Giáo trình Phương pháp Phần tử hữu hạn docx

i
PHƯƠNG PHÁP PHẦN
TỬ HỮU HẠN
Lý thuyết
Bài tập
Chương trình MATLAB
THÁI NGUYÊN 2011
NGÔ NHƯ KHOA
Ngô Như Khoa
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

THÁI NGUYÊN 2011
MỞ ĐẦU
Giáo trình Phương pháp Phần tử hữu hạn (PP PTHH) được biên soạn dựa trên
cuốn: Giáo trình Phương pháp Phần tử hữa hạn – Lý thuyết, bài tập và chương trình
Matlab. GS.TS. Trần Ích Thịnh, TS. Ngô Như Khoa. NXB Khoa học Kỹ thuật 2007.
Và kinh nghiệm giảng dạy môn học cùng tên trong những năm gần đây cho sinh viên
khoa Cơ khí, trường Đại học Bách khoa Hà Nội và học viên cao học ngành Cơ học Kỹ
thuật, trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - Đại học Thái Nguyên. Nội dung giáo
trình có mục đích trang bị cho sinh viên các ngành kỹ thuật: Công nghệ chế tạo máy,
Kỹ thuật cơ khí, v.v. Với các nội dung:
- Những kiến thức cơ bản nhất của PP PTHH ứng dụng,
- Áp dụng phương pháp để giải quyết một số bài toán kỹ thuật khác nhau,
- Nâng cao kỹ năng lập trình Matlab trên cơ sở thuật toán PTHH.
Giáo trình biên soạn gồm 11 chương.
Sau phần giới thiệu phương pháp PTHH, một số loại phần tử thực và phần tử qui
chiếu hay gặp (Chương 1), giáo trình đề cập đến một số phép tính ma trận, phương
pháp khử Gauss (Chương 2) và thuật toán xây dựng ma trận độ cứng và véctơ lực nút
chung cho kết cấu (Chương 3). Phương pháp Phần tử hữu hạn trong bài toán một
chiều chịu kéo (nén) được giới thiệu trong Chương 4 và ứng dụng vào tính toán hệ
thanh phẳng (Chương 5). Tiếp theo, giáo trình tập trung vào mô tả phần tử hữu hạn

tam giác biến dạng hằng số trong bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi (Chương 6) và
ứng dụng vào tính toán kết cấu đối xứng trục (Chương 7). Chương 8 giới thiệu phần tử
tứ giác kèm theo khái niệm tích phân số. Chương 9 mô tả phần tử Hermite trong bài
toán tính dầm và khung. Chương 10 trình bày phần tử hữu hạn trong bài toán dẫn nhiệt
một và hai chiều. Chương 11 xây dựng thuật toán PTHH tính tấm-vỏ chịu uốn.
Cuối mỗi chương (từ chương 4 đến chương 11) đều có chương trình Matlab kèm
theo và một lượng bài tập thích đáng để người đọc tự kiểm tra kiến thức của mình.
Rất mong nhận được những góp ý xây dựng của bạn đọc.
Tác giả
i
MỤC LỤC
Chương 1 1
GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 1
5.1. GIỚI THIỆU CHUNG 1
5.2. XẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN 1
5.3. ĐỊNH NGHĨA HÌNH HỌC CÁC PHẦN TỬ HỮU HẠN 1
3.1. Nút hình học 1
3.2. Qui tắc chia miền thành các phần tử 2
5.4. CÁC DẠNG PHẦN TỬ HỮU HẠN 2
5.5. PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ THỰC 3
5.6. MỘT SỐ DẠNG PHẦN TỬ QUI CHIẾU 4
5.7. LỰC, CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG VÀ ỨNG SUẤT 6
5.8. NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU HOÁ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN 6
5.9. SƠ ĐỒ TÍNH TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 7
Chương 2 9
ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN 9
1. ĐẠI SỐ MA TRẬN 9
1.1. Véctơ 9
1.2. Ma trận đơn vị 9
1.3. Phép cộng và phép trừ ma trận 10

1.4. Nhân ma trận với hằng số 10
1.5. Nhân hai ma trận 10
1.6. Chuyển vị ma trận 11
1.7. Đạo hàm và tích phân ma trận 11
1.8. Định thức của ma trận 11
1.9. Nghịch đảo ma trận 12
1.10. Ma trận đường chéo 12
1.11. Ma trận đối xứng 12
1.12. Ma trận tam giác 13
2. PHÉP KHỬ GAUSS 13
2.1. Mô tả 13
2.2. Giải thuật khử Gauss tổng quát 14
Chương 3 17
THUẬT TOÁN XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHUNG 17
VÀ VÉCTƠ LỰC NÚT CHUNG 17
1. CÁC VÍ DỤ 17
1.1. Ví dụ 1 17
1.2. Ví dụ 2 19
2. THUẬT TOÁN GHÉP K VÀ F 21
2.1. Nguyên tắc chung 21
2.2. Thuật toán ghép nối phần tử: 23
Chương 4 24
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN MỘT CHIỀU 24
1. MỞ ĐẦU 24
2. MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN 24
3. CÁC HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ VÀ HÀM DẠNG 25
4. THẾ NĂNG TOÀN PHẦN 27
5. MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ 28
6. QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT 28
7. ĐIỀU KIỆN BIÊN, HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN 30

8. VÍ DỤ 32
36
ii
BÀI TẬP CHƯƠNG 4 37
Chương 5 39
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN HỆ THANH PHẲNG 39
1. MỞ ĐẦU 39
2. HỆ TOẠ ĐỘ ĐỊA PHƯƠNG, HỆ TOẠ ĐỘ CHUNG 39
3. MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ 41
4. ỨNG SUẤT 41
5. VÍ DỤ 42
BÀI TẬP CHƯƠNG 5 43
Chương 6 47
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN HAI CHIỀU 47
1. MỞ ĐẦU 47
1.1. Trường hợp ứng suất phẳng 47
1.2. Trường hợp biến dạng phẳng 48
2. RỜI RẠC KẾT CẤU HOÁ BẰNG PHẦN TỬ TAM GIÁC 48
3. BIỂU DIỄN ĐẲNG THAM SỐ 50
4. THẾ NĂNG 53
5. MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ TAM GIÁC 53
6. QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT 54
7. VÍ DỤ 56
BÀI TẬP CHƯƠNG 6 61
Chương 7 63
BÀI TOÁN ĐỐI XỨNG TRỤC CHỊU TẢI TRỌNG ĐỐI XỨNG 63
1. MỞ ĐẦU 63
2. MÔ TẢ ĐỐI XỨNG TRỤC 63
3. PHẦN TỬ TAM GIÁC 64
BÀI TẬP CHƯƠNG 7 72

Chương 8 74
PHẦN TỬ TỨ GIÁC 74
1. MỞ ĐẦU 74
5.1. PHẦN TỬ TỨ GIÁC 74
5.2. HÀM DẠNG 74
5.3. MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ 76
5.4. QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT 78
5.7. TÍCH PHÂN SỐ 78
5.8. TÍNH ỨNG SUẤT 81
5.9. VÍ DỤ 82
BÀI TẬP CHƯƠNG 8 83
Chương 9 84
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU DẦM VÀ KHUNG 84
1. GIỚI THIỆU 84
5.10. THẾ NĂNG 84
5.11. HÀM DẠNG HERMITE 85
5.12. MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ DẦM 86
5.13. QUY ĐỔI LỰC NÚT 88
5.14. TÍNH MÔMEN UỐN VÀ LỰC CẮT 89
5.15. KHUNG PHẲNG 89
5.16. VÍ DỤ 91
BÀI TẬP CHƯƠNG 9 95
Chương 10 97
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN DẪN NHIỆT 97
1. GIỚI THIỆU 97
2. BÀI TOÁN DẪN NHIỆT MỘT CHIỀU 97
iii
2.1. Mô tả bài toán 97
2.2. Phần tử một chiều 97
2.3. Ví dụ 98

3. BÀI TOÁN DẪN NHIỆT HAI CHIỀU 100
3.1. Phương trình vi phân quá trình dẫn nhiệt hai chiều 100
3.2. Điều kiện biên 101
3.3. Phần tử tam giác 101
3.4. Xây dựng phiếm hàm 103
3.5. Ví dụ 106
BÀI TẬP CHƯƠNG 10 109
Chương 11 110
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TẤM - VỎ CHỊU UỐN 110
1. GIỚI THIỆU 110
2. LÝ THUYẾT TẤM KIRCHOFF 110
3. PHẦN TỬ TẤM KIRCHOFF CHỊU UỐN 112
1. PHẦN TỬ TẤM MINDLIN CHỊU UỐN 117
2. PHẦN TỬ VỎ 120
BÀI TẬP CHƯƠNG 11 123
TÀI LIỆU THAM KHẢO 124
iv
Chương 1
GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
5.1.GIỚI THIỆU CHUNG
Sự tiến bộ của khoa học, kỹ thuật đòi hỏi người kỹ sư thực hiện những đề án ngày
càng phức tạp, đắt tiền và đòi hỏi độ chính xác, an toàn cao.
Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một phương pháp rất tổng quát và hữu
hiệu cho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau. Từ việc phân tích trạng thái
ứng suất, biến dạng trong các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máy bay, tàu thuỷ,
khung nhà cao tầng, dầm cầu, v.v, đến những bài toán của lý thuyết trường như: lý
thuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thuỷ đàn hồi, khí đàn hồi, điện-từ trường v.v.
Với sự trợ giúp của ngành Công nghệ thông tin và hệ thống CAD, nhiều kết cấu phức
tạp cũng đã được tính toán và thiết kế chi tiết một cách dễ dàng.
Hiện có nhiều phần mềm PTHH nổi tiếng như: ANSYS, ABAQAUS, SAP, v.v.

Để có thể khai thác hiệu quả những phần mềm PTHH hiện có hoặc tự xây dựng
lấy một chương trình tính toán bằng PTHH, ta cần phải nắm được cơ sở lý thuyết, kỹ
thuật mô hình hoá cũng như các bước tính cơ bản của phương pháp.
5.2.XẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN
Giả sử V là miền xác định của một đại lượng cần khảo sát nào đó (chuyển vị, ứng
suất, biến dạng, nhiệt độ, v.v.). Ta chia V ra nhiều miền con v
e
có kích thước và bậc tự
do hữu hạn. Đại lượng xấp xỉ của đại lượng trên sẽ được tính trong tập hợp các miền
v
e
.
Phương pháp xấp xỉ nhờ các miền con v
e
được gọi là phương pháp xấp xỉ bằng các
phần tử hữu hạn, nó có một số đặc điểm sau:
- Xấp xỉ nút trên mỗi miền con v
e
chỉ liên quan đến những biến nút gắn vào nút
của v
e
và biên của nó,
- Các hàm xấp xỉ trong mỗi miền con v
e
được xây dựng sao cho chúng liên tục
trên v
e
và phải thoả mãn các điều kiện liên tục giữa các miền con khác nhau.
- Các miền con v
e

được gọi là các phần tử.
5.3.ĐỊNH NGHĨA HÌNH HỌC CÁC PHẦN TỬ HỮU HẠN
3.1. Nút hình học
Nút hình học là tập hợp n điểm trên miền V để xác định hình học các PTHH. Chia
miền V theo các nút trên, rồi thay miền V bằng một tập hợp các phần tử v
e
có dạng đơn
giản hơn. Mỗi phần tử v
e
cần chọn sao cho nó được xác định giải tích duy nhất theo
các toạ độ nút hình học của phần tử đó, có nghĩa là các toạ độ nằm trong v
e
hoặc trên
biên của nó.
1
3.2. Qui tắc chia miền thành các phần tử
Việc chia miền V thành các phần tử v
e
phải thoả mãn hai qui tắc sau:
- Hai phần tử khác nhau chỉ có thể có những điểm chung nằm trên biên
của chúng. Điều này loại trừ khả năng giao nhau giữa hai phần tử. Biên giới giữa
các phần tử có thể là các điểm, đường hay mặt (Hình 1.1).
- Tập hợp tất cả các phần tử v
e
phải tạo thành một miền càng gần với miền
V cho trước càng tốt. Tránh không được tạo lỗ hổng giữa các phần tử.
5.4.CÁC DẠNG PHẦN TỬ HỮU HẠN
Có nhiều dạng phần tử hữu hạn: phần tử một chiều, hai chiều và ba chiều. Trong
mỗi dạng đó, đại lượng khảo sát có thể biến thiên bậc nhất (gọi là phần tử bậc nhất),
bậc hai hoặc bậc ba v.v. Dưới đây, chúng ta làm quen với một số dạng phần tử hữu

hạn hay gặp.
Phần tử một chiều
Phần tử hai chiều
Phần tử ba chiều
Phần tử tứ diện
2
biên giới
biên giới
v
2
v
1
biên giới
v
2
v
1
v
1
v
2
Hình 1.1. Các dạng biên chung giữa các phần tử
Phần tử bậc nhất
Phần tử bậc hai
Phần tử bậc ba
Phần tử bậc nhất
Phần tử bậc hai
Phần tử bậc ba
5.5. PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ THỰC
Với mục đích đơn giản hoá việc xác định giải tích các phần tử có dạng phức tạp,

chúng ta đưa vào khái niệm phần tử qui chiếu, hay phần tử chuẩn hoá, ký hiệu là v
r
.
Phần tử qui chiếu thường là phần tử đơn giản, được xác định trong không gian qui
chiếu mà từ đó, ta có thể biến đổi nó thành từng phần tử thực v
e
nhờ một phép biến đổi
hình học r
e
. Ví dụ trong trường hợp phần tử tam giác (Hình 1.2).
Các phép biến đổi hình học phải sinh ra các phần tử thực và phải thoả mãn các qui
tắc chia phần tử đã trình bày ở trên. Muốn vậy, mỗi phép biến đổi hình học phải được
chọn sao cho có các tính chất sau:
a. Phép biến đổi phải có tính hai chiều (song ánh) đối với mọi điểm ξ trong phần tử
qui chiếu hoặc trên biên; mỗi điểm của v
r
ứng với một và chỉ một điểm của v
e
và
ngược lại.
b. Mỗi phần biên của phần tử qui chiếu được xác định bởi các nút hình học của biên đó ứng
với phần biên của phần tử thực được xác định bởi các nút tương ứng.
Chú ý:
3
Phần tử bậc nhất
Phần tử bậc hai
Phần tử bậc ba
v
r
v

3
v
2
v
1
1,00,0
y
ξ
x
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
η
r
3
r
2
r
1
0,1
Hình 1.2. Phần tử quy chiếu và các phần tử thực tam giác
- Một phần tử qui chiếu v
r
được biến đổi thành tất cả các phần tử thực v
e
cùng loại nhờ các phép biến đổi khác nhau. Vì vậy, phần tử qui chiếu còn được
gọi là phần tử bố-mẹ.
- Có thể coi phép biến đổi hình học nói trên như một phép đổi biến đơn giản.

- ζ (ξ, η) được xem như hệ toạ độ địa phương gắn với mỗi phần tử.
5.6. MỘT SỐ DẠNG PHẦN TỬ QUI CHIẾU
Phần tử qui chiếu một chiều
Phần tử qui chiếu hai chiều
Phần tử qui chiếu ba chiều
Phần tử tứ diện
4
0 1-1
ξ
0 1-1
ξ
-1
/
2
1
-1
ξ
1
/
2
0
Phần tử bậc nhất
Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
ξ
Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
v
r
10,0
1
ξ

v
r
10,0
1
ξ
v
r
10,0
1
η
η η
1
/
2
,1
/
2
1
/
2
1
/
2
1
/
3
,
2
/
3

2
/
3
,
1
/
3
2
/
3
1
/
3
1
/
3
2
/
3
Phần tử sáu mặt
5
ξ
Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
v
r
0,1,0
0,0,0
0,0,1
ξ
v

r
0,1,0
0,0,1
v
r
ζ
η
η
1,0,0
ζ
1,0,0
ξ
η
ζ
0,1,0
1,0,0
0,0,1
v
r
ξ
Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
0,1,1
ξ
v
r
ζ
η
η
1,1,0
ζ

0,1,1
1,1,0
ξ
v
r
η
ζ
0,1,1
1,1,0
5.7.LỰC, CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG VÀ ỨNG SUẤT
Có thể chia lực tác dụng ra ba loại và ta biểu diễn chúng dưới dạng véctơ cột:
- Lực thể tích
f
: f = f[ f
x
, f
y
, f
z
]
T
- Lực diện tích
T
: T = T[ T
x
, T
y
, T
z
]

T
- Lực tập trung P
i
:

P
i
= P
i
[ P
x
, P
y
, P
z
]
T
Chuyển vị của một điểm thuộc vật được ký hiệu bởi:
u = [u, v, w]
T
(1.1)
Các thành phần của tenxơ biến dạng được ký hiệu bởi ma trận cột:
ε
= [
ε
x
,
ε
y
,

ε
z
,
γ
yz
,
γ
xz
,
γ
xy
]
T
(1.2)
Trường hợp biến dạng bé:
T
x
v
y
u
x
w
z
u
y
w
z
v
z
w

y
v
x
u






∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂

∂
=
ε
(1.3)
Các thành phần của tenxơ ứng suất được ký hiệu bởi ma trận cột:
σ
= [
σ
x
,
σ
y
,
σ
z
,
σ
yz
,
σ
xz
,
σ
xy
]
T
(1.4)
Với vật liệu đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, ta có quan hệ giữa ứng suất với biến
dạng:
σ

= D
ε
(1.5)
Trong đó:
( )( )




















−
−
−
−
−

−
−+
=
ν
ν
ν
ννν
ννν
ννν
νν
5000000
0500000
0050000
0001
0001
0001
211
,
,
,
E
D
E là môđun đàn hồi,
ν
là hệ số Poisson của vật liệu.
5.8.NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU HOÁ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN
Thế năng toàn phần Π của một vật thể đàn hồi là tổng của năng lượng biến dạng U
và công của ngoại lực tác dụng W:
Π
= U + W (1.6)

Với vật thể đàn hồi tuyến tính thì năng lượng biến dạng trên một đơn vị thể tích
được xác định bởi:
εσ
T
2
1

Do đó năng lượng biến dạng toàn phần:
∫
=
V
T
dvU
εσ
2
1
(1.7)
6
Công của ngoại lực được xác định bởi:
∑
∫∫
=
−−−=
n
i
i
T
i
S
T

V
T
PuTdSuFdVuW
1
(1.8)
Thế năng toàn phần của vật thể đàn hồi sẽ là:
∑
∫∫∫
=
−−−=∏
n
i
i
T
i
S
T
V
T
V
T
PuTdSudVfudV
1
2
1
εσ
(1.9)
Trong đó: u là véctơ chuyển vị và P
i
là lực tập trung tại nút i có chuyển vị là u

i
Áp dụng nguyên lý cực tiểu thế năng: Đối với một hệ bảo toàn, trong tất cả các di
chuyển khả dĩ, di chuyển thực ứng với trạng thái cân bằng sẽ làm cho thế năng đạt
cực trị. Khi thế năng đạt giá trị cực tiểu thì vật (hệ) ở trạng thái cân bằng ổn định.
5.9.SƠ ĐỒ TÍNH TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Một chương trình tính bằng PTHH thường gồm các khối chính sau:
Khối 1: Đọc các dữ liệu đầu vào: Các dữ liệu này bao gồm các thông tin mô tả nút và
phần tử (lưới phần tử), các thông số cơ học của vật liệu (môđun đàn hồi, hệ
số dẫn nhiệt ), các thông tin về tải trọng tác dụng và thông tin về liên kết
của kết cấu (điều kiện biên);
Khối 2: Tính toán ma trận độ cứng phần tử k và véctơ lực nút phần tử f của mỗi phần
tử;
Khối 3: Xây dựng ma trận độ cứng tổng thể K và véctơ lực nút F chung cho cả hệ
(ghép nối phần tử);
Khối 4: Áp đặt các điều kiện liên kết trên biên kết cấu, bằng cách biến đổi ma trận độ
cứng K và vec tơ lực nút tổng thể F;
Khối 5: Giải phương trình PTHH, xác định nghiệm của hệ là véctơ chuyển vị chung
Q;
Khối 6: Tính toán các đại lượng khác (ứng suất, biến dạng, gradiên nhiệt độ, v.v.) ;
Khối 7: Tổ chức lưu trữ kết quả và in kết quả, vẽ các biểu đồ, đồ thị của các đại lượng
theo yêu cầu.
Sơ đồ tính toán với các khối trên được biểu diễn như hình sau (Hình 1.3);
7
8
Tính toán ma trận độ cứng phần tử k
Tính toán véctơ lực nút phần tử f
Giải hệ phương trình KQ = F
(Xác định véctơ chuyển vị nút tổng thể Q)
Đọc dữ liệu đầu vào
- Các thông số cơ học của vật liệu

- Các thông số hình học của kết cấu
- Các thông số điều khiển lưới
- Tải trọng tác dụng
- Thông tin ghép nối các phần tử
- Điều kiện biên
Xây dựng ma trận độ cứng K và véctơ lực chung F
Áp đặt điều kiện biên
(Biến đổi các ma trận K và vec tơ F)
Tính toán các đại lượng khác
(Tính toán ứng suất, biến dạng, kiểm tra bền, v.v)
In kết quả
- In các kết quả mong muốn
- Vẽ các biểu đồ, đồ thị
Hình 1.3. Sơ đồ khối của chương trình PTHH
Chương 2
ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN
Áp dụng phương pháp PTHH trong các bài toán kỹ thuật thường liên quan đến
một loạt các phép toán trên ma trận. Vì vậy, các phép toán cơ bản trên ma trận và
phương pháp khử Gaussian (Gauss) để giải hệ phương trình tuyến tính sẽ là 2 nội dung
chính được đề cập trong chương này.
1. ĐẠI SỐ MA TRẬN
Các công cụ toán học về ma trận được đề cập trong phần này là các công cụ cơ
bản để giải bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính, có dạng như sau:
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
=++

=++
=++




2211
22222121
11212111
(2.1)
trong đó, x
1
, x
2
, …, x
n
là các nghiệm cần tìm. Hệ phương trình (2.1) có thể được biểu
diễn ở dạng thu gọn:
Ax = b (2.2)
trong đó, A là ma trận vuông có kích thước (n
×
n), và x và b là các véctơ (n
×
1), được
biển diễn như sau:













=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A




21
22221
11211















=
n
x
x
x
x

2
1














=

n
b
b
b
b

2
1
1.1. Véctơ
Một ma trận có kích thước (1
×
n) được gọi là véctơ hàng, ma trận có kích thước
(n
×
1) được gọi là véctơ cột. Ví dụ một véctơ hàng (1 × 4):
{ }
61222
−=
r
và véctơ cột (3 × 1):











=
34
2
11
c
1.2. Ma trận đơn vị
Ma trận đơn vị là ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo chính bằng
1, ví dụ:
9










=
100
010
001
I
1.3. Phép cộng và phép trừ ma trận.
Cho 2 ma trận A và B, cùng có kích thước là (m
×
n). Tổng của chúng là 1 ma trận
C = A + B và được định nghĩa như sau:
c

ij
= a
ij
+ b
ij
(2.3)
Ví dụ:






−
−
=






−−
−
+







−
34
75
21
58
15
23
phép trừ được định nghĩa tương tự.
1.4. Nhân ma trận với hằng số
Nhân 1 ma trận A với hằng số c được định nghĩa như sau:
cA=[ca
ij
] (2.4)
Ví dụ:






−
=






−

100500
200300
15
23
10
2
1.5. Nhân hai ma trận
Tích của ma trận A kích thước (m
×
n) với ma trận B kích thước (n
×
p) là 1 ma trận
C kích thước (m
×
p), được định nghĩa như sau:
A
×
B = C (2.5)
(m
×
n) (n
×
p) (m
×
p)
trong đó, phần tử thứ (ij) của C là (c
ij
) được tính theo biểu thức:
∑
=

=
n
k
kjikij
bac
1
(2.6)
Ví dụ:






=










×







3638
7054
46
52
54
413
582
Chú ý:
- Điều kiện để tồn tại phép nhân 2 ma trận A
×
B là số cột của ma trận A phải
bằng số hàng của ma trận B.
- Trong phần lớn các trường hợp, nếu tồn tại tích 2 ma trận A
×
B và B
×
A, thì
tích 2 ma trận không có tính chất giao hoán, có nghĩa là A
×
B
≠
B
×
A.
10
1.6. Chuyển vị ma trận
Chuyển vị của ma trận A = [a
ij

] kích thước (m
×
n) là 1 ma trận, ký hiệu là A
T
có
kích thước là (n
×
m), được tạo từ ma trận A bằng cách chuyển hàng của ma trận A
thành cột của ma trận A
T
. Khi đó, (A
T
)
T
= A.
Chuyển vị của một tích các ma trận là tích các chuyển vị của ma trận thành phần
theo thứ tự đảo ngược, có nghĩa là:
(A
×
B
×
C)
T
=C
T
×
B
T
×
A

T
. (2.7)
1.7. Đạo hàm và tích phân ma trận
Trong nhiều bài toán kỹ thuật, các phần tử của ma trận không phải là 1 hằng số,
chúng là các hàm số 1 biến hay nhiều biến. Ví dụ:










+
+
−+
=
yxx
yx
xyxyx
A
46
2
52
2
Trong các trường hợp đó, các ma trận có thể được đạo hàm hay tích phân. Phép
đạo hàm (hay phép tích phân) của 1 ma trận, đơn giản là lấy đạo hàm (hay lấy tích
phân) đối với mỗi phần tử của ma trận:







=
dx
xda
xA
dx
d
ij
)(
)(
(2.8)
[ ]
∫ ∫
=
dxdyaAdxdy
ij
(2.9)
Chúng ta sẽ sử dụng thường xuyên biểu thức (2.8) để xây dựng hệ phương trình
PTHH trong các chương sau. Xét ma trận vuông A, kích thước (n
×
n) với các hệ số
hằng, véctơ cột x = {x
1
x
2

x
n
}
T
chứa các biến. Khi đó, đạo hàm của Ax theo 1 biến x
p
sẽ là:
p
p
aAx
dx
d
=
)(
(2.10)
trong đó, a
p
là véctơ cột và chính là cột thứ p của ma trận A.
1.8. Định thức của ma trận
Cho ma trận vuông A = [a
ij
], kích thước (n
×
n). Định thức của ma trận A được
định nghĩa như sau:
( ) ( )
1
11 11 12 12 1 1
1
det( ) det( ) det( ) 1 det( ) 1 det( )

n
n i j
n n ij ij
j
A a A a A a A a A
+ +
=
= − + − = −
∑
L
(2.11)
trong đó, A
ij
là ma trận kích thước (n-1
×
n-1) thu được bằng cách loại đi hàng i cột j
của ma trận A.
11
Ví dụ:













=⇒












=
nnnn
n
n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
aaa
aaa
aaa
A









32
33332
22322
11
21
22221
11211
Công thức (2.11) là công thức tổng quát. Theo công thức này, định thức của ma trận
vuông có kích thước (n
×
n) được xác định theo phương pháp truy hồi từ định thức các
ma trận có kích thước (n-1
×
n-1). Trong đó, ma trận chỉ có 1 phần tử (1
×
1) có:
det(a
pq
) = a
pq
(2.12)
1.9. Nghịch đảo ma trận
Cho ma trận vuông A, nếu det(A) ≠ 0, thì A có ma trận nghịch đảo và ký hiệu là A

-
1
. Ma trận nghịch đảo thỏa mãn quan hệ sau:
A
-1
×
A = A
×
A
-1
= I (2.13)
Nếu det(A) = 0, A là ma trận suy biến và không tồn tại ma trận nghịch đảo. Nếu
det(A)
≠
0 ta gọi A là ma trận không suy biến. Khi đó, nghịch đảo của A được xác định
như sau:
1
det
adjA
A
A
−
=
(2.14)
Trong đó, adjA là ma trận bù của A, có các phần tử
( )
)det(1
ji
ji
ij

Aa
+
−=
và A
ji
là ma trận
thu được từ A bằng cách loại đi hàng thứ j và cột thứ i.
Ví dụ:
Nghịch đảo của ma trận A kích thước (2
×
2) là:






−
−
=






=
−
−
1121

1222
1
2221
1211
1
det
1
aa
aa
A
aa
aa
A
1.10. Ma trận đường chéo
Một ma trận vuông có các phần tử bằng không ngoại trừ các phần tử trên đường
chéo chính được gọi là ma trận đường chéo. Ví dụ:










=
500
030
002

D
1.11. Ma trận đối xứng
Ma trận đối xứng là một ma trận vuông có các phần tử thoả mãn điều kiện:
a
ij
= a
ji
hay: A = A
T
(2.15)
Như vậy, ma trận đối xứng là ma trận có các phần tử đối xứng qua đường chéo chính.
12
1.12. Ma trận tam giác
Ma trận được gọi là ma trận tam giác trên hay ma trận tam giác dưới, tương ứng là
các ma trận có tất cả các phần tử nằm dưới hay nằm trên đường chéo chính bằng
không.
Ví dụ, các ma trận được minh hoạ dưới đây tương ứng là ma trận tam giác trên A
và ma trận tam giác dưới B:










−
−

=
900
040
1132
A










−
−=
9011
043
002
B
2. PHÉP KHỬ GAUSS
Xét hệ phương trình tuyến tính được biểu diễn ở dạng ma trận như sau:
Ax = b
trong đó, A là ma trận vuông kích thước (n
×
n). Nếu detA
≠
0, thì ta có thể thực hiện
phép biến đổi phương trình trên bằng cách nhân 2 vế với A

-1
và nhận được nghiệm: x =
A
-1
b. Tuy nhiên, trong hầu hết các bài toán kỹ thuật, kích thước của ma trận A là rất
lớn và các phần tử của A thường là số thực với miền xác định rất rộng; do đó, việc tính
toán ma trận nghịch đảo của A là rất phức tạp và dễ gặp phải sai số do việc làm tròn
trong các phép tính. Vì vậy, phương pháp khử Gauss là một công cụ rất hữu ích cho
việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính.
2.1. Mô tả
Chúng ta sẽ bắt đầu mô tả phương pháp khử Gauss thông qua một ví dụ minh hoạ sau
đây; sau đó tìm hiểu giải thuật khử Gauss tổng quát.
Xét hệ phương trình:
152
321
=++
xxx
(1)
2352
321
−=++
xxx
(2)
415
321
=+−−
xxx
(3)
Bước 1: bằng các phép biến đổi tương đương để khử x
1

trong các phương trình (2) và
(3), ta được hệ:
152
321
=++
xxx
(1)
470
321
=+−
xxx
(2
1
)
5200
321
=++
xxx
(3
1
)
Bước 2: khử x
2
trong phương trình (3
1
), ta được hệ:
152
321
=++
xxx

(1)
470
321
=+−
xxx
(2
1
)
92700
321
=++
xxx
(3
2
)
13
Ở đây, ta nhận được hệ phương trình mà ma trận các hệ số lập thành ma trận tam
giác trên. Từ phương trình cuối cùng (3
2
), ta tìm được nghiệm x
3
, lần lượt thế các
nghiệm tìm được vào phương trình trên nó, (2
1
) và (1). Sẽ nhận được các ẩn số cần tìm
như sau:
3
8
;
3

5
;
3
1
123
=−==
xxx
. Phương pháp tìm nghiệm khi ma trận các hệ số là
ma trận tam giác trên này được gọi là phương pháp thế ngược.
Các thao tác trên có thể được biểu diễn dưới dạng ngắn gọn như sau:










−⇒











−⇒










−−
−
92700
4710
1521
52010
4710
1521
41511
2352
1521
bằng phương pháp thế ngược, cuối cùng ta nhận được các nghiệm:
3
8
;
3
5
;

3
1
123
=−==
xxx
2.2. Giải thuật khử Gauss tổng quát
Giải thuật khử Gauss tổng quát sẽ được biểu diễn thông qua các bước thực hiện
đối với một hệ phương trình tuyến tính tổng quát như sau:























=













































n
i
n
i
nnnjnnn
inijiii
nj
nj
nj
b
b
b
b
b
x

x
x
x
x
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa











3
2
1
3
2
1
321
321
33333231
22232221

11131211
(2.16)
Để thực hiện phương pháp khử Gauss, ta xét các thủ tục tác động đến các ma trận
hệ số A và ma trận các số hạng tự do b như sau:






















nnnjnnn
inijiii
nj
nj

nj
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa







321
321
33333231
22232221
11131211
























n
i
b
b
b
b
b


3
2
1
(2.17)
Bước 1. Sử dụng phương trình thứ nhất (hàng 1) để loại x
1
ra khỏi các phương trình
còn lại. Bước này sẽ tác động đến các phần tử nằm trong vùng đã đánh dấu và làm cho
các phần tử từ hàng 2 đến hàng thứ n của cột 1 bằng không nhờ phép biến đổi (2.18)
sau:

14
( )
( )







=−=
−=
njib
a
a
bb
a
a
a
aa
i
ii
j
i
ijij
, ,2,;
1
11
1
1

1
11
1
1
(2.18)
Bước 2. Sử dụng phương trình thứ hai (hàng 2) để loại x
2
ra khỏi các phương trình còn
lại. Bước này sẽ tác động đến các phần tử nằm trong vùng đã đánh dấu dưới đây và
làm cho các phần tử từ hàng 3 đến hàng thứ n của cột 2 bằng không.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )























111
3
1
2
111
3
1
2
1
3
1
3
1
33
1
32
1
2
1
2
1
23
1
22

11131211
0
0
0
0
nnnjnn
inijii
nj
nj
nj
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaaa








( )
( )
( )
( )























1
1
1
3
1
2
1
n
i
b
b

b
b
b


(2.19)
Các bước như trên sẽ được lặp lại đến khi trong vùng đánh dấu chỉ còn 1 phần tử. Một
cách tổng quát, tại bước thứ k ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )





























−−−
+
−−−
+
−
+
−
+
−
++
1
,
1
,
1
1,
1
,
1

,
1
1,
1
,1
1
,1
1
1,1
2
3
2
3
2
33
1
2
1
2
1
23
1
22
11131211
000
000
000
00
0
k

nn
k
jn
k
kn
k
ni
k
ji
k
ki
k
nk
k
jk
k
kk
nj
nj
nj
aaa
aaa
aaa
aaa
aaaa
aaaaa











( )
( )
( )
( )
( )































−
−
−
+
1
1
1
1
3
3
1
2
1
k
n
k
i
k
k

b
b
b
b
b
b



(2.20)
Ở bước này, các phần tử trong miền đánh dấu được tác động nhờ phép biến đổi
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )









+=−=
+=−=

−
−
−
−
−
−
−
−
nkjib
a
a
bb
nkjia
a
a
aa
k
k
k
kk
k
ik
k
i
k
i
k
kj
k
kk

k
ik
k
ij
k
ij
, ,1,;
, ,1,;
1
1
1
1
1
1
1
1
(2.21)
Cuối cùng, sau n-1 bước như trên, chúng ta nhận được hệ (2.16) dưới dạng:























=











































−− )1(
)3(
4
)2(
3
)1(
2

1
4
3
2
1
)1(
)3(
4
)3(
44
)2(
3
)2(
34
)2(
33
)1(
2
)1(
24
)1(
23
)1(
22
114131211
0
n
nn
n
nn

n
n
n
n
b
b
b
b
b
x
x
x
x
x
a
aa
aaa
aaaa
aaaaa





(2.22)
15
Từ hệ (2.22) này, bằng phương pháp thế ngược từ dưới lên ta nhận được các
nghiệm của hệ phương trình (2.16) như sau (ở đây, để tiện theo dõi, chúng ta bỏ qua
ký hiệu chỉ số trên trong các hệ số của ma trận A và b):
121

1
,,n,ni;
a
xab
x,;
a
b
x
ii
n
ij
jiji
i
nn
n
n

−−=
−
==
∑
+=
(2.23)
16
Chương 3
THUẬT TOÁN XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHUNG
VÀ VÉCTƠ LỰC NÚT CHUNG
Việc ghép các ma trận độ cứng k và các véctơ lực f của các phần tử để tạo ra ma
trận độ cứng K và véctơ lực nút F chung cho cả hệ, từ đó thiết lập hệ phương trình
PTHH là một vấn đề quan trọng.

Ta sẽ cộng các số hạng của ma trận độ cứng của mỗi phần tử vào các vị trí tương
ứng của ma trận độ cứng chung và cộng các số hạng của véctơ lực vào véctơ lực
chung.
Cách dễ nhất để ghép các phần tử là gán số cho mỗi dòng và cột của ma trận độ
cứng phần tử đúng với bậc tự do của phần tử ấy, sau đó chúng ta sẽ làm việc qua các
số hạng của ma trận phần tử; tức là cộng các số hạng này vào ma trận chung mà mỗi
dòng, mỗi cột cũng được gán đúng những số trên.
Dưới đây ta sẽ xét hai ví dụ.
1. CÁC VÍ DỤ
1.1. Ví dụ 1
Một kết cấu được chia ra 8 phần tử tam giác như Hình 3.1. Mỗi phần tử có 3 nút;
mỗi nút có 1 bậc tự do (ví dụ nhiệt độ).

Mô tả quá trình ghép nối ma trận độ cứng chung K với giả sử chỉ xét 3 phần tử đầu
tiên: 1, 2 và 3 với các ma trận độ cứng đã biết như sau:










=
521
263
137
1

k
;










=
432
371
218
2
k
;










=

501
064
149
3
k
17
1
2
3
5
4
6
7 8 9
1
2
3
4
5
6
7
8
e
1
2
3
Hình 3.1
Lời giải
1. Xây dựng bảng ghép nối phần tử (đường đến các nút ngược chiều kim đồng hồ)
Bậc tự do
Phần tử

1 2 3
1 1 2 4
2 4 2 5
3 2 3 5
2. Xét từng phần tử
Với phần tử 1, các dòng và cột được nhận dạng như sau:
4
2
1
521
263
137
421
1










=k
Ma trận này được cộng vào ma trận độ cứng chung và ta sẽ được:








5
4
3
2
1
00000
05021
00000
02063
01037
54321





















=K
Ma trận độ cứng của phần tử 2 được gán số bởi:
5
2
4
432
371
218
524
2










=k
Các số hạng của ma trận k
2
được cộng thêm vào ma trận chung, cho ta








5
4
3
2
1
42030
2850121
00000
3120763
01037
54321





















++
++
=K
Với phần tử 3:
18
5
3
2
501
064
149
532
3










=k

Các số hạng của ma trận k
3
được cộng tiếp vào ma trận chung ở trên, cho ta







5
4
3
2
1
54200130
213031
000640
13349133
01037
54321





















+++
+
++
=K
Việc cộng các véctơ lực phần tử vào véctơ lực chung được tiến hành hoàn toàn
tương tự.
1.2. Ví dụ 2
Giả sử có hai phần tử 1 và 4 trong bài toán hai chiều; mỗi phần tử có 3 nút, mỗi
nút có 2 bậc tự do (Hình 3.2). Hãy mô tả quá trình ghép nối ma trận độ cứng chung K
và véctơ lực nút chung, theo các ma trận độ cứng phần tử và véctơ lực nút phần tử k
1
,
k
4
, f
1
và f
4
cho trước như sau:





















−−−−−
−−−−−
−−−−−
−−−−−
−−−−−
−−−−−
=
2428572
2164316
8431694

5363097
7199293
2647322
1
k
;






















=
5

7
1
4
6
3
1
f




















−−−−−
−−−−−
−−−−−

−−−−−
−−−−−
−−−−−
=
2874755
7272873
4225768
7873026
5742191
5386123
4
k
;























=
5
4
2
6
7
9
4
f
19
i
1
2
3
1
4
5
6
2
1
Hình 3.2
2