Đề thi chuyên Lương Văn Tụy tỉnh Ninh Bình Năm học 2006

Đề thi chuyên Lương Văn Tụy tỉnh Ninh Bình Năm
học 2006 – 2007
Đề thi chuyên Lương Văn Tụy
Năm học 2006 – 2007
(Thời gian 150 phút)

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trong đó a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện a.b = 1
Bài 2:
Giải phương trình x² + = 2006
Bài 3:
Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì
2.(x
5
+ y
5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y
2
+ z
2
)
Bài 4:
Cho đường tròn (O; R) với dây BC cố định, số đo cung BC là 120° và điểm A trên
cung lớn BC (A không trùng với B, C và điểm chính giữa của cung lớn BC). Gọi H là
hình chiếu của A trên BC, E và F lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường kính
AA’.

a. Chứng minh rằng tam giác HEF đồng dạng với ABC
b. Khi A thay đổi trên cung lớn BC. Chứng minh các điểm H, E, F luôn cách đều
một điểm cố định.
c. Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF.
Chứng minh 0 < r <
Bài 5:
Cho các số dương x
1
, x
2
, , x
2006
Chứng minh:


Bài 6:
Trên mặt phẳng cho 4013 điểm thỏa mãn cứ 3 điểm bất kỳ tồn tại 2 điểm có khoảng
cách nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng có ít nhất 2006 điểm trong số các điểm đã cho cùng
nằm trong một đường tròn có bán kính bằng 1.