Luận văn: Một số chuyên đề về tổ hợp dành cho học sinh có năng khiếu toán bậc trung học phổ thông pot

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ĐạI HọC THáI NGUYÊN
Tr-ờng Đại học KHOA học




nguyễn THị NGọC áNH



Một số chuyên đề về tổ hợp dành
cho học sinh có năng khiếu toán
bậc trung học phổ thông







luận văn thạc sỹ TOáN học








THáI NGUYÊN - 2009

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ĐạI HọC THáI NGUYÊN
Tr-ờng Đại học KHOA học
***



nguyễn THị NGọC áNH


Một số chuyên đề về tổ hợp dành
cho học sinh có năng khiếu toán
bậc trung học phổ thông

Chuyên ngành: Ph-ơng pháp toán sơ cấp
Mã số : 60 . 46. 40






luận văn thạc sỹ TOáN học




Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Đức Hoàng

THáI NGUYÊN - 2009


1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
E
i
(i = 1, , k) k
(i)
(ii) E
i
n
i
k (n

1
+ n
2
+ + n
k
)
18 12
18 + 12 = 30
E 10 F
10
E 4 F 4 2
E F 4 + 4 −1 = 7
E
i
(i = 1, , k) k E
1
n
1
E
2
n
2
E
1
E
3
n
3
E
1

E
2
E
k
n
k
k −1 k
n
1
.n
2
.n
3
n
k
6 8
10
(i) 6.8.10 = 480 3
(ii) 6 + 8 + 10 = 24 1
8 3
8 3
8
= 6561
X n r
n
r X r
n X
n X X
r n P (n, r)
{2, 3, 4} {2, 4, 3} 3 X =

{1, 2, 3, 4, 5}
r X r X
r n C(n, r)
(i) P (n, r) =
n!
(n − r)!
(ii) C(n, r) =
P (n, r)
r!
=
n!
r!(n − r)!
= C(n, n − r)
m! ≡ (1).(2) (m) 0! ≡ 1
(i) n X
r (n − 1) (n − 1)
r
n(n − 1)
r
P (n, r) = n(n − 1) (n − r + 1) =
n!
(n − r)!
(ii) C(n, r) r n X
r X
r r
P (n, r) = P (r, r) + P (r, r) + + P (r, r)
r X C(n, r)
P (n, r) = C(n, r)P (r, r) = C(n, r)r!
r X (n − r)
C(n, r) = C(n, n − r)

n
P (n, n) = n!
r
n r n r
n r n
12 12 10 11
9 10 4 12
4 11 3 10 C(12, 4) =
12!
4!8!
= 495
4 12 C(10, 4) = 210 4 11
C(9, 3) = 84 3 10
495.210.84 = 8731800
n (n + 1)
2
n = 3
n + 1 = 4
n kn + 1
k k + 1
1.3.1 6
n = 3
k + 1 = 6
kn + 1 = 16 16
20 4 7
9
r = 4, 5, 6, 7, 8, 9
∗) 1 r = 4 = k + 1 k = 3 3 n = 3
kn + 1 = 3.3 + 1 = 10
∗) 2 r = 5 = k + 1 k = 4

4
r = 5 n = 2
kn + 1 = 4.2 + 1 = 9
4 + 9 = 13
∗) 3 r = 6 = k + 1 k = 5
2 4 + kn + 1 = 4 + 5.2 + 1 = 15
∗) 4 r = 7 = k + 1 k = 6
4 + kn + 1 = 4 + 6.2 + 1 = 17
∗) 5 r = 8 = k + 1 k = 7
4 + 7 + kn + 1 = 4 + 7 + 7.1 + 1 = 19
∗) 6 r = 9 = k + 1 5
4 + 7 + kn + 1 = 4 + 7 + 8.1. + 1 = 20
S x
1
1 x
2
≥ x
1
2 x
3
≥ x
2
3 x
n
≥ x
n−1
n v
r
v
r

r
v
r
=























n(r − 1) + 1, r ≤ x
1
(n − 1)(r − 1) + 1 + x

1
, x
1
< r ≤ x
2
(n − 2)(r − 1) + 1 + x
1
+ x
2
, x
2
< r ≤ x
3

(1)(r − 1) + 1 + x
1
+ x
2
+ + x
n−1
, x
n−1
< r ≤ x
n
x x [x]
x
m n
p + 1 p =

(m − 1)

n

.
p
np ≤ n

m − 1
n

= m−1 < m
26 m = 26 7
p =

25
7

= 3 4
X n
r ≤ n X
r X r = n
X
X = {A, A, B, B, B, C, C} AABCBBC
n
i
(i = 1, 2, , k) r n k + 2 n
1
+ n
2
+
+ n

k
= r ≤ n P (n; n
1
, n
2
, , n
k
) ≡
P (n, r)
n
1
!n
2
! n
k
!
P (n, r) =
P (n, n)
(n − r)!
P (n; n
1
, n
2
, , n
k
) = P (n; n
1
, n
2
, , n

k
, n − r)
P (18; 3, 4, 6) =
P (18, 3 + 4 + 6)
3!4!6!
=
P (18, 13)
3!4!6!
=
18!
3!4!6!5!
=
P (18; 3 + 4 + 6 + 5)
3!4!6!5!
= P (18; 3, 4, 6, 5)
X n
i
i (i = 1, 2, , k) P (n; n
1
, n
2
, , n
k
)
n = n
1
+ n
2
+ + n
k

p X n
X P (n, n) X
n
1
1 n − n
1
n
1
1 n −n
1
n
1
!
i (i = 2, 3, , k) q = n
1
!n
2
! n
k
!
p =
P (n, n)
q
= P (n; n
1
, n
2
, , n
k
)

X = {C, E, E, I, M, M, O, T, T }
X
P (9, 1, 2, 1, 2, 1, 2) =
9!
1!2!1!2!1!2!
= 45360
4
3 5 18
1
P (18; 4, 3, 5) =
18!
4!3!5!6!
= 514594080
X n S X
r S
r X r = n
r X n
1
1 n
2
2 n
k
k C(n; n
1
, n
2
, , n
k
)
n

1
+ n
2
+ + n
k
= r
C(n; n
1
, n
2
, , n
k
) = C(n, n
1
)C(n − n
1
, n
2
) C(n − n
1
− n
2
− − n
k−1
)
=
n!
n
1
!n

2
! n
k
!(n − r)!
=
P (n, r)
n
1
!n
2
! n
k
!
C(n; n
1
, n
2
, , n
k
) = P (n; n
1
, n
2
, , n
k
) n
1
+ n
2
+

+ n
k
= r ≤ n
17 5
5 4, 4, 2, 5 1
16 16 17
C(17; 4, 4, 2, 5, 1) =
17!
4!4!2!5!1!1!
n p
1
n
1
p
2
n
2
p
k
n
k
n
i
(i = 1, 2, , k)
k

i=1
p
i
n

i
= n
C(n;
p
1
  
n
1
, n
1
,
p
2
  
n
2
, n
2
, ,
p
k
  
n
k
, n
k
)
p
1
!p

2
! p
k
!
=
n!
[p
1
!(n
1
!)
p
1
][p
2
!(n
2
!)
p
2
] [p
k
!(n
k
!)
p
k
]
(i)
C(12; 4, 4, 4)

(ii)
C(12; 4, 4, 4)/3!
(ii)
C(12; 4, 4, 4)
3!
.4!
n r
r n
r n
r n n
r
n r r
n r
r
n C(n + r − 1, r)
A n(A)
| A |
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
A B A∪B
n(A) n(B) n(A ∩ B)
A X A X A

A B X
n

(A ∪ B)


= n(X) − n(A ∪ B) = n(X) − [n(A) + n(B) + n(A ∩ B)]
(A ∪ B)


= A

∩ B

n(A

∩ B

) = n(X) − [n(A) + n(B)] + n(A ∩ B)
x X A
X x A 1 x A
0 x A
A
1
, A
2
, , A
m
X
n(A

1
∩ A

2
∩ ∩ A

m
) = n(X) − S

1
+ S
2
− + (−1)
m
S
m
S
k
k
m
(S
1
= n(A
1
) + n(A
2
) + + n(A
m
); S
2
=

i,j=1,m
i=j
n(A
i
∩ A
j
), )

x X
x
2
(i) x m
(ii) x r m r ≥ 1
A
1
, A
2
, , A
r
x 1
x 0
S
k
=

n(A
i
1
∩ A
i
2
∩ ∩ A
i
k
) (k = 1, 2, , m)
x
1 − C(r, 1) + C(r, 2) −C(r, 3) + + (−1)
r

C(r, r ) = (1 − 1)
r
= 0
n(A
1
∪ A
2
∪ ∪ A
m
) = S
1
− S
2
+ + (−1)
m−1
S
m
n(A
1
∪A
2
∪ ∪A
m
) = n(X) −n(A

1
∩A

2
∩ ∩A


m
)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2.1.5 2.1.7 2.1.8
2.1.9 2.1.10
ABEUEBA
7 8
2
n

n + 1
2

4 0 9 9
2 8 3 7
4 (9).(9).(8).(7) = 4536
11 (1)
(1)
N 2k
k = 1 (1)

k ≥ 2
N = a
2k−1
.10
2k−1
+ a
2k−2
.10
2k−2
+ + a
k
.10
k
+ a
k
.10
k−1
+ + a
2k−2
.10
1
+ a
2k−1
.10
0
= a
2k−1
(10
2k−1
+ 10

0
) + (a
2k−2
.10
2k−2
+ + a
2k−2
.10
1
) =
a
2k−1
.P + Q
P = 100 001
  
2k
= 11. 9090 9091
  
2k−2
Q = a
2k−2
.10
2k−2
+ + a
2k−2
.10
1
Q 11 n 11
1
0 1

n
2.1.2

n + 1
2

−1 =

n − 1
2

1 0
2
[
n−1
2
]
100000
3 4
5
100000
0 00000
1 00001
2 00002
99999 99999
5 3
5 4 4
5 3
{0, 1, 2, 6, 7, 8, 9}
(5).(4).(3).(7).(7) = 2940

441000
n n 1 n
441000 = (2
3
).(3
2
).(5
3
).(7
2
).
(2
a
).(3
b
).(5
c
).(7
d
)
0 ≤ a ≤ 3; 0 ≤ b ≤ 2; 0 ≤ c ≤ 3; 0 ≤ d ≤ 2 a
4 b 3 c 4 d 3
(4).(3).(4).(3) − 2 = 142
N N
N = p
n
1
1
p
n

2
2
p
n
k
k
p
1
, p
2
, , p
k
2.1.6 N
(n
1
+ 1)(n
2
+ 1) (n
k
+ 1) − 2
n
i
i
i = 1, 2, , k
i p
i
p
i
N 2.1.7
N 1 2.1.7

(n
1
+ 1)(n
2
+ 1) (n
k
+ 1) − 1
441000 m n
m > 1, n > 1 m, n 1 m n
X = {2
3
; 3
2
; 5
3
; 7
2
}
441000 X
m n
2 m n
X 441000 m, n
X 2 m.n
n.m X
X = {2
3
} + {3
2
, 5
3

, 7
2
} = {3
2
} + {2
3
, 5
3
, 7
2
}
= {7
2
} + {2
3
, 3
2
, 5
3
}
= {2
3
, 3
2
} + {5
3
, 7
2
} = {2
3

, 5
3
} + {3
2
, 7
2
}
= {2
3
, 7
2
} + {3
2
, 5
3
}
4 + 3 = 7 = 2
4−1
− 1
2.1.9 N = p
n
1
1
p
n
2
2
p
n
k

k
p
1
, p
2
, , p
k
(k ≥ 2) N = m.n m, n
2
k−1
− 1 (m > 1, n > 1)
k
k = 2
k ≥ 3 k
Z = {a
1
, a
2
, , a
k−1
, a
k
} 2
k−1
−1
(k −1)
Z
Z = {a
k
} ∪ {a

1
, a
2
, , a
k−1
}
≡ {a
k
} ∪ W
W 2
k−2
− 1
a
k
Z
Z
1 + (2
k−2
− 1).2 = 2
k−1
− 1( ).
0
1 X n
n X Y = {0, 1}
n
X r = 2
n
2
r
f f

0 1
n = 6, f(101101) = f(010010) f
4 X = {00; 01; 10; 11}
Y = {0; 1}
a)f
1
(00) = f
1
(11) = f
1
(01) = f
1
(10) = 0
b)f
2
(00) = f
2
(11) = f
2
(01) = f
2
(10) = 1
c)f
3
(00) = f
3
(11) = f
3
(01) = f
3

(10) = 1
d)f
4
(00) = f
4
(11) = f
4
(01) = f
4
(10) = 0
n
2.1.12 X
r
2
= 2
n−1
(ς, ς

)
ς

ς 0 1
0 1 2
r
2
0
n 0 m
n + m
m
n

n + m m
m n + m
C(n + m, m)
m n
n A
1
, A
2
, , A
m
A
i
A
i
A
i
A
i
A
i
n ≤ 2
m
x m
a(x) = (x
1
, x
2
, , x
m
) x

i
= 1 x A
i
x
i
= 0
x A
i
f : S −→ T = {(x
1
, x
2
, , x
m
) | x
i
∈ {0, 1}}
x y f(x) f(y)
2
m
x
i
(x
1
, x
2
, , x
m
) 0 1
n ≤ 2

m
n(A) ≤ n(B) n(A) ≥ n(B)
n(A) = n(B)