Một kết quả hữu hạn cho tập idean nguyên tố gắn kết của modun Tor

✶
➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥
❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ s➢ ♣❤➵♠
✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲
❇ï✐ ❚❤❛♥❤ ➜♦➭♥
▼ét ❦Õt q✉➯ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤♦ t❐♣ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè
❣➽♥ ❦Õt ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ❚♦r
▲✉❐♥ ✈➝♥ t❤➵❝ sÜ t♦➳♥ ❤ä❝
❚❤➳✐ ♥❣✉②➟♥ ✲ ✷✵✶✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
✷
➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥
❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ s➢ ♣❤➵♠
✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲
❇ï✐ ❚❤❛♥❤ ➜♦➭♥
▼ét ❦Õt q✉➯ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤♦ t❐♣ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè
❣➽♥ ❦Õt ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ❚♦r
❈❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤✿ ➜➵✐ sè ✈➭ ❧ý t❤✉②Õt sè✳
▼➲ sè✿ ✻✵✳✹✻✳✵✺
▲✉❐♥ ✈➝♥ t❤➵❝ sÜ t♦➳♥ ❤ä❝
◆❣➢ê✐ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❦❤♦❛ ❤ä❝✿ ❚❙✳ ◆❣✉②Ô♥ ❚❤Þ ❉✉♥❣
❚❤➳✐ ♥❣✉②➟♥ ✲ ✷✵✶✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
✸
▼ô❝ ❧ô❝
❚r❛♥❣
▼ô❝ ❧ô❝✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✶
▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✷
▼ë ➤➬✉✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✸
❈❤➢➡♥❣ ✶✳ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✻
✶✳✶✳ ▼➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ✈➭ ➤è✐ ♥❣➱✉ ▼❛t❧✐s ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✻

✶✳✷✳ ❇✐Ó✉ ❞✐Ô♥ t❤ø ❝✃♣✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✽
✶✳✸✳ ❈❤✐Ò✉ ◆♦❡t❤❡r ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✶✵
✶✳✹✳ ❍➭♠ tö ♠ë ré♥❣ ✈➭ ❤➭♠ tö ①♦➽♥✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✶✷
✶✳✺✳ ❉➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ ➤é s➞✉ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✶✺
❈❤➢➡♥❣ ✷✳ ❉➲② ➤è✐ ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈í✐ ❝❤✐Ò✉ > s✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✶✼
✷✳✶✳ ❉➲② ➤è✐ ❝❤Ý♥❤ q✉② ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✶✼
✷✳✷✳ ❉➲② ➤è✐ ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈í✐ ❝❤✐Ò✉ > s ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✶✾
❈❤➢➡♥❣ ✸✳ ▼ét ❦Õt q✉➯ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤♦ t❐♣ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❣➽♥ ❦Õt ❝ñ❛
♠➠➤✉♥ ❚♦r✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✷✾
✸✳✶✳ ➜é ré♥❣ ✈í✐ ❝❤✐Ò✉ > s ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✷✾
✸✳✷✳ ❑Õt q✉➯ ❤÷✉ ❤➵♥✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✸✹
❑Õt ❧✉❐♥✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✸✾
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✹✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
✹
▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥
▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ s❛✉ ✷ ♥➝♠ ❤ä❝ t❐♣ t➵✐ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝
s➢ ♣❤➵♠ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ✈➭ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t❐♥ t×♥❤ s➞✉ s➽❝ ❝ñ❛
❚❙✳ ◆❣✉②Ô♥ ❚❤Þ ❉✉♥❣✳ ◆❤➞♥ ❞Þ♣ ♥➭② t➠✐ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥
s➞✉ s➽❝ ➤Õ♥ ❈➠ ✈➭ ❣✐❛ ➤×♥❤✳
❚➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ tí✐ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ s➢ ♣❤➵♠✱ ❱✐Ö♥ t♦➳♥ ❤ä❝ ❱✐Öt
♥❛♠✱ ●❙✳❚❙❑❍ ◆❣✉②Ô♥ ❚ù ❈➢ê♥❣✱ P●❙✳❚❙ ◆❣✉②Ô♥ ◗✉è❝ ❚❤➽♥❣✱ P●❙✳ ❚❙
▲➟ ❚❤Þ ❚❤❛♥❤ ◆❤➭♥ ✈➭ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ❣✐➳♦ ❝ñ❛ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠ ❚❤➳✐
◆❣✉②➟♥ ➤➲ t❤❛♠ ❣✐❛ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ✈➭ t➵♦ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ tèt ♥❤✃t ❝❤♦ t➠✐ tr♦♥❣ q✉➳
tr×♥❤ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ❜➯♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳
❈✉è✐ ❝ï♥❣ t➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ tí✐ ♥❣➢ê✐ t❤➞♥✱ ❜➵♥ ❜❒ ✈➭ t✃t ❝➯ ♥❤÷♥❣
♥❣➢ê✐ ➤➲ ❣✐ó♣ ➤ì✱ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣✳
❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ t❤➳♥❣ ✽ ♥➝♠ ✷✵✶✵
❍ä❝ ✈✐➟♥
❇ï✐ ❚❤❛♥❤ ➜♦➭♥

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

ở
(R, m) ị tr ớ ự
t m, I ủ R M R ữ s A R
rt ể ứ trú ủ tr rt ờ
t tờ q t ế t tố ết tố
ết t ứ ủ ú t t từ ột ết q tr số
Z ế ớ ỗ I = mZ tr ó m = p

1
1
. . . p

k
k
sự
tí t ủ số m tì t Ass
Z
Z/I
n
Z = {p
1
Z, . . . , p
k
Z}
ổ ị ớ ọ n ột tự ờ t t r ỏ r ệ
tí t ò ú t Z ở ột tr tỳ ý
ó ề t ọ ứ ề ề ể ì
ết q ủ r tr ó ứ r

t Ass
R
(M/I
n
M) Ass
R
(I
n
M/I
n+1
M) ụ tộ n
n 0. ế t r ứ ết q ố
rt ó t Att
R
(0 :
A
I
n
) Att
R
(0 :
A
I
n+1
/0 :
A
I
n
)
ộ ớ n n 0 ú ý r t ó

M/I
n
M

=
Tor
R
0
(R/I
n
, M) (0 :
A
I
n
)

=
Ext
0
R
(R/I
n
, A).
ì tế ột tự ỏ r ệ ết q tr ó tể ở rộ
Ext
i
R
(R/I
n
, A) Tor

R
i
(R/I
n
, M) ớ i t ỳ
tr ờ ị ỏ tr ợ r ở rss
P ọ ứ ợ t
Ass
R

Tor
R
i
(R/I
n
, M)

Att
R

Ext
i
R
(R/I
n
, A)

, n = 1, 2, . . .
ổ ị n ủ ớ ồ tờ ọ ũ t r ỏ tì t
Att

R

Tor
R
i
(R/I
n
, A)

Ass
R

Ext
i
R
(R/I
n
, M)

, n = 1, 2, . . .
ụ tộ n n ủ ớ tr ờ
ỏ tr ì ủ ị t í ò tồ t t
S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn
✻

n
Att
R

Tor

R
i
(R/I
n
, A)

✈➭

n
Ass
R

Ext
i
R
(R/I
n
, M)

❧➭ ✈➠ ❤➵♥ ✭❱Ý ❞ô ❝ñ❛
▼✳ ❑❛t③♠❛♥ ❬✻✱ ❍Ö q✉➯ ✶✳✸❪✮✳ ❱× ✈❐②✱ ❝➞✉ ❤á✐ t✐Õ♣ t❤❡♦ ➤➢î❝ ➤➷t r❛ ❧➭ t×♠
➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ➤Ó ❝➳❝ t❐♣

n0
Att
R

Tor
R
i

(R/I
n
, A)

✈➭

n0
Ass
R

Ext
i
R
(R/I
n
, M)

❤÷✉ ❤➵♥✳
▼ét ♣❤➬♥ ❝➞✉ tr➯ ❧ê✐ ❝❤♦ ❝➞✉ ❤á✐ tr➟♥ ➤➲ ➤➢î❝ ➤➢❛ r❛ ❜ë✐ ▼✳ ❇r♦❞♠❛♥♥
✈➭ ▲✳❚✳ ◆❤❛♥ ♥➝♠ ✷✵✵✽✳ ë ➤ã✱ ❜➺♥❣ ✈✐Ö❝ ➤➢❛ r❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ M✲❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉②
✈í✐ ❝❤✐Ò✉ > s ✈➭ ➤é s➞✉ ✈í✐ ❝❤✐Ò✉ > s ❝ñ❛ M tr♦♥❣ I depth
>s
(I, M)✱ ❤ä ➤➲
❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ ♥Õ✉ dim Supp H
i
I
(M)  s ✈í✐ ♠ä✐ i  r t❤× t❐♣
{p ∈

n0

Ass
R

Ext
t
R
(R/I
n
, M)

| dim(R/p) ≥ s}
❧➭ ❤÷✉ ❤➵♥ ✈í✐ ♠ä✐ t  r, tr♦♥❣ ➤ã r = depth
>s
(I, M).
❚✐Õ♣ t❤❡♦ ➤ã✱ ✈➭♦ ♥➝♠ ✷✵✶✵✱ ♣❤➬♥ ❝ß♥ ❧➵✐ ❝ñ❛ ❝➞✉ ❤á✐ tr➟♥ ➤➲ ➤➢î❝ tr➯ ❧ê✐
❜ë✐ ▲✳ ❚✳ ◆❤❛♥ ✈➭ ◆✳ ❚✳ ❉✉♥❣ ❬✶✸❪✳ ❚❤➠♥❣ q✉❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❞➲② ➤è✐ ❝❤Ý♥❤ q✉②
✈í✐ ❝❤✐Ò✉ > s✱ ♥Õ✉ ❦ý ❤✐Ö✉
(Att
R
A)
≥s
= {p ∈ Att
R
A | dim(R/p) ≥ s}
t❤× ❤ä ➤➲ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ ❝➳❝ t❐♣


n∈N
Att
R

(Tor
R
t
(R/I
n
, A))

s
,


n
1
,...,n
k
∈N
Att
R
(Tor
R
t
(R/(x
n
1
1
, . . . , x
n
k
k
)R, A


≥s
❧➭ ❤÷✉ ❤➵♥ ✈í✐ ♠ä✐ t  r✱ ✈í✐ n ➤ñ ❧í♥ ✈➭ ✈í✐ ♠ä✐ ❜é sè tù ♥❤✐➟♥ n
1
, . . . , n
k
✱
tr♦♥❣ ➤ã r = Width
>s
(I, A) ❧➭ ➤é ré♥❣ ✈í✐ ❝❤✐Ò✉ > s ❝ñ❛ A tr♦♥❣ I ✈➭
(x
1
, . . . , x
k
) ❧➭ ❤Ö s✐♥❤ ❝ñ❛ I✳
▼ô❝ ➤Ý❝❤ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ❧➭ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♠ét ❝➳❝❤ ❝❤✐ t✐Õt ❝➳❝ ❦Õt q✉➯
✈Ò tÝ♥❤ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝ñ❛ t❐♣ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❣➽♥ ❦Õt ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ❚♦r tr♦♥❣ ❬✶✸❪✿
✬✬❆ ❢✐♥✐t❡♥❡❡s r❡s✉❧t ❢♦r ❛tt❛❝❤❡❞ ♣r✐♠❡s ♦❢ ❝❡rt❛✐♥ ❚♦r✲♠♦❞✉❧❡s✬✬✳
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
✼
▲✉❐♥ ✈➝♥ ❣å♠ 3 ❝❤➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ 1 ❧➭ ❝➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ tr♦♥❣ ➤ã
tr×♥❤ ❜➭② ❧ý t❤✉②Õt ➤è✐ ♥❣➱✉ ▼❛t❧✐s✱ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ t❤ø ❝✃♣✱ ❝❤✐Ò✉ ◆♦❡t❤❡r ❝ñ❛
♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ❝ï♥❣ ✈í✐ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ❤➭♠ tö ♠ë ré♥❣✱ ❤➭♠ tö ①♦➽♥✱
❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ ➤é s➞✉ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ t❤➢ê♥❣ ➤➢î❝ sö ❞ô♥❣ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❝❤➢➡♥❣
t✐Õ♣ t❤❡♦✳ ❈❤➢➡♥❣ 2 tr×♥❤ ❜➭② ❝❤✐ t✐Õt ✈Ò ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✱ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ M✲❞➲② ➤è✐
❝❤Ý♥❤ q✉② ✈í✐ ❝❤✐Ò✉ > s ✈➭ ➤➷❝ tr➢♥❣ ➤é ❞➭✐ tè✐ ➤➵✐ ❝ñ❛ ❞➲② ➤è✐ ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈í✐
❝❤✐Ò✉ > s ❝ñ❛ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ t❤➠♥❣ q✉❛ ❝❤✐Ò✉ ❑r✉❧❧ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ①♦➽♥
❝ñ❛ ♥ã✳ ❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ➤é ré♥❣ ✈í✐ ❝❤✐Ò✉ > s ✈➭ ❦Õt q✉➯ ✈Ò tÝ♥❤ ❝❤✃t ❤÷✉ ❤➵♥ ❝ñ❛
t❐♣ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❣➽♥ ❦Õt ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ❚♦r ➤➢î❝ tr×♥❤ ❜➭② tr♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ 3✳
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

ế tứ ị
r t ộ t ý ệ R tr A
R rrt M R tr ể
ột số ế tứ ợ ù tr tế t trú ủ
rt ố ts ể ễ tứ ề tr ở rộ
í q ộ s. . .
rt ố ts
m ột ự ủ R r m

m
(A) ủ A ợ ị ĩ ở

m
(A) =

n0
(0 :
A
m
n
).
ột số tí t ủ rt ợ r ở r
tờ ợ ù tr ứ ề s
ệ ề ệ ề ổ ề
sử A ột R rt ó ỉ ó ữ
ự m ủ R s
m
(A) = 0 ế ự ệt ó

m
1
, . . . , m
r
tì
A =
m
1
(A) . . .
m
r
(A) Supp A = {m
1
, . . . , m
r
}.
S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn

ớ ỗ j {1, . . . , r} ế s R \ m
j
tì é ở s t
ột tự ủ
m
j
(A) ó
m
j
(A) ó trú tự ủ ột
R
m

j
ớ trú ột t ủ
m
j
(A) ột R
ế ỉ ế ó R
m
j
ệt
A
m
j

=

m
j
(A), ớ ọ j = 1, . . . , r.
(R, m) ị r ủ t t m
ủ R, ý ệ ở

R, t ớ t ủ t
q ệ t ị ở sở ủ tử
m
t
, t = 0, 1, 2, . . .

R ợ tr ị é t é ộ é
ù ớ é t

R t ột
ỗ tử r R ó tể ồ t ớ ớ t ủ
tt tử tr ề r
ệ ề ổ ề ệ q A R rt
tr ị (R, m) ó A ó trú tự ủ

R tr ó

R ủ t t m ủ R ọ t
ủ A R ủ A ế ỉ ế ó

R ủ A
ó A ó trú tự ủ

R rt
ó trú ệt ờ t ó tể ể ệ
ứ rt tr ột t ì ề ệ ứ tr
ị ữ ệ trú ủ rt tr ột số
trờ ợ ó tể ể ề ứ tr tr ờ ý tết
ố ts ớ ột số tí t ố ts ợ sử
ụ tr
(R, m) ị ủ t E = E(R/m) ộ
ủ trờ t R/m í ệ D() = Hom
R
(, E) từ trù C
R
R Rồ í ó ớ ỗ R M t
à
M
: M DD(M) = Hom

R
(Hom
R
(M, E), E)
S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn

Rồ tự ở à
M
(x)(f) = f(x), ớ ọ x M,
f Hom(M, E). ó t ó ết q s ị ý
ệ ề R E rt ớ ỗ f Hom
R
(E, E) tồ t
t a
f
R : f(x) = a
f
x, x E.
ế N R tr tì D(N) rt
ế A R rt tì D(A) tr
Ann M = Ann D(M) ế M R s
R
(M) <
tì
R
(D(M)) =
R
(M).
ổ ề N R tr A R rt j N
ó

D(N/I
j
N)

=
(0 :
D(N)
I
j
)
D(I
j1
N/I
j
N)

=
(0 :
D(N)
I
j
)/(0 :
D(N)
I
j1
);
D(0 :
A
I
j

)

=
D(A)/I
j
D(A)
D((0 :
A
I
j
)/(0 :
A
I
j1
))

=
I
j1
D(A)/I
j
D(A).
ể ễ tứ
ý tết ể ễ tứ ợ r ở ợ
ố ớ ý tết tí s q ết
tr
ị ĩ ột R M ợ ọ tứ ế M = 0
ế ớ ọ x R é ở x tr M t ỹ r
trờ ợ Rad(Ann
R

M) tố p t ọ
M ptứ
S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn
✶✶
✭✐✐✮ ❈❤♦ M ❧➭ R✲♠➠➤✉♥✳ ▼ét ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ t❤ø ❝✃♣ ❝ñ❛ M ❧➭ ♠ét ♣❤➞♥ tÝ❝❤
M = N
1
+ . . . + N
n
t❤➭♥❤ tæ♥❣ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ p
i
✲t❤ø ❝✃♣ N
i
. ◆Õ✉
M = 0 ❤♦➷❝ M ❝ã ♠ét ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ t❤ø ❝✃♣ t❤× t❛ ♥ã✐ ▼ ❧➭ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ➤➢î❝✳ ❇✐Ó✉
❞✐Ô♥ t❤ø ❝✃♣ ♥➭② ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ tè✐ t❤✐Ó✉ ♥Õ✉ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè p
i
❧➭ ➤➠✐ ♠ét
❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ✈➭ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❤➵♥❣ tö N
i
♥➭♦ ❧➭ t❤õ❛✱ ✈í✐ ♠ä✐ i = 1, . . . , n✳
❉Ô t❤✃② r➺♥❣ ♠ä✐ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ t❤ø ❝✃♣ ❝ñ❛ M ➤Ò✉ ❝ã t❤Ó ➤➢❛ ➤➢î❝ ✈Ò ❞➵♥❣
tè✐ t❤✐Ó✉✳ ❑❤✐ ➤ã t❐♣ ❤î♣ {p
1
, . . . , p
n
} ❧➭ ➤é❝ ❧❐♣ ✈í✐ ✈✐Ö❝ ❝❤ä♥ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ t❤ø
❝✃♣ tè✐ t❤✐Ó✉ ❝ñ❛ M ✈➭ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❣➽♥ ❦Õt ❝ñ❛ M✱ ❦Ý
❤✐Ö✉ ❜ë✐ Att
R

M✳ ❈➳❝ ❤➵♥❣ tö N
i
, i = 1, . . . , n✱ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❝➳❝ t❤➭♥❤ ♣❤➬♥
t❤ø ❝✃♣ ❝ñ❛ M✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✷✳ ❚❐♣ Att
R
A ❝❤Ø ♣❤ô t❤✉é❝ ✈➭♦ A ♠➭ ❦❤➠♥❣ ♣❤ô t❤✉é❝ ✈➭♦
❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ t❤ø ❝✃♣ tè✐ t❤✐Ó✉ ❝ñ❛ A✳ ❍➡♥ ♥÷❛ t❛ ❝ã ❝➳❝ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣
➤➢➡♥❣ ✈í✐ p ❧➭ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè✳
✭✐✮ p ∈ Att
R
A.
✭✐✐✮ A ❝ã ♠➠➤✉♥ t❤➢➡♥❣ ❧➭ p✲t❤ø ❝✃♣✳
✭✐✐✐✮ A ❝ã ♠➠➤✉♥ t❤➢➡♥❣ Q s❛♦ ❝❤♦ Rad(Q) = p.
✭✐✈✮ A ❝ã ♠➠➤✉♥ t❤➢➡♥❣ Q s❛♦ ❝❤♦ p ❧➭ ♣❤➬♥ tö tè✐ t❤✐Ó✉ tr♦♥❣ t❐♣ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥
♥❣✉②➟♥ tè ❝❤ø❛ Ann
R
Q.
✭✈✮ A ❝ã ♠➠➤✉♥ t❤➢➡♥❣ Q s❛♦ ❝❤♦ Ann
R
Q = p.
▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✷✳✸✳ ✐✮ ❈❤♦ M ❧➭ ♠ét R✲♠➠➤✉♥ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ➤➢î❝✳ ❑❤✐ ➤ã M = 0
❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ Att
R
M = ∅✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ♥➭② t❐♣ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè tè✐
t❤✐Ó✉ ❝ñ❛ R ❝❤ø❛ Ann(M) ❝❤Ý♥❤ ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö tè✐ t❤✐Ó✉ ❝ñ❛ Att
R
M.
✭✐✐✮ ❈❤♦ 0 −→ M


−→ M −→ M

−→ 0 ❧➭ ❞➲② ❦❤í♣ ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥ ❜✐Ó✉
❞✐Ô♥ ➤➢î❝✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã
Att
R
M

⊆ Att
R
M ⊆ Att
R
M

∪ Att
R
M

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

A ột R rt ó A ể ễ ợ t Att
R
A
ữ ị ý ữ t ệ ề A ó
trú tự ủ

R ớ trú ỗ t ủ A R
ế ỉ ế ó

R ề t
ủ A ét R

R ừ ó t ó ết
q s ệ q ệ q
ệ ề ệ ề s ú
Att
R
A = {

p R :

p Att

R
A}.
ế R ị ủ tì t ó
ế N R tr tì Att
R
(D(N)) = Ass
R
(N).
ế A R rt tì Ass
R
(D(A)) = Att
R
(A).
ề tr ủ rt
r ột tố p
0

p
1
. . . p
n
tr
ó p
i
= p
i+1
ợ ọ tố ó ộ ó ề r ủ
R ý ệ dim R tr ủ ộ ủ tố
tr R ề r ủ M ý ệ dim M tr ủ số
n s ó ột tố ó ộ n tr Supp M ì M
ữ s t ó Supp M = V (Ann
R
M) ó
dim M = dim R/ Ann
R
M = sup
pAss M
dim(R/p).
ệ ố ớ ề r ột rt ợ r ở
rts s ó r ổ t t ề tr ể
tr ớ ề r ợ ị ĩ tr
tt ữ ề ề tr ợ ù tr t
ị ĩ ề tr ủ rt A ý ệ ở N-dim
R
A,
ợ ị ĩ q s
S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn

A = 0, t N-dim
R
A = 1.
ớ A = 0, ột số d 0, t t N-dim
R
A = d ế
N-dim
R
A < d s ớ ỗ t A
0
A
1
. . .
ủ A, tồ t số n
0
s N-dim
R
(A
n+1
/A
n
) < d, ớ ọ
n > n
0
.
ừ ị ĩ tr t t r ọ R M tr
ỉ N-dim
R
M = 0. ết r ố ớ ỗ ữ

s M tì dim M = 0 ế ỉ ế M = 0
R
(M) < . ừ ị
ĩ t ó ột số tí t s ề ề tr
ổ ề N-dim
R
A = 0 ế ỉ ế A = 0
R
(A) < r
trờ ợ Att
R
A = {m}. ữ ế
0 A

A A

0
ớ R rt tì
N-dim
R
A = max{N-dim
R
A

, N-dim
R
A

}.
N-dim

R
A dim R/ Ann
R
A = max{dim R/p : p Att
R
A} tồ
t rt A s N-dim
R
A < dim R/ Ann
R
A.
N-dim

R
A = dim

R/ Ann

R
A = max{dim

R/

p :

p Att

R
A}.
(R, m) ị A R rt ó A ó

trú tự ủ

R rt t ó
N-dim
R
A = N-dim

R
A.
í ì t ó tể ết N-dim A t N-dim
R
A N-dim

R
A.
ó ề t ứ trú ủ rt A t q
ề tr ủ ú ột số tí t ủ ề tr
S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn

rt ợ ố ớ ột số tí t ủ ề r
ữ s ợ r ệt ết q s
ợ rts ị ý ứ trờ ợ tự ị
s ó ợ ễ ự ờ ị ý
ứ trờ ợ t ỳ
ệ ề
R
(0 :
A
J
n

A
) ột tứ ớ ệ số ữ tỷ n 0
N-dim A = deg((0 :
A
J
n
A
))
= inf{t : x
1
, . . . , x
t
J
A
s (0 :
A
(x
1
, . . . , x
t
)R) < },
tr ó J
A
=

mSupp A
m.
tử ở rộ tử
ụ ể ệ tí t ủ Ext
Tor tờ ợ ù tr

ị ĩ M, N R n 0 ột số tự
t tứ n ủ tử Hom(, N) ứ ớ M ợ ọ
ở rộ tứ n ủ M N ợ í ệ Ext
n
R
(M, N) ụ tể
ể ự Ext
n
R
t ột ủ M
. . . P
2
u
2
P
1
u
1
P
0

M 0.
ộ tử Hom(, N) ớ tr t ó ố ứ
0 Hom(P
0
, N)
u

1
Hom(P

1
, N)
u

2
Hom(P
2
, N) . . .
ó Ext
n
R
(M, N) = Ker u

n+1
/ Im u

n
ố ồ ề tứ n ủ
ố ứ tr ụ tộ ệ ọ ủ
M
S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn

ị ĩ M, N R n 0 ột số tự
t tr tứ n ủ tử N ứ ớ M ợ ọ
tứ n ủ M N ợ í ệ Tor
R
n
(M, N) ụ tể ể ự
Tor
R

n
t ột ủ M
. . . P
2
v
2
P
1
v
1
P
0

M 0.
ộ tử N ớ tr t ó ứ
. . . P
2
N
v

2
P
1
N
v

1
P
0
N 0.

ó Tor
R
n
(M, N) = Ker v

n
/ Im v

n+1
ố ồ ề tứ n ủ
ứ tr ụ tộ ệ ọ ủ M
ột số tí t sở ủ Ext Tor tờ ợ
ù tr
ệ ề Ext
0
R
(M, N)

=
Hom(M, N) Tor
R
0
(M, N)

=
MN
ế M N tì Tor
R
n
(M, N) = 0 ớ ọ n 1

ế M N ộ tì Ext
n
R
(M, N) = 0 ớ ọ n 1
ế 0 N

N N

0 ớ tì tồ t
ồ ố Ext
n
R
(M, N

) Ext
n+1
R
(M, N

) ớ ỗ n 0 s t
ó ớ
0 Hom(M, N

) Hom(M, N) Hom(M, N

) Ext
1
R
(M, N

)
Ext
1
R
(M, N) Ext
1
R
(M, N

) Ext
2
R
(M, N

) . . .
ế 0 M

M M

0 ớ tì tồ t
ồ ố Ext
n
R
(M

, N) Ext
n+1
R
(M

, N) ớ ỗ n 0 s t
ó ớ
0 Hom(M

, N) Hom(M, N) Hom(M

, N) Ext
1
R
(M

, N)
Ext
1
R
(M, N) Ext
1
R
(M

, N) Ext
2
R
(M

, N) . . .
S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn
✶✻
✭❣✮ ◆Õ✉ 0 −→ N


−→ N −→ N

−→ 0 ❧➭ ❞➲② ❦❤í♣ ♥❣➽♥ t❤× tå♥ t➵✐ ❝➳❝
➤å♥❣ ❝✃✉ ♥è✐ Tor
R
n
(M, N

) −→ Tor
R
n−1
(M, N

) ✈í✐ ♠ç✐ n ≥ 0 s❛♦ ❝❤♦ t❛
❝ã ❞➲② ❦❤í♣ ❞➭✐
. . . −→ Tor
R
n
(M, N

) −→ Tor
R
n
(M, N) −→ Tor
R
n
(M, N

)
−→ Tor

R
n−1
(M, N

) −→ Tor
R
n−1
(M, N) −→ Tor
R
n−1
(M, N

)
. . . −→ Tor
R
1
(M, N

) −→ (M ⊗ N

) −→ (M ⊗ N) −→ (M ⊗ N

) −→ 0.
❍Ö q✉➯ ✶✳✹✳✹✳ ◆Õ✉ M, N ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ t❤× Ext
n
R
(M, N) ✈➭ Tor
R
n
(M, N) ❧➭

❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ✈í✐ ♠ä✐ n✳
❑Õt q✉➯ ❞➢í✐ ➤➞② ❝❤♦ t❛ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ❣✐÷❛ ♠➠➤✉♥ Ext✱ Tor ✈í✐ ❤➭♠
tö ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❤ã❛ ✈➭ sù t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ❣✐÷❛ ❤❛✐ ❤➭♠ tö Ext ✈➭ Tor tr➟♥ ✈➭♥❤
➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ➤➬② ➤ñ✳
▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✹✳✺✳ ✭✐✮ ◆Õ✉ S ❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣ ♥❤➞♥ ❝ñ❛ R t❤× t❛ ❝ã ❝➳❝ ➤➻♥❣ ❝✃✉
S
−1
(Ext
n
R
(M, N))
∼
=
Ext
n
S
−1
R
(S
−1
M, S
−1
N),
S
−1
(Tor
R
n
(M, N))
∼

=
Tor
S
−1
R
n
(S
−1
M, S
−1
N),
tr♦♥❣ ➤ã S
−1
❧➭ ❤➭♠ tö ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❤ã❛✳ ➜➷❝ ❜✐Öt✱
(Ext
n
R
(M, N))
p
∼
=
Ext
n
R
p
(M
p
, N
p
),

(Tor
R
n
(M, N))
p
∼
=
Tor
R
p
n
(M
p
, N
p
)
✈í✐ ♠ä✐ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè p ❝ñ❛ R✳
✭✐✐✮ ❈❤♦ I ❧➭ ✐➤➟❛♥ ❝ñ❛ R✳ ❑❤✐ ➤ã
Ext
i

R
(

R/I

R, D(A))
∼
=
Tor


R
i
(

R/I

R, A),
✈í✐ ♠ä✐ sè ♥❣✉②➟♥ i ≥ 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

í q ộ s ủ
í q ột tr ữ ủ số
t q ó ờ t ó tể ị ĩ ệ ộ s ột t ế rt
q trọ ể ứ trú ủ
ị ĩ R tr M R
ột tử 0 = a R ợ ọ tử M í q ế M = aM
a ớ ủ tr M tử (a
1
, . . . , a
n
) R ợ
ọ M í q ế
M/(a
1
, . . . , a
n
)M = 0
a
i

tử M/(a
1
, . . . , a
i1
)Mí q ớ ọ i = 1, . . . , n
tử (a
1
, . . . , a
n
) R ợ ọ M í q
ế ó ỉ tỏ ề ệ tr ị ĩ tr
I ủ R s M = IM ó ỗ í q ủ
M tr I ề ó tể ở rộ t í q tố tr I
í q tố ủ M tr I ó ộ ộ ợ
ọ ộ s ủ M tr I ợ í ệ depth(I, M). ế M = IM
tì t q ớ depth(I, M) = .
ú ý sử M ữ s ó (a
1
, . . . , a
n
) R
M í q ỉ a
i
/ p, p Ass
R
M/(a
1
, . . . , a
i1
)M.

ế R ị ớ ự m tì t ổ ề
ọ (a
1
, . . . , a
n
) m ề tỏ ề ệ M/(a
1
, . . . , a
n
)M = 0
ó ó M í q ỉ ó tỏ ề ệ tr
ị ĩ tr r trờ ợ ộ s ủ M tr m ọ ộ s
ủ M í ệ depth M.
ế (a
1
, . . . , a
n
) M í q tr I tì (a
t
1
1
, . . . , a
t
n
n
) ũ
M í q tr I ớ ọ số t
1
, . . . , t
n

.
S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn