Môđun cohen - macaulay dãy .pdf

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
----------------




NGUYỄN THỊ NHUNG





MÔĐUN COHEN - MACAULAY DÃY


Chuyên ngành : Đại số và Lý thguyết số
Mã số : 60 46 05



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC


NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS. TSKH. NGUYỄN TỰ CƯỜNG

THÁI NGUYÊN - 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
----------------




NGUYỄN THỊ NHUNG







MÔĐUN COHEN - MACAULAY DÃY






LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2010
▼ô❝ ❧ô❝
▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷
✶ ▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ ✺
✶✳✶ ▲ý t❤✉②Õt ❜é✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺
✶✳✷ ➜è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻
✶✳✸ ▼➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥ ✲ ▼❛❝❛✉❧❛② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼
✷ ❞❞✲ ❉➲②✱ ❧ä❝ ❝❤✐Ò✉ ✈➭ ❤Ö t❤❛♠ sè tèt ✶✵
✷✳✶ ❈➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❞❞ ✲ ❞➲② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵
✷✳✷ ▲ä❝ t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤✐Ò✉ ✈➭ ❤Ö t❤❛♠ sè tèt ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷
✸ ▼➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥ ✲ ▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲② ✷✵
✸✳✶ ▼➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥ ✲ ▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵
✸✳✷ ➜➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥ ✲ ▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻
❑Õt ❧✉❐♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✼
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽
✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên

ờ ó
ứ trú ủ t q ứ tí t ủ
ộ ị ở ộ t q ột ệ t số ó
ứ q trọ tr số ừ ữ

ủ tế ỷ trớ rr ỉ r ó tể ù ứ s ể tí ộ ủ
ột ố ớ ột ệ t số từ ó r ố ệ ữ ộ
số ộ ớ ộ ủ ố ồ ề s ố ệ
ó ợ tế tụ ứ tr trì ủ srs
t ế ữ ết q trở t
tr số ét (R, m) ị
tr ớ ự m M ột R ữ s ó ề
dim M = d ý ệ x = x
1
, x
2
, . . . , x
d
m ột ệ t số ủ M
ó t ó l(M/xM) e(x, M) tr ó l() ộ e(x, M)
số ộ ủ M ố ớ ệ t số x r tì M ợ ọ
ó tể ó ột tr
ữ trú ợ ứ ỹ ó ề ứ ụ t tr số

ột ở rộ tự ủ
í t ợ ớ tệ ở
t ữ s ó ờ
P ứ ớ tr ị
ọ M ế tồ t ột ọ D : D
0
D
1

. . . D
t

= M ủ M s l(D
0
) < ỗ t
D
i
/D
i1

0 < dim(D
1
/D
0
) < dim(D
2
/D
1
) < . . . < dim(D
t
/D
t1
) = d.
ế M tì M ũ
ớ ọ 0 = D
0
D
1
= M ột ọ D ủ M ợ ọ ọ ề
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
✸
❝ñ❛ M ♥Õ✉ D

i−1
❧➭ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❧í♥ ♥❤✃t ❝ñ❛ D
i
✈í✐ dim D
i−1
< dim D
i
, i =
1, 2, . . . , t✱ D
0
= H
0
m
(M) ❧➭ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ t❤ø ❦❤➠♥❣ ❝ñ❛
M ➤è✐ ✈í✐ m✳ ◆Õ✉ t = 1 tr♦♥❣ ❧ä❝ ❝❤✐Ò✉ D ë tr➟♥✱ ❦❤✐ ➤ã M ❧➭ ❈♦❤❡♥✲
▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲② ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ l
R
(D
0
) < ∞ ✈➭ D
1
/D
0
❧➭ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②
✈➭ tõ ➤Þ♥❤ ❧ý ✈Ò sè ❜é✐ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ♥➭② M ❧➭ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲② ♥Õ✉
✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ❤Ö t❤❛♠ sè x = x
1
, . . . , x
d
❝ñ❛ M s❛♦ ❝❤♦ l(M/xM) =

l
R
(D
0
) + e(x, D
1
)✳ ❈❤♦ D ❧➭ ❧ä❝ ❝❤✐Ò✉ ❝ñ❛ M ✈í✐ dim D
i
= d
i
✈➭ x =
x
1
, . . . , x
d
❧➭ ❤Ö t❤❛♠ sè ❝ñ❛ M s❛♦ ❝❤♦ D
i
∩ (x
d
i
+1
, . . . , x
d
)M = 0, i =
0, 1, . . . , t− 1 ✭ ❤Ö t❤❛♠ sè ♥❤➢ ✈❐② ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤Ö t❤❛♠ sè tèt ❝ñ❛ M✮✳ ▼ét
❝➞✉ ❤á✐ tù ♥❤✐➟♥ ➤➷t r❛ ❧✐Ö✉ ❝➳❝ ♠Ö♥❤ ➤Ò s❛✉ ➤➞② ❝ß♥ ➤ó♥❣ ❦❤➠♥❣✿
✶✳ M ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲② ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐ ❤Ö t❤❛♠ sè tèt
x = x
1
, . . . , x

d
❝ñ❛ M✱ l(M/xM) =
t

i=0
e(x
1
, . . . , x
d
i
, D
i
)❄
✷✳ M ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲② ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ♠ét ❤Ö t❤❛♠
sè tèt x = x
1
, . . . , x
d
❝ñ❛ M s❛♦ ❝❤♦ l(M/xM) =
t

i=0
e(x
1
, . . . , x
d
i
, D
i
)❄

▼ô❝ ➤Ý❝❤ ❝❤Ý♥❤ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ❧➭ tr×♥❤ ❜➭② ❧➵✐ ♥❤÷♥❣ ❦Õt qñ❛ ❝❤Ý♥❤ ❝ñ❛
◆✳ ❚✳ ❈➢ê♥❣ ✈➭ ➜✳ ❚✳ ❈➢ê♥❣ ❬✺❪ ✈Ò ➤➷❝ tr➢♥❣✱ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲
▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲② t❤➠♥❣ q✉❛ ❤Ö t❤❛♠ sè tèt✱ q✉❛ ➤ã tr➯ ❧ê✐ trä♥ ✈Ñ♥ ❝❤♦ ❤❛✐ ❝➞✉
❤á✐ tr➟♥✳
▲✉❐♥ ✈➝♥ ❜❛♦ ❣å♠ ✸ ❝❤➢➡♥❣✳ ❚r♦♥❣ ❈❤➢➡♥❣ ✶✱ tr➢í❝ ❤Õt ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤
❜➭② ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ së ♥❤➢ ❧ý t❤✉②Õt ❜é✐✱ tÝ♥❤ tr✐Öt t✐➟✉ ❝ñ❛ ➤è✐ ➤å♥❣
➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✱ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲ ▼❛❝❛✉❧❛②✳ ❈❤ó♥❣ ❧➭ ♥❤÷♥❣ ❝➠♥❣ ❝ô ❝➡ ❜➯♥
❝❤♦ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ➤➢î❝ tr×♥❤ ❜➭② tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳
❈❤➢➡♥❣ ✷ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❞✲❞➲②✱ ❞❞✲❞➲②✱ ❧ä❝ t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥
❝❤✐Ò✉ ✈➭ ❤Ö t❤❛♠ sè tèt tr♦♥❣ ❬✹❪✱ ❬✻❪✳ ❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ♥➭② ➤ã♥❣ ✈❛✐ trß
q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ ❝➳❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ✈➭ ❝❤➢➡♥❣ s❛✉✳ ❚✐Õ♣ t❤❡♦
❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② sù tå♥ t➵✐ ❤Ö t❤❛♠ sè tèt ❝ñ❛ M ✈➭ ❤✐Ö✉ I
D,M
(x) =
l(M/xM)−
t

i=0
e(x
1
, . . . , x
d
i
, M
i
) ❧✉➠♥ ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ➤å♥❣ ❜✐Õ♥ ❦❤➠♥❣ ➞♠✱ ❦❤✐
①Ðt I
D,M
(x(n)) ♥❤➢ ♠ét ❤➭♠ t❤❡♦ n
1

, . . . , n
d
t❤× ❤➭♠ ♥➭② ❧➭ ➤å♥❣ ❜✐Õ♥✳
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên

q trọ t ủ r
ú t ứ tr ị
P trì tí t q ệ
t số tốt P tế t r tr
ị ú ỏ tứ t ớ ỏ
tứ ú t ỉ r M ế ỉ ế
tồ t ệ t số tốt x = x
1
, . . . , x
d
ủ M s l(M/(x
2
1
, . . . , x
2
d
)M) =
t

i=0
2
d
i
e(x
1

, . . . , x
d
i
, D
i
) ú t ỉ r ết q tốt t ó tể ồ
tờ ứ ụ ể tr ợ ớ ỉ
ợ t ớ sự ớ t tì
ủ ễ ự ờ ị t tỏ ò ết
s s tớ t
tỏ ò ết P ễ
ố P ị P ố
ễ ị t tì ú t ự ữ ế tứ
sở
ị ớ ọ ổ ũ ộ
t tr q trì
ố ù t tỏ ò ết tớ ữ ờ t tr ì
t ự ộ ề t t t t t ể t t

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
❈❤➢➡♥❣ ✶
▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ
❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t❛ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét sè ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✈➭ ❦Õt q✉➯ ❝➬♥ t❤✐Õt
sÏ ➤➢î❝ sö ❞ô♥❣ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥✿ ❧ý t❤✉②Õt ❜é✐ ❬✸❪✱ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣
❬✷❪❀ ❬✸❪✱ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❬✸❪✳
✶✳✶ ▲ý t❤✉②Õt ❜é✐
❚r➢í❝ ❦❤✐ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❤Ö ❜é✐✱ t❛ ❝ã ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ s❛✉✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✳ ❈❤♦ (R, m) ❧➭ ✈➭♥❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✱ ◆♦❡t❤❡r✱ M ❧➭ ♠ét R✲
♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✱ dim M = d✳ ▼ét ❤Ö ♣❤➬♥ tö x = x
1

, . . . , x
r
❝ñ❛ R
s❛♦ ❝❤♦ l
R
(M/xM) < +∞ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤Ö ❜é✐ ❝ñ❛ M✳ ❑❤✐ ➤ã ❦Ý ❤✐Ö✉ ❜é✐
e(x, M) ❝ñ❛ M ➤è✐ ✈í✐ ❤Ö ❜é✐ x ➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ q✉② ♥➵♣ t❤❡♦ r ♥❤➢ s❛✉✿
♥Õ✉ r = 0 t❤× l
R
(M) < +∞✱ ➤➷t e(∅, M) = l
R
(M) ✈➭ ♥Õ✉ r ≥ 1 t❤× ➤➷t
0 :
M
x
1
= {m ∈ M | mx
1
= 0}✳ ❉Ô t❤✃② x
2
, . . . , x
r
❧➭ ❤Ö ❜é✐ ❝ñ❛ 0 :
M
x
1
✳
➳♣ ❞ô♥❣ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣ ❝❤♦ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ M/x
1
M ✈➭ 0 :

M
x
1
✱ t❛ ❝ã
e(x
, M) = e(x
2
, . . . , x
r
, M/x
1
M) − e(x
2
, . . . , x
r
; 0 :
M
x
1
).
❇é✐ e(x, M) ❝ã ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ s❛✉ ➤➞②✿
❈❤ó ý ✶✳✶✳✷✳ ✐✮ ❈❤♦ 0 −→ M

−→ M −→ M” −→ 0 ❧➭ ❞➲② ❦❤í♣ ❝➳❝ R✲
♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ✈➭ x ❧➭ ❤Ö ❜é✐ ❝ñ❛ M✳ ❑❤✐ ➤ã
e(x, M) = e(x, M

) + e(x, M”).
✺
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên

✻
✐✐✮ ❱í✐ ♠ä✐ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ n
1
, . . . , n
r
✳ ❑❤✐ ➤ã
e(x
n
1
1
, . . . , x
n
r
r
; M) = n
1
. . . n
r
e(x, M).
❇æ ➤Ò s❛✉ ➤➢î❝ sö ❞ô♥❣ ♥❤✐Ò✉ ❝❤♦ ✈✐Ö❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝➳❝ ❦Õt qñ❛ ❝ñ❛ ❝❤➢➡♥❣
t✐Õ♣ t❤❡♦✳
❇æ ➤Ò ✶✳✶✳✸✳ ❬✽✱ ❇æ ➤Ò ▲➟❝❤ ✶✹✳✶✷❪ ❈❤♦ (R, m) ❧➭ ✈➭♥❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✱ ◆♦❡t❤❡r
❝ã ❝❤✐Ò✉ d✱ M ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✱ ✈➭ x
1
, . . . , x
d
❧➭ ❤Ö t❤❛♠ sè ❝ñ❛ R✱
q = (x
1
, . . . , x

d
) ❧➭ ✐➤➟❛♥ s✐♥❤ ❜ë✐ ❤Ö ♥➭②✳ ❑❤✐ ➤ã
e(q, M) = lim
min(v
i
)→∞
l(M/(x
v
1
1
, . . . , x
v
d
d
)M
v
1
. . . v
d
.
✶✳✷ ➜è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣
❚r➢í❝ ❤Õt ❝❤ó♥❣ t➠✐ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ M✳ ❈❤♦
(R, m) ❧➭ ✈➭♥❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✱ M ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✱ x = x
1
, . . . , x
r
❧➭ ❞➲②
♣❤➬♥ tö ❝ñ❛ R✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳✶✳ x ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ❝ñ❛ M ♥Õ✉ (x
1

, . . . , x
r
)M =
M ✈➭ x
i
❦❤➠♥❣ ❧➭ ➢í❝ ❝ñ❛ ❦❤➠♥❣ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ M/(x
1
, . . . , x
i−1
)M, i =
1, . . . , r
➜Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ➤➞② ♥ã✐ ✈Ò tÝ♥❤ tr✐Öt t✐➟✉ ✈Ò ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣
r✃t ❤÷✉ Ý❝❤ ❝❤♦ ✈✐Ö❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✷✳ ❬✸✱ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✸✳✺✳✼ ✭ ●r♦t❤❡♥❞✐❡❝❦✮❪ ❈❤♦ (R, m) ❧➭ ✈➭♥❤ ➤Þ❛
♣❤➢➡♥❣ ◆♦❡t❤❡r✱ M ❧➭ R ✲ ♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✱ depth M = t, dim M = d✳
❑❤✐ ➤ã
✐✮ H
i
m
(M) = 0 ✈í✐ i < t, i > d✳
✐✐✮ H
t
m
(M) = 0 ✈➭ H
d
m
(M) = 0✳
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên

r ụ trì ệ t số ột số tí t ủ ó
rớ t t ó ị ĩ s
ị ĩ (R, m) ị tr M R
ữ s dim M = d ó ệ ồ d tử x = x
1
, . . . , x
d
m
ệ t số ế l(M/xM) <
x = x
1
, . . . , x
d
m ột ệ t số q = (x
1
, . . . , x
d
)
s ở ệ ó q ọ t số ủ M
x ệ t số t ó ệ ề s
ệ ề ị ý (R, m) ị tr
M R ữ s x
1
, . . . , x
r
m ó
dim M/(x
1
, . . . , x
i

)M dim M i.
r ỉ x
1
, . . . , x
r
ệ t số ủ M
ổ ề M ữ s ó tử x m ột
tử t số ủ M ế ỉ ế x / P ớ ọ P Ass(M) s
dim R/P = d
ứ sử x tử t số ủ M tì ớ ọ n
x
n
ũ tử t số ủ M ó dim(M/x
n
M) = d 1
dim(x
n
M) = d ì dim M = max{dim(M/x
n
M); dim(x
n
M)} ọ N
ớ t ủ M ó ề ỏ d ó x
n
M N ớ ọ n
ó Supp(M/N) = Var(Ann(M/N)

Ann(M/N) =

PSupp(M/N)

P t t ó Ass(M/N) Supp(M/N)
Min(Ass(M/N)) = Min(Supp(M/N)) r
x /

Ann(M/N) =

PAss(M/N)
P.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
✽
❚❤❡♦ ❬✷✱ ❇æ ➤Ò ✼✳✸✳✶❪✱ N ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t
Ass(M/N) = {P ∈ Ass(M)| dim R/P = d}.
❙✉② r❛ x /∈ P ✈í✐ ♠ä✐ P ∈ Ass(M) t❤♦➯ ♠➲♥ dim R/P = d✳ ➜➯♦ ❧➵✐ t❛
❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜➺♥❣ ♣❤➯♥ ❝❤ø♥❣✳ ●✐➯ sö x /∈ P ✈í✐ ♠ä✐ P ∈ Ass(M) t❤♦➯ ♠➲♥
dim R/P = d ✈➭ dim M/xM = d✳ ❙✉② r❛ tå♥ t➵✐ P ∈ Ass(M/xM) s❛♦ ❝❤♦
dim R/P = d✳ ❱× P = 0 :
M
η +xM ✈í✐ ♣❤➬♥ tö η ♥➭♦ ➤ã ❝ñ❛ M ♥➟♥ x ∈ P
➤✐Ò✉ ♥➭② ♠➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ ❣✐➯ t❤✐Õt✳ ❉♦ ➤ã dim M/xM < d ♥➟♥ t❤❡♦ ▼Ö♥❤ ➤Ò
✶✳✸✳✷ t❛ ❝ã dim M/xM = d − 1 ✈➭ x ❧➭ ♣❤➬♥ tö t❤❛♠ sè ❝ñ❛ M✳
❇æ ➤Ò ✶✳✸✳✹✳ ❈❤♦ N ❧➭ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ M✳ ❑❤✐ ➤ã ♥Õ✉ dim(M/N) < d
t❤× tå♥ t➵✐ x ❧➭ ♣❤➬♥ tö t❤❛♠ sè ❝ñ❛ M s❛♦ ❝❤♦ x ∈

Ann(M/N)✳ ❍➡♥ ♥÷❛
♥Õ✉ dim(M/N) = d− t < d t❤× tå♥ t➵✐ t ♣❤➬♥ tö t❤❛♠ sè x
1
, . . . , x
t
❝ñ❛ M
s❛♦ ❝❤♦ x

1
, . . . , x
t
∈ Ann(M/N)✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚õ

Ann(M/N) =

P∈Ass(M/N)
P ✈➭ ❇æ ➤Ò ✶✳✸✳✸ tå♥ t➵✐
♣❤➬♥ tö x ∈

P∈Ass(M/N)
P ♠➭ x /∈

Q∈Ass(M),dim R/Q=d
Q✳ ●✐➯ sö ♥❣➢î❝
❧➵✐

P∈Ass(M/N)
P ⊆

Q∈Ass(M),dim R/Q=d
Q✳ ❚❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý tr➳♥❤ ♥❣✉②➟♥ tè
tå♥ t➵✐ P ∈ Ass(M/N) ✈➭ Q ∈ Ass(M) ✈í✐ dim R/Q = d s❛♦ ❝❤♦ P ⊆ Q✳
❙✉② r❛ dim R/P = d✳ ➜✐Ò✉ ♥➭② ♠➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ dim M/N < d✱ s✉② r❛ ❦❤➻♥❣
➤Þ♥❤ t❤ø ♥❤✃t ➤ó♥❣✳ ●✐➯ sö dim(M/N) = d − t < d✱ t❤❡♦ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤
tr➟♥ tå♥ t➵✐ x
1
❧➭ ♣❤➬♥ tö t❤❛♠ sè ❝ñ❛ M s❛♦ ❝❤♦ x

1
∈ Ann(M/N)✳ ❙✉② r❛
x
1
M ⊆ N✳ ❱í✐ t = 1 ➤➲ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ë tr➟♥✳ ❱í✐ t > 1✱ ➤➷t M
1
= M/x
1
M
✈➭ N
1
= N/x
1
M✳ ❚❛ ❝ã
dim M
1
/N
1
= dim M/N = d − t < d − 1 = dim M
1
.
❙✉② r❛ tå♥ t➵✐ x
2
❧➭ ♣❤➬♥ tö t❤❛♠ sè ❝ñ❛ M
1
s❛♦ ❝❤♦ x
2
∈ Ann(M
1
/N

1
) =
Ann(M/N)✳ ❚❛ ❝ã
dim M/(x
1
, x
2
)M = dim M
1
/x
2
M
1
= dim M
1
− 1 = d − 2.
❉♦ ➤ã x
1
, x
2
❧➭ ♠ét ♣❤➬♥ ❤Ö t❤❛♠ sè ❝ñ❛ M ✈➭ x
1
, x
2
∈ Ann(M/N)✱ s✉②
r❛ (x
1
, x
2
)M ⊆ N✳ ◆Õ✉ d − t < d − 2 t❤× ➤➷t M

2
= M/(x
1
, x
2
)M✱ N
2
=
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên
✾
N/(x
1
, x
2
)M ✈➭ ❧ý ❧✉❐♥ t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ M
1
, N
1
✳ ❇➺♥❣ q✉② ♥➵♣ t➵✐ ❜➢í❝ t❤ø
k✱ 1 ≤ k ≤ t − 1 tå♥ t➵✐ x
k+1
s❛♦ ❝❤♦ x
1
, . . . , x
k
, x
k+1
❧➭ ♠ét ♣❤➬♥ ❝ñ❛ ❤Ö
t❤❛♠ sè ❝ñ❛ M ✈➭ x
1

, . . . , x
k+1
∈ Ann(M/N)✳ ❱❐② t❛ ❝ã ➤✐Ò✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣
♠✐♥❤✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✸✳✺✳ ❈❤♦ (R, m) ❧➭ ✈➭♥❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✱ M ❧➭ R✲ ♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥
s✐♥❤✳ ❑❤✐ ➤ã M ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥ ✲ ▼❛❝❛✉❧❛② ♥Õ✉ dim M = depth M✳
❚✐Õ♣ t❤❡♦ ❧➭ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②✳
▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✸✳✻✳ ❬✸✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ✹✳✹✳✻✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ✹✳✻✳✶✵❪ ❈➳❝ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ s❛✉ ❧➭
t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿
✐✮ M ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②✳
✐✐✮ ❚å♥ t➵✐ ✐➤➟❛♥ t❤❛♠ sè q s❛♦ ❝❤♦ e(q, M) = l(M/qM)✳
✐✐✐✮ e(q, M) = l(M/qM) ✈í✐ ♠ä✐ ✐➤➟❛♥ t❤❛♠ sè q ❝ñ❛ M✳
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên
❈❤➢➡♥❣ ✷
❞❞✲ ❉➲②✱ ❧ä❝ ❝❤✐Ò✉ ✈➭ ❤Ö t❤❛♠ sè tèt
▼ô❝ ➤Ý❝❤ ❝ñ❛ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❞❞✲❞➲②✱ ❧ä❝ t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ò✉
❦✐Ö♥ ❝❤✐Ò✉✱ ❤Ö t❤❛♠ sè tèt ✈➭ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ♥➭②✳
❚r♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❧✉➠♥ ❣✐➯ t❤✐Õt (R, m) ❧➭ ✈➭♥❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✱ ◆♦❡t❤❡r✱
M ❧➭ R✲ ♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ❝ã ❝❤✐Ò✉ d✳
✷✳✶ ❈➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❞❞ ✲ ❞➲②
➜➬✉ t✐➟♥ t❛ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❞✲❞➲②✱ ❞✲❞➲② ♠➵♥❤✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✷✳✶✳✶✳ ❈❤♦ ♠ét ❞➲② ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö x = x
1
, . . . , x
r
∈ m✳ ❚❛ ❣ä✐
x ❧➭ ❞✲ ❞➲② ❝ñ❛ M ♥Õ✉ (x
1
, . . . , x
i−1

)M : x
j
= (x
1
, . . . , x
i−1
)M : x
i
x
j
✈í✐
♠ä✐ i = 1, . . . , r ✈➭ j ≥ i✳ ❑❤✐ ➤ã x
1
, . . . , x
r
❧➭ ♠ét ❞✲❞➲② ♠➵♥❤ ❝ñ❛ M ♥Õ✉
(x
n
1
1
, . . . , x
n
r
r
) ❧➭ ❞✲ ❞➲② ✈í✐ ♠ä✐ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ n
1
, . . . , n
r
✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✷✳✶✳✷✳ ▼ét ❞➲② ♥❤÷♥❣ ♣❤➬♥ tö x

1
, . . . , x
r
∈ m ❧➭ ❞❞✲❞➲② ❝ñ❛
M ♥Õ✉ (x
1
, . . . , x
i
) ❧➭ ♠ét ❞✲❞➲② ♠➵♥❤ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ M/(x
n
i+1
i+1
, . . . , x
n
r
r
)M ✈í✐
♠ä✐ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ n
1
, . . . , n
r
; i = 1, . . . , r✳
❚õ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❞❞✲❞➲② t❛ ❝ã ❜æ ➤Ò s❛✉✳
❇æ ➤Ò ✷✳✶✳✸✳ ◆Õ✉ x
1
, . . . , x
r
❧➭ ♠ét ❞❞✲ ❞➲② ❝ñ❛ M t❤× ♠ä✐ ❞➲② x
n
1

1
, . . . , x
n
r
r
❝ò♥❣ ❧➭ ❞❞✲ ❞➲② ❝ñ❛ M ✈í✐ n
1
, . . . , n
r
> 0✳
✶✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên
✶✶
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱× x
1
, . . . , x
r
❧➭ ♠ét ❞❞✲ ❞➲② ❝ñ❛ M ♥➟♥ x
m
1
1
, . . . , x
m
i
i
❧➭ ❞✲
❞➲② ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ M/(x
m
i+1
i+1

, . . . , x
m
r
r
)M ✈í✐ ♠ä✐ m
1
, . . . , m
r
> 0✳ ❉♦ ➤ã
x
m
1
n
1
1
, . . . , x
m
i
n
i
i
❧➭ ❞✲❞➲② ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ M/(x
m
i+1
n
i+1
i+1
, . . . , x
m
r

n
r
r
)M ✈í✐ ♠ä✐
n
1
, . . . , n
r
> 0✳ ❙✉② r❛ x
n
1
1
, . . . , x
n
r
r
❧➭ ❞✲❞➲② ♠➵♥❤ ❝ñ❛ M/(x
n
i+1
m
i+1
i+1
, . . . , x
n
r
m
r
r
)M✳
❱❐② x

n
1
1
, . . . , x
n
r
r
❧➭ ❞❞✲❞➲② ❝ñ❛ M✳
❇æ ➤Ò ✷✳✶✳✹✳ ❈❤♦ x = x
1
, . . . , x
r
❝➳❝ ♣❤➬♥ tö tr♦♥❣ m✳ ❈➳❝ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ s❛✉
❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿
✐✮ x ❧➭ ❞❞✲ ❞➲② ❝ñ❛ M✳
✐✐✮ ❱í✐ ♠ä✐ 1 ≤ i ≤ k ≤ j ≤ r ✈➭ n
1
, . . . , n
r
> 0✱ t❛ ❝ã
(x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
, x
n

j+1
j+1
, . . . , x
n
r
r
)M : x
n
i
i
x
n
k
k
= (x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
, x
n
j+1
j+1
, . . . , x
n
r
r

)M : x
n
k
k
.
✐✐✐✮ ❱í✐ ♠ä✐ 1 ≤ i ≤ j ≤ r ✈➭ n
1
, . . . , n
r
> 0✱ t❛ ❝ã
(x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
, x
n
j+1
j+1
, . . . , x
n
r
r
)M : x
n
i
i

x
n
j
j
= (x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
, x
n
j+1
j+1
, . . . , x
n
r
r
)M : x
n
j
j
.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ (i) ⇔ (ii)✿ ➤➢î❝ s✉② r❛ tõ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❞❞✲ ❞➲②✳
(ii) ⇒ (iii)✿ ❤✐Ó♥ ♥❤✐➟♥ ❦❤✐ ❧✃② k = j✳
(iii) ⇒ (ii)✿ ❳Ðt 1 ≤ i ≤ j ≤ r, n
1
, . . . , n

r
> 0✳ ❉ï♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý ●✐❛♦ ❑r✉❧❧
✈➭ tõ ❣✐➯ t❤✐Õt t❛ ❝ã
(x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
, x
n
j+1
j+1
, . . . , x
n
r
r
)M : x
n
i
i
x
n
k
k
=

n

k+1
,...,n
j
(x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
, x
n
k+1
k+1
, . . . , x
n
r
r
)M : x
n
i
i
x
n
k
k
=

n

k+1
,...,n
j
(x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1
i−1
, x
n
k+1
k+1
, . . . , x
n
r
r
)M : x
n
k
k
= (x
n
1
1
, . . . , x
n
i−1

i−1
, x
n
j+1
j+1
, . . . , x
n
r
r
)M : x
n
k
k
.
❑❤✐ x ❧➭ ❤Ö t❤❛♠ sè t❤× ❞❞✲❞➲② x ❝ñ❛ M ❝ã ➤➷❝ tr➢♥❣ s❛✉✳
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên
✶✷
❇æ ➤Ò ✷✳✶✳✺✳ ❬✹✱ ❍Ö q✉➯ ✸✳✻❪ ❈❤♦ x = x
1
, . . . , x
d
❧➭ ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè ❝ñ❛ M✳
❑❤✐ ➤ã x ❧➭ ❞❞✲ ❞➲② tr➟♥ M ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ❝➳❝ sè a
0
, . . . , a
d
s❛♦ ❝❤♦
✈í✐ ♠ä✐ n
1
, . . . , n

d
> 0✱ t❛ ❝ã
l(M/x(n)M) =
d

i=0
a
i
n
1
. . . n
i
tr♦♥❣ ➤ã a
i
= e(x
1
, . . . , x
i
; (x
i+2
, . . . , x
d
)M : x
i+1
/(x
i+2
, . . . , x
d
)M)✳
✷✳✷ ▲ä❝ t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤✐Ò✉ ✈➭ ❤Ö t❤❛♠ sè tèt

❚r♦♥❣ ♠ô❝ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ sù tå♥ t➵✐ ❝ñ❛ ❧ä❝ ❝❤✐Ò✉✱ ❤Ö t❤❛♠ sè
tèt ✈➭ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ♥ã✳ ❚❛ ❝ã ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ s❛✉✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✷✳✷✳✶✳ ✐✮ ❚❛ ♥ã✐ ♠ét ❧ä❝ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ M
F : M
0
⊂ M
1
⊂ . . . ⊂ M
t
= M, t < ∞
t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤✐Ò✉ ♥Õ✉ dim M
0
< dim M
1
< . . . < dim M
t
= d.
✐✐✮ ▼ét ❧ä❝ t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤✐Ò✉✱ D : D
0
⊂ D
1
⊂ . . . ⊂ D
t
= M ➤➢î❝
❣ä✐ ❧➭ ❧ä❝ ❝❤✐Ò✉ ❝ñ❛ M ♥Õ✉
❛✮ D
0
= H
0
m

(M) ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❜❐❝ ❦❤➠♥❣ ❝ñ❛ M ➤è✐
✈í✐ m✳
❜✮ D
i−1
❧➭ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❧í♥ ♥❤✃t ❝ñ❛ D
i
❝ã ❝❤✐Ò✉ ♥❤á ❤➡♥ dim D
i
, i =
1, . . . , t − 1, t✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✷✳✷✳✷✳ ❈❤♦ F : M
0
⊂ M
1
⊂ . . . ⊂ M
t
= M ❧➭ ♠ét ❧ä❝ t❤♦➯
♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤✐Ò✉ ✈➭ x = x
1
, . . . , x
d
❧➭ ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè ❝ñ❛ M✳ ➜➷t
d
i
= dim M
i
, i = 0, 1, . . . , t✳ ❍Ö t❤❛♠ sè x ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤Ö t❤❛♠ sè tèt ➤è✐
✈í✐ ❧ä❝ F ♥Õ✉ M
i
∩ (x

d
i
+1
, . . . , x
d
)M = 0✳ ▼ét ❤Ö t❤❛♠ sè tèt ➤è✐ ✈í✐ ❧ä❝
❝❤✐Ò✉ ➤➢î❝ ❣ä✐ ➤➡♥ ❣✐➯♥ ❧➭ ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè tèt ❝ñ❛ M✳
❇æ ➤Ò ✷✳✷✳✸✳ ❈❤♦ I ❧➭ ✐➤➟❛♥ ❝ñ❛ R✱ M ❧➭ ♠ét R✲ ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ✈➭
N ❧➭ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ M✳ ●✐➯ sö l(M/IM) < ∞✳ ❑❤✐ ➤ã l(N/IN) < ∞✳
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên

ứ ì l(M/IM) <

Ann(M/IM) = m t

Ann(M/IM) =

Ann M + I r

Ann M + I = m ó tồ
t số k s Ann M + I m
k
ì Ann N Ann M
Ann N + I m
k
r l(N/IN) <
ổ ề s t tí t ủ ọ ề ệ t số tốt
ổ ề ọ ề D ủ M tồ t t ữ ọ

pAss M

N(p) = 0 tí s tố tể ủ 0 ủ M
ó D
i
=

dim(R/p)d
i+1
N(p)
ớ ỗ N M từ ị ĩ ọ ề s r tồ t
D
i
tr D s N D
i
dim N = dim D
i
ó ỗ ọ F :
M
0
M
1
. . . M
t

= M t ề ệ ề tồ t ỉ số
i
0
< i
1
< . . . < i
t

s M
j
D
i
j
dim M
j
= dim D
i
j

ế x
1
, . . . , x
d
ột ệ t số tốt ố ớ ọ F tì x
n
1
1
, . . . , x
n
d
d
ũ
ệ t số tốt ố ớ F ớ n
1
, . . . , n
d
> 0

ế x
1
, . . . , x
d
ột ệ t số tốt ủ M tì x
1
, . . . , x
d
ột ệ t
số tốt ố ớ ọ t ề ệ ề
ứ i) ọ t tt ủ M ó ề ỏ
d tì = ì M tr tồ t tử ự M

ủ sử ó ột tử ự M tì M

+ M tự sự
ứ M
1
M
2
ó f : M

M

M

+ M

ị ở
(n

1
, n
2
) n
1
+ n
2
t dim(M

M

) dim(M

+ M

)
t t ó ớ 0 M

M

M

M

0
ó dim(M

+ M

) dim(M

M

) = max{dim M

, dim M

} < dim M
r ề t ớ tí ự ủ M

M

tử ự
M

ủ t t ỳ N ọ
N
t ợ tt
ủ M ứ N ó ề ỏ d ó
N
=
ó tử ự ữ ọ tử ự ủ
N
ề
tử ự ủ M r
N
ó t tử ự M

ì M

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
✶✹
❝❤ø❛ ♠ä✐ N ∈ Γ ✈➭ ♥ã ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❧í♥ ♥❤✃t ❝ã ❝❤✐Ò✉ ♥❤á ❤➡♥ d✳ ▲ý ❧✉❐♥
t➢➡♥❣ tù ➤è✐ ✈í✐ M

✈➭ s❛✉ ❤÷✉ ❤➵♥ ❜➢í❝ q✉② ♥➵♣ ❧ï✐ t❛ ➤ù➡❝ ❞➲② t➝♥❣ ❝❤➷t
❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ M
D
0
⊂ D
1
⊂ . . . D
t−1
= M

⊂ D
t
= M
t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t s❛✉✿
❛✮ D
i−1
❧➭ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❧í♥ ♥❤✃t ❝ñ❛ D
i
s❛♦ ❝❤♦ dim D
i−1
< dim D
i
✱ ✈í✐
i = 1, . . . , t✳ ❇➺♥❣ q✉② ♥➵♣ ❧ï✐ t❛ ❝❤Ø r❛ D
i−1

❧➭ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❧í♥ ♥❤✃t ❝ñ❛ M
t❤♦➯ ♠➲♥ dim D
i−1
< dim D
i
✱ ✈➭ ❞♦ ➤ã ♥ã ❝❤ø❛ ♠ä✐ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ M ❝ã
❝❤✐Ò✉ ♥❤á ❤➡♥ ❤♦➷❝ ❜➺♥❣ dim D
i−1
✳
❜✮ dim D
0
> 0 ✈➭ ♥Õ✉ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ N ❝ñ❛ M t❤♦➯ ♠➲♥ dim N < dim D
0
t❤×
dim N = 0✳
❇➞② ❣✐ê t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ H
0
m
(M) ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❧í♥ ♥❤✃t ❝ñ❛ M ❝ã ❝❤✐Ò✉ ❜➺♥❣
0✳ ❱× M ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ♥➟♥ Γ
m
(M) = H
0
m
(M) = (0 :
M
m
n
) ✈í✐ n ❧➭
sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ♥➭♦ ➤ã✳ ❙✉② r❛ m

n
⊆ Ann(H
0
m
M)✱ ❞♦ ➤ã dim(H
0
m
M) = 0✳
●✐➯ sö N ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ã ❝❤✐Ò✉ 0✳ ❑❤✐ ➤ã
√
Ann N = m ♥➟♥ tå♥ t➵✐
sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ k s❛♦ ❝❤♦ m
k
⊆ Ann N✳ ❙✉② r❛ N ⊆ (0 :
M
m
k
) ⊆
H
0
m
(M)✳ ❱❐② H
0
m
(M) ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❧í♥ ♥❤✃t ❝ñ❛ M ❝ã ❝❤✐Ò✉ 0✳ ❉♦ ➤ã tå♥
t➵✐ H
0
m
(M) = D
0

⊂ D
1
⊂ . . . ⊂ D
t−1
⊂ D
t
= M ❧➭ ❧ä❝ ❝❤✐Ò✉ ❝ñ❛ M ✈➭ ❧ä❝
❝❤✐Ò✉ ♥➭② ❞✉② ♥❤✃t✳ ❇✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ❝ñ❛ D
i
➤➢î❝ s✉② r❛ ❬✾✱ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✷✳✷❪
ii) ❉Ô ❞➭♥❣ s✉② r❛ ❜➺♥❣ q✉② ♥➵♣ ❧ï✐✳
iii) ➜➬✉ t✐➟♥ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ x
n
1
1
, . . . , x
n
d
d
❧➭ ❤Ö t❤❛♠ sè✳ ➜➷t (x
1
, . . . , x
d
) = I
✈➭ (x
n
1
1
, . . . , x
n

d
d
) = J t❤× tå♥ t➵✐ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ n s❛♦ ❝❤♦ I
n
⊆ J✳ ❉♦
l(M/IM) < ∞ ♥➟♥ m
k
⊆ Ann(M) + I ✈í✐ k ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ♥➭♦ ➤ã✳
❙✉② r❛
m
nk
⊆ (Ann(M) + I)
n
⊆ Ann(M) + I
n
⊆ Ann(M) + J.
❙✉② r❛ l(M/JM) < ∞ ✈➭ ❞♦ ➤ã x
n
1
1
, . . . , x
n
d
d
❧➭ ❤Ö t❤❛♠ sè ❝ñ❛ M✳ ❱×
M
i
∩ (x
d
i

+1
, . . . , x
d
)M = 0 ✈➭ (x
n
d
i
+1
d
i
+1
, . . . , x
n
d
d
) ⊆ (x
d
i
+1
, . . . , x
d
) ✈í✐ i =
0, 1, . . . , t− 1 ♥➟♥ M
i
∩ (x
n
d
i
+1
d

i
+1
, . . . , x
n
d
d
)M = 0✳ ❙✉② r❛ (x
n
1
1
, . . . , x
n
d
d
) ❧➭ ❤Ö
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên