CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP pot

TT GDTX Chu Văn An

Tài liệu Toán 10 – HKI

CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP
CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP
§1. MỆNH ĐỀ
1. Định nghĩa: Mệnh đề là một câu khẳng định Đ hoặc S. Một mđề không thể vừa đúng hoặc vừa sai
2. Mệnh đề phủ định: Cho mệnh đề P. Mệnh đề “Không phải P ” gọi là mệnh đề phủ định của P. Ký hiệu là
P . Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng
3. Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo: Cho 2 mệnh đề P và Q. Mệnh đề “nếu P thì Q” gọi là mệnh đề kéo
theo. Ký hiệu là P ⇒ Q. Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng Q sai
Cho mệnh đề P ⇒ Q. Khi đó mệnh đề Q ⇒ P gọi là mệnh đề đảo của P ⇒ Q
4. Mệnh đề tương đương: Cho 2 mệnh đề P và Q. Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” gọi là mệnh đề tương
đương, ký hiệu P ⇔ Q. Mệnh đề P ⇔ Q đúng khi cả P và Q cùng đúng
5. Ký hiệu ∀ , ∃ :
Phủ định của mệnh đề “ ∀x∈ X, P(x) ” là mệnh đề “∃x∈X, P(x) ”
Phủ định của mệnh đề “ ∃x∈ X, P(x) ” là mệnh đề “∀x∈X, P(x) ”
Bài 1. Câu nào trong các câu sau là một mệnh đề? là một mệnh đề chứa biến?
a. 2 + 2 = 5 ;
b. 4 – 3x = 5 ;
c. 2 là một số hữu tỉ ;
d. π có phải là số vơ tỉ khơng?
Bài 2. Với mỗi mệnh đề chứa biến sau, hãy tìm hai giá trị thực của x để được một mđề đúng và một mđề sai.
1
a. x < x2 ;
b. x = 2x ;
c. x > ;
d x= x .
x
Bài 3. Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của nó.

a. 1977 là một số nguyên tố ;

b.

(

5 + 20

)

2

là một số hữu tỉ ;

c.

(

3+ 2

)

2

< 10 .

Bài 4. Lập mệnh đề P ⇒ Q và xét tính đúng sai của nó, sau đó phát biểu bằng “đk cần”, “đk đủ”:
a. P: “–3 < 2”; Q: “9 < 4”
b. P: “ π < 4”; Q:” π 2 < 16”
Bài 5. Cho n là một số tự nhiên. Xét các mđ P = “Chữ số tận cùng của n bằng 5” và Q = “n chia hết cho 5”

a. Lập mệnh đề P ⇒ Q và xét tính đúng sai của nó .
b. Lập mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q . Chỉ ra một trường hợp của n mà mệnh đề đảo sai.
Bài 6. Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (1). Xét các mệnh đề sau:
a. Nếu biệt thức của phương trình (1) dương thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b. Nếu a – b + c = 0 thì phương trình (1) có một nghiệm bằng – 1.
c
c. Nếu phương trình (1) có một nghiệm bằng 1 thì phương trình (1) có một nghiệm bằng .
a
Lập mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề trên, xét tính đúng sai của chúng. Viết mệnh đề đã cho và mệnh đề đảo của
nó dưới dạng cần và đủ.
Bài 7. Xét các mđ: A = “ ∀x ∈ ¡ : x 2 + 1 > 0 ”; B = “ ∀x ∈ ¡ :2 x > x ”; C = “ ∃x ∈ ¢ : n = n ; D = x Ô :2 x ∈ ¥ ”
a. Mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?
b. Phát biểu các mệnh đề đã cho bằng lời.
c. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề đã cho.
Bài 8. Xét hai mđ sau: A: “Mọi số thực đều lớn hơn số đối của nó”, B: “Có một số thực bằng nghịch đảo của nó”.
a. Mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?
b. Phát biểu các mệnh đề đã cho bằng lời.
c. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề đã cho.
Bài 9. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng.
GV: Nguyễn Hữu Chung Kiên

totoanhd.hnsv.com

Trang 1


TT GDTX Chu Văn An

Tài liệu Toán 10 – HKI

a. Mọi hình vng đều là hình chữ nhật.
b. Có một tam giác cân không phải là tam giác đều.
Bài 10. Giả sử ABC là một tam giác đã cho. Phát biểu một điều kiện cần và đủ để
a. ABC là một tam giác vuông ;
b. ABC là một tam giác đều ; c. ABC là một ∆ cân .
Bài 11. Pht biểu các mệnh đề sau, sử dụng “ĐK cần”, “ĐK đủ”
a. Nếu ABC l một ∆ cn thì nĩ cĩ hai cạnh bn bằng nhau.
b. Hình thoi cĩ hai đường chéo vng góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
c. Nếu a < b thì a + c < b + c
d. Mọi số tự nhin chẵn đều chia hết cho 2
Bài 12. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào không là mệnh đề đúng
a. Với ∀x ∈ R, nếu x > – 2 thì x2 > 4.

b. 36 chia hết cho 12 ⇔ 36 chia hết cho 3 và chia hết cho 4.

c. Tồn tại số tự nhiên n sao cho n2=n. d. Vì 2007 là số lẻ nên 2007 chia hết cho 3.
Bài 13. Phát biểu các định lý sau đây bằng cách sử dụng khái niệm “Điều kiện đủ ”

a) Nếu trong mặt phẳng, hai đường thẳng cùng vng góc với đường thẳng thứ 3 thì hai đường thẳng
đó song song với nhau
b) Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau
c) Nếu số nguyên dương a tận cùng bằng 5 thì chia hết cho 5
d) Nếu tứ giác là hình thoi thì 2 đường chéo vng góc với nhau
Bài 14. Phát biểu các định lý sau đây bằng cách sử dụng khái niệm“Điều kiện cần ”
a) Nếu trong mặt phẳng, hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì hai đường thẳng
đó song song với nhau
b) Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có các góc tương ứng bằng nhau
c) Số nguyên dương a chia hết cho 24 thì chia hết cho 4 và 6
d) Nếu tứ giác ABCD là hình vng thì 4 cạnh bằng nhau
Bài 15. Chứng minh bằng phương pháp phản chứng

a) Nếu a ≠ b ≠ c thì a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca
b) Nếu a.b chia hết cho 7 thì a hoặc b chia hết cho 7
c) Nếu x2 + y2 = 0 thì x = 0 và y = 0
d) Nếu a + b < 4 thì một trong hai số a, b nhỏ hơn 2
 a <1

thì a + b < 1 + ab
 b <1


e) Nếu 

f) Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đúng:
a2 + b2 ≥ 2bc; b2 + c2 ≥ 2ca; a2 + c2 ≥ 2ab
g)Trên đường trịn có bán kính R = 100m lấy 630 điểm tùy ý. CM có ít nhất 2 điểm cách nhau không
đến 1m
Bài 16. Cho các đinh lý sau, định lý nào có định lý đảo, hãy phát biểu :
a) “Nếu 1 số tự nhiên chia hết cho 3 và 4 thì chia hết cho 12”
b) “Một tam giác vng thì có trung tuyến tương ứng bằng nửa cạnh huyền ”
c) “Hai tam giác đồng dạng và có 1 cạnh bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau”
d) “Nếu 1 số tự nhiên n không chia hết cho 3 thì n2 chia 3 dư 1”
Bài 17. Chứng minh bằng phương pháp phản chứng:
a/ Nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn.

b/ Nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn.

c/ Nếu x2 + y2 = 0 thì x = 0 và y = 0

d/ Nếu x = 1 hay y =

d/ Nếu x ≠ −

1
1
1
và y ≠ − thì x + y + 2xy ≠ −
2
2
2

1
thì x + 2y − 2xy − 1 = 0
2

e/ Nếu x.y chia hết cho 2 thì x hay y chia hết cho 2.

e) Nếu d1// d2 và d1// d3 thì d2 // d3.
GV: Nguyễn Hữu Chung Kiên

totoanhd.hnsv.com

Trang 2


TT GDTX Chu Văn An

Tài liệu Toán 10 – HKI

§2. TẬP HỢP
1. Tập hợp: Là khái niệm của toán học. Có 2 cách trình bày tập hợp: Liệtkê các phần tử và chỉ rõ tính chất

đặc trưng của các phần tử trong tập hợp
* Tập con : A⊂ B ⇔(x, x∈A ⇒ x∈B)
2. Các phép toán trên tập hợp:
Phép giao
Phép hợp
Hiệu của 2 tập hợp

A∩B = {x /x∈A và
x∈B}

A∪B = {x /x∈A hoặc x∈B}

A\ B = {x /x∈A và x∉B}

Bài 1. Kí hiệu L là tập hợp các học sinh của lớp 10a, T 1 là tập hợp các học sinh thuộc tổ 1 lớp 10A. Minh là một học
sinh thuộc tổ 1. Xét tính đúng sai của các câu sau:
a. T1 ∈ L ;
b. T1 ⊂ L ;
c. Minh ∈ L ;
d. Minh ⊂ L ;
e. Minh ∈ T1 .
Bài 2. Liệt kê các phần tử của tập hợp sau :
a. A = { x ∈ N x + 3 ≤ 10} ;
b. B = { x ∈ N x là ước của 18};
c. C = { x ∈ N x M 3 và 3 < x ≤ 21};
e. E = { n − 1 n ∈ Z ,1 ≤ n ≤ 10} ;
2

d. D = Tập các ước chung của 20 và 45 ;

{

}

2
f. F = x ∈ Z x ≤ 10 .

Bài 3. Trong hai tập hợp A, B dưới đây, tập hợp nào là tập con của tập hợp còn lại?
a. A là tập hợp các hình bình hành. B là tập hợp các hình chữ nhật.
b. A là tập hợp các hình tam giác. B là tập hợp các hình tứ giác.
c. A là tập hợp các tam giác cân. B là tập hợp các tam giác đều.
Bài 4. Cho hai tập hợp A = { 2n + 1 / n ∈ N } và B = { 6n + 5 n ∈ N } . Chứng tỏ rằng B ⊂ A.

2
Bài 5. Cho hai tập hợp A = { x ∈ R / x − 5 x + 6 = 0} và B = { x ∈ N / x là ước của 6}. Chứng tỏ rằng A ⊂ B.
Bài 6. Cho hai tập hợp A = { n ∈ N | n chia hết cho 4 và 6} và B = { n ∈ N | n chia hết cho 12}. Chứng tỏ A = B.
Bài 7. Xác định tập hợp sau bằng cách ghi rõ tính chất đặc trưng:
a. A = {2; 3; 5; 7}
b. B = {– 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3}
c. C = {– 5; 0; 5; 10; 15}
d. D = {1; 4; 7; 10; 13}
e. E = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
f. F = {0; 2; 5}

g. G = {3; 9; 27; 81}
Bài 8. Cho A = {x / x là ước nguyên dương của 12}
C = {1, 2, 3}
a/ Liệt kê tất cả các tập có quan hệ ⊂
c/ Tìm tất cả các tập Y sao cho C ⊂ Y ⊂ B

h. H = {4; 16; 36; 64; 100}
B = {x ∈ N / x < 5}
D = {x ∈ N / (x + 1)(x − 2)(x − 4) = 0}

b/ Tìm tất cả các tập X sao cho D ⊂ X ⊂ A

§3. CÁC PHÉP TỐN TẬP HỢP
Bài 1. Kí hiệu là tập hợp các số tự nhiên không vượt quá 50 và là bội của 4, B là tập hợp các số tự nhiên không vượt
quá 50 và là bội của 6.
a. Hãy liệt kê các ptử của A và B.
b. Xác định các tập hợp A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A .
Bài 2. Cho A là một tập con của tập B. Hãy xác định các tập hợp sau :
a. A ∩ B ;
b. A ∪ B ;
c. A \ B
Bài 3. Cho các tập hợp U = {a, b, c, d, e}, V = {a, b, e}, T = {b, c, d}. Hãy xác định các tập hợp sau :
GV: Nguyễn Hữu Chung Kieân

totoanhd.hnsv.com

Trang 3


TT GDTX Chu Văn An

Tài liệu Toán 10 – HKI

a. V ∩ T ;
b. V ∪ T ;
c. U \ V ;

d. U \ {a}.
A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A trong các trường hợp sau:
Bài 4. Xác định các tập hợp
a. A = { m ∈ Z −3 ≤ m ≤ 7} ; B = { m ∈ Z −7 < m ≤ 3} .
b. A = { n ∈ N n ≤ 50 ; n M3} ; B = { n ∈ N n ≤ 50 ; n M 5}.
Bài 5. Cho các tập hợp:
2


A = n ∈ Z / −3 ≤ n < 10
B =  n ∈ N / ≤ n ≤ 15
3



{
C = { x∈R / ( x

}

2

}

− 3x − 4 ) ( x 2 − 4 ) = 0

D = { n ∈ Z / n − 1 ≤ 4}

A ∩ B; B ∪ C; C ∩ D; A ∪ D; B \ C; B ∩ C; (A ∩ B) ∪ D; A ∪ C; (A ∪ B) \ D
§4. CÁC TẬP HỢP SỐ

Bài 1. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số:
 1 
a. (2;5) ∩ ( 3;7 ]
b.  − ; 2  ∪ [ −1;1)
c. (−4;13) ∪ (4; +∞)
d. (–3 ; 1] \ (2; 4).
 2 
Bài 2. Xác định các tập hợp A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A với
a. A = (–3 ; 3), B = (2 ; 5) ;
b. A = [–3 ; 3), B = (2 ; 5] ;
c. A = [–3 ; 3], B = (2 ; 5) ;
d. A = [–3 ; 3], B = [2 ; 5].
A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A với
Bài 3. Xác định các tập hợp
a. A = (– ∞ ; 7), B = (0 ; 10)
b. A = (–5 ; 3], B = [1 ; + ∞ )
c. A = (– ∞ ; 4], B = (2 ; + ∞ ).
Bài 4. Xác định các tập hợp A ∩ B, A ∪ B với
a. A = { x ∈ R / x ≥ 2} , B = { x ∈ R / x ≤ 7} ;
b. A = { x ∈ R / x ≥ 2} , B = { x ∈ R / x < 7} ;
c. A = { x ∈ R / x < 2} , B = { x ∈ R / x ≤ 7} ;

d. A = { x ∈ R / x ≤ 2} , B = { x ∈ R / x > 7} ;

e. A = { x ∈ R / −1 < x ≤ 2} , B = { x ∈ R / 0 ≤ x < 7} .
Bài 5. Xác định các tập hợp sau:
a. R \ (−∞ ;2) ;
b. R \ [ −1; + ∞ ) ;
c. R \ (2;2) ;
d. R \ [ −2;2 ) .

Bài 6. Xác định các tập hợp A \ B với
a. A = (–5 ; 3), B = (2 ; 7)
b. A = (–5 ; 3), B = (–7; 0];
c. A = (–5 ; 3), B = [–2 ; 1).
Bài 7. Cho a, b, c, d ∈ R , a , b < c < d. Xác định các tập hợp sau :
a. (a ; d) ∩ [b ; c) ;
b. (a ; c) ∪ (b ; d)
c. (a ; d) \ [b ; c)
d. (a ; c] \ (b ; d) .

ÔN TẬP CHƯƠNG I
Bài 1. Giả sử ABC là một tam giác đã cho. Xét các mệnh đề sau
P : “ABC là một tam giác đều” .
Q : “ABC là một tam giác cân”.
R : “∆ ABC có hai góc bằng nhau”.
a. Hãy lập các mệnh đề kéo theo đúng từ các mệnh đề P, Q, R.
b. Phát biểu các mệnh đề kéo theo bằng cách sử dụng các thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”.
c.Tìm các cặp mệnh đề tương đương trong các mệnh đề P, Q, R và phát biểu các mđề tương đương đó bằng
cách sử dụng thuật ngữ “khi và chỉ khi”, “điều kiện cần và đủ”.
Bài 2. Pht biểu mỗi định lý sau dưới dạng kéo theo và nêu rõ giả thiết, kết luận của nó.
a. Bình phương của một số ngun khơng chia hết cho 3 đều có dạng 3k + 1.
b. Hình thoi là một hình bình hành.
Bài 3. Dùng các kí hiệu ∀, ∃ để lập nên các mệnh đề từ các mệnh đề chứa biến sau và xét tính đúng sai của các mệnh
đề đó.
a. n là một số nguyên tố ( n ∈ N ) ;
b. x2 – 3x – 1 = 0 ( x ∈ R )
Bài 4. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số:
a. (−∞;5) ∩ (2; +∞)
b. R \ [2 ; 3)
c. R \ (– ∞ ; –2]

GV: Nguyễn Hữu Chung Kieân

totoanhd.hnsv.com

Trang 4


TT GDTX Chu Văn An

Tài liệu Toán 10 – HKI

Bài 5. Cho tập hợp E = {1; 2; 3; 4}. Hãy tìm các tập con X và Y của tập E sao cho với mọi tập con A của tập E ta đều
có A U Y = A I X
Bài 6. Cho hai tập A và B. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
• x ∉ A U B khi chỉ khi x ∉ A hoặc x ∉ B
• x ∉ A I B khi và chỉ khi x ∉ A hoặc x ∉ B
• x ∉ A\B khi và chỉ khi x ∉ A hoặc x ∈ B
Bài 7. Cho A, B, C là các tập hợp thỏa A U C ⊂ B U C ; A IC ⊂ B IC . CM: A ⊂ B. Điều đảo lại có đúng khơng?
CHƯƠNG II. HÀM SỐ
CHƯƠNG II. HÀM SỐ
§1. HÀM SỐ

Vấn đề 1. Tập xác định của hàm số:
f ( x1 ) − f ( x2 )
 Tính k =
A
x1 − x2
1. f ( x ) =
⇒ ĐK: B ≠ 0
B

o Nếu k > 0: Hàm số tăng (đồng biến) trên (a; b).
2. f ( x ) = A ⇒ ĐK: A ≥ 0
o Nếu k < 0: Hsố giảm (nghịch biến) trên (a; b).
Vấn đề 3. Tính chẵn lẻ của hàm số:
A
3. f ( x) =
⇒ ĐK: B > 0
Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D.
B
 Xét xem D có phải là tập đối xứng không, nếu không
Vấn đề 2. Sự biến thiên của hàm số:
thì KL hs khơng chẵn khơng lẻ. Chú y: Tập D đối xứng khi
Giả sử cần xét sự biến thiên của hàm số y = f(x)
∀x ∈ D ⇒ – x ∈ D
trên (a; b)
 Nếu f(– x) = f(x): Hàm số chẵn
 Lấy x1 ≠ x2 ∈ (a; b).
 Nếu f(– x) = – f(x): Hàm số lẻ
§2. HÀM SỐ BẬC NHẤT y = ax + b (a ≠ 0)
 Tập xác định D = R.
Cho hai đường thẳng d: y = ax + b và d’: y = a’x + b’
 Khi a > 0: hàm số đồng biến trên R
 d // d’ ⇔ a = a’ và b ≠ b’
 Khi a < 0: hàm số nghịch biến trên R
 d cắt d’ ⇔ a ≠ a’
Đồ thị hàm số y = ax + b là đường thẳng có hệ số góc
 d ≡ d’ ⇔ a = a’ và b = b’
bằng a.
 d ⊥ d’ ⇔ a.a’ = – 1

§3. HÀM SỐ BẬC HAI y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
* Đồ thị:
 Dạng 1: Khảo sát sự BT và vẽ ĐT hs: y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
 Dạng 2: Tìm các hệ số a, b, c
* TXĐ: D = R
của (P): y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
∆ 
b
 b
* Đỉnh S  − ; − ÷, trục đối xứng: x = −
* (P) đi qua điểm nào thì tọa độ điểm
2a
 2a 4a 
đó thỏa pt (P).
* BBT:
 b
b
b
−
−
X –∞
x –∞
+∞
+ ∞ * (P) có đỉnh S(xS; yS) ⇔ − 2a = xS

2a
2a
 S ∈ ( P)

∆

+∞
+∞
−
* (P) có đỉnh trục đối xứng x = m, đi
4a
Y
y
∆
 b
−
=m
−
–∞
–∞
4a
qua điểm A ⇔  2a
 A ∈ ( P)
a<0
a>0

b
* ĐĐB: Ta lấy mỗi bên của −
hai điểm ĐB có hồnh độ ngun
2a
Bài 1. Tìm tập xc định của các hàm số sau:
2x
x−3
1/ y = 1 − 4 x + 2
2 / y = 2x − 5 + 1 − 7 x
3/ y =

− −2 x − 3
2 x + 11x − 21
x +1
GV: Nguyễn Hữu Chung Kiên

totoanhd.hnsv.com

Trang 5


TT GDTX Chu Văn An

Tài liệu Toán 10 – HKI

1 − 4 x + x2 1
4/ y =
+ 2
x
x+4
7/ y =

3x − 2
2
−3 x − 13 x + 10

10 / y =

2x − 2x − 3
2 x 2 + 5 x + 21

x2 + 3 − 2 x 1
13 / y =
− 4
x
x−2

8/ y =

3x − 2 + x
−2 x 2 + 9 x − 7

9 / y = −x − 3 +

x
1 − 4x

9/ y =

x
14 / y = − x − 3 +
4 − 3x

6 / y = 1 − −2 x − 3
10 / y =

2 x 2 − 3 x − 17
( 3x − 1) 2 x + 3

Bài 3. Tìm m để hàm số sau xác định trên D = ( 1;3] :
Bài 4. Tìm m để hàm số y = x 2 − (m + 2) x + 1 −

4x − 3 + 5x − x2
2− x

12 / y =

11/ y = 5 x + 2 − 2 x 2 2 − 3 x

Bài 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
2x − 3
2 x −1
1/ y = 2
2/ y =
3x − 5x − 8
1 − 5x
5 / y = 2 x − 5 + 3x

2 x 2 − 3 x − 17
6/ y =
( 3x − 1) 2 x + 3

x
5 / y = −x − 3 +
1− 4x

x −1
− x 1− 2x
x−3

15 / y =

4 − 3x
3/ y = 2
2 x + 11x − 21
x2 − x + 5
7/ y =
x+4
3x − 2
11/ y =
2
−3 x − 13 x + 10
a/ y=

1
x − 2m

2 x 2 − 5 x − 18 − 1 − x
3x 2 − 1 3 x − 1
x2
4/ y = 2
3 x + 11x − 20
8 / y = x −1 + 2 x + 3
12 / y =

1
− 2x − 3
x +1

b / y = 3 + 2 m x − m2 x 2

m2
có tập xác định là R.
4

Bài 5. Khảo st tính chẵn lẻ của cc hm số sau:
1/ y = x6 – 4x2 + 5
2/ y = 6x3 – x + 4
5/ y = x − 4 + x + 4
6/ y = |x + 1| – |x – 1|

3/ y = 2|x| + x2
7/ y = x 2 + 1

4/ y = |x + 3| + 2x2
8/ y = |1 – 3x| + |3x + 1|

9/ y = 1 − 4 x + 4 x + 1
10/ y = – 3x5 +2x – 1
11/y = – 2x8 – 4x4
12/ y = 2x4 – 3x + 1
13 / y = x 4 + 1
14/ y = 1 + x − 1 − x
15/ y = 1 + x
16/ y = x3 + x
Bài 6. Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau trên khoảng đ chỉ ra:
1/ y = – 3x + 1
2/ y = 2x2 trn (0 , + ∞ )
3/ y = 3(x – 1) – x + 2
2
2

4/ y = x – 2x + 3 trn (2 , + ∞ ).
5/ y = – x – 4x + 5 trn (– ∞; – 2)
3
2x

1

6/ y = 3x2 + 6x – 1 trn (– 1; + ∞)
7/ y = x2 + 3x – 2 trn  −∞; − ÷
8/ y =
trn  ; +∞ ÷
2
2x −1

2

x −1
1
3

9/ y = – 2x2 + 3x + 5 trn  ; +∞ ÷
10/ y =
trn ( −2; +∞ )
11/ y =
trn ( −∞;3)
x+2
x −3
4

x +1

13/ y = 2 x + x
14/ y = 7 − 5 x + 3x 2 − x 3
15/ y =
x −1
Bài 7. Tìm m để tập xác định hàm số sau là (0, + ∞ )
x−m
a) y = x − m + 2 x − m − 1
b) y = 2 x − 3m + 4 +
x + m −1
Bài 8. Định m để hàm số xác định với mọi x dương
x−m
a/ y = x − m − 1 + 4 x − m
b/ y = x + m − 2 +
x+m
Bài 9. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
1/ y = |2x – 1|
2/ y = x2 – 4x + 3
3/ y = – x2 – 3x
4/y = – 2x2 + x – 1
2
2
2
5/ y = 3x + 1
6/ y = x – 4x + 1
7/ y = x + 3x + 2
8/y = – 2x2 + 4x + 1
9/ y = x2 + 5x +4
10/ y = 2x2 – 3x – 5
11/ y = – x2 + 4x
12/ y = 3x2

GV: Nguyễn Hữu Chung Kiên

totoanhd.hnsv.com

Trang 6


TT GDTX Chu Văn An

Tài liệu Toán 10 – HKI

Bài 10. Tìm tập xc định, lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
3 x + 1 neáu − 2 ≤ x ≤ 0
2 x − 1 neáu x ≤ 0

a / y = f ( x) = 
b / y = f ( x) = −2 x
neáu 0 < x ≤ 1
1 − x neáu x > 0
 2 x + 1 neáu 1 < x ≤ 2

Bài 11. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
1/ y = x2 – 4x + 3
2/ y = – x2 – 3x
3/y = – 2x2 + x – 1
4/y = x2 + x
2
2
2
5/ y = 3x + 1

6/ y = x – 4x + 1
7/ y = x + 3x + 2
8/y = – 2x2 + 4x + 1
Bài 12. a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x2 – 2x + 3
b/ Vẽ trên cùng hệ trục tọa độ với parabol trên đường thẳng d: y = x – 1
c/ Tìm giao điểm của hai đường trên.
Bài 13. a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = – x2 – 2x + 2
b/ Vẽ trên cùng hệ trục tọa độ với parabol trên đường thẳng d: y = – x + 4
c/ Tìm giao điểm của hai đường trên.
Bài 14. Tìm parabol (P): y = ax2 + bx + 2 biết rằng:
a/ Parabol đi qua 2 điểm A(1; 5) , B(–2; 8).
b/ Đỉnh S(– 1; 0)
c/ Trục đối xứng x = 2, parabol đi qua điểm M(2; 1) d/ Đỉnh của (P) là I(1; 3)
Bài 15. Tìm parabol (P): y = ax2 – 2x + c biết rằng
1 2
a/ (P) đi qua 2 điểm M(– 1; 3) , N(2; 8).
b/ Đỉnh S  ; ÷
3 3
 1 16 
c/ Trục đối xứng x = 2, đi qua điểm A(2; 3)
d/ Đỉnh của (P) là S  − ; ÷
 5 5
2
Bài 16. Tìm parabol (P): y = 2x + bx + c biết rằng
 1 
 3 11 
a/ (P) đi qua 2 điểm A  − ; 2 ÷; B(3; 0).
b/ Đỉnh S  ; ÷
 3 
4 8 

1
 1 9
c/ Trục đối xứng x = , đi qua điểm M(– 3; 27)
d/ Đỉnh của (P) là S  − ; − ÷
2
 4 8
2
Bài 17. Tìm phương trình của parabol: y = ax + bx + c biết rằng:
a/ Parabol đi qua 3 điểm A(0; –1), B(1; –1), C(–1; 1).
b/ Parabol đi qua M(0 , 1) và có đỉnh S(–2 , 5).
2
Bài 18. Tìm parabol (P): y = ax + bx + 2 biết rằng
a/ Parabol đi qua 2 điểm A(1; 5) , B(–2; 8).
b/ Đỉnh S(– 1; 0)
c/ Trục đối xứng x = 2, parabol đi qua điểm M(2; 1) d/ Đỉnh của (P) là I(1; 3)
Bài 19. Tìm parabol (P): y = ax2 – 2x + c biết rằng
1 2
a/ (P) đi qua 2 điểm M(– 1; 3) , N(2; 8).
b/ Đỉnh S  ; ÷
3 3
 1 16 
c/ Trục đối xứng x = 2, đi qua điểm A(2; 3)
d/ Đỉnh của (P) là S  − ; ÷
 5 5
2
Bài 20. Tìm parabol (P): y = 2x + bx + c biết rằng
 1 
 3 11 
a/ (P) đi qua 2 điểm A  − ; 2 ÷; B(3; 0).
b/ Đỉnh S  ; ÷

 3 
4 8 
1
 1 9
c/ Trục đối xứng x = , đi qua điểm M(– 3; 27)
d/ Đỉnh của (P) là S  − ; − ÷
2
 4 8
2
Bài 21. Tìm phương trình của parabol: y = ax + bx + c biết rằng:
a/ Parabol đi qua 3 điểm A(0; –1), B(1; –1), C(–1; 1).
b/ Parabol đi qua M(0 , 1) và đỉnh S(–2 , 5).
2
Bài 22. Cho parabol (P): y = ax + bx + c. Xác định a, b, c biết:
1 2
 5 1
a. (P) đi qua A(1; 2); B(– 1; 6), C  ; ÷. KS và vẽ (P).
b. (P) đi qua M(2; – 1), Đỉnh S  ; ÷.
3 3
 4 8
GV: Nguyễn Hữu Chung Kiên

totoanhd.hnsv.com

Trang 7


TT GDTX Chu Văn An

Tài liệu Toán 10 – HKI

Bài 23. Tìm m để đồ thị hàm số y = mx + (m − 1) x 2 + 2 x 2 − 1 có trục đối xứng là Oy.
Bài 24. Cho hàm số y = 2 x − m + x − m − 2 . Tìm m để y xác định với mọi x > 1.
Bài 25. Tìm hàm số y = f(x) vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ.
Bài 26. Cho hai hàm số cùng phụ thuộc tham số m: y = f(x) = (m + 2 )(x + 2) có đồ thị là đường thẳng dm ; hàm số y
= g(x) = (m – 2 )x + m2 – 1 có đồ thị là đường thẳng ∆m.
a. Có hay khơng giá trị m để dm//∆m?
b. Cmr các đường thẳng dm (khi m thay đổi) luôn đồng quy tại một điểm cố định trong khi đường thẳng ∆m
không đi qua điểm cố định nào cả.
Bài 27. Cho parabol (P) có phương trình y = ax2 + bx + c luôn tiếp xúc với đường thẳng (d): y = 2x + 1 tại A(1 ;3).
a. Tính b, c theo a.
b. Tìm quỹ tích đỉnh của (P) khi a thay đổi.
c. Tìm các điểm trong (Oxy) mà (P) không thể đi qua .
1

Bài 28. Cho hàm số y = f(x) = x2 – 2  m + ÷ + m trong đó m là tham số khác 0. Giả sử y1 = xmin ] f ( x ) và
∈[ −1;1
m

y2 = max f ( x ) . Hãy tìm các giá trị của m sao cho y2 – y1=8.
x∈[ −1;1]

3
1

 −x + 2 ; x ≤ − 2

Bài 29. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 
 −2 x 2 + x + 3 ; x > − 1



2
Bài 30. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x 2 − 2 x + 4 x 2 − 12 x + 9
Bài 31. Viết phương trình parabol biết
a. Parabol đi qua A(0; 2),B( – 1; 7),C(1; 1)
b. Parabol có đỉnh toạ độ I(2; 5) và đi qua A(1; 4)
c. Parabol đi qua A(2;0) B( – 2; – 8) và đạt cực trị bằng 1.
d. Parabol có đỉnh A(1; – 2) và chắn đường thẳng (d): y = x + 1 một dây cung MN = 34
Bài 32. Tìm các điểm cố định của họ đường cong y = m2x2 + 2(m – 1)x + m2 – 1 theo 2 cách.
Bài 33. Cmr tất cả các đường thẳng thuộc họ (d m) cho bởi phương trình y = 2mx – m 2 + 2m đều tiếp xúc với một
parabol cố định có trục đối xứng // với trục tung.
2 x2 + ( m − 2) x
Bài 34. Cho hàm số y=
với m là tham số . Trên mặt phẳng toạ độ hãy tìm tất cả các điểm mà đồ thị hàm
x −1
số không thể đi qua.
Bài 35. Cho đường thẳng d: y = x + m . Tìm m để d hợp với Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 6
Bài 36. Tìm m để đường thẳng d: y = 3 ( m – 1 )x + 2 hợp với Ox một góc bằng 600
Bài 36. Tìm m để hàm số y = mx + 2m + 8 nhận giá trị dương trên đoạn [ 2 ; 4]
Bài 37. Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số y = mx + 2m –1 luôn đi qua
Bài 38. Cho hàm số y = x 2 − 4 x + m . Định m để hàm số xác định trên toàn trục số.
Bài 39. Cho (P): y = x2 − 3x − 4 và (d): y = −2x + m. Định m để (P) và (d) có 2 điểm chung phân biệt, tiếp xúc và
khơng cắt nhau.
CHƯƠNG III. PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
CHƯƠNG III. PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Vấn đề 1: PT QUY VỀ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
1. Giải và biện luận pt bậc nhất:ax + b = 0 (1)
Đưa pt về dạng: ax = b.
GV: Nguyễn Hữu Chung Kieân

* b ≠ 0: (1) ⇔ 0x = b: VN
* b = 0: (1) ⇔ 0x = 0: VSN
2. Phương trình vơ tỉ:
* Dạng 1: A = B (1)
totoanhd.hnsv.com

Trang 8


TT GDTX Chu Văn An

Tài liệu Toán 10 – HKI

ĐK: B ≥ 0
(1) ⇔ A = B2

b
a
* Nếu a = 0: (1) ⇔ 0x = b
* Dạng 2: A = B (1)
* Nếu a ≠ 0: (1) ⇔ x =

* Dạng 4: Nếu gặp pt chứa nhiều căn thức thì đặt đk
cho các biểu thức dưới dấu căn rồi dùng pp bình
phương hai vế để khử căn, lưu ý phải chuyển vế sao
cho 2 vế đều dương rồi mới bình phương.

ĐK: B ≥ 0
A = B
(1) ⇔ 

 A = −B

A = B
* Dạng 3: A = B ⇔ 
 A = −B
Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau:
1/ (m2 – 5)x + m2 – 4 = 0
2/ (3x + 1)m – 2x + 5 = 0
3/ 2m2x – (x + 2)m – 3(2x + 1) = 0
4/ 6m2x + m(7x – 3) – 3x + 1 = 0 5/ 3m2x – m(7x – 3) – 2(3x – 1) = 0 6/ (9 – m2)x + m – 3 = 0
7/ (m2 – 4)x + m + 2 = 0
8/ (m2 – 3m + 2)x – m + 2 = 0
9/ 2m2x + (x + 1)m – 2(3x – 1) = 0
2mx + m − 1
= m+3
x−2
13/ (3m – 1)x – 3m2 – 5m + 2 = 0.
10/

15/ 2m2x + (x + 1)m – 2(3x – 1) = 0

m − 3mx + 2
= 2m − 1
1− x
14/ 6m2x – (3 – 7x)m – 3x + 1 = 0
( m − 1) ( m + 2 ) x + 2 = m + 2
16/
2x + 1
11/

12/

4 − 3m + x
= 1 − 3m
x−2

Bài 2. Tìm m để các phương trình sau:
1/ (3m – 2)x + 2x – 3 = 0 có nghiệm duy nhất.
2/ m(mx + 1) – 2mx = 0 vô số nghiệm
3/ (2x – 1)m + 3x = 2 có một nghiệm.
4/ 2m2x + m(7x + 2) – 3(5x + 1) = 0 có VSN
2
2
5/ 2(m – 1)x + m = 2(m + 1) – m x – 5mx = 0 vô nghiệm.
6/ m(mx + 1) = x – 1 có vơ số nghiệm.
2 − 3mx + 3m
( m + 1) x − 3m + 2 = 2m − 1 có nghiệm.
= 4m − 1 vơ nghiệm
7/
8/
1− x
x+3
Bài 3. Tìm m để các phương trình sau có một nghiệm duy nhất:
3mx − 2m + 3
= 2m + 5
1/ 2(mx – 1) – 3(x – m) = 0
2/
x−2
Bài 4. Tìm m để phương trình m (m − 3) x 2 + 2( m − 3) x + 2 m = 0 có nghiệm (có nghiệm trái dấu).
Bài 5. Tìm m để – 2 xen giữa các nghiệm của phương trình (m + 3)x2 – 3(m – 1) + 4m = 0

Bài 6. Cho phương trình x3 + (m – 1)x2 – 3mx + 2m – 4 = 0
a. Chứng minh phương trình có 1 nghiệm khơng phụ thuộc m.
b. Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm .
Bài 7. Khi m ≥ – 2 tìm nghiệm bé nhất (có thể) của phương trình 3x2 – (m + 23)x + 2m + 22 = 0
Bài 8. Tìm m để x2 + x + m + 1 = 0 có 2 nghiệm thỏa mãn x1 x2 + 3( x1 + x2 ) + 5 = 0
Bài 9. Tìm m để phương trình x2 – 2(m + 2)x + 4m + 5 = 0có 2 nghiệm thỏa mãn: a. Đều dương. b. x1.x2 = 2
Bài 10. Tìm m để phương trình 3x2 + 4(m – 1)x + m2 – 4m + 1 = 0 có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn

1 1 1
+ = ( x1 + x2 )
x2 x1 2

2
2
Bài 12. Tìm m để phương trình x2 – (m + 2) + m2 + 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 + 2 x2 = 3 x1.x2
Bài 13. Tìm hệ thức độc lập với m liên hệ với các nghiệm của mỗi phương trình sau:
a. x2 + mx + 2m – 3 = 0
b. (m + 2)x2 – (m + 4)x + 2 – m = 0
Bài 14. Cho phương trình (m – 5)t2 – 2mt + m + 4 = 0. Gọi S và P là tổng và tích của 2 nghiệm. Trong mặt phẳng toạ
độ Oxy gọi M(S;P) với x = S, y = P. Chứng minh khi m thay đổi thì các điểm M luôn chạy trên một đường thẳng cố

(

) (
5

định. Tính T= 1 − 5 + 1 + 5

)

5

Bài 15. Giải các phương trình sau:
GV: Nguyễn Hữu Chung Kiên

totoanhd.hnsv.com

Trang 9


TT GDTX Chu Văn An

Tài liệu Toán 10 – HKI

1/ 3 x − 5 = x − 1

2 / x 2 + 5x − 2 − 3x + 1 = 0

3 / x − 1 − 2 x 2 − 3x − 5 = 0

4 / x2 − x − 8 − x − 5 = 0

5 / x 2 + 2 x + 9 = x 2 + 2 x + 3 6 / x + 2x 2 − x + 8 = 2( x 2 + 1) 7 / 2 x + 3 + 7 − x = 5

8 / 5x −1 + x + 2 = 5

9 / 8 − x − 3x + 7 = 1

10 / 3 x − 2 + 2 x = 3

11/ 2 x 2 + x − 6 = 2 x + 1

12 / x 2 + x − 5 − 2 x − 5 = 0

13 / 4 − 2 1 − 2 x = x 2 + 3 x

14 / x 2 + x 1 − x = x + 12

15 /

18 / x 2 + x − x x − 3 − 12 = 0

19 / x 2 + 2 x − 6 = 4 x − 1

17 /

2 x 2 − 3x + 7
=1
2x −1

21/ 3 x − 2 x + 3 = 3x − 1
2

22 / 2 x − 1 − 2 x + 3 x + 4 = 0 23 /
2

3x + 1
= 3x − 1
x−3

2 x 2 + x − 27
2x − 3

16 /

=2

1− x
= 3 x + 11
x +1

20 / 2 x − 1 − 9 − x = 1
24 / 3 x + 10 + x + 3 = 3

25 / 2 x 2 + x + 1 = 3x − 1

26 / x + 1 + 2 x + 3 = 5

27 / 3 x 2 + 4 x − 7 + x = 1

28 / x 2 − 6 = 3 x − 4

29 / 2 x 2 − 5 x 2 − 3 x + 5 = 6 x − 7

30 / x 2 − 2 x + 6 = x 2 − 2 x

31/ 2 x 2 + 3 x − 5 + 25 = 2 ( 2 x 2 + 3 x ) 32 / ( 2 x 2 + 5 x − 3 ) 14 + 5 x − x 2 = 0 33 / x − x 2 − 1 + x + x 2 − 1 = 2
1
1 2
+ x− 2 =

35 / ( x − 3)(8 − x) − 11x + 26 = − x 2
2
x
x
x
Bài 16. Giải và biện luận các phương trình sau:
34 / x +

1/ 3mx − 1 = 5
5/

2 / 3 x + m = 2 x − 2m

2mx − m + 4
=2
x +1

6/

9/ (m − 1) x 2 + 7 x − 12 = 0

36 / x 2 − 6 x + 9 = 4 x 2 − 6 x + 6

3 / 2 x + m = 2 x + 2m − 1

4a − 2
= a+3
x−5

7/ mx + 1 = 2 x − m − 3

2
10/ m 2 ( x − 1) + m = x(3m − 2) 11/ x − 4 x + 3 = m

mx − 1 m m( x 2 + 1)
+
x −1 x + 1 x2 −1
mx − 1
m
m( x 2 + 1)
8/
+
=
x −1 x +1
x2 − 1
1 2
12/ x + 2 x − 6 = m − 1
2
4/

Bài 17. Giải các phương trình sau:
2 x 2 + x − 27

1 / 3x − 2 x + 3 = 3x − 1

2 / 3 x + 10 + x + 3 = 3

3/

5 / 7 − 3x = 3x − 7

6 / − x 2 + 3x + 14 − 3 x = 8

7 / 4x + 1 − 3 − 2x = 2

2

9 / 9 − 5x = 3 − x +

6
3− x

11 / 1 − 3 x + 2 = 5 x
15 /

2x − 3

=2

4 / 2 x − 1 − 2 x 2 + 3x + 4 = 0
8 / x 2 − 3x − 6 − 3x = 5

10 / ( x − 1) 16 x + 17 = ( x − 1) ( 8 x − 23)
12 / 3 x − 3 x 2 + 2 x − 1 = 1

2 x − 5 − 1 = 1 − 2 x − 5 16 / x − 5 −

13 / x + 8 − 3 x + 1 = 1

14 / 3 x − 5 = 3 x − 7

x − 14
= 3 17 / x + 3 + 4 x − 1 + x + 8 − 6 x − 1 = 5
5+ x−5

Bài 18. Giải các phương trình sau:
1/ ( 2 x 2 + 5 x − 3) 14 + 5 x − x 2 = 0

2/

4/ 2 x 2 + 2 x + 1 = ( 4 x − 1) 1 + x 2

5/ 3 x 2 − 5 x + 6 = 2 x x 2 + x − 3

7/
9/
12/

1
1 2
+ x− 2 =
2
x
x
x
x+3
4 x + 1 − 3x − 2 =
5
x+

x − 2 − x + 2 = 2 x2 − 4 − 2 x + 2

GV: Nguyễn Hữu Chung Kiên

8/

x + 1 − x − 2 = 2x −1

x + 2 x −1 + x − 2 x −1 =

10/ x 3 +

(1− x )

2 3

= x 2 ( 1 − x2 )

13/ 2 x 2 + 5 x − 1 = 7 x 3 − 1
totoanhd.hnsv.com

3/ 2 x 2 − 5 x 2 − 3 x + 5 = 6 x − 7
6/ x − x 2 − 1 + x + x 2 − 1 = 2
x+3
2
11/ x +

x
x −1
2

=

35
12

15/ 2 x 2 + 5 x − 1 = 7 x 3 − 1
Trang 10


TT GDTX Chu Văn An

Tài liệu Toán 10 – HKI

16/ 4 1 + x − 1 = 3 x + 2 1 + x + 1 − x 2
Bài 19. Cho phương trình

17/

x +1 + 4 − x +

8

1− x 8 2 + x
+
=2
2+ x
1− x

( x + 1) ( 4 − x )

a. Giải phương trình khi m = 5
Bài 20. Tìm m để phương trình 1 + x + 8 − x +

18/

1
1
+
=2
x
2 − x2

=m

b. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.
( 1 + x ) ( 8 − x ) = m có nghiệm thuộc đoạn [ 0; 4]

Bài 21. Cho phương trình x 2 − 3 x + 1 = m x 4 + x 2 + 1 tìm tập hợp các gía trị của m để phương trình có lẻ số nghiệm .
Bài 22. Giải và biện luận phương trình với tham số a
Bài 23. Tìm m bpt

( 3 + x) ( 7 − x)

3

( x + a ) 2 + m 3 ( x − a ) 2 = ( m + 1) 3 x 2 − a 2

≤ x 2 − 4 x + m nghiệm đúng ∀x ∈ [ −3;7 ]

2
2
Bài 24. Tìm m để bpt x + 2 x − m + m + m ≤ 1 có nghiệm .
x + m −1 x − 2
+
=2
Bài 25. Định m để phương trình sau vơ nghiệm:
x +1
x
2x − m
x + 2m
+ x −1 =
Bài 26. Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm:
.
x −1
x −1
m −1
1
m2
Bài 27. Giải và biện luận phương trình:
+ 2
= 2
x−2 x −4 x −4
1
x
=
Bài 28. Cho phương trình : m x − 1 +
( * ). Định m để (*) vô nghiệm.
x −1 m x −1
Bài 29. Giải các phương trình sau:

x
x +1
1/ ( x + 1).( x + 4) − 3 x 2 + 5 x + 2 = 6
2/
3/ 3x 2 − 2 x + 15 − 3 x 2 − 2 x + 8 = 7
−2
=3
x +1
x

4/ 3x 2 + 5 x + 8 − 3 x 2 + 5 x + 1 = 1
6/ x 2 + x + 4 + x 2 + + x + 1 = 2 x 2 + 2 x + 9

5/ 3x 2 + 6 x + 16 + x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 4
7/ x 2 + x − 5 − x 2 + 8 x − 4 = 5

8/ x + x − 1 − x = 1

9/ 8 + x + 2 x + 7 − x + 1 − x + 7 = 4

10/

11/ x + 5 − 4 x + 1 + x + 2 − 2 x + 1 = 1
x+3
13/ x + 2 x + 1 + x − 2 x − 1 =
2
15/ x + 3 + 6 − x − ( x + 3).(6 − x ) = 3

x − 2 + 2x − 5 − x + 2 + 3 2x − 5 = 7 2

12/ x + 2 + x − 1 + x − 2 x − 1 = 2

14/

x 2 + 3x + 2 + x 2 − 4 x + 3 = 2 x 2 − 5 x + 4

16/ 2 x + 3 + x + 1 = 3 x + 2 2 x 2 + 5 x + 3 − 16
18/ x 2 + x 2 + 5 = 5

20/ 2 + x + 17 − 2 x = x 2 − 8 x + 22
22/ 4 x − 1 + 4 x 2 − 1 = 1
24/ x + 1 + 4 − x − ( x + 1).(4 − x) = 5
26/ 4 x + 1 − 3 x − 2 =

x+3
5

28/ x − 2 − x + 2 = 2 x 2 − 4 − 2 x + 2
30/

x( x − 1) + x( x + 2) = 2 x 2

32/ x 6 − x 2 + x. 6 − x 2 = 1
34/ ( x + 3) 10 − x 2 = x 2 − x − 12
GV: Nguyễn Hữu Chung Kiên

17/ (4 x − 1) x 2 + 1 = 2 x 2 + 2 x + 1
19/ x − 2 + 4 − x = x 2 + 6 x − 11
21/ x 2 + 3x + 1 = ( x + 3) x + 1
23/ 2 x 2 +8 x + 6 + x 2 − 1 = 2 x + 2

25/ x + 4 − x 2 = 2 + 3x 4 − x 2
27/ 3(2 x + 2) = 2 x + x + 6
29/ 1 +

2
x − x2 = x + 1 − x
3

31/ ( x + 5).(2 − x) = 3 x 2 + 3 x
33/ 2 x 2 + 5 x + 2 − 2. 2 x 2 + 5 x − 6 = 1
35/ 2(1 − x) x 2 + 2 x − 1 = x 2 − 2 x
totoanhd.hnsv.com

Trang 11


TT GDTX Chu Vaên An

36/ 3x − 2 + x − 1 = 4 x − 9 + 2 3 x 2 − 5 x + 2

Tài liệu Toán 10 – HKI

37/ 3 − x + x 2 − 2 + x − x 2 = 1

4x + 9
28
2
Vấn đề 2: PTRÌNH BẬC HAI: ax + bx + c = 0(1) CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP:
1. Cơng thức nghiệm: ∆ = b2 – 4ac (hoặc ∆’ = b’2 – * Dạng 1: Tìm m để pt có 1 nghiệm x = x 0. Tìm nghiệm cịn
lại.

ac)
Cách giải: Thế x = x0 vào (1), giải tìm m. Sau đó sử dụng CT:
* ∆ < 0: (1) vô nghiệm.
b
b
x1 + x2 = −
* ∆ = 0: (1) có nghiệm kép x1 = x2 = −
a
2a
* Dạng 2: Tìm m để (1) có hai n0 x1; x2 thỏa đẳng thức cho
−b ± ∆
* ∆ > 0: (1) có 2 n0 pbiệt: x1,2 =
trước.
2a
b
c
2. Định lý Viet: Cho ax2 + bx + c = 0(1). Giả sử pt Cách giải: Đưa đẳng thức về pt chứa S = − ; P =
a
a
có hai nghiệm x1; x2. Ta có:
2
x1 x2 x12 + x2
2
2
2
b
c
+ =
Chú ý: * x1 + x2 = S − 2 P
* x1 + x2 = S = − ; x1.x2 = P =

x2 x1
x1. x2
a
a

38/ 2 x − 3 − 5 − 2 x − x 2 + 4 x − 6 = 0

39/ 7 x 2 + 7 x =

Bài 1. Cho phương trình: 2x2 + 2(2m – 3)x + 2m2 – m = 0 (1).
a/ Với giá trị nào của m thì phương trình có một nghiệm x = 3. Tính nghiệm cịn lại.
b/ Tìm m để (1) có hai n0 x1; x2 thỏa:
1
1 1 10
2
1/ x12 + x2 = 39
2 / 2 ( x1 + x2 ) = 3 x1 x2 −
3/ + =
2
x1 x2 3
2
Bài 2. Cho phương trình: (m – 1)x – 4x + 3 = 0
a/ Với giá trị nào của m thì phương trình có một nghiệm x = – 2. Tính nghiệm cịn lại.
b/ Tìm m để (1) có hai n0 x1; x2 thỏa:
17
x x
22
1
2
1/ x12 + x2 − x1.x2 =

2/ 1 + 2 = −
3 / 2 x1 x2 − x1 − x2 = −
2
x2 x1
3
2
c/ Tìm m để phương trình có 1 nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia. Tính các nghiệm đó.
Bài 3. Cho phương trình: (m + 3)x2 – 2(1 – m)x + m + 7 = 0
a/ Với giá trị nào của m thì phương trình có một nghiệm x = 3. Tính nghiệm cịn lại.
b/ Tìm m để (1) có hai n0 x1; x2 thỏa:
2
1/ x1.x2 − x12 − x2 = −109
2 / x1 + x2 − 3 x1 x2 = −3
3 / ( 4 x1 + 1) ( 4 x2 + 1) = −19
c/ Tìm m để phương trình có 1 nghiệm bằng 5 lần nghiệm kia. Tính các nghiệm đó.
Bài 4. Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + 3 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa:
a/ Với giá trị nào của m thì phương trình có một nghiệm x = – 2. Tính nghiệm cịn lại.
2
2
b/ Tìm m để (1) có hai n0 x1; x2 thỏa: 1/ x1 + x2 = 2x1.x2 .
2/ x1 + x2 = 20
Bài 5. Tìm m để: (m + 1)x2 – 2(m – 1)x + m – 5 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa:
2
2
a/ x1 + x2 = 3
b. x1 + x2 – 3x1.x2 = 6
2
2
Bài 6. Cho phương trình : x – ( k – 1)x – k + k – 2 = 0 (1) (k là tham số)
a. Chứng minh phương trình (1 ) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k

b. Tìm những giá trị của k để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
c. Gọi x1 , x2 là nghệm của phương trình (1) .Tìm k để : x13 + x23 > 0
Bài 7. Cho phương trình : x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số)
a/ Giải phương trình (1) với m = – 5
b/ Chứng minh rằng phương trình (1) ln có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi m
c/ Tìm m để x1 − x 2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (1))
Bài 8. Cho hai phương trình x2 + p1x + q1=0 và x2 + p2x + q2=0 với p1.p2 ≥ 2(q1 + q2). Chứng minh rằng khi đó có ít nhất
một trong 2 phương trình có nghiệm .
GV: Nguyễn Hữu Chung Kiên

totoanhd.hnsv.com

Trang 12


TT GDTX Chu Văn An

Tài liệu Toán 10 – HKI

Bài 9. CMR có ít nhất 1 trong 3 ptrình sau có nghiệm ax2 + 2bx + c = 0; bx2 + 2cx + a = 0 và cx2 + 2ax + b = 0.
2
Bài 10. Tìm a để phương trình x + 4 x − 2 x − a + 2 − a = 0 có đúng 2 nghiệm phân biệt .
Bài 12. Tìm a để phương trình x x + 2a + 1 − a = 0 có một nghiệm duy nhất.
Bài 13. Tìm a để phương trình (a + 1)x2 – (8a + 1)x + 6a=0 có đúng 1 nghiệm thuộc khoảng (0;1)
Bài 14. Cho m ≥ −1 . Tìm nghiệm lớn của phương trình x2 + (2m – 6)x + m – 11 = 0.
Bài 15. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x2 + 2x + 3 trên D = [ −3;0] ; E = [ 0;3]
 x + y = a −1
Bài 16. Giả sử x, y là nghiệm của hpt 
tìm a để U = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất .
xy = a 2 − 7a + 14


2
Bài 17. Tìm m để x – 2mx + 2 x − m + 2 > 0 nghiệm đúng ∀x ∈ R
2
Bài 18. Cho f(x) = x2 + (m + 1)x + 2 x + m − 1 + (m + 1) tìm m để min f ( x) ≤ 3 .
R

Bài 19. Tính giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức Q =

x + 4 2x + 3
x2 + 1
2

ax + b
đạt giá trị lớn nhất = 4, giá trị nhỏ nhất = – 1
x2 + 1
Bài 21. Chứng minh rằng ∀x, y ∈ R ln có Q ≥ 0 với:
a. Q =x2 + 2xy + 3y2 + 2x + 6y + 3
b. Q =4x2 + 13y2 – 12xy – 4y + 1
2
2
Bài 22. Tìm m để Q = x + 4y + my + 3 ≥ 0, ∀x, y ∈ R
Bài 23. Tìm giá trị lớn nhất của Q = (x – 2y + 1)2 + (2x + ay + 5)2 trong đó a là một số thực cho trước.
Bài 24. Giả sử x, y liên hệ với nhau bởi biểu thức Q = 36x 2 + 16y2 – 9 = 0 hãy tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
U = y – 2x + 5
Bài 25. Cho x, y là các số thực liên hệ với nhau bởi Q = (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0. Chứng minh rằng:
3− 5
3+ 5
≤ x2 + y 2 ≤
2

2
 x2 + y 2 + z 2 = 8
8
8
Bài 26. Cho x, y, z thoả mãn 
chứng minh − ≤ x, y, z ≤
3
3
 xy + yz + zx = 4
2
2
2
Bài 27. Cho a + b + c = 6, chứng minh rằng a + b + c ≥ 12
x +1
Bài 28. Tìm m để phương trình : (x – 3)(x + 1) + 4(x – 3)
= m có nghiệm
x−3
Bài 20. Tìm a, b để Q =

Vấn đề 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1 1 x+ y S
*x 2 + y 2 = S 2 − 2 P
* + =
=
1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất v 1 phương trình
x y
x. y
P
bậc hai:
2

2
x y x +y
Cách giải: Chủ yếu dùng phương pháp thế.
* + =
*x 3 + y 3 = S 3 − 3PS
y x
x. y
2. Ứng dụng của ĐL Viet: Giải hệ ptrình đối xứng
loại 1: Là hệ phương trình có chứa biểu thức đối xứng đưa về hệ chứa S = x + y; P = x.y. Giải hệ tìm S, P. Khi
giữa x và y.
đó x, y là hai nghiệm của phương trình: t2 – St + P = 0
Cách giải: Dùng các cơng thức sau:
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
 2 x. y − 3 x − 3 y = −3
x + y = 1
 x. y = −10
 x + y + x. y = 7

1/  2
2/ 2
3/  2
4 / 1 1 5
2
2
2
 x + x. y + y = 7
 x + y = 29
 x + y = 10
x + y = 6


GV: Nguyễn Hữu Chung Kieân

totoanhd.hnsv.com

Trang 13


TT GDTX Chu Văn An

Tài liệu Toán 10 – HKI

x + y = 3

5/ x y
17
y + x =− 4


x + y = 3
6/ 3
3
 x + y = 117

 x 2 + y 2 − x. y = 3
7/
 x + y − x. y = 1

 x y 10
 + =

8/ y x 3
x + y = 4


 x. y − 2 x − 2 y = −7
9/ 2
2
 x + y + 3 x. y = 1

 x. y = 6

10 /  x y
1
+ − x. y =
y x
6


 x 2 + y 2 = 13
11/ 
 x + y = −1

 x. y = 4
12 /  2
2
 x − 3x. y + y = 5

 x + y − x. y = 1
x + y = 7


13 /  x y 10
14 /  3
3
 x + y = 217
y + x = 3

Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:
5
2
2
 6
x + x + y = 2
 x − 2y + x + 2y = 3


1/ 
2/
 3 + 1 = 17
 3 + 4 = −1
 x x + y 10
 x − 2y x + 2y



 x 2 + y 2 − x. y = 29
15 / 
 x + y + x. y = 23

( x + 2) 2 + ( y − 1) 2 = 2
( x + 1)( y + 1) = 8



5/
6/
2
2
2( x + 2) − 3( y − 1) = −1
 x( x + 1) + y ( y + 1) + xy = 17


 2( x + y)
=5

x − y = 3
 x− y
3/  2
4/
2
 x − 3 xy + y + x + y = 0
 3x + y = 2
 x− y 3

 2 x 2 − 3xy + y 2 = 3
7/ 2
2
 x + 2 xy − 2 y = 6

2( x + y ) = 3 xy

9/

x+ y=5



 x2 − 2 y 2 = 2x + y
 xy ( x + 1)( y + 1) = 72
10 /  2
11 / 
2
 ( x − 1)( y − 1) = −3
 y − 2x = 2 y + x
 x 2 + y 2 = 2 ( a + 1)

Bài 3. Cho hệ phương trình: 
2
( x + y ) = 4

a. Giải hệ với a = 2
b. Tìm các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất.
 mx + y = m + 1
Bài 4. Cho phương trình: 
. Tìm hệ thức giữa x và y độc lập đối với m
 x + my = 2
 mx − y = 2
Bài 5. Cho hệ phương trình : 
 x + my = 1
a) Giải hệ phương trình theo tham số m.
b) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = – 1.
c) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
 x + ay = 1

Bài 6. Cho hệ phương trình: 
. Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất.
 ax + y = 2


2 x + y − 1 = 3
8/ 
2 y + x − 1 = 3

 x − y = xy
12 / 
 x + y = 5 xy

 x − y − 2x = 3

Bài 7. Giải hệ phương trình : 
 3x + y = 1

 mx + 2 y = m + 1
Bài 8. Cho hệ phương trình với tham số m: 
xác định những giá trị nguyên của tham số m để hệ
 2 x + my = 2m − 1
phương trình có nghiệm ngun?
6mx + (2 − m) y = 9
Bài 9. Cho (x; y) là nghiệm của hệ: 
. Lập hệ thức độc lập giữa x và y với m.
 (m − 1) x − my = 4
 x + 2y = 4 − m
Bài 10. Cho hệ phương trình 
. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x2 + y2 nhỏ nhất.

 2 x − y = 3m + 3
GV: Nguyễn Hữu Chung Kieân

totoanhd.hnsv.com

Trang 14


TT GDTX Chu Văn An

Tài liệu Toán 10 – HKI

 2x + y = 5
Bài 11. Tìm m để hệ phương trình 
có nghiệm (x; y) sao cho xy lớn nhất.
 2 y − x = 10m = 5
 x + y + xy = 2m + 1
Bài 12. Cho hệ phương trình 
2
 xy ( x + y ) = m + m
a. Chứng minh với mọi m thì hệ phương trình có nghiệm .
b. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
 y 2 − ( x + y ) = 2m
Bài 13. Cho hệ phương trình  2
 x − ( x + y ) = 2m
a. Giải hệ phương trình khi m = 0
b. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
 x 2 y + xy 2 = 2(m + 1)
Bài 14. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
 2 xy + x + y = 2(m + 2)

 x 2 − 2 xy + 3 y 2 = 9
Bài 15. Giải hệ phương trình  2
2
 2 x − 13 yx + 15 y = 0
2

 ( x + y) = 4
Bài 16. Cho hệ phương trình  2
. Tìm m để hệ phương trình có đúng 2 nghiệm .
2
 x + y = 2(1 + m)

1
 1
 y + xy 2 = 6 x 2
x − = y −
x
y
Bài 17. Giải hệ phương trình:
a. 
b. 
2 2
2
1 + x y = 5 x
 2 y = x3 + 1

Bài 18. Giải hệ phương trình sau:
 x 2 + y 2 + 2 xy = 8 2
 3 x− y = x− y
 x y + y x = 30




1) 
2) 
3) 
x + y = x + y + 2
 x x + y y = 35
x+ y =4




 x+5 + y−2 = 7
 x +1 + 7 − y = 4
 1− x + 1− y = 2



4) 
5) 
6) 
 x−2 + y+5 = 7
 7 − x + y +1 = 4
 1+ x + 1+ y = 6



 x − y + xy = 3
2( x + y ) = 3.(3 x 2 y + 3 xy 2 )


x + y −1 = 1



7) 
8)  2 x + 2 y = 3
9) 
3
 x − y + 2 = 2y − 2
x +3 y =6

 y


x

 x+ y + x− y =4
10) 
x 2 + y 2 = 28


 x + y + x + y = 20
 x + y + 2x + y + 2 = 7
11) 
12) 
2
2
3x + 2 y = 23
 x + y = 136


 x+ y + y+2 =a
Bài 19. Xác định a để hệ phương trình: 
có nghiệm.
x + y = 3a

 x+ y + y+2 = m

Bài 20. Cho hệ PT: 
 x − 2 + y +1 = m

a) Giải hệ phương trình khi m=9.
b)Xác định m để hệ có nghiệm.

x +1 + y +1 = 3

Bài 21. Cho hệ PT: 
x y + 1 + y x + 1 + y + 1 + x + 1 = m

a)Giải hệ phương trình khi m=6.
b)Xác định m để hệ có nghiệm.
 x 2 + y 2 − 1 − m( x + y − 1) = 1

Bài 22. Cho hệ phương trình: 

x + y = xy + 1

GV: Nguyễn Hữu Chung Kiên

totoanhd.hnsv.com

Trang 15


TT GDTX Chu Văn An

Tài liệu Toán 10 – HKI

a) Giải hệ phương trình khi m=0.
b) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất.
 x + 1− y = m +1

Bài 23. Xác định m để hệ phương trình: 
có nghiệm duy nhất.
 y + 1− x = m +1

 x2 + 2 + y = m

Bài 24. Xác định m để hệ phương trình:  2
có nghiệm duy nhất.
 y +2+ x =m

 x +1 + y = m

Bài 25. Tìm m để hệ phương trình: 
có nghiệm.
 y +1 + x = m


x2 + 3 + y = a


Bài 26. Xác định a để hệ phương trình:  2
có đúng một nghiệm.
2
 y +5 + x = x +5 + 3 −a

Vấn đề 4: BẤT ĐẲNG THỨC
1. Bất đẳng thức Cô – si (Cauchy):
Với hai số không âm a, b. Ta ln có:

a+b
≥ 2 ab
2

* Nếu tổng a + b khơng đổi thì tích đạt giá trị lớn nhất khi
và chỉ khi a = b.
* Nếu tích a.b khơng đổi thì tổng đạt giá trị nhỏ
nhất khi và chỉ khi a = b.

1. Tính chất bất đẳng thức:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
a > b
Mở rộng:
1/ 
⇒a>c
Với n số không âm a1; a2; a3; … ; an. Ta ln có:
b > c
a1 + a2 + a3 + ... + an n
≥ a1.a2 .a3 ...an
2/a >b ⇔ a±c >b±c

n
neáu c > 0
ac > bc
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 = … = an
3/ a >b ⇔ 
neáu c < 0
2. Ứng dụng của bất đẳng thức Cô – si (Cauchy): Cho
ac < bc
hai số không âm a, b:
a > b
7/a≥b>0⇒ a ≥ b
4/
⇒a+c>b+d
c > d
8/a >b⇒ 3 a > 3 b
a ≥ b ≥ 0
2. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối:
5/
⇒ ac ≥ bd
a − b ≤ a + b ≤ a + b ; ( ∀a, b ∈ R )
c ≥ d ≥ 0
a ≥ b > 0
6/
⇒ a n ≥ bn
n∈ N

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BĐT THƯỜNG DÙNG:
1. Sử dụng trực tiếp BĐT Cô si và BĐT Cô si mở rộng:
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1 1

1 1 1
1/ ( a + b )  + ÷ ≥ 4 (a, b > 0)
2/ ( a + b + c )  + + ÷ ≥ 9 . (a, b, c > 0)
a b
a b c
 a  b   c 
3/ (a2 + b2) (b2 + c2) (c2 + a2) ≥ 8a2.b2.c2 (∀a, b, c)
4/  1 + ÷1 + ÷1 + ÷ ≥ 8 (a, b, c ≥ 0)
 b  c   a 
2

2
1 1
5/ ( a + b ) +  + ÷ ≥ 8 (a, b ≥ 0)
a b
3a b
+
≥ 1 (a, b ≥ 0)
7/
2b 6a
a+b+c 3
≥ abc
9/ Với a,b,c ≥ 0, CMR
3

GV: Nguyễn Hữu Chung Kiên

6/

a 2 b2 c2 a b c

+ + ≥ + + (a, b, c ≥ 0)
b2 c 2 a 2 b c a

8/ 3a2 + 7b2 ≥ 9ab2 (a, b ≥ 0)
10/ a + b + c ≥ 3 3 abc +
totoanhd.hnsv.com

(

a− b

)

2

(a, b, c ≥ 0)
Trang 16


TT GDTX Chu Văn An

11 /

a2 + 2
a2 + 1

≥2

Tài liệu Toán 10 – HKI

( ∀a ∈ R )

12 /

a2 + a + 2
a2 + a + 1

≥ 2 ( ∀a ∈ R )

14 / a 2 ( 1 + b 2 ) + b 2 ( 1 + c 2 ) + c 2 ( 1 + a 2 ) ≥ 6abc ( a, b, c ∈ R )

13 / ( 2a + 1) ( b + 3) ( ab + 6 ) ≥ 48ab ( a, b ≥ 0 )

15 / a + b + c ≥ ab + bc + ca ( a, b ≥ 0 )
1− a
1− b
1− c
+
+
≥ 3( 1− a ) ( 1− b) ( 1 − c )
Bài 2. Với 0 < a, b, c < 1. Chứng minh rằng:
1+ b + c 1+ c + a 1+ a + b
a b c
b
c
a
Bài 3. Với a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện + + = 1. Chứng minh rằng
+
+
≤1

b c a
a
b
c
 1  1   1  1  4
Bài 4. Với a, b, c, d > 0 thỏa mãn điều kiện a + b + c + d = 1. Cminh rằng  1 + ÷1 + ÷1 + ÷ 1 + ÷ ≥ 5
 a  b   c  d 
2

a b c
 1 1 1
Bài 5. Với a, b, c > 0. Chứng minh rằng  + + ÷ ≥ ( a + b + c )  + + ÷
b c a
a b c
4a 2 5b 2 3c 2
Bài 6. Cho a, b, c > 1. Chứng minh rằng
+
+
≥ 48
a −1 b −1 c −1
3
 a 3 b3 c 3  ( a + b + c )
Bài 7. Cho a, b, c, x, y, z > 0. Chứng minh rằng  + + ÷ ≥
y z  3( x + y + z )
 x
b3
c3
a3
1 1 1 1 
+ 2 3

+ 2 3
≥  2+ 2+ 2÷
Bài 8. Với a, b, c > 0. Chứng minh rằng 2 3
3
3
3
a ( a + 2b ) b ( b + 2c ) c ( c + 2a ) 3  a b c 
a3
b3
c3
1
2
+
+
≥ ( a + b + c)
b + 2c c + 2a a + 2b 9
Bài 10. Với a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca=3. Chứng minh rằng:
Bài 9. Với a, b, c > 0. Chứng minh rằng

a 6 + b6 + 1 + b6 + c6 + 1 + c 6 + a6 + 1 ≥ 3 3
2. Phương pháp biến đổi tương đương để đưa về tổng các bình phương:
Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1/ x3 + y3 ≥ x2y + xy2 (∀x ≥ 0; y ≥ 0)
2/ 4a2 + 9b2 + 5 ≥ 4(a + 3b) (∀a, b ∈ R)
3/ 3a2 + b2 + 4c2 + 9d2 ≥ 2a(b + 2c + 3d) (∀a, b, c, d ∈ R)

4/ 4a4 – 4a3 + 2a2 – 2a + 1 > 0 (∀a ∈ R)

5/ a4 – 2a3b + 2a2b2– 2a b3 + b4 ≥ 0 (∀a, b ∈ R)
7/ 8 + a3 ≥ 4a + 2a2 (∀a ∈ R)

9/ a2 + b2+ 9 ≥ ab – 3a – 3b (∀a, b ∈ R)

6/ a4 + a3b + a b3 + b4 ≥ 0 (∀a, b ∈ R)
8/ a2 + b2+ 25 ≥ 5a + 5b + ab (∀a, b ∈ R)
10/ (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab (a, b ≥ 0)

11/ (2a + 1)(b + 3)(ab + 6) ≥ 48ab (a, b ≥ 0)
3. Sử dụng kỹ thuật tách nghịch đảo: Là KT tách phần nguyên theo mẫu số để khi chuyển sang TB nhân thì các phần
chứa biến số bị triệt tiêu chỉ còn lại hằng số.
Bài 3*. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1
4
≥ 3 (a, b > 0)
≥ 3 (a > b ≥ 0)
1/ a +
2/ a +
b( a − b)
(a − b)(b + 1)2
4. Sử dụng kỹ thuật đánh giá từ TB nhân sang TB cộng: Là KT sử dụng BĐT Cô si theo chiều ngược lại.
Bài 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
GV: Nguyễn Hữu Chung Kiên

totoanhd.hnsv.com

Trang 17


TT GDTX Chu Văn An

1/

Tài liệu Toán 10 – HKI

ab + cd ≤ ( a + c)(b + d ) (a, b, c, d > 0)

2/ c(a − c) + c(b − c) ≤ ab

a > c > 0
∀
b > c > 0

3/ 30 (a + 1)(b − 1) + 4 (b + 1)(c − 1) + 1994 (c + 1)( a − 1) < 1012a + 17b + 999c (a, b, c > 1)
Bài 5. Chứng minh các BĐT sau:
a2
1/
+ b 2 + c 2 > ab + bc + ca với abc = 1 và a 3 > 36
3
2/ a 2 + b 2 + c 2 + 2abc + 3 ≥ (1 + a)(1 + b)(1 + c) với a, b, c > 0.
a 8 b8 c 8
+ 4 + 4 ≥ ab3 + bc3 + ca 3
4
b c a
Bài 7. Với a, b, c, d không âm, chứng minh rằng a 8 + b8 + 2c 4 + 4d 2 ≥ 8abcd
a 4 b 4 2ca 2
Bài 8. Với a, b, c > 0, chứng minh rằng 2 + 2 +
+ 4b 2 c 2 ≥ 8abc
b
c
b
a6

b6
c6
Bài 9. Với a, b, c > 0, chứng minh rằng 2 2 + 2 2 + 2 2 ≥ ab + bc + ca
bc ac ab
a2
b2
Bài 10. Với a, b, c > 0, chứng minh rằng
+
≥ a+ b
b
a
Bài 11. Với a, b, c > 0, chứng minh rằng 3 ab + 3 cb + 3 ac ≤ 3 3
1
1
1
ab + bc + ca
+ 3
+ 3
≥
Bài 12. Với a, b, c > 0 và a.b.c = 1, chứng minh rằng 3
a ( b + c) b ( a + c) c ( b + a)
2
Bài 6. Với a, b, c > 0, chứng minh rằng

c2
b
+ 2 ≥ ac + ab + 1
2
b ac
a b 1 1

Bài 14. Cho a, b > 0, chứng minh bất đẳng thức: a/ 2 + 2 ≥ +
b a
a b
Bài 13. Với a, b, c > 0, chứng minh a 3b 2 c +

Bài 15. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k ta đều có:
1

1

1

4(a 2 + b 2 )3
27
1 
 1
< 2
−
÷
k
k +1 
 k

b/ a 2b 4 ≤

1
( k + 1)

1

+
+ ... +
<2
Ap dụng: CMR: 2 +
3 2 4 3
( n + 1) n

(ĐH Khối A – 2004)

Bài 16. Tìm giá trị lớn nhất (max), giá trị nhỏ nhất (min) của các hàm số sau (nếu có):
1
4
9
3
1

1/ y = 2x + trên (0; + ∞)
2/ y = 3 x − 1 +
trên  ; +∞ ÷ 3/ y = 3 − 2 x +
biết x <
x
3x − 1
3 − 2x
2
3

4/ y = x +

1
trên (4; + ∞)

x−4

6/ y = (x + 5)(3 – x) trên [– 5; 3]
8/ y = – 9x2 – 3x + 2 biết −

GV: Nguyễn Hữu Chung Kieân

2
1
≤x≤
3
3

 1

4 x2 + 4 x + 5
trên  − ; +∞ ÷
 2

2x +1
1
5
7/ y = (2x – 1)(5 – 2x) biết ≤ x ≤
2
2
5/ y =

9/ y = – x2 – 5x + 14 biết – 7 ≤ x ≤ 2

totoanhd.hnsv.com

Trang 18


TT GDTX Chu Văn An

Tài liệu Toán 10 – HKI

CHƯƠNG I. VÉC – TƠ
CHƯƠNG I. VÉC – TƠ
Vấn đề 1: VÉC TƠ – PHÉP CỘNG TRỪ VÉC TƠ.
a) Tổng của hai vectơ
uuu uuu uuu
r
r
r
• Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB + BC = AC .
uuu uuu uuu
r
r
r
• Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có: AB + AD = AC .
r r r r
r r r r r r
r r r
( a +b) + c = a +(b + c) ;
• Tính chất:
a +b =b +a ;
a+0=a
b) Hiệu của hai vectơ

r
r
r
r
r r r
• Vectơ đối của a là vectơ b sao cho a + b = 0 . Kí hiệu vectơ đối của a là − a .
r
r
• Vectơ đối của 0 là 0 .
r
r r r
• a − b = a + ( −b ) .
uuu uuu uuu
r
r
r
• Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: OB − OA = AB .
Bàiuuu Cho r giác ABCD, chứng uuu uuu uuu uuu
1. uuutứ uuu uuu
minh rằng: r
r
r
r
r
r
r
uuu uuu uuu uuu
r
r
r

r
uuu uuu uuu uuu
r
r
r
r
a / AB + CD − AD = CB
b / AB + CD = CB − DA
c / BC − AD = BA + DC
d / BC = BA − CD − DA
Bài 2. Chouuu uuu B, r D,r chứnguuu
5r
điểm r uuuC, uuuE, uuu
A,
r minh rằng:
r
uuu uuu uuu uuu uuu
r
r
r
r
r
a / AC + DE − DC − CE + CB = AB
b / AB − CB + EA = DC − DE
Bài 3. Chouuu giác ABCDEF, chứng minh rằng:
lục uuu uur uuu uuu uuu
r
r
r
r

r
uuu uuu uuu uuu uuu uur
r
r
r
r
r
a / AB + CD + EF = CB + ED + AF
b / BC − ED + FA = BA − CD − EF
Bài 4. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là một điểm bất kỳ trên đường chéo AC. Qua O kẻ các đường thẳng song
song với các cạnh của hình bình hành. Các đường thẳng này cắt AB và DC lần lượt tại M và N, cắt AD và BC lần lượt
tại E và F. Chứng minh rằng: r
uuu uuu uuu uuu
r
r
r
uuu uuur uuu
r
r
a / OA + OC = OB + OD
b / BD = ME + FN
uuu uuu
r
r
Bài 5. Cho 3 điểm O, A, B khơng thẳng hàng. Với điều kiện nào thì vectơ OA + OB nằm trên đường phân giác của góc
AOB.
Bài 6. Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn tâm O uuuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu
r
r
r r

r
r r
r
r
a/ Hãy xác định các điểm M ,N ,P sao cho: OM = OA + OB; ON = OB + OC ; OP = OC + OA
uuu uuu uuu r
r
r
r
b/ Chứng minh rằng OA + OB + OC = 0
Bài 7. Cho tam giác ABC. Gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A;uuu là điểm đối xứng vớiuC quarB; C’ là điểm đối
B’ uuu uuu uuur uuur uuuu
r
r
r
xứng với A qua C. Chứng minh rằng với một điểm O bất kỳ ta có : OA + OB + OC = OA ' + OB ' + OC '
Vấn đề 2: TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VÉC TƠ.
r
r
• Cho vectơ a và số k ∈ R. ka là một vectơ được xác định như sau:
r
r
r
r
+ ka cùng hướng với a nếu k ≥ 0, ka ngược hướng với a nếu k < 0.
r
r
+ ka = k . a .
r
r r

r
r
r r
r r
k ( la ) = (kl )a
• Tính chất:
k ( a + b ) = ka + kb ; (k + l )a = ka + la ;
r r
r r
ka = 0 ⇔ k = 0 hoặc a = 0 .
r
r r r
r
r
• Điều kiện để hai vectơ cùng phương: a và b ( a ≠ 0 ) cùng phương ⇔ ∃k ∈ R : b = ka
uuu
r
uuu
r
• Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng ⇔ ∃k ≠ 0: AB = k AC .
r
rr
• Biểu thị một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương: Cho hai vectơ không cùng phương a , b và x tuỳ ý.
r
r
r
Khi đó ∃! m, n ∈ R: x = ma + nb .
GV: Nguyễn Hữu Chung Kiên

totoanhd.hnsv.com

Trang 19


TT GDTX Chu Văn An

Tài liệu Toán 10 – HKI

Chú ý:
uuu uuu r
r
r
uuu uuu
r
r uuuu
r
• Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: M là trung điểm AB ⇔ MA + MB = 0 ⇔ OA + OB = 2OM (O tuỳ ý).
uuu uuu uuu r
r
r
r
uuu uuu uuu
r
r
r uuu
r
• Hệ thức trọng tâm ∆: G là trọng tâm ∆ABC ⇔ GA + GB + GC = 0 ⇔ OA + OB + OC = 3OG (O tuỳ ý)
Bài 1. Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác.
a/ Biểu diễn AG theo AB , AC .
b/ Biểu diễn AG theo CA , CB .

c/ Đặt a = BA , b = BC . Biểu diễn AG theo a , b .
Bài 2. Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác, I là điểm xác định bởi IA = 2 IB , J là điểm trên
BC sao cho JB = x JC .
a/ Biểu diễn CI , CJ theo CA , CB .
b/ Biểu diễn IJ theo CA , CB .

c/ Tìm x để IJ // CG .
Bài 3. Cho tam giác ABC và điểm I sao cho IA + 2 IB = O , J là điểm trên BC sao cho JB = x JC .
a/ Biểu diễn CI , CJ theo CA , CB .
b/ Biểu diễn AI , AJ theo AB , AC .
c/ Biểu diễn IJ , IG theo AB , AC .
d/ Tìm x để I, J, G thẳng hàng.
Bài 4. Cho tam giác ABC đều cạnh a, G là trọng tâm tam giác. Tính độ dài của các véctơ sau:
a/ AB + AC
b/ AB – AC
c/ AB – CA
d/ AB – BC
e/ GB + GC
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 3, AC = 4. Tính độ dài của các véctơ sau:
a/ AB + AC
b/ AB – AC
c/ AB – CA
d/ AB – BC
e/ GB + GC
Bài 6. Cho tam giác vng cân ABC có AB=AC=a, H là trung điểm của BC. Tính độ dài các véctơ sau:
a/ AB + AC
b/ AB – AC
c/ AB – CA
d/ AB – BC
e/ GB + GC

uuu
r
uuu
r
f/ 2AB + AC
g/ 2AB – AC
h/ CA – HC
Bài 7. Cho bốn điểm M, N, P, Q bất kì. CM các đẳng thức sau:
a/ PQ + NP + MN = MQ
b/ NP + MN = QP + MQ
c/ MN + PQ = MQ + PN
Bài 8. Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F. CMR:
a/ AD + BE + CF = AE + BF + CD
b/ AB + CD = AD + CB
Bài 9. Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt có trọng tâm là G và G. CMR:
a/ 3 GG ' = AA' + BB' + CC '
b/ 3 GG ' = AB' + BC ' + CA'
c/ 3 GG ' = AC ' + BA' + CB '
Bài 10. Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm, M là trung điểm của BC và H là điểm đối xứng với B qua G.
CMR:
2

1

1

1

a/ AH = AC – AB
b/ CH = – AB – AC

3
3
3
3
Bài 11. Cho tam giác ABC.
a/ Gọi P là điểm đối xứng của B qua C. Tính AP theo AB , AC
b/ Gọi Q và R là hai điểm xác định bởi : AQ =

1

5

c/ MH = AC – AB
6
6

1
1
AC và AR = AB . Tính RP , RQ theo AB , AC
2
3

c/CMR: P, Q, R thẳng hàng.
Bài 12. Cho ∆ABC và hai điểm I, F: IA +3 IC = O ; FA +2 FB +3 FC = O . CMR: I, F, B thẳng hàng.
Bài 13. Cho tam giác ABC.
a/ Xác định vị chí điểm M sao cho: MA +2 MB = O
b) Xác định vị trí điểm N: NA + 2 NB = CB
Bài 14. Cho tam giác ABC, gọi M là uuu điểm AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NA = 2NC. Gọi K là trung
trung uuu
r

r
uuu
r
điểm MN. Phân tích véctơ AK theo ABvà AC .
uuu uuu uuur uuuu
r
r
u
r uuuu
r
Bài 15. Cho hbh ABCD tâm O. Chứng minh rằng với điểm M bất kỳ ta ln có: MA + MB + MC + MD = 4MO
uuu uuu
r
r u
r
Bài 16. Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm hai đường chéo AC và BD. Cm: AB + CD = 2IJ
Bài 17. Cho tam giác ABC.
GV: Nguyễn Hữu Chung Kiên

totoanhd.hnsv.com

Trang 20


TT GDTX Chu Văn An

Tài liệu Toán 10 – HKI

uuu uuu uuu
r

r
r
uuu uuu
r
r uuur r
u
a/ Tìm điểm K sao cho KA + 2 KB = CB
b/ Tìm điểm m sao cho MA + MB + 2 MC = 0
Bài 18. Cho ∆ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm, D là điểm đối xứng với A qua O.
a/ Chứng minh tứ giácuuu
là hình uuuhành.r uuur uuu uuu uuu uuur
uuu HCDBuuur uuu bìnhr uuu
r
r
r
r
r
r
b/ Chứng minh: HA + HD = 2 HO; HA + HB + HC = 2 HO; OA + OB + OC = OH
uuu uuu uuur r
r
r
u
Bài 19. Cho tam giác ABC. Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện MA − MB + MC = 0
r uuu uuu
r
r uuur
u
Bài 20. Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng v = MA + MB − 2 MC không phụ thuộc vào vị trí điểm
uuu r

r
M. Hãy dựng điểm D sao cho CD = v .
Bài 21. Cho tam giác ABC, gọi M là uuu điểm AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NA = 2NC. Gọi K là trung
trung uuu
r
r
uuu
r
điểm MN. Phân tích véctơ AK theo ABvà AC .
1
Bài 22. Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm AB, N là một điểm trên cạnh BC sao cho NB = NC, P là điểm thỏa
4
uuu uuu uuuu
r r r
uuu uuu
r
r
uuu
r uur
u
hệ thức PC = 3PA . Phân tích các véctơ AN ; BP; CM theo ABvà CB .
Bài 23. Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm AC, N là một điểm trên cạnh AB sao cho BN = 3NA, P là điểm thỏa
uuu
r
r
uuu uuuu uuu
r r r
uuu uuu
r
r

1 uuu
hệ thức PB = − CP . Phn tích các véctơ AP; BM ; CN theo BC và CA .
2
uuur uuu uuu uuu uuuu uuu
u
r r
r
r
r
Bài 24. Cho tam gic ABC, dựng AB ' = BC ; CA ' = AB; BC ' = CA .
a/ Chứng minh rằng A là trung điểm của B’C’.
b/ Chứng minh các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy.
uur 1 uuu 2 uuu
u
r
r
1
Bài 25. Cho tam gic ABC, điểm I trên cạnh AC sao cho CI = CA, J là điểm thỏa hệ thức BJ = AC − AB .
4
2
3
uu 3 uuu uuu
r
r
r
a/ Chứng minh BI = AC − AB
b/ Chứng minh B, I, J thẳng hng. Dựng J.
4
uuu
r uuur uuu

u r uuu uuu
r r uuu
r
Bài 26. Cho tam giác ABC. M, N, P là những điểm thỏa: MB = 3 MC; NC = 3 NA; PA = 3 PB
uuuu
r uuu uuu
r
r
a/ Chứng minh 2 OM = 3 OC − OB với mọi điểm O.
b*/ Chứng minh hai tam gic ABC v MNP cĩ cng trọng tm.
Bài 27. Cho tứ giác ABCD. M, N là trung điểm của AD, BC, O là trung điểm của MN. Chứng minh:
→
→
→
1 →
1 →
→
→
→
→
a) AB − CD = AC + DB
b) MN = ( AB + DC ) = ( AC + DB )
2
2
→
→
→
→
→
→

→
→
→
→
c) OA+ OB + OC + OD = O
d) MA+ MB + MC + MD = 4 MO .
uuu
r uuu uuu r
r
r
Bài 28. Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho: OA + 2OB − 3OC = 0 . Chứng tỏ rằng A, B, C thẳng hàng.
uu
r uu uur
r
u
r
r
uuu
r
1 uu uuu
Bài 29. Cho ∆ABC với I, J , K lần lượt được xác định bởi: IB = 2 IC , JC = − JA , KA = − KB
2
uu uur
r
uuu uuu
r
r
a) Tính IJ , IK theo AB , AC
b) Chứng minh I, J, K thẳng hàng
1

1
Bài 30. Cho hình bình hành ABCD. Trên các tia AD, AB lần lượt lấy các điểm F, E sao cho AD = AF, AB = AE.
2
2
Chứng minh:
a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng
uu uu Các tứ giác BDCF, DBEC là hình bình hành.
r b) r uu
r
r uu
r uur r
u
Bài 31. Cho ∆ABC. Hai điểm I, J được xác định bởi: IA + 3IC = 0 , JA + 2 JB + 3 JC = 0 . CM: I, J, B thẳng hàng.
uuu
r uuur uuu
u
r uuu uuu uuu r
r
r
r
Bài 32. Cho ∆ABC . Lấy các điểm M, N, P: MB − 2MC = NA + 2 NC = PA + PB = 0
uuuu uuu
r r
uuu uuu
r
r
a) Tính PM , PN theo AB va AC
b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng.
uuu
r uuu r uuu

r
r uuu r
r
Bài 33. Cho tam giác ABC, G là trọng tâm các điểm M, N định bỡi hệ thức 3MA + 4 MB = 0 và NB − 3 NC = 0
uuu
r
uuu
r
uuu
r
a) Chứng minh M, G, N thẳng hàng.
b) Biểu diễn AC theo AG và AN .
Bài 34. Cho ∆ABC, vẽ các hình bình hành ABIJ , BCPQ , CARS. Chứng minh: ∆RIP và ∆JQS có cùng trọng tâm.
Bài 35. Cho tam giác ABC, A’ là điểm đối xứng của A qua B, B’ là điểm đối xứng của B qua C, C’ là điểm đối xứng
GV: Nguyeãn Hữu Chung Kiên

totoanhd.hnsv.com

Trang 21


TT GDTX Chu Văn An

Tài liệu Toán 10 – HKI

của C qua A. Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có chung trọng tâm.
Bài 36. Cho r uuuu giác ABC, A’B’C’. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của 2 tam giác. CMR:
uuur uuur uuuucác tam
r
AA ' + BB ' + CC ' = 3GG ' . Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để 2 tam giác có cùng trọng tâm .

uuur uuuu r uuur uuu r uuu
r
u
r
r uuu r
r
Bài 37. Cho ∆ABC. Gọi A′, B′, C′ là các điểm định bởi: 2 A′B + 3 A′C = 0 , 2 B′C + 3B′A = 0 , 2C ′A + 3C ′B = 0 . Chứng
minh các tam giác ABC và A′B′C′ có cùng trọng tâm.
Bài 38. Cho lục giác ABCDEF. M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, EF, FA. Chứng minh ∆MPR
và ∆NQS có cùng trọng tâm.
Bài 39. Cho ∆ABC và ∆A ' B ' C ' có chung trọng tâm G gọi G1; G2; G3 là trọng tâm các tam giác BCA’, CAB’, ABC’.
Chứng minh ∆G1G2G3 cũng có trọng tâm G
→

→

→

→

→

→

Bài 40. Cho ∆ABC. Gọi A’, B’, C’ là các điểm xác định bởi 2008 A ' B + 2009 A ' C = O , 2008 B ' C + 2009 B ' A = O ,
→
→
→
2008 C ' A+ 2009 C ' B = O . CMR: ∆ABC và ∆A ' B ' C ' cùng trọng tâm
Bài 41. Cho tứ giác ABCD có trọng tâm G. Gọi G 1, G2, G3, G4 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, BCD, CDA,

DAB. Chứng minh rằng G cũng là trọng tâm tứ giác G1G2G3G4
AA′ BB′ CC ′
=
=
Bài 42. Trên các cạnh AB, BC, CA của ∆ABC lấy các điểm A′, B′, C′ sao cho:
. CMR: các tam giác
AB BC AC
ABC và A′B′C′ có chung trọng tâm.
Bài 43. Cho hình thang OABC. M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng:
uuuu 1 uuu uuu
r
r
r
uuu 1 uuu uuu
r
r
r
uuuu 1 uuu uuu
r
r
r
a) AM = OB − OA
b) BN = OC − OB
c) MN = ( OC − OB )
2
2
2
Bài 44. Cho ∆ABC. M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. CMR:
uuu
r

r
r
uuu
r
r
r
uuuu 1 uuu 1 uuuu
r
r
r
2 uuuu 4 uuu
4 uuuu 2 uuu
a) AB = − CM − BN
b) AC = − CM − BN
c) MN = BN − CM
3
3
3uuu
3
3r
3
r
uuu
r
uuu uuu
r
Bài 45. Cho lục giác đều ABCDEF. Phân tích các vectơ BC và BD theo các vectơ AF và AB .
Bài 46. Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
uuu uuu
r

r uuu uuu
r
r
uuu uuu
r
r uuu
r uuu
r
a) MA + MB = MA − MB
b) 2 MA + MB = MA + 2 MB
Bài 47. Cho ∆ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
uuu uuu uuur 3 uuu uuur
r
r
u
r
u
uuu uuu
r
r uuu uuu
r
r
a) MA + MB + MC = MB + MC
b) MA + BC = MA − MB
2
Bài 48. Cho ∆ABC.
uu
r uu uu r
r
r

a) Xác định điểm I sao cho: 3IA − 2 IB + IC = 0 .
uuuu
r uuu
r uuu uuur
r
u
b) CMR đường thẳng nối 2 điểm M, N xác định bởi: MN = 2MA − 2MB + MC luôn đi qua một điểm cố định.
uuu
r uuu uuu
r
r uuu uuu
r
r
c) Tìm tập hợp các điểm H sao cho: 3HA − 2 HB + HC = HA − HB
uuu uuu uuu
r
r
r
uuu uuu
r
r
d) Tìm tập hợp các điểm K sao cho: 2 KA + KB + KC = 3 KB + KC
Bài 49. Cho ∆ABC.
uu uu
r
r uu r
r
uuu
r uuu r
r

a) Xác định điểm I sao cho: IA + 3IB − 2 IC = 0 .b) Xác định điểm D sao cho: 3DB − 2 DC = 0 .
c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng.
uuu
r uuu
r uuur
u
uuu uuu uuur
r
r
u
d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MA + 3MB − 2 MC = 2 MA − MB − MC .
Vấn đề 3: HỆ TỌA ĐỘ.
• Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ:

r
r
r
r
u = ( x; y ) ⇔ u = x.i + y. j .
uuur
r
r
M ( x; y ) ⇔ OM = x.i + y. j .

• Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ:
r
r
• Tính chất: Cho a = ( x; y ), b = ( x′ ; y′ ), k ∈ R , A( x A ; y A ), B( xB ; yB ), C ( xC ; yC )

GV: Nguyễn Hữu Chung Kiên

totoanhd.hnsv.com

Trang 22


TT GDTX Chu Văn An

Tài liệu Toán 10 – HKI


r r  x = x′
r
r r
+ a=b ⇔
+ a ± b = ( x ± x ′ ; y ± y′ )
+ ka = (kx; ky )
 y = y′

r
x ′ y′
r r
=
+ b cùng phương với a ≠ 0 ⇔ ∃k ∈ R: x′ = kx vaø y′ = ky ⇔
(nếu x ≠ 0, y ≠ 0).
x
y
uuu
r
AB = ( xB − x A ; yB − y A ) .

+
x A + xB
y + yB
.
; yI = A
2
2
x + x B + xC
y + yB + yC
+ Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: xG = A
.
; yG = A
3
3
uuu
r uuu
r
x − kxB
y − kyB
+ Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1 ⇔ MA = k MB : x M = A
.
; yM = A
1− k
1− k
+ Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: xI =

Bài 1. Cho tam giác ABC có A(1; – 2); B(2; 1); C(4; 5).
a/ Tìm tọa độ trung điểm I, J, K của AB, AC và BC. Trọng tâm G của tam giác ABC.
b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
c/ Cho M(a; 2), tìm a sao cho A, B, M là ba điểm thẳng hàng.

d/ Tìm tọa độ giao điểm N của BC với trụcrOx, P của AB với trục Oy.
uuu uuu
r
r uuu
e/ Tìm tọa độ điểm Q thỏa AC + BQ = 2 AB .
uuu uuu uuu
r
r
r
f/ Tìm k, l sao cho: k AB + l AC = CB
Bài 2. Cho tam giác ABC có A(4; 1); B(3; 1); C( – 2 ; 3).
a/ Tìm tọa độ trung điểm I, J, K của AB, AC và BC. Trọng tâm G của tam giác ABC.
b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
c/ Cho M( – 1; y), tìm y sao cho B, C, M là ba điểm thẳng hàng.
d/ Tìm tọa độ giao điểm N, uuu AB với trục Ox, Oy.
P của uuu uuu
r
r
r
e/ Tìm tọa độ điểm Q thỏa AQ + 2 BC = AB .
uuu uuu uur
r
r
u
f/ Tìm k, l sao cho: k AB + l BC = CA
Bài 3. Cho M(2; 1); N(1; – 5); P(0; 2) lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC và BC của ∆ABC. Tìm A, B, C.
Bài 4. Chouuu uuu ABC cạnhuur uuu dựng và tính độ r uuu véc tơ sau: uuu uuu
∆ABC r
đều
bằng a,r

lớn r
r
u
uuu các
r
r
uuu uuu
r
r
a / AB + BC
b / BA + BC
c / AB + CB
d / BC − AB
e / BA − AC
Bài 5. Chouuu vuông ABCD cạnhr bằng 5cm, dựng vàuuu độ r các véc tơ uuu uuu
hình uuu
tính uuulớn
sau: r
r
r
uu uuu
u
r
r
r
uuu uuu
r
r
a / AC + AB
b / BA − DA

c / AD + CD
d / DA − BD
e / BA − AD
Bài 6. Cho A(3; – 1); B(2; 5)
a/ Cho C(6; – 19). Chứng tỏ A, B, C thẳng hàng. b/ Tìm m để C(3m + 2; 4 – 3m), A, B thẳng hàng.
c/ Tìm C ∈ Ox sao cho A, B, C thẳng hàng.
d/ Tìm C ∈ Oy sao cho C nằm trên đường thẳng AB.
Bài 7. Cho hai điểm A(1; 3), B(– 2; 5). Tìm tọa độ điểm C nằm trên trục Ox sao cho:
a/ ∆ABC vuông.
b/ ∆ABC cân tại C.
Bài 8. Cho tam giác ABCuuu trọng tâm uuu
G.r
uuu có uuu
r r r
uuu
r
a/ Biểu diễn GA;GB;CG theo AB vaø BC
uuur uuur
uuuu
r
uuu uuur
r
b / Gọi M là điểm thỏa hệ thức MC = 3MB. Tính AM theo BA, BC.
uuu
r
r
uuu
r
uuu uuur
r

1 uuu
c / Gọi N là điểm thỏa hệ thức NA = − NB. Tính CN theo CA, AB.
4
uuu m uuu
r
r
uuur
u
r
r
n uuu
m uuu
MA −
MB .
Bài 9. Cho A, B, C thẳng hàng và CA = CB . CMR với bất kỳ điểm M, ta có: MC =
n
n−m
n−m
GV: Nguyễn Hữu Chung Kiên

totoanhd.hnsv.com

Trang 23


TT GDTX Chu Văn An

Tài liệu Toán 10 – HKI

uu uu r

r
r
uuu uuu uuu r
r
r
r
Bài 10. Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Lấy I, K sao cho 2 IA + 3IC = 0 và 2 KA + 5KB + 3KC = 0 . Gọi M, N lần lượt
là trung điểm AB và BC. CMR: M, N, K thẳng hàng.
Bài 11. Trong mặt phẳng cho 3 điểm A(5; 1); B(4; 4); C(1; 3)

a/ Chứng minh 3 điểm A; r Cuuu
B; thẳng hàng.
uuu
r
uuu
r uu
r
b/ Gọi N là điểm thoả BN = 3NA . S là điểm thoả : SC = 2 SA và G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng
minh rằng S; N; G thẳng hàng.
Bài 12. Cho tam giác ABC có M, N, P là các điểm lần lượt chia đoạn AB, AC, MN theo tỉ số -2; -3; -4. Hãy biểu diễn
uuu uuu
r r
uur
AI theo AB; AC . AI cắt BC tại K. Tính tỉ số mà K chia đoạn BC.
CHƯƠNG II. TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC – TƠ VÀ ỨNG DỤNG
CHƯƠNG II. TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC – TƠ VÀ ỨNG DỤNG
Vấn đề 1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC α
1. Các CT cơ bản:
sin 2α + cos 2α = 1
sinα

tanα =
(α ≠ 900 )
cosα
cosα
cotα =
(α ≠ 00 ;1800 )
sinα
1
1 + tan 2α =
(α ≠ 900 )
2
cos α
1
1 + cot 2α =
(α ≠ 00 ;1800 )
2
sin α
tanα .cotα =1
(α ≠ 00 ;900 ;180 0 )

2. Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau:
cos(1800 – α) = – cosα
sin(1800 – α) = sinα
tan(1800 – α) = – tanα
cot(1800 – α) = – cotα
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:
* Dạng 1: Chứng minh đẳng thức lượng giác.
– Dùng phương pháp biến đổi tương đương để đưa
đẳng thức đã cho về 1 đẳng thức đúng.
– Dùng các CT lg cơ bản biến đổi 1 vế về vế còn

lại.
* Dạng 2: Cho 1 GTLG góc α, tính các GTLG còn lại.
– Biết sin hoặc cos: sử dụng các CT 1, 2, 6.
– Biết tan hoặc cot: sử dụng các CT 6, 3, 2.

Bài 1. Chứng minh rằng:
sin 3 x + cos3 x
1 + sin 2 x
= 1 − sin x cos x
= 1 + 2 tan 2 x
3/
sin x + cos x
1 − sin 2 x
sin x
1 + cos x
2
tan x cot 2 x − 1
1 + cos x 1 − cos x 4 cot x
4/
+
=
5/
=1
6/
−
=
2
1 + cos x
sin x
sin x

1 − tan x cot x
1 − cos x 1 + cos x sin x
sin α + cos α − 1
cos α
sin 2 α − cos 2 α + cos 4 α
sin 2 α − tan 2 α
7/
=
8/
= tan 4 α
9/
= tan 6 α
2
2
4
2
2
sin α − cos α + 1 1 + sin α
cos α − sin α + sin α
cos α − cot α
2
1 − sin α
tan α sin α
1
1
10 /
= cos α
11/
−
= cosα

12 /
+
=1
2
sin α cot α
sin α cot α
1 + tan α 1 + cot 2 α
cosα
1
2
13 /
+ tan α =
14 / (cot α + 1) 2 + (cot α − 1) 2 =
15 / tan 2 x − sin 2 x = tan 2 x.sin 2 x
2
1 + sin α
cosα
sin α
2
2
sin α + cos α − 1
2cos α
cos α − sin α
=
16/ 4
17/
= 1 + tan 2 α
1 − cos α
sin α − cos α + 1
sin α + cos 4 α − sin 2 α

sin x
cos x
1 + cot 2 x
18/ sin2x.tanx + cos2x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx
19/
+
=
sin x + cos x sin x − cos x 1 − cot 2 x
2sin x cos x
= sin x + cos x + 1
20/
sin x + cos x − 1
Bài 2. Tính các giá trị lượng giác cịn lại của góc α biết:
3
1
3
1/ sinα = (00 < α < 900)
2/ cosα = −
3/ tanα = 3
4/ cotα = −
5
2
2
1/ sin4α – cos4α =2sin2α – 1

GV: Nguyễn Hữu Chung Kiên

2/

totoanhd.hnsv.com

Trang 24


TT GDTX Chu Văn An

5/ sinα =

Tài liệu Toán 10 – HKI

3
(900 < α < 1800)
2

6/ cosα =

1
4

7/ tanα = – 4

8/ cotα =

7
3

Bài 3. Chứng minh các hằng đẳng thức:
a/ cos2α( cos4α + sin2α.cos2α + sin2α + tg2α) = 1
1 + cosx  ( 1 − cosx )
A=

1 +
Bài 4. a/ Rút gọn biểu thức:
sinx 
sin 2 x


b/ 1 – (sin6α + cos6α) = 3sin2α cos2α
2






b/ Tính giá trị của A biết cos x = −

1
2

Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y = a sin 2 x + c cos 2 x + a cos 2 x + c sin 2 x . (Các giá trị của a và c thỏa mãn
để biểu thức có nghĩa)
Bài 6. CMR các biểu thức sau đây không phụ thuộc vào x.
A = 3(sin4x + cos4x) – 2(sin6x + cos6x)

B = cos6x + 2sin4x.cos2x + 3sin2x.cos4x + sin4x
2
cot x + 1
+
D=
;

tan x − 1 cot x − 1
F = 2cos4x – sin4x + sin2x.cos2x + 3sin2x

C = (tanx + cotgx)2 – (cotx – tgx)2
E=

sin 4 x + 4 cos 2 x + cos 4 x + 4sin 2 x

sin 4 x + cos 4 x − 1
H = 2(sin4x + cos4x + sin2x.cos2x)2 – (sin8x + cos8x)
sin 6 x + cos 6 x − 1
I = 3(sin8x – cos8x) + 4(cos6x – 2sin6x) + 6sin4x J = sin4x + cos4x – sin6x – cos6x – sin2x.cos2x
G=

1 − tan x )
L= (

tan x cot 2 x − 1
K=
.
1 − tan 2 x cot x

sin 2 x.cos 2 x 
M=



2

2

2

4 tan x

1
1
÷
+
1 − sin 2 x(1 + cos 2 x)
1 − cos 2 x(1 + sin 2 x) ÷


−

1
4sin x.cos 2 x
2

Bài 7. Rút gọn các biểu thức:
a/ A = sin 4 α + sin 2 α cos 2α + cos 2α

b/ B = sin α cosα (tan α + cot α )

c/ C =

sin α
sin α
+
.

1 − cosα 1 + cosα

Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y = sin4x – sin2x + cos2x.

Vấn đề 2: TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ
r r rr r r
rr
1. Định nghĩa: Cho a; b ⇒ a.b = a . b .cos a, b
rr
r r
Chú ý: a.b = 0 ⇔ a ⊥ b
2. Biểu thức r độ tích vơ hướng: r r
tọa
r
Cho a = ( a1 ; a2 ) ; b = ( b1 ; b2 ) ⇒ a.b = a1b1 + a2b2

( )

3. Ưng dụng của tích vơ hướng:
r
2
a = a12 + a2
rr
rr
a.b
a1b1 + a2b2
cos a, b = r r =
2
2
a.b

a1 + a2 . b12 + b22

( )

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:
uuu uuu
r r
* Dạng 1. Tính tích vơ hướng của hai vt: Đưa hai vt về cùng gốc và sử dụng CT AB. AC = AB. AC.cos µ
A
uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu
r r r r r r r r r r
Bài 1. Cho tam giác đều ABC cạnh a trọng tâm G, tính: AB. AC ; BC. AC ; AC.CB; AG.GC ; GB. AG
uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu
r r r r r r r r r r r r
Bài 2. Cho hình vng ABCD cạnh 2cm tâm O, tính: BA.BC ; AB. AC ; BC. AC ; AC.CB; AO.OC ; OB. AO
GV: Nguyeãn Hữu Chung Kiên

totoanhd.hnsv.com

Trang 25