Chương 2. Ma trận – Định thức potx

Chương 2. Ma trận – Định thức
Chương 2: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Bài 1: Khái niệm ma trận và các phép toán trên ma trận
______________________________________________________
1. Ma trận:
1.1 Định nghĩa:
Ma trận m dòng, n cột trên trường số K (
,¡ £
) là một bảng số hình chữ nhật gồm m dòng, n
cột, mỗi số trong ma trận thuộc trường và được gọi là một phần tử của ma trận.
Ta ký hiệu tập các ma trận là M(m, n; K) và mỗi ma trận thuộc M(m, n; K) được viết chi
tiết là:
11 12 1
21 22 2
1 2



n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
 
 
 
 
 
 
M M O M

hoặc
11 12 1
21 22 2
1 2



n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
M M O M
Hay viết gọn là
( )
ij m n
A a
×
=
hoặc
[ ]
ij m n
A a

×
=
trong đó
1,i m=
chỉ số dòng và
1,j n=
chỉ số
cột của phần tử.
Hai ma trận
( )
ij m n
A a
×
=
và
( )
ij m n
B b
×
=
được gọi là bằng nhau nếu
ij ij
a b=
với mọi
1,i m=
và
1,j n=
.
Ví dụ: Ma trận
2x3

3 3
1 2 3
1 2 3
; 4 5 6
4 5 6
7 8 9
x
A B
 
 
 
= =
 
 
 
 
 
1.2 Một số dạng ma trận đặc biệt:
1.2.1 Ma trận vuông:
Trong trường hợp số dòng và số cột của hai ma trận bằng nhau thì ta có khái niệm ma trận
vuông. Ký hiệu tập các ma trận vuông là M(n; K), với n là cấp của ma trận vuông.
A=
11 12 1
21 22 2
1 2



n
n

n n nn
a a a
a a a
a a a
 
 
 
 
 
 
M M O M
Trong ma trận vuông các phần tử
11 22
, , ,
nn
a a a
là các phần tử nằm trên đường chéo chính,
các phần tử
1 ( 1)2 1
, , ,
n n n
a a a
−
là các phần tử nằm trên đường chéo phụ.
Ví dụ:
1 2
3 4
A
 
=

 
 
là ma trận vuông cấp hai và
1 2 3
4 5 7
7 8 9
B
 
 
=
 
 
 
là một ma trận vuông cấp 3.
Phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận A là 1; 4. Phần tử nằm trên đường chó
chính của ma trận B là 1, 5, 9.
Đại số tuyến tính 1
23
Chương 2. Ma trận – Định thức
1.2.2 Ma trận dòng, ma trận cột:
Nếu m = 1 thì ma trận chỉ có một dòng, được gọi là ma trận dòng. Tương tự, nếu n = 1 thì ta
có ma trận chỉ có một cột, được gọi là ma trận cột. Ma trận dòng và ma trận cột thường được
gọi là vectơ dòng và vectơ cột.
Một số thuộc trường K được gọi là ma trận một dòng, một cột.
Ví dụ:
Ma trận dòng:
[ ]
1 2 3 4A =
và ma trận cột
1

5
7
B
 
 
=
 
 
 
1.2.3 Ma trận không
Ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0 được gọi là ma trận không. Ta dùng số 0 để biểu
thị cho mọi ma trận không cấp m x n.
Ví dụ:
Ma trận 0 cấp 2x3:
0 0 0
0 0 0
 
 
 
1.2.4 Ma trận chéo
Ma trận vuông có các phần tử ngoài đường chéo chính đều bằng 0 và các phần tử trên
đường chéo chính khác không được gọi là ma trận chéo (hay ma trận đường chéo). Ma trận
chéo cấp n có dạng
A=
11
22
0 0
0 0
0 0
nn

a
a
a
 
 
 
 
 
 
M M O M

( )
0, :1,
ii
a i n≠ ∀
Ví dụ:
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 4
C
 
 
−
 
=
 
 
 
Nhận xét: Ma trận đường chéo thường được ký hiệu bởi

1 2
diag( , , , )
n
a a a
với các phần tử trên
đường chéo chính là
1 2
, , ,
n
a a a
1.2.5 Ma trận đơn vị:
Ma trận chéo cấp n, có tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1, được gọi là ma
trận đơn vị, ký hiệu
n
I
1.2.6 Ma trận tam giác
Ma trận có các phần tử ở trên (hoặc dưới) đường chéo chính bằng 0 được gọi là ma trận
tam giác
Đại số tuyến tính 1
24
Chương 2. Ma trận – Định thức
A =
11 12 1
22 2

0
0 0
n
n
nn

a a a
a a
a
 
 
 
 
 
 
M M O M
Trong đó
0
ij
a =
khi i> j được gọi là ma trận tam giác trên.
Ví dụ:
1 2 3 4
0 4 3 2
0 0 1 2
0 0 0 5
A
 
 
 
=
 
 
 
là ma trận tam giác trên
B =

11
21 22
1 2
0 0
0

n n nn
b
b b
b b b
 
 
 
 
 
 
M M O M
Trong đó
0
ij
b =
khi i < j được gọi là ma trận tam giác dưới.
Ví dụ:
3 0 0
1 2 0
0 1 1
B
 
 
=

 
 
 
là ma trận tam giác dưới.
Nhận xét: Ma trận tam giác trên và ma trận tam giác dưới được gọi chung là ma trận tam
giác.
1.2.7 Ma trận chuyển vị
a) Định nghĩa:
Cho ma trận A, ma trận chuyển vị của ma trận A, ký hiệu
T
A
là ma trận mà trong đó, vai trò
của dòng và cột hoán chuyển cho nhau nhưng vẫn giữ nguyên chỉ số của chúng.
Giả sử ta có ma trận A=
11 12 1
21 22 2
1 2



n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
 
 
 
 

 
 
M M O M
thì khi đó ma trận chuyển vị của ma trận A là
11 21 1
12 22 2
1 2



m
m
T
n n mn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
=
 
 
 
M M O M
Nếu ma trận A có cấp là m x n thì ma trận
T
A
có cấp là n x m.

Trường hợp đặc biệt chuyển vị của ma trận cột là ma trận dòng và ngược lại chuyển vị của
ma trận dòng là ma trận cột.
Ví dụ:
Ma trận
1 2 3 4
5 6 7 8
9 1 2 3
A
 
 
=
 
 
 
thì ma trận chuyển vị của ma trận A là
1 5 9
2 6 1
3 7 2
4 8 3
T
A
 
 
 
=
 
 
 
Đại số tuyến tính 1
25

Chương 2. Ma trận – Định thức
b) Định lý: Cho các ma trận
x
, ( )
m n
A B M K∈
. Khi đó ta có các khẳng định sau:
( )
T
T
A A
=
.
T T
A B A B= ⇔ =
1.2.8 Ma trận đối xứng – Ma trận phản đối xứng:
Nếu ma trận vuông A thỏa
T
A A
=
thì ta nói A là ma trận đối xứng.
Ví dụ: Ma trận
1 2 3
2 1 0
3 0 1
A
 
 
=
 

 
 
là một ma trận đối xứng cấp3.
Ma trận
1 2 3 4
2 0 1 2
3 1 1 0
4 2 0 3
A
 
 
−
 
=
 
− −
 
 
là ma trận đối xứng cấp 4.
Nếu ma trận vuông A thỏa
T
A A= −
thì A ma trận phản đối xứng.
Ví dụ:
Ma trận
0 2 3 4
2 0 5 1
3 5 0 3
4 1 3 0
B

−
 
 
− −
 
=
 
−
 
−
 
là ma trận phản đối xứng.
Định lý: Nếu A là ma trận đối xứng thì
, , 1,
ij ji
a a i j n= ∀ =
Nếu A là ma trận phản xứng thì
, , 1,
ij ji
a a i j n
= − ∀ =
, từ đây suy ra
0
ii
a =
(các phần tử trên
đường chéo chính bằng 0).
1.2.9 Ma trận bậc thang:
Nếu một ma trận trên K có các dòng khác 0 nằm bên trên các dòng 0, đồng thời trên hai
dòng khác 0, ta có các phần tử khác 0 đầu tiên của dòng dưới nằm bên phải phần tử khác 0 đầu

tiên của dòng trên thì ma trận đó được gọi là ma trận bậc thang trên K.
Ví dụ: Ma trận
0 3 12 1 7 0
0 0 1 2 3 4
0 0 0 0 4 5
0 0 0 0 0 0
B
−
 
 
 
=
 
 
 
là ma trận bậc thang có ba dòng khác 0.
1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận: bao gồm các phép biến đổi sau
i. Đổi chổ hai dòng i và dòng j của ma trận cho nhau.
ii. Nhân dòng thứ i với một số khác không.
iii. Cộng dòng thứ i với dòng thứ j nhân với một số
λ
với
i j≠
.
Nếu thay từ dòng bằng từ cột ta có các phép biến đổi sơ cấp trên cột.
Ma trận B được gọi là tương đương dòng với ma trận A nếu có một số hữu hạn phép biến
đổi sơ cấp dòng biến ma trận A thành ma trận B.
Nhận xét:
- Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng, cột được gọi chung là các phép biến đổi sơ cấp.
Đại số tuyến tính 1

26
Chương 2. Ma trận – Định thức
- Quan hệ tương đương dòng là một quan hệ tương đương với các tính chất phản xạ; đối
xứng; bắc cầu.
- Một ma trận vuông cấp n trên K nhận được từ ma trận đơn vị
n
I
qua duy nhất một phép
biến đổi sơ cấp được gọi là ma trận sơ cấp.
Ví dụ:
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
 
=
 
 
 
thì có các ma trận sơ cấp nhận được từ
3
I
qua các phép biến đổi sơ cấp là:
1
0 0 1
0 1 0
1 0 0
S

 
 
=
 
 
 
với
1 4
3 1
d d
I S
↔
→
2
1 0 0
0 1 0
0 0 4
S
 
 
=
 
 
 
với
3 3
4
3 2
d d
I S

→
→
3
1 0 2
0 1 0
0 0 1
S
 
 
=
 
 
 
với
1 1 4
2
3 3
d d d
I S
→ +
→
2. Các phép toán trên ma trận
2.1 Phép cộng các ma trận
2.1.1 Định nghĩa: Tổng của hai ma trận
( )
ij m n
A a
×
=
và

( )
ij m n
B b
×
=
là một ma trận
( )
ij m n
C c
×
=
với
ij ij ij
c a b= +
. Tổng hai ma trận được ký hiệu C = A+B.
11 12 1 11 12 1 11 11 12 12 1 1
21 22 2 21 22 2 21 21 22 22 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2



n n n n
n n n n
m m mn m m mn m m m m mn mn
a a a b b b a b a b a b
a a a b b b a b a b a b
a a a b b b a b a b a b
+ + +
     
     

+ + +
     
+ =
     
     
+ + +
     
M M O M M M O M M M O M
2.1.2 Ví dụ:
1 2 3
2 1 4
A
−
 
=
 
−
 
và
0 2 1
1 3 4
B
 
=
 
−
 
. Khi đó,
1 0 4
3 2 0

A B
 
+ =
 
 
2.2 Phép nhân ma trận với một số:
2.2.1 Định nghĩa: Tích của ma trận
( )
ij m n
A a
×
=
với số
λ
thu được bằng cách nhân các phần
tử của ma trận A với số
λ
, ký hiệu
A
λ
. Ta có,
( )
ij m n
A a
λ λ
×
=
2.2.2 Ví dụ:
4 2 3 8 4 6
2

7 3 2 14 6 4
− − −
   
− =
   
− − −
   
Với A và B là hai ma trận cấp m x n, ta ký hiệu A + (-1)B = A – B, gọi là phép trừ của hai ma
trận.
Đại số tuyến tính 1
27
Chương 2. Ma trận – Định thức
2 3 5
4 2 1
A
−
 
=
 
 
và
2 1 3
3 5 2
B
−
 
=
 
−
 

thì
0 4 8
1 3 3
A B
−
 
− =
 
−
 
2.2.3 Định lý: Với
x
, , ( )
m n
A B C M K
∈
và
, K
λ µ
∈
ta có:
a) A + B = B + A
b) (A + B) + C = A + (B + C)
c) 0 + A = A + 0 = A
d) A + (-A ) = (-A) + A = 0
e)
( )
T
T T
A B A B+ = +

f)
( )A B A B
λ λ λ
+ = +
g)
( )A A A
λ µ λ µ
+ = +

2.3 Phép nhân hai ma trận:
2.3.1 Định nghĩa:
Cho hai ma trận
( )
ij m r
A a
×
=
và
( )
ij r n
B b
×
=
, khi đó tích của hai ma trận A và B, ký hiệu là AB
là một ma trận
( )
ij m n
C c
×
=

với các phần tử
ij
c
là tổng của các tích các phần tử tương ứng dòng i
của ma trận A với cột j của ma trận B.
Tức là
1 1 2 2
1

r
ij i j i j ir rj ik kj
k
c a b a b a b a b
=
= + + + =
∑
11 12 1
11 12 1
21 22 2 11 12 1
21 22 2
21 22 2
1 2
1 2
1 2
1
1
2
2

.




r
n
r n
n
n
r r rn
m m mn
m m m
ij
j
j
i
rj
ir
r
i
a a a
b b b
a a a c c c
b b
b
b b

c c c
b b b
c c c
a a
ca
a
b
a a
 
 
 

 
 

 
 

=
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 

M M M
M M M M M M
M M M
M M M M



 
 

Chú ý:
Tích của ma trận A và ma trận B chỉ được xác định khi số dòng của ma trận B bằng đúng số
cột của ma trận A. Tức là nếu A là ma trận cấp m x p và B là ma trận cấp p x n thì AB là ma
trận cấp m x n. Do đó, với A và B là hai ma trận bất kỳ thì nếu có tích của AB, ta cũng không
hẳn suy ra được tích của hai ma trận BA, nói cách khác, tích của hai ma trận không giao hoán.
Ngoài ra, có những ma trận khác 0 nhưng tích của chúng lại là ma trận 0.
2.3.2 Ví dụ:
a) Giả sử
1 2
1 3
A
 
=
 
−
 
và
2 1
0 1
B

 
=
 
 
khi đó;
2 3
2 2
AB
 
=
 
−
 
và
1 7
1 3
BA
 
=
 
−
 
. Vậy
AB BA≠
Đại số tuyến tính 1
28
2 5
4 3
2 1
B

−
 
 
= −
 
 
 
Chương 2. Ma trận – Định thức
b) Với
1 0 0 0
;
0 0 1 0
C D
   
= =
   
   
ta có
0 0
0 0
CD
 
=
 
 
mặc dù
0; 0C D≠ ≠
.
Nếu tồn tại hai ma trận A, B thỏa AB = BA thì ta nói ma trận A và ma trận B có thể hoán vị
với nhau. Ma trận đơn vị có thể hoán vị với mọi ma trận cùng cấp.

c) Cho
1 2 1
3 1 4
A
−
 
=
 
 
và
thì
1.( 2) 2.4 ( 1).2 1.5 2.( 3) ( 1).1 4 2
3.( 2) 1.4 4.2 3.5 1.( 3) 4.1 6 16
AB
− + + − + − + − −
   
= =
   
− + + + − +
   
d) Cho
1 3
2 1 1
x
A
 
=
 
−
 

và
2
4B
y
 
 
=
 
 
 
. Nếu
12
6
AB
 
=
 
 
hãy tìm x và y
Giải:
Ta có
2
1 3 2 4 3 12
4
2 1 1 6
x x y
AB
y
y
 

+ +
     
 
= = =
     
 
−
     
 
 
Suy ra y = 6 và x = -2. ■
2.3.4 Định lý:
Cho
x
, ' ( )
m n
A A M K∈
và
x
, ' ( )
n p
B B M K∈
và
x
( )
p q
C M K∈
và
K
α

∀ ∈
thì:
( )
x x
x x
0 0 ;
0 0 ;
( ') ';
;
( ) ( ) ( ),
n p m p
r m r n
T
T T
A
A
A B B AB AB
AB B A
AB A B A B K
α α α α
=
=
± = ±
=
= = ∀ ∈
2.3.5 Định lý: Với
1 2
diag( , , , )
n
A a a a=

và
1 2
diag( , , , )
n
B b b b=
thì
1 1 2 2 1 1
1 1 2 2 1 1
diag( , , , )
diag( , , , )
A B a b a b a b
AB a b a b a b
± = ± ± ±
=
2.3.6 Nhận xét:
Cho các ma trận
1 2
, , ,
n
A A A
là các ma trận có số cột của ma trận liền trước bằng số dòng của
ma trận liền sau. Khi đó tích của n ma trận này được định nghĩa theo cách quy nạp sau:
1 2 3 1 2 3
1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3 4 1 1 2 1
( )
( )
( )
n n n n
A A A A A A

A A A A A A A A
A A A A A A A A A A
− −
=
=
=
M
Hơn thế bằng cách chứng minh quy nạp ta có:
Đại số tuyến tính 1
29
Chương 2. Ma trận – Định thức
1 2 1 2 1
( )
T T T T T
n n n
A A A A A A A
−
=
2.4 Lũy thừa ma trận:
2.4.1 Định nghĩa: Cho ma trận A, lũy thừa bậc k của ma trận A là:
lâ
.
k
k n
A A A A
=
1 2 3
.
Cụ thể,
0 1 2 1

; ; . ; , .
k k
n
A I A A A A A A A A
−
= = = =
2.4.2 Ví dụ: Cho
0 1 0
0 0 1
0 0 0
A
 
 
=
 
 
 
thì ta được
2
0 0 1
0 0 0
0 0 0
A
 
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
và

3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
A
 
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
Nhận xét: Có những ma trận khác ma trận không nhưng lũy thừa k lần với
k
∈
¥
sẽ thành
ma trận không.
Một ma trận
( ; )A M n K
∈
thỏa tính chất tồn tại một số
k
∈
¥
, sao cho
0
k
A
=
thì khi đó ma

trận A được gọi là ma trận lũy linh.
Một ma trận
( ; )A M n K
∈
thỏa tính chất
2
0A
=
thì khi đó ma trận A được gọi là ma trận lũy
đẳng.
2.4.3 Tính chất:
Cho
( ; )A M n K
∈
và
,r s
∈
¥
, khi đó:

( )
0 0;
r
=

( )
r
n n
I I=


.
r s r s
A A A
+
=

( )
s
rs r
A A=
2.4.5 Định lý: Giả sử A, B là hai ma trận giao hoán trong M(n;K) (nghĩa là AB = BA) và
k
∈
¥
, khi đó ta có:

( ) .
k k k
AB A B
=
;

1 2 1
( )( )
k k k k k
A B A B A A B B
− − −
− = − + + +
;


( ) .
i
k i i k i
k
k
A B C A B
−
+ =
∑
2.5 Đa thức của ma trận:
Cho f là một đa thức bậc n trên K có dạng
1
1 1 0
( )
n n
n n
f x a x a x a x a
−
−
= + + + +
Giả sử
( ; )A M n K
∈
thì ta gọi
1
1 1 0
( )
n n
n n n
f A a A a A a A a I

−
−
= + + + +
là đa thức của ma trận A.
Ví dụ: Cho
3 2
( ) 3 5f x x x= − +
. Hãy tính f (A) với
1 2 3
2 0
; 5 4 6
0 3
7 1 8
A B
 
 
 
= =
 
 
 
 
 
Ta có
3 2
2
8 0 4 0 1 0 1 0
( ) 3 5 3 5
0 27 0 9 0 1 0 5
f A A A I

       
= − + = − + =
       
       
Đại số tuyến tính 1
30
Chương 2. Ma trận – Định thức
(Sinh viên tự giải f (B )như là bài tập nhỏ).
Bài 2: Định thức - Định nghĩa, các tính chất, cách tính định thức
________________________________________________________________
1. Định nghĩa: Định thức của ma trận A, ký hiệu là detA hay |A| được tính bằng
1 (1) 2 (2) ( )
det sign
n
n n
S
A a a a
π π π
π
π
∈
=
∑
, trong đó
n
S
là tập tất cả các phép thế của tập hợp gồm n số tự
nhiên đầu tiên {1, 2,…, n}.
Nhận xét: Định thức của một ma trận vuông cấp n trên trường K thường được gọi là một định
thức cấp n.

Ví dụ:
Khi n = 2
Ta có nhóm các phép thế
2
1 2 1 2
;
1 2 2 1
S
 
   
=
 
 ÷  ÷
   
 
Suy ra biểu thức tính định thức cấp 2 là:
11 12
11 22 12 21
21 22
a a
a a a a
a a
= −
Khi n = 3
Ta có nhóm các phép thế
3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
; ; ; ; ;
1 2 3 2 1 3 1 3 2 3 2 1 2 3 1 3 1 2
S

 
           
=
 
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
           
 
Suy ra:
11 12 13
21 22 23 11 22 33 12 21 33 23 32 11 13 22 31 12 23 31 13 21 32
31 32 33
11 22 33 12 23 31 13 21 32 12 21 33 23 32 11 13 22 31
a a a
A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
= = − − − + + =
= + + − − −
2. Cách tính định thức bậc 2 và bậc 3:
Theo trên ta có
Cho
11 12
21 22
a a
A
a a
 
=
 ÷
 

ta có định thức của ma trận A là detA hay |A|, được tính bằng
2
1 (1) 2 (2) 11 22 12 21 11 22 12 21
det sign ( 1) .
S
A a a a a a a a a a a
π π
π
π
∈
= = + − = −
∑
Cho
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
 
 
=
 
 
 
khi đó ta có
Đại số tuyến tính 1
31
Chương 2. Ma trận – Định thức
3

1 (1) 2 (2) 3 (3) 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33
det sign .
S
A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
π π π
π
π
∈
= = + + − − −
∑
Công thức trên thường được nhớ theo quy tắc Sarrus như sau: Ta viết them cột thứ nhất và
thứ hai vào bên phải định thức ta được
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 31
a a a a a
a a a a a
a a a a a
Thì tích các phần tử trên ba đường chấm chấm sẽ có dấu như sau
Ví dụ:
1 2 3
2 1 3 1.1.2 2.1.3 2.3.3 3.1.3 3.1.1 2.2.2 6
3 1 2
= + + − − − =
2 1
2.3 2 4
2 3
= − =
3. Các tính chất
3.1 Tính chất 1: Định thức không đổi qua phép chuyển vị, tức là

det det .
T
A A
=
Chú ý: Từ tính chất này thì một mệnh đề về định thức nếu đúng với dòng thì cũng đúng với
cột và ngược lại.
Ví dụ:

2 0 2 1
6
1 3 0 3
= =
3.2 Tính chất 2: Nếu ta đổi chỗ hai dòng
( )i j≠
(hoặc hai cột khác nhau) bất kỳ của định
thức thì định thức đổi dấu.
Ví dụ:
1 3 5 3 1 7
2 7 9 2 7 9
3 1 7 1 3 5
= −
3.3 Tính chất 3: Nếu tất cả các phần tử của một dòng (hoặc một cột) của định thức được
nhân với
λ
thì định thức mới bằng định thức ban đầu nhân với
λ
.
Ví dụ:
1 2 3 1 2 3
4 2 6 2. 2 1 3

9 8 6 9 8 6
=
Nhận xét: Từ tính chất này suy ra nếu A là ma trận vuông cấp n thì
det( ) det( ).
n
A A
λ λ
=
Đại số tuyến tính 1
32
Chương 2. Ma trận – Định thức
3.4 Tính chất 4: Cho A là ma trận vuông cấp n. Giả sử dòng thứ i của ma trận A có thể biểu
diễn dưới dạng
' ''
ij ij ij
a a a
= +
với j = 1, 2, …,n. Khi đó ta có:
' '' ' '' ' '' ' ' ' '' '' ''
i1 i1 i2 i2 in in i1 i2 in i1 i2 in

det

A a a a a a a a a a a a a= + + + = +
Trong đó các dòng còn lại của 2 định thức ở hai vế là hoàn toàn như nhau và chính là các
dòng còn lại của ma trận A.
Ví dụ:
1 2 3 1 2 3 1 2 3
4 5 6 6 5 4 2 0 2
7 8 9 7 8 9 7 8 9

= + −
Từ tính chất trên, ta cũng có kết quả tương tự đối với cột.
Chú ý: Các tính chất 2, 3, 4 trên chính là tính đa tuyến tính thay phiên của định thức. Từ
các tính chất trên ta có các kết quả sau:
3.5 Tính chất 5: Định thức của ma trận A sẽ bằng 0 nếu thỏa một trong các điều kiện sau:

Có một dòng mà tất cả các phần tử của dòng đó đều bằng 0,
 Có hai dòng bằng nhau hoặc tỉ lệ với nhau,

Có một dòng là tổ hợp tuyến tính của các dòng khác. Tức là tồn tại dòng
i
d
mà
1 1 2 2 1 1 1 1

i i i i i k k
d a d a d a d a d a d
− − + +
= + + + + + + +

với
i
a ∈
K.
3.6 Tính chất 6: Định thức sẽ không thay đổi nếu:
 Nhân một dòng với một số bất kỳ rồi cộng vào dòng.

Cộng vào một dòng một tổ hợp tuyến tính của các dòng khác.
Nhận xét:
- Nếu thay từ dòng bằng từ cột thì các tính chất trên vẫn đúng.

- Đối với các ma trận A có cấp n (với n là một số rất lớn), khi đó việc tính detA bằng định
nghĩa ta sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Do đó, ngoài cách vận dụng các tính chất trên của định
thức, ta còn rất hay sử dụng định lý Laplace sau đây.
4. Định lý Laplace:
4.1 Định thức con và phần bù đại số:
Cho A là ma trận vuông cấp n và k là một số tự nhiên thỏa
1 k n
≤ ≤
. Các phần tử nằm trên
giao của k dòng bất kỳ và k cột bất kỳ của A làm nên một ma trận vuông cấp k của A. Định thức
của ma trận này được gọi là định thức con cấp k của A.
Đặc biệt, khi cho trước
1 ,i j n
≤ ≤
, nếu ta xóa đi dòng i, cột j của ma trận A ta sẽ được ma
trận con cấp n-1 của ma trận A, ký hiệu là
ij
M
. Khi đó,
( 1)
i j
ij ij
A M
+
= −
được gọi là phần bù đại
số của phần tử
ij
a
(với

ij
a
là phần tử nằm ở hàng i và cột j của ma trận A).
Đại số tuyến tính 1
33
Chương 2. Ma trận – Định thức
Ví dụ: Xét ma trận
1 2 3 2
0 2 4 1
1 5 1 4
0 5 2 1
A
 
 
 
=
 
 
 
khi đó. Định thức
2
1 2
2
0 2
D = =
được gọi là định
thức con cấp 2 của A. Ta có
11
2 4 1
5 1 4

5 2 1
M =
khi đó phần bù đại số của phần tử ở dòng 1 và cột 1
của ma trận A là:
1 1
11 11
( 1) | | 51A M
+
= − =
Nhận xét:
Nếu M là định thức con của A tạo bởi các dòng
1 2
, , ,
k
i i i
và
1 2
, , ,
k
j j j
thì phần bù đại số của
M. Ký hiệu là M’ được xác định như sau:
1 2 1

' ( 1) det( )
k k
i i i j j
M K
+ + + + + +
= −

với K là ma trận có được từ ma trận A khi bỏ đi các dòng
1 2
, , ,
k
i i i
và các cột
1 2
, , ,
k
j j j
.
Ví dụ: Đối với ma trận A cho trên, xét
1 2
1 5
M =
là định thức của A tạo bởi dòng 1 và dòng
3; cột 1 và cột 2. Khi đó,
4 1
2 1
K
 
=
 
 
là ma trận có được từ ma trận A sau khi bỏ đi dòng 1,
dòng 3 cột 1 và cột 2. Vậy,
1 1 1 2 3 1 3 2
4 1
' ( 1) 2
2 1

M
+ + + + + + +
= − =
.
4.2 Định lý Laplace: Cho A là ma trận vuông cấp n
11 12 1 1
21 22 2 2
i1 i2
1 2




j n
j n
ij in
n n nj nn
a a a a
a a a a
A
a a a a
a a a a
 
 
 
 
=
 
 
 

 
 
 
M M M M M M
M M M M M M
.
Khi đó
 Nếu khai triển định thức A theo dòng thứ i thì detA được biểu diễn dưới dạng
1 2
i1 i1 i2 i2
1
det ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
n
i i i n i k
in in ik ik
k
A a A a A a A a A
+ + + +
=
= − + − + + − = −
∑

Nếu khai triển định thức A theo cột thứ j thì detA được biểu diễn dưới dạng
1 2
1 1 2 2
1
det ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
n
j j j n j k
j j j j nj nj kj kj

k
A a A a A a A a A
+ + + +
=
= − + − + + − = −
∑
Ví dụ:
Đại số tuyến tính 1
34
Chương 2. Ma trận – Định thức
a) Xét ma trận
1 0 2
2 0 0
3 4 5
0 0 0
a
b
A
c
d
=
Nhận thấy dòng 4 có nhiều số 0, nên khai triển định thức theo dòng 4 ta có:
4 1
0 2
( 1) 0 0
4 5
a
A d b
c
+

= −
.
Tiếp tục khai triển theo dòng thứ 3 của định thức
0 2 1
0 0
4 5
b
c
ta có:
2
. . ( )
0
a
A d c dc ab abcd
b
= − = − − =
b) Xét ma trận
0 3 0 5
2 3 1 1
1 1 3 0
0 4 0 5
B =
Khai triển theo dòng 1 có
1 2 1 4
2 1 1 2 3 1
( 1) 3 1 3 0 ( 1) 5 1 1 3
0 0 5 0 4 0
B
+ +
= − + −

Khai triển theo dòng cuối của 2 định thức trên có:
1 2 3 3 1 4 2 3
2 1 2 1
( 1) .3.5.( 1) ( 1) 4.( 1) .5 25
1 3 1 3
B
+ + + +
= − − + − − =
4.3 Định lý Laplace (tổng quát):
Cho
( )
n
A M K∈
, chọn trong A các dòng
1 2

k
i i i< < <
. Khi đó,
1 2

det( ) '
k
j j j
A MM
< < <
=
∑
, với M là
các định thức con cấp k của A sinh bởi các dòng

1 2
, , ,
k
i i i
và các cột
1 2
, , ,
k
j j j
và M’ là phần
bù đại số của M.
Ví dụ:
Tính
0 3 0 5
2 3 1 1
1 1 3 0
0 4 0 5
A =
Chọn M là ma trận vuông cấp 2 tạo bởi các phần tử trên dòng 1 và dòng 4. Khi đó,
Đại số tuyến tính 1
35
Chương 2. Ma trận – Định thức
1 4 2 4 1 4 1 2 1 4 2 4
1 4 1 3 1 4 1 4 1 4 4 1
3 5 2 1 0 3 1 1 3 0 2 1
( 1) . ( 1) . ( 1) .
4 5 1 3 0 4 3 0 4 0 1 0
0 0 3 1 0 5 2 1 0 5 2 3
( 1) . ( 1) . ( 1) .
0 0 1 3 0 5 1 3 0 5 1 1

( 1)( 5)5 25
A
+ + + + + + + + +
+ + + + + + + + +
= − + − + −
+ − + − + −
= − − =
Ta chọn ma trận con dựa trên dòng 1 và 3, cột 1 và cột 3.
Áp dụng định lý Laplace ta có
1 3 1 3
2 8 9
1 1
det ( 1) 1 1 0 252
3 1
7 2 3
A
+ + +
= − =
−
Từ định lý Laplace ta có thể chứng minh được hai tính chất quan trọng sau của định thức
4.3 Tính chất 1: Nếu A là ma trận tam giác trên (ma trận tam giác dưới) thì định thức của
ma trận A bằng tích của tất cả các phần tử trên đường chéo chính (đường chéo phụ). Tức là nếu
11 12 1
22 2

0
0 0
n
n
nn

a a a
a a
A
a
 
 
 
=
 
 
 
M M O M
và
1
2( 1) 2
1
0 0
0 0

n
n n
n nn
b
b b
B
b b
−
 
 
 

=
 
 
 
M N M M
Khi đó:
11 22
det .
nn
A a a a
=
và
1 2( 1) 1
det .
n n n
B b b b
−
=
.
4.4 Tính chất 2: Nếu A và B là các ma trận vuông cấp n thì det(A.B) = detA . det B.
4.5 Nhận xét:
Nhờ có định lý Laplace, để tính một định thức cấp cao (n > 3) ta có thể khai triển định thức
theo một dòng và một cột bất kỳ để đưa về tính các định thức cấp bé hơn. Cứ như vậy, sau một
số lần ta sẽ đưa việc tính định thức cấp cao về dạng tính định thức cấp 2, 3. Tuy nhiên, trên
thực tế thì nếu làm như vậy thì số lượng phép tính sẽ khá lớn. Bởi vậy, ta thực hiện theo các
bước sau sẽ làm giảm đi số phép tính cần thực hiện:

Bước 1: Chọn dòng hoặc cột có nhiều số 0 nhất để khai triển định thức theo dòng (cột)
đó.


Bước 2: Sử dụng tính chất 6 để đưa định thức về dạng có dòng (cột) đã chọn thành dòng
(cột) chỉ có một số khác 0.

Bước 3: Khai triển định thức theo dòng (cột) đó. Khi đó, việc tính một định thức cấp n
quy về việc tính định thức cấp n-1. Tiếp tục lặp lại các bước 1, 2 cho định thức cấp n-1, cuối
cùng ta sẽ dẫn về việc tính định thức cấp 2, 3.
4.6 Các ví dụ:
1) Tính detA với
Đại số tuyến tính 1
36
Chương 2. Ma trận – Định thức
1 0 1 1 2
0 1 1 2 1
1 2 1 0 1
1 0 1 0 2
1 1 1 1 1
A
−
 
 
−
 
 
=
 
−
 
 
−
 

Giải:
Ta chọn cột 2 để khai triển. Tuy nhiên, trước hết ta nhân dòng 2 với -2 rồi cộng vào dòng 3
và nhân dòng 2 với -1 rồi cộng vào dòng 5. Khi đó

1 0 1 1 2
0 1 1 2 1
1 0 1 4 3
1 0 1 0 2
1 0 0 1 2
−
−
− −
−
− −
.
Khai triển theo cột 2 ta được

1 1 1 2
1 1 4 3
1 1 0 2
1 0 1 2
−
− −
−
− −
Tiếp theo ta thực hiện các bước sau trên định thức cấp 4. Ta nhân cột 1 với (-1) với cột 3,
sau đó nhân cột 1 với 2 rồi cộng vào cột 4. Định thức trên sẽ trở thành:
1 1 2 4
1 1 5 5
1 1 1 0

1 0 0 0
−
− −
−
−

Tiếp theo ta khai triển theo dòng 4 thì được định thức
5
1 2 4
( 1)( 1) 1 5 5 1
1 1 0
−
− − − − =
■
2) Giải phương trình
2
5 100
1 1 2
0 0 1 0
0
1 2
0 0 1
x x x
x
x x x
x x
− +
−
=
−

+
Giải:
Ta khai triển vế trái theo dòng 2 ta được
5 2
100
1 2
( 1) ( 1) 1 2
0 0
x x
VT x x x
x
+
= − − −
Ta tiếp tục khai triển theo dòng 3 ta được

Đại số tuyến tính 1
37
Chương 2. Ma trận – Định thức
2 100 2 2 100
1
(1 ) (1 )
1
x
VT x x x x
x
= − = −
Vậy phương trình đã cho tương đương với

2 2 100
(1 ) 0 1, 0x x x x− = ⇔ = ± =

■

4.7 Nhận xét: Trong thực tế ta thường sử dụng các phép biến đổi tương đương trên dòng
(cột) để đưa ma trận A về dạng tam giác trên (hoặc tam giác dưới), sau đó áp dụng công thức
Laplace để tính det A.
5. Các phương pháp tính định thức cấp n:
Đối với các định thức có cấp n khá lớn (n>3), thì người ta thường không sử dụng định nghĩa
để tính định thức đó mà sử dụng một trong các phương pháp sau:
5.1 Phương pháp biến đổi định thức về dạng tam giác:
Sử dụng các phép biến đổi tương đương trên dòng (cột) của ma trận và sử dụng các tính
chất của định thức để biến đổi ma trận của định thức về dạng tam giác. Định thức sau cùng sẽ
bằng tích các phần tử trên đường chéo chính.
Ví dụ: Tính định thức cấp n với
( 2)n
≥
sau đây
1 2 2 2
2 2 2 2
2 2 3 2

2 2 2 n
Giải:
Ta nhân dòng 2 với (-1) rồi cộng vào các dòng 3, 4, …, n. Ta sẽ được định thức sau:
1 2 2 2
2 2 2 2
0 0 1 0

0 0 0 ( 2)n −
Ta nhân dòng 1 với (-2) rồi cộng vào dòng 2. Ta được định thức sau:
1 2 2 2

0 2 2 2
( 2)( 2)!
0 0 1 0

0 0 0 ( 2)
n
n
− − −
= − −
−
■
Ví dụ 2: Tính định thức sau:
Đại số tuyến tính 1
38
Chương 2. Ma trận – Định thức





a b b b
b a b b
b b a b
b b b a
Giải:
Ta cộng tất cả các cột còn lại vào cột 1. Ta được định thức sau:
( 1)
( 1)
( 1)

( 1)
a n b b b b
a n b a b b
a n b b a b
a n b b b a
+ −
+ −
+ −
+ −
Ta nhân dòng (1) với (-1) rồi cộng vào các dòng còn lại, ta được định thức sau:
1
( 1)
0 0 0
( ( 1) )( )
0 0 0

0 0 0
n
a n b b b b
a b
a n b a b
a b
a b
−
+ −
−
= + − −
−
−
■

5.2 Phương pháp quy nạp:
Áp dụng các tính chất của định thức, ta biến đổi, khai triển định thức theo dòng, hoặc theo
cột để biểu diễn định thức cần tính qua các định thức có cấp bé hơn nhưng có cùng dạng. Từ đó
ta sẽ nhận được công thức truy hồi.
Sử dụng công thức truy hồi và tính trực tiếp các định thức cùng dạng cấp 1, cấp 2 để suy ra
định thức cần tính.
Ví dụ: Tính định thức sau
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
1
1

1
n
n
n
n n n n
a b a b a b
a b a b a b
D
a b a b a b
+
+
=
+
Giải
Ta tách định thức theo cột thứ n, ta được
Đại số tuyến tính 1
39

Chương 2. Ma trận – Định thức
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
2 1 2 1
1 0 1
0

1 0 1
1
1 0

n n n
n n n
n
n n n n n n n n
n n n n n n n n
n
n
a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b
D
a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b
a b a b
a b a b
− −
− −

− − − − − − −
− −
−
−
+ +
= +
+ +
+
=
1 1 1 1 1
2 1 2 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1
0

1 0 1
1
n
n
n
n n n n n n n
n n n n n n n
a b a b a
a b a b a
b
a b a b a b a b a
a b a b a b a b a
−
−

− − − − − − −
− −
+
+
+ +
Ta khai triển định thức đầu theo cột thứ n ta được định thức đầu bằng
1n
D
−
.
Nhân cột thứ n của định thức thứ 2 với
( )
i
b−
rồi cộng vào các cột thứ i với i tương ứng nhận
các giá trị từ 1, 2, …., n-1. Ta có
1
2
1 1
1
1 0 0
0 1 0

0 0 1
0 0 0
n n n n n n
n
n
a
a

D D b D b a
a
a
− −
−
= + = +

Từ đó ta có công thức truy hồi
1n n n n
D D b a
−
= +
. Suy ra,
1 2 1 1 1 2 2 1 1
( )
n n n n n n n n n n n n n
D D b a D b a b a D b a b a b a
− − − − − −
= + = + + = = + + + +
Mặt khác,
1 1 1
1D b a= +
. Do đó,
1 1 2 2
1
n n n
D b a b a b a= + + + +
■
Ví dụ 2: Cho
, ,a b a b

∈ ≠
¡
. Hãy tính định thức sau
0 0 0
1 0 0

0 0 0
0 0 0 0
n
a b ab
a b ab
D
a b ab
a b
+
+
=
+
+
Giải:
Khai triển định thức theo dòng đầu ta được
1
1 0 0 0
0 0 0
( )

0 0 0
0 0 0 0
n n
ab

a b ab
D a b D ab
a b ab
a b
−
+
= + −
+
+
Tiếp tục khai triển định thức sau theo cột 1 ta có
1 2
( )
n n n
D a b D abD
− −
= + −
với
3n
≥
. Suy ra,
1 1 2
( )
n n n n
D aD b D aD
− − −
− = −
(1)
Đại số tuyến tính 1
40
Chương 2. Ma trận – Định thức

và
1 1 2
( )
n n n n
D bD a D bD
− − −
− = −
(2) với
3n
≥
Áp dụng công thức truy hồi trên ta suy ra được
Từ (1)
2 2
1 1 2 2 3 2 1
( ) ( ) ( )
n n
n n n n n n
D aD b D aD b D aD b D aD b
−
− − − − −
− = − = − = = − =
Từ (2)
2 2
1 1 2 2 3 2 1
( ) ( ) ( )
n n
n n n n n n
D bD a D bD a D bD a D bD a
−
− − − − −

− = − = − = = − =
Với
2 2
2
D a b ab
= + +
và
1
D a b= +
Suy ra,
1 1n n
n
a b
D
a b
+ +
−
=
−
■
5.3 Phương pháp biểu diễn định thức thành tổng các định thức
Nhiều định thức cấp n có thể tính được bằng cách tách định thức theo các dòng (hoặc theo
các cột) thành tổng các định thức cùng cấp. Các định thức mới này thường bằng 0 hoặc tính
được dễ dàng.
Ví dụ: Tính định thức
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
1
1

1
n
n
n
n n n n
a b a b a b
a b a b a b
D
a b a b a b
+
+
=
+
Giải:
Ở mỗi cột của D
n
được viết thành tổng của hai cột mà ta ký hiệu là cột loại 1 và cột loại 2
như sau:
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
1 0 0
0 1 0

0 0 1
n
n
n
n n n n

a b a b a b
a b a b a b
D
a b a b a b
+ + +
+ + +
=
+ + +
(2) (1) (2) (1) (2)
Ta lần lượt tách các cột của định thức, sau n lần tách ta có
n
D
là tổng của
2
n
định thức cấp n.
Cột thứ i của định thức này chính là cột loại 1 hoặc loại 2 của cột thứ i của định thức
n
D
. Ta
chia
2
n
định thức thành 3 dạng như sau:
Dạng 1: Bao gồm các định thức có từ 2 cột loại 2 trở lên, do các cột loại 2 tỉ lệ nên tất cả
các định thức dạng này đều bằng 0.
Dạng 2: Bao gồm các định thức có đúng 1 cột loại 2 còn các cột khác là cột loại 1. Giả sử
cột thứ i của định thức này là cột loại 2. Khi đó ta có định thức dạng này
1
2

,
1 0 0
0 1 0

0 0 1
i
i
n i
n i
a b
a b
D
a b
=
cột (i)
Khai triển Laplace theo cột thứ i ta có
,n i i i
D a b=
.
Đại số tuyến tính 1
41
Chương 2. Ma trận – Định thức
Vì có tất cả n định thức dạng 2 nên tổng các định thức dạng 2 là
1
n
i i
i
a b
=
∑

Dạng 3: Không có cột loại 2 nào, tức là tất cả các cột của định thức là loại 1 nên định thức
ở dạng này là
1 0 0
0 1 0
1

0 0 1
=
Vậy
1
1
n
n i i
i
D a b
=
= +
∑
■
5.4 Phương pháp biểu diễn định thức thành tích các định thức:
Giả sử cần tính định thức D cấp n. Ta sẽ biểu diễn ma trận tương ứng A của D thành tích các
ma trận vuông cấp n đơn giản hơn: A = B.C. Khi đó, ta có D = detA = det(B.C)=detB. det C.
Tìm được detB và detC ta sẽ tính được D.
Ví dụ: Tính định thức cấp n,
2n
≥
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
1 1 1

1 1 1

1 1 1
n
n
n n n n
x y x y x y
x y x y x y
D
x y x y x y
+ + +
+ + +
=
+ + +
Giải
Với
2n
≥
ta có
1
1 1 1 2 1
2
1 2 3
2 1 2 2 2
1
1 2
1 0 0
1 1 1 1
1 1 1
1 0 0

1 1 1

0 0 0 0

1 0 0

1 1 1
1 0 0
0 0 0
n
n
n
n
n n n n
n
x
x y x y x y
x
y y y y
x y x y x y
A
x
x y x y x y
x
−
 
+ + +
 
 

 
 
+ + +
 
 
= =
 
 
 
 
+ + +
 
 
 
. 0
 
 
 
 
 
 
 
 
B C
Do đó
2 1 2 1
0 , 2
det det .det
( )( ), 2
n

A B C
x x y y n
>

= =

− − =

Ví dụ: Tính định thức cấp n
2n
≥
1 1 2 1
2 1 2 2
1 2
sin(2 ) sin( ) sin( )
sin( ) sin(2 ) sin( )

sin( ) sin( ) sin(2 )
n
n
n n n
D
α α α α α
α α α α α
α α α α α
+ +
+ +
=
+ +
Giải:

Đại số tuyến tính 1
42
Chương 2. Ma trận – Định thức
Ta có
1 1 2 1
2 1 2 2
1 2
1 1
2 2
3 3
sin(2 ) sin( ) sin( )
sin( ) sin(2 ) sin( )

sin( ) sin( ) sin(2 )
sin cos 0 0
sin cos 0 0
sin cos 0 0

sin cos 0 0
n
n
n n n
n n
A
α α α α α
α α α α α
α α α α α
α α
α α
α α

α α
+ +
 
 
+ +
 
=
 
 
+ +
 




=

1 2 3
2 2 3
cos cos cos cos
sin sin sin sin
.
0 0 0 0

0 0 0 0
n
n
α α α α
α α α α


 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 

(B) (C)
Ta có
2
1 2
0 , 2
det det .det
sin ( ), 2
n
A B C
n
α α
>

= =


− − =

■
5.5 PP. Tính định thức bằng cách rút ra nhân tử tuyến tính
Nếu mỗi phần tử của ma trận vuông A cấp n là một đa thức bậc nhất đối với biến x nào đó, thì
định thức |A| là một đa thức của các biến đó với bậc không quá n. Nếu bằng cách nào đó, ta tìm
được n đa thức bậc nhất f
1
, f
2
, …,f
n
có nghiệm khác nhau sao cho mỗi f
i
là ước của |A|, thì ta có
thể kết luận |A| và tích f
1
f
2
…f
n
sai khác nhau một nhân tử hằng số.
Ví dụ:
Tính
0
0
0
0
x y z
x z y

y z x
z y x
Nhận xét:
Cộng tất cả các cột sau vào cột đầu tiên, ta thấy định thức chia hết cho x + y + z vì
0 1
0 0 1 0
( )
0 0 1 0
0 0 1 0
x y z x y z x y z x y z
x z y x y z z y z y
x y z
y z x x y z z x z x
z y x x y z y x y x
+ +
+ +
= = + +
+ +
+ +
Nếu nhân cột thứ ba và thứ tư với (-1) rồi cộng cả ba cột còn lại vào cột (1) ta thấy định thức
chia hết cho y + z - x, thật vậy
Đại số tuyến tính 1
43
Chương 2. Ma trận – Định thức
0 1
0 0 1 0
( )
0 0 1 0
0 0 1 0
x y z x y z x y z x y z

x z y x z y z y z y
x y z
y z x y z x z x z x
z y x x y z y x y x
− − −
− − −
= = − + +
+ −
− + +
Nếu nhân cột thứ hai và cột thứ tư với (-1) rồi cộng cả 3 cột vào cột (1) thì định thức chia hết
cho x – y + z
0 1
0 0 1 0
( )
0 0 1 0
0 0 1 0
x y z x y z x y z x y z
x z y x z y z y z y
x y z
y z x y z x z x z x
z y x x y z y x y x
− + − −
+ −
= = − +
− − −
− +
Nếu nhân cột thứ hai và cột thứ ba cho (-1) rồi cộng cả ba cột vào cột (1) ta được định thức chia
hết cho x+y – z.
0 1
0 0 1 0

( )
0 0 1 0
0 0 1 0
x y z x y z x y z x y z
x z y x z y z y z y
x y z
y z x x y z z x z x
z y x z x y y x y x
− − + −
− +
= = + −
+ −
− − −
Vậy định thức trên chia hết cho (x+y+z)(y+z-x)(x-y+z)(x+y – z)
Tích này chứa z
4
với hệ số (-1) trong đó định thức lại chứa z
4
với hệ số +1. Cho nên
D = -(x+y+z)(y+z-x)(x-y+z)(x+y – z)
Đại số tuyến tính 1
44
Chương 2. Ma trận – Định thức
Bài 3: Hạng của ma trận, cách tính hạng của ma trận
_____________________________________________
1. Định nghĩa: Cho A là ma trận cấp mxn khác không. Hạng của ma trận A là số tự nhiên r,
1 min{ , }r m n
≤ ≤
thỏa mãn các điều kiện sau:
 Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r của ma trận A khác 0.


Mọi định thức con cấp lớn hơn r (nếu có) của ma trận A đều bằng 0.
Nói cách khác hạng của ma trận
0A
≠
chính là cấp cao nhất của các định thức con khác
không của ma trận A. Hạng của ma trận A, ký hiệu là r(A) và rank(A).
Quy ước: Hạng của ma trận 0 bằng 0.
2. Ví dụ:
Tìm hạng của ma trận A sau:
1 2 3 0
3 2 1 0
0 0 5 0
4 4 4 0
A
=
Ma trận A có duy nhất một định thức cấp 4 và nó bằng 0. Tồn tại một định thức con cấp 3 của
A là
1 2 3
3 2 1 20 0
0 0 5
= − ≠
. Vậy rank(A)=3
3. Các tính chất:
3.1 Tính chất 1: Hạng của ma trận không đổi qua các phép biến đổi sau:

Phép chuyển vị ma trận. Tức là
( ) ( ).
T
rank A rank A

=

Các phép biến đổi sơ cấp dòng hoặc cột.
 Bỏ đi các dòng hoặc các cột gồm toàn số 0.

Bỏ đi các dòng hoặc các cột là tổ hợp tuyến tính của các dòng hay các cột khác.
3.2 Tính chất 2: Nếu A là ma trận vuông cấp n thì:

( ) det 0rank A n A
= ⇔ ≠

( ) det 0rank A n A
< ⇔ =
Nếu xảy ra trường hợp đầu thì ta nói ma trận vuông A không suy biến.
Đại số tuyến tính 1
45
Chương 2. Ma trận – Định thức
Nếu xảy ra trường hợp hai thì ta nói ma trận vuông A suy biến.
3.3 Tính chất 3:
 Nếu A, B là các ma trận cùng cấp thì
( )rank A B rankA rankB
+ ≤ +
.

Cho A, B là các ma trận sao cho tồn tại tích AB. Khi đó,
( ) min{ , }rank AB rankA rankB≤

Nếu A tương đương dòng (cột) với B thì rank (A ) = rank (B )
4. Cách tính hạng của ma trận:
4.1 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp định thức

Từ định nghĩa hạng của ma trận ta có thể suy ra thuật toán sau để tính hạng của ma trận A
cấp mxn
( 0)A
≠
.
Bước 1:
Tìm một định thức con cấp k khác 0. Số k càng lớn càng tốt. Giả sử định thức con cấp k
khác không là
k
D
.
Bước 2:
Xét tất cả các định thức con cấp k+1 của A chứa định thức
k
D
. Xảy ra 3 khả năng sau:
1. Không có một định thức con cấp k+1 nào của A. Khả năng này xảy ra khi k =min{m, n}.
Khi đó rankA = k. Thuật toán kết thúc.
2. Tất cả các định thức con cấp k+ 1 chứa định thức
k
D
đều bằng 0 . Khi đó rankA = k và
thuật toán kết thúc.
3. Nếu tồn tại ,một định thức con cấp k+1 của A là
1k
D
+
chứa định thức con
k
D

khác 0. Khi
đó ta lập lại bước 2 với
1k
D
+
thay cho vị trí của
k
D
. Tiếp tục như vậy đến khi xảy ra trường hợp
1 hoặc 2 thì thuật toán kết thúc.
Ví dụ: Tính hạng của ma trận sau:
1 2 2 1 4
1 1 1 1 3
1 3 3 2 2
2 1 1 0 1
A
 
 
−
 
=
 
 
 
Giải:
Xét ma trận tạo bởi hai dòng đầu
1 2
1 1
A
 

=
 
−
 
có định thức detA = 3.
Ta xét tiếp ma trận tạo bởi các cột 1, 2, 4 và dòng 1, 2, 3 ta có ma trận
1 2 1
1 1 1
1 3 2
B
 
 
= −
 
 
 
chứa
ma trận A và có detB = 1.
Đại số tuyến tính 1
46
Chương 2. Ma trận – Định thức
Tiếp tục xét các ma trận con cấp 4 chứa ma trận B thì có hai ma trận B
1
và B
2
1
1 2 2 1
1 1 1 1
1 3 3 2
2 1 1 0

B
 
 
−
 
=
 
 
 

2
1 2 1 4
1 1 1 3
1 3 2 2
2 1 0 1
B
 
 
−
 
=
 
 
 
Vậy detB
1
và detB
2
đều bằng 0. Cả hai định thức này đều bằng 0. Do đó rankA = 3.■
Nhận xét:

Việc tính hạng ma trận bằng sử dụng định thức khá phức tạp nên trong thực tế ta thường ít
sử dụng phương pháp này, mà người ta thường sử dụng phương pháp tìm hạng ma trận bằng
cách sử dụng các phép biến đổi tương đương trên ma trận.
4.2 Tìm hạng của ma trận bằng cách sử dụng các phép biến đổi sơ cấp (PP. Gauss)
4.2.1 Nhận xét: Ma trận A cấp mxn khác không được gọi là ma trận bậc thang nếu tồn tại
một số tự nhiên r thỏa
1 min{ , }r m n
≤ ≤
thỏa các điều kiện sau:
(1) r dòng đầu khác 0. Các dòng thứ r +1 trở đi (nếu có) đều bằng 0.
(2) Xét dòng thứ k với
1 k r
≤ ≤
. Nếu
k
ki
a
là phần tử đầu tiên bên trái (tính từ trái sang phải)
khác không của dòng k thì ta phải có
1 2

r
i i i
< < <
.
Các phần tử
k
ki
a
được gọi là các phần tử đánh dấu của ma trận A. Các cột chứa các phần tử

được đánh dấu
1 2
{ , , , }
r
i i i
gọi là cột đánh dấu của ma trận A.
Điều kiện (2) có thể phát biểu lại: Nếu đi từ trên xuống thì các phần tử được đánh dấu phải
lùi dần về bên phải. Do đó, ma trận bậc thang có dạng như sau:
1
2
1
2
0 0
0 0 0 0


0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
r
i
i
ri
a
a
A
a
 
 
 

 
 
=
 
 
 
 
 
 
 
4.2.2 Nhận xét:
Nếu A là ma trận bậc thang thì số r các dòng khác 0 trong định nghĩa chính là rankA. Hay
rankA = r.
Thật vậy chỉ có định thức con cấp r của A khác 0 chính là định thức
r
D
tạo ra bởi r dòng đầu
và r cột đánh dấu bởi các cột
1 2
{ , , , }
r
i i i
.
Ngoài ra, các định thức con cấp r +1 của A đều tạo bởi r + 1 dòng nào đó nên có ít nhất một
dòng bằng không. Do đó, chúng đều bằng 0.
4.2.3 Ví dụ: Các ma trận bậc thang
Đại số tuyến tính 1
47