TRUYỀN NHIỆT B2 - Phương trình vi phân dẫn nhiệt của vật rắn

Bài 2
Chương 2 (Phần1): Phương trình vi phân dẫn nhiệt của vật rắn
2.1 Trường nhiệt độ - Gradient nhiệt độ
2.2 Định luật Fourier về dẫn nhiệt
2.3 Phương trình vi phân dẫn nhiệt
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM
8/2009
p.1
p.1
2.4 Điều kiện đơn trị
2.1 Trường nhiệt độ - Gradient nhiệt độ
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM
8/2009
p.2
p.2
¾ Trường nhiệt độ (TNĐ): tập hợp giá trị nhiệt độ của tất cả các điểm trong
vật tại một thời điểm nào đó
- Phân loại TNĐ:
),,( zyxft =
),,,(
τ
zyxft
=
+ Theo thời gian:
TNĐ ổn định: không biến thiên theo thời gian
TNĐ không ổn định: biến thiên theo thời gian
+ Theo tọa độ: TNĐ 1 chiều, 2 chiều hay 3 chiều.
VD: TNĐ ổn định 1 chiều:
)(xft

=
n
t
ntgrad
o
∂
∂
=
r
)(
¾ Gradient nhiệt độ:
-Mặt đẳng nhiệt: q tích của các điểm có nhiệt độ như nhau tại một thời điểm
MĐN không cắt nhau
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM
8/2009
p.3
p.3
-Nhiệt độ trong vật chỉ thay đổi theo phương
cắt các MĐN
- Độ tăng nhiệt độ theo phương pháp tuyến
vớiMĐN (phương ) là lớn nhất và đuợc
đặc trưng bằng Gradient nhiệt độ:
n
r
Gradient nhiệt độ: là vectơ có phương trùng với phương pháp tuyến
của MĐN và có độ lớn bằng đạo hàm của nhiệt độ theo phương ấy.
2.2 Định luật FOURIER (ĐL cơ bản về dẫn nhiệt)
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM

8/2009
p.4
p.4
τλ
τ
dFd
n
t
dQ
∂
∂
−=
(J)
Với: λ là hệ số dẫn nhiệt của vật liệu (W/m.độ)
n
t
dFd
dQ
q
∂
∂
−==
λ
τ
τ
Mật độ dòng nhiệt: (W/m
2
)
Muốn tính được Q truyền qua cần phải biết phân bố nhiệt bên trong vật
tìm PT trường nhiệt độ là nhiệm vụ cơ bản của dẫn nhiệt.

dF
2.3 Phương trình vi phân dẫn nhiệt
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM
8/2009
p.5
p.5
-Xét một phần tử thể tích dv = dx.dy.dz trong vật trong khoảng thời gian
dτ, với các giả thiết:
Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng cho phần tử dv
¾ Vật đồng chất và đẳng hướng
¾ Các thông số vật lý của vật là hằng số
¾ Vật hoàn toàn cứng
¾ Nguồn nhiệt bên trong phân bốđều
q
v
= f(x, y, z, τ).
Dòng nhiệt
đưa vào phân
tố dxdydz bằng
dẫn nhiệt
Dòng nhiệt phát ra
trong phân tố dxdydz
do nguồn nhiệt bên
trong phát ra
Độ biến thiên
nội năng trong
phân tố dxdydz
=+
Phương trình vi phân dẫn nhiệt:

Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM
8/2009
p.6
p.6
ρρ
λ
τ
c
q
z
t
y
t
x
t
c
t
v
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂

+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
2
2
2
(2.1)
trong đó:
c là nhiệt dung riêng của vật (J/kg.độ)
ρ là khối lượng riêng của vật (kg/m
3
)
λ là hệ số dẫn nhiệt của vật (W/m.độ)
q
v
là năng suất phát nhiệt của nguồn nhiệt bên trong vật (W/m
3
)
với
ρ
λ

c
a =
(m/s
2
) gọi là hệ số khuyếch tán nhiệt, là thông số vật lý
đặc trưng cho tốc độ biến thiên nhiệt độ của vật trong quá
trình dẫn nhiệt không ổn định
¾ Trong hệ tọa độ trụ (r, ϕ, z) Pt vi phân dẫn nhiệt (2.1) có dạng:
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM
8/2009
p.7
p.7
ρ
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
ϕ∂
∂
⋅+
∂

∂
⋅+
∂
∂
=
τ∂
∂
c
q
z
tt
r
1
r
t
r
1
r
t
a
t
v
2
2
2
2
22
2
¾ Trong hệ tọa độ cầu (r, ϕ, ψ) Pt vi phân dẫn nhiệt (2.1) có dạng:
()

ρϕψω
ψ
ψψτ
c
qt
r
t
rr
rt
r
a
t
v
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂

∂
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅=
∂
∂
2
2
2222
2
sin
1
sin
sin
11
2.4 Điều kiện đơn trị
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM
8/2009
p.8
p.8
1. Điều kiện hình học: hình dáng, kích thước vật
2. Điều kiện vậtlý: cho biết các thông số vật lý của vật (λ, c, ρ …) và
3. Điều kiện thời gian: cho biết qui luật phân bố nhiệt độ trong vật ở
4. Điều kiện biên: cho biết đặc điểm tiến hành quá trình trên bề mặt vật
qui luật phân bố nguồn nhiệt trong q
v

một thời gian nào đó τ = 0: t = f(x, y, z)
¾ ĐKB loại1: cho biết nhiệt độ bề mặt t
w
¾ ĐKB loại2:cho biết q truyền qua bề mặt
¾ ĐKB loại3:cho biết t
f
và TĐN giữa bề mặt vật với mơi trường
- Theo ĐL Newton-Ricman, nhiệt lượng
tỏa ra trên 1 đơn vị diện tích bề mặt vật là:
(
)
fw
ttq
−
=
α
-Nhiệt lượng q này tiếp tục truyền trong
vật bằng dẫn nhiệt:
W
n
t
q
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂

−=
λ
()
fw
w
tt
n
t
−−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
λ
α
Hệ số tỏa nhiệt α (W/m
2
.độ) phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố, trong nhiều
trường hợp có thể xem không đổi, do đó ĐKB loại 3 có ý nghóa thực tiễn rất lớn.
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM
8/2009
p.9
p.9
¾ ĐKB loại4: cân bằng về dòng nhiệt qua chỗ bề mặt tiếp xúc lý tưởng
Người soạn: TS. Hà anh Tùng

ĐHBK tp HCM
8/2009
p.10
p.10
w
2
w
1
n
t
n
t
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
λ=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
λ

( Nhiệt độ hai bề mặt tại điểm tiếp xúc
bằng nhau)

HẾT BÀI 2
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM
8/2009
p.11
p.11
Ví dụ
Ví dụ
:
:
Tính toán dẫn nhiệt
Tính toán dẫn nhiệt
qua
qua
vách phẳng
vách phẳng
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM
8/2009
p.12
p.12
Q
T
1
T
2
- Vách phẳng có:

+ Diện tích F (m
2
)
+ Bề dày δ (m)
+ Hệ số dẫn nhiệt λ (W/m.K)
+ Nhiệt độ 2 bề mặt vách T
1
và T
2
δ
λ
T
FQ
Δ
=
ĐL
Fourier
(W)
hay
λ
δ
/
T
q
Δ
=
(W/m
2
)
(R

λ
được gọi là nhiệt trở dẫn nhiệt của vách phẳng)
ĐL Ohm
R
U
I =
T
1
T
2
λ
δ
λ
=R
VD: Dẫn nhiệt qua vách phẳng 3 lớp
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM
8/2009
p.13
p.13
3
3
2
2
1
1
41
321
41
λ

δ
λ
δ
λ
δ
λλλ
++
−
=
++
−
=
tt
q
RRR
tt
q
 VD 2.1: Vách lò 3 lớp: gạch chòu lửa dày δ
1
= 230 mm, λ
1
= 1,10 W/m.
o
C;
amiăng δ
2
= 50 mm, λ
2
= 0,10 W/m
o

C; gạch xây dựng δ
3
= 240 mm, λ
3
= 0,58
W/m
o
C. Nhiệt độ bề mặt trong cùng t
1
= 500
o
C và ngoài cùng t
4
= 50
o
C.
Xác đònh q dẫn qua vách, nhiệt độ lớp tiếp xúc t
3
.
Giải
 Nhiệt trở dẫn nhiệt qua các lớp:
1
1
1
R
λ
δ
=
WCm 21,0
10,1

23,0
o2
⋅==
2
2
2
R
λ
δ
=
WCm 50,0
10,0
05,0
o2
⋅==
3
3
3
R
λ
δ
=
WCm 41,0
58,0
24,0
o2
⋅==
 Nhiệt độ lớp tiếp xúc:
(
)

21
13
RRqtt +−=
()
C
o
7,2145,021,078,401500 =+−=
∑
=
Δ
==
3
1i
i
R
t
F
Q
q
2
m 78,401
41,050,021,0
50500
W=
++
−
=
MĐDN:
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM

8/2009
p.14
p.14