báo cáo nghiên cứu khoa học ' thiết kế bộ điều khiển pid bền vững cho hệ thống phi tuyến bậc hai nhiều đầu vào - nhiều đầu ra và ứng dụng trong điều khiển tay máy công nghiệp'

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010

263
THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN PID BỀN VỮNG CHO HỆ THỐNG
PHI TUYẾN BẬC HAI NHIỀU ĐẦU VÀO - NHIỀU ĐẦU RA VÀ
ỨNG DỤNG TRONG ĐIỀU KHIỂN TAY MÁY CÔNG NGHIỆP
DESIGN OF ROBUST PID CONROLLERS FOR MIMO SECOND-ORDER
NONLINEAR SYSTEMS AND APPLICATIONS IN CONTROL
OF INDUSRIAL MANIPULATORS


Nguyễn Văn Minh Trí
Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng
Lê Văn Mạnh
Trường Đại học Công nghiệp
TP. Hồ Chí Minh


TÓM TẮT
Bài báo nêu lên phương pháp thiết kế bộ điều khiển PID bền vững để áp dụng vào điều
khiển các hệ phi tuyến bậc hai nhiều đầu vào – nhiều đầu ra (MIMO) có các tham số và nhiễu
không xác định. Các tham số của bộ điều khiển PID được xác định bằng công thức mới sử
dụng ngưỡng thay đổi của các thành phần không xác định và nhiễu bên ngoài. Sự hội tụ của h
ệ
thống được chứng minh dựa vào tiêu chuẩn ổn định Lyapunov. Kết quả mô phỏng trên tay máy
hai bậc tự do chứng tỏ tín hiệu điều khiển không còn hiện tượng rung và sai lệch tĩnh của hệ
thống hội tụ về không.

ABSTRACT
This paper presents a design method of the robust PID controller for MIMO second-
order nonlinear systems with bounded uncertainties and disturbances. PID controller

parameters are obtained by proposed equations using the boundary of uncertainties and
external disturbances. The system convergence is proven to be based on the Lyapunov Stability
Theory. Simulation results for the two DOF robotic manipulators show that the chattering of
control signals disappear and system tracking errors turn to zero.

1. Đặt vấn đề
Bộ điều khiển PID (Proportional-Integral-Derivative) được sử dụng rộng rãi
trong nhiều ứng dụng điều khiển vì tính đơn giản và hiệu quả của nó. Ba thông số của
bộ điều khiển là: hệ số tỉ lệ K
P
, hệ số tích phân K
I
và hệ số vi phân K
D
, việc chọn các
thông số này cho phù hợp với hệ thống cần điều khiển là khó khăn. Trong những năm
gần đây, đã có sự quan tâm sâu rộng trong tự điều chỉnh ba thông số của bộ điều khiển.
Các phương pháp tự điều chỉnh PID thường dựa trên các kỹ thuật phản hồi thông tin [1,
2]. Bộ điều khiển PID bền vững là một trong những chiến lược để giải quyết vấn đề
điều khiển với hệ thống không xác định. Tính năng chính của PID bền vững là giúp hệ
thống ổn định nhanh với sự biến đổi các tham số và những nhiễu bên ngoài tác động.
Ứng dụng khác nhau của PID bền vững này có thể được áp dụng điều khiển cho các hệ
thống như: hoạt động của robot, máy bay, hệ thống sản xuất công nghiệp,
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010

264
Trong bài báo này, bộ điều khiển PID bền vững được thiết kế ra cho hệ thống
phi tuyến không xác định MIMO. Mục đích là để hệ thống đạt được sự ổn định nhanh
với sự biến đổi tham số và những nhiễu bên ngoài tác động. Bộ điều khiển PID bền
vững được đưa ra sẽ giảm được việc tính toán phức tạp của thành phần tín hiệu điều

khiển tương đương trong bộ điều khiển trượt trước đây [3]. Thêm vào đó các hệ số bộ
điều khiển PID thông thường [4] chỉ xác định tường minh khi đối tượng điều khiển là
tuyến tính. Trong phần II, lý thuyết về bộ điều khiển PID bền vững áp dụng cho đối
tượng phi tuyến được đưa ra. Các kết quả lý thuyết sau đó được áp dụng cho việc điều
khiển một tay máy công nghiệp hai bậc tự do, được trình bày ở phần III. Các kết luận
được nêu lên ở phần IV.

2. Thiết kế bộ điều khiển
Xét một hệ thống phi tuyến bậc hai MIMO biểu diễn phương trình trạng thái sau:

()
(
)
(
)
t,, duqqBqqaq
+
+
=

, (1)
trong đó
n
R∈u vectơ các tín hiệu điều khiển,
n
R∈q là vectơ các biến trạng thái hệ
thống,
n
R∈)qa(q,


là véc tơ phi tuyến,
nn
R
×
∈)qB(q,

là ma trận điều khiển, khả
nghịch,
n
R∈d là vectơ nhiễu bên ngoài.
Đối với tay máy,
n
Ru ∈ là vectơ các tín hiệu điều khiển tỉ lệ với các lực tổng
quát,
n
R∈q là vectơ các biến khớp, B(q) là ma trận nghịch đảo của ma trận môment
quán tính tay máy
() ()
(
)
nn
R
×
∈>= qH0,qHqH
T
,
(
)()()
[
]

qgqqq,CHqq,a
1
+=
−

với
()
n
R∈qqq,C

là vectơ lực coriolis và lực ly tâm,
(
)
n
R∈qg là vectơ lực trọng trường,
n
R∈d là vectơ nhiễu không xác định.
Giả thuyết rằng:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤
≤=
≤
−
m

m
m
d
h
a
d
HB
a
1
, (2)
Gọi
n
R∈
d
q là vectơ quỹ đạo mong muốn và qqeq;qe
dd

−
=
−
=
là vectơ sai
lệch bám và đạo hàm của chúng.
Chọn hàm lọc bậc 1:
iiii
eeCσ

+
= ,
trong đó

()
n1, ,i0;CR;C;C, ,C,Cdiag
iin21
=
>
∈
=C
Chọn
()
σKu sgn= , (3)
trong đó
()
n1, ,i0;KK;K, ,K,Kdiag
in21
=
>
=
=
K
(
)()
(
)
(
)
[]
T
n21
σsgn, ,σsgn,σsgnsgn =σ
Chứng minh: Đạo hàm của

σ
là: qqeCσ


−
+
=
d

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010

265
()
(
)
(
)
(
)
t
d
dσKqBqq,aqeCσ
+
−
+−= sgn



Chọn
một hàm Lyapunov 0

2
1
3
≥= σσ
T
V ,
(
)
eeCσσ.σ



+==
TT
V
3

(
)
(
)
(
)
(
)
[]
() ( ) ()()()
[]
() () () ()
()

[]
KtV
tV
tV
d
T
d
T
d
TT
−++−≤
−++−=
+−+−==
−
dqq,aqeCHσqBσ
σKdqq,aqeCBqBσ
dσKqBqq,aqeCσσ.σ







sgn
sgn
sgn
3
1
3

3

Rõ ràng 0
3
≤V

nếu
(
)
d
qeC

++++≥ ηK
mmm
dah với η là hằng số dương nhỏ
bất kỳ. Theo tiêu chuẩn ổn định Lyapunov thì:
0
2
1
3
≥= σσ
T
V có 0
3
≤V

, sẽ đảm bảo hệ
thống có σ → 0. Khi σ = 0 =
eCe


+ tương đương với nieeC
iii
, ,1;0
=
=
+

. Với C
i
> 0
thì e
i
→ 0 khi t → ∞ mà tốc độ hội tụ phụ thuộc vào giá trị của C
i
.
Theo chứng minh trên, rằng e → 0 khi
0→e

và
d
q

có giới hạn vì tính chất vật
lý của hệ thống. Nên có thể tìm được một hằng số
E
m
sao cho:
m
E≤+
d

qeC

(4)
Từ đó ta có thể chọn
()
mmmm
hEdaK
+
+
+
=
η
là hằng số.
Ta có định lý sau với chứng minh ở trên:
Định lý 1: Cho hệ thống (1) với giả thiết (2), (4) thỏa mãn, u chọn theo (3), trong đó:
()
constmmmm
KhEdaK
=
+++=
η
, (5)
thì sai lệch bám của hệ thống e sẽ hội tụ về 0.
Nhận xét 1: Từ luật điều khiển (3), ta có thể xây dựng một luật điều khiển PID như sau:

[]
,u, ,u,u
T
n21
=u

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=>
≤≤−++
+
−<−
=
∫
n1, ,iφσkhiK
φσφkhidte
φ
I.C
e.
φ
K
e.
φ
IC.K
φσkhiK
u
iiconst
iii
t
0

i
i
ii
i
i
const
i
i
iiconst
iiconst
i

(6)
Giả thiết rằng: Với mọi
(
)
(
)
0lim,lim
=
=
∞→∞→
tt
d
t
constd
t
qqq

,

()
const
t
t dd =
∞→
lim .
Cho mỗi cặp (q
const
, d
const
), luôn tồn tại một điểm cân bằng [q
const
,0]
T
và một tín
hiệu điều khiển tĩnh
u sao cho đảm bảo ổn định:
(
)
(
)
constconstconst
duqB,qa +
+
=
00(7).
Định lý 2: Cho hệ thống (1) với giả thiết (2), (4) và (7) thỏa mãn và một luật khiển (6)
với K chọn như (5) thì điểm cần bằng của hệ thống kín,
[
]

[
]
T
const
T
0,qqq, =

, là ổn định
toàn cục.
Chứng minh: Chúng ta sẽ chứng minh bằng 2 phần. Phần 1 sẽ chứng minh rằng với
tham số bộ điều khiển được chọn sẽ mang quỹ đạo hệ thống vào một vùng lân cận nhỏ
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010

266
bất kỳ quanh điểm cân bằng
[]
[
]
T
const
T
0,qqq, =

. Phần tiếp theo chúng ta chỉ ra rằng tham
số của bộ điều khiển được chọn sẽ đảm bảo sự ổn định toàn cục của điểm cân bằng.

* Chứng minh phần 1: Xét hệ thống nhỏ thứ i
- Khi
ii
φσ

> thì u
i
= K
const
.sign(σ
i
), do đó theo hệ quả 2 thì trạng thái hệ thống
sẽ được đẩy vào bên trong một lớp biên
{
}
i
iii
qL
φσ
≤= .
- Khi
ii
φσ
≤ ,
iiii
eeC

+=
σ
=>
iiii
eCe
σ
+
−

=


Tồn tại một số M
i
sao cho M
i
.(-C
i
) + (-C
i
).M
i
= - 1 => M
i
=
i
C2
1
.
Chọn V
4
= M
i
.e
i
2
⇒
iiiiii
eMeCMV

σ
2 2
2
4
+−=



ii
i
i
e
C
eV
σ
.
1
2
4
+−≤

; Nếu
i
i
i
C
e
φ
≥ thì 0
2

2
4
≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−=
i
i
i
C
eV
φ


Kết quả trạng thái hệ thống sẽ hội tụ trong vùng có
i
i
i
C
e
φ
≤
Suy ra
iiii

eCe
σ
+−≤

⇔
iiii
e
φφφ
2=+≤


Hệ thống sẽ hội tụ về vùng Ω=
nie
C
e
iiii
i
i
i
, ,1,2 =
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
≤∩≤∩≤
φσφ
φ


bao
quanh điểm cân bằng
()
0,0 == ee

, hay là điểm cân bằng
[
]
[
]
T
const
T
0,qqq, =


* Chứng minh phần 2: Xét hệ thống nhỏ thứ i
Đặt
∫
+= dtIs
iiii
σσ
, tính hiệu điều khiển (6) trở thành: u
i
= K
const
.sat(s
i
/φ
i

) (8)
Khi
ii
φσ
≤ , có 4 khả năng xảy ra:
c Nếu 0=+=
iii
Is
σ
σ

, σ
i
sẽ tiến về 0 với tốc độ hội tụ là I
i
, và e
i
→ 0 khi t → ∞
như chứng minh ở định lý 1.
d Nếu 0<
+
=
iiii
Is
σ
σ

khi 0>
i
σ

hoặc 0>
+
=
iiii
Is
σ
σ

khi 0<
i
σ
, ta cho thể
nhân hai vế của bất đẳng thức để được:
00
22
≤−<⇔<+
iiiiiiii
II
σσσσσσ


⇔
02
2
≤−=−<=
iiiiiii
VIIV
σσσ



, do đó e
i
→0 khi t→∞ như chứng minh ở định lý 1.
e Nếu 0<+=
iiii
Is
σ
σ

khi 0
<
i
σ
, điều này đồng nghĩa là hàm s
i
luôn giảm khi
s
i
<0. Do đó, sau một thời gian xác định, s
i
<-φ
i
, và luật điều khiển (3) đảm bảo 0
3
≤V

, e
i

→ 0 khi t → ∞ như chứng minh ở định lý 1.

f Nếu 0>
+
=
iiii
Is
σ
σ

khi 0>
i
σ
, điều này đồng nghĩa là hàm s
i
luôn tăng khi
s
i
>0. Do đó, sau một thời gian xác định, s
i
>φ
i
, và luật điều khiển (3) đảm bảo
0
3
≤V

,
e
i
→ 0 khi t→ ∞ như chứng minh ở định lý 1.
Giả thiết (7) suy ra rằng có tồn tại điểm cân bằng

với:
iiiiiii
ssuueee ===== ,,0,0,0

; Trong đó
(
)
constdtqqCIs
idi
t
iii
=−=
∫
∞→
lim
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010

267
Đặt
iii
sss −=
~
và một hàm Lyapunov :
2
5
~
2
1
ii
sV = ; Đạo hàm

i
V
5
, ta được:

iii
ssV


.
~
5
= =
()
iiiii
sssss

+−+−
22
~~
với
∫
+= dtIs
iiii
σσ
,
iiii
eeC

+

=
σ

() ()
()
() ()
()
()()()
()
iiiiiiiiiiiiiiii
iiiiiiiiiiiiiiiiiii
iiiiiiiiiiiiiiiiii
sdteCIeeCIeCIICssV
eIeeCIeeCsdteCIeeCssV
eeCIeeCsdteeCIeeCssV
−++++++++−=
+++++−+++−=
++++−++++−=
∫
∫
∫






1
~~
~~

~~
22
5
22
5
22
5

()() ()
()
iidiiiiiiiiiiiiiii
sdtqqCIeeCIeCIICssV −−++++++++−≤
∫


1
~~
22
5
Vì
(
)
(
)
∞→→−−→→→
∫
tkhisdtqqCIeee
iidiiiiii
0,0,0,0


, bất đẳng
thức trên chỉ ra rằng các trạng thái của hệ thống thứ i sẽ tiến về điểm cân bằng
()
0,0 ==
ii
ee

. Tổng quát hoá cho cả hệ thống, ta có điểm cân bằng
()
0,0 == ee

, hay
[][ ]
T
const
T
0,qqq, =

là ổn định toàn cục.
3. Kết quả mô phỏng
3.1. Mô hình toán học tay máy 2 bậc tự do [5]
Xét hình chiếu bằng tay máy như hình 1, gọi q

là véc-tơ vị trí của hai khớp, khi
đó: q = [q
1
q
2
]
T

.

Hình 1. Hình chiếu bằng của tay máy
Hàm Lagrange của cánh tay robot được xác định bởi:
(
)()()
qPqqKqqL −
=

,,

(9),
trong đó, K, P là tổng động năng và tổng thế năng của hệ thống.
Phương trình Lagrange-Euler chính là lực tổng quát tác động lên khâu thứ i được
xác định bởi:
()
(
)
21;
,,
÷=
∂
∂
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

∂
∂
= i
q
qqL
q
qqL
dt
d
i




τ

Phương trình động lực học nhận được bằng cách áp dụng phương trình Lagrange:
(
)
[
]
()
[]
() ()
2
22212212212222212
2
22
1212212
2

22
2
12
2
111
sinsin2cos
cos2
qqllmqqqllmqIqllmlm
qIIqllmlmlmlm
CCCC
CCC


−−+++
++++++=
τ
(11)
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010

268

()
[
]
[
]
()
2
1221222
2

22122212
2
222
sincos qqllmqIlmqIqllmlm
CCCC

+++++=
τ
(12)
3.2. Mô phỏng và kết quả
a) Với K
consti
, I
i
,
φ
i
(i = 1
÷
3) là hằng số và C
i
lần lượt là C
1
= 3; C
2
= 10;

C
3
= 30 và

quỹ đạo đặt là một đa thức bậc 3
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
pgq q
Thoi gian [s]
u dieu khien


u13
u12
u11

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-0.5
0
0.5
1
1.5
Thoi gian [s]
Sai lech e

e13
e12
e11


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Thoi gian [s]
Sai lech e


e23
e22
e21

Hình 2. Tín hiệu điều khiển và sai lệch bám khớp 1 và 2 của tay máy {tương ứng với u
1i
, u
2i

và e
1i
, e
2i
(i = 1
÷
3)}
* Nhận xét: Ta thấy C
i
nhỏ sai lệch bám e
i
của các khâu bám chậm tiến về 0 so với C
i

lớn hơn. Nếu C
i
lớn thì sai lệch bám e
i
của các khâu nhanh tiến về 0 nhưng hệ có sự quá
điều chỉnh. Tóm lại giá trị C
i
quyết định chất lượng điều khiển của hệ thống.

b) Với C
i
, I
i
,
φ
I

(i = 1
÷
3) là hằng số và K
consti
lần lượt là K
const1
= 0,1; K
const2
= 0,6;
K
const3
= 1500 và quỹ đạo đặt là một đa thức bậc 3
0 0.5 1 1. 5 2 2.5 3
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
Thoi gian [s]
u
di
eu
khi
e

n


u13
u12
u11

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Thoi gian [s]
Sai l ech e


e13
e12
e11

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-50
-40
-30

-20
-10
0
10
20
30
40
50
pgq q
Thoi gian [s]
u
di
eu
khi
en


u23
u22
u21

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25

0.3
0.35
0.4
Thoi gian [s]
Sai l ech e


e23
e22
e21

Hình 3. Tín hiệu điều khiển và sai lệch bám khớp 1 và 2 của tay máy {tương ứng với u
1i
, u
2i
và e
1i
, e
2i
(i = 1
÷
3)}
u di eu khi e
n
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-50
-40
-30
-20
-10

0
10
20
30
40
50
Thoi gian [s]


u23
u22
u21
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010

269
* Nhận xét: Ta thấy: K
consti
nhỏ hệ có sự dao động so với K
consti
lớn. Khi K
consti
lớn tín
hiệu điều khiển có sự thay đổi của u rất nhanh. Tóm lại K
consti
phụ thuộc vào hệ và ảnh
hưởng đến sự ổn định của hệ.
c) Kết quả trên cho phép chọn tham số tối ưu là C
i
= 15, K
consti

= 10, I
i
= 0,1 và
φ
I
= 0,5 với quỹ đạo đặt là một đa thức bậc 3, nguồn nhiễu bên ngoài d
1
= 0,1
và d
2
= 5.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Thoi gian [s]
nhi eu


d1
d2

Hình 4. Nguồn nhiễu bên ngoài d
1

và d
2
lần lượt tác động đến tay máy

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
g
Thoi gian [s]
u dieu khien


u1(d1)
u1(d2)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-0.2
0
0.2
0.4
0.6

0.8
1
1.2
1.4
1.6
Thoi gian [s]
S
a
i l
ec
h
e


e1(d1)
e1(d2)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
Thoi gian [s]
u dieu khien

u2(d1)
u2(d2)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0
.
4
Thoi gian [s]
Sai lech e


e2(d1)
e2(d2)

Hình 5. Tín hiệu điều khiển và sai lệch bám khớp 1 và 2 của tay máy {tương ứng với u
1
(d
i
), u
2
(d

i
) và
e
1
(d
i
), e
2
(d
i
)

(i = 1
÷
2)}
* Nhận xét: Khi chọn tham số tối ưu là C
i
= 15, K
consti
= 10, I
i
= 0,1, φ
i
= 0,5 (i = 1
÷
2)
và tăng nguồn nhiễu lên 50 lần (d
1
= 0,1 và d
2

= 5) như trên ta thấy: sai lệch bám e
i
của
các khâu nhanh tiến về 0, khi nguồn nhiễu bên ngoài lớn (d
2
= 5) tác động đến tay máy
làm cho khớp 1 có sự quá điều chỉnh (≈4,5%) nhưng không làm cho hệ thống tay máy
tính mất ổn định. Hoạt động các khớp của tay máy dường như không bị ảnh hưởng khi
có nhiễu bên ngoài tác động.
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010

270
d) Nhận xét chung
Kết quả mô phỏng cho thấy, sự hội tụ và sai lệch bám của hệ thống sẽ thay đổi
khi các thông số K
consti
, I
i
, φ
i
, C
i
(i = 1÷3) thay đổi và được xác định bằng công thức:
i
iiconsti
Pi
ICK
K
φ
+

=
.
;
i
ii
Ii
IC
K
φ
.
=
;
i
consti
Di
K
K
φ
=

Từ kết quả mô phỏng trên và việc xác định các thông số của bộ điều khiển ta
tính được các hệ số K
Pi
, K
Ii
, K
Di
dễ dàng, kết quả này có được nhờ vào việc chứng minh
bộ điều khiển PID bền vững ở mục II. Đây là kết quả mang tính khoa học cao khi mà
các hệ số của bộ điều khiển PID cho đối tượng phi tuyến MIMO được xác định bằng

công thức rõ ràng.
4. KẾT LUẬN
Bài báo đã nêu được phương pháp xây dựng bộ điều khiển PID bền vững và áp
dụng để điều khiển một hệ phi tuyến MIMO như tay máy công nghiệp. Các kết quả mô
phỏng tay máy 2 bậc tự do cho thấy độ chính xác của quỹ đạo có thể khống chế được
theo yêu cầu cho trước.
Các hệ số của bộ điều khiển PID được xác định bằng các công thức tường minh,
phụ thuộc vào các thông số K
consti
, I
i
, φ
i
, C
i
. Sự ổn định của hệ thống kín đã được chứng
minh dựa vào tiêu chuẩn ổn định Lyapunov, sau đó bộ điều khiển PID bền vững này
được áp dụng để điều khiển tay máy 2 bậc tự do. Ảnh hưởng của sự thay đổi các thông
số K
consti
, d
i
, C
i
đến chất lượng đầu ra của hệ thống cũng được phân tích và trình bày.
Các kết quả mô phỏng cho thấy tín hiệu điều khiển không còn sự thay đổi nhanh và sai
lệch bám của hệ thống đảm bảo tiến về không. Những kết quả này một lần nữa chứng
minh lý thuyết và thể hiện tính khả thi của bộ điều khiển PID bền vững được đưa ra
trong bài báo.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] A. Leva, “PID autotuning algorithm based on relay feedback,”IEE Porc-Control
Theory Appl., vol. 140, 1993, pp. 328-337.
[2]
Q. G. Wang, B. Zou, T. H. Lee, and Q. Bi, “Auto-tuning of multivariable PID
controller from decentralized relay feedback,” Automatica, vol. 33, 1997, pp. 319-
330.
[3]
Lê Tấn Duy, Thiết kế bộ điều khiển trượt cho hệ tay máy robot, Tạp chí Khoa học
và Công nghệ, Đại học Đà Nẵng, số 4/2003.
[4]
Vũ Tú Anh, Bộ điều khiển PID số cho động cơ DC ứng dụng ASIC, Tạp chí Khoa
học và Công nghệ, Đại học Đà Nẵng, số 4/2008.
[5]
Mark W. Spong, Seth Hutchinson, and M. Vidyasagar, Robot Modeling and
Control, 2004.