De thi va dap an GVG Huyen mon Toan 09 -10

ĐỀ THI GVG HUYỆN NĂM HỌC 2009 - 2010
MÔN: TOÁN
( Thời gian làm bài 120 phút )

Câu 1. a)Cho
a
b
là phân số tối giản . Chứng minh rằng
2
a
a b+
cũng là phân số tối giản.
b) Cho a;b;c là các số nguyên thỏa mãn: a
2
(b-c) + b
2
(c-a) + c
2
(a-b) = a+b+c. Chứng minh
rằng a+b+c
M
27
Câu 2. a) Cho hệ phương trình
ax+by=5
bx+ay=5



( với a,b nguyên dương và khác nhau)
Tìm a,b để hệ có nghiệm (x;y) với x;y là các số nguyên dương.
b) Giải phương trình: 2(x

2
+ 2) = 5
3
1x +
Câu 3.Cho các số dương a;b;c thỏa mãn a + b + c
≤
3 . Chứng minh rằng:
2 2 2
1 2009
670
a b c ab bc ca
+ ≥
+ + + +
Câu 4. Cho hình thang vuông ABCD (
∠
A =
∠
D = 90
0
) và DC = 2 AB
Gọi H là hình chiếu của D trên đường chéo AC và M là trung điểm của đoạn HC
Chứng minh rằng BM
⊥
MD
Câu 5. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O;R). Điểm M thuộc cung nhỏ
»
BC
, gọi I;K;H theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên cạnh AB; AC; BC
a) Chứng minh
AB AC BC

MI MK MH
+ =
b) Giả sử
∆
ABC đều , xác định vị trí của M trên cung
»
BC
để MA + MB + MC =
Max (đạt giá trị lớn nhất)
Câu 6.Tìm giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của phân thức sau cũng là số
nguyên :
12
422
23
+
+++
x
xxx

HƯỚNG DẪN CHẤM THI GVG HUYỆN NĂM HỌC 2009 - 2010
MÔN: TOÁN
Câu 1. ( 4 điểm)
a) ( 2 đ) Vì
a
b
là phân số tối giản nên (a;b) = 1
Giả sử a
2
và a + b cùng chia hết cho số nguyên tố d
Khi đó vì a

2

M
d và d là số nguyên tố nên a
M
d
Từ a
M
d và a+b
M
d => b
M
d như vậy a và b cùng chia hết cho số nguyên tố d, trái với
giẻ thiết (a;b)=1 vậy (a
2
; a+b)=1 hay
2
a
a b+
là phân số tối giản
b) (2đ) a
2
(b-c)+ b
2
(c-a) + c
2
(a-b) = a+b+c.<=> (a-b)(b-c)(a-c)= a+b+c (1)
gọi r
1
, r

2
, r
3
lần lượt là các số dư khi chia a; b; c cho 3
Trường hợp 1: Nếu các số dư khác nhau (0;1;2) thì r
1+
r
2+
r
3
= 3 => a+b+c
M
3
Nhưng các hiệu a-b;b-c;a-c đều không chia hết cho 3 nên đẳng thức 1 không xẩy ra
điều này trái với giả thiết.
Trường hợp 2: Nếu có 2 số dư bằng nhau thì a+b+c không chia hết cho 3 nhưng tích
(a-b)(b-c)(c-a)
M
3 điều này vô lý.
Trường hợp 3: Cả 3 số dư bằng nhau
Khi đó (a-b); (b-c); (a-c) đều chia hết cho 3 => (a-b)(b-c)(a-c)
M
3.3.3
Vậy từ (1) => a+b+c
M
27
Câu 2: (4điểm)
a)(2đ)
ax+by=5
bx+ay=5




=> ax+by=bx+ay <=>(a-b)(x-y) = 0
vì a
≠
b => x-y =0 => x=y
Từ x=y ta có ax+by=5 <=> x(a+b)=5 vậy để phương trình có nghiệm nguyên dương
thì a+b>0 và là ước của 5
Do a,b
∈
N
*
và a
≠
b nên ta có :
a=1 và b = 4 => x = y = 1 ; a= 2 và b = 3 => x = y = 1
a= 3 và b = 2 => x = y = 1 ; a = 4 và b = 1 => x = y = 1
b) ( 2 đ) Đặt a =
1x +
; b =
2
1x x− +
đ/k x
≥
1 ; a
≥
0 ; b >0
a
2

= x + 1 ; b
2
= x
2
-x +1 => x
2
+2 = a
2
+b
2
và x
3
+1

= a
2
b
2

Phương trình trở thành 2(a
2
+b
2
) = 5 ab <=> (2a – b) (a – 2b) = 0 <=> a = 2b hoặc b =
2a
Với a = 2b ta có
1x +
= 2
2
1x x− +

<=> 4x
2
-5x+3 = 0 ( vô nghiệm)
Vowia b = 2a ta có
2
1x x− +
= 2
1x +
<=> x
2
-5x – 3 = 0
x
1,2
=
5 37
2
±
là nghiệm của phương trình
Câu 3. ( 3 điểm) Ta có
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
1 2
( )( 2 2 2 9
1 2 9
1
( )
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca a b c

+ + + + + + ≥
+ + + +
⇒ + ≥ ≥
+ + + + + +
(1)
Mặt khác từ ab+bc+ca
≤
a
2
+b
2
+c
2
=> ab + bc + ca
2
( ) 2007 2007
3 669
3 3
a b c
ab bc ca
+ +
≤ ≤ ⇒ ≥ =
+ +

(2)
Từ (1) và (2) ta có
2 2 2
1 2009
670
a b c ab bc ca

+ ≥
+ + + +
dấu =
xảy ra khi a = b = c = 1
A B
H

N M
D
C
Câu 4 . ( 2,5 điểm)
Gọi N là trung điểm của DH
MN là đường trung bình của
∆
DHC =>
MN =
1
2
DC và MN//CD
Mà AB =
1
2
CD ; AB//CD
 MN =AB và MN//AB => tứ giác ABMN là hình bình hành => AN//BM
 Từ MN//AB mà AB
⊥
AD => MN
⊥
AD => N là trực tâm của
∆

AMD => AN
⊥
MD vì AN//BM mà AN
⊥
DM => BM
⊥
DM
Câu 5.(4 điểm)
a) (2đ) giả sử AC
≥
AB ta có
AB AC AI BI AK KC AI AK
MI MK MI MK MI MK
− +
+ = + = +
(1)
Do góc C
1
= góc A
1
nên cotgA
1
= cotgC
1
=>
AI CH
MI MH
=
(2) và góc A
2

= góc B
1
nên cotg A
2
= cotgB
1
=>
AK BH
MK MH
=
(3)
Từ (1), (2) ,(3) =>
AB AC
MI MK
+
=
AB AC BC
MI MK MH
+ =
b) (2đ)gọi D là giao điểm của MA với BC => tam giác MBD đòng dạnh tam gics
MAC (gg) =>
MB BD
MA AC
=
tương tự
MC CD
MA AB
=
do đó
1

MB MC BD CD
MA MA AB
+
+ =
 MA+MB+MC = 2 MA
≤
4R . vậy Max( MA+MB+MC)= 4 R khi AM là đường
kính khi dó M là trung điểm của cung BC
A
B C C

I
M
Câu 6.( 2,5 điểm) biến đổi
12
3
1
12
3)12()12(
12
422
2
223
+
++=
+
++++
=
+
+++

x
x
x
xxx
x
xxx
Z
x
xxx
∈
+
+++
12
422
23
 3

2x +1  2x+1
∈
-3 ; -1 ; 1 ; 3 Từ đó ta có
2x - 1 -3 -1 1 3
x -2 -1 0 1
2
K

D H
1
1