Nhân tử Lagrange và điểm yên ngựa trong tối ưu đa mục tiêu không trơn Đọc thêm Nhân tử Lagrange và điểm yên ngựa trong tối ưu đa mục tiêu không tr

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC






MAI HUY TOÀN






NHÂN TỬ LAGRANGE VÀ ĐIỂM YÊN
NGỰA TRONG TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU
KHÔNG TRƠN








LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC






MAI HUY TOÀN






NHÂN TỬ LAGRANGE VÀ ĐIỂM YÊN
NGỰA TRONG TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU
KHÔNG TRƠN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60. 46. 36



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC




Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS ĐỖ VĂN LƯU





THÁI NGUYÊN - 2009
♥♦♥❡
✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
▼ô❝ ❧ô❝
❈❤➢➡♥❣ ✶✳ ➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ tå♥ t➵✐ ♥❤➞♥ tö ▲❛❣r❛♥❣❡ ✈➭ ➤✐Ó♠
②➟♥ ♥❣ù❛ ✻
✶✳✶✳ ❈➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❜æ trî ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻
✶✳✷✳ ❙ù tå♥ t➵✐ ♥❤➞♥ tö ▲❛❣r❛♥❣❡ ❝❤♦ ♥❣❤✐Ö♠ ❤÷✉
❤✐Ö✉ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽
✶✳✸✳ ❈➳❝ ➤Þ♥❤ ❧Ý ➤✐Ó♠ ❨➟♥ ♥❣ù❛ ✈➭ ➤✐Ó♠ ❨➟♥ ♥❣ù❛
②Õ✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹
❈❤➢➡♥❣ ✷✳ ❈➳❝ ➤Þ♥❤ ❧Ý ❧✉➞♥ ♣❤✐➟♥ ❦✐Ó✉ ▼♦t③❦✐♥ ✈➭ ❝➳❝

➤Þ♥❤ ❧Ý ♥❤➞♥ tö ▲❛❣r❛♥❣❡ ✷✾
✷✳✶✳ ❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈➭ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾
✷✳✷✳ ❈➳❝ ➤Þ♥❤ ❧Ý ❧✉➞♥ ♣❤✐➟♥ ❦✐Ó✉ ▼♦t③❦✐♥ s✉② ré♥❣ ✸✶
✷✳✸✳ ❈➳❝ ➤Þ♥❤ ❧Ý ♥❤➞♥ tö ▲❛❣r❛♥❣❡ ✈➭ ➤✐Ó♠ ②➟♥ ♥❣ù❛ ✹✹
✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ở
í tết ề ệ tố ột ộ q trọ ủ í tết
tố ể ề ệ tố ờ t tờ t trể
ị í trs t trt ụ ù ớ
q t tử r ị í ể ự tr tố
ụ t ớ ồ ồ s rộ ợ ề t q t
ứ
ứ ề ệ tồ t
tử r ể ự ế t tố ụ
t ớ r ộ ó tr ữ ề tr sở t trể
ột ị í ể r ố q ệ ữ tử r
ể ự ế sự t ồ ữ ệ ữ ệ í tờ
t ĩ s ệ ữ ệ í tờ t ĩ r
ũ ợ tết
r tết ị í ể
t ớ r tr t tế tí s
r ừ ó t ứ ị í tử r
ị í ể ự t tố ụ t ớ r ộ ó
t tr trì ết q ề ị í tử
r ể ự ủ t tố ụ t ớ r ộ ó
ố q ệ ữ tử r ể ự ế tr sở t
trể ủ ị í ể r t

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

ồ ở ết ụ
t ệ t
trì ết q ủ ề
ề ệ tồ t tử r ể ự ế ủ r
trị ét ủ t tố ụ t ớ r ộ ó ù ớ
ố q ệ ữ tử r ể ự ế ột ề ệ
ủ sự t ữ ệ ữ ệ í tờ s
r ũ ợ trì tr
trì ết q ủ r ề
ị í ể t ị í tử r
t tố ụ t ớ r ộ ó tr t tế
tí sr ị í ể ự ị í ớ ũ
ợ trì tr
ố ù tỏ ò ết s s tớ t P
ỗ ờ t tì ớ ú ỡ t

t t ở ệ ọ ệ
ệ t t ộ ệ t t Pò
t s ọ trờ ọ ọ ọ
ết ò trề t ề ế tứ ọ tr sốt
tờ ọ t t trờ
ử ờ ì ồ ệ t
tr ớ ọ q t ộ ú ỡ tr
sốt tờ ọ t q trì
tờ ó ớ ỉ ừ ở ệ tì ể

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
t❐♣ ❤î♣ t➭✐ ❧✐Ö✉✱ s➽♣ ①Õ♣ ✈➭ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ➤➲ ❝ã t❤❡♦ ❝❤ñ
➤Ò ➤➷t r❛✳ ❚r♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ✈✐Õt ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❝ò♥❣ ♥❤➢ tr♦♥❣ ①ö ❧ý ✈➝♥ ❜➯♥ ❝❤➽❝
❝❤➽♥ ❦❤➠♥❣ tr➳♥❤ ❦❤á✐ ❝ã ♥❤÷♥❣ s❛✐ sãt ♥❤✃t ➤Þ♥❤✳ ❊♠ r✃t ♠♦♥❣ ♥❤❐♥ ➤➢î❝

sù ❣ã♣ ý ❝ñ❛ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ✈➭ ❝➳❝ ❜➵♥ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ö♣ ➤Ó ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ ❤♦➭♥
t❤✐Ö♥ ❤➡♥✳
❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ t❤➳♥❣ ✾ ♥➝♠ ✷✵✵✾
▼❛✐ ❍✉② ❚♦➭♥
✺
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ề ệ tồ t tử r ể ự
trì ết q ề sự tồ t tử r
ể ự ế ủ r trị ét ủ t q
ụ t ù ớ ố q ệ ữ ệ ữ ệ ế ệ ữ
ệ ể ự ế ể ự ủ r ự t
ủ ệ ữ ệ s ệ ữ ệ r ũ ợ
trì tr ết q ủ

ế tứ ổ trợ
sử D ột ó tr R
m
í ệ D

= D {0} D ợ ọ
ọ ế
D

(D)

= {0}.
D ợ ọ s ế ó ủ D ọ
K ột ó ồ ọ ủ R
m

ớ int(K) = S t
rỗ ủ R
m
ớ y, z R
m
t ị ĩ q ệ tứ tự t
K s
y
K
z z y K;
y
K
z z y K \ {0};
y <
K
z z y int(K).

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
❚❐♣ ❝ñ❛ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ K✲ ❝ù❝ t✐Ó✉ ✈➭ K✲ ❝ù❝ ➤➵✐ ➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ t➢➡♥❣
ø♥❣ ♥❤➢ s❛✉✿
Min
K
S = {¯y ∈ S | y ∈ S s❛♦ ❝❤♦ y ≤
K
¯y},
Max
K
S = {¯y ∈ S | y ∈ S s❛♦ ❝❤♦ ¯y ≤
K
y}.

✭✶✳✶✮
❚➢➡♥❣ tù✱ t❐♣ ❝ñ❛ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ K✲ ❝ù❝ t✐Ó✉ ②Õ✉ ✈➭ K✲ ❝ù❝ ➤➵✐ ②Õ✉ ➤➢î❝
➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ t➢➡♥❣ ø♥❣ ♥❤➢ s❛✉✿
W − Min
K
S = {¯y ∈ S | y ∈ S s❛♦ ❝❤♦ y <
K
¯y},
W − Max
K
S = {¯y ∈ S | y ∈ S s❛♦ ❝❤♦ ¯y <
K
y}.
✭✶✳✷✮
◆ã♥ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❞➢➡♥❣ S
0
✱ ✈➭ ♥ã♥ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❞➢➡♥❣ ❝❤➷t S
s0
❝ñ❛ S ➤➢î❝ ➤Þ♥❤
♥❣❤Ü❛ ♥❤➢ s❛✉✿
S
0
= {y
∗
∈ R
m
| y
T
y
∗

≥ 0✱ ✈í✐ ∀y ∈ S}, ✭✶✳✸✮
S
s0
= {y
∗
∈ R
m
| y
T
y
∗
> 0✱ ✈í✐ ∀y ∈ S}. ✭✶✳✹✮
●✐➯ sö S × T ❧➭ tÝ❝❤ ➜Ò ❝➳❝ ❝ñ❛ S ⊂ R
m
✈➭ T ⊂ R
p
✳ ❚❛ ❝ã ❦Õt q✉➯
s❛✉✳
❇æ ➤Ò ✶✳✶ ✭❬✺❪✮
✭✐✮ (S × T )
0
= S
0
× T
0
✱ ♥Õ✉ 0 ∈ S ✈➭ 0 ∈ T❀
✭✐✐✮ S + int(S) ⊂ int(S)✱ ♥Õ✉ S ❧➭ ♥ã♥ ✈í✐ int(S) = ∅❀
✭✐✐✐✮ ◆Õ✉ S ❧➭ ♠ét ♥ã♥ ✈í✐ int(S) = ∅ t❤× y
T
y

∗
> 0 ✈í✐ ❜✃t ❦× y ∈
int(S) ✈➭ y
∗
∈ S
0
\{0}❀
✭✐✈✮ int(S
0
) = (clS)
s0
✱ ♥Õ✉ S ❧➭ ♠ét ♥ã♥ s➽❝❀
✭✈✮ int(S × T ) = int(S) × int(T )✳
✼
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
t q ụ t ợ ét tr s
K minf(x),
(V P ) g(x)
Q
0,
x M

,

ở M

ột t rỗ ủ R
n
f : R
n

R
m
g : R
n
R
p

K ột ó ồ ó ọ tr R
m
ớ int(K) = Q ột ó ồ
tr R
p
ớ int(Q) =
í ệ
M = {x M

| g(x)
Q
0},
f(M) = {f(x) | x M}.
ó t ợ ụ t r
ị ĩ ệ ủ t (V P )
ị ĩ
x M ợ ọ ệ ữ ệ ế ủ t P ế f(x)
W Min
K
f(M) x M ợ ọ ệ ữ ệ ủ t P
ế f(x) Min
K
f(M)

ị ĩ
x M ợ ọ ệ ữ ệ í tờ ủ t P
t ĩ r ế
T (f(M) + K, f(x)) (K) = {0};
x M ợ ọ ệ ữ ệ í tờ ủ t P t
ĩ s ế
clP(f(M) + K f(x)) (K) = {0},

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
tr♦♥❣ ➤ã T (S, y) ❧➭ ♥ã♥ t✐Õ♣ t✉②Õ♥ ❝ñ❛ S t➵✐ y ∈ clS ✈➭ P (S) ❧➭ ♥ã♥ ❝❤✐Õ✉
M ❝ñ❛ S✱ tø❝ ❧➭
T (S, y) = {d ∈ R
m
| ∃y
k
∈ S ✈➭ t
k
> 0, k = 1, 2, ... , s❛♦ ❝❤♦
limy
k
= y ✈➭ limt
k
(y
k
− y) = d},
✭✶✳✽✮
P (S) = {αd | α > 0, d ∈ S}.
✭✶✳✾✮
◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✶
▼ét ♥❣❤✐Ö♠ ❤÷✉ ❤✐Ö✉ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❇❡♥s♦♥ ❝ò♥❣ ❧➭ ♠ét

♥❣❤✐Ö♠ ❤÷✉ ❤✐Ö✉ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❇♦r✇❡✐♥✱ ❜ë✐ ✈×
T (f(M) + K, f(¯x)) ⊂ clP (f(M) + K − f(¯x)).
▼ét ♥❣❤✐Ö♠ ❤÷✉ ❤✐Ö✉ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❇♦r✇❡✐♥ ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ö♠
❤÷✉ ❤✐Ö✉ ✭①❡♠ ❬✽❪✮✳ ❍➡♥ ♥÷❛✱ tõ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✱ ♥❣❤✐Ö♠ ❤÷✉ ❤✐Ö✉ ❝ò♥❣ ❧➭
♥❣❤✐Ö♠ ❤÷✉ ❤✐Ö✉ ②Õ✉✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✸
f ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ K − convexlike tr➟♥ M

♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐ x
1
, x
2
∈ M

✈➭
✈í✐ ♠ä✐ α ∈ (0, 1), ∃x
3
∈ M

s❛♦ ❝❤♦
αf(x
1
) + (1 − α)f(x
2
) − f(x
3
) ∈ K; ✭✶✳✶✵✮
f ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ K − subconvexlike tr➟♥ M

♥Õ✉ t❛ t×♠ ➤➢î❝ η ∈ int(K) s❛♦

❝❤♦✱ ✈í✐ ♠ä✐ x
1
, x
2
∈ M

✱ ♠ä✐ α ∈ (0, 1)✱ ✈➭ ♠ä✐ ε > 0, ∃x
3
∈ M

t❤♦➯ ♠➲♥
εη + αf (x
1
) + (1 − α)f(x
2
) − f(x
3
) ∈ K. ✭✶✳✶✶✮
◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✷
●✐➯ sö r➺♥❣ M

❧➭ ♠ét t❐♣ ❝♦♥ ❧å✐ tr➟♥ R
n
✳ f ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ K✲❧å✐ tr➟♥ M

✾
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐ x
1
, x

2
∈ M

✈➭ ♠ä✐ α ∈ (0, 1)✱
αf(x
1
) + (1 − α)f(x
2
) − f(αx
1
+ (1 − α)x
2
) ∈ K.
❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ♥➭② ❧➭ ♠ét ♠ë ré♥❣ trù❝ t✐Õ♣ ❝ñ❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❤➭♠ ❧å✐✳ ❘â r➭♥❣ ❧➭
tÝ♥❤ K✲❧å✐ ❦Ð♦ t❤❡♦ tÝ♥❤ K✲❝♦♥✈❡①❧✐❦❡✱ ✈➭ tÝ♥❤ K✲❝♦♥✈❡①❧✐❦❡ ❦Ð♦ t❤❡♦ tÝ♥❤
K✲s✉❜❝♦♥✈❡①❧✐❦❡✳
❇æ ➤Ò t✐Õ♣ t❤❡♦ ❧➭ ♠ét ➤Þ♥❤ ❧Ý ❧✉➞♥ ♣❤✐➟♥ ❦✐Ó✉ ●♦r❞❛♥ tr♦♥❣ ❬✹❪✳
❇æ ➤Ò ✶✳✷ ✭❬✹❪✮
◆Õ✉ f ❧➭ ❑✲s✉❜❝♦♥✈❡①❧✐❦❡ tr➟♥ ▼✬✱ t❤× ❝❤Ø ♠ét tr♦♥❣ ❝➳❝ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ s❛✉
❧➭ ➤ó♥❣✿
✭✐✮ ❚å♥ t➵✐ x ∈ M

s❛♦ ❝❤♦ −f(x) ∈ int(K)❀
✭✐✐✮ ❚å♥ t➵✐ η ∈ K
0
\ {0} s❛♦ ❝❤♦ η
T
f(x) > 0 ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ M

✳

❇æ ➤Ò s❛✉ ➤➞② ❧➭ ♠ét ➤➷❝ tr➢♥❣ ♠í✐ ❝ñ❛ tÝ♥❤ K✲s✉❜❝♦♥✈❡①❧✐❦❡✳
❇æ ➤Ò ✶✳✸
❈➳❝ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ s❛✉ ➤➞② ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿
✭✐✮ ❢ ❧➭ ❑✲s✉❜❝♦♥✈❡①❧✐❦❡ tr➟♥ ▼✬❀
✭✐✐✮ f(M

) + int(K) ❧➭ ❧å✐❀
✭✐✐✐✮ ❱í✐ ♠ä✐ η ∈ int(K)✱ x
1
, x
2
∈ M

✱ ✈➭ α ∈ (0, 1)✱ tå♥ t➵✐ x
3
∈ M

s❛♦ ❝❤♦
η + αf (x
1
) + (1 − α)f(x
2
) − f(x
3
) ∈ int(K).
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤
❚r➢í❝ ❤Õt t❛ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ (i) ⇒ (ii)✳ ➜➷t
C = f(M

) + int(K), c

1
, c
2
∈ C, α ∈ (0, 1).
✶✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ C✱ tå♥ t➵✐ x
1
, x
2
∈ M

✈➭ k
1
, k
2
∈ int(K) t❤♦➯ ♠➲♥
c
i
= f(x
i
) + k
i
, i = 1, 2.
❉♦ ➤ã✱
αc
1
+ (1 − α)c
2
= αf(x

1
) + (1 − α)f(x
2
) + αk
1
+ (1 − α)k
2
. ✭✶✳✶✷✮
❇ë✐ ✈× int(K) ❧å✐✱
k

:= αk
1
+ (1 − α)k
2
∈ int(K), ✭✶✳✶✸✮
t❛ ❝ã t❤Ó t×♠ ➤➢î❝ ♠ét ❤×♥❤ ❝➬✉ B ✈í✐ t➞♠ O s❛♦ ❝❤♦
k

+ B ⊂ int(K). ✭✶✳✶✹✮
❉♦ tÝ♥❤ K✲s✉❜❝♦♥✈❡①❧✐❦❡ ❝ñ❛ f tr➟♥ M

✈➭ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✸✱ tå♥ t➵✐ η ∈ int(K)
s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐ γ ∈ (0, 1)✱ x, y ∈ M

✱ ✈➭ ε > 0✱ t❛ ❝ã t❤Ó t×♠ ➤➢î❝
z := z(γ, x, y, ε) ∈ M

s❛♦ ❝❤♦
εη + γf(x) + (1 − γ)f(y) − f(z) ∈ K. ✭✶✳✶✺✮

❈❤ä♥ λ ➤ñ ❧í♥ s❛♦ ❝❤♦ λ
−1
η ∈ B✱ t❛ ❝ã
k

− λ
−1
η ∈ int(K). ✭✶✳✶✻✮
➜➷t ε = λ
−1
✳ ❚å♥ t➵✐ x
3
∈ M

s❛♦ ❝❤♦
λ
−1
η + αf (x
1
) + (1 − α)f(x
2
) − f(x
3
) ∈ K. ✭✶✳✶✼✮
❚õ ✭✶✳✶✷✮ ✈➭ ✭✶✳✶✼✮ t❛ s✉② r❛ tå♥ t➵✐ k
∗
∈ K s❛♦ ❝❤♦
αc
1
+ (1 − α)c

2
= f(x
3
) + k
∗
+ k

− λ
−1
η. ✭✶✳✶✽✮
❉♦ ❜æ ➤Ò ✶✳✶✭✐✐✮✱
k
∗
+ k

− λ
−1
η ∈ int(K). ✭✶✳✶✾✮
✶✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ó
c
1
+ (1 )c
2
C.
ì C ồ ề ó ỉ r r (i) (ii)
ế t t ỉ r r (ii) (iii)
int(K), x
1

, x
2
M

.
ở ì f(M

) + int(K) ồ
(f(x
1
) + ) + (1 )(f(x
2
) + ) f(M

) + int(K).
ó tồ t x
3
M

s
(f(x
1
) + ) + (1 )(f(x
2
) + ) f(x
3
) + int(K),
ĩ
+ f (x
1

) + (1 )f(x
2
) f(x
3
) int(K).
ố ù ể t ứ t ỉ r r (iii) (i)
sử r ề ệ (iii) t ột ể tr int(K) t =
ớ ọ > 0, int(K) ề ệ (iii) ớ ọ > 0 x
1
, x
2
M


(0, 1) tồ t x
3
M

s
+ f (x
1
) + (1 )f(x
2
) f(x
3
) int(K),
ì ú ề ó é t r f Ks tr M

ổ
ề ợ ứ

t
H(x) = (f(x), g(x)), x M

.

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
(f, g) ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ K × Q✲❝♦♥✈❡①❧✐❦❡ ✭t➢➡♥❣ ø♥❣✱ K × Q✲s✉❜❝♦♥✈❡①❧✐❦❡✮ tr➟♥
M

♥Õ✉ H ❧➭ K × Q✲❝♦♥✈❡①❧✐❦❡ ✭t➢➡♥❣ ø♥❣✱ K × Q✲s✉❜❝♦♥✈❡①❧✐❦❡✮ tr➟♥ M

✳
❇æ ➤Ò ✶✳✹ ✭❬✺❪✮
✭✐✮ ◆Õ✉ (f, g) ❧➭ K × Q✲s✉❜❝♦♥✈❡①❧✐❦❡ tr➟♥ ▼✬ ✈➭ K
s0
= ∅✱ t❤× ✈í✐ ♠ç✐
η ∈ K
s0
, (η
T
f, g) ❧➭ R
1
+
× Q✲s✉❜❝♦♥✈❡①❧✐❦❡ tr➟♥ ▼✬✱ tr♦♥❣ ➤ã R
1
+
= {α ∈
R
1
| α ≥ 0} ✈➭ (η

T
f)(x) = η
T
f(x) ✈í✐ ♠ç✐ x ∈ R
n
❀
✭✐✐✮ ◆Õ✉ (f, g) ❧➭ K × Q✲❝♦♥✈❡①❧✐❦❡ tr➟♥ ▼✬✱ t❤× f ❧➭ ❑✲❝♦♥✈❡①❧✐❦❡ tr➟♥
▼✬ ✈➭ ❞♦ ➤ã ❧➭ ❑✲s✉❜❝♦♥✈❡①❧✐❦❡ tr➟♥ ▼✬✳
❇æ ➤Ò ✶✳✺
◆Õ✉ f ❧➭ ❑✲s✉❜❝♦♥✈❡①❧✐❦❡ tr➟♥ ▼ ✈➭ ¯x ∈ M✱ t❤×
T (f(M) + K, f(¯x)) = clP (f(M) + K − f(¯x))
= T (f(M) + int(K), f(¯x))
= clP (f(M) + int(K) − f(x)),
✭✶✳✷✺✮
✈➭ T (f(M) + K, f(¯x)) ❧➭ ♠ét ♥ã♥ ❧å✐ ➤ã♥❣✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤
●✐➯ sö r➺♥❣ f ❧➭ K✲s✉❜❝♦♥✈❡①❧✐❦❡ tr➟♥ M ✈➭ ¯x ∈ M✳ ❚r➢í❝ t✐➟♥✱ t❛
❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣
T (f(M) + K, f(¯x)) = clP (f(M) + K − f(¯x)). ✭✶✳✷✻✮
➜Ó ý r➺♥❣
T (f(M) + K, f(¯x)) ⊂ clP (f(M) + K − f(¯x)), ✭✶✳✷✼✮
❧➭ ❧✉➠♥ ➤ó♥❣✳ ❚❛ ❝➬♥ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣
clP(f(M) + K − f(¯x)) ⊂ T (f(M) + K, f(¯x)).
✶✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❇ë✐ ✈× T (f(M) + K, f(¯x)) ❧➭ ➤ã♥❣✱ t❛ ❝❤Ø ❝➬♥ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣
P (f(M) + K − f(¯x)) ⊂ T (f(M) + K, f(¯x)). ✭✶✳✷✽✮
▲✃②
y ∈ P (f(M) + K − f(¯x)).
❚å♥ t➵✐ α ≥ 0, x


∈ M ✈➭ d ∈ K s❛♦ ❝❤♦
y = α(f(x

) + d − f(¯x)).
❇ë✐ ✈× f ❧➭ K✲s✉❜❝♦♥✈❡①❧✐❦❡ tr➟♥ M✱ tå♥ t➵✐ η ∈ int(K) s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐
λ ∈ (0, 1)✱ x
1
, x
2
∈ M✱ ✈➭ ε > 0✱ tå♥ t➵✐ x
3
:= x(λ, x
1
, x
2
, ε) ∈ M t❤♦➯
♠➲♥
εη + λf(x
1
) + (1 − λ)f(x
2
) − f(x
3
) ∈ K.
❱× t❤Õ✱ ✈í✐ ♠ç✐ t = 1, 2, ... ✱ tå♥ t➵✐ x
t
∈ M s❛♦ ❝❤♦
(1/t
2

)η + (1/t)f(x

) + (1 − 1/t)f(¯x) − f(x
t
) ∈ K.
❚õ d ∈ K ✈➭ K ❧➭ ♠ét ♥ã♥ ❧å✐✱
(1/t)d + (1/t
2
)η + (1/t)f(x

) + (1 − 1/t)f(¯x) − f(x
t
) ∈ K.
➜➷t
d
t
= (1/t)d + (1/t
2
)η + (1/t)f(x

) + (1 − 1/t)f(¯x) − f(x
t
),
y
t
= f(x
t
) + d
t
,

β
t
= αt.
❘â r➭♥❣ ❧➭ d
t
∈ K, y
t
∈ f(M) + K✱ ✈➭ β
t
≥ 0 ✈í✐ ♠ç✐ t✳ ❈❤♦ t → ∞✱ t❛ ❝ã
lim y
t
= f(¯x),
lim β
t
(y
t
− f(¯x)) = y.
✶✹
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❱× ✈❐②✱
y ∈ T (f(M) + K, f(¯x)).
➜✐Ò✉ ➤ã ❦Ð♦ t❤❡♦
P (f(M) + K − f(¯x)) ⊂ T (f(M) + K, f(¯x)).
❱× ✈❐②✱ ✭✶✳✷✻✮ ➤ó♥❣✳
❚✐Õ♣ t❤❡♦ t❛ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣
clP(f(M) + int(K) − f(¯x)) = T (f(M) + int(K), f(¯x)).
❇ë✐ ✈× f ❧➭ K✲s✉❜❝♦♥✈❡①❧✐❦❡ tr➟♥ M✱ t❤❡♦ ❜æ ➤Ò ✶✳✸✱ f(M) + int(K) ❧å✐✳
❚➢➡♥❣ tù ♥❤➢ tr♦♥❣ ❜æ ➤Ò ✸✳✶✶ ❬✶❪✱ t❛ ❝ã
T (f(M) + int(K), f(¯x)) = clP (f(M) + int(K) − f(¯x)), ✭✶✳✷✾✮

tr♦♥❣ ➤ã T (f(M) + int(K), f(¯x)) ❧➭ ♠ét ♥ã♥ ❧å✐ ➤ã♥❣✳
❈✉è✐ ❝ï♥❣✱ t❛ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣
clP(f(M) + K − f(¯x)) = T (f(M) + int(K), f(¯x)). ✭✶✳✸✵✮
❇ë✐ ✈× int(K) ⊂ K✱
f(M) + int(K) ⊂ f(M) + K,
✈➭
T (f(M) + int(K), f(¯x)) ⊂ T (f(M) + K, f(¯x)). ✭✶✳✸✶✮
❚õ ✭✶✳✸✶✮ ✈➭ ✭✶✳✷✻✮✱ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢î❝
T (f(M) + int(K), f(¯x)) ⊂ clP (f(M) + K − f(¯x)). ✭✶✳✸✷✮
✶✺
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ò ứ r
clP(f(M) + K f(x)) T (f(M) + int(K), f(x)).

y P (f(M) + K f(x)).
ó t tì ợ > 0, x

M d K s
y = (f(x

) + d f(x)).
sử
0
int(K) ố ị
0
int(K) ớ ọ > 0 ở ì
f Ks tr M t ổ ề ớ ọ > 0, (0, 1)
x
1
, x

2
M tồ t x
3
:= x(, , x
1
, x
2
) M s

0
+ f(x
1
) + (1 )f(x
2
) f(x
3
) int(K).
ì ớ ỗ t = 1, 2, 3, ... tồ t x
t
M s
(1/t
2
)
0
+ (1/t)f(x
1
) + (1 1/t)f(x
2
) f(x
t

) int(K).
ở ì d K K ột ó ồ
d
t
:= (1/t)d + (1/t
2
)
0
+ (1/t)f(x
1
) + (1 1/t)f(x) f(x
t
)
K + int(K) K.
t
y
t
= f(x
t
) + d
t
,

t
= t.
õ r
y
t
f(M) + int(K),

t
0, ớ ỗ t.

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
❈❤♦ t → +∞✱ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢î❝
lim y
t
= f(¯x),
lim β
t
(y
t
− f(¯x)) = y.
❉♦ ➤ã✱
y ∈ T (f(M) + int(K), f(¯x)).
➜✐Ò✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦
P (f(M) + K − f(¯x)) ⊂ T (f(M) + int(K), f(x)).
❇ë✐ ✈× T (f(M) + int(K), f(x)) ❧➭ ➤ã♥❣✱ t❛ ❝ã
clP(f(M) + K, f(¯x)) ⊂ T (f(M) + int(K), f(¯x)). ✭✶✳✸✹✮
❉♦ ➤ã✱ ✭✶✳✸✵✮ ➤ó♥❣✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý ➤➢î❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✷
❈❤♦ η ∈ R
m
✳ ❚❛ ➤➢❛ ✈➭♦ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ù❝ t✐Ó✉ ❜æ trî s❛✉✿
(P
η
) ♠✐♥ η
T
f(x),
x ∈ M.
✭✶✳✸✺✮

❇➭✐ t♦➳♥ (P
η
) ❝ã t❤Ó ➤➢î❝ ①❡♠ ♥❤➢ ❜➭✐ t♦➳♥ ✈➠ ❤➢í♥❣ ❤♦➳ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥
(V P )✳ ❚r♦♥❣ ♣❤➬♥ t✐Õ♣ t❤❡♦ t❛ sÏ ❝❤♦ ❤❛✐ ♠è✐ q✉❛♥ ❤Ö ❣✐÷❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (V P )
✈➭ ❜➭✐ t♦➳♥ (P
η
)✳
❚❛ ♥ã✐ r➺♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ (V P ) t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤Ý♥❤ q✉② ❙❧❛t❡r ♥Õ✉ tå♥
t➵✐ x

∈ M

s❛♦ ❝❤♦ g(x

) <
K
0✳
❚r➢í❝ ❦❤✐ ❦Õt t❤ó❝ ♣❤➬♥ ♥➭② t❛ ➤➢❛ ✈➭♦ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❤➭♠ ▲❛❣r❛♥❣❡ ❣✐➳ trÞ
✈Ð❝ t➡✱ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ②➟♥ ♥❣ù❛✱ ✈➭ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ②➟♥ ♥❣ù❛ ②Õ✉✳
❑Ý ❤✐Ö✉ Γ ❧➭ ❤ä ❝ñ❛ t✃t ❝➯ m × p ✲ ♠❛ tr❐♥ Λ t❤♦➯ ♠➲♥ ΛQ ⊂ K✳ ❱í✐
❜✃t ❦× η ∈ K
0
\ {0} ✈➭ λ ∈ Q
0
✱ t❛ t❤✃② r➺♥❣ Λ ∈ Γ ♥Õ✉ Λ = eλ
T
✱ tr♦♥❣ ➤ã
e ∈ K t❤♦➯ ♠➲♥ η
T
e = 1✳

✶✼
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✹
❍➭♠ ▲❛❣r❛♥❣❡ ❣✐➳ trÞ ✈Ð❝ t➡ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (V P ) ➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♥❤➢
s❛✉
L(x, Λ) = f(x) + Λg(x), (x, Λ) ∈ M

× Γ. ✭✶✳✸✻✮
❈➷♣ (¯x,
¯
Λ) ∈ M

× Γ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤✐Ó♠ ②➟♥ ♥❣ù❛ ✭t➢➡♥❣ ø♥❣ ➤✐Ó♠ ②➟♥ ♥❣ù❛
②Õ✉✮ ❝ñ❛ L(x, Λ) ♥Õ✉
L(¯x,
¯
Λ) ∈ Min
K
{L(x,
¯
Λ) | x ∈ M

} ∩ Max
K
{L(¯x, Λ) | Λ ∈ Γ},
(t➢➡♥❣ ø♥❣✱ L(¯x,
¯
Λ) ∈
W − Min
K

{L(x,
¯
Λ) | x ∈ M

} ∩ W − Max
K
{L(¯x, Λ) | Λ ∈ Γ})
✭✶✳✸✻✬✮
✶✳✷✳ ❙ù tå♥ t➵✐ ♥❤➞♥ tö ▲❛❣r❛♥❣❡ ❝❤♦ ♥❣❤✐Ö♠ ❤÷✉ ❤✐Ö✉
❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣
❚r♦♥❣ ♣❤➬♥ ♥➭②✱ t❛ ➤➢❛ ✈➭♦ ♠ét ✈➭✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ tå♥ t➵✐ ❝ñ❛ ♥❤➞♥ tö ▲❛❣r❛♥❣❡
❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (V P )✳
▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✶
●✐➯ sö r➺♥❣ f ❧➭ ❑✲s✉❜❝♦♥✈❡①❧✐❦❡ tr➟♥ ▼✳ ◆Õ✉ ¯x ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ❤÷✉
❤✐Ö✉ ②Õ✉ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (V P )✱ t❤× tå♥ t➵✐ η ∈ K
0
\ {0} s❛♦ ❝❤♦ ¯x ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠
tè✐ ➢✉ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (P
η
)✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤
●✐➯ sö r➺♥❣ ¯x ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ❤÷✉ ❤✐Ö✉ ②Õ✉ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (V P )✳ ◆❤➢ ✈❐②
❦❤➠♥❣ tå♥ t➵✐ x ∈ M s❛♦ ❝❤♦ f(x) <
K
f(¯x)✳ ➜➷t
F (x) = f(x) − f(¯x), x ∈ M

.
✶✽
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

❑❤✐ ➤ã✱ ❤Ö
F (x) <
K
0, x ∈ M, ✭✶✳✸✼✮
❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠✳ F ❧➭ K✲s✉❜❝♦♥✈❡①❧✐❦❡ tr➟♥ M✱ ❞♦ tÝ♥❤ K✲s✉❜❝♦♥✈❡①❧✐❦❡
❝ñ❛ f✳ ❚❤❡♦ ❜æ ➤Ò ✶✳✸✱ tå♥ t➵✐ ¯η ∈ K
0
\ {0} s❛♦ ❝❤♦
¯η
T
F (x) ≥ 0, ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ M, ✭✶✳✸✽✮
tø❝ ❧➭
¯η
T
f(x) ≥ ¯η
T
f(¯x), ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ M. ✭✶✳✸✾✮
❱× ✈❐② ¯x ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ tè✐ ➢✉ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (P
η
)✳ ✷
▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✷
●✐➯ sö r➺♥❣ f ❧➭ ❑✲s✉❜❝♦♥✈❡①❧✐❦❡ tr➟♥ ▼✳ ◆Õ✉ ¯x ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ❤÷✉
❤✐Ö✉ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (V P ) t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❇❡♥s♦♥✱ t❤× tå♥ t➵✐ η ∈ K
s0
s❛♦ ❝❤♦ ¯x ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ tè✐ ➢✉ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (P
η
)✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤
●✐➯ sö ¯x ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ❤÷✉ ❤✐Ö✉ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (V P) t❤❡♦
♥❣❤Ü❛ ❇❡♥s♦♥✱ tø❝ ❧➭

clP(f(M) + K − f(¯x)) ∩ (−K) = {0}. ✭✶✳✹✵✮
❚❤❡♦ ❜æ ➤Ò ✶✳✺✱ clP (f(M) + K − f(¯x)) ❧å✐✱ ❞♦ ♠Ö♥❤ ➤Ò ✷✳✶✳✽ ❬✽❪ t❛ ♥❤❐♥
➤➢î❝
K
s0
∩ (clP (f(M) + K − f(¯x)))
0
= ∅. ✭✶✳✹✶✮
❱× ✈❐②✱ t❛ t×♠ ➤➢î❝ ¯η ∈ K
s0
t❤♦➯ ♠➲♥
¯η ∈ (clP (f(M) + K − f(¯x)))
0
. ✭✶✳✹✷✮
✶✾
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❇ë✐ ✈×
f(x) − f(¯x) ⊂ clP (f(M) + K − f(¯x)),
t❛ ❝ã
¯η
T
(f(x) − f(¯x)) ≥ 0, ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ M. ✭✶✳✹✸✮
❉♦ ➤ã✱
¯η
T
f(x) ≥ η
T
f(¯x), ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ M. ✭✶✳✹✹✮
❱× ✈❐②✱ ¯x ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ tè✐ ➢✉ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (P
¯η

)✳ ➜ã ❧➭ ➤✐Ò✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
✷
❑Õt q✉➯ s❛✉ ➤➞② ❝❤♦ t❛ ♠è✐ q✉❛♥ ❤Ö ❣✐÷❛ ♥❣❤✐Ö♠ ❤÷✉ ❤✐Ö✉ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣
❇❡♥s♦♥ ✈➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❤÷✉ ❤✐Ö✉ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ ❇♦r✇❡✐♥✳
▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✸
❱í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ (V P )✱ ♥Õ✉ f ❧➭ ❑✲s✉❜❝♦♥✈❡①❧✐❦❡ tr➟♥ ▼✱ t❤× tÝ♥❤ ❤÷✉ ❤✐Ö✉
❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ ❇❡♥s♦♥ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ tÝ♥❤ ❤÷✉ ❤✐Ö✉ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ ❇♦r✇❡✐♥✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤
➜✐Ò✉ ♥➭② s✉② trù❝ t✐Õ♣ tõ ❜æ ➤Ò ✶✳✺ ✈➭ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳ ✷
❱í✐ ❦Õt q✉➯ ♥➭②✱ t❛ ❝ã t❤Ó ➤å♥❣ ♥❤✃t ❤❛✐ ❧♦➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❤÷✉ ❤✐Ö✉ ❝❤Ý♥❤
t❤➢ê♥❣ ♥Õ✉ f ❧➭ K✲s✉❜❝♦♥✈❡①❧✐❦❡ tr➟♥ M✳ ❉♦ ➤ã✱ t❛ ❦❤➠♥❣ ❝➬♥ ♣❤➞♥ ❜✐Öt ❝➳❝
♥❣❤✐Ö♠ ❤÷✉ ❤✐Ö✉ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ ❇❡♥s♦♥ ✈➭ ❇♦r✇❡✐♥ tr♦♥❣ ♣❤➬♥ t✐Õ♣ s❛✉✳
❑Ý ❤✐Ö✉ W E ✈➭ P E✱ t➢➡♥❣ ø♥❣ ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ♥❣❤✐Ö♠ ❤÷✉ ❤✐Ö✉ ②Õ✉ ✈➭ ❝➳❝
♥❣❤✐Ö♠ ❤÷✉ ❤✐Ö✉ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (V P )✱ ✈➭ ❦Ý ❤✐Ö✉ E
η
❧➭ t❐♣ t✃t ❝➯
❝➳❝ ♥❣❤✐Ö♠ tè✐ ➢✉ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (P
η
)✳
✷✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✶ ✭❬✺❪✮
◆Õ✉ f ❧➭ ❑✲s✉❜❝♦♥✈❡①❧✐❦❡ tr➟♥ ▼✱ t❤×
✭✐✮ W E =

η∈K
0
\{0}
E
η

✱
✭✐✐✮ P E =

η∈K
s0
E
η
✳
➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✷
●✐➯ sö r➺♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ (V P ) t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤Ý♥❤ q✉② ❙❧❛t❡r✱ f
❧➭ ❑✲s✉❜❝♦♥✈❡①❧✐❦❡ tr➟♥ ▼✱ ✈➭ (f, g) ❧➭ K × Q✲s✉❜❝♦♥✈❡①❧✐❦❡ tr➟♥ ▼✬✳ ◆Õ✉
¯x ∈ P E✱ t❤× tå♥ t➵✐ m × p ✲ ♠❛ tr❐♥
¯
Λ t❤♦➯ ♠➲♥
¯
ΛQ ⊂ K s❛♦ ❝❤♦
f(¯x) ∈ Min
K
{f(x) +
¯
Λg(x) | x ∈ M

},
¯
Λg(¯x) = 0.
✭✶✳✹✺✮
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤
●✐➯ sö r➺♥❣ ¯x ∈ P E✳ ❚❤❡♦ ♠Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✷✱ tå♥ t➵✐ ¯η ∈ K
s0
s❛♦ ❝❤♦

¯η
T
f(¯x) ≤ ¯η
T
f(x), ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ M. ✭✶✳✹✻✮
◆❤➢ ✈❐②✱ ❤Ö
¯η
T
(f(x) − f(¯x)) < 0, g(x) 
Q
0 ✭✶✳✹✼✮
❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ tr➟♥ M

✳ ❇ë✐ ✈× (f, g) ❧➭ K × Q✲s✉❜❝♦♥✈❡①❧✐❦❡ tr➟♥ M

✱
(f(x) − f(¯x), g(x)) ❧➭ K × Q✲s✉❜❝♦♥✈❡①❧✐❦❡ tr➟♥ M

❀ ❞♦ ➤ã✱ t❤❡♦ ❜æ ➤Ò ✶✳✹✱
(¯η
T
(f(x) − f(¯x)), g(x)) ❧➭ R
1
+
× Q✲s✉❜❝♦♥✈❡①❧✐❦❡ tr➟♥ M

✳ ❚❤❡♦ ❜æ ➤Ò ✶✳✷✱
tå♥ t➵✐
(¯α, ¯v) ∈ (R
1

+
× Q)
0
= (R
1
+
)
0
× Q
0
= R
1
+
× Q
0
t❤♦➯ ♠➲♥ (¯α, ¯v) = 0 ✈➭
¯α¯η
T
(f(x) − f(¯x)) + ¯v
T
g(x) ≥ 0, ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ M

. ✭✶✳✹✽✮
✷✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ ❝ã t❤Ó ✈✐Õt ❧➵✐ ♥❤➢ s❛✉
¯α¯ηf(x) + ¯v
T
g(x) ≥ ¯α¯η
T

f(¯x), ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ M

. ✭✶✳✹✾✮
❚❛ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ¯α = 0✳ ●✐➯ sö r➺♥❣ ➤✐Ò✉ ♥➭② ❦❤➠♥❣ ➤ó♥❣✱ tø❝ ❧➭ α = 0✳ ❉♦
(¯α, ¯v) = 0✱ t❛ ❝ã ¯v = 0✳ ❉♦ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤Ý♥❤ q✉② ❙❧❛t❡r✱ tå♥ t➵✐ x

∈ M

s❛♦
❝❤♦ g(x

) <
Q
0✳ ❱× t❤Õ✱ ¯v
T
g(x

) < 0✳ ◆❤➢♥❣ tõ ✭✶✳✹✾✮✱ ¯v
T
g(x

) ≥ 0✳ ➜✐Ò✉ ➤ã
❝❤♦ t❛ ♠ét ♠➞✉ t❤✉➱♥✳ ❱× t❤Õ ¯α = 0✳ ❈❤✐❛ ✭✶✳✹✾✮ ❝❤♦ ¯α ✈➭ ❦Ý ❤✐Ö✉
¯
λ = ¯v/¯α✱
t❛ ❝ã
¯
λ ∈ Q
0
✈➭

¯η
T
f(x) + ¯η
T
g(x) ≥ ¯η
T
f(¯x), ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ M

. ✭✶✳✺✵✮
❚õ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ tr➟♥ t❛ ❝ã ¯η
T
g(¯x) ≥ 0✳ ▼➷t ❦❤➳❝✱ ¯η
T
g(¯x) ≤ 0 ❜ë✐ ✈× ¯x ∈ M ✈➭
¯
λ ∈ Q
0
✳ ❱× ✈❐②✱
¯
λ
T
g(¯x) = 0.
●✐➯ sö
¯
Λ = e
¯
λ
T
✱ tr♦♥❣ ➤ã e ❧➭ ♠ét ✈Ð❝ t➡ tr♦♥❣ K t❤♦➯ ♠➲♥ ¯η
T

e = 1✳ ❘â
r➭♥❣ ❧➭
¯
ΛQ ⊂ K,
¯
Λ
T
¯η =
¯
λ,
¯
Λg(¯x) = 0. ✭✶✳✺✶✮
◆Õ✉
f(¯x) /∈ Min
K
{f(x) +
¯
Λg(x) | x ∈ M

},
t❤× ♣❤➯✐ tå♥ t➵✐ x
∗
∈ M

s❛♦ ❝❤♦
f(¯x) − f(x
∗
) −
¯
Λg(x

∗
) ≥
K
0. ✭✶✳✺✷✮
❉♦ ➤ã✱
¯η
T
f(¯x) > ¯η
T
f(x
∗
) + ¯η
T
¯
Λg(x
∗
) = ¯η
T
f(x
∗
) +
¯
λ
T
g(x
∗
). ✭✶✳✺✸✮
✷✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
➜✐Ò✉ ➤ã ♠➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ ✭✶✳✺✵✮✳ ❉♦ ➤ã✱

f(¯x) ∈ Min
K
{f(x) +
¯
Λg(x) | x ∈ M

}. ✭✶✳✺✹✮
➜Þ♥❤ ❧Ý ➤➢î❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✷
❚õ ➤Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✷ ✈➭ ❜æ ➤Ò ✶✳✹✭✐✐✮ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢î❝ ❤Ö q✉➯ s❛✉✳
❍Ö q✉➯ ✶✳✶
●✐➯ sö r➺♥❣ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤Ý♥❤ q✉② ❙❧❛t❡r t❤♦➯ ♠➲♥ ✈➭ (f, g) ❧➭ K × Q✲
❝♦♥✈❡①❧✐❦❡ tr➟♥ ▼✬✳ ◆Õ✉ ¯x ∈ P E✱ t❤× tå♥ t➵✐ m × p ✲ ♠❛ tr❐♥
¯
Λ t❤♦➯ ♠➲♥
¯
ΛQ ⊂ K s❛♦ ❝❤♦ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ✭✶✳✹✺✮ ➤ó♥❣✳
❱í✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❤÷✉ ❤✐Ö✉ ②Õ✉ t❛ ❝ã ➤Þ♥❤ ❧Ý s❛✉✳
➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✸
●✐➯ sö r➺♥❣ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤Ý♥❤ q✉② ❙❧❛t❡r t❤♦➯ ♠➲♥ ✈➭ (f, g) ❧➭ K × Q✲
s✉❜❝♦♥✈❡①❧✐❦❡ tr➟♥ ▼✬✳ ◆Õ✉ ¯x ∈ W E✱ t❤× tå♥ t➵✐ m × p ✲ ♠❛ tr❐♥
¯
Λ t❤♦➯ ♠➲♥
¯
ΛQ ⊂ K s❛♦ ❝❤♦
f(¯x) ∈ W − Min
K
{f(x) +
¯
Λg(x) | x ∈ M


},
¯
Λg(¯x) = 0.
✭✶✳✺✺✮
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤
●✐➯ sö r➺♥❣ ¯x ∈ W E✳ ❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✱ ❦❤➠♥❣ tå♥ t➵✐ x ∈ M s❛♦
❝❤♦ f(x) <
K
f(¯x)✳ ➜➷t
H(x) = (f(x) − f(¯x), g(x)), x ∈ M

. ✭✶✳✺✻✮
❍Ö
H(x) <
K×Q
0, x ∈ M

✭✶✳✺✼✮
❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠✳ ❇ë✐ ✈× (f, g) ❧➭ K × Q✲s✉❜❝♦♥✈❡①❧✐❦❡ tr➟♥ M

✱ H ❧➭
K × Q✲s✉❜❝♦♥✈❡①❧✐❦❡ tr➟♥ M

✳ ❚❤❡♦ ❜æ ➤Ò ✶✳✷✱ tå♥ t➵✐ (¯η,
¯
λ) ∈ (K × Q)
0
=
✷✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên