Đặc trưng của modun cohen-macaulay dãy qua tính chất phân tích tham số

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
----------------------------





LÊ THỊ MAI QUỲNH




ĐẶC TRƯNG CỦA MÔĐUN COHEN–MACAULAY DÃY
QUA TÍNH CHẤT PHÂN TÍCH THAM SỐ




Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60.46.05



LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH NGUYỄN TỰ CƯỜNG





THÁI NGUYÊN NĂM 2008
✶
▼ô❝ ❧ô❝
▼ô❝ ❧ô❝ ✶
▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ✷
P❤➬♥ ♠ë ➤➬✉ ✸
❈❤➢➡♥❣ ■✳ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ ✺
✶✳✶✳ ❍Ö t❤❛♠ sè ✺
✶✳✷✳ ❉➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✼
✶✳✸✳ ▼➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲② ✶✵
❈❤➢➡♥❣ ■■✳ P❤➞♥ tÝ❝❤ t❤❛♠ sè ✈➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲② ✶✹
✷✳✶✳ ➜➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛❧❛② ❞➲② ✶✹
✷✳✷✳ ➜❛ t❤ø❝ ❍✐❧❜❡rt✲❙❛♠✉❡❧ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲② ✷✼
✷✳✸✳ ❱Ý ❞ô ✸✶
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✸✽
✷
▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥
▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❝ñ❛ ●❙✳❚❙❑❍ ◆❣✉②Ô♥
❚ù ❈➢ê♥❣✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❦Ý♥❤ trä♥❣ ✈➭ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ ♥❤✃t ❝ñ❛ ♠×♥❤
➤Õ♥ t❤➬②✳
❚➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ tí✐ P●❙✳❚❙ ▲➟ ❚❤Þ ❚❤❛♥❤ ◆❤➭♥✱ P●❙✳❚❙
◆❣✉②Ô♥ ◗✉è❝ ❚❤➽♥❣ ❝ï♥❣ t♦➭♥ t❤Ó ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ❣✐➳♦ ë ❑❤♦❛ ❚♦➳♥ ✈➭ P❤ß♥❣
➜➭♦ t➵♦ s❛✉ ➜➵✐ ❤ä❝ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ➤➲

t❐♥ t×♥❤ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ✈➭ ❣✐ó♣ ➤ì t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤ä❝ t❐♣ t➵✐ tr➢ê♥❣✳
❚➠✐ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ sù ❣✐ó♣ ➤ì ♥❤✐Öt t❤➭♥❤ ✈➭ ❝❤✉ ➤➳♦ ❝ñ❛ ◆❈❙
❚r➬♥ ◆❣✉②➟♥ ❆♥✱ ❜➵♥ ❍♦➭♥❣ ▲➟ ❚r➢ê♥❣ ♣❤ß♥❣ ➤➵✐ sè tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ t❤ù❝
❤✐Ö♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳

ờ ó
R ị tr ớ tố m M R
ữ s ớ dim M = d x = x
1
, . . . , x
d
ệ t số
ủ M q = (x
1
, . . . , x
d
) t số ủ M s ở x ớ ỗ
số n ý ệ

d,n
= {(
1
, . . . ,
d
) Z
d
|
i
1, 1 i d,
d

i=1

i
= d + n 1}
q() = (x

1
1
, . . . , x

d
d
) ớ = (
1
, . . . ,
d
)
d,n

ó r ệ t số x ó tí t tí t số ế tứ
q
n
M =


d,n
q()M ú ớ n 1 ột ệ t số
trớ ủ M ó tí t tí t số ề r
t ứ r ột tử R í q

ó tí t tí t số ó t ỉ r
r ề ợ ũ ú ỗ tử ủ ớ ủ
tr R ữ ọ ò r ột tr ủ R ớ
dim R 2, tr ó ọ ệ t số ủ R ó tí t tí t
số ó M ỉ tồ
t ột ệ t số x ó s x ó tí t tí t số
ờ t ế sự q t ủ ỏ tr ệ t số tốt ủ
M ó ột ó tể ợ tr ở
tí t tí t số ủ ột ệ t số tốt tế ộ
ó ợ trì tr Prtr st rs
rtr s sqt s ủ t
ễ ự ờ rờ sẽ r ở t í Pr
r t
ụ í ủ trì ột ệ tố
tết ết q ủ tr ợ 2
1 ế tứ ị ớ tệ ột số ế tứ
ề số ệ t số í q


2 P tí t số trì
ột số ổ ề từ ó ế ị ý í ủ ó ề tr
ủ q tí t số ệ q ủ ó
ị ý t ể r
ị ý (R, m) ị tr M R
ữ s ó ệ ề s t
M
ọ ệ t số tốt ủ M ó tí t tí t số
ồ t ệ t số tốt ủ M ó tí t tí t số
r ò trì ố q ệ ữ
M ể tứ ủ rt t q ị

ý
ị ý D : D
0
D
1
. . . D
t
= M ọ ề ủ M
t D
i
= D
i
/D
i1
ớ ọ i = 1, . . . , t, D
0
= D
0
. ó ệ ề
s t
M
ớ t ỳ t số tốt q ủ M tứ
l(M/q
n+1
M) =
t

i=0

n + d

i
d
i

l(D
i
/qD
i
)
ú ớ ọ n 0
ồ t t số tốt q ủ M s tứ
l(M/q
n+1
M) =
t

i=0

n + d
i
d
i

l(D
i
/qD
i
)
ú ớ ọ n 0
P ố ù ủ sẽ ự í ụ s tỏ

ết q í ở tr
❈❤➢➡♥❣ ✶
❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ
▼ô❝ ➤Ý❝❤ ❝ñ❛ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❧➭ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ✈Ò ➤➵✐ sè
❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ➤➢î❝ sö ❞ô♥❣ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❜❛♦ ❣å♠ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✱ ❝➳❝ ♠Ö♥❤ ➤Ò
✈➭ ❜æ ➤Ò ✈Ò ❤Ö t❤❛♠ sè✱ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉②✱ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②✱ ♠➠➤✉♥
❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲②✳
✶✳✶ ❍Ö t❤❛♠ sè
❚r♦♥❣ ♣❤➬♥ ♥➭② t❛ sÏ ➤➢❛ r❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈➭ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ✈Ò ❤Ö
t❤❛♠ sè✱ ➤➞② ❧➭ ♠ét ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ q✉❛♥ trä♥❣ ①✉②➟♥ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ t❤ù❝ ❤✐Ö♥
❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳
✶✳✶✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❈❤♦ (R, m) ❧➭ ✈➭♥❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ◆♦❡t❤❡r✱ M ❧➭ R−
♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ✈í✐ dim M = d✳ ❚❐♣ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö x = (x
1
, x
2
, . . . , x
d
)✱
x
i
∈ m , ∀i = 1, . . . , d t❤♦➯ ♠➲♥ l
R
(M/x
M) < ∞ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ❤Ö
t❤❛♠ sè ❝ñ❛ M✳
●✐➯ sö (R, m) ❧➭ ✈➭♥❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ◆♦❡t❤❡r✱ M ❧➭ R− ♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥
s✐♥❤ ✈í✐ dim M = d✳ ▼Ö♥❤ ➤Ò s❛✉ ➤➞② ♥➟✉ ❧➟♥ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥
❝ñ❛ ❤Ö t❤❛♠ sè✳
✺

ệ ề ệ ề x
1
, x
2
, . . . , x
t
m ó
dim(M/(x
1
, . . . , x
t
)M) dim M t.
tứ s r ỉ x
1
, x
2
, . . . , x
t
ột ủ ệ t số
ủ M
ệ ề ú ý ế x
1
, . . . , x
d
ệ t số ủ M tì
ớ ọ số
1
, . . . ,
d

t ó x

1
1
, . . . , x

d
d
ũ ệ t số
ủ M
ét
x m ó x ột tử ủ ệ t số ủ M ỉ
x p ớ ọ p Ass R s dimR/p = d
x
1
, . . . , x
d
m ị ở
x
i+1
p, p Ass R(M/(x
1
, . . . , x
i
)M), dim R/p = d i
ớ i = 0, . . . , d 1 ó {x
1
, . . . , x
d
} ệ t số ủ M

ế t t sẽ r ị ĩ ề rt ị ý
tứ rt ột ị ý ổ tế ó ứ ụ ề tr
số r t ỉ ị ĩ ị ý
ù s ứ
ị ĩ M ữ s tr ị
tr (R, m) ớ dim M = d q ị ĩ ủ M tứ
l(M/qM) < ó t ị ĩ ột số ọ r

F
q,M
(n) = l(M/q
n+1
M).

ệ ề ị ý R =

t0
R
t

tr R
0
rt ữ s
sử r R = R
0
[x
1
, . . . , x
r
] x

i
d
i
óF
q,M
(n) ột ữ
tỷ ủ ữ tồ t tứ P
q,M
(n) ớ ệ số ữ tỷ d s
ớ n ủ ớ tì
F
q,M
(n) = P
q,M
(n).
tồ t ữ số e
0
(q, M)(> 0), e
1
(q, M), . . . , e
d
(q, M) s

P
q,M
(n) = e
0
(q, M)

n + d

d

+e
1
(q, M)

n + d 1
d 1

+ã ã ã+e
d
(q, M).
ố e
0
(q, M) ợ ọ số ộ s q s ở ột ệ t
số x = {x
1
, x
2
, . . . , x
d
} t ý ệ e
0
(q, M) = e
(
x, M)
í q
r t sẽ trì ột số ệ ề í q ó
ệ ể ị ĩ ộ s ủ ột từ ó ế ị
ĩ ủ

ị ĩ R M R ột
tử x R ợ ọ M í q ế 0 :
M
x = 0 tứ xa = 0 ớ
a M, a = 0 ột tử x
1
, . . . , x
n
ủ R ợ ọ M
í q ế (x
1
, . . . , x
n
)M = M x
i
M/(x
1
, . . . , x
i1
)M í
q ớ ọ i = 1, . . . , n
ệ ề s tí t ủ í q
ệ ề ổ ề M R ó ệ
ề s t
✽
✭✐✮ ❉➲② x
1
, . . . , x
n
❧➭ ❞➲② M− ❝❤Ý♥❤ q✉②✳

✭✐✐✮ ❉➲② x
1
, . . . , x
i
❧➭ ❞➲② M− ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ x
i+1
, . . . , x
n
❧➭ ❞➲②
M/(x
1
, . . . , x
i
)M− ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈í✐ ♠ä✐ 1 ≤ i ≤ n − 1.
✶✳✷✳✸ ▼Ö♥❤ ➤Ò✳ ❬✼✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✻✳✶❪ ◆Õ✉ x
1
, . . . , x
n
❧➭ ❞➲② M− ❝❤Ý♥❤ q✉②
t❤× ✈í✐ ♠ä✐ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ α
1
, . . . , α
n
t❛ ❝ã {x
α
1
1
, . . . , x
α
n

n
} ❝ò♥❣ ❧➭ ❞➲②
M− ❝❤Ý♥❤ q✉②✳
✶✳✷✳✹ ▼Ö♥❤ ➤Ò✳ ❬✽✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✻✳✾❪ ◆Õ✉ x
1
, . . . , x
n
❧➭ ❞➲② M− ❝❤Ý♥❤ q✉②
t❤× ✈í✐ ♠ä✐ ❤♦➳♥ ✈Þ ❝ñ❛ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö x
1
, . . . , x
n
t❛ ✈➱♥ ➤➢î❝ ♠ét ❞➲② M−
❝❤Ý♥❤ q✉②✳
✶✳✷✳✺ ▼Ö♥❤ ➤Ò✳ ❬✶✱ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✷✳✶✷❪ ◆Õ✉ M ❧➭ R− ♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤
tr➟♥ ✈➭♥❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ◆♦❡t❤❡r ✈➭ x
1
, . . . , x
t
❧➭ ❞➲② M− ❝❤Ý♥❤ q✉② t❤×
x
1
, . . . , x
t
❧➭ ♠ét ♣❤➬♥ ❝ñ❛ ❤Ö t❤❛♠ sè ❝ñ❛ M✳
❱í✐ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✈Ò ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ♥➟✉ tr➟♥ ❝❤♦ ♣❤Ð♣ ➤✐ ➤Õ♥ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ➤é
s➞✉ ❝ñ❛ ♠ét ♠➠➤✉♥✱ ➤Ó tõ ➤ã ➤✐ ➤Õ♥ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②✳
✶✳✷✳✻ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❈❤♦ I ❧➭ ✐➤➟❛♥ ❝ñ❛ ✈➭♥❤ R✱ M ❧➭ R− ♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥
s✐♥❤ s❛♦ ❝❤♦ M = IM✳ ❑❤✐ ➤ã ➤é ❞➭✐ ❝ù❝ ➤➵✐ ❝ñ❛ ❞➲② M− ❝❤Ý♥❤ q✉② ❝ñ❛
I ❣ä✐ ❧➭ ➤é s➞✉ ❝ñ❛ ✐➤➟❛♥ I ➤è✐ ✈í✐ R− ♠➠➤✉♥ M✱ ❦Ý ❤✐Ö✉ depth R(I, M)✳

◆Õ✉ (R, m) ❧➭ ✈➭♥❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ◆♦❡t❤❡r✱ t❛ ❝ã t❤Ó ❦Ý ❤✐Ö✉ ➤é s➞✉ ❝ñ❛ R−
♠➠➤✉♥ M ❧➭ depth
R
M ❤♦➷❝ ❝ã t❤Ó ➤➡♥ ❣✐➯♥ ❤➡♥ ❧➭ depth M✳
✶✳✷✳✼ ▼Ö♥❤ ➤Ò✳ ❬✶✱ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✷✳✶✸❪ ❈❤♦ (R, m) ❧➭ ✈➭♥❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣
◆♦❡t❤❡r✱ M ❧➭ R− ♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✳ ❚❛ ❝ã ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ s❛✉✳
depth M ≤ dim R/p ≤ dim M, ∀p ∈ Ass M✳
❱➭ t✐Õ♣ t❤❡♦ t❛ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲ ▼❛❝❛✉❧❛②✳

ị ĩ M ợ ọ ế
M = 0 M = 0 depth M = dim M. R ọ
ế ó R
ệ ề s tr ủ
ệ ề ị ý ế M
tì ớ p Ass M t ó dim R/p = dim M
ế x
1
, . . . , x
d
m M í q tì M
ỉ M/(x
1
, . . . , x
d
)M
ệ ề ú ý ế M tì
ọ ệ t số ủ M M í q
ổ ề ổ ề N ủ M t
dim N < dim M M/N x
1

, . . . , x
i

ột ủ ệ t số ủ M ó (x
1
, . . . , x
i
)MN = (x
1
, . . . , x
i
)N
ứ ứ q t
ớ i = 1 t ứ x
1
M N = x
1
N ó x
1
N
x
1
M N t ứ x
1
M N x
1
N t y x
1
M N
ó y x

1
M y = x
1
m ớ m M s r y = x
1
m N
x
1
m + N = 0 + N tr M/N tứ x
1
(m + N) = 0 s r m + N = 0
m N ó y = x
1
m x
1
N
sử i > 1 ó (x
1
, . . . , x
i
)N (x
1
, . . . , x
i
)M N (1).
a (x
1
, . . . , x
i
)M N ó a = x

1
a
1
+ ã ã ã + x
i
a
i
tr ó a
j
M
ớ ọ j = 1, . . . , i ì a N a
i
(N + (x
1
, . . . , x
i1
)M) : x
i
t
ì x
1
, . . . , x
i
M/N í q
(N + (x
1
, . . . , x
i1
)M) :
M

x
i
= N + (x
1
, . . . , x
i1
)M
✶✵
♥➟♥ t❛ ❝ã a
i
∈ N + (x
1
, . . . , x
i−1
)M✱ a
i
= x
1
b
1
+ · · · + x
i−1
b
i−1
+ c tr♦♥❣
➤ã b
j
∈ M✱ j = 1, · · · , i − 1 ✈➭ c ∈ N✳ ❙✉② r❛ t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣ t❛ ❝ã
a − x
i

c ∈ (x
1
, . . . , x
i−1
)M ∩ N = (x
1
, . . . , x
i−1
)N
❉♦ ➤ã a ∈ (x
1
, · · · , x
i
)N✳ ❱❐② (x
1
, . . . , x
i
)M∩N ⊆ (x
1
, . . . , x
i
)N (2)✳
❚õ ✭✶✮ ✈➭ ✭✷✮ t❛ ❝ã (x
1
, . . . , x
i
)M ∩ N = (x
1
, . . . , x
i

)N
✶✳✸ ▼➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲②
❚r♦♥❣ ♣❤➬♥ ♥➭② t❛ ➤➢❛ r❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✈➭ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ✈Ò ❧ä❝
❝❤✐Ò✉ ✈➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲②✱ tr➢í❝ t✐➟♥ t❛ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❧ä❝
❝❤✐Ò✉ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥✳
✶✳✸✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ✭✶✮ ▼ét ❧ä❝ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ M ❧➭ ♠ét ❤ä
F : M
0
⊂ M
1
⊂ . . . ⊂ M
t
= M
tr♦♥❣ ➤ã M
i
❧➭ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ M✳ ▲ä❝ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ F ❝ñ❛ M
➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤✐Ò✉ ♥Õ✉ dim M
i−1
< dim M
i
✈í✐ ♠ä✐
i = 1, 2, . . . , t✳
✭✷✮ ▼ét ❧ä❝ t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤✐Ò✉
D : D
0
⊂ D
1
⊂ . . . ⊂ D
t
= M

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❧ä❝ ❝❤✐Ò✉ ❝ñ❛ M ♥Õ✉ ♥ã t❤♦➯ ♠➲♥ 2 ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ s❛✉
✭❛✮ D
0
= H
0
m
(M) ❧➭ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ t❤ø 0 ❝ñ❛ M ø♥❣
✈í✐ ✐➤➟❛♥ tè✐ ➤➵✐ m✳
✭❜✮ D
i−1
❧➭ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❧í♥ ♥❤✃t ❝ñ❛ D
i
s❛♦ ❝❤♦ dim D
i−1
< dim D
i
✈í✐
♠ä✐ i = 1, 2, . . . , t✳

ệ ề s sẽ t t sự tồ t ủ ọ ề
ệ ề ú ý ọ ề ủ M tồ t
t ữ ế D : D
0
D
1
. . . D
t
= M ọ ề ủ
M ớ dim D
i

= d
i
tì t ó
D
i
=

dim(R/p
j
)d
i+1
N
j
ớ ọ i = 1, 2, . . . , t 1 tr ó
0 =
n

j=1
N
j
tí s t ọ ủ 0 ủ M N
j
p
j

s ớ ọ j = 1, 2, . . . , n
ét N ủ M dim N < dim M ừ ị
ĩ ọ ề tồ t D
i
s N D

i
dim N = dim D
i
.
ó ế F : M
0
M
1
. . . M
t
= M ọ t ề ệ ề
tì ớ ỗ M
j
tồ t D
i
s M
j
D
i
dim M
j
= dim D
i
.
ệ t số tốt ột ệ q trọ ợ sử ụ tr
từ ị ĩ ề ọ ề tr t ó ị ĩ ề ệ t
số tốt s
ị ĩ F : M
0
M

1
. . . M
t
= M ọ t
ề ệ ề dim M
i
= d
i
ột ệ t số x
= {x
1
, x
2
, . . . , x
d
} ủ
M ợ ọ ệ t số tốt t ứ ớ ọ F ế
M
i
(x
d
i
+1
, x
d
i
+2
, . . . , x
d
)M = 0

ớ ọ i = 1, 2, . . . , t 1
✶✷
▼ä✐ ❤Ö t❤❛♠ sè tèt t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐ ❧ä❝ ❝❤✐Ò✉ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤Ö t❤❛♠ sè tèt
❝ñ❛ M✳
◆❤❐♥ ①Ðt
✭✶✮ ◆Õ✉ ❤Ö t❤❛♠ sè x = {x
1
, x
2
, . . . , x
d
} ❧➭ ❤Ö t❤❛♠ sè tèt t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐
❧ä❝ F t❤× x
α
1
1
, . . . , x
α
d
d
❝ò♥❣ ❧➭ ❤Ö t❤❛♠ sè tèt t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐ ❧ä❝ F ✈í✐ ♠ä✐
sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ α
1
, . . . , α
d
.
✭✷✮ ▼ét ❤Ö t❤❛♠ sè tèt ❝ñ❛ M ❝ò♥❣ ❧➭ ❤Ö t❤❛♠ sè tèt t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐ ❜✃t
❦ú ❧ä❝ t❤♦➯ ♠➲♥ t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤✐Ò✉ ♥➭♦ ❝ñ❛ M✳
✶✳✸✳✹ ❇æ ➤Ò✳ ❬✷✱ ❇æ ➤Ò ✷✳✺❪ ▲✉➠♥ tå♥ t➵✐ ❤Ö t❤❛♠ sè tèt ❝ñ❛ M✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤♦ D : D

0
⊂ D
1
⊂ . . . ⊂ D
t
= M ❧➭ ❧ä❝ ❝❤✐Ò✉ ❝ñ❛ M ✈í✐
dim D
i
= d
i
✳ ❚❤❡♦ ♠Ö♥❤ ➤Ò 1.3.2 t❛ ❝ã D
i
=

dim(R/p
j
)≥d
i+1
N
j
tr♦♥❣ ➤ã
0 =
n

j=1
N
j
❧➭ sù ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ♥❣✉②➟♥ s➡ t❤✉ ❣ä♥ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ 0 ❝ñ❛ M✳ ➜➷t
N
i

=

dim(R/p
j
)≤d
i
N
j
❦❤✐ ➤ã D
i
∩ N
i
= 0 ✈➭ dim M/N
i
= d
i
✳ ❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý
❚r➳♥❤ ♥❣✉②➟♥ tè sÏ tå♥ t➵✐ ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè x = {x
1
, x
2
, . . . , x
d
} t❤♦➯ ♠➲♥
x
d
i
+1
, x
d

i
+2
, . . . , x
d
∈ Ann M/N
i
✳ ❙✉② r❛ D
i
∩ (x
d
i
+1
, x
d
i
+2
, . . . , x
d
)M ⊆
D
i
∩ N
i
= 0.
✶✳✸✳✺ ❇æ ➤Ò✳ ❬✸✱ ❇æ ➤Ò ✷✳✶❪ ❈❤♦ x = {x
1
, x
2
, . . . , x
d

} ❧➭ ❤Ö t❤❛♠ sè tèt ❝ñ❛
M ❦❤✐ ➤ã D
i
= 0 :
M
x
j
✈í✐ ♠ä✐ j = d
i
+ 1, . . . , d
i+1
, i = 0, 1, . . . , t − 1
✈➭ ❞♦ ➤ã 0 :
M
x
1
⊆ 0 :
M
x
2
⊆ . . . ⊆ 0 :
M
x
d
✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❝ã D
i
⊆ 0 :
M
x

j
✈í✐ ♠ä✐ j ≥ d
i
✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ❧✃② x ∈ D
i
✈× D
i
❧➭ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ M ♥➟♥ x ∈ M✳ ❙✉② r❛ x
j
x ∈ (x
d
i
+1
, . . . , x
d
)M✱
∀j = d
i
+1, . . . , d ❤➡♥ ♥÷❛ x
j
x ∈ D
i
✳ ◆➟♥ s✉② r❛ x
j
x = 0 ❤❛② x ∈ 0 :
M
x
j
.
❚❛ ❝ß♥ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ 0 :

M
x
j
⊆ D
i
✈í✐ ♠ä✐ d
i
< j < d
i+1
✳

sử 0 :
M
x
j
D
i
s số ớ t s 0 :
M
x
j
D
s1
ó t s > i 0 :
M
x
j
= 0 :
D
s

x
j
ì d
s
d
i+1
j x
j
tử
t số ủ D
s
dim 0 :
M
x
j
< d
s
ó 0 :
M
x
j
D
s1
ề
ý ớ ệ ọ s 0 :
M
x
j
= D
i

r tế t t sẽ trì ệ ột tí t
tr ủ ợ sử ụ tr
rớ ết t ó ị ĩ s
ị ĩ M ợ ọ
ế ớ ọ ề D : D
0
D
1
. . . D
t
= M ỗ D
i
/D
i1

ớ i = 1, 2, . . . , t
ệ ề tế t ề ệ t ớ ị ĩ

ệ ề ị ý D : D
0
D
1
. . . D
t
= M
ọ ề ủ M ớ dim D
i
= d
i

x = (x
1
, x
2
, . . . , x
d
) ệ t số
tốt ủ M ó ệ ề s t
(1) M
(2) (x
1
, . . . , x
d
i
) í q tr M/D
i1
ớ i = 1, . . . , t
(3) depth M/D
i1
= d
i
ớ i = 1, . . . , t
ổ ề ệ q x = {x
1
, x
2
, . . . , x
d
} ệ t số
tốt ủ M ó (x

1
, . . . , x
d
)M D
i
=
(x
1
, . . . , x
d
i
)D
i
ớ ọ i = 1, . . . , t 1
ứ ó D
i
ủ M dim D
i
< M M
✶✹
❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲② ♥➟♥
(x
1
, . . . , x
d
)M ∩ D
i
= (x
1
, . . . , x

d
i
, x
d
i+1
, . . . , x
d
)M ∩ D
i
= (x
1
, . . . , x
d
i
)M ∩ D
i
+ (x
d
i+1
, . . . , x
d
)M ∩ D
i
= (x
1
, . . . , x
d
i
)M ∩ D
i

♠➭ (x
1
, . . . , x
d
i
) ❧➭ ♠ét ♣❤➬♥ ❝ñ❛ ❤Ö t❤❛♠ sè ❝ñ❛ M ♥➟♥ t❤❡♦ ❜æ ➤Ò 1.2.11
t❛ ❝ã (x
1
, . . . , x
d
i
)M ∩ D
i
= (x
1
, . . . , x
d
i
)D
i
.
❈❤➢➡♥❣ ✷
P❤➞♥ tÝ❝❤ t❤❛♠ sè ❝ñ❛ ❧✉ü t❤õ❛ ✐➤➟❛♥
t❤❛♠ sè ✈➭ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②
❞➲②
❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② t❛ sÏ tr×♥❤ ❜➭② ♥é✐ ❞✉♥❣ ❝❤Ý♥❤ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ◆é✐ ❞✉♥❣
❝❤×♥❤ ➤➢î❝ ❝❤✐❛ ❧➭♠ ❜❛ t✐Õt✳ ❚✐Õt ♠ét tr×♥❤ ❜➭② ✈Ò ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥
❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲② q✉❛ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ t❤❛♠ sè✳ ❚✐Õt ❤❛✐ sÏ tr×♥❤ ❜➭② ✈Ò ➤❛
t❤ø❝ ❍✐❧❜❡rt✲s❛♠✉❡❧ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲② ✈➭ tr♦♥❣ t✐Õt ❜❛ sÏ
➤➢❛ r❛ ♠ét sè ✈Ý ❞ô ♥❤➺♠ ❧➭♠ s➳♥❣ tá ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ➤➲ ♥➟✉ ë tr➟♥✳

✷✳✶ ➜➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲② q✉❛ ♣❤➞♥
tÝ❝❤ t❤❛♠ sè
❈❤♦ (R, m) ❧➭ ✈➭♥❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ◆♦❡t❤❡r✱ M ❧➭ R− ♠➠➤✉♥ ❤÷❛ ❤➵♥ s✐♥❤
✈í✐ dim M = d✳ ❈❤♦ x = {x
1
, x
2
, . . . , x
d
} ❧➭ ❤Ö t❤❛♠ sè ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ M
✈➭ q ❧➭ ✐➤➟❛♥ s✐♥❤ ❜ë✐ x
1
, x
2
, . . . , x
d
✳ ❱í✐ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ n, s t❛ ❝ã t❐♣
Λ
d,n
= {(α
1
, . . . , α
d
) ∈ Z
d
| α
i
≥ 1, ∀1 ≤ i ≤ d,
d


i=1
α
i
= d + n − 1}
✈í✐ α = (α
1
, . . . , α
d
) ∈ Λ
d,n
✳ ❑ý ❤✐Ö✉ q(α) = (x
α
1
1
, . . . , x
α
d
d
)✳
✶✺