Luận văn: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CHỌN LỌC VỀ HỆ ĐỘNG LỰC RỜI RẠC pptx

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM






TRẦN NGUYÊN BÌNH







MỘT SỐ TÍNH CHẤT CHỌN LỌC
VỀ HỆ ĐỘNG LỰC RỜI RẠC





L
L
U
U
Ậ

Ậ
N
N


V
V
Ă
Ă
N
N


T
T
H
H
Ạ
Ạ
C
C


S
S
Ĩ
Ĩ


T

T
O
O
Á
Á
N
N


H
H
Ọ
Ọ
C
C













Thái Nguyên - năm 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM






TRẦN NGUYÊN BÌNH




MỘT SỐ TÍNH CHẤT CHỌN LỌC
VỀ HỆ ĐỘNG LỰC RỜI RẠC


Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01


L
L
U
U
Ậ
Ậ
N

N


V
V
Ă
Ă
N
N


T
T
H
H
Ạ
Ạ
C
C


S
S
Ĩ
Ĩ


T
T
O

O
Á
Á
N
N


H
H
Ọ
Ọ
C
C





Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH. VŨ NGỌC PHÁT







Thái Nguyên - năm 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), k ∈ Z
+
,
[A, B].
x(k + 1) = (A + D
a
F
a
(k)E
a
)x(k)+(B + D
b
F
b
(k)E
b
)x(k − h)
+(C + D
c
F
c
(k)F
c
)u(k) k ∈ Z
+
,
x(k + 1) =(A + D
a
F
a

(k)E
a
)x(k) + (B + D
b
F
b
(k)E
b
)x(k − h)
+ f(k, x(k), x(k −h)), k ∈ Z
+
,
x(k + 1) =(A + D
a
F
a
(k)E
a
)x(k) + (B + D
b
F
b
(k)E
b
)x(k − h)
+ (C + D
c
F
c
(k)E

c
)u(k) + f(k, x(k), x(k −h), u(k)), k ∈ Z
+
,
x(k) ∈ R
n
u(k) ∈ R
m
A, B, C, D
a
, E
a
, D
b
, E
b
, D
c
, E
c
F
a
(k), F
b
(k), F
c
(k)
 F
a
(k) ≤ 1,  F

b
(k) ≤ 1,  F
c
(k) ≤ 1,
f(.)
u(k) = h(x(k))
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f(.)
f(.),
f(.)
 f(k, x, y) ≤ a  x  +b  y , ∀(k, x, y) ∈ Z
+
× R
n
× R
n
,
a, b f(.)
 f(k, x, y, z) ≤ a  x  +b  y  +c  z , ∀(k, x, y, z) ∈ Z
+
×R
n
×R
n
×R
m
,
a, b, c
&
&

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
• Z
+
R
+
R
n
n−

., .

 . ; R
n×r
(n × r)
• A
T
A; A
A = A
T
; I
• Sp(A) A.
• λ
max
(A) = max{Reλ : λ ∈ Sp(A)}; λ
min
(A) = min{Reλ : λ ∈
Sp(A)}.
• A  A,  A = (
n


i=1
n

j=1
|a
ij
|
2
)
1
2
.
• A A ≥ 0,

Ax, x

≥ 0, ∀x ∈ R
n
; A

Ax, x

≥ 0, ∀x ∈ R
n

Ax, x

> 0 x = 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


˙x = f(t, x), t ∈ I = [t
0
, t
0
+ b],
x(t
0
) = x
0
, x ∈ R
n
, t
0
≥ 0,
f(t, x) : I × D −→ R
n
, D = {x ∈ R
n
: x − x
0
≤ a}.
x(t)
(t, x(t)) ∈ I × D,
x(t)
f(t, x) I ×D, x(t)
x(t) = x
0
+
t


t
0
f(s, x(s))ds.

˙x = Ax + g(t), t ≥ 0,
x(t
0
) = x
0
, t
0
≥ 0,
A g(t) : [0, ∞) −→ R
n
x(t) = e
A(t−t
0
)
x
0
+
t

t
0
e
A(t−s)
g(s)ds.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


˙x = A(t)x + g(t), t ≥ 0,
x(t
0
) = x
0
, t
0
≥ 0,
A(t) t  A(t) ≤ m(t), m(t), g(t)
˙x = A(t)x,
x(t) = Φ(t, t
0
)x
0
+
t

t
0
Φ(t, s)g(s)ds,
Φ(t, s)
(i)
d
dt
Φ(t, s) = A(t)Φ(t, s), t ≥ s,
(ii)Φ(t, t) = I.
x(k + 1) = f (k, x(k)), k = 0, 1, 2,
f(.) : Z
+
× R

n
−→ R
n
x(0) = x
0
x(1) = f (0, x
0
), x(2) = f (1, f(0, x(0))),
f(.).
x(k + 1) = A(k)x(k) + g(k), k ∈ Z
+
,
x(0) = x
0
g = {g(0), g(1), , g(k − 1), },
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x(k) k > 0
x(k) = F (k, 0)x
0
+
k−1

s=0
F (k, s + 1)g(s),
F (k, s)
x(k + 1) = A(k)x(k), k ∈ Z
+
.
F (k, s)
F (k, s) = A(k − 1).A(k − 2) A(s), k ≥ s ≥ 0, F (k, k) = I.

A(.) F (k, s) = A
k−s
, k ≥ s ≥ 0
x(k) = A
k
x
0
+
k−1

s=0
A
k−s−1
g(s).
z(k), a(k) : Z
+
−→
Z
+
C ≥ 0
z(k) ≤ C +
k−1

s=0
a(s)z(s), k = 1, 2, , z(0) ≤ C.
z(k) ≤ C
k−1

s=0
(1 + a(s)), k = 1, 2,

f(.)
x(t) = x
0
+
t

t
0
f(s, x(s))ds.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x(t)
 > 0, t
0
≥ 0 δ > 0 , t
0
y(t) : y(t
0
) = y(0)  y
0
− x
0
< δ
 y(t) −x(t) < , ∀t ≥ t
0
.
• x(t)
δ > 0  y
0
− x
0

< δ  y(t) −x(t) → 0 t → ∞.
• x(t)
α, M  y
0
− x
0
< δ
 y(t) −x(t) < Me
−αt
t ≥ t
0
.
z = x −y y
˙z = F (t, z),
F (t, z) = f (t, z + y) − f(t, y), F (t, 0) = 0.
x(t)
0
0, f(t, 0) = 0, t ∈ R
+
.
•  > 0, t
0
∈ R
+
δ > 0 , t
0
x(t) : x(t
0
) = x(0)
 x

0
< δ  x(t) <  t ≥ t
0
.
•
δ > 0  x
0
< δ lim
t→∞
 x(t) = 0.
•
α, M x(t) : x(t
0
) = x
0
(1.1) : x
0
< δ
 x(t) < Me
−αt
t ≥ t
0
.
δ t
0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
 > 0, k
0
∈ Z
+

δ > 0 δ , k
0
x(k)
 x(0) < δ  x(k) <  k ≥ k
0
.
δ > 0 lim
t→∞
 x(k) = 0 x(k)
 x(0) < δ.
˙x(t) = f (x(t)), f (0) = 0, t ∈ R
+
.
V (x) : R
n
−→ R
V (x) ≥ 0 x ∈ R
n
V (x) = 0 x = 0.
V (x) : D ⊆ R
n
−→ R, D 0,
V (x) D.
V (x)
D
f
V (x) :=
∂V
∂x
f(x) ≤ 0, ∀x ∈ D.

V (x)
x
0
∃c > 0 : D
f
V (x) ≤ −c  x , x ∈ D\{0}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

˙x
1
= −2x
3
1
+ 2x
2
, t ≥ 0,
˙x
2
= −x
1
− x
3
2
.
V (x) = x
2
1
+ 2x
2
2

,
D
f
V (x) = 2x
1
˙x
1
+ 4x
2
˙x
2
= 2x
1
(−2x
3
1
+ 2x
2
) + 4x
2
(−x
1
− x
3
2
)
= −4(x
4
1
+ x

4
2
).
D
f
V (x) ≤ −4  x 
4
< 0 x = 0
A, B (n × n)
I + AB I + BA
(I + BA)
−1
= I − B(I + AB)
−1
A.
I + AB
BA =B(I + AB)
−1
(I + AB)A = B(I + AB)
−1
A + B(I + AB)
−1
ABA
=B(I + AB)
−1
A(I + BA).
(I + BA)
−1
= I − B(I + AB)
−1

A.

A, B, C (n × n) B
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
B + AC I + CB
−1
A
B + AC
(B + AC)
−1
= B
−1
− B
−1
A(I + CB
−1
A)
−1
CB
−1
.
B + AC = (I + ACB
−1
)B I + ACB
−1
I + CB
−1
A
D = I + CB
−1

A CB
−1
A = D − I,
(B + AC)(B
−1
− B
−1
AD
−1
CB
−1
) = (I + ACB
−1
)(I −AD
−1
CB
−1
)
= (I + ACB
−1
)(I −AD
−1
CB
−1
)
= I + ACB
−1
− AD
−1
CB

−1
− A(CB
−1
A)D
−1
CB
−1
= I + A(I −D
−1
)CB
−1
− A(D − I)D
−1
CB
−1
= I. 
A
∃c > 0,

Ax, x

≥ c  x 
2
, ∀x ∈ R
n
.
A −(n ×n)
det(D
i
) > 0, i = 1, 2, , n

(−1)
i
det(D
i
) > 0, i = 1, 2, , n
D
1
= a
11
, D
2
=

a
11
a
12
a
21
a
22

, D
3
=


a
11
a

12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33


, , D
n
= A.
A
A i
j i j.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i < j. A
A =














A
11
A
12
···A
1i
···A
1j
···A
1n
A
21
A
22
···A
2i
···A
2j
···A
2n
··· ··· ··· ··· ···

A
i1
A
i2
···A
ii
···A
ij
···A
in
··· ··· ··· ··· ···
A
j1
A
j2
···A
ji
···A
jj
···A
jn
··· ··· ··· ··· ···
A
n1
A
n2
···A
ni
···A
nj

···A
nn













.
i j i
j, A A

A

=














A
11
A
12
···A
1j
···A
1i
···A
1n
A
21
A
22
···A
2j
···A
2i
···A
2n
··· ··· ··· ··· ···
A
j1
A
j2

···A
jj
···A
ji
···A
jn
··· ··· ··· ··· ···
A
i1
A
i2
···A
ij
···A
ii
···A
in
··· ··· ··· ··· ···
A
n1
A
n2
···A
nj
···A
ni
···A
nn














.
A A

A λ
A

. λ A

det(A

− λI) = 0, I
A

.
det(A

− λI) = 0 ⇔ det(A − λI) = 0.
λ A


A. A
λ < 0, A

A


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
P −(n ×n)
M −(n×m) Q −(m×m)

P M
T
M −Q

< 0 ⇔ P + M
T
Q
−1
M < 0.
P ∈ R
n×n
A
T
P A
A ∈ R
n×n
.
E, H F
F
T

F ≤ I.
EF H
T
+ HF
T
E
T
≤ EE
T
+ 
−1
HH
T
,  > 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x(k + 1) = Ax(k), k ∈ Z
+
.
x(0) = x
0
x(k) = A
k
x
0
.
x(k) → 0 k → ∞
 A = q < 1 A
k
→ 0 k → ∞,
q : 0 < q < 1  A = q < 1.

| λ |< 1 λ ∈ Sp(A).
x(k + 1) = A(k)x(k), k ∈ Z
+
.
q ∈ (0, 1)  A(k) ≤ q
k ∈ Z
+
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
A(k) = A+C(k) A  C(k) ≤ a,
a





x(k + 1) =
1
2(k + 1)
x(k) +
1
4(k + 1)
y
k
,
y(k + 1) = −
1
2(k + 1)
y
k

, k ∈ Z
+
,
A(k) =



1
2(k + 1)
1
4(k + 1)
0 −
1
2(k + 1)



.
 A(k) =
3
4(k + 1)
≤
3
4
= q < 1
x(k + 1) = f (k, x(k)), k ∈ Z
+
.
V (x) : R
n

→ R
∃λ
1
> 0, λ
2
> 0 : λ
1
 x(k) 
2
≤ V (x) ≤ λ
2
 x(k) 
2
.
∃λ
3
> 0 : ∆V (x) = V (x(k + 1)) − V (x(k)) ≤ −λ
3
 x((k)) 
2
,
k = 0, 1, 2, , x(k)
x(k + 1) = Ax(k), k ∈ Z
+
.
P, Q
A
T
P A − P + Q = 0,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

V (x) = x(k)
T
P x(k). P
(i)
V (x) = V (x(k + 1)) − V (x(k)) = x(k + 1)
T
P x(k + 1) − x(k)
T
P x(k)
= x(k)
T
A
T
P Ax(k) − x(k)
T
P x(k) = x(k)
T
(A
T
P A − P )x(k)
= −x(k)
T
Qx(k) ≤ −λ
max
(Q)  x(k) 
2
.






x(k + 1) = −
1
2
x(k) +
1
8
y(k), k ∈ Z
+
,
y(k + 1) =
1
2
x(k) −
1
4
y(k),
A =



−
1
2
1
8
1
2
−

1
4



.
P =

4 0
0 6

.
P > 0
A
T
P A =

3 −
5
4
−
5
4
9
16

, Q = P − A
T
P A =


1
5
4
5
4
119
16

> 0,
x(k + 1) = A(k)x + g(k, x), k ∈ Z
+
.
q ∈ (0, 1)  A(k) ≤ q, ∀k ∈ Z
+
.
 g(k, x) ≤ L(k)  x , ∀k ∈ Z
+
lim
k→∞
supL(k) = 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x(k) = F (k, 0)x
0
+
k−1

s=0
F (k, s + 1)g(s, x(s)),
F (k, s) x(k + 1) = A(k)x(k).
 x(k)  ≤ F (x, 0)x

0
 +
k−1

s=0
 F (k, s + 1)g(s, x(s)) 
≤ q
k
 x
0
 +
k−1

s=0
q
k−s−1
L(s)  x(s)  .
 x(k) ≤ x
0

k−1

s=0
(q + L(s)).
lim
k→∞
supL(k) = 0 q < 1,  > 0
N > 0
q + L(k) < q + , ∀k > N.
 x(k) ≤ x

0
 (q + L(0))(q + L(N − 1))(q + )
k−N
, ∀k > N.
 x(k) → 0 k → ∞.
x(k + 1) = Ax(k) + Bx(k − h), k ∈ Z
+
,
x(.) ∈ R
n
, A, B h ≥ 0
x(0) = x(−1) = = x(−h) = x
0
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x
0
k k − h
h ≥ 0
P, W

X(P ) B
T
P A
A
T
P B −W

< 0,
X(P ) = A

T
P A + W + B
T
P B − P.
Π, Z

X(Π) A
T
ΠB
B
T
ΠA −Z

< 0,
X(Π) = B
T
ΠB + Z + A
T
ΠA − Π.
V
k
(x) = x(k)
T
P x(k) +
k−1

i=k−h
x
i
(k)

T
Qx
i
(k),
V
k
=V
k+1
(x) − V
k
(x)
=x(k + 1)
T
P x(k + 1) + x(k)
T
Qx(k) − x(k)
T
P x(k) − x(k − h)
T
Qx(k − h)
=[x(k)
T
A
T
+ x(k − h)
T
B
T
]P [Ax(k) + Bx(k − h)]
+ x(k)

T
Qx(k) − x(k)
T
P x(k) − x(k − h)
T
Qx(k − h)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
=x(k)
T
[A
T
P A + Q −P ]x(k) + 2x(k)
T
A
T
P Bx(k − h)
+ x(k − h)
T
[B
T
P B − Q]x(k − h).
∆V
k
= − [Mx(k − h) + Nx(k)]
T
[Mx(k − h) + Nx(k)]
+ x(k)
T
[N
T

N + A
T
P A + Q −P ]x(k)
= − x(k − h)
T
M
T
Mx(k − h) − 2x(k)
T
N
T
Mx(k − h)
+ x(k)
T
[A
T
P A + Q −P ]x(k).
M
T
M = Q −B
T
P B,
N
T
M = −A
T
P B.
M
Q − B
T

P B > 0.
M = [Q −B
T
P B]
1
2
N = −[Q −B
T
P B]
−
1
2
B
T
P A.
N
T
N + A
T
P A + Q −P < 0,
A
T
P B[Q − B
T
P B]
−1
B
T
P A + A
T

P A + Q −P < 0.
W = Q −B
T
P B Q = W + B
T
P B,
A
T
P BW
−1
B
T
P A + A
T
P A + W + B
T
P B − P < 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
V
k
= − [
ˆ
Mx(k − h) +
ˆ
Nx(k)]
T
[
ˆ
Mx(k − h) +
ˆ

Nx(k)]
+ x(k − h)
T
[
ˆ
M
T
ˆ
M + B
T
P B − Q]x(k − h)
= − 2x(k)
T
ˆ
N
T
ˆ
Mx(k − h) − x(k)
T
ˆ
N
T
ˆ
Nx(k)
+ x(k − h)
T
B
T
P Bx(k − h).


x(k + 1) = −
1
4
x(k) +
1
4
x(k − h) +
1
4
y(k − h),
y(k + 1) =
1
4
x(k) +
1
4
y(k) +
1
4
y(k − h),
A =

−
1
4
0
1
4
1
4


, B =

1
4
1
4
0
1
4

.
P =

16 0
0 16

, Q =

2 1
1 6

,
P, Q
B
T
P B =

1 1
1 2


.
W = Q −B
T
P B =

1 0
0 4

> 0.
M = W
1
2
=

1 0
0 2

, N = −W
−
1
2
B
T
P A =

1 0
0 −
1
2


.
N
T
N + A
T
P A + Q −P =

−11 2
2 −
35
4

< 0.
P, W
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
P, R, Λ, Ω

A
T
Λ
−1
A + Ω + R = P,
BΩ
−1
B
T
+ Λ = P
−1
.

Π, S, Γ, Σ

B
T
Σ
−1
B + Γ + S = Π,
AΓ
−1
A
T
+ Σ = Π
−1
.

X(P ) B
T
P A
A
T
P B −W

< 0,
X(P ) = A
T
P A + W + B
T
P B − P.
A
T

[P BW
−1
B
T
P + P ]A + [W + B
T
P B] − P < 0.
R
A
T
[P BW
−1
B
T
P + P ] + [W + B
T
P B] + R = P.
Λ
−1
= P BW
−1
B
T
P + P,
Λ = P
−1
− B[W + B
T
P B]
−1

B
T
.
Ω = W + B
T
P B,
A
T
Λ
−1
A + Ω + R = P.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
BΩ
−1
B
T
+ Λ = P
−1
.
Σ
−1
= Π + ΠAZ
−1
A
T
Π,
Γ = Z + A
T
ΠA.
P = Π, W = B

T
P AZ
−1
A
T
P B
Z = A
T
ΠBW
−1
B
T
ΠA.
P, W
Π, Z
A B
p, q
1
p
+
1
q
= 1
X, Q
pA
T
XA + qB
T
XB + Q = X.
B

P = X, R = Q, Λ =
1
p
X
−1
, Ω = qB
T
XB.
A
T
Λ
−1
A + Ω + R = P.
B
X =
1
q
(B
T
)
−1
ΩB
−1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên