
A
I R (x
1
, . . . , x
n
) A
I
Tor
R
i
(R/I, A) = 0 i < n.

Tor
R
n
(R/I, A)
∼
=
0 :
A
(x
1
, . . . , x
n
) ⊗
R
R/I.
I R A R
Tor
R
i
(R/I, A) = 0 i < n.
A (x
1
, . . . , x
n
) I.
I R (0 :
A
I) = 0
A I
Width

I
(A) = inf{n ≥ 0 | Tor
R
n
(R/I, A) = 0}.
> s
I R s ≥ −1
A > s
(x
1
, . . . , x
k
)
m A > s x
i
/∈ p
p ∈ Att
R
(0 :
A
(x
1
, . . . , x
i−1
)R)
dim(R/p) > s i = 1, . . . , k
A > −1 A
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
x A > s
dim(A/xA)  s

A = A
1
+ · · · + A
t
A
A
i
p
i
x A
> s x /∈ p
i
i dim(R/p
i
) > s
A
1
, . . . , A
i−1
dim(R/p
k
)  s A
i
, . . . , A
t
dim(R/p
j
) > s
k = 1, . . . , i − 1 j = i, . . . , t xA
j

= A
j
j = i, . . . , t
A/xA = (A
1
+ · · · + A
t
)/xA
1
+ · · · + xA
t
∼
=
(A
1
+ · · · + A
i−1
)/(xA
1
+ · · · + xA
i−1
) ∩ (A
i
+ · · · + A
t
).
dim(A/xA)  s.
dim(A/IA)  s A
> s I.
p ∈ Att

R
A I ⊆ p dim(R/p) > s
p ∈ Att
R
A A/B = 0
A p A/B p p
n p
n
(A/B) = 0
I ⊆ p I
n
(A/B) = 0. A/B = 0 I
n
(A/B) = 0,
I(A/B) = A/B I(A/B) = A/B
I(I(A/B)) = I(A/B) = A/B
I
2
(A/B) = A/B, . . . , I
n
(A/B) = A/B = 0,
A = IA + B A/(B + IA)
A/B 0 p
dim(A/(B + IA)) = dim(R/p) > s.
dim(A/IA) ≥ dim(A/(B + IA) > s,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
I ⊆ p p ∈ Att
R
A
dim(R/p) > s. x ∈ I x /∈ p p ∈ Att

R
A
dim(R/p) > s x A > s
I

R
Att

R
A = Ass

R
D(A) N-dim A = dim

R
D(A)
Width
R
A = depth

R
D(A). R
(x
1
, . . . , x
k
) m A
> s (x
1
, . . . , x

k
) D(A)

p

p ∈ Var(Ann

R
A) dim(R/

p ∩ R) > s, x
i
x
i

R

p
i = 1, . . . , k.
(x
1
, . . . , x
k
) A > s

p ∈ Var(Ann

R
A) dim(R/


p ∩ R) > s
(x
1
, . . . , x
k
) (D(A))

p
.
j ∈ {1, . . . , k} x
j
∈

q

R

p

q

R

p
∈ Ass

R

p
(D(A))


p
/(x
1
, . . . , x
j−1
)(D(A))

p
).
(D(A))

p
/((x
1
, . . . , x
j−1
)D(A))

p
∼
=

D(A)/(x
1
, . . . , x
j−1
)D(A)



p
∼
=

D(0 :
A
(x
1
, . . . , x
j−1
)R)


p
(∗)

R

p

q ∈ Ass

R

D(0 :
A
(x
1
, . . . , x
j−1

)R)

x
j
∈

q ∈ Att

R
(0 :
A
(x
1
, . . . , x
j−1
)R).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
x
j
∈

q ∩ R ∈ Att
R
(0 :
A
(x
1
, . . . , x
j−1
)R)

ˆ
q ⊆
ˆ
p
dim(R/

q ∩ R) ≥ dim(R/

p ∩ R) > s.
(x
1
, . . . , x
k
) A > s
(x
1
, . . . , x
k
) (D(A))

p

p ∈ Var(Ann

R
A) dim(R/

p ∩ R) > s. (x
1
, . . . , x

k
)
A > s
j x
j
∈ p p ∈ Att
R
(0 :
A
(x
1
, . . . , x
j−1
)R)
dim(R/p) > s

q ∈ Att

R
(0 :
A
(x
1
, . . . , x
j−1
)R)

q ∩ R = p.

q ∈ Ass


R

D(0 :
A
(x
1
, . . . , x
j−1
)R)

x
j
∈

q

R

q
∈ Ass

R

q

(D(A))

q
/(x

1
, . . . , x
j−1
)(D(A))

q

.
x
1
, . . . , x
k
(D(A))

q
dim(R/

q ∩ R) = dim(R/p) > s,
δ Tor
Ext Tor
n ≥ 0
dim(Tor
R
i
(R/I, A))  s i < n.
A > s I n.
⇒ n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
n = 1 dim(Tor
R

0
(R/I, A))  s
Tor
R
0
(R/I, A)
∼
=
A/IA dim(A/IA)  s
A > s I
n > 1 n − 1.
x
1
∈ I A > s
0 −→ 0 :
A
x
1
−→ A
x
1
−→ x
1
A −→ 0
0 −→ x
1
A −→ A −→ A/x
1
A −→ 0,
δ Tor

Tor
R
i+1
(R/I, x
1
A) −→ Tor
R
i
(R/I, 0 :
A
x
1
) −→ Tor
R
i
(R/I, A);
Tor
R
i+1
(R/I, A/x
1
A) −→ Tor
R
i
(R/I, x
1
A) −→ Tor
R
i
(R/I, A)

−→ Tor
R
i
(R/I, A/x
1
A).
x
1
A > s
dim(A/x
1
A)  s. dim(Tor
R
i
(R/I, A/x
1
A))  s i.
dim(Tor
R
i
(R/I, x
1
A))  s
dim(Tor
R
i
(R/I, 0 :
A
x
1

))  s
i < n−1. x
2
, . . . , x
n
0 :
A
x
1
> s I n − 1.
x
1
, . . . , x
n
A > s I n.
⇒ x
1
, . . . , x
n
A > s I.
dim(Tor
R
i
(R/I, A))  s i < n.
k < n dim(Tor
R
k
(R/I, A)) > s.
p ∈ Att
R

(Tor
R
k
(R/I, A)) dim(R/p) > s.

p ∈ Att

R
(Tor
R
k
(R/I, A))

p ∩R = p.
p ∈ Att
R
(Tor
R
k
(R/I, A)) p ⊇ Ann
R
(Tor
R
k
(R/I, A))
I

R ⊆

p. dim(R/(


p ∩ R)) = dim(R/p) > s x
1
, . . . , x
n
A > s I
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên