Ma trận , Định thức
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (355.6 KB, 66 trang )
Chu
.
o
.
ng 3
Ma trˆa
.
n. D
-
i
.
nh th´u
.
c
3.1 Ma trˆa
.
n ..................... 67
3.1.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa ma trˆa
.
n ............. 67
3.1.2 C´ac ph´ep to´an tuyˆe
´
n t´ınh trˆen ma trˆa
.
n..69
3.1.3 Ph´ep nhˆan c´ac ma trˆa
.
n ........... 71
3.1.4 Ph´ep chuyˆe
’
nvi
.
ma trˆa
.
n........... 72
3.2 D
-
i
.
nh th´u
.
c.................... 85
3.2.1 Nghi
.
ch thˆe
´
.................. 85
3.2.2 D
-
i
.
nh th´u
.
c................... 85
3.2.3 T´ınh chˆa
´
tcu
’
ad
i
.
nh th´u
.
c........... 88
3.2.4 Phu
.
o
.
ng ph´ap t´ınh d
i
.
nh th´u
.
c ........ 89
3.3 Ha
.
ng cu
’
a ma trˆa
.
n ...............109
3.3.1 D
-
i
.
nhngh˜ıa ..................109
3.3.2 Phu
.
o
.
ng ph´ap t`ım ha
.
ng cu
’
a ma trˆa
.
n ....109
3.4 Ma trˆa
.
n nghi
.
ch d
a
’
o ..............118
3.4.1 D
-
i
.
nhngh˜ıa ..................118
3.1. Ma trˆa
.
n 67
3.4.2 Phu
.
o
.
ng ph´ap t`ım ma trˆa
.
n nghi
.
ch d
a
’
o ...119
3.1 Ma trˆa
.
n
Gia
’
su
.
’
P l`a tru
.
`o
.
ng sˆo
´
n`ao d
´o(P = R, C).
3.1.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa ma trˆa
.
n
Ta x´et ba
’
ng h`ınh ch˜u
.
nhˆa
.
tlˆa
.
pnˆent`u
.
m× n sˆo
´
cu
’
a P:
a
11
a
12
... a
1n
a
21
a
22
... a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
... a
mn
Ba
’
ng sˆo
´
n`ay du
.
o
.
.
cgo
.
il`ama trˆa
.
n (hay ch´ınh x´ac ho
.
n: ma trˆa
.
nsˆo
´
)
k´ıch thu
.
´o
.
c m × n. C´ac sˆo
´
a
ij
, i = 1,m, j = 1,n du
.
o
.
.
cgo
.
il`aphˆa
`
n
tu
.
’
cu
’
a ma trˆa
.
n, trong d
´o i chı
’
sˆo
´
hiˆe
.
u h`ang, j chı
’
sˆo
´
hiˆe
.
ucˆo
.
tcu
’
ama
trˆa
.
n.
K´yhiˆe
.
u: c´o thˆe
’
d`ung mˆo
.
t trong c´ac k´yhiˆe
.
u
A =
a
11
a
12
... a
1n
a
21
a
22
... a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
... a
mn
, hay
a
11
a
12
... a
1n
a
21
a
22
... a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
... a
mn
hay
a
11
a
12
... a
1n
a
21
a
22
... a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
... a
mn
68 Chu
.
o
.
ng 3. Ma trˆa
.
n. D
-
i
.
nh th´u
.
c
hay ng˘a
´
ngo
.
nho
.
n
A =
a
ij
m×n
=
a
ij
m×n
=
a
ij
m×n
.
Tˆa
.
pho
.
.
pmo
.
i(m× n)-ma trˆa
.
nd
u
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
ul`aM(m × n).
Nˆe
´
u m = n th`ı ma trˆa
.
n A =
a
ij
m×n
du
.
o
.
.
cgo
.
il`ama trˆa
.
n vuˆong
cˆa
´
p n (thu
.
`o
.
ng k´y hiˆe
.
u: A =
a
ij
n×n
=
a
ij
n
1
). Dˆo
´
iv´o
.
i ma trˆa
.
n
vuˆong A =
a
ij
n
1
c´ac phˆa
`
ntu
.
’
a
ii
, i = 1,n du
.
o
.
.
cgo
.
il`anh˜u
.
ng phˆa
`
n
tu
.
’
d
u
.
`o
.
ng ch´eo. C´ac phˆa
`
ntu
.
’
n`ay lˆa
.
p th`anh d
u
.
`o
.
ng ch´eo ch´ınh cu
’
ama
trˆa
.
n vuˆong.
Ma trˆa
.
n vuˆong m`a mo
.
i phˆa
`
ntu
.
’
khˆong n˘a
`
m trˆen d
u
.
`o
.
ng ch´eo ch´ınh
d
ˆe
`
ub˘a
`
ng 0 (t´u
.
cl`aa
ij
=0∀ i = j)go
.
il`ama trˆa
.
ndu
.
`o
.
ng ch´eo:
A =
d
1
d
2
.
.
.
.
.
.
d
n
= diag[d
1
d
2
... d
n
].
Nˆe
´
u trong ma trˆa
.
nd
u
.
`o
.
ng ch´eo A mo
.
i phˆa
`
ntu
.
’
d
1
= d
2
= ···= d
n
=1
th`ı ma trˆa
.
nd
´odu
.
o
.
.
cgo
.
i l`a ma trˆa
.
nd
o
.
nvi
.
cˆa
´
p n v`a k´yhiˆe
.
u:
E
n
= E =
1
1
.
.
.
.
.
.
1
.
Nhu
.
vˆa
.
y E
n
=
δ
ij
n
1
, trong d´o δ
ij
=
0nˆe
´
u i = j
1nˆe
´
u i = j.
3.1. Ma trˆa
.
n 69
Sau c`ung, (m × n)-ma trˆa
.
nda
.
ng
O
m×n
=
00... 0
00... 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
00... 0
go
.
i l`a ma trˆa
.
n - khˆong k´ıch thu
.
´o
.
c m × n.Nˆe
´
u m = n th`ı k´yhiˆe
.
u O
n
hay O
n
1
.
Nhˆa
.
nx´et. 1) Ta nhˆa
´
nma
.
nh: ma trˆa
.
n A =
a
ij
m×n
khˆong pha
’
i l`a
mˆo
.
tsˆo
´
, n´o l`a mˆo
.
t Ba
’
ng c´ac sˆo
´
.
2) Ma trˆa
.
n k´ıch thu
.
´o
.
c(1× n)go
.
i l`a ma trˆa
.
n h`ang
a
1
,a
2
,...,a
n
c`on ma trˆa
.
n(m× 1) go
.
i l`a ma trˆa
.
ncˆo
.
t
a
1
a
2
.
.
.
a
m
3.1.2 C´ac ph´ep to´an tuyˆe
´
n t´ınh trˆen ma trˆa
.
n
Gia
’
su
.
’
mo
.
i ma trˆa
.
nd
u
.
o
.
.
cx´et l`a trˆen c`ung mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng P (= R, C).
C´ac ph´ep to´an tuyˆe
´
n t´ınh trˆen tˆa
.
pho
.
.
p c´ac ma trˆa
.
n l`a ph´ep cˆo
.
ng c´ac
ma trˆa
.
n(chı
’
d
ˆo
´
iv´o
.
i c´ac ma trˆa
.
nc`ung k´ıch thu
.
´o
.
c!) v`a ph´ep nhˆan ma
trˆa
.
nv´o
.
imˆo
.
tsˆo
´
v`a ch´ung d
u
.
o
.
.
cd
i
.
nh ngh˜ıa nh`o
.
c´ac ph´ep to´an trˆen c´ac
phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
ach´ung.
1. Cho A =
a
ij
m×n
, B =
b
ij
m×n
. Ma trˆa
.
n C =
c
ij
m×n
du
.
o
.
.
c
go
.
il`atˆo
’
ng cu
’
a A v`a B nˆe
´
u
c
ij
= a
ij
+ b
ij
∀ i = 1,m, ∀ j = 1,n
70 Chu
.
o
.
ng 3. Ma trˆa
.
n. D
-
i
.
nh th´u
.
c
v`a k´yhiˆe
.
u
C = A + B
[c
ij
]=[a
ij
+ b
ij
],i= 1,m, j = 1,n
.
2. Gia
’
su
.
’
A =
a
ij
m×n
v`a λ ∈P. Ma trˆa
.
n C =
c
ij
m×n
du
.
o
.
.
cgo
.
i
l`a t´ıch cu
’
a ma trˆa
.
n A v´o
.
isˆo
´
λ nˆe
´
u
c
ij
= λa
ij
∀ i = 1,m, ∀ j = 1,n
v`a k´yhiˆe
.
u
C = λA
λA =
λa
ij
m×n
).
Tru
.
`o
.
ng ho
.
.
pd
˘a
.
cbiˆe
.
t khi λ = −1 ta viˆe
´
t(−1)A = −A v`a go
.
i −A
l`a ma trˆa
.
nd
ˆo
´
icu
’
a ma trˆa
.
n A.
C´ac ph´ep to´an tuyˆe
´
n t´ınh trˆen tˆa
.
pho
.
.
p ma trˆa
.
n M(m× n) c´o c´ac
t´ınh chˆa
´
t sau d
ˆa y .
Gia
’
su
.
’
A, B, C ∈M(m× n)v`aα, β ∈P. Khi d
´o
I. A + B = B + A (luˆa
.
t giao ho´an).
II. A +(B + C)=(A + B)+C (luˆa
.
tkˆe
´
tho
.
.
p).
III. A +O
m×n
= A.
IV. A +(−A)=O
m×n
.
V. 1 · A = A.
VI. α(βA)=(αβ)A - luˆa
.
tkˆe
´
tho
.
.
pd
ˆo
´
iv´o
.
i ph´ep nhˆan c´ac sˆo
´
.
VII. α(A + B)=αA + αB - luˆa
.
t phˆan bˆo
´
cu
’
a ph´ep nhˆan v´o
.
imˆo
.
t
sˆo
´
d
ˆo
´
iv´o
.
i ph´ep cˆo
.
ng ma trˆa
.
n.
VIII. (α + β)A = αA + βA - luˆa
.
t phˆan bˆo
´
cu
’
a ph´ep nhˆan v´o
.
ima
trˆa
.
nd
ˆo
´
iv´o
.
i ph´ep cˆo
.
ng c´ac sˆo
´
.
Hiˆe
.
u c´ac ma trˆa
.
n A− B c´o thˆe
’
d
i
.
nh ngh˜ıa nhu
.
sau
A − B
def
= A +(−B).
3.1. Ma trˆa
.
n 71
3.1.3 Ph´ep nhˆan c´ac ma trˆa
.
n
Ma trˆa
.
n A du
.
o
.
.
cgo
.
il`atu
.
o
.
ng th´ıch v´o
.
i ma trˆa
.
n B nˆe
´
usˆo
´
cˆo
.
tcu
’
ama
trˆa
.
n A b˘a
`
ng sˆo
´
h`ang cu
’
a ma trˆa
.
n B (t`u
.
su
.
.
tu
.
o
.
ng th´ıch cu
’
a A v´o
.
i B
n´oi chung khˆong suy ra d
u
.
o
.
.
cr˘a
`
ng ma trˆa
.
n B tu
.
o
.
ng th´ıch v´o
.
i ma trˆa
.
n
A).
Cho ma trˆa
.
n A =
a
ij
m×n
v`a B =
b
ij
n×p
. Ma trˆa
.
n C =
c
ij
m×p
du
.
o
.
.
cgo
.
i l`a t´ıch cu
’
a ma trˆa
.
n A v´o
.
i ma trˆa
.
n B nˆe
´
u
c
ij
=
n
s=1
a
is
b
sj
. (3.1)
K´yhiˆe
.
u C = AB v`a n´oi r˘a
`
ng “nhˆan bˆen pha
’
i ma trˆa
.
n A v´o
.
ima
trˆa
.
n B” hay “nhˆan bˆen tr´ai ma trˆa
.
n B v´o
.
i ma trˆa
.
n A”.
T`u
.
(3.1) suy ra quy t˘a
´
c t`ım c´ac sˆo
´
ha
.
ng cu
’
a t´ıch c´ac ma trˆa
.
n:
phˆa
`
ntu
.
’
c
ij
d´u
.
ng o
.
’
vi
.
tr´ı giao cu
’
a h`ang th´u
.
i v`a cˆo
.
tth´u
.
j cu
’
ama
trˆa
.
n C = AB b˘a
`
ng tˆo
’
ng c´ac t´ıch cu
’
a c´ac phˆa
`
ntu
.
’
h`ang th´u
.
i cu
’
ama
trˆa
.
n A nhˆan v´o
.
i c´ac phˆa
`
ntu
.
’
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng cu
’
acˆo
.
tth´u
.
j cu
’
a ma trˆa
.
n
B.
a
11
a
12
... a
1n
... ... ... ...
a
i1
a
i2
... a
in
... ... ... ...
a
m1
a
m2
... a
mn
×
b
11
.
.
.
b
n1
b
ij
.
.
.
b
ij
b
1p
.
.
.
b
np
=
c
11
.
.
. c
1p
... c
ij
...
c
m1
.
.
. c
mp
Ch´u´y. 1) N´oi chung ph´ep nhˆan ma trˆa
.
n khˆong c´o t´ınh chˆa
´
t giao
ho´an.
2) T´ıch hai ma trˆa
.
n kh´ac 0 c´o thˆe
’
b˘a
`
ng ma trˆa
.
n khˆong.
3) V´o
.
id
iˆe
`
ukiˆe
.
n c´ac ph´ep to´an du
.
o
.
.
cviˆe
´
t ra c´o ngh˜ıa, ph´ep nhˆan
ma trˆa
.
n c´o c´ac t´ınh chˆa
´
t sau
I. (AB)C = A(BC) - luˆa
.
tkˆe
´
tho
.
.
p.
II. α(AB)=(αA)B = A(αB), α ∈P.
III. (A + B)C = AC + BC (luˆa
.
t phˆan bˆo
´
ph´ep nhˆan bˆen pha
’
i
72 Chu
.
o
.
ng 3. Ma trˆa
.
n. D
-
i
.
nh th´u
.
c
dˆo
´
iv´o
.
i ph´ep cˆo
.
ng ma trˆa
.
n).
IV. C(A + B)=CA + CB (luˆa
.
t phˆan bˆo
´
ph´ep nhˆan bˆen tr´ai
d
ˆo
´
iv´o
.
i ph´ep cˆo
.
ng ma trˆa
.
n).
3.1.4 Ph´ep chuyˆe
’
nvi
.
ma trˆa
.
n
Ph´ep to´an trˆen c´ac ma trˆa
.
n m`a trong d´o c´ac h`ang chuyˆe
’
n th`anh c´ac
cˆo
.
t c`on c´ac cˆo
.
t chuyˆe
’
n th`anh c´ac h`ang d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`aph´ep chuyˆe
’
nvi
.
ma
trˆa
.
n.
Cho ma trˆa
.
n A =
a
ij
m×n
. Ma trˆa
.
nthudu
.
o
.
.
ct`u
.
ma trˆa
.
n A b˘a
`
ng
ph´ep chuyˆe
’
nvi
.
ma trˆa
.
nd
u
.
o
.
.
cgo
.
il`ama trˆa
.
n chuyˆe
’
nvi
.
d
ˆo
´
iv´o
.
i ma trˆa
.
n
A v`a d
u
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
ul`aA
T
.Nhu
.
vˆa
.
y: A
T
l`a (n × m)-ma trˆa
.
n.
Ma trˆa
.
n vuˆong d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`ama trˆa
.
nd
ˆo
´
ix´u
.
ng nˆe
´
u A
T
= A v`a du
.
o
.
.
c
go
.
il`ama trˆa
.
n pha
’
nx´u
.
ng nˆe
´
u A
T
= −A.Nhu
.
vˆa
.
ynˆe
´
u A =
a
ij
n
1
l`a
ma trˆa
.
nd
ˆo
´
ix´u
.
ng th`ı a
ij
= a
ji
∀ i, j = 1,n v`a nˆe
´
u A pha
’
nx´u
.
ng th`ı
a
ij
= −a
ji
.Dod´o c´ac phˆa
`
ntu
.
’
trˆen d
u
.
`o
.
ng ch´eo ch´ınh cu
’
a ma trˆa
.
n
pha
’
nx´u
.
ng l`a b˘a
`
ng 0.
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı d u
.
1. 1) Cˆo
.
ng c´ac ma trˆa
.
n
12
34
v`a
56
78
.
2) Nhˆan ma trˆa
.
n A =
−12−1
40 1
v´o
.
isˆo
´
λ =3.
Gia
’
i. 1) Hai ma trˆa
.
nd
˜a cho c´o c`ung k´ıch thu
.
´o
.
cnˆen c´o thˆe
’
cˆo
.
ng
v´o
.
i nhau. Theo d
i
.
nh ngh˜ıa ph´ep cˆo
.
ng c´ac ma trˆa
.
n ta c´o
12
34
+
56
78
=
1+5 2+6
3+7 4+8
=
68
10 12
.
2) λA =3·
−12−1
40 1
=
−1 · 32· 3 −1 · 3
4 · 30· 31· 3
=
3.1. Ma trˆa
.
n 73
−36−3
12 0 3
.
V´ı d u
.
2. Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p n`ao th`ı:
1) c´o thˆe
’
nhˆan bˆen pha
’
imˆo
.
t ma trˆa
.
n h`ang v´o
.
imˆo
.
t ma trˆa
.
ncˆo
.
t?
2) c´o thˆe
’
nhˆan bˆen pha
’
imˆo
.
t ma trˆa
.
ncˆo
.
tv´o
.
imˆo
.
t ma trˆa
.
n h`ang ?
Gia
’
i. 1) Ma trˆa
.
n h`ang l`a ma trˆa
.
nk´ıchthu
.
´o
.
c(1× n) c`on ma trˆa
.
n
cˆo
.
t l`a ma trˆa
.
n k´ıch thu
.
´o
.
c(m × 1). Ph´ep nhˆan ma trˆa
.
n h`ang (1 × n)
v´o
.
i ma trˆa
.
ncˆo
.
t(m× 1) chı
’
c´o thˆe
’
nˆe
´
u n = m:
1 × n · n × 1 = 1 × 1
t´u
.
cl`akˆe
´
t qua
’
ph´ep nhˆan l`a mˆo
.
tsˆo
´
,cu
.
thˆe
’
l`a
a
1
a
2
... a
n
b
1
b
2
.
.
.
b
n
=
a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ ···+ a
n
b
n
= c.
2) Ma trˆa
.
ncˆo
.
t A
A =
a
1
a
2
.
.
.
a
m
l`a ma trˆa
.
n k´ıch thu
.
´o
.
c(m× 1). Ma trˆa
.
n n`ay tu
.
o
.
ng th´ıch v´o
.
i ma trˆa
.
n
k´ıch thu
.
´o
.
c(1× n), t´u
.
c l`a ma trˆa
.
n h`ang. Nhu
.
vˆa
.
y ph´ep nhˆan d
˜a n ˆe u
luˆon luˆon thu
.
.
chiˆe
.
nd
u
.
o
.
.
c, cu
.
thˆe
’
l`a
a
1
a
2
.
.
.
a
m
b
1
b
2
... b
n
=
a
1
b
1
a
1
b
2
... a
1
b
n
a
2
b
1
a
2
b
2
... a
2
b
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m
b
1
a
m
b
2
... a
m
b
n
.
74 Chu
.
o
.
ng 3. Ma trˆa
.
n. D
-
i
.
nh th´u
.
c
V´ı d u
.
3. T´ınh AB v`a BA nˆe
´
u
1) A =
321
012
, B =
1
3
3
.
2) A =
14−1
20 1
, B =
−10
13
−11
.
Gia
’
i. 1) Theo quy t˘a
´
c nhˆan c´ac ma trˆa
.
n ta c´o
AB =
321
012
1
3
3
=
3 · 1+2· 3+1· 3
0 · 1+1· 3+2· 3
=
12
9
.
T´ıch BA khˆong tˆo
`
nta
.
i v`ı ma trˆa
.
n B khˆong tu
.
o
.
ng th´ıch v´o
.
ima
trˆa
.
n A.
2) Ta c´o ma trˆa
.
n A tu
.
o
.
ng th´ıch v´o
.
i ma trˆa
.
n B.Dod
´o
AB =
14−1
20 1
−20
13
−11
=
1 · (−2)+4· 1+(−1)(−1) 1· 0+4· 3+(−1) · 1
2 · (−2)+0· 1 + (1) · (−1) 2 · 0+0· 3+1· 1
=
311
−51
.
Tu
.
o
.
ng tu
.
.
, ma trˆa
.
n B tu
.
o
.
ng th´ıch v´o
.
i ma trˆa
.
n A v`a
BA =
−2 −82
742
1 −42
.
V´ı d u
.
4. 1) Cho ma trˆa
.
n A =
01
00
.T`ım mo
.
i ma trˆa
.
n X giao
ho´an v´o
.
i A (AX = XA).
3.1. Ma trˆa
.
n 75
2) T`ım mo
.
i ma trˆa
.
n giao ho´an v´o
.
i ma trˆa
.
n A =
12
−1 −1
.
3) T´ınh t´ıch
11
00
11
−1 −1
.
Gia
’
i. 1) V`ı A l`a ma trˆa
.
ncˆa
´
p2nˆen d
ˆe
’
c´ac t´ıch AX v`a XA x´ac
d
i
.
nh, ma trˆa
.
n X c˜ung pha
’
i l`a ma trˆa
.
ncˆa
´
p 2. Gia
’
su
.
’
A =
αβ
γδ
.
Khi d
´o
AX =
01
00
αβ
γδ
=
γδ
00
,
XA =
αβ
γδ
01
00
=
0 α
0 γ
.
T`u
.
d
´onˆe
´
u AX = XA ⇒ γ =0,α = δ.Dod´omo
.
i ma trˆa
.
n ho´an vi
.
v´o
.
i ma trˆa
.
nd
˜achodˆe
`
u c´o da
.
ng
X =
αβ
0 α
.
2) Tu
.
o
.
ng tu
.
.
nhu
.
trˆen, gia
’
su
.
’
X =
xy
uv
l`a ma trˆa
.
n giao ho´an
76 Chu
.
o
.
ng 3. Ma trˆa
.
n. D
-
i
.
nh th´u
.
c
v´o
.
i ma trˆa
.
n A =
12
−1 −1
. Khi d
´o
12
−1 −1
xy
uv
=
xy
uv
12
−1 −1
⇒
x +2uy+2v
−x− u −y − v
=
x − y 2x − y
u− v 2u − v
⇒
x +2u = x− y
−x− u = u − v
y +2v =2x − y
−y − v =2u − v
⇒
x = u − 2v
y = −2u
; u, v t`uy ´y.
Vˆa
.
ytathud
u
.
o
.
.
c
X =
u− 2v −2u
uv
,u,vt`uy ´y.
3) Dˆe
˜
d`ang thˆa
´
yr˘a
`
ng
11
00
11
−1 −1
=
00
00
.T`u
.
v´ıdu
.
n`ay
suy ra r˘a
`
ng d
ˆo
´
iv´o
.
i c´ac ma trˆa
.
nnˆe
´
u AB = O th`ı khˆong nhˆa
´
t thiˆe
´
t
A = O ho˘a
.
c B = O.
V´ı d u
.
5. Ma trˆa
.
n S = λE
n
, trong d´o E
n
l`a ma trˆa
.
ndo
.
nvi
.
cˆa
´
p n v`a
λ l`a mˆo
.
tsˆo
´
d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`ama trˆa
.
nvˆohu
.
´o
.
ng.Ch´u
.
ng to
’
r˘a
`
ng ma trˆa
.
n
vˆo hu
.
´o
.
ng ho´an vi
.
v´o
.
imo
.
i ma trˆa
.
n vuˆong c`ung cˆa
´
p.
Gia
’
i.
´
Ap du
.
ng c´ac t´ınh chˆa
´
tcu
’
a ma trˆa
.
nd
o
.
nvi
.
ta c´o
SA =(λE
n
)A = λ(E
n
A)=λA;
AS = A(λE
n
)=λ(AE
n
)=λA,
t´u
.
cl`aAS = SA d
ˆo
´
iv´o
.
imo
.
i ma trˆa
.
n vuˆong A cˆa
´
p n.
Cho A l`a ma trˆa
.
n vuˆong, k l`a sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen l´o
.
nho
.
n 1. Khi d
´ot´ıch
k ma trˆa
.
n A d
u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a lu˜yth`u
.
abˆa
.
c k cu
’
a A v`a k´y hiˆe
.
u A
k
. Theo
3.1. Ma trˆa
.
n 77
di
.
nh ngh˜ıa A
0
= E.Nhu
.
vˆa
.
y
A
k
def
= A × A × A ×···×A
k lˆa
`
n
A
◦
= E.
V´ı d u
.
6. T`ım mo
.
ilu˜yth`u
.
acu
’
a ma trˆa
.
n
A =
0100
0010
0001
0000
.
Gia
’
i. Ta c´o
A
2
=
0100
0010
0001
0000
0100
0010
0001
0000
=
0010
0001
0000
0000
,
v`a dˆe
˜
thˆa
´
yr˘a
`
ng
A
3
= A
2
A =
0010
0001
0000
0000
0100
0010
0001
0000
=
0001
0000
0000
0000
,
A
4
=
0001
0000
0000
0000
0100
0010
0001
0000
=
0000
0000
0000
0000
.
C´ac l˜uy th`u
.
atiˆe
´
p theo cu
’
a ma trˆa
.
n A d
ˆe
`
ub˘a
`
ng 0.
V´ı d u
.
7. Gia
’
su
.
’
J =
01
−10
,E= E
2×2
.
78 Chu
.
o
.
ng 3. Ma trˆa
.
n. D
-
i
.
nh th´u
.
c
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
1) J
2
= −E.
2) Ma trˆa
.
nda
.
ng Z = αE + βJ =
αβ
−βα
d
u
.
o
.
.
ccˆo
.
ng v`a nhˆan
v´o
.
i nhau tu
.
o
.
ng tu
.
.
nhu
.
c´ac sˆo
´
ph´u
.
cda
.
ng
Z = α + βi.
Gia
’
i. 1) Ta c´o
J
2
=
01
−10
01
−10
=
−10
0 −1
= −E.
2) X´et Z
1
= α
1
E + β
1
J, Z
2
= α
2
E + β
2
J. Khi d´o theo di
.
nh ngh˜ıa
c´ac ph´ep to´an tuyˆe
´
n t´ınh trˆen ma trˆa
.
nc`ung c´ac t´ınh chˆa
´
tcu
’
ach´ung,
mˆo
.
tm˘a
.
t ta c´o
Z
1
+ Z
2
=(α
1
+ α
2
)E +(β
1
+ β
2
)J
v`a m˘a
.
t kh´ac
Z
1
+ Z
2
=
α
1
β
1
−β
1
α
1
+
α
2
β
2
−β
2
α
2
=
α
1
+ α
2
β
1
+ β
2
−(β
1
+ β
2
) α
1
+ α
2
=(α
1
+ α
2
)E +(β
1
+ β
2
)J.
D
ˆo
´
iv´o
.
i ph´ep nhˆan su
.
.
l´y gia
’
ic˜ung tu
.
o
.
ng tu
.
.
.
V´ı d u
.
8. T´ınh A
n
nˆe
´
u:
1) A =
31
03
;2)A =
41
03
.
Gia
’
i. Du
.
.
a v`ao t´ınh chˆa
´
tcu
’
a ma trˆa
.
nvˆohu
.
´o
.
ng: ma trˆa
.
nvˆohu
.
´o
.
ng
ho´an vi
.
v´o
.
imo
.
i ma trˆa
.
nc`ung cˆa
´
p, ta s˜e biˆe
’
udiˆe
˜
n ma trˆa
.
nd
˜a cho th`anh
3.1. Ma trˆa
.
n 79
tˆo
’
ng ma trˆa
.
nvˆohu
.
´o
.
ng cˆo
.
ng v´o
.
i ma trˆa
.
nda
.
ng d
˘a
.
cbiˆe
.
t m`a ph´ep nˆang
lˆen l˜uy th`u
.
ad
u
.
o
.
.
c thu
.
.
chiˆe
.
nd
o
.
n gia
’
nho
.
n.
1) A =
31
03
=
30
03
+
01
00
= B +
˜
B,
B
m
=
30
03
m
=
3
m
0
03
n
(xem b`ai 4. 3) du
.
´o
.
id
ˆay),
˜
B
m
=
00
00
∀ m 2.
Tiˆe
´
p theo do B
˜
B =
˜
BB nˆen ta c´o thˆe
’
´ap du
.
ng cˆong th´u
.
c
(B +
˜
B)
n
=
n
i=0
C
i
n
B
i
˜
B
n−i
(3.2)
(xem b`ai 5.3) du
.
´o
.
id
ˆay). Theo (3.2) ta c´o
(B +
˜
B)
n
= B
n
+ C
1
n
B
n−1
˜
B + C
2
n
B
n−2
˜
B
2
+ ···+
˜
B
n
= |do
˜
B
m
=0,m 2|
= B
n
+ C
n
1
B
n−1
˜
B = B
n
+ nB
n−1
˜
B
=
3
n
0
03
n
=
n3
n−1
0
0 n3
n−1
01
00
=
3
n
0
03
n
+
0 n3
n−1
00
=
3
n
n3
n−1
03
n
.
2) Tu
.
o
.
ng tu
.
.
nhu
.
trˆen ta c´o
A =
41
03
=
30
03
+
11
00
= B +
˜
B.
B
m
=
30
03
m
=
3
m
0
03
m
, (3.3)
˜
B
m
=
11
00
m
=
11
00
∀ m 1 (3.4)
80 Chu
.
o
.
ng 3. Ma trˆa
.
n. D
-
i
.
nh th´u
.
c
Tiˆe
´
p theo do B
˜
B =
˜
BB nˆen ta c´o thˆe
’
´ap du
.
ng cˆong th´u
.
c
A
n
=(B +
˜
B)
n
= B
n
+ C
1
n
B
n−1
˜
B + C
2
n
B
n−2
˜
B
2
+ ···+
˜
B
n
. (3.5)
Ta t´ınh C
k
n
B
n−k
˜
B
k
. Theo (3.3) v`a (3.4) ta c´o
C
k
n
3
n−k
0
03
n−k
11
00
= C
k
n
3
n−k
3
n−k
00
=
C
k
n
3
n−k
C
k
n
3
n−k
00
.
(3.6)
T`u
.
(3.6), (3.3) v`a (3.5) ta thu d
u
.
o
.
.
c
A
n
=
3
n
0
03
n
+
n
k=1
C
k
n
3
n−k
C
k
n
3
n−k
00
=
3
n
+
n
k=1
C
k
n
3
n−k
0+
n
k=1
C
k
n
3
n−k
03
n
.
V`ı3
n
+
n
k=1
C
k
n
3
n−k
= (3 + 1)
n
=4
n
v`a 0 +
n
k=1
C
k
n
3
n−k
=
n
k=0
C
k
n
3
n−k
−
3
n
=4
n
− 3
n
, do vˆa
.
y
A
n
=
4
n
4
n
− 3
n
03
n
.
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
1. T´ınh A + B, AB v`a BA nˆe
´
u
1) A =
12
34
, B =
4 −4
0 i
;
2) A =
1 −10
211
3 −12
, B =
−212
045
2 −37
.
3.1. Ma trˆa
.
n 81
(DS. 1) A + B =
5 −2
34+i
, AB =
4 −4+2i
12 −12 + 4i
,
BA =
−8 −8
34i
;
2) A + B =
−102
256
5 −49
, AB =
−1 −3 −3
−2316
−2 −715
,
BA =
615
23 −114
−17 −12 11
)
2. T´ınh t´ıch c´ac ma trˆa
.
n
1)
521
523
652
13−2
−3 −4 −5
213
.(D
S.
132
5109
−50−7
)
2)
349
2 −16
535
564
897
−4 −5 −3
.(D
S.
11 9 13
−22 −27 −17
29 32 26
)
3)
12−2
13−1
1 −25
13−2
1 −24
232
314
.(D
S.
−12 0
466
12 −320
152
)
4)
213
421
−21−3
121
1
2
−1
.(D
S.
1
7
3
9
)
82 Chu
.
o
.
ng 3. Ma trˆa
.
n. D
-
i
.
nh th´u
.
c
5)
1 −33−1
13−51
11
12
11
1 −2
.(D
S.
00
00
)
6)
1
2
3
321
.(D
S.
321
642
963
)
3. T´ınh c´ac t´ıch AB v`a BA nˆe
´
u
1) A =
−13 0
−21 1
30−2
412
, B =
5 −131
20−14
.(D
S. T´ıch AB
khˆong tˆo
`
nta
.
i v`ı ma trˆa
.
n A khˆong tu
.
o
.
ng th´ıch v´o
.
i ma trˆa
.
n B; BA =
10 15 −5
11 10 10
)
2) A =
20
1 −4
31
0 −1
, B =
510−3
.(D
S. T´ıch AB khˆong
tˆo
`
nta
.
iv`ıA khˆong tu
.
o
.
ng th´ıch v´o
.
i B; BA =
11 −1
)
3) A =
12 3 4
21−23
, B =
15 3
68 2
12−1
30 1
.(D
S. AB =
28 27 8
15 14 13
,t´ıchBA khˆong tˆo
`
nta
.
i)
4) A =
cos α − sin α
cos α cos α
, B =
cos β − sin β
sin β cos β
.
3.1. Ma trˆa
.
n 83
(DS. AB = BA =
cos(α + β) = sin(α + β)
sin(α + β) cos(α + β)
)
4. T´ınh c´ac lu˜yth`u
.
acu
’
a ma trˆa
.
n A
n
nˆe
´
u:
1) A =
11
01
.(D
S. A
n
=
1 n
01
)
Chı
’
dˆa
˜
n. Su
.
’
du
.
ng phu
.
o
.
ng ph´ap quy na
.
p to´an ho
.
c
2) A =
cos ϕ − sin ϕ
sin ϕ cos ϕ
.(D
S. A
n
=
cos nϕ − sin nϕ
sin nϕ cos nϕ
)
3) A =
d
1
d
2
.
.
.
.
.
.
d
n
.(D
S. A
n
= diag
d
n
1
d
n
2
... d
n
n
)
4) A =
210
010
001
.(D
S.
22
n
− 10
010
002
)
5. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u AB = BA th`ı
1) (A + B)
2
= A
2
+2AB + B
2
.
2) A
2
− B
2
=(A + B)(A− B).
3) (A + B)
n
= A
n
+ C
1
n
A
n−1
B + C
2
n
A
n−2
B
2
+ ···+ B
n
.
Chı
’
dˆa
˜
n. Su
.
’
du
.
ng phu
.
o
.
ng ph´ap quy na
.
p to´an ho
.
c.
Gia
’
su
.
’
cho d
ath´u
.
c P (x)=a
0
+ a
1
x + ···+ a + kx
k
. Khi d´oma
trˆa
.
n vuˆong
P (A)=a
0
E + a
1
A + ···+ a
k
A
k
,x= A
d
u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a gi´a tri
.
cu
’
ad
ath´u
.
c P (x)ta
.
i x = A v`a biˆe
’
uth´u
.
c
P (A)=a
0
E + a
A
+ ···+ a
k
A
k
go
.
il`adath´u
.
ccu
’
a ma trˆa
.
n A.
6. Gia
’
su
.
’
P (x)v`aQ(x) l`a hai d
ath´u
.
cv´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
∈Pv`a A l`a ma trˆa
.
n
vuˆong cˆa
´
p n.Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
84 Chu
.
o
.
ng 3. Ma trˆa
.
n. D
-
i
.
nh th´u
.
c
1) ϕ(x)=P (x)+Q(x) ⇒ ϕ(A)=P (A)+Q(A).
2) ψ(x)=P (x)Q(x) ⇒ ψ(A)=P (A)Q(A).
3) P (A)Q(A)=Q(A)P (A).
7. T`ım gi´a tri
.
cu
’
ad
ath´u
.
c ma trˆa
.
n
1) P (x)=x
2
− 5x +3, A =
2 −1
−33
.(DS.
00
00
)
2) P (x)=3x
2
− 2x +5, A =
1 −23
2 −41
3 −52
.(D
S.
21 −23 15
−13 34 10
−9 22 25
)
3) P (x)=3x
5
− 4x
4
− 10x
3
+3x
2
− 7, A =
010
001
000
.
(D
S.
−70 3
0 −70
00−7
)
4) Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng ma trˆa
.
n
12−2
10 3
13 0
l`a nghiˆe
.
mcu
’
ad
ath´u
.
c P (x)=x
3
− x
2
− 9x +9.
5) Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng ma trˆa
.
n
A =
100
010
003
l`a nghiˆe
.
mcu
’
ad
ath´u
.
c P (x)=x
3
− 5x
2
+7x − 3.
3.2. D
-
i
.
nh th´u
.
c 85
8. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u A l`a ma trˆa
.
nd
u
.
`o
.
ng ch´eo cˆa
´
p n v´o
.
i c´ac
phˆa
`
ntu
.
’
trˆen d
u
.
`o
.
ng ch´eo ch´ınh l`a λ
1
,λ
2
,...,λ
n
th`ı v´o
.
imo
.
id
ath´u
.
c
P (x) ma trˆa
.
n P (A)c˜ung l`a ma trˆa
.
nd
u
.
`o
.
ng ch´eo v´o
.
i c´ac phˆa
`
ntu
.
’
trˆen
d
u
.
`o
.
ng ch´eo ch´ınh l`a P (λ
1
), P (λ
2
),...,P(λ
n
). H˜ay x´et tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p
khi A l`a ma trˆa
.
n vuˆong cˆa
´
p3.
9. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng (A
n
)
T
=(A
T
)
n
.
Chı
’
dˆa
˜
n. Ch´u
.
ng minh b˘a
`
ng phu
.
o
.
ng ph´ap quy na
.
pv`asu
.
’
du
.
ng hˆe
.
th´u
.
c(AB)
T
= B
T
A
T
.
10. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng mo
.
i ma trˆa
.
n vuˆong A d
ˆe
`
u c´o thˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
ndu
.
´o
.
i
da
.
ng tˆo
’
ng mˆo
.
t ma trˆa
.
nd
ˆo
´
ix´u
.
ng v`a mˆo
.
t ma trˆa
.
n pha
’
nx´u
.
ng.
Chı
’
dˆa
˜
n. D
˘a
.
t P =
1
2
(A + A
T
), Q =
1
2
(A− A
T
), A = P + Q.
3.2 D
-
i
.
nh th´u
.
c
3.2.1 Nghi
.
ch thˆe
´
Mo
.
i c´ach s˘a
´
pxˆe
´
pth´u
.
tu
.
.
n phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
atˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
J = {1, 2,...,n}
d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`amˆo
.
t ho´an vi
.
cu
’
a n phˆa
`
ntu
.
’
d
´o . S ˆo
´
c´ac ho´an vi
.
c´o thˆe
’
c´o
cu
’
a n phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
a J l`a n!. Hai sˆo
´
trong mˆo
.
t ho´an vi
.
lˆa
.
p th`anh mˆo
.
t
nghi
.
ch thˆe
´
nˆe
´
usˆo
´
l´o
.
nho
.
nd
´u
.
ng tru
.
´o
.
csˆo
´
b´e ho
.
n. Sˆo
´
nghi
.
ch thˆe
´
cu
’
a
ho´an vi
.
(α
1
,...,α
n
)du
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
ul`a
inv(α
1
,α
2
,...,α
n
),
d
´o c h ´ınh l`a sˆo
´
c˘a
.
plˆa
.
p th`anh nghi
.
ch thˆe
´
trong ho´an vi
.
.
Ho´an vi
.
{α
1
,...,α
n
} du
.
o
.
.
cgo
.
il`aho´an vi
.
ch˘a
˜
n nˆe
´
usˆo
´
nghi
.
ch thˆe
´
cu
’
a n´o l`a ch˘a
˜
n v`a go
.
il`aho´an vi
.
le
’
nˆe
´
usˆo
´
nghi
.
ch thˆe
´
l`a le
’
.
3.2.2 D
-
i
.
nh th´u
.
c
Mˆo
˜
i ma trˆa
.
n vuˆong cˆa
´
p n (v`a chı
’
c´o ma trˆa
.
n vuˆong !) dˆe
`
utu
.
o
.
ng ´u
.
ng
v´o
.
imˆo
.
tsˆo
´
-go
.
il`ad
i
.
nh th´u
.
c cu
’
a n´o.
86 Chu
.
o
.
ng 3. Ma trˆa
.
n. D
-
i
.
nh th´u
.
c
Gia
’
su
.
’
cho ma trˆa
.
n vuˆong cˆa
´
p n trˆen tru
.
`o
.
ng P(R, C):
A =
a
ij
n
1
=
a
11
a
12
... a
1n
a
21
a
22
... a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
... a
nn
(3.7)
D
i
.
nh th´u
.
ccu
’
a ma trˆa
.
n A l`a mˆo
.
tsˆo
´
thu d
u
.
o
.
.
ct`u
.
c´ac phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
a
ma trˆa
.
n theo quy t˘a
´
c sau d
ˆay:
1) d
i
.
nh th´u
.
ccˆa
´
p n b˘a
`
ng tˆo
’
ng d
a
.
isˆo
´
cu
’
a n!sˆo
´
ha
.
ng;
2) mˆo
˜
isˆo
´
ha
.
ng cu
’
ad
i
.
nh th´u
.
cl`at´ıch
a
i
1
j
1
a
i
2
j
2
···a
i
n
j
n
(3.8)
cu
’
a n phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
a ma trˆa
.
nm`ac´u
.
mˆo
˜
i h`ang v`a mˆo
˜
icˆo
.
td
ˆe
`
uc´od´ung
mˆo
.
t phˆa
`
ntu
.
’
trong t´ıch n`ay;
3) sˆo
´
ha
.
ng a
i
1
j
1
a
i
2
j
2
···a
i
n
j
n
cu
’
adi
.
nh th´u
.
c c´o dˆa
´
ucˆo
.
ng nˆe
´
u ho´an
vi
.
lˆa
.
pnˆenbo
.
’
i c´ac sˆo
´
hiˆe
.
u h`ang {i
1
,i
2
,...,i
n
} v`a ho´an vi
.
lˆa
.
pnˆenbo
.
’
i
c´ac sˆo
´
hiˆe
.
ucˆo
.
t {j
1
,j
2
,...,j
n
} l`a c`ung ch˘a
˜
n ho˘a
.
cc`ung le
’
v`a c´o dˆa
´
u
tr`u
.
(“ − ”) trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p ngu
.
o
.
.
cla
.
i.
K´yhiˆe
.
u: D
i
.
nh th´u
.
ccu
’
a ma trˆa
.
n A d
u
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
ul`a
det A,|A| hay
a
11
a
12
... a
1n
a
21
a
22
... a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
... a
nn
.
Nhˆa
.
n x´et. 1) Nhu
.
vˆa
.
y, d
ˆe
’
x´ac di
.
nh dˆa
´
ucu
’
asˆo
´
ha
.
ng di
.
nh th´u
.
cta
cˆa
`
n t´ınh
s = inv(i
1
,...,i
n
)
σ = inv(j
1
,...,j
n
)
v`a khi d
´odˆa
´
ucu
’
asˆo
´
ha
.
ng di
.
nh th´u
.
cl`adˆa
´
ucu
’
ath`u
.
asˆo
´
(−1)
s+σ
.
3.2. D
-
i
.
nh th´u
.
c 87
2) Nˆe
´
u ta viˆe
´
t c´ac th`u
.
asˆo
´
cu
’
a t´ıch (3.8) theo th´u
.
tu
.
.
t˘ang dˆa
`
ncu
’
a
sˆo
´
hiˆe
.
u h`ang:
a
i
1
j
1
a
i
2
j
2
···a
i
n
j
n
= a
1α
1
a
2α
2
···a
nα
n
th`ı
det A =
(α
1
,...,α
n
)
(−1)
inv(α
1
,...,α
n
)
a
1α
1
a
2α
2
···a
nα
n
. (3.9)
trong d
´o t ˆo
’
ng lˆa
´
y theo mo
.
i ho´an vi
.
(α
1
,α
2
,...,α
n
)cu
’
a c´ac sˆo
´
1, 2,...,n.
Trong ma trˆa
.
n vuˆong (3.7) ta cˆo
´
d
i
.
nh k (k<n) h`ang v`a k cˆo
.
t n`ao
d
´o. Gia
’
su
.
’
d
´o l`a c´ac h`ang v´o
.
isˆo
´
hiˆe
.
u i
1
<i
2
< ··· <i
k
v`a c´ac cˆo
.
tv´o
.
i
sˆo
´
hiˆe
.
u j
1
<j
2
< ··· <j
k
.T`u
.
c´ac phˆa
`
ntu
.
’
n˘a
`
m trˆen giao cu
’
a h`ang
v`a c´ac cˆo
.
td
u
.
o
.
.
ccho
.
n ta c´o thˆe
’
lˆa
.
pd
i
.
nh th´u
.
ccˆa
´
p k
a
i
1
j
1
a
i
1
j
2
... a
i
1
j
k
a
i
2
j
1
a
i
2
j
2
... a
i
2
j
k
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
i
k
j
1
a
i
k
j
2
... a
i
k
j
k
.
D
i
.
nh th´u
.
cn`ayd
u
.
o
.
.
cgo
.
il`ad
i
.
nh th´u
.
cconcˆa
´
p k cu
’
a ma trˆa
.
n A.K´y
hiˆe
.
u
M
i
1
i
2
...i
k
j
1
j
2
···j
k
.
Nˆe
´
utabo
’
d
i c´ac h`ang th´u
.
i
1
,i
2
,...,i
k
v`a c´ac cˆo
.
tth´u
.
j
1
,j
2
,...,j
k
th`ı c´ac phˆa
`
ntu
.
’
c`on la
.
icu
’
a ma trˆa
.
n A s˜e ta
.
o th`anh mˆo
.
t ma trˆa
.
n vuˆong
cˆa
´
p n − k.D
i
.
nh th´u
.
ccu
’
a ma trˆa
.
n vuˆong n`ay l`a d
i
.
nh th´u
.
c con cˆa
´
p
n − k cu
’
a ma trˆa
.
n A v`a d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`aphˆa
`
nb`u(hay d
i
.
nh th´u
.
cconb`u)
cu
’
ad
i
.
nh th´u
.
c con
M
i
1
i
2
···i
k
j
1
j
2
···j
k
v`a du
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
ul`aM
i
1
i
2
···i
k
j
1
j
2
···j
k
.
D
i
.
nh th´u
.
c con b`uv´o
.
idˆa
´
u
(−1)
(i
1
+i
2
+···+i
k
)+(j
1
+j
2
+···+j
k
)
du
.
o
.
.
cgo
.
il`aphˆa
`
nb`ud
a
.
isˆo
´
cu
’
adi
.
nh th´u
.
c con
M
i
1
···i
k
j
1
···j
k
.
Tru
.
`o
.
ng ho
.
.
pd
˘a
.
cbiˆe
.
t: di
.
nh th´u
.
c con b`u M
ij
cu
’
adi
.
nh th´u
.
c con cˆa
´
p
1l`aa
ij
cu
’
a A du
.
o
.
.
cgo
.
i l`a phˆa
`
nb`ucu
’
a phˆa
`
ntu
.
’
a
ij
cu
’
a A v`a sˆo
´
A
ij
=(−1)
i+j
M
ij
go
.
i l`a phˆa
`
nb`uda
.
isˆo
´
cu
’
a phˆa
`
ntu
.
’
a
ij
.
88 Chu
.
o
.
ng 3. Ma trˆa
.
n. D
-
i
.
nh th´u
.
c
3.2.3 T´ınh chˆa
´
tcu
’
adi
.
nh th´u
.
c
Di
.
nh th´u
.
c c´o c´ac t´ınh chˆa
´
t sau
I. Qua ph´ep chuyˆe
’
nvi
.
ma trˆa
.
n, d
i
.
nh th´u
.
ccu
’
a n´o khˆong d
ˆo
’
i, t´u
.
c
l`a det A = det A
T
.
T`u
.
t´ınh chˆa
´
tb`ınh d
˘a
’
ng n`ay gi˜u
.
a c´ac h`ang v`a c´ac cˆo
.
tcu
’
ad
i
.
nh
th´u
.
c suy ra r˘a
`
ng mˆo
.
td
iˆe
`
u kh˘a
’
ng di
.
nh n`ao d´o d ˜ad´ung v´o
.
i h`ang th`ı
n´o c˜ung d
´ung v´o
.
icˆo
.
t. Do d
´o c´ac t´ınh chˆa
´
ttiˆe
´
p theo dˆay chı
’
cˆa
`
n ph´at
biˆe
’
u cho h`ang.
II. Nˆe
´
ud
ˆo
’
ichˆo
˜
hai h`ang cho nhau th`ı di
.
nh th´u
.
cd
ˆo
’
idˆa
´
u.
III. Th`u
.
asˆo
´
chung cu
’
amo
.
i phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
amˆo
.
t h`ang cu
’
ad
i
.
nh th´u
.
c
c´o thˆe
’
d
u
.
a ra ngo`ai dˆa
´
ud
i
.
nh th´u
.
c.
IV. D
i
.
nh th´u
.
c c´o mˆo
.
t h`ang b˘a
`
ng 0 l`a b˘a
`
ng 0.
V. D
i
.
nh th´u
.
c c´o hai h`ang giˆo
´
ng nhau l`a b˘a
`
ng 0.
VI. Nˆe
´
ud
i
.
nh th´u
.
c c´o hai h`ang ty
’
lˆe
.
v´o
.
i nhau th`ı n´o b˘a
`
ng 0.
VII. Nˆe
´
u c´ac phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
a h`ang th´u
.
i cu
’
ad
i
.
nh th´u
.
c D c´o da
.
ng
a
ij
= b
ij
+ c
iJ
, i = 1,n, j = 1,n th`ı di
.
nh th´u
.
c D b˘a
`
ng tˆo
’
ng hai d
i
.
nh
th´u
.
c D
1
+ D
2
, trong d´odi
.
nh th´u
.
c D
1
c´o h`ang th´u
.
i l`a (b
i1
b
i2
···b
in
)
v`a d
i
.
nh th´u
.
c D
2
c´o h`ang th´u
.
i l`a (c
i1
,c
i2
,...,c
in
) c`on c´ac h`ang kh´ac
l`a c´ac h`ang tu
.
o
.
ng ´u
.
ng cu
’
a D.
VIII. Nˆe
´
ud
i
.
nh th´u
.
c c´o mˆo
.
t h`ang l`a tˆo
’
ho
.
.
p tuyˆe
´
n t´ınh cu
’
a c´ac
h`ang kh´ac th`ı d
i
.
nh th´u
.
cb˘a
`
ng 0.
IX. D
i
.
nh th´u
.
c khˆong d
ˆo
’
inˆe
´
u thˆem v`ao mˆo
.
t h`ang n`ao d´omˆo
.
ttˆo
’
ho
.
.
p tuyˆe
´
n t´ınh cu
’
a c´ac h`ang kh´ac.
X. D
i
.
nh th´u
.
cb˘a
`
ng tˆo
’
ng c´ac t´ıch cu
’
a c´ac phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
amˆo
.
t h`ang
n`ao d
´o v ´o
.
i phˆa
`
nb`ud
a
.
isˆo
´
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng.
det A = a
i1
A
i1
+ a
i2
A
i2
+ ···+ a
in
A
in
=
n
j=1
a
ij
A
ij
. (3.10)
Nhˆa
.
nx´et. Ngu
.
`o
.
itac˜ung d`ung t´ınh chˆa
´
t X n`ay d
ˆe
’
l`am di
.
nh ngh˜ıa
d
i
.
nh th´u
.
c.
3.2. D
-
i
.
nh th´u
.
c 89
XI. Tˆo
’
ng c´ac t´ıch cu
’
a c´ac phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
amˆo
.
t h`ang n`ao d
´o v ´o
.
i phˆa
`
n
b`ud
a
.
isˆo
´
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng cu
’
a c´ac phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
a h`ang kh´ac l`a b˘a
`
ng 0:
n
j=1
a
ij
A
kj
=0, ∀ k = i; i, k = 1,n.
Nhˆa
.
nx´et. C´ac t´ınh chˆa
´
t I-III l`a nh˜u
.
ng t´ınh chˆa
´
tco
.
ba
’
n. C´ac t´ınh
chˆa
´
t sau l`a nh˜u
.
ng hˆe
.
qua
’
cu
’
a ba t´ınh chˆa
´
tˆa
´
y.
3.2.4 Phu
.
o
.
ng ph´ap t´ınh d
i
.
nh th´u
.
c
I. Di
.
nh th´u
.
ccˆa
´
p 1, cˆa
´
p2v`acˆa
´
p3d
u
.
o
.
.
c t´ınh theo c´ac cˆong th´u
.
c
|a
11
| = a
11
;
a
11
a
12
a
21
a
22
= a
11
a
22
− a
12
a
21
; (3.11)
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
= a
11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
13
a
21
a
32
− a
13
a
22
a
31
− a
11
a
23
a
32
− a
12
a
21
a
33
.
Khi t´ınh d
i
.
nh th´u
.
ccˆa
´
p 3 ta c´o thˆe
’
su
.
’
du
.
ng quy t˘a
´
c Surrus “da
.
ng
tam gi´ac” ho˘a
.
c “da
.
ng d
u
.
`o
.
ng song song” sau d
ˆay
•••
•••
•••
•••
•••
•••
(+) (−)
a
11
a
12
a
13
a
11
a
12
a
21
a
22
a
23
a
21
a
22
a
31
a
32
a
33
a
31
a
32
90 Chu
.
o
.
ng 3. Ma trˆa
.
n. D
-
i
.
nh th´u
.
c
⊕⊕⊕
II. T´ınh d
i
.
nh th´u
.
ccˆa
´
p n
1
+
Khai triˆe
’
ndi
.
nh th´u
.
c theo c´ac phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
amˆo
.
t h`ang ho˘a
.
cmˆo
.
t
cˆo
.
t (t´ınh chˆa
´
t XI, (3.10)).
2
+
Su
.
’
du
.
ng c´ac t´ınh chˆa
´
tcu
’
ad
i
.
nh th´u
.
cd
ˆe
’
biˆe
´
ndˆo
’
idi
.
nh th´u
.
cd
˜a
cho th`anh d
i
.
nh th´u
.
cm´o
.
i sao cho ngoa
.
itr`u
.
mˆo
.
t phˆa
`
ntu
.
’
a
i
0
j
0
=0,tˆa
´
t
ca
’
c´ac phˆa
`
ntu
.
’
c`on la
.
icu
’
a h`ang th´u
.
i
0
(ho˘a
.
ccˆo
.
t j
0
)dˆe
`
ub˘a
`
ng 0. Khi
d
´o
det A =(−1)
i
0
+j
0
a
i
0
j
0
M
i
0
j
0
.
Tiˆe
´
p theo l`a l˘a
.
pla
.
i qu´a tr`ınh d
´odˆo
´
iv´o
.
i M
i
0
j
0
l`a di
.
nh th´u
.
ccˆa
´
p thˆa
´
p
ho
.
nmˆo
.
td
o
.
nvi
.
.
3
+
Su
.
’
du
.
ng c´ac t´ınh chˆa
´
tcu
’
ad
i
.
nh th´u
.
cd
ˆe
’
biˆe
´
ndˆo
’
idi
.
nh th´u
.
cd
˜a
cho th`anh d
i
.
nh th´u
.
c tam gi´ac (t´u
.
cl`ad
i
.
nh th´u
.
c m`a mo
.
i phˆa
`
ntu
.
’
o
.
’
mˆo
.
tph´ıa cu
’
ad
u
.
`o
.
ng ch´eo ch´ınh d
ˆe
`
ub˘a
`
ng 0). Khi d´odi
.
nh th´u
.
cb˘a
`
ng
t´ıch c´ac phˆa
`
ntu
.
’
trˆen d
u
.
`o
.
ng ch´eo ch´ınh.
4
+
Phu
.
o
.
ng ph´ap truy hˆo
`
i: biˆe
´
nd
ˆo
’
i, khai triˆe
’
ndi
.
nh th´u
.
c theo h`ang
ho˘a
.
c theo cˆo
.
t sao cho d
i
.
nh th´u
.
cd
˜a cho c´o thˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
n qua c´ac di
.
nh
th´u
.
cc`ung da
.
ng nhu
.
ng cˆa
´
p thˆa
´
pho
.
n.
5
+
Biˆe
’
udiˆe
˜
ndi
.
nh th´u
.
cd
˜a cho du
.
´o
.
ida
.
ng tˆo
’
ng c´ac d
i
.
nh th´u
.
cc`ung
cˆa
´
p.
6
+
D`ung di
.
nh l´y Laplace: Gia
’
su
.
’
trong ma trˆa
.
n vuˆong A cˆa
´
p n ta
cho
.
nmˆo
.
t c´ach t`uy ´y m h`ang (hay m cˆo
.
t) 1 m n− 1. Khi d
´o d i
.
nh
th´u
.
c det A b˘a
`
ng tˆo
’
ng c´ac t´ıch cu
’
amo
.
id
i
.
nh th´u
.
c con cˆa
´
p m n˘a
`
m trˆen
c´ac h`ang d
u
.
o
.
.
ccho
.
n nhˆan v´o
.
i phˆa
`
nb`ud
a
.
isˆo
´
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng cu
’
ach´ung.
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı d u
.
1. 1) T´ınh sˆo
´
nghi
.
ch thˆe
´
trong ho´an vi
.
531642
.
2) V´o
.
inh˜u
.
ng gi´a tri
.
n`ao cu
’
a i v`a j th`ı sˆo
´
ha
.
ng a
51
a
1i
a
2j
a
43
a
32
cu
’
a
d
i
.
nh th´u
.
ccˆa
´
p5c´odˆa
´
utr`u
.
.
