Truyền nhiệt CI Khái niệm cơ bản Truyền nhiệt Phương trình vi phân dẫn nhiệt

Nguyễn toàn phong Page 1 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt
Chương I
Friday, September 17,
2010
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ
TRUYỀN NHIỆT và
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT

A. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Nhiệt lượng
⇒ Là năng lượng trao đổi khi có chênh lệch nhiệt độ






Nguyễn toàn phong Page 2 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt




Nhiệt lượng trao đổi theo ba hình thức cơ bản: dẫn nhiệt,
trao đổi nhiệt đối lưu và trao đổi nhiệt bức xạ
Nguyễn toàn phong Page 3 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt
I. DẪN NHIỆT
⇒ Nhiệt lượng truyền giữa hai vật tiếp xúc trực tiếp
với nhau có chênh lệch nhiệt độ
⇒ hoặc giữa các vùng có nhiệt độ khác nhau trong
cùng một vật.

Nguyễn toàn phong Page 4 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt
II. TRAO ĐỔI NHIỆT ĐỐI LƯU
⇒ Nhiệt lượng trao đổi giữa lưu chất và bề mặt rắn
khi có chênh lệch nhiệt độ.



Nguyeón toaứn phong Page 5 of 24 Chửụng I KNCB & PT Vi Phaõn Daón Nhieọt


Nguyễn toàn phong Page 6 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt
III. TRAO ĐỔI NHIỆT BỨC XẠ
⇒ Nhiệt lượng trao đổi giữa hai vật có nhiệt độ
chênh lệch không tiếp xúc nhau trong môi trường
chất khí hoặc chân không.


IV.
Nguyễn toàn phong Page 7 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt
V. TRAO ĐỔI NHIỆT PHỨC TẠP
⇒ Nhiệt lượng truyền giữa hai đối tượng có chênh
lệch nhiệt độ từ hai cách trên trở lên


Quá trình truyền nhiệt năng có liên quan chặt chẽ với sự
phân bố nhiệt độ (hay gradient nhiệt độ)
Nguyễn toàn phong Page 8 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt
VI. TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ

Nhiệt độ Là thông số trạng thái biểu thò mức độ nóng
lạnh của vật.
Là yếu tố quyết đònh phương hướng chuyển
động của dòng nhiệt.
Trường nhiệt độ Mô tả giá trò nhiệt độ trong vật theo
thời gian.
Trong trường hợp tổng quát nhiệt độ là hàm số của tọa độ
và thời gian.




( )
( )
( )
τθφ=
τφ=
τ=
,,,rft
,z,,rft
,z,y,xft
(1-1)
Nguyễn toàn phong Page 9 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt
• Trường nhiệt độ ổn đònh

( )
0
t
z,y,xft
=

τ∂
∂
=
(1-2)
• Trường nhiệt độ biến thiên 2 chiều

( )
0
z
t
,y,xft
=
∂
∂
τ=
(1-3)
• Trường nhiệt độ ổn đònh biến thiên theo 2 chiều

( )
0
t
và0
z
t
y,xft
=
τ∂
∂
=
∂

∂
=
(1-4)
• Trường nhiệt độ ổn đònh biến thiên 1 chiều

( )
0
t
và0
z
t
y
t
xft
=
τ∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
(1-5)
Nguyễn toàn phong Page 10 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt
VII. GRADIENT NHIỆT ĐỘ
Mặt đẳng nhiệt: Tập hợp các điểm có nhiệt độ giống
nhau tại một thời điểm nào đó.
 Mặt đẳng nhiệt không cắt nhau.

 Nhiệt độ sẽ thay đổi khi đi qua các mặt đẳng nhiệt.
Gradient nhiệt độ: Độ biến thiên nhiệt độ theo phương
pháp tuyến.
Là vectơ trùng với phương pháp
tuyến của bề mặt đẳng nhiệt theo
chiều tăng của nhiệt độ



tk
z
t
j
y
t
i
x
t
tgrad ∇=⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
=

(1-6)

tt ∆+

t
ϕ

n
t
∂
∂

s
t
∂
∂

s
n
Nguyễn toàn phong Page 11 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt
Hay
tgradntgrad
o
=
(1-7)
n
o
Vectơ pháp tuyến đơn vò theo chiều tăng nhiệt độ
với bề mặt đẳng nhiệt.

k)z,ncos(j)y,ncos(i)x,ncos(n
o


⋅+⋅+⋅=
(1-8)
Độ lớn
2
z
2
y
2
x
't't'ttgrad ++=
(1-9)

VIII. NGUỒN NHIỆT
Nguồn nhiệt là năng lượng chuyển hóa từ dòng điện,
phản ứng nguyên tử hoặc từ các phản ứng
hóa học thành năng lượng nhiệt,
tính cho một đơn vò thể tích q
v
,
3
mW

Nhiệt lượng sinh ra từ thể tích V do nguồn nhiệt bên trong

∫
⋅=
V
vV
dVqQ

(1-10)

Nguyễn toàn phong Page 12 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt
B. ĐỊNH LUẬT FOURIER
Đây là đònh luật cơ bản của dẫn nhiệt trong vật chất.
“Nhiệt lượng dQ
τ
truyền qua phần tử bề mặt đẳng nhiệt dF
trong khoảng thời gian d
τ
tỷ lệ thuận với gradient nhiệt độ”

τ⋅⋅
∂
∂
⋅λ−=∂
τ
ddF
n
t
Q
J (1-11)
Dấu “ −” Do nhiệt lượng luôn đi từ nơi có nhiệt độ cao
đến nơi có nhiệt độ thấp.
λ
Hệ số dẫn nhiệt, là thông số vật lý đặc trưng
cho khả năng dẫn nhiệt của vật liệu. W/(m.K)
Mật độ dòng nhiệt nhiệt lượng truyền qua một đơn vò
bề mặt đẳng nhiệt trong một đơn vò
thời gian:

n
t
ddF
dQ
q
F
∂
∂
⋅λ−=
τ⋅
=
τ
W/m
2
(1-12)

kqjqiqq
zyxF

⋅+⋅+⋅=
(1.13)
Với










∂
∂
⋅λ−=
∂
∂
⋅λ−=
∂
∂
⋅λ−=
z
t
q
y
t
q
x
t
q
z
y
x
(1-14)

tgradq
F
⋅λ−=
hay
tq

F
∇⋅λ−
=
(1-15)
Trường hợp tổng quát:
Nguyễn toàn phong Page 13 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt
Dòng nhiệt truyền qua mặt đẳng nhiệt F trong một đơn vò
thời gian:

dFtgradQ
F
⋅⋅λ−=
∫
W (1-16)
Nhiệt lượng truyền qua mặt đẳng nhiệt F sau khoảng
thời gian τ:

∫∫
τ
τ⋅⋅⋅λ−=
0 F
ddFtgradQ
J (1-17)

Nguyễn toàn phong Page 14 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt
C. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT
Hiện tượng dẫn nhiệt luôn liên quan với sự chuyển động
vi mô của vật chất
 Trong chất khí
⇒ là do khuếch tán của các phân tử và nguyên tử

 Trong chất lỏng và chất cách điện
⇒ do tác dụng của sóng đàn hồi
 Trong kim loại
⇒ do sự khuếch tán của các điện tử tự do (dao động
đàn hồi của mạng tinh thể đóng vai trò thứ yếu)
Các giả thuyết khi thiết lập phương trình vi phân dẫn nhiệt:
+ Vật đồng chất và đẳng hướng.
+ Thông số vật lý là hằng số.
+ Vật xem là hoàn toàn cứng (sự thay đổi thể tích do
nhiệt độ gây nên rất bé)
+ Các phần vó mô của vật không có sự chuyển động
tương đối vơí nhau.
+ Nguồn nhiệt bên trong phân bố đều:
constq
v
=
, W/m
3

Nguyễn toàn phong Page 15 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt
Phương trình vi phân dẫn nhiệt được xây dựng dựa trên
cơ sở đònh luật bảo toàn năng lượng và đònh luật Fourier.
Đònh luật bảo toàn năng lượng: “Nhiệt lượng
δ
Q
1
đưa
vào phần tử thể tích dV sau khoảng thời gian d
τ
do dẫn nhiệt

và do nguồn nhiệt bên trong phát ra bằng sự biến thiên nội
năng trong phần tử thể tích vật”

QQQ
21
∂=∂+∂
(1-18)
δQ
1
Nhiệt lượng đưa vào phần tử thể tích bằng dẫn
nhiệt sau khoảng thời gian d
τ

δQ
2
Nhiệt lượng phát sinh trong phần tử thể tích sau
khoảng thời gian d
τ
do nguồn nhiệt bên trong.
δQ Độ biến thiên nội năng trong phần tử thể tích dv
sau khoảng thời gian d
τ
.

Nguyễn toàn phong Page 16 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt
Theo phương x, nhiệt lượng đưa vào tại vò trí x và đưa ra
tại vò trí
dxx +
là:

τ⋅⋅⋅=∂ ddzdyqQ
xx


τ⋅⋅⋅=∂
++
ddzdyqQ
dxxdxx

Nhiệt lượng tích tụ lại trong phần tử thể tích theo phương
x sau khoảng thời gian d
τ
:

( )
τ⋅⋅⋅−=
∂−∂=∂
+
+
ddzdyqq
QQQ
dxxx
dxxxx1
(1-19.a)
Hàm
dxx
q
+
liên tục trong khoảng dx, do đó có thể khai
triển theo chuổi Taylor như sau:

!n
dx
x
q

!2
dx
x
q
dx
x
q
qq
n
n
x
n
2
2
x
2
x
xdxx
⋅
∂
∂
++⋅
∂
∂

+⋅
∂
∂
+=
+

Nếu chỉ lấy 2 số hạng đầu, thế vào (a) ta có:

τ⋅⋅⋅⋅
∂
∂
−
=∂ ddzdydx
x
q
Q
x
x1
(1-19.b)
Tương tự, nhiệt lượng tích tụ theo phương y và z là:

τ⋅⋅⋅⋅
∂
∂
−=∂ ddzdydx
y
q
Q
y
y1

τ⋅⋅⋅⋅
∂
∂
−=∂ ddz
dydx
z
q
Q
z
z1

Như vậy, nhiệt lượng tích tụ lại trong phần tử thể tích dv
sau khoảng thời gian d
τ
do dẫn nhiệt là:
τ⋅⋅−∇=τ⋅⋅








∂
∂
+
∂

∂
+
∂
∂
−=
∂+∂+∂=∂
ddVqddV
z
q
y
q
x
q
QQQQ
z
y
x
z1y1x11
(1-19.c)
Nguyễn toàn phong Page 17 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt
Nhiệt lượng tỏa ra do nguồn nhiệt bên trong
v
q
[W/m
3
]
(phân bố đều):

τ⋅⋅=∂ ddVqQ
v2

(1-19.d)
Biến thiên nội năng trong phần tử thể tích dv:

τ⋅⋅
τ∂
∂
⋅ρ⋅=τ⋅
τ∂
∂
⋅⋅=∂
≡≡
ddV
t
Cd
t
dmCQ
CCC
pv
(1-19.e)
Thay 1-19.c, 1-19.d, 1-19.e vào 1-18
Ta được:
ρ
+∇⋅
ρ
−
=
τ∂
∂
.C
q

q
.C
1t
v
(1-20)
Thế phương trình 1-15 vào 1-20
Ta được
ρ
+∇⋅
ρ
λ
=
τ∂
∂
.C
q
t
.C
t
v
2

Hay
ρ
+∇⋅=
τ∂
∂
.C
q
ta

t
v
2
(1-21)
ρ
λ
=
.C
a
hệ số khuếch tán nhiệt, là thông số vật lý tồn tại
trong quá trình dẫn nhiệt không ổn đònh và đặc
trưng cho tốc độ biến thiên nhiệt độ của vật.
Nguyễn toàn phong Page 18 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt
Trong hệ tọa độ trụ
Ta thế quan hệ sau






=
φ⋅=
φ⋅=
zz
sinry
cosrx
(1-22)
vào phương trình 1-21, phương trình vi phân dẫn nhiệt
trong hệ tọa độ trụ có dạng:

ρ
+






∂
∂
+
φ∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅=
τ∂
∂
.C
q
z
tt
r
1
r

t
r
1
r
t
a
t
v
2
2
2
2
22
2
(1-23)

Nguyễn toàn phong Page 19 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt
Trong hệ tọa độ cầu:
Ta thế quan hệ sau






θ⋅=
θ⋅φ⋅=
θ⋅φ⋅=
cosrz
sinsinry

sincosrx
(1-24)
vào phương trình 1-21, phương trình vi phân dẫn nhiệt
trong hệ tọa độ cầu có dạng:
( )
ρ
+






φ∂
∂
⋅
θ
+






θ∂
∂
⋅θ
θ∂
∂
⋅

θ
+⋅
∂
∂
⋅⋅=
τ∂
∂
.c
q
t
sin.r
1t
sin
sin.r
1
tr
r
r
1
a
t
v
2
2
2222
2

(1-25)

Nguyễn toàn phong Page 20 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt

D. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH MỘT CHIỀU
KHÔNG CÓ NGUỒN NHIỆT BÊN TRONG
I. TRONG HỆ TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC
P/trình 1-21
ρ
+∇⋅=
τ∂
∂
.C
q
ta
t
v
2

Trường hợp này mặt đẳng nhiệt là những mặt phẳng song
song → nhiệt độ chỉ thay đổi theo phương x, ta có








==
τ∂
∂
=

∂
∂
=
∂
∂
0q0
t
0
z
t
0
y
t
v
⇒

0
dx
td
2
2
=
(1-26)
II. TRONG HỆ TỌA ĐỘ TRỤ
P/t 1-23:
ρ
+







∂
∂
+
φ∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅=
τ∂
∂
.C
q
z
tt
r
1
r
t
r
1
r
t
a

t
v
2
2
2
2
22
2

Trường hợp này mặt đẳng nhiệt là những mặt trụ đồng
tâm → nhiệt độ chỉ thay đổi theo phương bán kính








==
τ∂
∂
=
∂
∂
=
φ∂
∂
0q0
t

0
z
t
0
t
v

⇒

0
dr
dt
r
1
dr
td
2
2
=⋅+


⇒

0
dr
dt
r
dr
d
=







⋅
(1-27)
Nguyễn toàn phong Page 21 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt
III. TRONG HỆ TỌA ĐỘ CẦU
Phương trình tổng quát 1-25
( )
ρ
+






φ∂
∂
⋅
θ
+







θ∂
∂
⋅θ
θ∂
∂
⋅
θ
+⋅
∂
∂
⋅⋅=
τ∂
∂
.c
q
t
sin.r
1t
sin
sin.r
1
tr
r
r
1
a
t
v
2

2
2222
2

Trường hợp này mặt đẳng nhiệt là những mặt cầu đồng
tâm → nhiệt độ chỉ thay đổi theo phương bán kính







==
τ∂
∂
=
θ∂
∂
=
φ∂
∂
0q0
t
0
t
0
t
v

⇒

( )
0
dr
dt
r
2
dr
td
0tr
dr
d
r
1
2
2
2
2
=⋅+⇔=⋅⋅


⇒

0
dr
dt
r
dr
d

2
=






⋅
(1-28)
IV. TRƯỜNG HP TỔNG QUÁT

0
dr
dt
r
dr
d
n
=






⋅
(1-29)
i. Tọa độ vuông góc

⇒




≡
=
rx
0n

ii. Tọa độ trụ

⇒

1n =

iii. Tọa độ cầu

⇒

2n =


Nguyễn toàn phong Page 22 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt
E. ĐIỀU KIỆN ĐƠN TRỊ
I. ĐIỀU KIỆN HÌNH HỌC
Đặc trưng hình dáng, kích thước của vật tham gia quá trình.
II. ĐIỀU KIỆN VẬT LÝ
Cho biết các thông số vật lý của vật: λ, C, ρ … và có
thể cho biết qui luật phân bố nguồn nhiệt bên trong vật.

III. ĐIỀU KIỆN THỜI GIAN HAY ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU
Điều kiện này cần thiết khi khảo sát quá trình không ổn
đònh, nó cho biết qui luật phân bố nhiệt độ trong vật ở một
thời điểm nào đó.
Trong trường hợp chung, điều kiện này có thể biểu diễn
dưới dạng:
Khi
0=τ

( )
z,y,xt =

Nếu ở thời điểm ban đầu sự phân bố nhiệt độ đồng nhất
thì:
Khi
0=τ

consttt
o
==

IV. ĐIỀU KIỆN BIÊN
Cho biết đặc điểm tiến hành quá trình trên bề mặt của
vật. Có thể biểu thò dưới dạng số học, dạng hàm số hoặc
dạng phương trình vi phân.
Nguyễn toàn phong Page 23 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt
1. Điều kiện biên loại 1
Cho biết nhiệt độ bề mặt của vật t
w
, cần xác đònh nhiệt

lượng truyền qua δQ
2. Điều kiện biên loại 2
Cho biết nhiệt lượng truyền qua δQ, cần tìm quy luật
phân bố nhiệt độ bề mặt của vật t
w
.
3. Điều kiện biên loại 3
Cho biết nhiệt độ môi trường xung quanh t
f
và quy luật
trao đổi nhiệt giữa bề mặt với môi trường (trong quá trình
làm nguội hay gia nhiệt)
Đònh luật Newton-Rieman cho trường hợp trao đổi nhiệt
đối lưu

( )
wf
ttq −⋅α=
(1-30)
Nhiệt lượng này cũng bằng nhiệt lượng do dẫn nhiệt
(tại bề mặt):

w
n
t
q







∂
∂
⋅λ−=
(1-31)
từ 1.30 và 1.31 có thể biểu diễn điều kiện biên loại 3
như sau:

( )
fw
w
tt
n
t
−⋅
λ
α
=






∂
∂
(1-32)
Nguyễn toàn phong Page 24 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt
4. Điều kiện biên loại 4

Điều kiện này đặc trưng cho qui luật truyền nhiệt năng
giữa hai vật tiếp xúc nhau.
Giả thuyết giữa các vật có sự tiếp xúc lý tưởng (nhiệt độ
chổ tiếp xúc đồng nhất) thì:

w
2
w
1
n
t
n
t






∂
∂
⋅λ=






∂
∂

⋅λ
(1-33)