BÀI TẬP MẠCH ĐIỆN ĐƯỜNG DÂY ĐIỆN DÀI

Chương 6
Đường dây dài
Tóm tắt lý thuyết
Đường dây được gọi là dài nếu quá trình truyền tín hiệu trên nó không
phải diễn ra tức thời mà phải mất một khoảng thời gian nhất định ;hay nói cách
khác là độ dài của bước sóng tín hiệu λ truyền trên đường có cùng bậc với độ dài
l của đường dây. Đường dây dài (ĐDD) liệt vào
loại mạch có tham số phân bố, trong đó mỗi một
đơn vị độ dài đường dây có sơ đồ tương đương là
một MBC hình 6.1. Các thông số r
0
, L
0
, C
0
, g
0
gọi
là các tham số sơ cấp của ĐDD. Chúng là những
đại lượng có trị số khá nhỏ và được xác định như
sau cho hai loại cáp truyền tín hiệu là cáp song
hành (đối xứng) hình 6.2a và cáp đồng trục hình 6.2b.







Ω+
Ω

=
−
−
trôcång§]m/)[
rr
(f.,
hµnhSong]m/[
r
f,
.
r
21
8
8
0
11
10184
184
102
(6.1)







=
π
µ

−
=
−
π
µ
=
−
−
trôcång§]m/H[
r
r
ln.
r
r
ln
hµnhSong]m/H[
r
ra
ln.
r
ra
ln
L
o
o
1
2
7
1
2

7
0
104
104
(6.2)









ε=
πεε
−
ε=
−
πεε
=
−
−
trôcång§]m/F[
r
r
ln
.
r
r

ln
hµnhSong]m/F[
r
ra
ln
.
r
ra
ln
C
o
o
1
2
9
1
2
9
0
1
18
10
2
1
36
10
(6.3)
]m./[tgCg
oo
Ωδω= 1

(6.4)
177
µ
o
=4π.10
-7 -
H/m-độ từ thẩm của không khí.
o
ε
=1/36π.10
9
F/m-Hằng số điện môi.
Các tham số sóng (thứ cấp) của ĐDD:
Hằng số truyền sóng γ (tương tự như g
c
của MBC):
)Cjg)(Ljr(
0000
ω+ω+=γ
=α [nepe] + j β [rad]
(6.5)

).(CL;
r
L
Cr
s
65
22
00

0
0
00
ω=β
ρ
=≈α
Trở kháng (tổng trở) sóng của ĐDD:
00
00
Cjg
Ljr
Z
s
ω+
ω+
=
(6.7.)
Xác định hằng số truyền qua tổng trở vào ngắn và hở mạch.

π+















−
+
=β
−
+
=α
k
Z
Z
Z
Z
arg;
Z
Z
Z
Z
ln
Vh
Vng
Vh
Vng
Vh
Vng
Vh
Vng
2

1
1
2
1
1
1
2
1
ll
(6.8)
l
-chiều dài đường dây
Phương trình vi phân đặc trưng:







∂
∂
+=
∂
∂
−
∂
∂
+=
∂

∂
−
t
u
Cug
x
i
t
i
Lir
x
u
oo
oo
(6.9)
Nếu là chế độ hình sin xác lập trong mạch thì từ (6.9) suy ra:








ω+=
∂
∂
−
ω+=
∂

∂
−
m
.
oo
m
.
m
.
oo
m
.
U
I
I
U
)Cjg(
x
)Ljr(
x
(6.10)
Từ (6.10) có:
0
2
2
2
=γ−
∂
∂
U

U
.
.
x
m
(6.10)’
Nghiệm của (6.9) và (6.10) là:






+=
+=
γγ−
γγ−
x
s
x
s
m
xx
m
e
Z
A
e
Z
A

eAeA
I
U
.
.
21
21
(6.11)
178
    
    
¹cn¶phSãng
s
x
s
tíiSãng
s
x
s
¹xn¶phSãng
x
tíiSãng
x
)xtcos(e
Z
A
)xtcos(e
Z
A
)t,x(i

)xtcos(eA)xtcos(eA)t,x(u
β+ϕ−ϕ+ω+β−ϕ−ϕ+ω=
β+ϕ+ω+β−ϕ+ω=
α−α−
αα−
2
2
1
1
2211
(6.12)








−
=
+
=
γ−
γ
l
ll
l
ll
e

Z
A
e
Z
A
m
.
s
m
.
m
.
s
m
.
IU
IU
2
2
2
1
(6.13)
Ký hiệu
mm

I,U
ll
tương ứng là biên độ phức của điện áp và dòng điện ở cuối
đường dây.
Vận tốc truyền sóng (Vận tốc pha):

oo
Ph
CL
v
1
=
β
ω
=
(6.14)
Hệ phương trình truyền:

pxm
.
Tm
.
PX
)xl(
s
m
.
s
m
.
T
)xl(
s
m
.

s
m
.
m
.
pxm
.
Tm
.
)xl(
m
.
s
m
.
)xl(
m
.
s
m
.
m
.
II
IUIU
I
UU
IUIU
U
e

Z
Z
e
Z
Z
e
Z
e
Z
−=
−
−
+
=
+=
−
+
+
=
−γ−−γ
−γ−−γ
    
22
22
llll
llll
(6.15)
Đây là phương trình của dòng và áp tại điểm bất kỳ trên đường dây ở chế
độ bất kỳ (hình 6.3). Có thể đưa về dạng hàm hypecbolic:








−γ+−γ=
−γ+−γ=
)x(ch)x(sh
Z
)x(shZ)x(ch
m
s
m
Xm
.
m
s
m
Xm
I
.
U
.
I
I
.
U
.

U
.
ll
ll
l
l
ll
(6.16)
Đây chính là hệ phương trình tham số A của MBC đối xứng.
179
Khi x=0 (ký hiệu
mm

I,U
00
tương ứng là biên độ phức của điện áp và
dòng điện ở đầu đường dây)








γ+γ=
γ+γ=
l
l
l

l
l
l
l
l
chsh
Z
shZch
m
s
m
m
.
m
s
mm
I
.
U
.
I
I
.
U
.
U
.
0
0
(6.16)’

Quan hệ giữa sóng tới và sóng phản xạ:

s
pxm
.
pxm
.
Tm
.
Tm
.
Z
I
U
I
U
==
(6.17)

).(epe
ZZ
ZZ
.
.
.
.
)x()x(
s
s
Tm

pxm
Tm
pxm
I
I
U
U
186
22
−γ−−γ−
=
+
−
=−=
ll
l
l

).(
e
.
.p
.
e
.
.p
.
)x(
Tmpxm
)x(

Tmpxm
II
UU
196
2
2





−=
=
−γ−
−γ−
l
l


).(
ZZ
ZZ
p
).(
)ep(
)ep(
s
s
)x(
TmpxmTmm

)x(
TmpxmTmm
I
.
I
.
I
.
I
.
U
.
U
.
U
.
U
.
216
206
1
1
2
2
+
−
=






−=−=
+=+=
−γ−
−γ−
l
l
l
l
Truyền từ đầu đến cuối đường dây khi HHPT: Z
l
=Z
S
thì:

m
S
m
lmm
m
m
s
lm
s
m
I
U
II
U

II
U
e
Z
eshch
eZeZshch









.
.

.

.
)(
)(
0
0
γγ
γγ
γγ
γγ
==+=

==+=
(6.22)
Tính tại điểm x bất kỳ theo dòng-áp ở cuối hoặc đầu đường dây khi mắc HHPT:

s
Xm
Xm
x
m
)x(
m
)x(
s
m
s
m
Xm
x
m
)x(
m
)xl(
msm
Xm
Z
eee
Z
Z
eee
Z

I
U
II
IU
I
UU
IU
U
.
.


.


.
=
==
+
=
==
+
=
γ−−γ−γ
γ−−γ−γ
0
0
2
2
l

l
l
ll
l
l
ll
(6.23)
Tổng trở đầu vào tại điểm x bất kỳ:
180

)x(
)x(
S
m
.
m
.
V
pe
pe
ZZ
I
U
−γ−
−γ−
−
+
==
l
l

2
2
1
1
(6.24)
ở chế độ HHPT: Z
Vx
=Z
S
Đường dây có tổn hao vô cùng nhỏ khi r
0
≈
0, g
0
=0 hay
α≈
0
→
ss
C
L
Z ρ=≈
0
0
Khi đó (6.16)trở thành









−β+−β=
−β+−β=
)x(ch)x(sh
Z
)x(shZ)x(ch
m
I
.
U
.
I
I
.
U
.
U
.
s
m
Xm
.
m
s
m
Xm
ll
ll

l
l
ll
(6.25)
.
Chế độ sóng chạy khi HHPT Z
s
=
ρ
s
:
p=0, u(x, t)=u(x, t)
tới
, biên độ sóng trên đường dây là như nhau, dòng điện
và điện áp luôn đồng pha.








ϕ+β+ω
ρ
==
ϕ+β+ω==
)'xtcos()t,x(i)t,'x(i
)'xtcos()t,x(u)t,'x(u
s

m
T
m
T
U
U
l
l
l
l
(6.26)
Chế độ sóng đứng – chế độ phản xạ toàn phần I p I =1:
u(x’, t)=U
m
cos(ωt+βx’)+U
m
cos(ωt-βx’+ϕ
p
)=2U
m
cos(ωt+ϕ
P
/2)cos(βx’-ϕ
P
/2)
(6.27)
Chế động sóng hỗn hợp 0< I p I <1.

    
døngSãngch¹ySãng

p/2)] x'- cos( p/2) +t Um[cos( p2+)x' +t cos( ]Um p -[1 =t),u(x'
(6.28)
Tổng trở đầu vào:
'xj
'xj
sVx
pe
pe
Z
β−
β−
−
+
ρ=
2
2
1
1
(6.29)
Khi HHPT: Z
V
(x’)= ρ
S
. (6.30)
Khi ngắn mạch cuối đường dây:
Theo biến x’:
'xjtgZ
Vng
β=
4

2
λ
π
=
'x
jtg
; (6.31)
Theo biến ω:
;
CLl
Víi;tgj)(Z
sVng
000
0
0
2
2
π
=ω
ω
ωπ
ρ=ω
(6.32)
Khi hở mạch cuối đường dây:
Theo biến x’:
'xjtgZ
Vhë
β=
4
2

λ
π
ρ−=
'x
ctgj
s
; (6.33)
181
Theo biến ω:
;
CL
Víi;ctgj)(Z
sVhë
000
0
0
2
2
l
π
=ω
ω
ωπ
ρ−=ω
(6.34)
Bài tập
6.1. Đường dây lưỡng kim song hành công tác ở tần số 10 Khz, có các tham số
sơ cấp như sau: r
0
=4,98Ω/km; L

0
=1,91mH/km; C
0
=6,35nF/km, g
0
=0,6.10
-
6
1/Ω.km. Hãy xác định các tham số α, β, V
ph
và λ.
6.2. Đường dây song hành có độ dài 200 Km, công tác ở tần số 5000rad/s. Tổng
trở đầu vào đo ở chế độ ngắn và hở mạch cuối đường dây tương ứng là:
'
4522
¾0
'1137
0
00
351;1070
j
nngV
j
hëV
eZeZ ==
−
Hãy xác định α, β, γ, r
0
,

L
0
,

C
0
,

g
0
, Z
S
của đường dây.
6.3. ĐDD có độ dài 200 km công tác ở tần số 5000 rad/s, có các tham số sơ cấp
như sau:
km.
.,g;
km
nF
,C;
km
mH
.,L;
km
,r
Ω
===
Ω
=
−

1
1070356089242
6
0000
Hãy xác định tổng trở đầu vào của ĐDD trong 3 trường hợp tải:
a) Z
t
= ∞; b) z
t
=0; c) Z
t
=500
0
30j
e
[Ω]
6.4. Đường dây dài hình 6.4. mắc HHPT có các tham số:
trở kháng sóng
Z
S
=743 e
0
10j−
[Ω],
hằng số truyền lan:
γ=α[nepe/km]+jβ[rad/km] =[35,7+j172].10
-4
, nguồn tác động e(t)=sin 5000t [V].
Hãy xác định:
a) Biểu thức tức thời của dòng điện ở đầu đường dây, điện áp và dòng điện ở

cuối đường dây.
b) Trị số của dòng địên và điện áp ở điểm x trên đường dây tại thời điểm t
1
=0
và t
2
= 0,2 mS.
182
6.5. Đường dây dài hình 6.5 ở chế độ hình sin xác lập có chiều dài 300 Km mắc
tải hoà hợp, với các tham số: α=0,015 nepe/km, ρ
s
=500 Ω. Điện áp ở một điểm
cách cuối đường dây một
đoạn 100 km có biên độ 2
2
V.
a) Xác định giá trị hiệu dụng của điện áp, dòng điện và công suất ở đầu và ở
cuối đường dây.
b) ở điểm nào trên đường dây thì giá trị biên độ của điện áp là ≈14,442 V
6.6. Đường cáp đồng trục dài 220 m ở chế độ hình sin xác lập mắc hoà hợp phụ
tải, có các tham số: α=0,0025 nepe/m, β=0,0085 rad/m; Z
S
=75
0
45j
e
−
[Ω]. Điện
áp ở điểm M cách đầu đường dây 50m có biểu thức tức thời:
u

M
(t)=150 cos (10
6
t + 65
0
) [V ].
a) Xác định biểu thức tức thời của điện áp và dòng điện ở cuối đường dây.
b)Xác định công suất tác dụng của nguồn tín hiệu và công suất tổn hao trên
đường dây.
6.7. Cáp cao tần mắc HHPT có các tham số: l =220 m, α=0,25 nepe/km,
Z
S
=550 Ω. Biết công suất tác dụng ở tải là 2 KW. Hãy xác định:
a)Công suất tác dụng của nguồn tín hiệu.
b)Công suất tiêu hao trên cáp.
c) Hệ số hiệu dụng của cáp.
d) Trị số biên độ của dòng, áp ở đầu đường cáp.
6.8. Đường dây dài ở chế độ hình sin xác lập mắc hoà hợp phụ tải, có các tham
số như sau: Z
S
= 450
0
50j
e
−
Ω, α=6,5.10
-4
nepe/km, β=4,5.10
-3
rad/km, l =350

km. Dòng điện ở điểm K cách đầu đường dây 120 km có biểu thức tức thời là:
i
K
(t)=250cos(10
6
t+50
0
)[mA].
Xác định:
a) Biểu thức tức thời của dòng điện và điện áp ở cuối đường dây.
b) Công suất tác dụng của nguồn tín hiệu và công suất tổn hao trên đường dây.
6.9. Đường dây dài ở chế độ hình sin xác lập mắc hoà hợp phụ tải, có các tham
số như sau: Z
S
=500
0
60j
e
Ω, α=0,001nepe/km, β=5.10
-3
rad/km, l=400km. Biết
183
công suất tác dụng ra tải là 10 W, góc pha đầu của dòng điện qua tải là 25
0
. Hãy
xác định:
a) Biểu thức tức thời của dòng điện, điện áp ở đầu đường dây và ở điểm cách
đầu đường dây 150 km.
b) Công suất tác dụng của nguồn tín hiệu và công suất tổn hao trên đường dây.
5.10. Đường dây dài làm việc ở chế độ hình sin xác lập, hở mạch ở cuối đường

dây ; có các tham số như sau: Z
S
= 600
0
50j
e
[Ω], γ=α[nepe/km]+jβ[rad/km]
=(2,5+j12,5).10
-3
, l =450 km. Điện áp ở cuối đường dây có biểu thức
u
l
(t)=10 cos(ωt +25
0
). [V]
a) Tìm biểu thức tức thời của điện áp và dòng điện ở đầu đường dây.
b) Theo bạn khi hở tải thì đường dây có tiêu hao công suất hay không?
6.11. Đường dây dài làm việc ở chế độ hình sin xác lập, hở mạch ở cuối đường
dây, có các tham số như sau: Z
S
= 665
0
50j
e
[Ω], γ =α[nepe]+jβ[rad/km]
=(3,32+j18,1).10
-3
, l =300 km. Điện áp ở đầu đường dây đo được là 1 V. Tìm
giá trị hiệu dụng của điện áp ở cuối đường dây và dòng điện ở đầu đường dây.
6.12. Đường dây dài làm việc ở chế độ hình sin xác lập, ngắn mạch ở cuối đường

dây, có các tham số như sau: Z
S
= 1580
'j
e
2820
0
−
[Ω], γ=α[nepe]+jβ[rad/km]
=(148+j 374).10
- 4
, l =100 km. Điện áp ở đầu đường dây đo được là 1 V. Tìm
giá trị của dòng điện ở đầu và ở cuối đường dây.
6.13. ĐDD mắc tải hoà hợp có các tham số γ=α[nepe/km]+jβ[rad/km]=0,2+j
80π, độ l dài bằng 10 lần bước sóng. Biết dòng qua tải là I
l

=2 A, điện áp tải
U
l
= 1 KV, góc lệch pha giữa điện áp và dòng điện ở tải bằng 0. Xác định công
suất ở đầu đường dây.
6.14. Đường dây dài làm việc ở chế độ hình sin xác lập có các tham số như sau:
Z
S
= 1580
'j
e
2820
0

−
[Ω], γ=α[nepe]+jβ[rad/km]=(148+j 374).10
- 4
, l =100 km.
Nguồn tác động có nội trở
Z
ng
= 500
0
25j
e
[Ω](hình
6.6); tải có trị số Z
t
=Z
ng
.
Biết điện áp tải có trị số
U
l
=0,18 V. Hãy xác định:
a) Giá trị tức thời dòng điện ở cuối đường dây.
184
a) Giá trị tức thời dòng điện và điện áp ở đầu đường dây.
c) Sđđ tức thời của nguồn.

6.15. Một ĐDD có các tham số như sau: r
0
=3 Ω/km, C
0

=6.nF, g
0
=0,5.10
-6
Ω/km.
Tìm giá trị của điện cảm phân bố L
0
để tín hiệu truyền qua đường dây không bị
méo.
6.16. Một đường dây không tổn hao hở mạch ở cuối, công tác ở tần số
ω=5.10
4
rad/S, có điện áp hiệu dụng ở đầu đường dây là 10 V. Các tham số
của đường dây: l = 60 km, L
0
=0,24.10
-2
H/km, C
0
=0,67.10
-8
F/km.
a) Xác định điện áp ở cuối và dòng điện ở đầu đường dây.
b) Tính các bụng sóng và vẽ đồ thị phân bố biên độ điện áp và dòng điện dọc
theo đường dây.
6.17. Đường dây không tổn hao ngắn mạch ở cuối, công tác ở tần số
ω=5000 rad/s, có các tham số như sau: l = 60 km, L
0
=0,24.10
-2

H/km,
V
ph
=2,5.10
5
km/ S. Hãy xác định dòng điện tại điểm đầu và điểm cuối đường dây
khi điện áp ở đầu đường dây U
0
=10 V.
6.18. Một ĐDD có tham số L
0
=5,63.10
-6
H/km, C
0
= 10
-11
F/km. Người ta mắc
song song với đường dây đó một đường dây đỡ có tổn hao vô cùng nhỏ ngắn
mạch ở cuối.
a) ở tần số nào thì đường dây đỡ hoàn toàn không ảnh hưởng đến quá tình truyền
tín hiệu trên đường dây chính.
b) ở tần số nào thì đường dây đỡ làm ngưng trệ hoàn toàn quá trình truyền tín
hiệu trên đường dây chính.
6.19. Hãy xác định tổng trở đầu vào của đường dây không tổn hao ngắn mạch ở
cuối, có
l
=35 m, λ=50 m, ρ
S
=505Ω.

6.20. Cho một ĐDD không tổn hao làm việc ở tần số 100 Mhz, tốc độ truyền
sóng là 5,899.10
8
m/S có ρ
S
=500 Ω, hở mạch ở cuối. Xác định biên độ dòng điện
ở điểm cách cuối đường dây 1m nếu điện áp ở cuối đường dây đo được là 10 V.
185