Luận văn: Phương pháp lặp banach cho bài toán bất đẳng thức biến phân docx

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
1.1.
1.2.
1.3.
2.1.
2.2.
3.1.
3.2.
3.3.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
R
n
n
|β| β
x := y x y
∀x x
∃x x
I
A ⊂ B A B
A ⊆ B A B
A ∪ B A B
A ∩ B A B
A × B A B

D D
{f(x) | x ∈ C} f C
A
T
A
x
k
→ x {x
k
} x
V I
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
x := (x
1
, x
2
, , x
n
)
T
, y := (y
1
, y
2
, , y

n
)
T
∈ R
n
x, y =
n

i=1
x
i
y
i
x y
||x|| :=

x, x,
d(x, y) := ||x − y||.
• C ⊂ R
n
λx + (1 − λ)y ∈ C ∀x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1).
• C ⊂ R
n
λx ∈ C ∀x ∈ C, λ ≥ 0.
• C ⊂ R
n
x ∈ C C x
N
C
(x)

N
C
(x) := {w ∈ R
n
: w, y − x ≤ 0 ∀y ∈ C}.
C ⊂ R
n
f : C → R
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
• f f
domf := {x ∈ R
n
: f(x) < +∞}.
• f
domf = ∅, f(x) > −∞ ∀x ∈ C.
• f C
f(λx
1
+ (1 − λ)x
2
) ≤ λf(x
1
) + (1 − λ)f(x
2
) ∀x
1
, x
2

∈ C, λ ∈ [0, 1].
• f C
f(λx
1
+ (1 − λ)x
2
) < λf(x
1
) + (1 − λ)f(x
2
) ∀x
1
= x
2
∈ C, λ ∈ (0, 1).
• f β > 0 C ∀x
1
= x
2
∈ C, λ ∈
(0, 1)
f(λx
1
+ (1 − λ)x
2
) < λf(x
1
) + (1 − λ)f(x
2
) − λ(1 − λ)β||x

1
− x
2
||
2
.
f C R
n
w ∈ R
n
f x ∈ C
f(y) − f(x) ≥ w, y − x ∀y ∈ C.
f x f
∂f(x)
∂f(x) := {w ∈ R
n
: f(y) − f(x) ≥ w, y − x ∀y ∈ C}.
f C ∂f(x) = ∅ ∀x ∈ C.
C R
n
C
δ(x) :=



0 x ∈ C,
+∞ x /∈ C.
∂δ
C
(x) = N

C
(x).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
x ∈ C δ
C
(x) = 0
∂δ
C
(x) = {w ∈ R
n
: δ
C
(y) ≥ w, y − x ∀y ∈ C}.
∂δ
C
(x) = {w ∈ R
n
: 0 ≥ w, y − x ∀y ∈ C} = N
C
(x).
R
n
f(x) := ||x|| x ∈ R
n
∂f(x) :=



{w ∈ R

n
: ||w|| = 1, w, x = ||x||} x = 0,
¯
B(0, 1) x = 0,
¯
B(0, 1) 0 1
x = 0
∂f(x) = {w ∈ R
n
: ||w|| = 1, w, x = ||x||}.
w
||w|| = 1, w, x = ||x||
w, x ≤ ||w||.||x || = ||x||.
w, x − y ≤ ||x|| − ||y||.
w ∈ ∂f ( x)
w ∈ ∂f ( x)
−||x|| = ||0|| − ||x|| ≥ w, 0 − x = −w, x,
||x|| = ||2x|| − ||x|| ≥ w, 2x − x = w, x
||x|| = w, x. (∗)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
||λz + x|| − ||x|| ≥ w, λz + x − x = w, λz ∀λ > 0, z ∈ R
n
.
||z +
x
λ
|| −
1
λ

||x|| ≥ w, x.
λ → ∞
||z|| ≥ w, z ∀z ∈ R
n
.
||w|| ≤ 1.
||w|| < 1 z ∈ R
n
, ||z|| = 1 |w, z| < 1
z =
x
||x||
|w, z| = |w,
x
||x||
| < 1.
w, x < ||x||.
(∗) ||w|| = 1
x = 0
∂f(x) = {w ∈ R
n
: w, y ≤ ||y|| ∀y} = {w ∈ R
n
: ||w|| ≤ 1} =
¯
B(0, 1).
C
R
n
F C → R

n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
x
∗
∈ C
F (x
∗
), x − x
∗
 ≥ 0 ∀x ∈ C.
S
∗
C R
n
F : C → R
n
F
C
F (u) − F (v) , u − v ≥ 0 ∀u, v ∈ C
C
F (u) − F (v) , u − v > 0 ∀u, v ∈ C, u = v.
C τ > 0 τ
F (u) − F (v) , u − v ≥ τ u − v
2
∀u, v ∈ C.
δ δ C
δ > 0
F (u) − F (v), u − v ≥ δ||F (u) − F (v)||
2

u, v ∈ C.
C F : C → R
n
C
F C ∇F (x) C
y, ∇F (x)y ≥ 0 ∀y ∈ C.
F C ∇F (x) C
y, ∇F (x)y > 0 ∀y ∈ C, y = 0.
F C ∇F (x)
C β > 0
y, ∇F (x)y > β||y||
2
∀y ∈ C, y = 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
f(x) C = [a, b]
x
0
∈ C
f(x
0
) = min
x∈C
f(x).
x
0
∈ [a, b]
x
0
∈ (a, b) f


(x
0
) = 0
x
0
= a f

(x
0
) = lim
x→x
0
+
f(x)−f(x
0
)
x−x
0
≥ 0
x
0
= b f

(x
0
) = lim
x→x
0
−

f(x)−f(x
0
)
x−x
0
≤ 0
x
0
f

(x
0
).(x − x
0
) ≥ 0 ∀x ∈ C.
x
0
F = f

C = [a, b]
f(x) C ⊆ IR
n
x
0
∈ C
f(x
0
) = min
x∈C
f(x).

x
0
x
0
F (x) := ∇f(x)
y ∈ C C (1 − t)x
0
+ ty ∈ C ∀t ∈ [ 0, 1]
ϕ(t) := f(x
0
+ t(y − x
0
)).
x
0
t = 0 ϕ(t) [0, 1]
ϕ

(t
0
).(t − t
0
) ≥ 0 ∀t ∈ [0, 1].
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
∇f(x
0
), x − x
0
 ≥ 0 ∀x ∈ C.

✷
f C ⊆ R
n
x
0
∈ C
min
x∈C
f(x)
x
0
F (x) := ∇f(x)
f
C
f(x) − f(x
0
) ≥ ∇f(x
0
), x − x
0
 ∀x ∈ C.
∇f(x
0
), x − x
0
 ≥ 0 ∀x ∈ C.
f(x) ≥ f(x
0
) ∀x ∈ C.
x

0
min
x∈C
f(x).
✷
C = R
n
+
F : C → R
n
x
0
∈ C
F (x
0
) ∈ C, F (x
0
), x
0
 = 0.
x
0
∈ C = R
n
+
x
0
F (x
0
), x − x

0
 ≥ 0 ∀x ∈ C.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
⇒ x
0
F (x
0
) ∈ C, F (x
0
), x
0
 = 0.
F (x
0
), x − x
0
 = F (x
0
), x − F (x
0
), x
0
 = F (x
0
), x ≥ 0 ∀x ∈ C.
⇐ x
0
x
0

∈ C : F (x
0
), x − x
0
 ≥ 0 ∀x ∈ C.
e
i
= (0, 0, , 0, 1, 0, 0)
T
1 i x
1
= x
0
+ e
i
∈ C
x
1
F (x
0
), x
1
− x
0
 ≥ 0.
F (x
0
), e
i
 ≥ 0 ∀i = 1, 2, n.

F (x
0
) ∈ C
0 ∈ C
F (x
0
), x − x
0
 ≥ 0 ∀x ∈ C.
−F (x
0
), x
0
 ≥ 0.
F (x
0
), x
0
 = 0.
✷
•N
•A
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
O ⊆ N D ⊆ N O ∩ D = ∅ O
D
•f
i
a
i a ∈ A f

f
i
a
i ∈ I a ∈ A I
•c
i
a
i A c
c
i
a
i ∈ I, a ∈ A
•d
i
w
i ∈ I w = (O, D)
O ∈ O, D ∈ D
c = c(f)
f
•λ
i
w
w i
•x
i
w
i ∈ I w ∈ O × D
d
i
w

=

p∈P
w
x
i
p
∀i ∈ I, w ∈ O × D ,
P
w
w = (O, D)
O D
i w
f
i
a
=

p∈P
w
x
i
p
δ
ap
∀i ∈ I, w ∈ O × D ,
δ
ap
:=




1
a ∈ p,
0
a /∈ p.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
p
c
i
p
=

a∈A
c
i
a
δ
ap
.
c
i
p
i p
d d
i
w
(i ∈ I, w ∈ O × D) f
d

i
a
(i ∈ I, a ∈ O × D) (d
∗
, f
∗
)
c
i
p
(f
∗
) =



λ
i
w
(d
∗
) x
i
p
> 0,
> λ
i
w
(d
∗

) x
i
p
= 0,
i ∈ I p
K = {(f, d) | ∃ x ≥ 0 }.
(f
∗
, d
∗
) ∈ K
(f
∗
, d
∗
) ∈ K 

c(f
∗
)), λ(d
∗
)

, (f, d)−(f
∗
, d
∗
) ≥ 0 ∀(f, d) ∈ K.
n p
i

i
σ :=

n
i=1
x
i
h
i
(x
i
) i
x
i
i
f
i
(x
1
, , x
n
) = x
i
p
i
(
n

i=1
x

i
) − h
i
(x
i
) (i = 1, , n),
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
p(

n
j=1
x
j
)
i
U
i
⊂ IR, (i = 1, , n) i
x
∗
= (x
∗
1
, , x
∗
n
) ∈ U := U
1
× × U

n
f
i
(x
∗
1
, , x
∗
i−1
, y
i
, x
∗
i+1
, , x
∗
n
)  f
i
(x
∗
1
, , x
∗
n
) ∀y
i
∈ U
i
, ∀i = 1, , n.

p
i
(σ) ≡ p(σ) = α
0
− βσ, α
0
≥ 0, β > 0, σ =

n
i=1
x
i
,
h
i
(x
i
) = µ
i
x
i
+ ξ
i
, µ
i
≥ 0, ξ
i
≥ 0 (i = 1, , n).
A =







β 0 0 0
0 β 0 0

0 0 0 0 β






,
˜
A =






0 β β β
β 0 β β

β β β 0







α
T
= (α
0
, , α
0
), µ
T
= (µ
1
, , µ
n
).
x
∗
x
∗



x ∈ U

˜
Ax + µ − α, y − x + y
T
Ay − x

T
Ax ≥ 0 ∀y ∈ U.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
F
C F C
C R
n
C ⊆ R
n
F C
f = P r
C
(I − F ),
P r
C
C
P r
C
(x) = inf{||x − y|| : y ∈ C}
I
C ⊆ R
n
F : C → C C
F
F C f C
f x
∗
∈ C x
∗

= f(x
∗
)
x
∗
= P r
C
(x
∗
− F (x
∗
)) P r
C
x
∗
, y − x
∗
 ≥ (I − F )(x
∗
), y − x
∗
 ∀y ∈ C.
x
∗
, y − x
∗
 ≥ x
∗
− F (x
∗

), y − x
∗
 ∀y ∈ C.
x
∗
F (x
∗
), y − x
∗
 ∀y ∈ C.
✷
C
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
C ⊆ R
n
F : C → R
n
C x
∗
∈ C
F (y) − F(x
∗
), y − x
∗

||x − x
∗
||
→ +∞

x ∈ C ||x|| → ∞
C ⊆ R
n
F
C
F (y) − F(x
∗
), y − x
∗

||x − x
∗
||
→ +∞
x ∈ C ||x|| → ∞ H > 0 R > ||x
∗
||
F (y) − F(x
∗
), y − x
∗

||x − x
∗
||
≥ H ∀||y|| ≥ R.
F (y) − F(x
∗
), y − x
∗

 ≥ H||x − x
∗
|| ∀||y|| ≥ R.
F (y), y − x
∗
 ≥ H||x − x
∗
|| + F (x
∗
), y − x
∗
 ∀||y|| ≥ R.
F (y), y − x
∗
 ≥ H||x − x
∗
|| − ||F (x
∗
)||.||y − x
∗
|| ∀||y|| ≥ R.
F (y), y − x
∗
 ≥ (H − ||F (x
∗
)||).||y − x
∗
|| > 0 ∀||y|| ≥ R.
x
0

C
0
:=
¯
B(0, R)∩C
F (x
0
), y − x
0
 ≥ 0 ∀y ∈ C
0
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
x
∗
∈ C
0
F (x
0
), x
∗
− x
0
 ≥ 0.
||x
0
|| = R ||x
0
|| < R

 ∈ (0, 1) x

:= x
0
+ (1 − )x
∗
∈ C
0
x

F (x
0
), x

− x
0
 ≥ 0 ∀x ∈ C.
F (x
0
), x − x
0
 ≥ 0 ∀x ∈ C.
✷
C R
n
F : C →
R
n
C x
∗

∈ C
F (x
∗
), x − x
∗
 ≥ 0 ∀x ∈ C
F (x), x − x
∗
 ≥ 0 ∀x ∈ C.
(⇒) F x
∗
∈ C x
∗
∈ C
F (x
∗
), x − x
∗
 ≥ 0 ∀x ∈ C.
0 ≤ F (y) − F (x
∗
), y − x
∗
 = F (y), y − x
∗
 − F (x
∗
), y − x
∗
 ∀y ∈ C.

0 ≤ F (x
∗
), y − x
∗
 ≤ F (y), y − x
∗
 ∀y ∈ C.
(⇐)
z ∈ C, λ ∈ (0, 1) y = x
∗
+ λ(z − x) ∈ C
F (y), y − x
∗
 ≥ 0 ∀y ∈ C.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
F (x
∗
+ λ(z − x
∗
)), x
∗
+ λ(z − x
∗
) − x
∗
 ≥ 0 ∀z ∈ C.
F (x
∗
+ λ(z − x

∗
)), z − x
∗
 ≥ 0 ∀z ∈ C.
λ → 0
+
F
F (x
∗
), z − x
∗
 ≥ 0 ∀z ∈ C.
✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
F
C ⊆ R
n
F : C → R
n
• F β > 0 C
F (x) − F (x

), x − x

 ≥ β||x − x

||

2
∀x, x

∈ C.
• F L > 0 L
C
||F (x) − F (x

)|| ≤ L||x − x

|| ∀x, x

∈ C.
L < 1 F C L = 1 F
C
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com