CƠ SỞ LÝ THUYẾT CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN pot

Chương 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
Trong phần này của tài liệu bạn đọc làm quen hoặc nhớ lại những điểm chính của q trình ngẫu
nhiên. Các cơng thức trình bày tại chương này sẽ được dùng tại phần bàn về sóng biển, gió trên biển,
chịng chành tàu, momen uốn, lực cắt tàu, cơng trình nổi trên sóng.
1 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Đại lượng ngẫu nhiên, ví dụ độ dâng mặt sóng biển, xuất hiện trong tự nhiên, tại một vị trí nhất
định, có thể mang giá trị lớn hay nhỏ, trên mặt trung bình (dương) hay dưới mực trung bình (âm) và có
thể nói khơng sai, khó xác định trước. Tập họp các đại lượng ngẫu nhiên theo diễn tiến thời gian đưa
đến hình ảnh của một biểu đồ diễn tiến sự kiện, ví dụ diễn tiến của độ dâng sóng tại vị trí đo.
Với sóng biển, độ dâng mặt sóng tại mỗi vị trí được xét như q trình ngẫu nhiên, có thể diễn đạt
bằng hàm ζ = f(t), và hàm này trong thực tế là hàm liên tục. Từ băng ghi liên tục đo trong thời gian τ
= t – t0, nếu chúng ta chỉ ghi nhận những kết quả đo sau mỗi khoảng thời gian vơ cùng ngắn, ví dụ Δt =
( t – t0)/ N, với N số khoảng thời gian được chọn trước, sẽ thu được kết quả không phải dạng hàm liên
tục như vừa tả, mà ở dạng hàm rời rạc theo khoảnh khắc thời gian ζi = ζ(iΔt).
t
ζ

Δt

0
ζ0

ζ1

2Δt
ζ2

3Δt
ζ3

Bảng 1.1
…
…

iΔt
ζi

…
…

Từ kết quả quan sát và đo đạc có thể thu nhận hàng ngàn, nhiều ngàn giá trị ζi, i=1,2,…. Dữ liệu
vừa thu nhận, ngoài cách sắp xếp theo thời gian t vừa đề cập, cịn có thể tập họp dưới dạng hàm phân
bố theo tần suất xuất hiện của đại lượng ngẫu nhiên. Một trong các cách làm là sắp xếp các dữ liệu theo
tần suất xuất hiện độ lớn. Giả sử độ dâng mặt sóng đo được từ thực tế mang giá trị nhỏ nhất ζ = –ζA
đến giá trị lớn nhất ζ = +ζB. Nếu chia đều đoạn từ –ζA đến +ζB ra một số phân đoạn, ví dụ m phân
đoạn, trong mỗi phân đoạn có thể xác định tổng số lần xuất hiện của ζ.
-ζA<ζ< Z0
n0
p0=n0/N

Z0<ζn1
P1=n1/N

Z1<ζn2
P2=n2/N

…

…
…

Bảng 1.2
Zn-1<ζnn
Pn=nn/N

Zn<ζ<+ζB
nn+1
…

…
…
…

Trường hợp chung nhất có thể diễn đạt cách làm trên bằng cách sau. Giả sử rằng trong quá
trình thực hiện sự kiện trong toàn miền đã thu nhận được N giá trị mang tính ngẫu nhiên. Các giá trị đó
trải dài trên tồn bộ miền, ví dụ (-ζA, ζB). Sau khi chia toàn bộ miền giá trị (-ζA, ζB) thành các phân
đoạn, tiến hành tính kiểm lượng giá trị mi trong phạm vi mỗi phân đoạn.
i
Mi
pi =

mi
N

x1 – x2
m1
p1

x2 – x3
m2
p2

x3 – x4
m3
p3

1

Bảng 1.3
…
…

xn – xn+1
mn
pn


Tỷ lệ giữa mi/N, ký hiệu bằng pi được gọi là tần suất. Biểu đồ tần suất sắp xếp trên suốt chiều
dài của miền đang xét gọi là biểu đồ chuỗi thống kê. Cách lập biểu đồ tiến hành theo bảng 1.3.
Ví dụ 1: Kết quả đo độ lắc của vật thể nằm trên sóng, sau 500 lần ghi nhận, được tập họp lại dưới dạng
bảng dưới đây. Trong bảng, dịng đầu trình bày các khoảng biên độ, tính theo đơn vị 10°, dịng thứ hai
số lần mà góc lắc đạt giá trị ghi trong phân đoạn, dòng cuối là tần suất pi = mi/500.
Bảng 1.4
-4;-3
-3;-2
-2;-1
-1;0

0;1
1;2
2;3
3;4
Δϕi
mi
6
25
72
133
120
88
46
10
pi
0,012
0,050
0,144
0,266
0,240
0,176
0,092
0,020
Từ chuỗi thống kê trên đây có thể tiến hành lập hàm phân bố dạng hàm rời rạc, sắp xếp theo
hình bậc thang, như tại hình 1.1 a, hình phía trên.
F(x1) = 0
F(x2) = p1

Hình 1.1
F(x3) = p1 + p2

……….
n −1

F(xn) =

∑p
i =1

i

n

F(xn+1) =

∑p
i =1

i

=1

Hàm phân bố tích lũy tính từ ví dụ trên đây có dạng như hình 1.1 phía dưới:
F(-4) = 0;
F(-3) = 0,012;
F(-2) =0,012 + 0,050 =0,062;
F(-1) = 0,206;
F(0) = 0,472;
…
F(3) = 0,980;
F(4) = 1,000

2


2 MẬT ĐỘ CỦA ĐAI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

Từ ví dụ trên có thể tổng qt hóa cách tính các giá trị đặc trưng liên quan xác suất xuất hiện giá
trị ngẫu nhiên như sau. Nếu tiến hành xác định tần suất cho đại lượng ngẫu nhiên trong trường hợp
khoảng cách phân đoạn tiến đến gía trị vơ cùng nhỏ chúng ta nhận được mật độ xác suất. Định nghĩa
mật độ xác suất được hiểu theo giới hạn của quan hệ xác suất:
Pr ob( x ≤ ζ ≤ x + Δx)
p(x) = lim
(1.1)
Δx → 0
Δx
trong đó Prob( x ≤ ζ ≤ x + Δx) – xác suất đại lượng ngẫu nhiên ζ nằm trong phạm vi Δx vô cùng nhỏ
của x.
Hàm mật độ có những tính chất sau:
Hàm p(x) từ thực tế có thể thấy, khơng mang giá trị âm, p(x) ≥ 0.

Từ biểu thức F(xn+1) =

n

∑p
i =1

i

= 1 có thể mở rộng khái niệm sang hàm liên tục, trong phạm vị - ∞ < ζ <

+∞ hàm p(x) thỏa mãn điều kiện:
+∞

∫ p( x)dx = 1

−∞

Quan hệ giữa hàm Prob(.) và p(.) thường gặp khi tính xác suất xuất hiện đại lượng ngẫu nhiên trong
phạm vi nhất định, ví dụ trong miền hạn chế [a, b):
Prob( a ≤ ζ < b ) =

b −0

∫ p( x)dx = lim
ε →0

a −0

b −ε

∫ε p( x)dx

(1.2)

a−

Hàm phân bố quan hệ với mật độ như sau.
F(x) = Prob( ζ < x)
Hàm phân bố luôn có khả năng thể hiện qua mật độ.

(1.3)

x

F(x) = Prob( - ∞ < ζ < x) =

∫ p(u)du

(1.4)

−∞

Tiến hành lấy đạo hàm theo x từ hàm cuối cùng có thể thấy ngay rằng:
P(x) = dF(x)/dx
Trong không gian 2D công thức cuối được viết dạng đầy đủ:
x y

F(x,y) =

∫ ∫ p(ξ ,η )dξdη

(1.5)

− ∞− ∞

Và p(x, y) = ∂ 2 F ( x, y ) / ∂x∂y

(1.6)

Tính chất hàm phân bố

Hàm F(x) là hàm không giảm theo x,
F(-∞ ) = lim F ( x) = 0;

(1.7)

F(+∞ ) = lim F ( x) = 1;

(1.8)

x → −∞
x →∞

F(x) = F( x – 0)
Ví dụ: Đại lượng ngẫu nhiên ζ tuân thủ luật phân bố với mật độ sau:
x
π /2;
f(x) = a.cosx trong miền -π / 2
3

(1.9)


f(x) = 0 ở miền ngoài.
Cần xác định giá trị hằng số a, lập hàm phân bố và xác định xác suất 0 ≤ ζ ≤ π/4.
+∞

Để xác định hằng số a cần thiết sử dụng tính chất

∫ p( x)dx = 1 , theo đó:

−∞

π /2

∫ a cos xdx = 2a = 1

−π / 2

Từ đó a = ½.
x

Hàm phân bố tính theo F(x) = Prob( - ∞ < ζ < x) =

∫ P(u )du sẽ mang dạng:

−∞

F(x) = 0 tại x < -π/2
F(x) = ½(sinx + 1) tại -π/2 ≤ x ≤ π/2
F(x) = 1 tại x > π/2
Xác suất xuất hiện đại lượng ngẫu nhiên trong đoạn từ 0 đến π/4 tính theo cơng thức:
Prob( 0 < ζ < π/4) = ½(sin π/4 + 1) – ½(sin 0 + 1) = √2 /4
Biết hàm phân bố, từ các quan hệ vừa nêu có thể xác định xác suất xuất hiện đại lượng ngẫu nhiên
trong miền [a,b):
(1.10)
Prob( a ≤ ζ < b ) = F(b) - F(a)
Thay giá trị b trong công thức cuối b = a + ε, ε > 0 và ε → 0, công thức này trở thành:
Prob( ζ = a ) = F( a + 0) – F( a)

(1.11)

3 GIÁ TRỊ ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

Trước tiên chúng ta xét quá trình ngẫu nhiên bố trí dưới dạng hàm rời rạc. Với ví dụ độ dâng
mặt sóng, từ dữ liệu đo đạc chúng ta có thể xác lập mật độ phân bố của sóng dưới dạng hàm:
ζ1
ζ2
ζ3
ζ4
ζ5
p2
p3
p4
p5
p1
Từ bảng tổng hợp này có thể xác định giá trị trung bình của đại lượng ngẫu nhiên, hay trong bộ
mơn tốn xác suất người ta gọi nó là kỳ vọng tốn.
n

x p + x 2 p 2 + ... + x n p n
mx = 1 1
=
p1 + p 2 + ... + p n

∑x p
i =1
n

i

∑p
i =1

i

(1.12)

i

Vì rằng ∑pi = 1 như đã giải thích trong phần bàn về các tính chất hàm mật độ, giá trị trung
bình m được viết gọn:
n

m x = ∑ xi pi

(1.13)

i =1

Với q trình liên tục cơng thức cuối có dạng:
+∞

mx =

∫ xp( x)dx

(1.14)

−∞

Kỳ vọng tốn ký hiệu E(X) trong tốn chính là giá trị trung bình đang đề cập:
4


E(X) = mx
Momen bậc 2.
Đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên là momen bậc 2 của X hay là kỳ vọng E(X2), hiểu trong
n

phần này của tài liệu là đại lượng mang giá trị

∑ xi2 pi , hoặc
i =1

+∞

∫x

2

p ( x)dx khi xử lý đại lượng ngẫu

−∞

nhiên dạng hàm liên tục.
Phương sai của X, ký hiệu σ2, tính theo biểu thức:
n

σ 2 = ∑ ( xi −m x ) 2 pi

(1.17)

i =1

với trường hợp hàm liên tục:
+∞

σ = ∫ ( x − m x ) 2 p( x)dx
2

(1.18)

−∞

Ý nghĩa cơ học của đại lượng này gần giống như momen quán tính của khối lượng phân bố so
với trọng tâm, với nghĩa trọng tâm ở đây do kỳ vọng toán m thủ vai.
2
σ 2 = E ( X 2 ) − mx

Thứ nguyên của phương sai là bình phương của thứ nguyên đại lượng ngẫu nhiên. Trong khi
dùng thỉnh thoảng người ta sử dụng đến đại lượng xuất xứ từ phương sai song mang thứ nguyên của đại
lượng ngẫu nhiên. Đại lượng này bằng khai căn bậc hai của phương sai và mang tên gọi khơng chính
thức, “độ lệch bình phương trung bình hay độ lệch chuẩn”, tính theo cơng thức:

σx = σ2

(1.19)

Hệ số phương sai, ký hiệu VX, hiểu là đại lượng khơng thứ ngun sau:
VX =

σx
mx

Ví dụ 2: Đại lượng ngẫu nhiên ζ tuân thủ luật phân bổ với mật độ biểu diễn bằng công thức p(x) =
C.exp( -|x| ). Hãy tính hệ số C.
+∞

+∞

−∞

−∞

−x
∫ p( x)dx = 1 , xác định được 2C ∫ e dx = 1 , và C = ½.

Từ cơng thức
+∞

+∞

−∞

Từ đó m x =

−∞

−| x|
∫ xp( x)dx = ∫ (1 / 2) xe dx = 0

+∞

+∞

−∞

và

−∞

σ 2 = ∫ ( x − m x ) 2 P ( x)dx = 2 ∫ (1 / 2) x 2 e − x P( x)dx = 2
Độ lệch trung bình: σ x = 2

4 ĐẶC TÍNH CÁC HÀM MẬT ĐỘ THƯỜNG GẶP
Mật độ phân bố đều trong đoạn từ a đến b.
Giả sử giá trị của mật độ c, có dạng sau:
f(x) = c trong miền a < x < b
f(x) =0 với x < a; x > b
5

(1.20)
(1.21)


Diện tích hình chữ nhật ( b-a) c tính như sau:
c( b – a ) = 1, theo định nghĩa, c = 1/ (b – a)
Từ đó có thể viết:
1
f ( x) =

trong miền a < x < b
b−a
f(x) = 0 khi x < a hoặc x > b
Hàm phân bố xác suất F(.) có dạng:
khi.x < a
⎧0;
⎪
x−a
khi.
F ( x) = ⎨
b−a
⎪
khi.x > b
⎩1;
Các đại lượng đặc trưng:
b

mx =

x

∫ b − a dx =
a

(1.22)
(1.23)

Hình 1.2 Phân bố đều

a< x

(1.24)

a+b
2

b

(1.25)
2

a+b⎞
1
(b − a) 2
⎛
σ =
⎜x−
⎟ dx =
b − a ∫⎝
2 ⎠
12
a
2

(1.26)

Luật phân bố tự nhiên
Luật phân bố tự nhiên cịn có tên gọi luật phân bố Gauss, có mật độ:
f ( x) =

⎡ ( x − m) 2 ⎤
exp ⎢−
⎥
2σ 2 ⎦
σ 2π
⎣
1

(1.27)

Hình 1.3 Phân bố tự nhiên
Hàm f(x) đối xứng qua trục đứng đi qua m. Điểm cực đại của f(x) nằm tại trục đối xứng với
1
chiều cao
. Hai đại lượng m và σ trong cơng thức cũng chính là kỳ vọng tốn và khai căn
σ 2π
phương sai của chính nó, được giải thích sau đây.
+∞

E( X ) =

∫ xf ( x)dx =

−∞

Thay biến

x−m

σ 2

+∞

⎡ ( x − m) 2 ⎤
x exp ⎢−
⎥ dx
2σ 2 ⎦
σ 2π −∫
⎣
∞
1

= t có thể viết:

m
σ 2 +∞
2
E( X ) =
∫∞(σ 2t + m) exp(−t )dt = π −∫∞ t exp(−t )dt + π
π −
1

(1.28)

+∞

2

6

+∞

∫

−∞

exp(−t 2 )dt (1.29)


Có thể nhận ngay rằng, biểu thức thứ nhất thuộc vế phải của phương trình bằng 0, cịn biểu thức
thứ hai chính là tích phân Euler-Poisson, theo đó tích phân vô hạn này bằng căn bậc hai của π. Kết quả
chỉ lưu lại m sau khi tính.
Momen thứ k của phân bố tự nhiên được định nghĩa như sau.
+∞

mk =

∫ ( x − m)

k

f ( x)dx

(1.30)

−∞

Momen bậc 2 như đã giới thiệu, tính theo cơng thức:
+∞

m2 =

2
∫ ( x − m) f ( x)dx =

−∞

Sau khi thay biến

x−m

σ 2

m2 =

+∞

⎡ ( x − m) 2 ⎤
( x − m) 2 exp ⎢−
⎥ dx
2σ 2 ⎦
σ 2π −∫
⎣
∞
1

(1.31)

= t có thể viết biểu thức tính momen bậc 2 hay là phương sai:

(σ 2 ) 2

π

+∞

∫

t 2 exp(−t 2 )dt

(1.32)

−∞

Sau tích phân biểu thức cuối có thể thấy:
m2 =

σ2
π

+∞

2
∫ t 2t exp(−t )dt =

−∞

σ2
π

⎧
⎪
−t 2
⎨− te
⎪
⎩

+∞
−∞

⎫
⎪
+ ∫ exp(−t 2 )dt =⎬
⎪
−∞
⎭
+∞

(1.33)

Biểu thức đầu vế phải tiến đến 0, còn biểu thức thứ hai bằng √π như đã trình bày, do vậy:
m2 = σ2
Hàm F (x) theo cách diễn đạt F (ζ ) = Pr ob[ζ (t ) ≤ ζ ] =

ζ

∫ f (ξ )dξ

được viết lại như sau:

−∞

ζ

⎡ ( x − m) 2 ⎤
exp ⎢−
F ( x) = ∫ f (ξ )dξ =
⎥dx
2σ 2 ⎦
σ 2π −∫
⎣
−∞
∞

Sau khi thay biến

x−m

σ

F ( x) =

x

1

(1.34)

= t có thể viết:
1

π

( x−m) / σ

∫ exp(−t

2

/ 2)dt

(1.35)

−∞

Tích phân này chứa trong lịng nó tích phân dạng có exp( -t2)
hoặc exp(-t2/2). Các tích phân
vừa nêu gọi là tích phân xác suất hoặc còn gọi hàm sai số, dễ dàng lập thành bảng trợ giúp tính tốn
hoặc tích phân số. Có thể chọn hàm sai số sau làm hàm phụ trợ:
F ( x) =

⎛ t2
∫ exp⎜ −
2π −∞ ⎜ 2
⎝
1

x

⎞

⎟dt
⎟
⎠

(1.36)

Đặc tính của hàm được chọn là, bản thân nó cũng chính là hàm F(x) với tham số m = 0 và σ = 1.
Hàm F(x) giờ có thể thay bằng hàm mới, theo quan hệ:

⎛ x−m⎞
F ( x) = F ⎜
⎟
⎝ σ ⎠

(1.37)

Những đặc tính chính của hàm F ( x ) :
7


F (−∞) = 0; F (+∞) = 1
Với trường hợp m = 0; σ = 1: F (− x) = 1 − F ( x)
Xác suất xuất hiện đại lượng ngẫu nhiên phục tùng luật phân bố tự nhiên
Ứng dụng phổ biến của luật phân bố tự nhiên là xác định xác suất xuất hiện giá trị ngẫu nhiên
trong giới hạn cho trước. Giả sử luật phân bố tự nhiên với các tham số m, σ2 đã xác định, xác suất
xuất hiện đại lượng ngẫu nhiên ζ trong phạm vi giới hạn từ a đến b tính theo cơng thức:

Hình 1.4

⎛b−m⎞

⎛a−m⎞
Prob( a < ζ < b ) = F(b) - F(a) = F ⎜
⎟ − F⎜
⎟
⎝ σ ⎠
⎝ σ ⎠
Ví dụ 3: Xác lập phân bố tự nhiên dạng f(x) =

(1.38)

⎡ ( x − m) 2 ⎤
exp ⎢−
⎥ từ kết quả đo trong ví dụ nêu
2σ 2 ⎦
σ 2π
⎣
1

trên.
Các tham số m và σ2 trong cơng thức tính theo (1.28 ) và (1.33 ).
m = -3,5.0,012 – 2,5.0,05 –1,5.0,144 – 0,5. 0,266 +0,5. 0,24 +
+ 1,5.0,176 +2,5. 0,092 + 3,5. 0,02 = 0,168
8

σ 2 = ∑ ( x i − m) 2 p i

=2,098

i =1

Hàm phân bố giờ đây có dạng:
⎡ ( x − 0,168) 2 ⎤
exp ⎢−
⎥
2.2,098 ⎦
1,448 2π
⎣
Một số giá trị đặc trưng được trình bày tại bảng 1.5.
f ( x) =

1

Bảng 1. 5
x
-4
-3
-2
-1
0
p(x)
0,004 0,025 0,090 0,199 0,274
Đồ thị hàm phân bố f(x) biểu diễn tại hình 1.4.
8

1
0,234

2
0,124

3
0,041

4
0,008


Phân bố Rayleight
⎡ x2 ⎤
x
f ( x) =
exp ⎢−
⎥
m0
⎣ 2m0 ⎦

(1.39)

Xác suất đại lượng ngẫu nhiên ζ vượt quá giá trị x tính bằng cơng thức:
∞

∞

⎡ x2 ⎤
f ( x)dx = − exp[− x / 2m0 ] = exp ⎢−
(1.40)
⎥
∫
⎣ 2m0 ⎦
x

x
Trong phần nghiên cứu sóng biển như q trình ngẫu nhiên chúng ta thường gặp khái niệm
chiều cao của 1/n sóng cao nhất. Trong chương bàn về sóng biển sẽ đề cập chi tiết sóng này. Tại đây
chúng ta tìm hiểu cách xác định bằng tốn. Giả sử chiều cao sóng chọn bằng giá trị trung bình từ n
sóng cao nhất ký hiệu ζ1/n, cơng thức xác định sóng này xuất phát từ luật phân bố Rayleight có dạng:
Prob( ζ > x ) =

2

∞

∞
⎡ ξ2 ⎤
ξ
1
Prob( ζ > x ) = ∫ f (ξ )dξ = = ∫
exp ⎢−
⎥ dξ
n ς 1 / n m0
⎣ 2m0 ⎦
ς1 / n

Từ đó có thể viết ζ1/n

2

(1.41)

Hình 1.5 Chiều cao sóng phục tùng phân bố Rayleigh
= 2m0 logen. Giá trị trung bình của 1/n sóng cao nhất sẽ là:

∞

∞

ς1 / n

ς1 / n

~
ς 1 / n = n ∫ ξf (ξ )dξ =n

∫

⎡ ξ2 ⎤
exp ⎢−
⎥ dξ =
m0
⎣ 2 m0 ⎦

ξ2

{

}

⎡1
⎤
= n 2m0 ⎢ log e n + π 0,5 − erf (2 log e n)1 / 2 ⎥
⎣n

⎦
trong đó hàm sai số được xác định theo công thức:

(1.42)

⎡ ξ2⎤
(1.43)
exp ⎢− ⎥ dξ
∫ ⎣ 2⎦
2π 0
5 PHÂN TÍCH PHỔ
Hàm mang tính chu kỳ, giả sử chu kỳ T, miêu tả hiện tượng thiên nhiên có thể viết dưới dạng
chuỗi Fourier:
∞
a
(1.44)
w(t) = 0 + ∑ (ai cos ω i t + bi sin ω i t )
2 i =1
erf (t ) =

1

t

2π
2π
(1.45)
= iω 1 với ω1 =
T
T

Nhân hai vế của biểu thức tính w với cosωkt, tiến hành tích phân trong phạm vi từ –T/2 đến
+T/2, sau đó nhân cả hai vế với sinωkt và tiếp tục tích phân trong giới hạn đã định, đồng thời để ý đến
tính trực giao họ hàm sinus:

trong đó ω i = i

9


T /2

∫ sin ωi t sin ωt k dt =

−T / 2

⎧T
⎪
cos ω i t cos ω k tdt = ⎨ 2
∫/ 2
−T
⎪0
⎩
T /2

k =i
k ≠i

;

(1.46)

T /2

∫ cos ω t sin ω
i

k

tdt = 0

(1.47)

−T / 2

có thể nhận được biểu thức:
T /2

ai =

2
w(t ) cos ω i tdt ;
T −T∫/ 2

(1.48)

T /2

2
bi =
w(t ) sin ω i tdt ;

T −T∫/ 2
biểu thức a0 tính bằng:
T /2

a0 =

1
w(t )dt ;
T −T∫/ 2

(1.49)

Cơng thức miêu tả hàm w(t) giờ đây có dạng:
∞
a
2nπt
2nπt ⎞
⎛
w(t ) = 0 + ∑ ⎜ a n cos
+ bn sin
⎟
T
T ⎠
2 n =1 ⎝

(1.50)

Hình 1.5
Ví dụ: phân tích chuỗi Fourier cho hàm f(t) = |t| trong chu kỳ T = 2τ. Hàm f(t) trong ví dụ là hàm chẵn,
các hệ số được xác định theo cách sau:

2 τ
A0 = ∫ tdt = τ ; Bn = 0;

τ

An =

0

2

τ

τ

∫

0

t cos

nπt

τ

dt =

2τ

π2

π

∫

0

⎧ 0; n − chan
⎪
t cos ntdt = ⎨ 4τ
; n − le
−
⎪ π 2n2
⎩

Từ đó:
2(2 p + 1)πt
6πt
2πt
⎤
⎡
cos
cos
⎥
⎢ cos T
T 2T
T + ... +
T
t = − 2⎢
+

+ ...⎥;
p = 0,1,2,...
4 π ⎢ 1
(2 p + 1) 2
32
⎥
⎥
⎢
⎦
⎣
Phân tích Fourier trên đây áp dụng cho hàm ngẫu nhiên không mang tính chu kỳ sẽ xét trong
trường hợp T → ∞. Trường hợp nghiên cứu sóng, gió trên biển, lắc tàu, momen uốn tàu vv…, chúng ta

10


thường gặp trường hợp T vô cùng lớn, và theo cách vừa trình bày phân tích chuỗi Fourier có thể áp
dụng vào đây. Có thể nhận thấy rằng khi T tăng, ω giảm, các giá trị Ai, Bi sít vào nhau cho đến khi T→
∞ chúng tạo thành hàm liên tục. Trong những trường hợp vậy có thể thay chuỗi Fourier như chúng ta
vẫn quen dùng thành tích phân Fourier.
Ví dụ: trong phạm vi từ –T đến T hàm w(t) được miêu tả dưới dạng:w(t) = 0 với -T ≤ t ≤ 0
= t với 0 ≤ t ≤ T/2
= T/2 khi T/2 ≤t ≤ T
Dưới dạng chuỗi Fourier hàm trên đây trở thành hàm các chuỗi sau.
T

A0 =

0

1
1
1
∫T w(t )dt = T −∫T w(t )dt + T
T−

∫

T

w(t )dt +

0

1
3
∫/ 2w(t )dt = 8 T
TT

1
1
1
nπt
nπt
∫T w(t ) cos 2 dt = T −∫T w(t ) cos 2 dt + T
T−
T

An =

T /2

0

T /2

∫

w(t ) cos

0

nπt
dt +
2

1
1
1 T
nπt
nπt
nπt
∫/ 2 w(t ) cos 2 dt = T ∫ t cos 2 dt + T T∫/ 2 2 cos 2 dt
TT
0
T

T

T

Sau tích phân hệ số An sẽ là:
An =

nπ
⎛
⎞
− 1⎟
⎜ cos
2
nπ ⎝
⎠

Bn =

1
T

T

2

2

T /2

∫

t sin

0

nπt
1
dt +
2
T

T /2

∫ sin
0

nπt
1
nπ
1
−
dt = 2 2 sin
(−1) n
2
2 2 nπ
mπ

Thay các hệ số vào công thức (1.50 ) sẽ nhận được hàm w(t) khai triển.

πt 2 + π
πt ⎞ ⎛ 1
2πt 1
2πt ⎞

⎡3 ⎛ 1
+
w(t ) = T ⎢ + ⎜ − 2 cos +
cos
sin
sin ⎟ + ⎜ −
⎟+
2
2
T
T ⎠ ⎝ 2π
T
T ⎠
4π
2π
⎣16 ⎝ π
⎤
3πt ⎞
3πt − 2 + 3π
⎛ 1
sin
+ ⎜ − 2 cos
+
⎟ + L⎥
2
T
T ⎠
18π
⎝ 9π
⎦

Khi kéo dài chu kỳ T → ∞ tỷ lệ ω1 = 2π/T trở nên vơ cùng nhỏ, có thể thay thế bằng dω =

2π
, trong khi đó i.ω1 từ trạng thái rời rạc cũng biến chất trở thành đại lượng liên tục ω. Và như vậy
T
công thức cuối trở thành:
lim

T →∞

∞

w(t) =

∫ (a cos ωt + b sin ωt )dω

(1.51)

0

trong điều kiện:
+∞

∫ w(t ) dt < ∞

(1.52)

−∞

trong đó:

11


a=
b=

∞

1

π

∫ w(t ) cos ωtdt;

−∞

π

(1.53)

∞

1

∫ w(t ) sin ωtdt;

−∞

Có thể để ý rằng a là hàm lẻ còn b – không lẻ của ω, và công thức cho w(t) trở thành:

∞

1
(a cos ωt + b sin ωt )dω
w(t) =
2 −∫
∞

(1.54)

Công thức (1.54) có tên gọi tích phân Fourier. Đây là hàm không chu kỳ chứa vô cùng nhiều
hàm thành viên mang tính chu kỳ. Nếu bây giờ chúng ta xét hàm trên đây ở dạng hàm rời rạc của ω
trong trường tần suất, tích phân Fourier được coi như tổng của vô vàn chuỗi không liên tục của tần
suất.
Thường gặp trong cơng việc phân tích hàm ngẫu nhiên, hàm w(t) và các đại lượng liên quan
được viết dưới dạng số phức. Từ định nghĩa các hàm phức thường gặp, rất quen với người đọc:
ezi = cos z + i. sin z
e-iz = cos z – i.sin z
và cos z =

e zi + e − zi
e zi − e − zi
; sin z =
;
2
2

e nzi + e − nzi
e nzi − e − nzi
; sin nz =

;
2
2
có thể tiến hành viết lại các công thức vừa nêu dưới dạng số phức.
cos nz =

e inωt + e − inωt
e inωt − e −inωt
+ Bn
2
2
Nếu dùng hệ số Cn thay cho cụm An, Bn theo công thức:
A − iBn
A + iBn
Cn = n
; C −n = n
2
2
Công thức xác định hàm f(t) trong trường hợp tổng quát, chu kỳ 2π, trở thành:

Ancosnωt + Bn sin nωt = An

f ( x) =

A0 ∞ ⎛ e int + e − int
e int + e − int
+ ∑ ⎜ An
− iBn
2 n =1 ⎜
2

2
⎝

⎞
⎟=
⎟
⎠

∞
A0 ∞ ⎛ An − iBn int An + iBn −int ⎞
+ ∑⎜
e +
e ⎟ = C 0 + ∑ C n e int + C − n e −int
2 n =1 ⎝
2
2
⎠
n =1

(

)

(1.55)

(1.56)

(1.57)

Dưới dạng chung, gọn hơn, cơng thức cuối có thể viết thành:

f (t ) =

∞

∑C e

n = −∞

int

(1.58)

n

Dưới dạng tích phân các hằng số Cn và C-n sẽ là:
1 π
1 π
int
− int
Cn =
∫−π f (t )e dt; C −n = 2π ∫−π f (t )e dt
2π
Nếu thay f(t) bằng hàm w(t) chu kỳ T, chuỗi của w(t) có dạng:

12

(1.59)


⎛ 2inπt ⎞

exp⎜
⎟
⎝ T ⎠
n = −∞
còn hệ số Cn tính theo cơng thức:
w(t ) =

Cn =

∞

∑C

1
2T

(1.60)

n

⎡ 2inπt ⎤
w(t ) exp ⎢−
dt
−T
T ⎥
⎣
⎦

∫

T

(1.61)

Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu biểu thức exp[ 2inπt/T ] có tên gọi harmonic cịn bản thân αn =
2nπ/T gọi là số sóng (wave number).
Nếu tiến hành thay thế các biểu thức tính An, Bn vào cơng thức xác định w(τ), theo đó:
∞
A
2nπ
2nπ ⎞
⎛
w(τ ) = 0 + ∑ ⎜ An cos
τ + Bn sin
τ⎟
(1.62)
T
T ⎠
2 n =1 ⎝
2
2nπt
2
2nπt
An =
∫/ 2 w(t ) cos T dt; Bn = T −T∫/ 2 w(t ) sin T dt
T −T
T /2

T /2

(1.63)

sẽ nhận được:
T /2
T /2
1
2 ∞ ⎛
2nπ (t − τ ) ⎞
⎜ ∫ w(t ) cos
w(τ ) =
w(τ )dτ + ∑ ⎜
dt ⎟
⎟
T −T∫/ 2
T n =1 ⎝ −T / 2
T
⎠

(1.64)

Nếu sử dụng ký hiệu: ωn = 2nπ/ T và Δωn = 2π/ T, cơng thức cuối có thể viết:
T /2
T /2
⎞
1
2 ∞ ⎛
⎜ ∫ w(t ) cos ω n (t − τ )dt ⎟Δω n
w(τ ) =
w(τ )dτ + ∑ ⎜
⎟

T −T∫/ 2
π n =1 ⎝ −T / 2
⎠

(1.65)

Khi T → ∞ phương trình cuối trở thành:
∞ ∞
⎞
1 ⎛
w(τ ) = ∫ ⎜ ∫ w(t ) cos ω (t − τ )dt ⎟dω
⎜
⎟
π 0 ⎝ −∞
⎠
Phương trình cuối nếu viết dưới dạng số phức sẽ có dạng:

(1.66)

⎛∞
⎞
(1.67)
∫ ⎜ −∫∞w(t ) exp[−iω (t − τ )]dt ⎟dω
⎜
⎟
0⎝
⎠
Hàm phức trên đây được gọi là tích phân Fourier trong dạng số phức. Tiếp tục khai triển có thể
viết tích phân Fourier theo cách thường dùng sau.
1

w(τ ) =
2π

∞

∞
⎛ 1
w(τ ) = ∫ ⎜
⎜ 2π
0⎝

∞

⎞

∫ w(t ) exp[−iωt ]dt ⎟ exp(iωτ )dω
⎟
⎠

(1.68)

−∞

Từ đó:
∞
⎫
w(τ ) = ∫ S (ω ) exp(iωτ )dω ; ⎪
⎪
∞
(1.69)

⎬
∞
1
S (ω ) =
∫ w(τ ) exp(−iωτ )dτ ⎪
⎪
2π ∞
⎭
Cặp tích phân trên đây cịn được viết dưới nhiều dạng khác nhau, một trong các cách viết đó là:

13


⎫
w(t ) exp(−iωt )dt ;⎪
∫
⎪
2π ∞
⎬
∞
1
*
w(t ) =
∫ S (ω ) exp(iωt )dω ; ⎪
⎪
2π ∞
⎭
Giá trị trung bình của w(t) tính theo cách đã trình bày trên:
1

S (ω ) =
*

1
m=
T

∞

(1.70)

+T / 2

∫ w(t )dt

(1.71)

−T / 2

Phương sai:
σ2 =

1
T

+T / 2

∫ [w(t )]

2

(1.72)

dt

−T / 2

Với các hàm rời rạc công thức tính m và σ được viết thành:
m = ½A0 = C0.
∞
1 ∞
∑ ( An2 + Bn2 ) = n∑ | C n |2
2 n =1
=∞

σ2 = ¼A0 +

(1.73)
(1.74)

(1.75)
trong đó |Cn|2 =|C-n|2 = ¼(An2 + Bn2), n =0,1,2,…
Với các quá trình có tính chu kỳ, giả sử chu kỳ T, giá trị trung bình của w(t).w(t+ τ ), với τ bất
kỳ được gọi là hàm tự liên quan, phụ thuộc vào τ = t’ – t, trong đó t‘ thời điểm bất kỳ, bằng t hoặc khác
t.
Hàm R(τ) được định nghĩa:
T /2

1
R (τ ) =

w(t ) w(t + τ )dt ;
T −T∫/ 2

(1.76)

hoặc mở rộng cho trường hợp các quá trình khơng liên tục:
R (τ ) =

T /2

n =∞
1
w(t ) ∑ C n exp(inω 1 [t + τ ])dt ;
T −T∫/ 2
n = −∞

(1.77)

Từ đó:
T /2

n =∞

1
R (τ ) = ∑ C n exp(inω 1 [t + τ ])
w(t ) exp(inω 1 [t + τ ])dt ;
T −T∫/ 2
n = −∞

(1.78)

Hàm R(τ) cung cấp thơng tin về giá trị tín hiệu tại thời điểm t + τ, khi đã rõ giá trị hàm tại t. Có
thể để ý rằng với τ = 0 giá trị hàm R(0) = σ2. Khi τ tăng hàm R(.) giảm.

Hình 1.6
14


Ví dụ: Tính hàm tự liên quan của w(t) = asinωt, với T biến thiên từ 0 đến ∞.
T

T

1
1
R (τ ) = lim ∫ w(t ) w(t + τ )dt = lim ∫ a sin ωt.a sin[ω (t + τ )]dt =
T →∞ T
T →∞ T
0
0
T

{

}

1 2
a ∫ sin ωt[sin ωt cos ωt ] + cos ωt. sin 2 ωt dt =
T →∞ T
0

lim

⎡
⎛ 1 sin 2ωT ⎞⎤
⎛ 1 cos 2ωT ⎞
= lim a 2 ⎢sin ωt ⎜
⎟⎥
⎟ + cos ωt ⎜1 −
T →∞
⎝ T 2ωt ⎠⎦
⎝ 2T 2ωt ⎠
⎣
Kết quả cuối là:
a2
cos ωτ
2
Trong lý thuyết phép chuyển Fourier thông thường hai công thức cuối được viết dưới dạng hàm
R (τ ) =

số phức. Nếu thay f =
S( f ) =

∞

2

π

ω
vào vị trí hiện tại của ω cặp cơng thức trên đây sẽ là:

2π

∫ w(t ) exp(− j 2πft )dt

(1.79)

−∞

∞

w(t ) =

∫ S ( f ) exp( j 2πft )df

(1.80)

−∞

Khi xử lý dữ liệu đo đạc hoặc tín hiệu ghi nhận từ những quá trình thực tế trong tự nhiên, hàm
w(t) theo thông lệ được thể hiện dưới dạng hàm rời rạc:
ws (t ) =

∞

∑ x(t )δ (t − nT )

(1.81)

n = −∞

hoặc viết dưới dạng:
ws (t ) =

∞

∑ x(nΔT )δ (t − nΔT )

(1.82)

n = −∞

trong đó ΔT – khoảng cách rất nhỏ giữa hai thời điểm
Thay công thức cuối vào cơng thức tính phổ có thể viết:
Ss ( f ) =

2

π

∞

∫ ws (t ) exp(− j 2πft )dt =

−∞

2

π

∞

∞

∫ [ ∑ w(t )δ (t − nΔT )] exp(− j 2πft )dt

(1.83)

− ∞ n = −∞

Hệ số Fourier được tính theo cơng thức:
1 / 2 ΔT

w(nΔT ) = ΔT ∫

−1 / 2 ΔT

S s ( f ) exp( j 2πfnΔT )df

(1.84)

Trường hợp đã xác định hàm liên quan của q trình ngẫu nhiên R(τ), từ cơng thức (1.78), nhờ
phép biến Fourier mối quan hệ giữa hàm R với phổ có thể viết như sau:
R (τ ) =

∞

∑ C n e inω1t =

n = −∞

với

2

∞

∑S e

n = −∞

n

inω1t

,

(1.85)

Sn = |Cn|2.
Với τ = 0 chúng ta nhận được hàm R(0) dạng hàm Parseval:
15


∞

R (0) = ∑ C n
n =∞

2

∞

= ∑ Sn =
n =∞

T /2

1
2
∫/ w (t )dt
T −T 2

(1.86)

và
T /2

1
Sn =
R(τ ) exp(−inω1t )dτ
T −T∫/ 2

(1.87)

Từ đó có thể viết:
⎫
R(τ ) = ∫ S (ω ) cos ωτdω ⎪
⎪
0
(1.88)

⎬
∞
2
⎪
S (ω ) = ∫ R (τ ) cos ωτdτ
⎪
π 0
⎭
Những dạng thức thường gặp của các quá trình trong tự nhiên được giới thiệu tại hình. Ba trạng
thái đặc trưng của hàm tự liên quan và của phổ gồm phổ của quá trình điều hịa, ví dụ input ghi nhận
dưới dạng sóng hình sinus, hình phía trên, phổ băng hẹp, hình giữa, và phổ băng rộng, hình dưới.
∞

Hình 1.7
Xác định phổ theo cách làm này tiến hành theo các bước:
Xác định hàm R(τ) cho trường hợp t thay đổi từ 0 đến T. Tiến hành chia đoạn 0 – T thành n
khoảng thời gian bằng nhau Δt = T/ n, tham số τ trở thành τ = kΔt với k = 0, 1,2, …,
1 n−k
⎛ k .T ⎞
=
R⎜
⎟
∑ ς i .ς i + k , với k = 0,1,2, …
⎝ n ⎠ n − k i =1
Cơng thức tính phổ cho trường hợp này trở thành:
S (ω i ) =

m −1
Δt ⎡
ikπ

⎤
+ Rm cos iπ ⎥ , i = 0,1, 2, …, m
R0 + 2∑ Rk cos
⎢
π ⎣
m
k =1
⎦

16

(1.89)

(1.90)


ωi = iΔω = iπ/Δt.m
(1.91)
Trong kỹ thuật chúng ta còn sử dụng đại lượng tiêu chuẩn hóa của hàm R(.), gọi là hàm quan
hệ tiêu chuẩn, ký hiệu như sau:
R(τ = t '−t )
r(τ = t’ - t) =
(1.92)
σ (t )σ (t ' )
trường hợp t = t’, có nghĩa τ = 0, hàm r(t’-t) tính bằng:
R(0)
V (t )
r (τ ) =
=
=1

2
2
σ (t )
σ (t )

(1.93)

Ví dụ: Tải trọng do môi trường tác động lên điểm đo trên vật thể nổi trên nước được ghi lại như bảng
sau.
Bảng 1. 6
t

(s)

N

0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26

28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48

(t)

t

1,0
1,2
1,1
0,7
0,7
1,1
1,3
0,8
0,8
0,4
0,3
0,3
0,6
0,3

0,5
0,5
0,7
0,8
0,6
1,0
0,5
1,0
0,9
1,4
1,4

(s)

50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80

82
84
86
88
90
92
94
96
98

N

(t)

1,0
1,1
1,5
1,0
0,8
1,1
1,1
1,2
1,0
0,8
0,8
1,2
0,7
0,7
1,1
1,5

1,0
0,6
0,9
0,8
0,8
0,9
0,9
0,6
0,4

t

(s)

100
102
104
106
108
110
112
114
116
120
120
122
124
126
128
130

132
134
136
138
140
142
144
146
148

N

(t)

1,2
1,4
0,8
0,9
1,0
0,8
0,8
1,4
1,6
1,3
1,3
1,6
0,8
1,3
0,6
1,0

0,6
0,8
0,7
0,9
1,3
1,5
1,1
0,7
1,0

t

(s)

150
152
154
156
158
160
162
164
166
170
170
172
174
176
178
180

182
184
186
188
190
192
194
196
198

N

(t)

0,8
0,6
0,9
1,2
1,3
0,9
1,3
1,5
1,2
1,4
1,4
0,8
0,8
1,2
1,0
0,7

1,1
0,9
0,9
1,1
1,2
1,3
1,3
1,6
1,5

Nếu coi biểu đồ lực tác động trên đây thuộc quá trình ngẫu nhiên, các giá trị đặc trưng của quá
trình được tính như sau.
100

m=

∑ N (t )
n =1

100

i

≈ 0,98

17


Phương sai được tính cho trường hợp các giá trị N(t) đã chuyển về trục tọa độ mới, qua m vừa
tính.

100

σ2 =

∑ [ N (t ) − m]

2

i

≈ 0,1045
100
Hàm liên quan tính cho các trường hợp τ = 2, 4, 6, … Kết quả tính được vẽ thành đồ thị dạng R
= f(τ ). Dùng phương pháp hàm hóa chuyển R(τ) về dạng hàm liên tục R’ = exp( -a⎢τ⎢).
Kết quả hàm hóa được trình bày tại bảng 1.7
Bảng 1.7
n =1

τ
0
2
4
6
8
10
12
14

R(τ)
1,0

0,505
0,276
0,277
0,231
-0,015
0,014
0,071

R’(τ)=exp[-a|τ| ]
1,0
0,598
0,358
0,214
0,128
0,077
0,046
0,027

Hệ số a được xác định trong trường hợp này a = 0,257.
Hàm R(τ) của quá trình ngẫu nhiên N(t) được xác lập dưới dạng:
R(τ) = C.exp{ -a|τ| ]
với a > 0, với C = const.
Qua phép biến Fourier dạng số phức xác định hàm phổ S(ω).
∞
∞
⎫
C ⎧ aτ −iωτ
e e dτ + ∫ e − aτ e −iωτ dτ ⎬ =
⎨∫
2π ⎩−∞

−∞
−∞
⎭
1 ⎫
C ⎧ 1
C.a
=
+
⎨
⎬=
2π ⎩ a − iω a + iω ⎭ π a 2 + ω 2

S (ω ) =

C
2π

∞

∫e

−a τ

e −iωτ dτ =

(

)

Với C = 1 và a = 0,257 phổ của quá trình N(t) có dạng:

0,257
S (ω ) =
π (0,257 2 + ω 2 )
Tần số (frequency) được hiểu f =

ω
, tính bằng đơn vị Hertz. Trong các công thức phổ nếu
2π

chúng ta thay ω = 2πf kết quả sẽ được hàm phổ tính theo tần số f:
G(f) = 2π.S(2πf)
và
∞

∞

−∞

−∞

(1.94)

R(τ) = 2π ∫ S (2πf ) exp(2πifτ )df = ∫ G ( f ) exp(2πifτ )df
Hàm G(f) cũng gọi là phổ, xác định theo tích phân:
18

(1.95)


∞

G( f ) =

∫ R(τ ) exp(−2πifτ )dτ

(1.96)

−∞

Phương pháp phân tích phổ Fourier
Từ các cơng thức nêu tại phần phân tích phổ có thể thấy rằng q trình vật lý trong tự nhiên có
thể miêu tả dưới dạng hàm thời gian, liên tục hoặc không liên tục (rời rạc), song cũng có thể thể hiện
dưới dạng hàm trong trường tần suất. Trong rất nhiều trường hợp cần thiết phải xây dựng hàm thời gian
nếu có đủ cơ sở dữ liệu từ đo đạc hoặc từ thực nghiệm, từ hàm thời gian tiến hành xác định hàm theo
tần suất. Ngược lại khi đã xác định hàm liên quan tần suất, bằng phép tính ngược lại có thể tái lập hàm
thời gian. Quan hệ qua lại giữa hai họ hàm trong hai trường khác nhau này như đã trình bày, được thể
hiện trong phép biến chuyển Fourier, viết dưới dạng tổng quát.
∞

S ( f ) = ∫ h(t ) exp(2πjft )dt

(1.97)

−∞

∞

h(t ) = ∫ S ( f ) exp(−2πjft )df

(1.98)

−∞

Hoặc
∞

S (ω ) = ∫ h(t ) exp( jωt )dt

(1.99)

−∞

∞

h(t ) = ∫ S (ω ) exp(− jωt )df

(1.100)

−∞

Hai dạng phổ S(ω) chúng ta có thể gặp khi tính tốn là phổ băng hẹp, hình hía trái, và phổ băng
rộng hay cịn gọi tiếng ồn trắng, hình phía phải của hình.

Hình 1.8
Thuật tốn FFT
Thuật tóan FFT, viết tắt từ Fast Fourier Transform ra đời theo nhu cầu phân tích phổ khi phân
tích các tín hiệu vơ tuyến điện. Phương pháp ra đời từ giữa những năm 60, đầu tiên được J.W. Cooley và
J.W. Tukey cơng bố và sau đó được trung tâm nghiên cứu của IBM chuyển thành chương trình tính.
Ngày nay FFT đã được cải tiến, hoàn thiện thêm, nâng lên thành nghệ thuật 1
N −1

N −1

k =0

∞

k =0

H ( f n ) = ∫ h(t ) exp(2πjf n t )dt ≈ ∑ hk exp(2πjf n t k )Δ = Δ ∑ hk exp(2πjkn / N )
−∞

N −1

H n = ∑ hk exp(2πjf n t k )

(1.101)

k =0

H ( f n ) ≈ ΔH n
hk =

1
N

N −1

∑H
k =0

n

exp(−2πjkn / N )

(1.102)

1

Xem các tài liệu chuyên đề. Brigham,E. Oran. “The Fast Fourier Transform”, Englewood Cliffs, Prentice Hall, 1974;
Elliott, D.F., Rao,K.R. “Fast Transforms: Algorithms, Analysis, Applications”, Academic Press, 1982.

19


Nếu định nghĩa: W = e2πj/N
N −1

H n = ∑ W nk hk

(1.103)

k =0

Chương trình bằng ngơn ngữ C dưới đây cung cấp cho bạn đọc cơng cụ phân tích dữ liệu ngẫu
nhiên theo phương pháp FFT, hoàn chỉnh sau những năm bảy mươi.
#include <math.h>
#define SWAP(a,b) tempr*(a);(a)=(b);(b)=tempr
void fourier(data, nn, isign)
float data[];

int nn, isign;
{
int n, mmax, m, j, istep,i;
double wtemp, wr, wpr, wpi, wi, theta;
float tempr, temp1;
n=nn<<1;
j=1;
for (i=1; 1if (j > i) {
SWAP(data[j], data[i]);
SWAP(data[j+1], data[i+1]);
}
m = n>>1;
while ( m>=2 && j > m) {
j -= m;
m >>=1;
}
j += m;
}
mmax = 2;
while ( n > mmax) {
istep = 2*mmax;
theta = 6.283185307179 / (isign*mmax);
wtemp = sin( 0.5*theta);
wpr = -2.0*wtemp*wtemp;
wpi = sin(theta);
wr=1.0;
wi=0.0;
for ( m =1; m < mmax; m+=2) {
j = i+ mmax;

tempr = wr*data[j] - wi*data[j+1];
temp1 = wr* data[j+1] + wi*data[j+1];
data[j] = data[i] -tempr;
data[j+1] = data[i+1] - temp1;
data[i] += tempr;
data[i+1] += temp1;
}
wr = (wtem*wr)*wpr - wi*wpi + wr;
wi = wi*wpr + wtemp*wpi + wi;
}
mmax = istep;
}
}

6 PHỔ SĨNG BIỂN
Phổ sóng biển được xác định sau phân tích phổ của sóng biển như quá trình ngẫu nhiên, đo tại
vùng nhất định. Phổ sóng biển được xác định theo một trong những cơng thức giành cho S(ω) đã trình
bày trên. Những đại lượng đặc trưng cho phổ sóng có thể nêu:
20


Momen bậc n của phổ:
∞

m k = ∫ ω k S (ω )dω

(1.104)

0

Chiều rộng phổ:
2
m2
ε = 1−
m0 m 4

(1.105)

Chiều rộng phổ ε miêu tả độ phân giải tần suất của q trình đang xét. Với q trình có tính chu
kỳ chiều rộng phổ ε = 0, còn trường hợp “tiếng ồn trắng – white noise” ε = 1. Chiều rộng phổ sóng biển
nằm trong giới hạn 0,2 < ε < 0,35
Các đại lượng liên quan chu kỳ, tần suất, chiều dài sóng được tính theo giá trị của momen mk.
Chu kỳ sóng tại mức 0:
m0
~
T = 2π
m2

(1.106)

Chu kỳ sóng tính cho trường hợp chiều dài sóng xác định từ đỉnh sóng đến đỉnh gần nhất, gọi là
chu kỳ max.
m2
~
Tmax = 2π
m4

(1.107)

Tần suất sóng tương ứng trường hợp chu kỳ sóng tại mức 0:

ϖ=

m2
m0

(1.108)

Chiều dài sóng tính trên trục Ox ( mức 0):
~

λ = 2πg

m0
m4

(1.109)

Cơng thức xác định phổ được trình bày tại phần trên là cơ sở để thành lập phổ sóng biển. Dữ
liệu đo đạc thực tế từ các vùng của đại dương là tài liệu chính để tính các đại lượng của sóng biển như
q trình ngẫu nhiên. Tuy nhiên cơng thức phổ ghi dưới dạng tích phân của tần suất chỉ hợp cho
trường hợp đã có đủ dữ liệu đo tại một vùng xác định. Trong công thức người dùng bị bắt buộc đưa
hàm R(τ) vào tính tốn mà hàm này khơng ở tư thế thuận lợi cho cơng việc tính nhanh chóng. Trong
hồn cảnh như thế, các nhà hải dương học cố tìm các cách hàm hóa và chuẩn hóa phổ sóng biển, dựa
vào kết quả quan trắc và sử dụng các kết quả tính tốn sau khi xử lý các dữ liệu.
Trong các phổ do các nhà hải dương đề nghị có hai nhóm phổ, tùy thuộc thành phần các tham số
tham gia vào phổ. Nhóm đầu trong phổ sóng biển bao gồm vận tốc sóng, chiều dài vùng sóng vv…,
cịn trong nhóm kia tham sốâ gồm chiều cao sóng, chu kỳ vv… Các phổ nhóm sau được dùng trong hầu
hết các ngành kỹ thuật ứng dụng.
Phổ sóng biển được hàm hóa về dạng chung:

S(ω) = A.ω-k.e- B.exp(-n)
(1.110)
Trong công thức k, n số số nguyên, đến nay người ta đang sử dụng k ≥ 5 và n ≥ 2. Các thông
số A, B phụ thuộc vào hòan cảnh cụ thể vùng biển và kết quả đo đạc thực tế.
Với phổ dạng này cơng thức tính momen bậc s trở thành:
21


∞

[

]

m s = ∫ A.ω s − k exp − Bω − n dω

(1.111)

0

Nếu sử dụng biến t = Bω-n cho công thức trên, các biến khác thay đổi theo:
ω = t-1/nB1/n ; ωs – k = t(k-s)/n B(s-k)/n
dω = -(1/n). B1/n t-(1+n)/n
và khi đó:

(1.112)
(1.113)

∞

ms =

1
A.B ( s − k +1) / n ∫ e −t t ( k − s −1− n ) / n dt
n
0

(1.114)
∞

Trong công thức cuối, nếu đưa hàm gamma Γ( x) = ∫ e −t t x −1 dt vào tính tốn, cơng thức chuyển
0

dạng như sau:
ms =

1
⎛ k − s −1⎞
A.B ( s − k +1) / n Γ⎜
⎟
n ⎠
n
⎝

(1.115)

Tính cụ thể cho trường hợp momen bậc s = 0, 2, 4 công thức tính ms có dạng:
m0 =

1

⎛ k −1⎞
A.B (1− k ) / n Γ⎜
⎟
n
⎝ n ⎠

(1.116)

m3 =

1
⎛ k −3⎞
A.B ( 3− k ) / n Γ⎜
⎟
n
⎝ n ⎠

(1.117)

m5 =

1
⎛ k −5⎞
A.B ( 5− k ) / n Γ⎜
⎟
n
⎝ n ⎠

(1.118)

Các hằng số A, B khá đa dạng, tính riêng cho từng trường hợp cụ thể. Có thể hình dung dạng
chung của hai hằng số này như sau.
⎤
⎡
⎥
⎢ m
2
⎥
A = n⎢
⎢ ⎛ k − 3⎞⎥
⎢ Γ⎜ n ⎟ ⎥
⎠⎦
⎣ ⎝

( k −1) / n

⎡ ⎛ k −1⎞ ⎤
⎢ Γ⎜ n ⎟ ⎥
⎠⎥
⎢ ⎝
⎢ m0 ⎥
⎥
⎢
⎦
⎣

( k −3) / n

(1.119)

n/2

⎡
⎛ k −1⎞ ⎤
⎢ m Γ⎜ n ⎟ ⎥
⎠⎥
B=⎢ 2 ⎝
k − 3⎞⎥
⎢ m0 ⎛
Γ⎜
⎟
⎢
⎝ n ⎠⎥
⎦
⎣
Những ví dụ cụ thể về A và B đọc theo bảng 1.8:
Bảng 1.8
Tên gọi phổ
A
B
Neumann
2(g/vwind)2
3,05π/2
Pierson-Moskowitz
ISSC lần II

16,2.10-3g2

0,74(g/vwind)4

0,28hm2ωm4

ωm4

0,44
22

(1.120)

k
6

n
2

5
5

4
4


Hàm gamma có thể chương trình hóa. Một trong những giải pháp xác định hàm gamma bằng
phương pháp số, viết bằng ngơn ngữ C có dạng dưới đây. Thay vì xác định Γ(x), hàm gammln() tìm
cách tính logarit của nó ln[ Γ(x) ].
/* to implement ln[gamma(x)] */
#include <math.h>
float gammln(float xx)
/* returns the value ln[ gamma(x) ] for x. 0; */
{

double x, tmp, ser;
static double cof[6] = {76.18009173, - 86.50532033,
24.01409822, -1.231739516, 0.120858003e-2, -0.536382e-5};
int j;
x=xx-1.0;
tmp=x+5.5;
tmp -= (x+0.5) * log(tmp);
ser=1.0;
for (j=0; j<=5; j++) {
x += 1.0;
ser += cof[j]/x;
}
return -tmp+log(2.50662827465*ser);
}

23


Chương 2
SĨNG NƯỚC
1 SĨNG NỨƠC
Sóng mặt nước thuộc nhóm sóng trọng trường, thường do gió gây ra trên sơng, biển, đại dương.
Biểu hiện dễ nhận thấy của sóng nước là sóng biển do gió gây, mực nước lên xuống của thủy triều, dao
động mức nước trong vịnh, lụt lội trên sơng vv…
Hai phương pháp xem xét sóng nước đang dùng thuộc hai lĩnh vực toán khác nhau song đều mang
lại hiệu quả. Phương pháp tất định xem xét sóng trong khơng gian và thời gian xác định bằng các phép
tính giải tích hoặc phương pháp số. Phương pháp dựa vào các cơ sở lý thuyết sóng biên độ thấp cổ điển
hoặc sóng biên độ hữu hạn (sóng phi tuyến) để diển tả có tính định hình sóng có mặt trên các biển, đại
dương. Phương pháp xác suất tìm hiểu qui luật phát triển sóng, truyền sóng vác tác động của sóng lên
cơng trình bằng phép tính xác suất - thống kê, từ dữ liệu thu thập trong thời gian đủ dài. Với phép phân

tích phổ chúng ta có thể xác định đặc trưng hình học, cơ học của sóng tại vùng quan tâm.
Sóng biên độ thấp
Sóng nước biên độ thấp được tạo ra trong môi trường chịu ảnh hưởng trực tiếp của lực hút trái đất,
được xét trong phạm vi lý thuyết sóng tuyến tính. Lý thuyết sóng trọng trường được G.B.Airy phát
triển từ giữa thế kỷ XIX. Những giả thuyết của sóng Airy được tóm tắt như sau:
1.
Nước có tỷ trọng phân bố đều, chiều sâu vùng nước không đổi,
2.
Ảnh hưởng độ nhớt và lực căng mặt thống khơng đáng kể,
3.
Biên độ sóng nhỏ,
4.
Chuyển động của sóng được coi là khơng xốy.
Với sóng hai chiều (sóng phẳng), phải thỏa mãn điều kiện liên tục dạng phương trình Lapce:

∂ 2φ ∂ 2φ
=0
+
∂x 2 ∂y 2

(2.1)

trong đó φ - hàm thế tốc độ.
Từ hàm thế vận tốc có thể tính các đặc tính chuyển động sóng, trường vận tốc và áp lực trong dịng.
Mặt khác để có thể tích phân phương trình Laplace cần thiết phải xác lập các điều kiện biên. Biên của
bài toán gồm đáy vùng nước, cách mặt tĩnh ban đầu khoảng cách H (hoặc về sau này trong các phần tiếp
theo ký hiệu bằng d), biên xa vơ cùng phía phải và phía trái, biên trên xác định bằng mặt sóng η(x,y,t).
Với dịng khơng xốy như đã nêu trong giả thuyết, có thể viết phương trình động lực học hay cịn
gọi tích phân Lagrange dạng:
∂φ 1 ⎡⎛ ∂φ ⎞ ⎛ ∂φ ⎞

− ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
∂t 2 ⎢⎝ ∂x ⎠ ⎜ ∂y ⎟
⎝ ⎠
⎣
2

2

⎤
⎥ + γy + p = C (t )
⎥
⎦

(2.2)

Trong công thức này, p – áp lực, ρ - mật độ nước tính bằng công thức ρ = γ/g với γ - trọng lượng
riêng của nước, t – thời gian và g – gia ốc trường trái đất.
Đưa hằng số C(t) và áp lực p thay bằng áp lực khí quyển tại đo mặt thoáng vào hàm φ, đồng thời để
ý rằng đại lượng này khơng phụ thuộc vào (x,y), có thể viết tích phân trên dưới dạng phương trình
Bernoulli:
24


2
2
∂φ 1 ⎡⎛ ∂φ ⎞ ⎛ ∂φ ⎞ ⎤
= − gy −
− ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ = 0 tại mặt thoáng y = η. (2.3)
ρ
∂t 2 ⎢⎝ ∂x ⎠ ⎜ ∂y ⎟ ⎥

⎝ ⎠ ⎦
⎣
Điều kiện biên của tại mặt thoáng và biên xa như sau:
∂φ
=0
Tại đáy = -d:
∂y y = − d

p

Tại mặt thoáng phải thoả mãn điều kiện động học:

∂φ
∂nη

S

(2.4)

= 0 , tại vị trí (x,y) của mặt thoáng η(x,y,t),

và điều kiện động lực học:
2
2
1 ⎡⎛ ∂φ ⎞ ⎛ ∂φ ⎞ ⎤
(2.5)
⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥
S −
2 ⎢⎝ ∂x ⎠ ⎜ ∂y ⎟ ⎥
⎝ ⎠ ⎦

⎣
Đạo hàm phương trình cuối và bỏ qua các thành phần chứa bình phương vận tốc, có thể viết:

∂φ
= − gη −
ρ
∂t

pS

2
1 ∂p s
⎛ Dη ⎞ ∂ φ
+ g⎜
⎟+ 2
ρ ∂t
⎝ Dt ⎠ ∂t

S

=0

(2.6)

trong đó, phép đạo hàm mở đầu bằng D được hiểu là:

dη
dη
Dη dη
=

+u
+v
dy
dx
Dt
dt

Bỏ qua độ căng mặt thống có thể coi áp lực trên bề mặt nước bằng áp suất khí quyển, tại vị trí đang
xét ps = pa. Từ đó:
∂p S ∂p a
=
=0
(2.7)
∂t
∂t
Dη ∂η ∂φ
(2.8)
Từ đây có thể viết:
=
=
y −0 = 0
Dt
∂y
∂t
Thay điều kiện cuối này vào phương trình đã tuyến tính hóa nêu trên có thể nhận được phương
trình miêu tả điều kiện biên trên mặt thoáng y = 0:
∂φ
g
∂y

y =0

∂ 2φ
+ 2
∂t

y =0

=0

(2.9)

Trong phạm vi lý thuyết tuyến tính, hàm φ được hiểu như hàm điều hịa, có thể viết dưới dạng:

φ = Φ( y ).e −i ( kx −ωt )

(2.10)

Sau khi thay điều kiện biên vào hàm vừa nêu, sau biến đổi hàm φ được viết lại dưới dạng chung:
C
φ = cosh k ( y + d ) exp[−i (kx − ωt )]
(2.11)
k
trong đó C là hằng số được xác định tiếp.
Mặt đẳng áp của sóng xác định theo các điều kiện đã nêu, tại mặt y = 0 độ dâng mặt sóng tính theo
cơng thức:
1 ∂φ
η=−
(2.12)
y =0

g ∂t
hay là:

25