TRUYỀN NHIỆT B3 - Dẫn nhiệt ổn định

Bài 3
Chương 2 (Phần2): Dẫn nhiệt ổn định (không phụ thuộc thời gian)
3.1 Dẫn nhiệt qua vách phẳng
3.2 Dẫn nhiệt qua vách trụ - vách cầu
3.3 Phương pháp nhiệt trở
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM
8/2009
p.1
p.1
3.4 Dẫn nhiệt qua thanh và cánh
¾ Dẫn nhiệt ổn định:
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM
8/2009
p.2
p.2
),,( zyxft
=
0=
∂
∂
τ
t
Nếu không tồn tại nguồn nhiệt bên trong:
0
=
v
q
suy ra:
Từ (2.1)

0
2
2
2
2
2
2
=+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρρ
λ
c
q
z
t

y
t
x
t
c
v
(3.1)
0
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
t
y
t
x
t
(3.2)

Ví dụ: một số trường hợp dẫn nhiệt ổn định, trường nhiệt độ chỉ biến
thiên theo 1 chiều như: -Vách phòng lạnh
- Đường ống dẫn hơi ở chế độ ổn định
3.1 Dẫn nhiệt qua vách phẳng
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM
8/2009
p.3
p.3
Xét 1 vách phẳng:
- Đồng chất và đẳng hướng
-Dày δ, chiều rộng rất lớn so với chiều dày
-Cóhệ số dẫn nhiệt λ
-Nhiệt độ 2 bề mặt t
1
và t
2
không đổi
Cần tìm:
- Phân bố nhiệt độ trong vách ?
- Q truyền qua vách ?
F
tt
Q
δ
λ
21
−
=
(W)

ĐL
Fourier
ĐL Ohm
R
U
I =
hay
λ
δ
/
t
q
Δ
=
(W/m
2
)
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM
8/2009
p.4
p.4
Đây là bài toán dẫn nhiệt ổn định 1 chiều:
Từ pt (3-2)
0
2
2
=
dx
td

với điều kiện biên: - Khi x = 0 : t = t
1
- Khi x = δ : t = t
2
Dòng nhiệt Mật độ dòng nhiệt
λ
δ
λ
=R
( được gọi là nhiệt trở dẫn
nhiệt
của vật liệu)
Giải Nhiệt độ t tại vị trí x là:
x
tt
tt
δ
21
1
−
−=
(
o
C)
(3.3)
21
CxCt
+
=
C

1
, C
2
¾ Khi λ biến thiên theo nhiệt độ: λ = λ
o
(1 + bt)
() ()
dx
dt
bt1
dx
dt
tq
o
+λ−=λ−=
Phân bố nhiệt độ trong vách có dạng đường cong:
b
qx2
t
b
1
b
1
t
o
2
1
λ
−
⎟

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++−=
(
o
C)
()
21
tb
ttq −
δ
λ
=
(W/m
2
)
(HSDN trung bình khoảng nhiệt độ từ t
1
đến t
2
.)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

+
+=
2
1
21
tt
b
otb
λλ
với:
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM
8/2009
p.5
p.5
VD: Dẫn nhiệt qua vách phẳng 3 lớp
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM
8/2009
p.6
p.6
3
3
2
2
1
1
41
321
41

λ
δ
λ
δ
λ
δ
λλλ
++
−
=
++
−
=
tt
q
RRR
tt
q
 VD 3.1: Vách lò 3 lớp: gạch chòu lửa dày δ
1
= 230 mm, λ
1
= 1,10 W/m.
o
C;
amiăng δ
2
= 50 mm, λ
2
= 0,10 W/m

o
C; gạch xây dựng δ
3
= 240 mm, λ
3
= 0,58
W/m
o
C. Nhiệt độ bề mặt trong cùng t
1
= 500
o
C và ngoài cùng t
4
= 50
o
C.
Xác đònh q dẫn qua vách, nhiệt độ lớp tiếp xúc t
3
.
Giải
 Nhiệt trở dẫn nhiệt qua các lớp:
1
1
1
R
λ
δ
=
WCm 21,0

10,1
23,0
o2
⋅==
2
2
2
R
λ
δ
=
WCm 50,0
10,0
05,0
o2
⋅==
3
3
3
R
λ
δ
=
WCm 41,0
58,0
24,0
o2
⋅==
 Nhiệt độ lớp tiếp xúc:
(

)
21
13
RRqtt +−=
()
C
o
7,2145,021,078,401500 =+−=
∑
=
Δ
==
3
1i
i
R
t
F
Q
q
2
m 78,401
41,050,021,0
50500
W=
++
−
=
MĐDN:
Người soạn: TS. Hà anh Tùng

ĐHBK tp HCM
8/2009
p.7
p.7
3.2 Dẫn nhiệt qua vách trụ
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM
8/2009
p.8
p.8
Biết: r
1
, r
2
, λ, t
1
và t
2
-Xác định Q truyền qua vách ?
- Phân bố nhiệt độ trong vách ?
Vì L>> d
Nhiệt độ chỉ thay đổi theo phương bán kính
Đây là bài toán Trường nhiệt độ ổn định 1 chiều
0
dr
dt
r
1
dr
td

2
2
=⋅+
Đổi sang hệ tọa độ trục ta có:
Kết hợp điều kiện biên:
tạir = r
1
: t = t
1
tạir = r
2
: t = t
2
Thường sử dụng: nhiệt lượng dẫn qua 1m dài ống q
l
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
==
1
2
21
ln
2

1
d
d
tt
L
Q
q
l
πλ
(W/m)
¾ Kết hợp 2 pt (2.5) và (2.6) tính được nhiệt độ t (
o
C) tại vị
trí ống có đường kính tương ứng d là:
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM
8/2009
p.9
p.9
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟

⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=
1
2
1
211
d
d
ln
d
d
lntttt
(
o
C)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=−=

1
2
21
ln
2
1
d
d
L
tt
F
dr
dt
Q
πλ
λ
(W)
ĐL
Fourier
hay
l
l
R
t
q
Δ
=
ĐL Ohm
R
U

I =
1
2
1
ln
2
1
d
d
R
πλ
=
là nhiệt trở dẫn
nhiệt của 1m
vách trụ
VD: Tính dẫn nhiệt qua vách trụ nhiều lớp
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM
8/2009
p.10
p.10
Sơ đồ 3 nhiệt trở mắc nối tiếp
q
l
t
1
t
2
t
3

t
4
1
2
1
)1(1
ln
2
1
d
d
R
πλ
=
2
3
2
)2(1
ln
2
1
d
d
R
πλ
=
3
4
3
)1(1

ln
2
1
d
d
R
πλ
=
Nhiệt lượng dẫn qua 1m dài ống là:
3
4
32
3
21
2
1
41
)3()2()1(
41
ln
2
1
ln
2
1
ln
2
1
d
d

d
d
d
d
tt
RRR
tt
q
lll
l
πλπλπλ
++
−
=
++
−
=
(W/m)
1
2
1
12
ln
2 d
d
q
tt
l
πλ
−=

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−=
2
3
21
2
1
13
ln
2
1
ln
2
1
d
d
d
d
qtt
l
πλπλ
¾ Ví dụ 3.2:
Một ống dẫn hơi bằng thép đường kính 150/159 mm, λ

1
= 52
W/m.
o
C, được bọc 3 lớp cách nhiệt: δ
2
= 5 mm, λ
2
= 0,11 W/m.
o
C; δ
3
= 80
mm, λ
3
= 0,1 W/m.
o
C và δ
4
= 5 mm, λ
4
= 0,14 W/m.
o
C. Biết t
1
= 170
o
Cvàt
5
= 30

o
C. Tính tổn thất nhiệt trên 1 m chiều dài của ống.
Giải
m 150,0d
1
=
m 159,0d
2
=
m 169,0d
3
=
m 329,0d
4
=
m 339,0d
5
=
 Nhiệt trở dẫn nhiệt lớp thứ 1(vách thép):
1
2
1
1
ln
2
1
d
d
R
l

πλ
=
)m( 1078,1
150,0
159,0
ln
522
1
4
WC
o
⋅×=
×
=
−
π
 Lớp thứ 2 (lớp cách nhiệt 1):
2
3
2
2
ln
2
1
d
d
R
l
πλ
=

)(m 1083,8
159,0
169,0
ln
11,02
1
2
WC
o
⋅×=
×
=
−
π
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM
8/2009
p.11
p.11
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM
8/2009
p.12
p.12
 Lớp thứ 3 (lớp cách nhiệt 2):
3
4
3
3
ln

2
1
d
d
R
l
πλ
=
)m (06,1
169,0
329,0
ln
10,02
1
WC
o
⋅=
×
=
π
 Lớp thứ 4 (lớp cách nhiệt 3):
4
5
4
4
ln
2
1
d
d

R
l
πλ
=
WCm 1040,3
329,0
339,0
ln
14,02
1
o2
⋅×=
×π
=
−
 Nhiệt lượng truyền ứng với 1 m chiều dài ống (MĐDN):
∑
−
=
+
1
11
R
tt
l
q
n
224
1040,306,11083,81078,1
30170

−−−
×++×+×
−
=
mW 40,118=
⇒ Nhiệt trở vách kim loại rất nhỏ so với nhiệt trở các lớp bảo ôn nên có thể bỏ qua.
 Chú ý:
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM
8/2009
p.13
p.13
¾ Ghi chú: Có thể dùng CT:
t
F
Q
m
Δ
δϕ
λ
=
2
21
m
2
rr
4F
⎟
⎠
⎞

⎜
⎝
⎛
+
π=
Trong đó:
1
2
2
1
r
r
4
1
r
r
4
1
2
1
++=ϕ
và ϕ là hệ số hình dáng
Khi d
2
/d
1
< 2: sử dụng CT vách phẳng mà sai số có thể bỏ qua.
() ()
21
m

21
m
tt
Ld
tt
F
Q −
ϕ
π
δ
λ
=−
ϕδ
λ
=
()
21
m
tt
d
q −
ϕ
π
δ
λ
=
 DẪN NHIỆT QUA VÁCH CẦU
(
)
21

21
d
1
d
1
tt2
Q
−
−
π
λ
=
d
m
: đường kính trung bình
ϕ : hệ số hình dáng ϕ = f(d
2
/d
1
) Nếu vách mỏng: ϕ = 1
Với:
Q
3.3 Áp dụng pp NHIỆT TRỞ cho bài toán TĐN
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM
8/2009
p.14
p.14
Ví dụ 1: TRUYỀN NHIỆT QUA VÁCH PHẲNG
Xét vách phẳng 1 lớp, dày δ, HSDN λ

Môi chất nóng có t
f1
, α
1
; Môi chất lạnh có t
f2
, α
2
Bài toán kết hợp vừa đối lưu và dẫn nhiệt
(
)
FttkQ
ff 21
−
= (W)
(
)
21 ff
ttkq
−
= (W/m
2
)hay
Muốn tính q phải xác định HỆ SỐ TRUYỀN NHIỆT
k (W/m
2
.độ)
¾ Tính hệ số truyềnnhiệt k
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM

8/2009
p.15
p.15
()
(
)
(
)
FttF
tt
FttQ
fw
ww
wf 222
21
111
−=
−
=−=
α
δ
λ
α
(W)
21
21
2
22
21
1

11
/1//1/1//1
αλδααλδα
++
−
=
−
=
−
=
−
=
fffw
ww
wf
tttt
tt
tt
q
(W/m
2
)
Hệ số truyền nhiệt
21
/1//1
1
αλδα
++
=k
(W/m

2
.độ)
 Hoặc tính theo pp
nhiệt trở tương đương:
tđ
R
t
q
Δ
=
với:
21
αλα
RRRR
tđ
+
+
=
21
11
αλ
δ
α
++=
(m
2
.độ/W)
Nhiệt độ bề mặt vách:
1
11

α
q
tt
fw
−=
2
2
1
1
2
11
αλ
δ
α
qtqtt
ffw
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−=
và
Q
Ví dụ 2: TRUYỀN NHIỆT QUA VÁCH TRỤ
Người soạn: TS. Hà anh Tùng

ĐHBK tp HCM
8/2009
p.16
p.16
Xét vách trụ có chiều dài L, đường kính d
1
/d
2
.
Môi chất nóng trong ống có t
f1
, HSTN α
1
Môi chất lạnh bên ngoài có t
f2
, HSTN α
2
Ta có:
(
)
LdttQ
wf 1111
π
α
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞

⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
1
2
21
ln
2
1
d
d
L
tt
ww
πλ
(
)
Ldtt
fw 2222
π
α
−
=
Nhiệt lượng truyền cho 1m chiều dài ống là:
221
2
11

21
22
22
1
2
21
11
11
1
ln
2
11
1
ln
2
1
1
dd
d
d
tt
d
tt
d
d
tt
d
tt
q
fffw

ww
wf
L
παπλπα
πα
πλ
πα
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
=
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−

=
−
=
 Hoặc tính theo pp nhiệt trở tương đương cho 1m dài ống:
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM
8/2009
p.17
p.17
221
2
11
1
ln
2
11
dd
d
d
παπλπα
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=

tđ
L
R
t
q
Δ
=
với:
21
αλα
RRRR
tđ
+
+
=
(m.độ/W)

1
ln
2
11
1
221
2
11
dd
d
d
k
L

αλα
++
=
 Ngoài ra có thể tính q
L
theo hệ số truyền nhiệt đường k
L
(
)
21 ffLL
ttkq −=
π
với:
(W/m.độ)
Đối với vách nhiều lớp:

1
ln
2
11
1
12
1
1
11 +
=
+
++
=
∑

n
n
i
i
i
i
L
dd
d
d
k
αλα
C. Dẫn nhiệt qua Thanh và cánh
Q
F
T
w
T
f
(
)
fw
TTFQ
−
=
α
(W)
trong đó:
- α là hệ số tỏa nhiệt đối lưu (W/m
2

.K)
-Flà diện tích bề mặt trao đổi nhiệt (m
2
)
- T
w
là nhiệt độ trung bình của bề mặt ( K hoặc
o
C)
- T
f
là nhiệt độ trung bình của chất lỏng ( K hoặc
o
C)
¾ Chú ý: Đối với các trường hợp có trao đổi nhiệt giữa bề mặt vật và môi chất
xung quanh Æ Truyền nhiệt bằng ĐỐI LƯU
Để tăng cường nhiệt lượng Q trao đổi: biện pháp phổ biến và có hiệu quả là
tăng diện tích trao đổi nhiệt F Æ gắn thêm THANH hoặc CÁNH lên bề mặt
tỏa nhiệt.
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM
8/2009
p.18
p.18
VD: Tăng diện tích trao đổi nhiệt bằng cách gắn thêm thanh và cánh
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM
8/2009
p.19
p.19

Nếu xét 1 phân tố thanh tại vị trí x
C1. Dẫn nhiệt qua THANH
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM
8/2009
p.20
p.20
¾ Xét thanh có: -Diện tích tiết diện ngang là f (m
2
)
- Chu vi tiết diện ngang là U (m)
¾ Quá trình truyền nhiệt diễn ra trong thanh:
Năng lượng
dẫn vào bề
mặt x
Năng lượng
dẫn ra khỏi
bề mặt x +
=+
x
Δ
Năng lượng
tỏa ra bằng
đối lưu
Phương trình vi phân
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM
8/2009
p.21
p.21

()
0tt
f
U
dx
td
f
2
2
=−
λ
α
−
0
2
2
2
=−
θ
θ
m
dx
d
mx
2
mx
1
eCeC
−
+=θ

Nghiệm:
( Lưu ý: Các hằng số C
1
và C
2
sẽ được xác định thông qua
Điều kiện biên )
Đặt
θ = t – t
f
gọi là “nhiệt độ thừa” và đặt
f
U
m
λ
α
=
(1/m)
Trường hợp 1: Thanh dài vô hạn
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM
8/2009
p.22
p.22
Khi x = 0 Æ θ = θ
g
x = ∞ Æ θ = 0
Pt trường nhiệt độ của thanh dài vô hạn: θ = θ
g
e

-mx
C
1
= 0 ; C
2
= θ
g
với θ
g
là nhiệt độ thừa tại gốc thanh: θ
g
= t
g
–t
f
(
o
C)
¾ Q truyền qua thanh có thể tính ngay gốc:
0=
−=
x
dx
d
fQ
θ
λ
fUfmQ
gg
λαθ=θλ=

(W)
Trường hợp2: Thanh dài hữu hạn, bỏ qua tỏanhiệt ở đỉnh
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM
8/2009
p.26
p.26
Khi x = 0 Æ θ = θ
g
x = L Æ
0
dx
d
Lx
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
θ
=
) Ghi chú: cosh(x) = (e
x
+ e
-x
)/2 sinh(x) = (e
x
–e

-x
)/2
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM
8/2009
p.23
p.23
(
)
[
]
()
mLcosh
xLmcosh
g
−
θ=θ
Pt Trường nhiệt độ:
(
o
C)
Nhiệt độ thừa ở đỉnh thanh:
()
mLcosh
g
L
θ
=θ
(
o

C)
Q truyền qua thanh
()
(
)
mLfmmLQQ
g
tanhtanh
θ
λ
=
=
∞
(W)
Trường hợp3: Thanh dài hữu hạn, có xét tỏa nhiệt ở đỉnh
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM
8/2009
p.24
p.24
LL
Lx
dx
d
θα=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎛
θ
λ−
=
Khi x = 0 Æ θ = θ
g
x = L Æ
Với α
L
– Hệ số tỏa nhiệt ởđỉnh thanh (xem α
L
≈ α)
(
)
[
]
()
(
)
[
]
()()()
mLmmL
xLmmxLm
g
sinh cosh
sinhcosh
λα
λ
α

θθ
+
−
+
−
=
(
o
C)
Q truyền qua thanh là:
(
)
(
)
(
)
()
()()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
=
mLmmL
mLmmL
fmQ

g
sinh cosh
coshsinh
λα
λα
θλ
(W)
Ví dụ:
Người soạn: TS. Hà anh Tùng
ĐHBK tp HCM
8/2009
p.25
p.25
Một thanh đồng dài có d = 1 cm, λ = 377 W/m
o
C đặt trong không khí có t
f
= 22
o
C, nhiệt độ ở gốc thanh 150
o
C. Hệ số tỏa nhiệt α = 11 W/m
2o
C.
a. Tính nhiệt lượng thanh truyền cho môi trường (thanh dài vô hạn).
b. Thanh dài hữu hạn. Tính nhiệt lượng thanh truyền cho môi trường
khi chiều dài thanh là 2 cm và 128 cm.
a. Trường hợp thanh dài vô hạn :
d
4

4d
d
f
U
m
2
λ
α
=
π×λ
π×α
=
λ
α
=
1-
21
m 416,3
01,0377
114
=
×
×
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

 Nhiệt lượng truyền qua thanh:
g
fmQ θλ=
Trong đó:
fgg
tt −=θ
W94,12128416,301,0
4
377Q
2
=×××
π
×=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
C12822150
o
=−=