Luận văn: Tính liên thông của tập nghiệm trong bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ đơn điệu doc

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
•R
n
+
= {(x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
: x
i
≥ 0, i = 1, , n}
•x, y x y
•x x
•intA A
•clA A
•∂A A
•
¯
B(x
0
, ) x
0


•B(x
0
, ) x
0

•G : X ⇒ Y G : X ⇒ 2
Y
X, Y
•A ∈ R
r×n
r ×n A
T
A
•x ∈ R
n
x
T
x
•N
∆
(x) ∆ x
•0
+
∆ ∆
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
∆ ⊂ R
n
F : ∆ → R
n

¯x ∈ ∆
F (¯x), y − ¯x ≥ 0, ∀y ∈ ∆,
Sol( ) ¯x ∈ ∆
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
¯x ∈ ∆
F (¯x), y − ¯x /∈ −R
+
\ {0}, ∀y ∈ ∆.
¯x ∈ Sol( ) 0 ∈ F (¯x) + N
∆
(¯x)
N
∆
(¯x) ∆ ¯x
N
∆
(¯x) =

{z ∈ R
n
: z, x − ¯x ≤ 0, ∀x ∈ ∆} ¯x ∈ ∆
∅ ¯x /∈ ∆
¯x ∈ ∆ ε > 0
F (¯x), y − ¯x ≥ 0, ∀y ∈ ∆ ∩
¯
B(¯x, ε).
¯x ∈ Sol( )
ε > 0 y ∈ ∆
t =∈ (0, 1) z
t

:= ¯x + t(y − ¯x) ∆ ∩
¯
B(¯x, ε)
0 ≤ F (¯x), z
t
− ¯x = tF (¯x), y − ¯x F (¯x), y − ¯x ≥ 0
y ∈ ∆ ¯x ∈ Sol( )
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
∆ ⊂ R
n
F : ∆ → R
n
∆
∆ ⊂ R
n
F : ∆ → R
n
x
0
∈ ∆
F (y) − F (x
0
), y − x
0

y − x
0

→ +∞ y → +∞, y ∈ ∆,
γ > 0

ρ > 0
F (y) − F (x
0
), y − x
0

y − x
0

≥ γ y ∈ ∆ y > ρ.
∆ x
0
∈ ∆
x
0
∈ ∆
∆
x
0
∈ ∆ α > 0
F (y) − F (x
0
), y − x
0
 ≥ αy − x
0

2
, ∀y ∈ ∆
α > 0

F (y) − F (x), y − x ≥ αy −x
2
, ∀x ∈ ∆, ∀y ∈ ∆,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
α > 0 F
∆
F ∆
F (y) − F (x), y − x ≥ 0, ∀x ∈ ∆, ∀y ∈ ∆.
F ∆
F (y) − F (x), y − x > 0, ∀x ∈ ∆, ∀y ∈ ∆, x = y.
∆ ⊂ R
n
F : ∆ → R
n
¯x ∈ Sol( ) ¯x ∈ ∆
F (y), y − ¯x ≥ 0, ∀y ∈ ∆.
¯x ∈ Sol( ) F
F (y) − F (¯x), y − ¯x ≥ 0, ∀y ∈ ∆.
F (y), y − ¯x ≥ F (¯x), y − ¯x ≥ 0, ∀y ∈ ∆
¯x ∈ ∆ y ∈ ∆
∆ y(t) := ¯x + t(y − ¯x) ∈ ∆ t ∈ (0, 1)
y = y(t)
0 ≤ F (y(t)), y(t) − ¯x = F (¯x + t(y − ¯x), t(y − ¯x).
F (¯x + t(y − ¯x), y − ¯x ≥ 0, ∀t ∈ (0, 1).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
t → 0 F F (¯x), y−¯x ≥ 0
y ∈ ∆ ¯x ∈ Sol( )
F ∆
F ∆
F

∆ ¯x ¯y F (¯x), ¯y −
¯x ≥ 0 F (¯y), ¯x − ¯y ≥ 0
F (¯x) −F (¯y), ¯y − ¯x ≥ 0 F (¯y) −
F (¯x), ¯y − ¯x > 0
F ∆ y ∈ ∆
Ω(y) ¯x ∈ ∆ F (y), y −¯x ≥ 0
Ω(y)
Sol( ) =

y∈∆
Ω(y).
Sol( )
F : ∆ → R
n
F
F F
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
H H = R
n
∆ ⊆ H
F
i
: ∆ → H(i = 1, 2, , m)
F := (F
1
, F
2
, , F
m
) = (F

i
)
m
i=1
x ∈ ∆, v ∈ H
F (x)(v) := (F
1
(x), v, F
2
(x), v, , F
m
(x), v).
C ⊆ R
m
C
∗
:= {(ξ
i
)
m
i=1
∈ R
m
: ξ, c ≥ 0, ∀c ∈ C}
C.
¯x ∈ ∆
(F
1
(¯x), y − ¯x, , F
m

(¯x), y − ¯x) /∈ −C\{0}, ∀y ∈ ∆,
Sol( ) ¯x ∈ ∆
¯x ∈ ∆
(F
1
(¯x), y − ¯x, , F
m
(¯x), y − ¯x) /∈ −intC, ∀y ∈ ∆,
w
Sol( )
w
w
¯x ∈ ∆
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ξ = (ξ
1
, , ξ
m
) ∈ C
∗
¯x ∈ ∆

m

i=1
ξ
i
F
i
(¯x), y − ¯x ≥ 0, ∀y ∈ ∆,

ξ
Sol( )
ξ ξ
¯x ∈ ∆
Λ ⊂ C C 0 /∈ Λ ∀x ∈ C\{0}
∃t ∈ R
+
tx ∈ Λ
C ⊂ R
m
C
∗
intC = ∅ ⇒ ∃c ∈ intC, c = 0 Λ := {ξ ∈ C
∗
:
ξ, c = 1} 0 /∈ Λ t =
1
ξ, c
∀x ∈ C\{0} : tx ∈ Λ Λ C
∗
Λ R
m
Λ
C intC
∗
= ∅ (C
∗
)
∗
C

∗
C Λ := {ξ ∈ C
∗
:
ξ, c = 1}
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ξ∈intC
∗
Sol( )
ξ
⊆ Sol( ) ⊆ Sol( )
w
=

ξ∈C
∗
Sol( )
ξ
F Sol( )
w

ξ∈intC
∗
Sol( )
ξ
⊆ Sol( ).
∀x ∈

ξ∈intC

∗
Sol( )
ξ
⇒ ∃ξ = (ξ
1
, , ξ
m
) ∈ intC
∗
: x ∈ Sol( )
ξ
.
0 ≤ 
m

i=1
ξ
i
F
i
(x), y − x =
m

i=1
ξ
i
F
i
(x), y − x = ξ
T

F (x)(y − x), ∀y ∈ ∆,
ξ
T
y ∈ ∆ F (x)(y − x) ∈ −C\{0} x ∈ Sol( )
Sol( )
w
=

ξ∈C
∗
Sol( )
ξ
.
∀x ∈

ξ∈C
∗
\{0}
Sol( )
ξ
⇒ ∃ξ = (ξ
1
, , ξ
m
) ∈ C
∗
\{0} : x ∈ Sol( )
ξ
.


ξ∈C
∗
\{0}
Sol( )
ξ
⊆ Sol( )
w
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ξ = 0

ξ∈C
∗
Sol( )
ξ
⊆ Sol( )
w
.
x ∈ Sol( )
w
{F (x)(y − x) : y ∈ ∆} ∩ (−intC) = ∅
∃
˜
ξ ∈ C
∗
\{0} : inf
y∈∆

˜
ξ, F (x)(y −x) ≥ sup

v∈−intC

˜
ξ, v,
∃
˜
ξ ∈ C
∗
\{0} : (
˜
ξ)
T
F (x)(y − x) ≥ 0, ∀y ∈ ∆ x ∈ Sol( )
˜
ξ
Ω = C\(−intC) F τ(x) = {x ∈ ∆ :
F (x)(y − x) ∈ Ω}
Sol( )
w
=

x∈∆
τ(x)
Sol( )
tξ
= Sol( )
ξ
, ∀ξ ∈ C
∗
\{0}, ∀t > 0


ξ∈Λ∩intC
∗
Sol( )
ξ
⊆ Sol( ) ⊆ Sol( )
w
=

ξ∈Λ
Sol( )
ξ
.
H = R
n
C = R
n
+
C
∗
= R
n
+
Λ = {ξ = (ξ
1
, , ξ
n
) ∈ R
n
+

:
n

i=1
ξ
i
= 1}

ξ∈Λ∩intR
n
+
Sol( )
ξ
⊆ Sol( ) ⊆ Sol( )
w
=

ξ∈Λ
Sol( )
ξ
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
F ∃α >
0, ∀ξ = (ξ
1
, , ξ
m
) ∈ Λ; ∀x, x

∈ ∆


m

i=1
ξ
i
F
i
(x

) −
m

i=1
ξ
i
F
i
(x), x

− x ≥ αx

− x
2
.
F ∀ξ = (ξ
1
, , ξ
m
) ∈

Λ; ∀x, x

∈ ∆

m

i=1
ξ
i
F
i
(x

) −
m

i=1
ξ
i
F
i
(x), x

− x ≥ 0.
Sol( ) ⊆ Sol( )
w
F
Sol( )
Sol( )
w

H = R
2
, ∆ = {x = (x
1
, x
2
) ∈ R
2
: x
1
≥ 0}, C = R
2
+
F = (F
1
, F
2
) F
1
(x) = (x
1
− 1, x
2
), F
2
(x) = (
1
2
x
1

, x
2
− 1)
F C
∗
=
C = R
2
+
Λ = {(ξ
1
, ξ
2
) ∈ R
2
+
: ξ
1
+ ξ
2
= 1}
C
∗
∀ξ ∈ Λ, ¯x ∈ Sol( )
ξ
⇔ ξ
1
F 1(¯x) + ξ
2
F

2
(¯x) ∈ −N
∆
(¯x)
N
∆
(¯x) = 0 ¯x ∈ int∆ N
∆
(¯x) = {(z
1
, z
2
) : z
1
≤ 0, z
2
= 0}
¯x ∈ ∂∆
Sol( )
w
= {¯x = (¯x
1
, ¯x
2
) ∈ K : ¯x
2
= 2 +
2
¯x
1

− 2
, 0 ≤ ¯x
1
≤ 1},
Sol( ) = {¯x = (¯x
1
, ¯x
2
) ∈ K : ¯x
2
= 2 +
2
¯x
1
− 2
, 0 < ¯x
1
< 1}.
˜x = (0, 1) ∈ Sol( )
w
y ∈ ∆
(F
1
(˜x), y − ˜x, F
1
(˜x), y − ˜x) = (−y
1
+ y
2
− 1, 0) = R × {0}.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(y
1
, y
2
) = (0, 0) ∈ ∆ ⇒ F (˜x)(y − ˜x) = (−1, 0) ∈ −R
2
+
˜x /∈ Sol( )
˜
˜x = (1, 0) /∈ Sol( )
∆ ⊂ H int∆ = ∅ ∀x = x

∈ ∆ :
{x
t
= (1 − t)x + tx

: t ∈ (0, 1)} ⊂ int∆
Sol( ) = Sol( )
w
∆ ⊆ H C ⊆ R
m
x ∈ ∆
ϕ : H → R
m
v → F (x)v
Sol( ) = Sol( )
w
Sol( ) = Sol( )

w
⇒ ∃y ∈ Sol( )
w
\Sol( ).
y = Sol( ) ⇒ ∃z = y, z ∈ ∆ : F (y)(z − y) ∈ −C\{0}.
∆ ∀t ∈ (0, 1) : θ
t
= (1 − t)y + tz ∈ int∆
F (y)(θ
t
− y) ∈ −C\{0}.
 > 0
¯
B(θ
t
, ) ⊂ ∆
¯
B(θ
t
, )
θ
t
 x ∈ ∆ ϕ : H → R
m
v → F (x)v
¯
B(θ
t
, ) −y
θ

t
− y F (y)(
¯
B(θ
t
, ) − y) := {F (y)(x − y) : x ∈
¯
B(θ
t
, )}
µ
t
:= F (y)(θ
t
− y)
F (y)(
¯
B(θ
t
, ) − y) ∃ρ > 0
¯
B(µ
t
, ρ) ⊂ F (y)(
¯
B(θ
t
, ) − y).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
intC = ∅

¯
B(µ
t
, ρ)∩−intC = ∅
∃x ∈
¯
B(θ
t
, ) F (y)(x − y) ∈ −intC\{0}
F
Sol( ) Sol( )
w
F
Sol( )
w
X
X X
X ∀x, y ∈ X
γ : [0, 1] → X γ(0) = x, γ(1) = y
ψ : X ×[0, 1] → X
a ∈ X ∀x ∈ X ψ(x, 0) = x, ψ(x, 1) = a
G : X ⇒ Y X G
{(x, y) ∈ X × Y : y ∈ G(x)} X × Y
G : X ⇒ Y X
a ∈ X Ω G(a) ⊂ Ω
U a G(a

) ⊂ Ω a

∈ U

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
G : X ⇒ Y Y G
X
X, Y G : X ⇒ Y
X
x ∈ X G(x)
X
G(X) =

x∈X
G(x)
M ⊂ R
m
, N ⊂ R
l
f : R
n
×M → R
n
g : N ⇒ R
n
¯x ∈ g(λ)
f(¯x, ξ), y − ¯x ≥ 0, ∀y ∈ g(λ),
(ξ, λ) ∈ M × N
(ξ,λ)
¯
λ ∈ N, ∀x ∈ g(
¯
λ) g (
¯

λ, x)
V
¯
λ W x k > 0
∀λ, λ

∈ N ∩ V
g(λ) ∩ W ⊆ g(λ

) + kλ − λ

B,
B R
n
X x U ¯µ
p > 0
f(x

, µ

)−f(x, µ) ≤ p(x

−x+µ

−µ), ∀µ, µ

∈ M ∩U; ∀x, x

∈ X
f (x, ¯µ)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
¯
∆ ⊂ g(
¯
λ) ∀x ∈
¯
∆ g
(
¯
λ, x) k > 0 V
¯
λ
x ∈
¯
∆ W x ∀λ, λ

∈ N ∩V
g(λ) ∩ W ⊆ g(λ

) + kλ − λ

B.
(¯µ,
¯
λ) ∈ M ×N X
x U ¯µ p > α > 0
f(x

, µ


)−f(x, µ) ≤ p(x

−x+µ

−µ), ∀µ, µ

∈ M ∩U; ∀x, x

∈ X;
f(x

, µ)−f(x, µ), x

−x ≥ αx

−x
2
, ∀µ ∈ M ∩U; ∀x, x

∈ X,
∀θ ∈ (0,
α
p
2
)
˜
U ¯µ
˜
V
¯

λ
∀(µ, λ) ∈ (M ∩
˜
U) ×(N ∩
˜
V )
(µ,λ)
X
∀µ, µ

∈ M ∩
˜
U; ∀λ, λ

∈ N ∩
˜
V
x(µ

, λ

) − x(µ, λ) ≤
1
1 − β
(θpµ

− µ + 2k(λ

− λ)
1

2
),
β = (1 − θα)
1
2
α > 0 ∀ξ = (ξ
1
, , ξ
m
) ∈ Λ; ∀x, x

∈ ∆

m

i=1
ξ
i
F
i
(x

) −
m

i=1
ξ
i
F
i

(x), x

− x ≥ αx

− x
2
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
p > 0 ∀i = 1, 2, , m; ∀x, x

∈ ∆
F
i
(x

) − F
i
(x) ≤ px

− x.
Sol( ) = ∅ Sol( )
w
= ∅
Ω =

ξ∈Λ∩intC
∗
Sol( )
ξ
⊆ Sol( ) ⊆ Sol( )

w
=

ξ∈Λ
Sol( )
ξ
= clΩ.
ξ = (ξ
1
, , ξ
m
) ∈ Λ f(x, ξ) :=
m

i=1
ξ
i
F
i
(x).
ξ
x ∈ ∆ f(x, ξ), y − x ≥ 0, ∀y ∈ ∆.

m

i=1
ξ
i
F
i

(x

) −
m

i=1
ξ
i
F
i
(x), x

− x ≥ αx

− x
2
,
f(x

, ξ) − f(x, ξ), x

− x ≥ αx

− x
2
,
f(x

, ξ) − f(x, ξ) ≤ p
√

mξx

− x.
θ ∈ [0,
α
mp
2
ξ
2
] x ∈ Sol( )
ξ
x
x → P
∆
(x − θf(x, ξ)), x ∈ ∆ P
∆
(.)
∆
P
∆
P
∆
(x

− θf(x

, ξ)) − P
∆
(x − θf(x, ξ))
2

≤ (x

− θf(x

, ξ)) − (x − θf(x, ξ))
2
≤ x

− x
2
− 2θf(x

, ξ) − f(x, ξ), x

− x + θ
2
f(x

, ξ) − f(x, ξ)
2
≤ (1 − θα)x

− x
2
, ∀x, x

∈ ∆.
θ ≤
α
mp

2
ξ
2
, α < m p ≥ 1 θα < 1 P
∆
H
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x → P
∆
(x −θf(x, ξ))
x(ξ) ∆ ∀ξ x(ξ)
ξ
Sol( ), Sol( )
w
clΩ =

ξ∈Λ
Sol( )
ξ
F
i
∆ Sol( )
w

ξ∈Λ
Sol( )
ξ
clΩ ⊆

ξ∈Λ

Sol( )
ξ
ξ ∈ Λ M := Λ, ¯µ :=
¯
ξ, g(λ) = ∆
f(x, ξ) y,
¯
ξ y := x(
¯
ξ)
˜
U
¯
ξ
k
¯
ξ
> 0
x(ξ

) − x(ξ) ≤ k
¯
ξ
ξ

− ξ ∀ξ, ξ

∈ Λ ∩
˜
U.

¯
ξ ∈ Λ∩intC
∗
x(
¯
ξ) ∈ Ω ⊆ clΩ
¯
ξ ∈ Λ\intC
∗
ξ
(m)
∈ Λ ∩intC
∗
: ξ
(m)
→
¯
ξ
x(ξ
(m)
) − x(
¯
ξ) ≤ k
¯
ξ
ξ
(m)
− ξ −→ 0.
x(
¯

ξ) ∈ clΩ
α > 0 ∀ξ = (ξ
1
, , ξ
m
) ∈ Λ 
m

i=1
ξ
i
F
i
(x

) −
m

i=1
ξ
i
F
i
(x), x

− x ≥ αx

− x
2
p > 0 ∀i =

1, 2, , m; ∀x, x

∈ ∆ F
i
(x

) − F
i
(x) ≤ px

− x.
Sol( )
w
Sol( )
Sol( )
w
=

ξ∈Λ
Sol( )
ξ
Λ C
∗
ξ ∈ Λ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ξ
x(ξ) ∆
x(.) : Λ → H Λ
Sol( )
w

Sol( )
w
Sol( ) Ω =
{ξ ∈ Λ : x(ξ) ∈ Sol( )} x(.)
Sol( ) Ω
a ∈ Λ Ψ : Ω × [0, 1] → Ω
Ψ(ξ, t) = (1 −t)ξ + ta
Ω
T : ∆ → H
M ⊂ H
T : M ∩∆ → H
F F
i
ξ ∈ Λ Sol( )
ξ
∆
Sol( )
ξ
= ∅
{(ξ, y) ∈ Λ × ∆ : y ∈ Sol( )
ξ
}
Λ × ∆ ∆ H
F ∀ξ = (ξ
1
, , ξ
m
) ∈ Λ; ∀x, x

∈ ∆


m

i=1
ξ
i
F
i
(x

) −
m

i=1
ξ
i
F
i
(x), x

− x ≥ 0
m

i=1
ξ
i
F
i
(.)
y ∈ Sol( )

ξ
⇔



y ∈ ∆

m

i=1
ξ
i
F
i
(x), x − y ≥ 0, ∀x ∈ ∆
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
y ∈ ∆ : 
m

i=1
ξ
i
F
i
(x), x −y ≥ 0
Sol( )
ξ
∆ Sol( )
ξ
= ∅

{(ξ
(k)
, y
(k)
)} ⊂ Λ ×∆ ξ
(k)
→
¯
ξ ∈ Λ
¯
ξ = (
¯
ξ
1
, ,
¯
ξ
m
) {y
(k)
} y ∈ ∆
y ∈ Sol( )
¯
ξ
k y
(k)
∈ Sol( )
ξ
(k)
∀x ∈ ∆


m

i=1
ξ
(k)
i
F
i
(x), x − y
(k)
 ≥ 0.
x ∈ ∆

m

i=1
ξ
(k)
i
F
i
(x), x−y
(k)
 = 
m

i=1
(ξ
(k)

i
−
¯
ξ
i
)F
i
(x), x−y
(k)
+
m

i=1
¯
ξ
i
F
i
(x), x−y
(k)
.
y
(k)
y y
(k)

| 
m

i=1

(ξ
(k)
i
−
¯
ξ
i
)F
i
(x), x − y
(k)
 |≤ 
m

i=1
(ξ
(k)
i
−
¯
ξ
i
)F
i
(x)x − y
(k)
.
≤
m


i=1
| ξ
(k)
i
−
¯
ξ
i
| F
i
(x)(x + y
(k)
).
ξ
(k)
→
¯
ξ

m

i=1
¯
ξ
i
F
i
(x), x − y ≥ 0, ∀x ∈ ∆.
m


i=1
¯
ξ
i
F
i
(.)
y ∈ Sol( )
¯
ξ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên