Luận văn: NHÂN TỬ LAGRANGE VÀ ĐIỂM YÊN NGỰA TRONG TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN pot

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC






MAI HUY TOÀN






NHÂN TỬ LAGRANGE VÀ ĐIỂM YÊN
NGỰA TRONG TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU
KHÔNG TRƠN








LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC






MAI HUY TOÀN






NHÂN TỬ LAGRANGE VÀ ĐIỂM YÊN
NGỰA TRONG TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU
KHÔNG TRƠN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60. 46. 36



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC




Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS ĐỖ VĂN LƯU





THÁI NGUYÊN - 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
D R
m
D

= D ∪ {0} D
D


∩ (−D)

= {0}.
D D
K R
m
int(K) = ∅ S
R
m
y, z ∈ R
m
K
y 
K
z ⇔ z − y ∈ K;
y ≤
K
z ⇔ z − y ∈ K \ {0};
y <
K
z ⇔ z − y ∈ int(K).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
K K
Min
K
S = {¯y ∈ S | y ∈ S y ≤
K
¯y},
Max
K

S = {¯y ∈ S | y ∈ S ¯y ≤
K
y}.
K K
W − Min
K
S = {¯y ∈ S | y ∈ S y <
K
¯y},
W − Max
K
S = {¯y ∈ S | y ∈ S ¯y <
K
y}.
S
0
S
s0
S
S
0
= {y
∗
∈ R
m
| y
T
y
∗
≥ 0 ∀y ∈ S},

S
s0
= {y
∗
∈ R
m
| y
T
y
∗
> 0 ∀y ∈ S}.
S × T S ⊂ R
m
T ⊂ R
p
(S × T )
0
= S
0
× T
0
0 ∈ S 0 ∈ T
S + int(S) ⊂ int(S) S int(S) = ∅
S int(S) = ∅ y
T
y
∗
> 0 y ∈
int(S) y
∗

∈ S
0
\{0}
int(S
0
) = (clS)
s0
S
int(S × T ) = int(S) × int(T )
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
K − minf(x),
(V P ) g(x) 
Q
0,
x ∈ M

,
M

R
n
f : R
n
→ R
m
g : R
n
→ R
p
K R

m
int(K) = ∅ Q
R
p
int(Q) = ∅
M = {x ∈ M

| g(x) 
Q
0},
f(M) = {f(x) | x ∈ M}.
(V P )
¯x ∈ M f(¯x) ∈
W − Min
K
f(M) ¯x ∈ M
f(¯x) ∈ Min
K
f(M)
¯x ∈ M
T (f(M) + K, f(¯x)) ∩ (−K) = {0};
¯x ∈ M
clP (f(M) + K − f(¯x)) ∩ (−K) = {0},
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
T (S, y) S y ∈ clS P (S)
M S
T (S, y) = {d ∈ R
m
| ∃y
k

∈ S t
k
> 0, k = 1, 2, ,
limy
k
= y limt
k
(y
k
− y) = d},
P (S) = {αd | α > 0, d ∈ S}.
T (f(M) + K, f(¯x)) ⊂ clP (f(M) + K − f(¯x)).
f K − convexlike M

x
1
, x
2
∈ M

α ∈ (0, 1), ∃x
3
∈ M

αf(x
1
) + (1 − α)f(x
2
) − f(x
3

) ∈ K;
f K − subconvexlike M

η ∈ int(K)
x
1
, x
2
∈ M

α ∈ (0, 1) ε > 0, ∃x
3
∈ M

εη + αf(x
1
) + (1 − α)f(x
2
) − f(x
3
) ∈ K.
M

R
n
f K M

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x
1

, x
2
∈ M

α ∈ (0, 1)
αf(x
1
) + (1 − α)f(x
2
) − f(αx
1
+ (1 − α)x
2
) ∈ K.
K K K
K
f
x ∈ M

−f(x) ∈ int(K)
η ∈ K
0
\ {0} η
T
f(x) > 0 x ∈ M

K
f(M

) + int(K)

η ∈ int(K) x
1
, x
2
∈ M

α ∈ (0, 1) x
3
∈ M

η + αf(x
1
) + (1 − α)f(x
2
) − f(x
3
) ∈ int(K).
(i) ⇒ (ii)
C = f(M

) + int(K), c
1
, c
2
∈ C, α ∈ (0, 1).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
C x
1
, x
2

∈ M

k
1
, k
2
∈ int(K)
c
i
= f(x
i
) + k
i
, i = 1, 2.
αc
1
+ (1 − α)c
2
= αf(x
1
) + (1 − α)f(x
2
) + αk
1
+ (1 − α)k
2
.
int(K)
k


:= αk
1
+ (1 − α)k
2
∈ int(K),
B O
k

+ B ⊂ int(K).
K f M

η ∈ int(K)
γ ∈ (0, 1) x, y ∈ M

ε > 0
z := z(γ, x, y, ε) ∈ M

εη + γf(x) + (1 − γ)f(y) − f(z) ∈ K.
λ λ
−1
η ∈ B
k

− λ
−1
η ∈ int(K).
ε = λ
−1
x
3

∈ M

λ
−1
η + αf(x
1
) + (1 − α)f(x
2
) − f(x
3
) ∈ K.
k
∗
∈ K
αc
1
+ (1 − α)c
2
= f(x
3
) + k
∗
+ k

− λ
−1
η.
k
∗
+ k


− λ
−1
η ∈ int(K).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
αc
1
+ (1 − α)c
2
∈ C.
C (i) ⇒ (ii)
(ii) ⇒ (iii)
η ∈ int(K), x
1
, x
2
∈ M

.
f(M

) + int(K)
α(f(x
1
) + η) + (1 − α)(f(x
2
) + η) ∈ f(M

) + int(K).
x

3
∈ M

α(f(x
1
) + η) + (1 − α)(f(x
2
) + η) ∈ f(x
3
) + int(K),
η + αf(x
1
) + (1 − α)f(x
2
) − f(x
3
) ∈ int(K).
(iii) ⇒ (i)
(iii) ¯η int(K) η = ε¯η
ε > 0, η ∈ int(K) (iii) ε > 0 x
1
, x
2
∈ M

α ∈ (0, 1) x
3
∈ M

η + αf(x

1
) + (1 − α)f(x
2
) − f(x
3
) ∈ int(K),
f K M

✷
H(x) = (f(x), g(x)), x ∈ M

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(f, g) K × Q K × Q
M

H K × Q K × Q M

(f, g) K × Q K
s0
= ∅
η ∈ K
s0
, (η
T
f, g) R
1
+
× Q R
1

+
= {α ∈
R
1
| α ≥ 0} (η
T
f)(x) = η
T
f(x) x ∈ R
n
(f, g) K × Q f
f ¯x ∈ M
T (f(M) + K, f(¯x)) = clP (f(M) + K − f(¯x))
= T (f(M) + int(K), f(¯x))
= clP (f(M) + int(K) − f(x)),
T (f(M) + K, f(¯x))
f K M ¯x ∈ M
T (f(M) + K, f(¯x)) = clP (f(M) + K − f(¯x)).
T (f(M) + K, f(¯x)) ⊂ clP (f(M) + K − f(¯x)),
clP (f(M) + K − f(¯x)) ⊂ T (f(M) + K, f(¯x)).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
T (f(M) + K, f(¯x))
P (f(M) + K − f(¯x)) ⊂ T (f(M) + K, f(¯x)).
y ∈ P (f(M) + K − f(¯x)).
α ≥ 0, x

∈ M d ∈ K
y = α(f(x

) + d − f(¯x)).

f K M η ∈ int(K)
λ ∈ (0, 1) x
1
, x
2
∈ M ε > 0 x
3
:= x(λ, x
1
, x
2
, ε) ∈ M
εη + λf(x
1
) + (1 − λ)f(x
2
) − f(x
3
) ∈ K.
t = 1, 2, x
t
∈ M
(1/t
2
)η + (1/t)f(x

) + (1 − 1/t)f(¯x) − f(x
t
) ∈ K.
d ∈ K K

(1/t)d + (1/t
2
)η + (1/t)f(x

) + (1 − 1/t)f(¯x) − f(x
t
) ∈ K.
d
t
= (1/t)d + (1/t
2
)η + (1/t)f(x

) + (1 − 1/t)f(¯x) − f(x
t
),
y
t
= f(x
t
) + d
t
,
β
t
= αt.
d
t
∈ K, y
t

∈ f(M) + K β
t
≥ 0 t t → ∞
lim y
t
= f(¯x),
lim β
t
(y
t
− f(¯x)) = y.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
y ∈ T (f(M) + K, f(¯x)).
P (f(M) + K − f(¯x)) ⊂ T (f(M) + K, f(¯x)).
clP (f(M) + int(K) − f(¯x)) = T(f(M) + int(K), f(¯x)).
f K M f(M) + int(K)
T (f(M) + int(K), f(¯x)) = clP (f(M) + int(K) − f(¯x)),
T (f(M) + int(K), f(¯x))
clP (f(M) + K − f(¯x)) = T (f(M) + int(K), f(¯x)).
int(K) ⊂ K
f(M) + int(K) ⊂ f(M) + K,
T (f(M) + int(K), f(¯x)) ⊂ T (f(M) + K, f(¯x)).
T (f(M) + int(K), f(¯x)) ⊂ clP (f(M) + K − f(¯x)).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
clP (f(M) + K − f(¯x)) ⊂ T (f(M) + int(K), f(¯x)).
y ∈ P (f(M) + K − f(¯x)).
α > 0, x

∈ M d ∈ K
y = α(f(x


) + d − f(¯x)).
η
0
∈ int(K) εη
0
∈ int(K) ε > 0
f K M ε > 0, λ ∈ (0, 1)
x
1
, x
2
∈ M x
3
:= x(ε, λ, x
1
, x
2
) ∈ M
εη
0
+ λf(x
1
) + (1 − λ)f(x
2
) − f(x
3
) ∈ int(K).
t = 1, 2, 3, x
t

∈ M
(1/t
2
)η
0
+ (1/t)f(x
1
) + (1 − 1/t)f(x
2
) − f(x
t
) ∈ int(K).
d ∈ K K
d
t
:= (1/t)d + (1/t
2
)η
0
+ (1/t)f(x
1
) + (1 − 1/t)f(¯x) − f(x
t
)
∈ K + int(K) ⊂ K.
y
t
= f(x
t
) + d

t
,
β
t
= αt.
y
t
∈ f(M) + int(K),
β
t
≥ 0, t.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
t → +∞
lim y
t
= f(¯x),
lim β
t
(y
t
− f(¯x)) = y.
y ∈ T (f(M) + int(K), f(¯x)).
P (f(M) + K − f(¯x)) ⊂ T (f(M) + int(K), f(x)).
T (f(M) + int(K), f(x))
clP (f(M) + K, f(¯x)) ⊂ T (f(M) + int(K), f(¯x)).
✷
η ∈ R
m
(P
η

) η
T
f(x),
x ∈ M.
(P
η
)
(V P ) (V P )
(P
η
)
(V P )
x

∈ M

g(x

) <
K
0
Γ m × p Λ ΛQ ⊂ K
η ∈ K
0
\ {0} λ ∈ Q
0
Λ ∈ Γ Λ = eλ
T
e ∈ K η
T

e = 1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(V P )
L(x, Λ) = f(x) + Λg(x), (x, Λ) ∈ M

× Γ.
(¯x,
¯
Λ) ∈ M

× Γ
L(x, Λ)
L(¯x,
¯
Λ) ∈ Min
K
{L(x,
¯
Λ) | x ∈ M

} ∩ Max
K
{L(¯x, Λ) | Λ ∈ Γ},
( L(¯x,
¯
Λ) ∈
W − Min
K
{L(x,
¯

Λ) | x ∈ M

} ∩ W − Max
K
{L(¯x, Λ) | Λ ∈ Γ})
(V P )
f ¯x
(V P ) η ∈ K
0
\ {0} ¯x
(P
η
)
¯x (V P )
x ∈ M f(x) <
K
f(¯x)
F (x) = f(x) − f(¯x), x ∈ M

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
F (x) <
K
0, x ∈ M,
F K M K
f ¯η ∈ K
0
\ {0}
¯η
T

F (x) ≥ 0, x ∈ M,
¯η
T
f(x) ≥ ¯η
T
f(¯x), x ∈ M.
¯x (P
η
) ✷
f ¯x
(V P ) η ∈ K
s0
¯x (P
η
)
¯x (V P )
clP (f(M) + K − f(¯x)) ∩ (−K) = {0}.
clP (f(M) + K − f(¯x))
K
s0
∩ (clP (f(M) + K − f(¯x)))
0
= ∅.
¯η ∈ K
s0
¯η ∈ (clP (f(M) + K − f(¯x)))
0
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f(x) − f(¯x) ⊂ clP (f(M) + K − f(¯x)),

¯η
T
(f(x) − f(¯x)) ≥ 0, x ∈ M.
¯η
T
f(x) ≥ η
T
f(¯x), x ∈ M.
¯x (P
¯η
)
✷
(V P ) f
✷
f K M
W E P E
(V P ) E
η
(P
η
)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f
W E =

η∈K
0
\{0}
E
η

P E =

η∈K
s0
E
η
(V P ) f
(f, g) K × Q
¯x ∈ PE m × p
¯
Λ
¯
ΛQ ⊂ K
f(¯x) ∈ Min
K
{f(x) +
¯
Λg(x) | x ∈ M

},
¯
Λg(¯x) = 0.
¯x ∈ PE ¯η ∈ K
s0
¯η
T
f(¯x) ≤ ¯η
T
f(x), x ∈ M.
¯η

T
(f(x) − f(¯x)) < 0, g(x) 
Q
0
M

(f, g) K × Q M

(f(x) − f(¯x), g(x)) K × Q M

(¯η
T
(f(x) − f(¯x)), g(x)) R
1
+
× Q M

(¯α, ¯v) ∈ (R
1
+
× Q)
0
= (R
1
+
)
0
× Q
0
= R

1
+
× Q
0
(¯α, ¯v) = 0
¯α¯η
T
(f(x) − f(¯x)) + ¯v
T
g(x) ≥ 0, x ∈ M

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
¯α¯ηf(x) + ¯v
T
g(x) ≥ ¯α¯η
T
f(¯x), x ∈ M

.
¯α = 0 α = 0
(¯α, ¯v) = 0 ¯v = 0 x

∈ M

g(x

) <
Q
0 ¯v

T
g(x

) < 0 ¯v
T
g(x

) ≥ 0
¯α = 0 ¯α
¯
λ = ¯v/¯α
¯
λ ∈ Q
0
¯η
T
f(x) + ¯η
T
g(x) ≥ ¯η
T
f(¯x), x ∈ M

.
¯η
T
g(¯x) ≥ 0 ¯η
T
g(¯x) ≤ 0 ¯x ∈ M
¯
λ ∈ Q

0
¯
λ
T
g(¯x) = 0.
¯
Λ = e
¯
λ
T
e K ¯η
T
e = 1
¯
ΛQ ⊂ K,
¯
Λ
T
¯η =
¯
λ,
¯
Λg(¯x) = 0.
f(¯x) /∈ Min
K
{f(x) +
¯
Λg(x) | x ∈ M

},

x
∗
∈ M

f(¯x) − f(x
∗
) −
¯
Λg(x
∗
) ≥
K
0.
¯η
T
f(¯x) > ¯η
T
f(x
∗
) + ¯η
T
¯
Λg(x
∗
) = ¯η
T
f(x
∗
) +
¯

λ
T
g(x
∗
).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f(¯x) ∈ Min
K
{f(x) +
¯
Λg(x) | x ∈ M

}.
✷
(f, g) K × Q
¯x ∈ PE m × p
¯
Λ
¯
ΛQ ⊂ K
(f, g) K × Q
¯x ∈ WE m×p
¯
Λ
¯
ΛQ ⊂ K
f(¯x) ∈ W − Min
K
{f(x) +
¯

Λg(x) | x ∈ M

},
¯
Λg(¯x) = 0.
¯x ∈ W E x ∈ M
f(x) <
K
f(¯x)
H(x) = (f(x) − f(¯x), g(x)), x ∈ M

.
H(x) <
K×Q
0, x ∈ M

(f, g) K × Q M

H
K × Q M

(¯η,
¯
λ) ∈ (K × Q)
0
=
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên