Luận văn: MÔĐUN COHEN - MACAULAY DÃY pdf

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM





NGUYỄN THỊ NHUNG





MÔĐUN COHEN - MACAULAY DÃY


Chuyên ngành : Đại số và Lý thguyết số
Mã số : 60 46 05



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC


NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS. TSKH. NGUYỄN TỰ CƯỜNG

THÁI NGUYÊN - 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM





NGUYỄN THỊ NHUNG







MÔĐUN COHEN - MACAULAY DÃY






LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên
(R, m)
m M R
dim M = d x = x
1
, x
2
, . . . , x
d
∈ m M
l(M/xM) ≥ e(x, M) l(∗) e(x, M)
M x M
M D : D
0
⊂ D
1
⊂
. . . ⊂ D
t
= M M l(D
0

) < ∞
D
i
/D
i−1
0 < dim(D
1
/D
0
) < dim(D
2
/D
1
) < . . . < dim(D
t
/D
t−1
) = d.
M M
0 = D
0
⊂ D
1
= M D M
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên
M D
i−1
D
i
dim D

i−1
< dim D
i
, i =
1, 2, . . . , t D
0
= H
0
m
(M)
M m t = 1 D M
l
R
(D
0
) < ∞ D
1
/D
0
M
x = x
1
, . . . , x
d
M l(M/xM) =
l
R
(D
0
) + e(x, D

1
) D M dim D
i
= d
i
x =
x
1
, . . . , x
d
M D
i
∩ (x
d
i
+1
, . . . , x
d
)M = 0, i =
0, 1, . . . , t −1 M
M
x = x
1
, . . . , x
d
M l(M/xM) =
t

i=0
e(x

1
, . . . , x
d
i
, D
i
)
M
x = x
1
, . . . , x
d
M l(M/xM) =
t

i=0
e(x
1
, . . . , x
d
i
, D
i
)
M I
D,M
(x) =
l(M/xM)−
t


i=0
e(x
1
, . . . , x
d
i
, M
i
)
I
D,M
(x(n)) n
1
, . . . , n
d
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên
M
x = x
1
, . . . , x
d
M l(M/(x
2
1
, . . . , x
2
d
)M) =
t


i=0
2
d
i
e(x
1
, . . . , x
d
i
, D
i
)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên
(R, m) M R
dim M = d x = x
1
, . . . , x
r
R
l
R
(M/xM) < +∞ M
e(x, M) M x r
r = 0 l
R
(M) < +∞ e(∅, M) = l
R
(M) r ≥ 1
0 :
M

x
1
= {m ∈ M | mx
1
= 0} x
2
, . . . , x
r
0 :
M
x
1
M/x
1
M 0 :
M
x
1
e(x
, M) = e(x
2
, . . . , x
r
, M/x
1
M) − e(x
2
, . . . , x
r
; 0 :

M
x
1
).
e(x, M)
0 −→ M

−→ M −→ M” −→ 0 R
x M
e(x, M) = e(x, M

) + e(x, M”).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên
n
1
, . . . , n
r
e(x
n
1
1
, . . . , x
n
r
r
; M) = n
1
. . . n
r
e(x, M).

(R, m)
d M x
1
, . . . , x
d
R
q = (x
1
, . . . , x
d
)
e(q, M) = lim
min(v
i
)→∞
l(M/(x
v
1
1
, . . . , x
v
d
d
)M
v
1
. . . v
d
.
M

(R, m) M x = x
1
, . . . , x
r
R
x M (x
1
, . . . , x
r
)M =
M x
i
M/(x
1
, . . . , x
i−1
)M, i =
1, . . . , r
(R, m)
M R depth M = t, dim M = d
H
i
m
(M) = 0 i < t, i > d
H
t
m
(M) = 0 H
d
m

(M) = 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên
(R, m) M R
dim M = d d x = x
1
, . . . , x
d
∈ m
l(M/xM) < ∞
x = x
1
, . . . , x
d
∈ m q = (x
1
, . . . , x
d
)
q M
x
(R, m)
M R x
1
, . . . , x
r
∈ m
dim M/(x
1
, . . . , x
i

)M ≥ dim M − i.
x
1
, . . . , x
r
M
M x ∈ m
M x /∈ P P ∈ Ass(M)
dim R/P = d
x M n
x
n
M dim(M/x
n
M) = d − 1
dim(x
n
M) = d dim M = max{dim(M/x
n
M); dim(x
n
M)} N
M d x
n
M  N n
Supp(M/N) = Var(Ann(M/N)

Ann(M/N) =

P ∈Supp(M/N)

P Ass(M/N) ⊆ Supp(M/N)
Min(Ass(M/N)) = Min(Supp(M/N))
x /∈

Ann(M/N) =

P ∈Ass(M/N)
P.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên
N
Ass(M/N) = {P ∈ Ass(M)|dim R/P = d}.
x /∈ P P ∈ Ass(M) dim R/P = d
x /∈ P P ∈ Ass(M)
dim R/P = d dim M/xM = d P ∈ Ass(M/xM)
dim R/P = d P = 0 :
M
η + xM η M x ∈ P
dim M/xM < d
dim M/xM = d − 1 x M
N M dim(M/N) < d
x M x ∈

Ann(M/N)
dim(M/N) = d −t < d t x
1
, . . . , x
t
M
x
1

, . . . , x
t
∈ Ann(M/N)

Ann(M/N) =

P ∈Ass(M/N)
P
x ∈

P ∈Ass(M/N)
P x /∈

Q∈Ass(M),dim R/Q=d
Q

P ∈Ass(M/N)
P ⊆

Q∈Ass(M),dim R/Q=d
Q
P ∈ Ass(M/N) Q ∈ Ass(M) dim R/Q = d P ⊆ Q
dim R/P = d dim M/N < d
dim(M/N) = d − t < d
x
1
M x
1
∈ Ann(M/N)
x

1
M ⊆ N t = 1 t > 1 M
1
= M/x
1
M
N
1
= N/x
1
M
dim M
1
/N
1
= dim M/N = d − t < d − 1 = dim M
1
.
x
2
M
1
x
2
∈ Ann(M
1
/N
1
) =
Ann(M/N)

dim M/(x
1
, x
2
)M = dim M
1
/x
2
M
1
= dim M
1
− 1 = d − 2.
x
1
, x
2
M x
1
, x
2
∈ Ann(M/N)
(x
1
, x
2
)M ⊆ N d − t < d − 2 M
2
= M/(x
1

, x
2
)M N
2
=
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên
N/(x
1
, x
2
)M M
1
, N
1
k 1 ≤ k ≤ t −1 x
k+1
x
1
, . . . , x
k
, x
k+1
M x
1
, . . . , x
k+1
∈ Ann(M/N)
(R, m) M R
M dim M = depth M
M

q e(q, M) = l(M/qM)
e(q, M) = l(M/qM) q M
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên
(R, m)
M R d
x = x
1
, . . . , x
r
∈ m
x M (x
1
, . . . , x
i−1
)M : x
j
= (x
1
, . . . , x
i−1
)M : x
i
x
j
i = 1, . . . , r j ≥ i x
1
, . . . , x
r
M
(x

n
1
1
, . . . , x
n
r
r
) n
1
, . . . , n
r
x
1
, . . . , x
r
∈ m
M (x
1
, . . . , x
i
) M/(x
n
i+1
i+1
, . . . , x
n
r
r
)M
n

1
, . . . , n
r
; i = 1, . . . , r
x
1
, . . . , x
r
M x
n
1
1
, . . . , x
n
r
r
M n
1
, . . . , n
r
> 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên
x
1
, . . . , x
r
M x
m
1
1

, . . . , x
m
i
i
M/(x
m
i+1
i+1
, . . . , x
m
r
r
)M m
1
, . . . , m
r
> 0
x
m
1
n
1
1
, . . . , x
m
i
n
i
i
M/(x

m
i+1
n
i+1
i+1
, . . . , x
m
r
n
r
r
)M
n
1
, . . . , n
r
> 0 x
n
1
1
, . . . , x
n
r
r
M/(x
n
i+1
m
i+1
i+1

, . . . , x
n
r
m
r
r
)M
x
n
1
1
, . . . , x
n
r
r
M
x = x
1
, . . . , x
r
m
x M
1 ≤ i ≤ k ≤ j ≤ r n
1
, . . . , n
r
> 0
(x
n
1

1
, . . . , x
n
i−1
i−1
, x
n
j+1
j+1
, . . . , x
n
r
r
)M : x
n
i
i
x
n
k
k
= (x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
, x

n
j+1
j+1
, . . . , x
n
r
r
)M : x
n
k
k
.
1 ≤ i ≤ j ≤ r n
1
, . . . , n
r
> 0
(x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
, x
n
j+1
j+1
, . . . , x

n
r
r
)M : x
n
i
i
x
n
j
j
= (x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
, x
n
j+1
j+1
, . . . , x
n
r
r
)M : x
n
j

j
.
(i) ⇔ (ii)
(ii) ⇒ (iii) k = j
(iii) ⇒ (ii) 1 ≤ i ≤ j ≤ r, n
1
, . . . , n
r
> 0
(x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
, x
n
j+1
j+1
, . . . , x
n
r
r
)M : x
n
i
i
x

n
k
k
=

n
k+1
, ,n
j
(x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
, x
n
k+1
k+1
, . . . , x
n
r
r
)M : x
n
i
i
x

n
k
k
=

n
k+1
, ,n
j
(x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
, x
n
k+1
k+1
, . . . , x
n
r
r
)M : x
n
k
k
= (x

n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
, x
n
j+1
j+1
, . . . , x
n
r
r
)M : x
n
k
k
.
x x M
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên
x = x
1
, . . . , x
d
M
x M a
0
, . . . , a

d
n
1
, . . . , n
d
> 0
l(M/x(n)M) =
d

i=0
a
i
n
1
. . . n
i
a
i
= e(x
1
, . . . , x
i
; (x
i+2
, . . . , x
d
)M : x
i+1
/(x
i+2

, . . . , x
d
)M)
M
F : M
0
⊂ M
1
⊂ . . . ⊂ M
t
= M, t < ∞
dim M
0
< dim M
1
< . . . < dim M
t
= d.
D : D
0
⊂ D
1
⊂ . . . ⊂ D
t
= M
M
D
0
= H
0

m
(M) M
m
D
i−1
D
i
dim D
i
, i =
1, . . . , t − 1, t
F : M
0
⊂ M
1
⊂ . . . ⊂ M
t
= M
x = x
1
, . . . , x
d
M
d
i
= dim M
i
, i = 0, 1, . . . , t x
F M
i

∩ (x
d
i
+1
, . . . , x
d
)M = 0
M
I R M R
N M l(M/IM) < ∞ l(N/IN) < ∞
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên
l(M/IM) < ∞

Ann(M/IM) = m

Ann(M/IM) =
√
Ann M + I
√
Ann M + I = m
k Ann M + I ⊇ m
k
Ann N ⊇ Ann M
Ann N + I ⊇ m
k
l(N/IN) < ∞
D M

p∈Ass M
N(p) = 0 0 M

D
i
=

dim(R/p)≥d
i+1
N(p)
N ⊂ M
D
i
D N ⊆ D
i
dim N = dim D
i
F :
M
0
⊂ M
1
⊂ . . . ⊂ M
t

= M
i
0
< i
1
< . . . < i
t


M
j
⊆ D
i
j
dim M
j
= dim D
i
j
x
1
, . . . , x
d
F x
n
1
1
, . . . , x
n
d
d
F n
1
, . . . , n
d
> 0
x
1
, . . . , x

d
M x
1
, . . . , x
d
i) Γ M
d Γ = ∅ M M

Γ Γ M” M

+ M”
M
1
M
2
f : M

⊕ M

−→ M

+ M

(n
1
, n
2
) −→ n
1
+ n

2
dim(M

⊕ M

) ≥ dim(M

+ M

)
0 −→ M

−→ M

⊕ M

−→ M

−→ 0
dim(M

+ M

) ≤ dim(M

⊕M

) = max{dim M

, dim M


} < dim M
M

M

M

Γ N ∈ Γ Γ
N
M N d Γ
N
= ∅
Γ
N
M Γ
N
M

M

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên
N ∈ Γ d
M

M
D
0
⊂ D
1

⊂ . . . D
t−1
= M

⊂ D
t
= M
D
i−1
D
i
dim D
i−1
< dim D
i
i = 1, . . . , t D
i−1
M
dim D
i−1
< dim D
i
M
dim D
i−1
dim D
0
> 0 N M dim N < dim D
0
dim N = 0

H
0
m
(M) M
0 M Γ
m
(M) = H
0
m
(M) = (0 :
M
m
n
) n
m
n
⊆ Ann(H
0
m
M) dim(H
0
m
M) = 0
N 0
√
Ann N = m
k m
k
⊆ Ann N N ⊆ (0 :
M

m
k
) ⊆
H
0
m
(M) H
0
m
(M) M 0
H
0
m
(M) = D
0
⊂ D
1
⊂ . . . ⊂ D
t−1
⊂ D
t
= M M
D
i
ii)
iii) x
n
1
1
, . . . , x

n
d
d
(x
1
, . . . , x
d
) = I
(x
n
1
1
, . . . , x
n
d
d
) = J n I
n
⊆ J
l(M/IM) < ∞ m
k
⊆ Ann(M) + I k
m
nk
⊆ (Ann(M) + I)
n
⊆ Ann(M) + I
n
⊆ Ann(M) + J.
l(M/JM) < ∞ x

n
1
1
, . . . , x
n
d
d
M
M
i
∩ (x
d
i
+1
, . . . , x
d
)M = 0 (x
n
d
i
+1
d
i
+1
, . . . , x
n
d
d
) ⊆ (x
d

i
+1
, . . . , x
d
) i =
0, 1, . . . , t − 1 M
i
∩(x
n
d
i
+1
d
i
+1
, . . . , x
n
d
d
)M = 0 (x
n
1
1
, . . . , x
n
d
d
)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên
F n

1
, . . . , n
d
iv) (x
1
, . . . , x
d
) D
D : D
0
⊂ D
1
⊂ . . . ⊂ D
t
= M,
dim D
i
= d
i
, i = 0, 1, . . . , t F
F : M
0
⊂ M
1
⊂ . . . ⊂ M
t

= M,
dim M
j

= d
j
, j = 0, 1, . . . , t

(ii) M
j
D
i
M
j
⊆ D
i
d
j
= d
i
D
i
∩ (x
d
i
+1
, . . . , x
d
)M = 0 M
j
∩
(x
d
j

+1
, . . . , x
d
)M = 0 (x
1
, . . . , x
d
)
F
D : D
0
⊂ D
1
⊂ . . . ⊂ D
t
= M x =
x
1
, . . . , x
d
M d
i
= dim M
i
x
1
, . . . , x
d
i
D

i
D
i
= 0 : x
j
d
i
< j < d
i+1
, i =
0, 1, . . . , t −1
D
i
∩ (x
d
i
+1
, . . . , x
d
)M = 0 (x
d
i
+1
, . . . , x
d
)D
i
= 0
l(D
i

/(x
1
, . . . , x
i
)D
i
) = l(D
i
/(x
1
, . . . , x
d
)D
i
) < ∞
(x
1
, . . . , x
d
i
) D
i
D
0
⊂ D
1
⊂ . . . ⊂
D
i
D

i
(x
1
, . . . , x
d
i
) D
i
x
j
D
i
⊆ D
i
∩ (x
d
i
+1
, . . . , x
d
)M = 0 j > d
i
, i = 0, . . . , t
D
i
⊆ 0 :
M
x
j
j > d

i
0 :
M
x
j
⊆ D
i
d
i
< j ≤ d
i+1
0 :
M
x
j
 D
i
s
0 :
M
x
j
 D
s−1
i + 1 ≤ s ≤ t 0 :
M
x
j
⊆ D
s

0 :
M
x
j
= 0 :
D
s
x
j
d
s
≥ d
i+1
≥ j x
j
D
s
dim(0 :
M
x
j
) < d
s
D
s−1
0 :
M
x
j
⊆ D

s−1
s 0 :
M
x
j
⊆ D
i
d
i
< j ≤ d
i+1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên
M
D : D
0
⊂ D
1
⊂ . . . ⊂ D
t
= M M
dim D
i
= d
i
M 0 =

p∈Ass(M)
N(p) D
i
=


dim(R/p)≥d
i+1
N(p) N
i
=

dim(R/p)≤d
i
N(p) D
i
∩ N
i
= 0
D
i
= D
i
/D
i
∩ N
i
 (D
i
+ N
i
)/N
i
⊆ M/N
i

,
dim M/N
i
≥ dim D
i
= d
i
N
i
Ass(M/N
i
) = {P ∈ Ass(M)|dim R/P ≤ d
i
},
dim M/N
i
= d
i
x = x
1
, . . . , x
d
x
d
i
+1
, . . . , x
d
∈ Ann(M/N
i

),
i = 0, 1, . . . , t − 1
i = t − 1 dim M/N
t−1
= d
t−1
< d
(x
d
t−1
+1
, . . . , x
d
) M x
d
t−1
+1
, . . . , x
d
∈
Ann(M/N
t−1
)
i = t − 2 (x
d
t−1
+1
, . . . , x
d
)M ⊆ N

t−1
⊆ N
t−2
M
1
=
M/(x
d
t−1
+1
, . . . , x
d
)M N
1
= N
t−2
/(x
d
t−1
+1
, . . . , x
d
)M dim M
1
/N
1
= dim M/N
t−2
= d
t−2

< d
t−1
= dim M
1
x
d
t−2
+1
, . . . , x
d
t−1
M
1
x
d
t−2
+1
, . . . , x
d
t−1
∈
Ann(M
1
/N
1
) = Ann(M/N
t−2
) x
d
t−2

+1
, . . . , x
d
M x
d
t−2
+1
, . . . , x
d
∈ Ann(M/N
t−2
) t
x x
d
i
+1
, . . . , x
d
∈ Ann(M/N
i
), i =
0, . . . , t −1 (x
d
i
+1
, . . . , x
d
)M ∩ D
i
⊆ N

i
∩ D
i
= 0 x
M
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên
F : M
0
⊂ M
1
⊂ . . . ⊂ M
t
= M
F
F : M
0
⊂ M
1
⊂ . . . ⊂ M
t
= M
dim M
i
= d
i
, x = x
1
, . . . , x
d
F

x
1
, . . . , x
d
i
M
i
I
F,M
(x) = l(M/xM) −
t

i=0
e(x
1
, . . . , x
d
i
, M
i
),
e(x
1
, . . . , x
d
i
, M
i
) e(x
1

, . . . , x
d
0
, M
0
) = l(M
0
)
M
0
F M x =
x
1
, . . . , x
d
F I
F,M
(x) ≥ 0
F/x
d
F : (M
0
+ x
d
M)/x
d
M ⊂ . . . ⊂ (M
s
+ x
d

M)/x
d
M ⊂ M/x
d
M,
s = t − 1 d
t−1
< d − 1 s = t − 2 d
t−1
= d − 1
(M
i
+ x
d
M)/x
d
M  M
i
/(M
i
∩ x
d
M)
M
i
∩ x
d
M = 0 (M
i
+ x

d
M)/x
d
M  M
i
i ≤ s x

=
x
1
, . . . , x
d−1
; M = M/(x
1
, . . . , x
d−1
)M l(M/xM) = l(M/x
d
M)
M
i
∩ (x
d
i
+1
, . . . , x
d
)M/x
d
M = 0 F/x

d
F
x

M/x
d
M F/x
d
F
I
F/x
d
F,M/x
d
M
(x

) = l(M/xM) − e(x

, M/x
d
M) −
s

i=0
e(x
1
, , x
d
i

, M
i
)
= l(M/xM) −e(x, M) −e(x

, 0 :
M
x
d
) −
s

i=0
e(x
1
, , x
d
i
, M
i
).
d
t−1
< d −1 I
F,M
(x) −I
F/x
d
F,M/x
d

M
(x

) = e(x

, 0 :
M
x
d
) ≥ 0
d
t−1
= d − 1 M
t−1
∩ x
d
M M
t−1
⊆ 0 :
M
x
d
e(x

, M
t−1
) ≤
e(x

, 0 :

M
x
d
)
I
F,M
(x) − I
F/x
d
F,M/x
d
M
(x

) = e(x

, 0 :
M
x
d
) − e(x

, M
t−1
) ≥ 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên
d I
F,M
(x) ≥ 0
x = x

1
, . . . , x
d
F I
F,M
(x) ≥
I
F/x
d
F,M/x
d
M
(x
1
, . . . , x
d−1
)
x
(n) = x
n
1
1
, . . . , x
n
d
d
I
F,M
(x(n)) n
1

, . . . , n
d
F : M
0
⊂ M
1
⊂
. . . ⊂ M
t
= M x = x
1
, . . . , x
d
F
I
F,M
(x(n)) I
F,M
(x(n)) ≤ I
F,M
(x(m))
n
1
≤ m
1
, . . . , n
d
≤ m
d
I

F,M
(x(n))
n
i
≤ m
i
, i = 1, . . . , d
I
F,M
(x
n
1
1
, x
n
2
2
, . . . , x
n
d
d
) ≤ I
F,M
(x
m
1
1
, x
n
2

2
, . . . , x
n
d
d
) ≤
I
F,M
(x
m
1
1
, x
m
2
2
, . . . , x
n
d
d
) ≤ . . . ≤ I
F,M
(x
m
1
1
, x
m
2
2

, . . . , x
m
d
d
).
I
F,M
(x
1
, . . . , x
n
r
, . . . , x
d
)
n r ∈ {1, 2, . . . , d} x(n) = x
1
, . . . , x
n
r
, . . . , x
d
I
F,M
(x(n + 1)) − I
F,M
(x(n)) = l(M/x(n + 1)M) − l(M/x(n)M)
−

d

i
≥r
e(x
1
, . . . , x
d
i
, M
i
).
l(M/x(n + 1)M) −l(M/x(n)M) = χ
1
(x
n+1
r
, M

) −χ
1
(x
n
r
, M

)+e(x
r
, M

)
≥ e(x

r
, M

),
M

= M/(x
1
, . . . , x
r−1
, x
r+1
, . . . , x
d
)M
I
F,M
(x(n + 1)) − I
F,M
(x(n)) ≥ e(x
r
, M

) −

d
i
≥r
e(x
1

, . . . , x
d
i
, M
i
).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên
e(x
r
, M/(x
1
, . . . , x
r
, . . . , x
d
)M) = lim
n
1
n
l(M/(x
1
, . . . , x
r
n
, . . . , x
d
)M)
≥ lim
n
1

n
t

i=0
e(x
1
, . . . , x
n
r
, . . . , x
d
i
, M
i
)
=

d
i
≥r
e(x
1
, . . . , x
r
, . . . , x
d
i
, M
i
).

I
F,M
(x(n + 1)) ≥ I
F,M
(x(n))
F : M
0
⊂ M
1
⊂ . . . ⊂ M
t
= M
x = x
1
, . . . , x
d
F
dim M
i
= d
i
, i = 0, 1, . . . , t
I
F,M
(x) ≤
t

i=1
I
M

i
/M
i−1
(x
1
, . . . , x
d
i
).
x
1
, . . . , x
d
t−1
M
t−1
F

: M
0
⊂ M
1
⊂ . . . ⊂ M
t−1
0 −→ M/(M
t−1
+ xM) −→ M/xM −→ (M
t−1
+ xM)/xM −→ 0.
(M

t−1
+ xM)/xM  M
t−1
/(M
t−1
∩ xM)
l(M/xM) = l(M/(M
t−1
+ xM)) + l(M
t−1
/(M
t−1
∩ xM))
≤ l(M/(M
t−1
+ xM)) + l(M
t−1
/(x
1
, . . . , x
d
t−1
)M
t−1
).
e(x, M) = e(x, M/M
t−1
) + e(x, M
t−1
)

I
F,M
(x) = l(M/xM) − e(x, M) −
t−1

i=0
e(x
1
, . . . , x
d
i
, M
i
)
≤ I
M/M
t−1
(x) + I
F

,M
t−1
(x
1
, . . . , x
d
t−1
).
t
I

F,M
(x) ≤
t

i=1
I
M
i
/M
i−1
(x
1
, . . . , x
d
i
).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên
M
D : D
0
⊂ D
1
⊂ . . . ⊂ D
t
= M D
i
/D
i−1
i = 1, 2, . . . , t
M

D : D
0
⊂ D
1
⊂ . . . ⊂ D
t
= M d
i
= dim D
i
x = x
1
, . . . , x
d
M
I
D,M
(x(n)) = 0 n
1
, . . . , n
d
x
M
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên
x
1
, . . . , x
d
i
M/D

i−1
i = 1, . . . , t
depth(M/D
i−1
) = d
i
, i = 1, . . . , t
(x
1
, . . . , x
i
)M : x
2
j
= (x
1
, . . . , x
i
)M + 0 :
M
x
j
, 0 ≤ i < j ≤ d.
(x
n
1
1
, . . . , x
n
i

i
)M : x
n
i+1
i+1
= (x
n
1
1
, . . . , x
n
i
i
)M + 0 :
M
x
i+1
,
n
1
, . . . , n
d
> 0 i = 0, 1, . . . , d − 1
0 ≤ I
D,M
(x) ≤
t

i=1
I

D
i
/D
i−1
(x
1
, . . . , x
d
i
).
D
i
/D
i−1
x
1
, . . . , x
d
i
I
D
i
/D
i−1
(x
1
, . . . , x
d
i
) = 0 I

D,M
(x) = 0 l(M/xM) =
t

i=0
e(x
1
, . . . , x
d
i
, D
i
) x
n
1
1
, . . . , x
n
d
d
M I
D,M
(x(n)) = 0
l(M/x(n)M) =
t

i=0
n
1
. . . n

i
e(x
1
, . . . , x
d
i
, D
i
).
x
1
, . . . , x
d
M
x
1
, . . . , x
d
i
D
i
l((D
i
/D
i−1
)/(x
1
, . . . , x
d
i

)(D
i
/D
i−1
)) = l(D
i
/[(x
1
, . . . , x
d
i
)D
i
+ D
i−1
])
≤ l(D
i
/(x
1
, . . . , x
d
i
)D
i
) < ∞,
d
i
= dim D
i

= max{dim D
i−1
, dim(D
i
/D
i−1
)} = dim(D
i
/D
i−1
)
dim D
i−1
< dim D
i
x
1
, . . . , x
d
i
D
i
/D
i−1
D
i
/D
i−1
x
1

, . . . , x
d
i
D
i
/D
i−1
i = 1, . . . , t i
x
1
, . . . , x
d
i+1
M/D
i
H
j
(x
1
, . . . , x
d
i
, D
i
/D
i−1
) = H
j
(x
1

, . . . , x
d
i
, M/D
i
) = 0 j ≥ 0
0 −→ D
i
/D
i−1
−→ M/D
i−1
−→ M/D
i
−→ 0,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên
. . . −→ H
j
(x
1
, . . . , x
d
i
, D
i
/D
i−1
) −→ H
j
(x

1
, . . . , x
d
i
, M/D
i−1
)
−→ H
j
(x
1
, . . . , x
d
i
, M/D
i
) −→ . . . ,
H
j
(x
1
, . . . , x
d
i
, M/D
i−1
) = 0 j > 0 x
1
, . . . , x
d

i
M/D
i−1
(ii) depth M/D
i−1
≥ d
i
, i = 1, 2, . . . , t
. . . −→ H
j−1
m
(M/D
i
) −→ H
j
m
(D
i
/D
i−1
) −→ H
j
m
(M/D
i−1
)
−→ H
j
m
(M/D

i
) −→ . . .
j < d
i+1
, depth M/D
i
≥ d
i+1
> j > j − 1
H
j−1
m
(M/D
i
) = H
j
m
(M/D
i
) = 0
H
j
m
(D
i
/D
i−1
)  H
j
m

(M/D
i−1
), j < d
i+1
dim D
i
/D
i−1
= depth D
i
/D
i−1
= d
i
H
d
i
m
(D
i
/D
i−1
)  H
d
i
m
(M/D
i−1
) = 0
depth M/D

i−1
≥ d
i
depth M/D
i−1
= d
i
d
s
< i < j ≤ d
s+1
x M
x(n) = x
n
1
1
, . . . , x
n
d
d
M
n
1
, . . . , n
d
(ii) (x
1
, . . . , x
i
, x

n
i+1
i+1
, . . . , x
n
j−1
j−1
, x
j
, . . . , x
d
s+1
)
M/D
s
(x
1
, . . . , x
i
, x
n
i+1
i+1
, . . . , x
n
j−1
j−1
)M/D
s
: x

2
j
= (x
1
, . . . , x
i
, x
n
i+1
i+1
, . . . , x
n
j−1
j−1
)M/D
s
n
i+1
, . . . , n
j−1

n
i+1
, ,n
j−1
(x
1
, . . . , x
n
j−1

j−1
)(M/D
s
) : x
2
j
=

n
i+1
, ,n
j−1
(x
1
, . . . , x
n
j−1
j−1
)(M/D
s
).
(x
1
, . . . , x
i
)(M/D
s
) : x
2
j

= (x
1
, . . . , x
i
)(M/D
s
)
[(x
1
, . . . , x
i
)M + D
s
] : x
2
j
= (x
1
, . . . , x
i
)M + D
s
.
[(x
1
, . . . , x
i
, )M + D
s
] : x

2
j
⊇ (x
1
, . . . , x
i
)M : x
2
j
⊇ (x
1
, . . . , x
i
)M + 0 :
M
x
j
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên
D
s
= 0 :
M
x
j
(x
1
, . . . , x
i
)M : x

2
j
= (x
1
, . . . , x
i
)M + 0 :
M
x
j
.
x
1
, . . . , x
d
M x
n
1
1
, . . . , x
n
d
d
M n
1
, . . . , n
d
(iv)
D : D
0

⊂ D
1
⊂ . . . ⊂ D
t
= M M
d
i
= dim D
i
x = x
1
, . . . , x
d
x
M D
i
= 0 :
M
x
d
i
+1
i = 0, 1, . . . , t − 1
d D
0
= H
0
m
(M) = 0 :
M

x
1
d = 1 d > 1 x
x(n) = x
n
1
1
, . . . , x
n
d
d
n
1
, . . . , n
d
D
t−1
= 0 :
M
x
d
= 0 :
M
x
n
d
d
n
d
> 0

D
t−1
∩ x
n
d
d
M = 0 ξ ∈ D
t−1
∩ x
n
d
d
M ξx
d
= 0 ξ = x
n
d
d
η
η M x
n
d
+1
d
η = 0 η ∈ 0 :
M
x
n
d
+1

d
= 0 :
M
x
d
ξ = ηx
d
= 0 D
i
∩ x
n
d
d
M = 0 i = 0, . . . , t −1 n
d
> 0
(D
i
+ x
n
d
d
M)/x
n
d
d
M  D
i
, i = 0, 1, . . . , t − 1,
dim(D

i
+ x
n
d
d
)/x
n
d
d
M = d
i
, n
d
> 0 d
t−1
< d − 1
i < t − 1 R D
M/x
n
d
d
M (D
i
+ x
n
d
d
M)/x
n
d

d
M ⊆ D dim D = d
i
M/x
n
d
d
M x
1
, . . . , x
d−1
dim D =
d
i
dim(D
i
+ x
n
d
d
M)/x
n
d
d
M = d
i
< d − 1
D = (0 : x
d
i

+1
)
M/x
n
d
d
M
D
i
+ x
n
d
d
M ⊆ x
n
d
d
M : x
d
i
+1
D
i
=

n
(D
i
+ x
n

d
d
M) ⊆

n
(x
n
d
d
M : x
d
i
+1
) = 0 :
M
x
d
i
+1
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên