bài tập phần phương trình mặt phẳng

BÀI TẬP
BÀI TẬP
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1)Phương trình mặt phẳng đi qua điểm
nhận vectơ
làm vectơ pháp tuyến là
Trả lời

( ; ; )n A B C
=
r
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
(3;4;1)n
=
r
α
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
( ; ; )n A B C
=
r
.
Dạng 1
2) Áp dụng:
a) Viết phương trình tổng quát của
mp(α) đi qua điểm A(1; 3; 2) và nhận
vectơ làm vectơ pháp
tuyến.
2) Phương trình mp(α) là:

3(x – 1) + 4(y – 3) + (z – 2) = 0
hay 3x + 4y + z – 17 = 0
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z
− + − + − =
1)
BÀI TẬP
BÀI TẬP
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
b) Trong không gian, lập phương
trình tổng quát của mp(P) biết nó đi
qua điểm M(2 ; 5; 3) và song song
với mp(Q): 2x + 3y – z + 1 = 0
Giải
Do (P) // (Q) nên (P) có vectơ pháp
tuyến là
Phương trình mp (P) là
2(x – 2) + 3(y – 5) – (z – 3) = 0
hay 2x + 3y – z – 16 = 0
(2;3; 1)
P Q
n n= = −
uur uur
P Q
n n
=
uur uur
α
α

α
b
r
Hình 1
Hình 2
Hình 3
Hình nào
trong các
hình sau
mp có
vectơ pháp
tuyến là
Đáp án: Hình 2, Hình 3 và
Hình 4
α
n = a,b
 
 
r
r r
α
a
r
b
r
Hình 4
a
r
b
r

a
r
b
r
a
r
BÀI TẬP
BÀI TẬP
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1) Lập phương trình mặt phẳng (
α
) đi
qua điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và biết 2
vectơ
không cùng phương có giá song
song hoặc nằm trên (
α
)
Khi đó vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng (
α

) được tính theo công thức:



1 2 3 1 2 3
( ; ; ), ( ; ; )a a a a b b b b
= =
r r
2 3 3 1
1 2
2 3 3 1
1 2
, , ,
a a a a
a a
n a b
b b b b
b b
 
 
= =
 ÷
 
 
r r r
α
b
r
a
r

0 0 0 0
( ; ; )M x y z
.
( )
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
; ;a b a b a b a b a b a b
= − − −
Dạng 2
Cách giải:
Tìm vectơ pháp tuyến
Áp dụng dạng 1 để giải
Biết hai vectơ không cùng phương có giá song song
hoặc nằm trên mp(
α
)
Dùng máy tính casio fx 570 ES (Plus): Tìm vectơ pháp tuyến của mp(
α
)
(tính tích có hướng của 2 vectơ ) :
Mode  8  1  1  (Nhập vectơ a)
On  shift  5 1  2 1 (Nhập vectơ b)
On  shift  5  3  dấu x  shift  5  4  =
1 2 3 1 2 3
( ; ; ), ( ; ; )a a a a b b b b
= =
r r
Thực hành trên máy tính
Casio fx570plus
Ví du:̣ Cho 2 vectơ . Tính
Kết quả

,a b
 
 
r r
,a b
 
 
r r
(1;3;4), =(2;0;5) a b=
r r
, (15;3; 6)a b
 
= −
 
r r
BÀI TẬP
BÀI TẬP
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1)Lập phương trình mp(ABC), biết

A(1; 1; 3), B(2; 2; 3), C(3; 1; 4)
Giải
Giải
Hai vectơ có giá nằm trên mp(ABC) là
Vectơ pháp tuyến của mp(ABC) là
Vậy mp(ABC) có phương trình là
(x – 1) – (y – 1) – 2(z – 3) = 0
hay x – y – 2z + 6 = 0
2) Lập phương trình mp(α) biết nó đi

qua 2 điểm A(1; 2; 0), B(2; 2; 1) và
vuông góc với mp(β): 2x + y + z + 3 = 0
Giải
Giải
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm
trên mp(ABC) là
Vectơ pháp tuyến của mp(α) là
Vậy mp(α) có phương trình là
– (x – 1) + (y – 2) + (z – 0) = 0
hay – x + y + z – 1 = 0


A.
.C
.B
Tìm vectơ pháp tuyến của mp
Hướng dẫn:
Tìm 2 vectơ có giá song song hoặc
nằm trên mp
(1;1;0)
(2;0;1)
AB
AC
=
=
uuur
uuur
, (1; 1; 2)n AB AC
 
= = − −

 
r uuur uuur
(1;0;1)
(2;1;1)
AB
n
β
=
=
uuur
uur
, ( 1;1;1)n AB n
β
 
= = −
 
r uuur uur
BÀI TẬP
BÀI TẬP
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Mặt phẳng đi qua 3 điểm A(a; 0; 0),
B(0; b; 0) và C(0; 0; c) có phương
trình như thế nào? Phương trình này
gọi là phương trình gì ?

Trả lời
Phương trình đó là:
hay bcx + acy + abz – abc = 0
gọi là phương trình mặt phẳng theo

đoạn chắn.

1
x y z
a b c
+ + =
Dạng 3
Dạng 3
BÀI TẬP
BÀI TẬP
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
BT) Viết phương trình mp(α) đi qua
3 điểm :
A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 4).
Giải
Giải
Áp dụng công thức phương trình mp
theo đoạn chắn, ta có phương trình
mp(α) là:
hay 2x + 4y + z – 4 = 0

4 8 2 8x y z⇔ + + =
1
2 1 4
x y z
+ + =
BÀI TẬP
BÀI TẬP
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Cho hai mp:
Lần lượt có hai vectơ pháp tuyến
Điều kiện để ?
Điều kiện để cắt ?
Trả lời
1)



2) cắt
( )
( )
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
: 0
: 0
A x B y C z D
A x B y C z D
α
α
+ + + =
+ + + =
( )
( )
1 1 1 1
2 2 2 2
; ;
; ;
n A B C

n A B C
=
=
ur
uur
( ) ( )
1 2
//
α α
( )
1
α
( )
2
α
( ) ( )
1 2
//
α α
( )
1
α
( )
2
α
Hai mp song song, cắt nhau
1 2
n kn
⇔ ≠
ur uur

( ) ( )
1 1 1 2 2 2
; ; ; ;A B C k A B C⇔ ≠
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
1 2
; ; ; ;A B C k A B C
D kD
 =

⇔

≠


1 2
1 2
n kn
D kD

=

⇔

≠


ur uur
BÀI TẬP
BÀI TẬP

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1) Xác định m và n để 2 mp sau song
song với nhau:
3x + my – 2z – 7 = 0 và
nx – 2y – z – 9 = 0
Giải
Để 2 mp đã cho song song với nhau thì
ta có:
(3; m; – 2) = 2(n; – 2; – 1 )
hay (3; m; – 2) = (2n; – 4; – 2 )
Vậy
2) Xác định m để 2 mp sau cắt nhau:
3x + my – 2z + 5 = 0 và
6x – 2y – 4z + 7 = 0
Giải
Để 2 mp đã cho cắt nhau thì ta có:
Vậy

3
4;
2
m n
=− =
1
(3; ; 2) (6; 2; 4)
2
m
− ≠ − −
(3; ; 2) (3; 1; 2)m

⇔ − ≠ − −
1m ≠ −
Bài tập về nhà
1) Viết phương trình mp(P) đi qua điểm A(1; 3; 5) và vuông góc với hai mp có
phương trình sau: 3x – 4y + 2z + 1 = 0 và x – 2y + z – 3 = 0
2) Viết phương trình mp biết nó đi tiếp xúc với mặt cầu (S): (x – 2)
2
+ (y – 1)
2
+
(z – 4)
2
= 9, tại điểm A( 2; 4; 4).
3) Xác định m và n để 2 mp sau song song vơi nhau:
(α): 4x – my + 2z – 3 = 0
(β): nx + 3y – 4z – 5 = 0
4) Tính khoảng cách giữa hai mp song song
(α): 4x + 6y + 2z – 3 = 0
(β): 2x + 3y + z – 5 = 0
.
Phương trình
mặt phẳng
Dạng 2: Biết một điểm thuộc mp và hai vectơ
có giá song song hoặc nằm trên mp đó.
Dạng 3: Phương trình mp theo đoạn chắn
Điều kiện để hai mp song song hoặc cắt nhau
Dạng 1: mp đi qua điểm M
0
(x
0

; y
0
; z
0
)
và có VTPT n=(A;B;C)
CỦNG CỐ BÀI
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm nhận vectơ làm
vectơ pháp tuyến là
( ; ; )n A B C
=
r
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
α
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
( ; ; )n A B C
=
r
.
Dạng 1
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z
− + − + − =
Lập phương trình mặt phẳng (α) đi
qua điểm M
0
(x
0

; y
0
; z
0
) và biết 2
vectơ
không cùng phương có giá song
song hoặc nằm trên (
α
)
Khi đó vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng (
α
) được tính theo công thức:



1 2 3 1 2 3
( ; ; ), ( ; ; )a a a a b b b b
= =
r r
2 3 3 1
1 2
2 3 3 1
1 2
, , ,
a a a a
a a
n a b
b b b b

b b
 
 
= =
 ÷
 
 
r r r
α
b
r
a
r
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
.
( )
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
; ;a b a b a b a b a b a b
= − − −
Dạng 2
Dạng 2
Mặt phẳng đi qua 3 điểm A(a; 0; 0),
B(0; b; 0) và C(0; 0; c) có phương
trình ? Phương trình này gọi là
phương trình gì ?
Trả lời
Phương trình đó là:
hay bcx + acy + abz – abc = 0
gọi là phương trình mặt phẳng theo

đoạn chắn.

1
x y z
a b c
+ + =
Dạng 3
Dạng 3
Cho hai mp:
Lần lượt có hai vectơ pháp tuyến
Điều kiện để ?
Điều kiện để cắt ?
Trả lời
1)



2) cắt
( )
( )
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
: 0
: 0
A x B y C z D
A x B y C z D
α
α
+ + + =
+ + + =

( )
( )
1 1 1 1
2 2 2 2
; ;
; ;
n A B C
n A B C
=
=
ur
uur
( ) ( )
1 2
//
α α
( )
1
α
( )
2
α
( ) ( )
1 2
//
α α
( )
1
α
( )

2
α
Hai mp song song, cắt nhau
1 2
n kn
⇔ ≠
ur uur
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
; ; ; ;A B C k A B C⇔ ≠
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
1 2
; ; ; ;A B C k A B C
D kD
 =

⇔

≠


1 2
1 2
n kn
D kD

=

⇔


≠


ur uur
Tìm vectơ pháp tuyến từ 2 vectơ có giá song song hoặc nằm trên mặt
phẳng.
* Dùng công thức:
* Hoặc dùng máy tính casio fx 570 ES (Plus): Tìm vectơ pháp tuyến của
mp
Mode  8  1  1  (Nhập vectơ a)
On  shift  5 1  2 1 (Nhập vectơ b)
On  shift  5  3  dấu x  shift  5  4  =
2 3 3 1
1 2
2 3 3 1
1 2
, , ,
a a a a
a a
n a b
b b b b
b b
 
 
= =
 ÷
 
 
r r r

( )
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
; ;a b a b a b a b a b a b= − − −
rp
MT