Luận văn: phân lớp đối đồng điều các ANN - hàm tử và các ANN - phạm trù biện pptx

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
− − − − − − − − −
ĐẶNG ĐÌNH HANH
PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC
ANN-HÀM TỬ VÀ CÁC ANN-PHẠM TRÙ BỆN
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 62. 46. 05. 01
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2011
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
− − − − − − − − −
ĐẶNG ĐÌNH HANH
PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC
ANN-HÀM TỬ VÀ CÁC ANN-PHẠM TRÙ BỆN
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 62. 46. 05. 01
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. NGUYỄN TIẾN QUANG
Hà Nội - 2011
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi được viết chung với
các đồng tác giả. Kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí
của các đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các số liệu, các kết quả được trình
bày trong trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất
kỳ công trình nào khác.
Tác giả
Đặng Đình Hanh
LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Tiến
Quang. Thầy đã dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học từ khi tác
giả đang là sinh viên. Ngoài những chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên và
lòng tin tưởng của Thầy dành cho tác giả luôn là động lực lớn giúp tác giả tự
tin và say mê trong nghiên cứu. Qua đây tác giả xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc
và lòng quý mến đối với Thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô và các bạn đồng nghiệp trong Bộ
môn Đại số và Lý thuyết số, các thầy cô và các bạn đồng nghiệp trong khoa
Toán -Tin đã tạo một môi trường công tác và nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả
hoàn thành luận án này.
Tác giả xin cảm ơn Ths. Nguyễn Thu Thủy về những sự giúp đỡ chân thành.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội, Phòng Sau đại học và BCN khoa Toán - Tin đã tạo những điều kiện thuận
lợi trong quá trình tác giả học tập, công tác và hoàn thành luận án này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn GS. TS. Nguyễn Quốc Thắng, GS. TS. Lê
Văn Thuyết, PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn và hai thầy/cô phản biện độc lập
về những góp ý bổ ích để luận án được hoàn thiện hơn.
Cuối cùng, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến ông bà, bố mẹ, anh chị
em hai bên nội ngoại, cùng vợ. Gia đình là nguồn động viên và động lực to lớn
đối với tác giả.
Tác giả
1
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Bảng thuật ngữ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Sơ đồ liên hệ giữa các chương, mục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 15
1.1 Phạm trù monoidal bện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.1 ⊗-phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.2 Phạm trù monoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.3 Hàm tử monoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.4 Mũi tên hàm tử monoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.5 Phạm trù monoidal bện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2 Gr-phạm trù và P ic-phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Ann-phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1 Định nghĩa và ví dụ về Ann-phạm trù . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2 Định nghĩa Ann-hàm tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.3 Ann-phạm trù thu gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4 Đối đồng điều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4.1 Nhóm đối đồng điều Mac Lane của các vành . . . . . . . . 32
1.4.2 Nhóm đối đồng điều Hochschild của các đại số . . . . . . . 35
2 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ANN-PHẠM TRÙ VÀ ANN-
HÀM TỬ 37
2.1 Phân lớp đối đồng điều của các Ann-hàm tử . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.1 Tiêu chuẩn tương đương của một Ann-hàm tử . . . . . . . 37
2.1.2 Ann–hàm tử kiểu (p, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.3 Ann-hàm tử và các nhóm đối đồng điều chiều thấp của
vành theo nghĩa Mac Lane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2
2.1.4 Ann-hàm tử và đối đồng điều Hochschild . . . . . . . . . . 45
2.1.5 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2 Đối ngẫu của Ann-phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3 Mối liên hệ giữa Ann-phạm trù và vành phạm trù . . . . . . . . . 66
3 ANN-PHẠM TRÙ BỆN 72
3.1 Định nghĩa và ví dụ về Ann-phạm trù bện . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2 Tính phụ thuộc trong hệ tiên đề của Ann-phạm trù bện . . . . . . 76
3.3 Mối liên hệ với phạm trù có tính phân phối của M. L. Laplaza . . 79
3.4 Mối liên hệ với phạm trù tựa vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4 PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC ANN-PHẠM TRÙ

BỆN 86
4.1 Ann-hàm tử bện và phép chuyển cấu trúc. Ann-phạm trù bện thu
gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2 Phân lớp các Ann-hàm tử bện kiểu (p, q) . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3 Các định lý phân lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN
ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
CHỈ MỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3
MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Khái niệm phạm trù monoidal hay tensor phạm trù được đề xuất bởi S. Mac
Lane [29], J. Bénabou [51] vào năm 1963. Mỗi phạm trù monoidal là một tựa vị
nhóm, trong đó tập nền C được thay thế bởi một phạm trù và phép toán nhân
m : C × C → C được thay thế bởi một hàm tử. Trong [29], S. Mac Lane đã đưa
ra điều kiện đủ cho tính khớp của các ràng buộc tự nhiên của một phạm trù
monoidal; và điều kiện đủ cho tính khớp của lớp phạm trù monoidal đối xứng,
tức là một phạm trù monoidal có thêm ràng buộc giao hoán. Bài toán khớp cho
lớp phạm trù monoidal thường được suy ra từ một kết quả mạnh hơn: mỗi phạm
trù monoidal đều tương đương với một phạm trù monoidal chặt chẽ, tức là một
phạm trù monoidal có các ràng buộc đều là những phép đồng nhất. Kết quả này
đã được chứng minh bởi một vài tác giả như N. D. Thuận [50], C. Kassel [23],
P. Schauenburg [48].
Việc xem xét các mối liên hệ phụ thuộc của một số tiên đề trong hệ tiên đề
của một phạm trù monoidal đối xứng đã được G. M. Kelly trình bày trong [26].
Sau này, S. Kasangian và F. Rossi đã xem xét thêm một số mối liên hệ về tính
đối xứng trong một phạm trù monoidal [24].
Phạm trù monoidal được "mịn hóa" để trở thành phạm trù với cấu trúc

nhóm, khi bổ sung thêm khái niệm vật khả nghịch (Xem M. L. Laplaza [28], N.
Saavedra Rivano [54]). Bây giờ, nếu phạm trù nền là một groupoid (nghĩa là mọi
mũi tên đều đẳng cấu) thì ta được khái niệm monoidal category group-like (xem
A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall [16]), hay Gr-category (xem H. X. Sính [55]), hay
nhóm phạm trù [6, 7, 8, 17], hoặc 2-nhóm [4, 12, 19] theo cách gọi gần đây. Các
Gr-phạm trù đã được phân lớp bởi nhóm đối đồng điều nhóm H
3
(G, A) (xem
[55]). Trong trường hợp nhóm phạm trù có thêm ràng buộc giao hoán, chúng ta
thu được khái niệm phạm trù Picard (Pic-phạm trù) [55], hay nhóm phạm trù
đối xứng [5] hoặc 2-nhóm đối xứng [12, 19].
Tâm của phạm trù monoidal được giới thiệu bởi A. Joyal và R. Street, như là
sự khái quát hóa của khái niệm tâm của một vị nhóm. Tâm của một phạm trù
monoidal cung cấp một cấu trúc bện tự nhiên và tầm thường, đó là một tensor
phạm trù bện hay một phạm trù monoidal bện và nói chung không đối xứng. Sau
đó, tâm của phạm trù xuất hiện như một công cụ để nghiên cứu nhóm phạm
4
trù [6] và nhóm phạm trù phân bậc [17]. Trong [11], A. Davydov đã nghiên cứu
về tâm đầy của một đại số trong phạm trù tâm của một phạm trù monoidal và
đã thiết lập bất biến Morita của xây dựng này bằng cách mở rộng nó đến các
phạm trù môđun. Tâm của phạm trù monoidal cũng xuất hiện trong bài toán
đối ngẫu của các phạm trù monoidal được đưa ra bởi S. Majid [32, 33].
Trong [20], A. Joyal và R. Street đã phân lớp các nhóm phạm trù bện bởi
phạm trù các hàm quadratic (dựa trên một kết quả của S. Eilenberg và S. Mac
Lane về sự biểu diễn hàm quadratic bởi nhóm đối đồng điều aben H
3
ab
(G, A)
[13, 14]). Trước đó, trường hợp nhóm phạm trù đối xứng (hay phạm trù Picard)
đã được phân lớp bởi H. X. Sính [55].

Tình huống tổng quát hơn đối với các nhóm phạm trù Picard được đưa ra
bởi A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall với tên gọi nhóm phạm trù phân bậc [16] (sau
này, A. Cegarra và E. Khmaladze gọi là phạm trù Picard phân bậc [10]). Các
định lý phân lớp đồng luân cho các nhóm phạm trù phân bậc, các nhóm phạm
trù bện phân bậc, và trường hợp riêng của nó, các phạm trù Picard phân bậc đã
được trình bày theo thứ tự trong [17], [9], [10]. Từ mỗi phạm trù như vậy xuất
hiện một 3-đối chu trình theo một nghĩa nào đó mà mỗi lớp tương đẳng của các
phạm trù cùng loại là tương ứng với một lớp đối đồng điều chiều 3.
Các lớp phạm trù có hai cấu trúc monoidal đã thu hút được sự quan tâm
của nhiều tác giả. Năm 1972, M. L. Laplaza [27] đã nghiên cứu về lớp phạm trù
có tính phân phối. Kết quả chính của [27] là chứng minh định lý khớp cho lớp
phạm trù này. Sau đó, trong [16], A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall đã đưa ra khái
niệm phạm trù tựa vành với chủ ý là đưa ra một hệ tiên đề mới gọn hơn của M.
L. Laplaza [27]. Hai khái niệm này là những hình thức hóa của phạm trù các
môđun trên một vành giao hoán.
Năm 1994, M. Kapranov và V. Voevodsky [25] đã bỏ đi những đòi hỏi trong hệ
tiên đề của M. L. Laplaza có liên quan đến ràng buộc giao hoán của phép nhân
và đưa ra tên gọi phạm trù vành cho lớp phạm trù này. Họ đã sử dụng phạm trù
của các không gian vectơ trên một trường K, cùng với tích tenxơ và tổng trực
tiếp để định nghĩa các 2-không gian vectơ trên K. Các phạm trù vành đã được
sử dụng như một công cụ để nghiên cứu các phương trình Zamolodchikov [25].
Để có được những mô tả về cấu trúc, cũng như để có thể phân lớp đối đồng
điều, N. T. Quang đã đưa ra khái niệm Ann-phạm trù [36], như một phạm trù
hóa khái niệm vành, với những đòi hỏi về tính khả nghịch của các vật và của các
mũi tên của phạm trù nền, tương tự như trường hợp của nhóm phạm trù (xem
5
[6, 54, 55]). Những đòi hỏi bổ sung này cũng không phải quá đặc biệt, bởi vì nếu
P là một phạm trù Picard thì phạm trù End(P) các Pic-hàm tử trên P là một
Ann-phạm trù (xem N. T. Quang [45]), điều này đã được nhắc lại trong [19].
Mặt khác, mỗi Ann-phạm trù mạnh là một phạm trù vành [35]. Năm 2008, N.

T. Quang đã chứng minh được rằng mỗi lớp tương đẳng các Ann-phạm trù hoàn
toàn được xác định bởi ba bất biến: vành R, R−song môđun M và một phần tử
thuộc nhóm đối đồng điều Mac Lane H
3
MaL
(R, M) (xem [38]). Trường hợp chính
quy (ràng buộc đối xứng thỏa mãn điều kiện c
X,X
= id đối với mọi vật X) đã
được phân lớp bởi nhóm đối đồng điều Shukla H
3
Sh
(R, M) (xem [2]). Từ các kết
quả phân lớp của các Ann-phạm trù chính quy, Trần Phương Dung đã giải bài
toán về sự tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù chính
quy [1]. Mỗi Ann-phạm trù được xem như một one-object của Gpd-categories
trong luận án của M. Dupont [12], hay như một one-point enrichments of SPC
của V. Schmitt [49].
Năm 2006, M. Jibladze và T. Pirashvili [22] đã đưa ra khái niệm vành phạm
trù với những sự sửa đổi từ hệ tiên đề của một Ann-phạm trù. Tuy nhiên, mối
liên hệ giữa hai hệ tiên đề của Ann-phạm trù và vành phạm trù như thế nào?
Hai lớp này có trùng nhau không, lớp này chứa lớp kia hay chúng chỉ giao nhau
một phần? Một vành phạm trù còn được gọi là một 2-vành theo cách gọi trong
[12, 19]. Năm 2010, các tác giả F. Huang, S. H. Chen, W. Chen và Z. J. Zheng đã
định nghĩa các 2-môđun trên các 2-vành và đưa ra sự biểu diễn của các 2-vành
[19].
Bên cạnh những kết quả đã có về Ann-phạm trù, chúng tôi thấy rằng vẫn còn
có những vấn đề liên quan tới Ann-phạm trù cần được nghiên cứu như: bài toán
tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù trong trường hợp
tổng quát, mối liên hệ giữa Ann-phạm trù và vành phạm trù, tính bện trong lớp

Ann-phạm trù, Vì vậy, chúng tôi viết luận án với tiêu đề: "Phân lớp đối đồng
điều các Ann-hàm tử và các Ann-phạm trù bện" để giải quyết những vấn đề nêu
trên.
II. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận án bao gồm: sử dụng đối đồng điều vành của
Mac Lane để nghiên cứu các Ann-hàm tử, xây dựng Ann-phạm trù cảm sinh
bởi một Ann-hàm tử và xem xét mối liên hệ giữa hai hệ tiên đề của Ann-phạm
trù và vành phạm trù; đưa ra định nghĩa Ann-phạm trù bện và một trường hợp
6
riêng của nó là Ann-phạm trù đối xứng, đưa ra các ví dụ, xem xét mối liên hệ
giữa Ann-phạm trù đối xứng với các phạm trù có tính phân phối và phạm trù
tựa vành, xây dựng phạm trù thu gọn cho lớp Ann-phạm trù bện và tiến hành
phân lớp các Ann-phạm trù bện.
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án bao gồm: Ann-phạm trù, Ann-hàm tử và
tính bện (và một trường hợp riêng của nó là tính giao hoán) trong lớp Ann-phạm
trù.
Phạm vi nghiên cứu của luận án là những bài toán thường gặp của lý thuyết
phạm trù với cấu trúc, đó là bài toán phân lớp, xây dựng các ví dụ cụ thể,
nghiên cứu các tính chất, các mối liên hệ phụ thuộc của các tiên đề và mối liên
hệ giữa những lớp phạm trù có cấu trúc tương tự nhau.
IV. Phương pháp nghiên cứu
Ngoài những phương pháp nghiên cứu lý thuyết truyền thống, trong luận án
này chúng tôi sử dụng triệt để phương pháp biểu đồ của lý thuyết phạm trù
để chứng minh các biểu đồ giao hoán, thay cho các biến đổi đẳng thức trừu tượng.
V. Những đóng góp mới của luận án
Luận án đã đóng góp một số kết quả mới về Ann-phạm trù. Kết quả chính
đầu tiên là sử dụng các nhóm đối đồng điều vành của Mac Lane để tiến hành
giải bài toán tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử (Định lý 2.1.8, Định lý 2.1.9).
Kết quả chính thứ hai của luận án là xây dựng Ann-phạm trù đối ngẫu của

một Ann-hàm tử (Định lý 2.2.10). Đây là một phép dựng mới ngoài phép dựng
Ann-phạm trù của một đồng cấu chính quy trong bài toán mở rộng vành. Kết
quả tiếp theo của luận án là Định lý 2.3.3. Định lý đã chỉ ra rằng các Ann-phạm
trù là chứa trong các vành phạm trù. Ngược lại, mỗi vành phạm trù khi bổ sung
thêm một tiên đề về sự tương thích với các ràng buộc đơn vị sẽ trở thành một
Ann-phạm trù (Định lý 2.3.4).
Những đóng góp tiếp theo của luận án có liên quan đến tính bện trong lớp
Ann-phạm trù. Định lý 3.1.6 chỉ ra: Tâm của một Ann-phạm trù là một Ann-
phạm trù bện và nói chung không đối xứng, đây là một kết quả tiếp nối các kết
quả về tâm của một phạm trù monoidal đã được đưa ra trong [21]. Trên cơ sở
xem xét mối liên hệ giữa Ann-phạm trù đối xứng với các phạm trù có tính phân
7
phối và phạm trù tựa vành, luận án đã chỉ ra sự tương đương của hai hệ tiên đề:
phạm trù có tính phân phối và phạm trù tựa vành (Mệnh đề 3.13), một khẳng
định được A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall đưa ra nhưng không có chứng minh [16].
Trong chương 4 của luận án, trước hết chúng tôi chứng minh sự tương đẳng
của mỗi Ann-phạm trù bện với một Ann-phạm trù bện kiểu (R, M) (Mệnh đề
4.1.6, Mệnh đề 4.1.7). Từ đây, kết hợp với các kết quả về sự tồn tại và phân lớp
các Ann-hàm tử bện (Định lý 4.2.6), chúng tôi đưa ra và chứng minh các định
lý phân lớp cho các Ann-phạm trù bện (Định lý 4.3.1, Định lý 4.3.2). Những
kết quả này cùng kiểu với những kết quả về sự phân lớp các nhóm phạm trù
bện phân bậc, và một trường hợp riêng của nó là phạm trù Picard phân bậc, đã
được A. Cegarra và E. Khmaladze đưa ra năm 2007 ([9, 10]).
VI. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án
Bên cạnh những công trình nghiên cứu về những lớp phạm trù có hai cấu trúc
monoidal đã được đưa ra bởi M. L. Laplaza, A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall, N.
T. Quang, M. M. Kapranov và V. A. Voevodsky, M. Jibladze và T. Pirashvili,
V. Schmitt, M. Dupont, luận án đã làm phong phú thêm những kết quả cho
lớp phạm trù này. Đồng thời, luận án đã nghiên cứu về tính bện trong lớp Ann-
phạm trù, điều này trước đây chỉ thực hiện cho lớp phạm trù có một cấu trúc

monoidal. Các kết quả mà luận án đạt được bổ sung thêm các kết quả đã có về
việc chuyển các kết quả của lý thuyết đại số thuần túy lên lý thuyết phạm trù,
góp phần phát triển lý thuyết phạm trù nói riêng cũng như sự phát triển chung
của Toán học hiện đại.
VII. Bố cục của luận án
Ngoài các phần lời cam đoan, lời cảm ơn, một số ký hiệu dùng trong luận
án, mở đầu, kết luận, các công trình có liên quan đến luận án, mục lục, tài liệu
tham khảo và bản danh mục các từ khóa, luận án gồm bốn chương sau.
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Trình bày về một số kiến thức và
một số kết quả có liên quan đến luận án, bao gồm: Phạm trù monoidal bện,
phạm trù monoidal đối xứng, Gr-phạm trù, P ic-phạm trù, Ann-phạm trù. Phần
cuối của chương 1 trình bày về hai lớp đối đồng điều: đối đồng điều vành của
Mac Lane và đối đồng điều đại số của Hochschild, để sử dụng cho những kết
quả phân lớp ở chương 2 và chương 4.
8
Chương 2: Một số kết quả về Ann-phạm trù và Ann-hàm tử. Chương
này được viết dựa theo [42, 43, 45] và được trình bày trong ba mục. Toàn bộ
chương này trình bày về hai lớp phạm trù với cấu trúc vành, đó là Ann-phạm
trù [2] và vành phạm trù [22]. Mục 2.1 đưa ra một tiêu chuẩn tương đương
của Ann-hàm tử, từ đó bài toán về sự tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử đã
được giải quyết nhờ các nhóm đối đồng điều vành của Mac Lane, và trong một
trường hợp riêng, chúng tôi đã sử dụng đối đồng điều Hochschild để phân lớp
các Ann-hàm tử mạnh. Mục 2.2 trình bày về cách xây dựng đối ngẫu B
∗
của
một cặp (B, F ) trong A, trong đó F : B → A là một Ann-hàm tử. Trong trường
hợp F = id
A
, thì đối ngẫu A
∗

chính là tâm của một Ann-phạm trù được trình
bày trong [44]. Mục 2.3 trình bày về mối liên hệ giữa hai khái niệm Ann-phạm
trù và vành phạm trù với kết quả đạt được là: mỗi Ann-phạm trù đều là một
vành phạm trù; ngược lại, mỗi vành phạm trù khi bổ sung thêm một tiên đề thì
sẽ trở thành một Ann-phạm trù.
Chương 3: Ann-phạm trù bện. Chương này được viết dựa theo [44], bao gồm
bốn mục. Mục 3.1 trình bày về khái niệm Ann-phạm trù bện, Ann-phạm trù đối
xứng và những ví dụ về hai lớp phạm trù này. Trong những ví dụ đó, đáng lưu
ý là ví dụ về tâm của một Ann-phạm trù, một trường hợp riêng của phép xây
dựng đối ngẫu của cặp (A, id
A
) đã được trình bày ở chương 2, với kết quả đạt
được là: tâm của một Ann-phạm trù là một Ann-phạm trù bện và nói chung
không đối xứng. Mục 3.2 xét tính không độc lập của một số tiên đề có liên quan
đến ràng buộc phân phối bên phải trong hệ tiên đề của một Ann-phạm trù bện.
Các mục 3.3 và 3.4 thiết lập các mối liên hệ giữa Ann-phạm trù đối xứng với
các lớp phạm trù có hai cấu trúc monoidal đối xứng đã biết, đó là phạm trù
có tính phân phối của M. L. Laplaza và phạm trù tựa vành của A. Fr¨ohlich và
C. T. C. Wall. Nhờ xét các mối liên hệ này, mục 3.3 chỉ ra sự phụ thuộc của
bốn tiên đề trong hệ tiên đề của phạm trù có tính phân phối, đồng thời suy
ra được định lý khớp cho lớp Ann-phạm trù đối xứng. Mục 3.4 chứng tỏ rằng
hai hệ tiên đề phạm trù có tính phân phối và phạm trù tựa vành là tương đương.
Chương 4: Phân lớp đối đồng điều của các Ann-phạm trù bện. Chương
này được viết dựa theo [46] và được chia thành ba mục. Trong mục đầu tiên
chúng tôi trình bày về một số tính chất của Ann-hàm tử bện và chứng minh
9
định lý chuyển cấu trúc cho lớp Ann-phạm trù bện, từ đó chúng tôi tiến hành
xây dựng Ann-phạm trù bện thu gọn của một Ann-phạm trù bện bất kỳ. Trong
mục 4.2, chúng tôi giải quyết bài toán tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử bện.
Kết quả chính của chương này nằm trong mục 4.3. Dựa trên các kết quả về

Ann-phạm trù thu gọn và sự phân lớp các Ann-hàm tử bện, mục này trình bày
các định lý phân lớp của các Ann-phạm trù bện (Định lý 4.3.1, Định lý 4.3.2).
10
BẢNG KÝ HIỆU
Ký hiệu Nghĩa
C, D phạm trù monoidal
A, B Ann-phạm trù, Ann-phạm trù bện
SA Ann-phạm trù (bện) thu gọn của A
(R, M, h) Ann-phạm trù
(R, M, h, β) Ann-phạm trù bện
S Ann-phạm trù (bện) kiểu (R, M, h) ((R, M, h, β))
R vành phạm trù (2-phạm trù)
P phạm trù Picard (Pic-phạm trù)
Z
C
tâm của phạm trù C
C
A
tâm của Ann-phạm trù A
Ob(C) tập các vật của phạm trù C
XY = X ⊗ Y tích tenxơ của hai vật X và Y
a
+
ràng buộc kết hợp của phép cộng
a ràng buộc kết hợp của phép nhân
c
+
ràng buộc giao hoán của phép cộng
c ràng buộc giao hoán (bện) của phép nhân
(0, g, d) ràng buộc đơn vị của phép cộng

(1, l, r) ràng buộc đơn vị của phép nhân
id
X
mũi tên đồng nhất của vật X
L(R) ràng buộc phân phối bên trái (phải)
(F,

F ,
ˆ
F ) hàm tử monoidal
id
C
hàm tử đồng nhất của phạm trù C
(F,
˘
F ,

F , F
∗
) Ann-hàm tử
(H,
˘
H,

H), (G,
˘
G,

G) các Ann-hàm tử (bện) chính tắc
u : F → F


mũi tên hàm tử
Aut(F ) tập các tự mũi tên của F
[X] lớp tương đương của X
π
0
(A) tập các lớp vật của phạm trù A
π
1
(A) = Aut(0) tập các tự mũi tên của vật 0
M
A
(P
A
) vành các song tích (ngoài) của vành A
C
A
song tâm của vành A
11
Z
n
MacL
nhóm các n-đối chu trình
của vành theo nghĩa Mac Lane
B
n
MacL
nhóm các n-đối bờ của vành
theo nghĩa Mac Lane
H

n
MacL
nhóm đối đồng điều thứ n
của vành theo nghĩa Mac Lane
Z
n
Hoch
nhóm các n-đối chu trình của các Z-đại số
theo nghĩa Hochschild
B
n
Hoch
nhóm các n-đối bờ của các Z-đại số
theo nghĩa Hochschild
H
n
Hoch
nhóm đối đồng điều thứ n của các Z-đại số
theo nghĩa Hochschild
12
BẢNG THUẬT NGỮ
Dịch Thuật ngữ
phạm trù category
phạm trù monoidal monoidal category
phạm trù monoidal đối xứng symmetric monoidal category
tenxơ phạm trù bện braided tensor category
nhóm phạm trù categorical group
nhóm phạm trù đối xứng symmetric cat-group
nhóm phạm trù phân bậc graded categorical group
phạm trù Picard phân bậc graded Picard category

vành phạm trù categorical ring
phạm trù vành ring category
phạm trù tựa vành ring-like category
phạm trù có tính phân phối distributivity category
hàm tử functor
hàm tử monoidal monoidal functor
hàm tử monoidal đối xứng symmetric monoidal functor
hàm tử monoidal bện braided monoidal functor
tương đương monoidal monoidal equivalence
mở rộng extension
tương đẳng congruence
2-nhóm 2-group
2-nhóm đối xứng symmetric 2-group
2-vành 2-ring
phép biến đổi tự nhiên natural transformation
phép biến đổi monoidal tự nhiên monoidal natural transformation
ràng buộc constraint
ràng buộc kết hợp associativity constraint
ràng buộc giao hoán commutativity constraint
ràng buộc đơn vị unit constraint
ràng buộc phân phối distributivity constraint
cấu trúc monoidal monoidal structure
định lý phân lớp classification theorem
13
định lý khớp coherence-theorem
lý thuyết cản trở obstruction theory
vật không zero object
vật đơn vị unit object
vật chính quy regular object
14

SƠ ĐỒ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC CHƯƠNG, MỤC
IV.1
III.1
I.1
II.2
II.1
IV.2
III.2
I.2
III.3
I.3
II.3
IV.3
III.4
I.4
✲
✲
✲
✲
✲
✲
✲
✛
✛
❄
❄
❄
✚
✚
✚

✚
✚
✚
✚
✚❂
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚❂
✏
✏
✏
✏
✏
✏
✏
✏
✏
✏
✏
✏
✏
✏
✏
✏✮
✻


















✐
❩
❩
❩
❩
❩
❩
❩
❩
❩
❩
❩
❩

❩
❩
❩
❩
❩
❩⑥
✲
✻
✛
✻
✛
15
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Phạm trù với cấu trúc đã thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giả. S. Mac
Lane đã đưa ra khái niệm phạm trù monoidal ([29], 1963), Hoàng Xuân Sính đã
đưa ra khái niệm Gr-phạm trù ([55], 1975), A. Joyal và R. Street đã đưa ra khái
niệm phạm trù monoidal bện ([21], 1991). Những kết quả cơ bản về Ann-phạm
trù đã được trình bày trong Luận án Tiến sĩ của Nguyễn Tiến Quang ([2], 1988).
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại những khái niệm và kết quả chủ yếu, dùng
làm cơ sở cho các chương sau. Phần cuối của chương trình bày về các nhóm đối
đồng điều vành của S. Mac Lane và đối đồng điều đại số của Hochschild. Các
nhóm đối đồng điều này sẽ được sử dụng vào bài toán phân lớp các Ann-hàm
tử. Trong toàn bộ luận án này, đôi khi chúng ta viết XY thay cho tích tenxơ
X ⊗ Y của hai vật. Các biểu đồ được sử dụng thường xuyên để việc theo dõi các
các chứng minh được thuận lợi.
1.1 Phạm trù monoidal bện
1.1.1 ⊗-phạm trù
Định nghĩa 1.1.1. Cho một phạm trù C. Một hàm tử ⊗ : C × C −→ C được
gọi là một phép toán- hay một luật trên C. Khi đó phạm trù C với phép toán ⊗

được gọi là một ⊗−phạm trù và thường được ký hiệu (C, ⊗).
Định nghĩa 1.1.2. Cho C là một ⊗-phạm trù, và A là một vật của C. Ta gọi A
là vật chính quy nếu các hàm tử F = − ⊗ A và G = A ⊗ − từ C vào C là những
tương đương phạm trù.
Định nghĩa 1.1.3 (A-phạm trù). Một A-phạm trù C là một ⊗-phạm trù C
cùng với một đẳng cấu tự nhiên
a
X,Y,Z
: A ⊗ (B ⊗ C)
∼
−→ (A ⊗ B) ⊗ C, A, B, C ∈ Ob(C),
16
thỏa mãn biểu đồ giao hoán (còn gọi là tiên đề ngũ giác) sau
A ⊗ (B ⊗ (C ⊗ D)) (A ⊗ B) ⊗ (C ⊗ D))
A ⊗ ((B ⊗ C) ⊗ D) ((A ⊗ B) ⊗ C) ⊗ D
(A ⊗ (B ⊗ C)) ⊗ D
✲
a
❄
id ⊗a
❄
a
❍
❍
❍
❍
❍
❍❥
a
✟

✟
✟
✟
✟
✟✯
a⊗id
(1.1)
với mọi vật A, B, C, D của C.
Đẳng cấu tự nhiên a còn được gọi là một ràng buộc kết hợp.
Trong trường hợp A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C và a
A,B,C
= id thì a = id gọi là
ràng buộc kết hợp chặt chẽ và C được gọi là A-phạm trù chặt chẽ.
1.1.2 Phạm trù monoidal
Định nghĩa 1.1.4 (Phạm trù monoidal). Một phạm trù monoidal (hay một
AU-phạm trù) C là một A-phạm trù C cùng với một vật 1 ∈ Ob(C) và hai đẳng
cấu tự nhiên
l
A
: 1 ⊗ A → A; r
A
: A ⊗ 1 → A,
thỏa mãn điều kiện l
1
= r
1
và làm cho biểu đồ sau giao hoán với mọi vật A, B
của C:
A ⊗ (1 ⊗ B) (A ⊗ 1) ⊗ B
A ⊗ B

✲
a
A,1,B
❍
❍
❍❥
id ⊗l
B
✟
✟
✟✙
r
A
⊗id
(1.2)
Bộ ba (1, l, r) được gọi là một ràng buộc đơn vị.
Phạm trù monoidal C được ký hiệu là (C, ⊗, a, (1, l, r)). Để đơn giản ta có thể
ký hiệu phạm trù monoidal C là (C, ⊗).
Chú ý 1.1.5.
1) Ràng buộc đơn vị được gọi là chặt chẽ nếu các đẳng cấu l, r đều là đồng
nhất.
2) Một phạm trù monoidal (C, ⊗, a, (1, l, r)) được gọi là phạm trù monoidal chặt
chẽ nếu các ràng buộc a, l, r đều là đồng nhất.
17
Mệnh đề 1.1.6 ([26, G. M. Kelly]). Trong phạm trù monoidal, tính giao hoán
của biểu đồ (1.2) tương đương với tính giao hoán của hai biểu đồ sau
1 ⊗ (A ⊗ B) (1 ⊗ A) ⊗ B A ⊗ (B ⊗ 1) (A ⊗ B) ⊗ 1
A ⊗ B A ⊗ B
✲
a

1,A,B
❍
❍
❍❥
l
A⊗B
✟
✟
✟✙
l
A
⊗id
B
✲
a
A,B,1
❍
❍
❍❥
id
A
⊗r
B
✟
✟
✟✙
r
A⊗B
Định lý 1.1.7 ([29, S. Mac Lane]). Giữa hai vật bất kỳ của một phạm trù
monoidal C, tồn tại không quá một mũi tên được xây dựng từ a, l, r, phép đồng

nhất và luật ⊗.
Định lý này thường được gọi là định lý khớp.
1.1.3 Hàm tử monoidal
Định nghĩa 1.1.8. Cho hai phạm trù monoidal (C, ⊗, a, (1, l, r)) và
(C

, ⊗

, a

, (1

, l

, r

)). Một hàm tử monoidal hay một AU-hàm tử từ C đến C

bao
gồm:
1. một hàm tử F : C → C

,
2. một họ đẳng cấu

F
A,B
: F (A ⊗ B) → FA ⊗ F B tự nhiên với A, B,
3. một đẳng cấu
ˆ

F : F 1 → 1

,
sao cho F tương thích với các ràng buộc kết hợp và các ràng buộc đơn vị, nghĩa
là các biểu đồ sau giao hoán
F (A ⊗ (B ⊗ C)) F A ⊗ F (B ⊗ C) F A ⊗ (F B ⊗ FC)
F ((A ⊗ B) ⊗ C) F (A ⊗ B) ⊗ F C (F A ⊗ F B) ⊗ F C)
✲

F
❄
F (a)
✲
id ⊗

F
❄
a

✲

F
✲

F ⊗id
(1.3)
F A ⊗ 1
F A
F A ⊗ F 1
F (A ⊗ 1)

✲
r
F A
✻
id ⊗
ˆ
F
✻
F (r
A
)
✛

F
A,1
(1.4)
1 ⊗ F A
F A
F 1 ⊗ F A
F (1 ⊗ A)
✲
l
F A
✻
ˆ
F ⊗id
✻
F (l
A
)

✛

F
1,A
(1.5)
Chú ý 1.1.9. 1. Nếu cặp (F,

F ) thỏa mãn biểu đồ giao hoán (1.3) thì nó được
gọi là một A-hàm tử.
2. Nếu cặp (F,

F ) thỏa mãn biểu đồ giao hoán (1.4), (1.5) thì nó được gọi là
một U-hàm tử.
18
Mệnh đề 1.1.10. Cho hai hàm tử monoidal
(F,

F ,
ˆ
F ) : C → C

, (F

,

F

,
ˆ
F


) : C

→ C

.
Hợp thành của hai hàm tử trên là một hàm tử monoidal (F

F,

F

F ,

F

F ) từ C đến
C

, trong đó F

F là hợp thành của hai hàm tử theo nghĩa thông thường, và các
đẳng cấu

F

F
A,B
: F


F (A ⊗ B) → F

F A ⊗ F

F B,

F

F : F

F 1 → 1

được xác định
bởi các biểu đồ sau
F

F (A ⊗ B) (F

F )A ⊗ (F

F )B
F

(F A ⊗ F B)
✲

F

F
A,B

❍
❍
❍
❍
❍❥
F

(

F
A,B
)
✟
✟
✟
✟
✟✯

F

F A,F B
F

F 1 1

F

1

✲


F

F
❅
❅
❅❘
F

(
ˆ
F )


✒
ˆ
F

1.1.4 Mũi tên hàm tử monoidal
Định nghĩa 1.1.11. Giả sử (F,

F ,
ˆ
F ), (K,

K,
ˆ
K) : C → D là hai hàm tử monoidal
giữa hai phạm trù monoidal. Một phép biến đổi monoidal tự nhiên hay một mũi
tên hàm tử u : F −→ K là một phép biến đổi tự nhiên sao cho các biểu đồ sau

giao hoán.
F (A ⊗ B)
F A ⊗ F B
K(A ⊗ B)
KA ⊗ KB
✲

F
A,B
❄
u
A⊗B
❄
u
A
⊗u
B
✲

K
A,B
(1.6)
F 1 K1
1

✲
u
1
❅
❅❘

ˆ
F

✠
ˆ
K
(1.7)
Định nghĩa 1.1.12. Cho (F,

F ,
ˆ
F ) : C → D là một hàm tử monoidal. Trong
trường hợp tồn tại một hàm tử monoidal (K,

K,
ˆ
K) : D → C và các phép biến
đổi monoidal tự nhiên KF
∼
→ id
C
, F K
∼
→ id
D
, chúng ta nói rằng (F,

F ,
ˆ
F ) là một

tương đương monoidal và C, D là hai phạm trù monoidal tương đương.
Bổ đề 1.1.13 ([55, H.X.Sinh]). Cho (F,
˘
F ), (K,
˘
K) : C → C

là những ⊗-hàm tử
tương thích với các ràng buộc đơn vị và
ˆ
F : F 1 → 1

,
ˆ
K : K1 → 1

là những đẳng
cấu tương ứng. Khi đó nếu u : F → K là một ⊗-mũi tên sao cho u
1
là một đẳng
cấu thì biểu đồ sau giao hoán
F 1 K1
1

✲
u
1
❅
❅❘
ˆ

F

✠
ˆ
K
19
nghĩa là
ˆ
K ◦ u
1
=
ˆ
F .
1.1.5 Phạm trù monoidal bện
Chúng ta nhắc lại khái niệm phạm trù monoidal bện theo [21].
Định nghĩa 1.1.14. Một bện cho phạm trù monoidal C bao gồm họ các đẳng
cấu tự nhiên
c = c
A,B
: A ⊗ B
∼
−→ B ⊗ A,
trong C sao cho nó thoả mãn hai biểu đồ giao hoán (1.8) và (1.9) sau đây.
(A ⊗ B) ⊗ C (B ⊗ A) ⊗ C B ⊗ (A ⊗ C)
A ⊗ (B ⊗ C) (B ⊗ C) ⊗ A B ⊗ (C ⊗ A)
✲
c⊗id
❄
a
−1

✲
a
−1
❄
id ⊗c
✲
c
✲
a
−1
(1.8)
A ⊗ (B ⊗ C) A ⊗ (C ⊗ B) (A ⊗ C) ⊗ B
(A ⊗ B) ⊗ C C ⊗ (A ⊗ B) (C ⊗ A) ⊗ B
✲
id ⊗c
❄
a
✲
a
❄
c⊗id
✲
c
✲
a
(1.9)
Một tensor phạm trù bện hay một phạm trù monoidal bện là một cặp (C, c)
bao gồm một phạm trù monoidal C và một bện c.
Hơn nữa, nếu
c

B,A
◦ c
A,B
= id
A⊗B
, (1.10)
thì C được gọi là một phạm trù monoidal đối xứng, hay một ACU-phạm trù.
Chú ý 1.1.15. Đẳng cấu tự nhiên
c = c
A,B
: A ⊗ B
∼
−→ B ⊗ A,
thỏa mãn điều kiện (1.10) được gọi là ràng buộc giao hoán hay ràng buộc đối
xứng.
Nhận xét 1.1.16. 1. Trong một phạm trù monoidal đối xứng, tiên đề (1.8)
được suy ra từ các tiên đề còn lại.
2. Bởi Định lý khớp của S. Mac Lane ([29]), trong một phạm trù monoidal đối
xứng C, tồn tại duy nhất mũi tên v
A,B,C,D
: (A ⊗ B) ⊗ (C ⊗ D) → (A ⊗ C) ⊗
20
(B ⊗ D) được xác định như sau:
(A ⊗ B) ⊗ (C ⊗ D) A ⊗ (B ⊗ (C ⊗ D)) A ⊗ ((B ⊗ C) ⊗ D)
(A ⊗ C) ⊗ (B ⊗ D) A ⊗ (C ⊗ (B ⊗ D)) A ⊗ ((C ⊗ B) ⊗ D)
✲
a
−1
A,B,C⊗D
❄

v
A,B,C,D
✲
id
A
⊗a
B,C,D
❄
id
A
⊗(c
B,C
⊗id
D
)
✛
a
A,C,B⊗D
✛
id
A
⊗a
−1
C,B,D
(1.11)
Đẳng cấu v được gọi là ràng buộc kết hợp-giao hoán của phạm trù monoidal
đối xứng C.
Định nghĩa 1.1.17 (Hàm tử monoidal bện (đối xứng)). Cho C và D là hai
phạm trù monoidal bện (đối xứng). Một ⊗-hàm tử (F,


F ,
ˆ
F ) từ C đến D được
gọi là bện (đối xứng) nếu với mỗi cặp (A, B) những vật của C, hình vuông
F (A ⊗ B)
F A ⊗ F B
F (B ⊗ A)
F B ⊗ F A
✲

F
A,B
❄
F (c
A,B
)
❄
c

F A,F B
✲

F
B,A
(1.12)
giao hoán.
Một hàm tử monoidal đối xứng còn được gọi là một ACU-hàm tử.
Giả sử C và D là hai phạm trù monoidal đối xứng. Nếu ⊗-hàm tử (F,

F ) : C → D

là một A-hàm tử và thỏa mãn biểu đồ giao hoán (1.12) thì nó được gọi là một
AC-hàm tử.
1.2 Gr-phạm trù và P ic-phạm trù
Các khái niệm và các kết quả trình bày trong tiểu mục này là theo Hoàng Xuân
Sính [55].
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử (C, ⊗, a, (1, l, r)) là một phạm trù monoidal. Vật X
của C được gọi là vật khả đảo nếu tồn tại các vật X

, X

của C sao cho X

⊗X  1,
X ⊗ X

 1.
Nhận xét 1.2.2. Nếu X

⊗ X
x

 1, X ⊗ X

x

 1 thì X

 X

.

Hệ quả 1.2.3. X khả đảo khi và chỉ khi tồn tại vật X

thỏa mãn X ⊗ X

 1 và
X

⊗ X  1.
Mệnh đề 1.2.4. X khả đảo khi và chỉ khi X là vật chính quy.
Định nghĩa 1.2.5. Một Gr-phạm trù G là một phạm trù monoidal mà tất cả
các vật đều khả nghịch và phạm trù nền là một groupoid, nghĩa là tất cả các
mũi tên đều là đẳng cấu.
21
Từ định nghĩa ta suy ra mọi vật của một Gr-phạm trù đều là chính quy.
Một Gr-phạm trù còn được gọi là nhóm phạm trù theo cách gọi gần đây [6, 7],
hay một 2-nhóm trong [12].
Mệnh đề 1.2.6. Giả sử G, G

là những Gr-phạm trù và (F,

F ) : G → G

là một
⊗-hàm tử tương thích với các ràng buộc kết hợp. Khi đó (F,

F ) tương thích với
các ràng buộc đơn vị.
Ta gọi một ⊗-hàm tử kết hợp giữa hai Gr-phạm trù là một Gr-hàm tử. Như
vậy, một Gr-hàm tử bao giờ cũng là một hàm tử monoidal.
Định nghĩa 1.2.7. Một phạm trù Picard hay một P ic-phạm trù P là một

Gr-phạm trù cùng với một ràng buộc giao hoán tương thích với ràng buộc kết
hợp.
Một phạm trù Picard còn được gọi là một nhóm phạm trù đối xứng [5] hay
một 2-nhóm đối xứng [12, 19].
Chú ý rằng trong một Pic-phạm trù, ràng buộc giao hoán bao giờ cũng tương
thích với ràng buộc đơn vị.
Định nghĩa 1.2.8. Một AC-hàm tử giữa hai P ic-phạm trù được gọi là một
P ic-hàm tử.
1.3 Ann-phạm trù
Các khái niệm, các kết quả và các ví dụ trong mục này là của Nguyễn Tiến
Quang [2, 38].
1.3.1 Định nghĩa và ví dụ về Ann-phạm trù
Định nghĩa 1.3.1. Một Ann-phạm trù gồm:
(i) Phạm trù A cùng với hai song hàm tử ⊕, ⊗ : A × A → A;
(ii) Vật cố định 0 ∈ A cùng với các đẳng cấu tự nhiên a
+
, c
+
, g, d, sao cho
(A, ⊕, a
+
, c
+
, (0, g, d)) là một nhóm phạm trù đối xứng;
(iii) Vật cố định 1 ∈ A cùng với các đẳng cấu tự nhiên a, l, r sao cho
(A, ⊗, a, (1, l, r)) là một phạm trù monoidal;