Bài tập Giải tích 12

Bài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh
HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ
Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh Hùng
ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM


1. ĐẠO HÀM
Bài 1: Cho hàm số y = f(u) = u
3
. Tìm hàm số hợp y = f[u(x)] của biến số x qua hàm số trung gian
u = u(x) = x
2
+ 3x + 1.
Bài 2: Tìm hàm số y = f(u) và hàm số trung gian của các hàm số sau:
a) y =
15
)
12
(
x
x −
. b) y =
aaxx 23
2
+−
(a là hằng số).
c) y = tg
1
2
+x
. d) y = sin(x

2
- 3x + 2).
Bài 3: Cho P(x) =
x−1
3
1
và Q(x) =
2
4
9ln
x
. Chứng minh rằng P'(1) = Q'(1).
Bài 4: Cho P(x) =
x
1
và Q(x) =
e
x
2
2
log
log
. Chứng minh rằng P'(1) = -Q'(2).
Bài 5: Hàm số P(x) = ax
2
+ bx + 4 lấy giá trò dương với mọi x. Tìm tất cả các giá trò nguyên của
a và b sao cho P'(1) = 4.
Bài 6: Cho hàm số y = xsinx. Chứng minh rằng ta có: xy'' - 2(y' - sinx) + xy = 0.
Bài 7: Một chuyển động thẳng có phương trình s(t) =
234

2
3
2
1
12
1
ttt ++
. Chứng minh rằng gia tốc
của chuyển động đó dương tại mọi thời điểm.
Bài 8: Tính đạo hàm của các hàm số sau đây:
a) y = (2 - x
2
)cosx + 2xsinx. b) y = tg
2
x - cotg
2
x.
c) y = 2lnlnx - ln2x. d) y = 2
)1( −xe
x
.
e) y = (
x
x
)
1
1+
(x > 0). (HD: Trước hết lôgarít hóa hai vế với cơ số e)
Bài 9: Tính
a) f'() biết f(x) =

xxx
xxx
sincos
cossin
−
−
. b) f''(
6
π
) biết f(x) = sin2x.
c) f
(5)
(1) biết f(x) = ln(1 + x).
Bài 10: Dùng đònh nghóa, tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = xsinx tại điểm x = 1. b) y = f(x) =





=
≠
0
0
1
cos
2
xkhia
xkhi
x

x
tại điểm x = 0.
Bài 11: Cho hàm số f(x) =





=
≠
−−
0
0
11
xkhia
xkhi
x
x
. Xác đònh a để hàm số có đạo hàm tại x = 0.
Khi đó, tính f'(0).
Tài liệu lưu hành nội bộ
1
Tài liệu lưu hành nội bộ 1 Tài liệu lưu hành nội bộ 1 Tài liệu lưu hành nội bộ 1 Tài liệu lưu hành nội bộ 1
Bài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh
HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ
Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh Hùng
Bài 12: Chứng minh rằng hàm số y = x[C
1
cos(lnx) + C
2

sin(lnx)] (C
1
, C
2
là hai hằng số) thỏa mãn
phương trình: x
2
y'' - xy' + 2y = 0.
Bài 13: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = tgx -
7
3
x
+ ln(x
2
+ 1). b) y = cosln3
sinx + 2
.
c) y = lnsintg(x
2
+ 1). d) y = tglnsin(3x - 2).
Bài 14: Chứng minh rằng
a) Hàm số y = e
x
sinx thỏa mãn hệ thức y''' - 4y'' + 6y' - 4y = 0.
b) Hàm số y = 3e
-2x
thỏa mãn hệ thức y''' + 4y'' + 6y' + 4y = 0.
Bài 15: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò của các hàm số:
a) y =

2
54
2
+
++
x
xx
tại điểm có hoành độ x = 0.
b) y = x
3
- 3x
2
+ 2 tại điểm (-1; -2).
c) y =
12 +x
biết hệ số góc của tiếp tuyến là
3
1
.
2. SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ:
Bài 1: Xét sự đồng biến, nghòch biến của hàm số:
a) y = 3x
2
- 8x
3
. b) y = 16x + 2x
2
-
3
16

x
3
- x
4
.
c) y = x
3
- 6x
2
+ 9x. d) y = x
4
+ 8x
2
+ 5.
Bài 2: Tìm các khoảng đồng biến, nghòch biến của hàm số:
a) y =
7
23
+
−
x
x
. b) y =
2
)5(
1
−x
.
c) y =
9

2
2
−x
x
. d) y =
x
x 48
4
+
.
e) y =
1
32
2
+
+−
x
xx
. f) y =
2
35
2
−
+−
x
xx
.
Bài 3: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a) y = (1 - x
2

)
3
. b) y = x
2
lnx.
c) y =
32
2
−− xx
. d) y =
2
)1(
1
+x
.
Bài 4: Chứng minh rằng hàm số f(x) = x - sinx tăng trên khoảng
)
2
;
2
(
ππ
−
. Từ đó suy ra rằng với
mọi x > 0 ta có x > sinx.
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi giá trò của m, hàm số y =
1
2
22
+

−++
x
mxmx
đồng biến trên từng
khoảng xác đònh của nó.
Bài 6: Xác đònh m sao cho hàm số:
Tài liệu lưu hành nội bộ
2
Tài liệu lưu hành nội bộ 2 Tài liệu lưu hành nội bộ 2 Tài liệu lưu hành nội bộ 2 Tài liệu lưu hành nội bộ 2
Bài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh
HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ
Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh Hùng
a) y =
mx
mxmmx
−
−++−
22
1)12(
nghòch biến trên từng khoảng xác đònh.
b) y =
mx
mmxx
−
++− 2
2
đồng biến trên từng khoảng xác đònh.
Bài 7: Xác đònh m để hàm số:
a) y = x
2

+ mx + 1 đồng biến trên khoảng (1; +)
b) y = mx
2
- (m + 6)x + 3 nghòch biến trên khoảng (-1; +).
Bài 8: Xác đònh m để hàm số y =
3
1
x
3
- 2x
2
+ mx - 2 đồng biến
a) trên khoảng (-; +).
b) trên khoảng (-; 1).
Bài 9: Chứng minh rằng phương trình x
3
- 3x + c = 0 không thể có hai nghiệm thực trong đoạn [0;
1].
Bài 10: Hãy tìm trên đồ thò hàm số f(x) = x
3
- x

những điểm mà tại đó tiếp tuyến song song với
dây cung nối các điểm có hoành độ là 10 và 12.
Bài 11: Xác đònh giá trò của b để hàm số f(x) = sinx - bx + c nghòch biến trên toàn trục số.
3. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ - CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
Bài 1: Tìm cực trò của các hàm số sau:
a) y = -2x
2
+ 7x - 5. b) y = x

3
- 3x
2
- 24x + 7.
c) y = x
4
- 5x
2
+ 4. d) y = (x + 1)
3
(5 - x).
e) y = (x + 2)
2
+ (x - 3)
3
.
Bài 2: Tìm cực trò của các hàm số sau:
a) y =
8
1
2
+
+
x
x
.

b) y =
1
32

2
−
+−
x
xx
.
c) y =
1
5
2
+
−+
x
xx
. d) y =
52
)4(
2
2
+−
−
xx
x
.
Bài 3: Tìm các khoảng đơn điệu và cực trò của các hàm số:
a) y =
4
1
2
+

−
x
x
. b) y = x - lnx.
c) y = x
2
4 x
e
−
.
Bài 4: Tìm các khoảng đơn điệu và cực trò của hàm số y = cos3x - 15cosx + 8 trên đoạn [
]
2
3
;
3
ππ
.
Bài 5: Cho hàm số y =
1
2
+
+−
x
mxx
. Xác đònh m sao cho:
a) Hàm số có cực trò.
b) Hàm số có hai cực trò và hai giá trò cực trò trái dấu nhau.
Bài 6: Cho hàm số y = x
3

- 6x
2
+ 3(m + 1)x - m - 6. Xác đònh m sao cho:
Tài liệu lưu hành nội bộ
3
Tài liệu lưu hành nội bộ 3 Tài liệu lưu hành nội bộ 3 Tài liệu lưu hành nội bộ 3 Tài liệu lưu hành nội bộ 3
Bài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh
HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ
Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh Hùng
a) Hàm số có cực trò.
b) Hàm số có hai giá trò cực trò cùng dấu.
Bài 7: Xác đònh m để hàm số y = x
3
- mx
2
+ (m -
3
2
)x + 5 có cực trò tại x = 1. Khi đó hàm số đạt
cực tiểu hay cực đại?. Tính giá trò cực trò tương ứng.
Bài 8: Cho hàm số y =
3
1
x
3
- mx
2
+ (m
2
- m + 1)x + 1. Với giá trò nào của m thì hàm số đạt cực

tiểu tại x = 1?
Bài 9: Với giá trò nào của k thì hàm số y = -2x + k
1
2
+x
có cực tiểu?
Bài 10: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) e
x
1 + x với mọi x R.
b) x - 1 lnx với mọi x > 0.
c) cosx 1 -
2
2
x
với mọi x R.
d) sinx > x -
6
3
x
với mọi x > 0.
4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Bài 1: Tìm giá trò nhỏ nhất, giá trò lớn nhất của các hàm số:
a) y = x
4
- 3x
3
- 2x
2
+ 9x với x [-2; 2]. b) y = 3x +

2
10 x−
.
c) y = (x + 2)
2
4 x−
. d) y = (3 - x)
1
2
+x
với x [0; 2].
Bài 2: Tìm giá trò nhỏ nhất, giá trò lớn nhất của hàm số:
a) y =
2
3
2
2
++
+
xx
x
. b)
1
38
2
+−
−
=
xx
x

y
.
c) y =
2cos
1sin2
+
+
x
x
. d) y =
3cos2sin
cossin
++
−
xx
xx
.
Bài 3: Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của các hàm số sau đây trên các đoạn tương ứng:
a) f(x) = -3x
2
+ 4x - 8 trên đoạn [0; 1].
b) f(x) = x
3
+ 3x
2
- 9x - 7 trên đoạn [-4; 3].
c) f(x) =
x45 −
trên đoạn [-1; 1].
d) f(x) =

2
25 x−
trên đoạn [-4; 4]
e) f(x) = x
2
- 3x + 2 trên đoạn [-10; 10].
f) f(x) =
xsin
1
trên đoạn [
6
5
;
3
ππ
].
g) f(x) = 2sinx + sin2x trên đoạn [0;
2
3
π
].
Bài 4: Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của các hàm số sau đây trên các khoảng tương ứng:
Tài liệu lưu hành nội bộ
4
Tài liệu lưu hành nội bộ 4 Tài liệu lưu hành nội bộ 4 Tài liệu lưu hành nội bộ 4 Tài liệu lưu hành nội bộ 4
Bài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh
HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ
Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh Hùng
a) y =
2

4 x
x
+
trên khoảng (-; +). b) y =
xcos
1
trên khoảng (
2
3
;
2
ππ
).
c) y =
4
1
1
x+
trên khoảng (-; +). d) y =
xsin
1
trên khoảng (0; ).
Bài 5: Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của các hàm số:
a) y = x.e
x - 1
trên đoạn [-2; 2].
b) y =
4
2
+x

trên đoạn [-1; 3].
c) y = cos(
2
π
- x) + sinx -
3
4
sin
3
x trên đoạn [0; ].
Bài 6: Cho số dương m. Hãy phân tích m thành tổng của hai số dương sao cho tích của chúng là
lớn nhất.
Bài 7: Tìm hai số biết hiệu của chúng là 13 sao cho tích của chúng là bé nhất.
Bài 8: Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh
huyền bằng hằng số a (a > 0).
Bài 9: Hai đỉnh của một hình chữ nhật ABCD nằm trên trục Ox, và hai đỉnh kia (với tung độ
dương) nằm trên parabol y = 4 - x
2
. Gọi S
1
là diện tích giới hạn bởi parabol đã cho với trục hoành,
S
2
là diện tích hình chữ nhật ABCD và S = S
1
- S
2
. Tính kích thước hình chữ nhật ABCD sao cho S
đạt giá trò nhỏ nhất và tính giá trò đó.
5. TÍNH LỒI, LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ

Bài 1: Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thò của các hàm số sau đây:
a) y = x
3
- 2x
2
+ x + 3. b) y = x
4
+ 2x
2
- 8.
c) y = x
4
- 6x
2
+ 3. d) y = x
3
- 9x
2
+ 2x - 3.
e) y = 3x
5
- 5x
4
+ 3x - 2.
Bài 2: Tìm a, b để:
a) I(1; -2) là điểm uốn của đồ thò của hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ x + 1.

b) I(1; 1) là điểm uốn của đồ thò của hàm số y = x
3
- ax
2
+ x + b.
Bài 3: Chứng minh rằng đồ thò của các hàm số:
a) y =
1
1
2
+
+
x
x
. b) y =
1
12
2
++
+
xx
x
.
có ba điểm uốn thẳng hàng.
Bài 4: Tìm m để đồ thò của hàm số y = x
4
- (m + 1)x
2
+ 3.
a) Có hai điểm uốn. b) Không có điểm uốn.

6. TIỆM CẬN
Bài 1: Tìm các đường tiệm cận của đồ thò của mỗi hàm số sau:
a) y =
2
12
+
−
x
x
. b) y =
13
23
+
−
x
x
.
Tài liệu lưu hành nội bộ
5
Tài liệu lưu hành nội bộ 5 Tài liệu lưu hành nội bộ 5 Tài liệu lưu hành nội bộ 5 Tài liệu lưu hành nội bộ 5
Bài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh
HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ
Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh Hùng
c) y =
x32
5
−
. d) y =
1
4

+
−
x
.
Bài 2: Tìm các đường tiệm cận của đồ thò của mỗi hàm số sau:
a) y =
x
xx
−
+−
1
33
2
. b) y =
1
3
2
−
−
x
xx
.
c) y = -x +
1
3
+x
. d) y =
1
1
2

+
++
x
xx
.
Bài 3: a) Cho hàm số y = x + m +
xm −
3
(H). Xác đònh m để tiệm cận xiên của đồ thò (H) đi qua
điểm (1; 2).
b) Hãy chỉ ra phép biến hình biến (H) thành (H') và (H') nhận giao điểm của hai đường
tiệm cận làm tâm đối xứng.
7. KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bài 1: Khảo sát và vẽ đồ thò các hàm số:
a) y = x
2
- 4x + 3. b) y = 2 - 3x - x
2
.
c) y = 2x
3
- 3x
2
- 2. d) y = x
3
- x
2
+ x.
e) y =
2

1
x
4
- x
2
+ 1. f) y = 2x
2
- x
4
.
Bài 2: Khảo sát và vẽ đồ thò các hàm số:
a) y =
1
2
+
−
x
x
. b) y =
23
12
+
−
x
x
.
c) y =
12
2
−

−
x
x
. d) y =
x
x 9
2
+
.
e) y =
1
23
2
+
+−
x
xx
. g) y = 2 - x -
x−1
2
.
8. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ.
Bài 1: Cho hàm số y = x
2
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò của hàm số đó, biết:
a) Tiếp điểm là điểm (1; 1).
b) Tung độ của tiếp điểm bằng 4.
c) Tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = -x + 2.
d) Tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y =
1

2
1
+x
.
e) Tiếp tuyến đó đi qua điểm (0; -1).
Bài 2: Khảo sát hàm số y = x
3
- 3x
2
+ 4 (1). Từ điểm M(0; 4) kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến của
đồ thò (1)?. Viết phương trình các tiếp tuyến đó.
Tài liệu lưu hành nội bộ
6
Tài liệu lưu hành nội bộ 6 Tài liệu lưu hành nội bộ 6 Tài liệu lưu hành nội bộ 6 Tài liệu lưu hành nội bộ 6
Bài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh
HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ
Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh Hùng
Bài 3: Khảo sát hàm số y = 1 + 2x
2
-
4
4
x
(1). Dựa vào đồ thò hàm số đó, biện luận số nghiệm
của phương trình sau đây theo m: x
4
- 8x
2
+ 4 - m = 0 (2).
Bài 4: Cho hàm số y =

1
1
−
+
x
x
(1).
a) Khảo sát hàm số (1).
b) Chứng minh rằng đồ thò (1) có tâm đối xứng. Tìm tọa độ tâm đối xứng.
c) Chứng minh rằng trên đồ thò (1) có vô số cặp điểm mà tại đó, các tiếp tuyến song song
với nhau từng đôi một.
Bài 5: Cho hàm số y =
1
1
2
+
++
x
xx
(1).
a) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số (1).
b) Tìm các điểm trên đồ thò (1) mà tọa độ của chúng là những số nguyên.
Bài 6: a) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số y = -x
3
+ 3x + 1. (C)
b) Chỉ ra phép biến hình biến (C) thành đồ thò (C') của hàm số y = (x + 1)
3
- 3x - 4
c) Dựa vào đồ thò (C'), biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau đây:
(x + 1)

3
= 3x + m (1)
d) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thò (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường
thẳng y =
9
x
−
+ 1.
Bài 7: Cho hàm số y =
1
1
2
+
++
x
xx
.
a) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
b) Chứng minh rằng (C) không có tiếp tuyến nào song song với đường thẳng y = 2x - 1.
c) Dựa vào đồ thò hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
x
2
+ (1 - m)x + 1 - m = 0.
Bài 8: Cho hàm số y = x
3
- (m + 4)x
2
- 4x + m. (1)
a) Tìm các điểm mà đồ thò của hàm số (1) đi qua với mọi giá trò của m.
b) Chứng minh rằng đồ thò hàm số (1) luôn luôn có cực trò.

c) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của (1) khi m = 0.
d) Xác đònh k để (C) cắt đường thẳng y = kx tại ba điểm phân biệt.
Bài 9: Cho hàm số y =
3
5
2
−
−−
x
xx
(C).
a) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số.
b) Xác đònh m để phương trình x
2
- (m + 1)x + 3m = 0 có hai nghiệm dương.
c) Xác đònh k để tiệm cận xiên của (C) tiếp xúc với đồ thò của hàm số y = x
2
+ k.
Bài 10: Cho hàm số y =
4
4
x
- 2x
2
-
4
9
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
Tài liệu lưu hành nội bộ

7
Tài liệu lưu hành nội bộ 7 Tài liệu lưu hành nội bộ 7 Tài liệu lưu hành nội bộ 7 Tài liệu lưu hành nội bộ 7
Bài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh
HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ
Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh Hùng
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó với trục Ox.
c) Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thò hàm số y = k - 2x
2
(P).
Bài 11: Cho hàm số y =
2
12)4(2
2
−
+−−+
x
mxmx
(C
m
).
a) Xác đònh m để đồ thò (C
m
) nhận điểm (2; 1) làm tâm đối xứng.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C
-3
) của hàm số khi m = -3.
c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 3 - 2x +
x−2
1
= m.

Bài 12: Cho hàm số y = 4x
3
+ mx (1) (m là tham số).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số ứng với m = 1.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng (d) có phương trình là:
y = 13x + 1.
c) Tìm các điểm cố đònh của họ đường cong (1) với m R.
d) Xét sự biến thiên của hàm số (1) tùy thuộc vào giá trò của m.
Bài 13: Cho hàm số y = f(x) = x
3
+ mx
2
- 3 (1)
a) Xác đònh m để hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu.
b) Chứng minh rằng phương trình: x
3
+ mx
2
- 3 = 0 (2) luôn luôn có một nghiệm dương với
mọi m R.
c) Xác đònh m để phương trình (2) có một nghiệm duy nhất.
Bài 14: Cho hàm số y = f(x) = -(m
2
+ 5m)x
3
+ 6mx
2
+ 6x - 5 (C
m
).

a) Xác đònh m để hàm số đơn điệu trên R. Khi đó hàm số đồng biến hay nghòch biến? tại
sao?
b) Tìm các điểm cố đònh của họ (C
m
). Tiếp tuyến của (C
m
) tại những điểm cố đònh có cố
đònh hay không khi m thay đổi? tại sao?
c) Với giá trò nào của m thì hàm số đạt cực đại tại x = 1?
Bài 15: Cho hàm số y = f(x) = x
4
- 2mx
2
+ m
3
- m
2
(C
m
).
a) Tìm các điểm cố đònh của họ (C
m
) khi m thay đổi.
b) Gọi A là điểm cố đònh có hoành độ dương của (C
m
). Hãy tìm giá trò của m để tiếp tuyến
với đồ thò tại A song song với đường thẳng y = 2x - 3.
Bài 16: Cho hàm số y =
2
)1(3

−
+
x
x
có đồ thò (C).
a) Khảo sát và vẽ đồ thò của hàm số.
b) Viết phương trình các đường thẳng đi qua O(0; 0) và tiếp xúc với (C).
c) Tìm tất cả các điểm trên (C) có tọa độ là các số nguyên.
Bài 17: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số y =
3
2
−
+
x
x
(C).
b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thò là tâm đối xứng của
đồ thò (C).
c) Tìm điểm M trên đồ thò của hàm số sao cho khoảng cách từ M đến đường tiệm cận
đứng bằng khoảng cách từ M đến đường tiệm cận ngang.
Tài liệu lưu hành nội bộ
8
Tài liệu lưu hành nội bộ 8 Tài liệu lưu hành nội bộ 8 Tài liệu lưu hành nội bộ 8 Tài liệu lưu hành nội bộ 8
Bài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh
HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ
Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh Hùng
Bài 18: Cho hàm số y =
1
24)1(
22

−
−+−+−
x
mmxmx
.
a) Xác đònh m để hàm số có cực trò. Tìm m để tích của giá trò cực đại và cực tiểu đạt giá trò
nhỏ nhất.
b) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m = 0.
c) Chứng minh rằng (C) có tâm đối xứng là giao điểm I của hai đường tiệm cận.
d) Tìm trên (C) các điểm có tọa độ nguyên.
Bài 19: Chứng minh rằng phương trình: 3x
5
+ 15x - 8 = 0 chỉ có một nghiệm thực.
Bài 20: Cho hàm số y =
1
2)1(2
2
+
+++
x
xmx
.
a) Với giá trò nào của m thì hàm số đồng biến trên khoảng (0; +)?
b) Tìm giá trò của a để đồ thò (C) của hàm số ứng với m = 0 tiếp xúc với parabol y = -x
2
+ a.
Bài 21: a) Khảo sát và vẽ đồ thò của hàm số y =
22
2
−

+
x
xx
.
b) Bằng đồ thò hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình
22
2
−
+
x
xx
= m.
Bài 22: Cho hàm số y =
mx
x
32
4
+
−
(C
m
).
a) Xét tính đơn điệu của hàm số.
b) Chứng minh rằng với mọi m, đường tiệm cận ngang của đồ thò luôn đi qua điểm B(
2
1
;
4
7
−−

).
c) Biện luận theo m số giao điểm của (C
m
) và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
d) Vẽ đồ thò của hàm số y =
32
4
+
−
x
x
.
Bài 23: a) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số y =
2
54
2
+
++
x
xx
.
b) Từ (C) suy ra đồ thò của hàm số y =
2
54
2
+
++
x
xx
.

c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường
thẳng y =
4
3
x - 3.
Bài 24: Cho hàm số y =
1
1)2(
2
−
++−+
x
kxkx
.
a) Xác đònh k để hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu.
b) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số khi k = 2.
Tài liệu lưu hành nội bộ
9
Tài liệu lưu hành nội bộ 9 Tài liệu lưu hành nội bộ 9 Tài liệu lưu hành nội bộ 9 Tài liệu lưu hành nội bộ 9
Bài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh
HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ
Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh Hùng
c) Xác đònh a để phương trình:
1
3
2
−
+
x
x

= a có hai nghiệm phân biệt.
Bài 25: Cho hàm số y =
1
4)1(
2
−
+−−+
x
mxmx
(1).
a) Khảo sát hàm số với m = 2.
b) Chứng minh rằng hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu với mọi m Z.
Bài 26: Tiếp tuyến của đồ thò hàm số y =
x−2
cắt trục tung tại điểm N sao cho
ON
=
2
3
, cắt
trục hoành tại điểm P sao cho
OP
= 3. Tìm tọa độ của tiếp điểm.
Bài 27: Biên luận theo k số nghiệm của phương trình:
a) (x - 1)
2
= 2x - k. b) (x + 1)
2
(2 - x) = k.
Bài 28: Cho hàm số y =

mx
mmxx
+
−+ 2
2
(1).
a) Xác đònh m để hàm số có cực trò.
b) Vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m = 1.
c) Vẽ đồ thò hàm số y =
1
12
2
+
−+
x
xx
.
d) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
1
12
2
+
−+
x
xx
= m.
Bài 29: Cho hàm số y =
3
)1(
3

xa −
+ ax
2
+ (3a - 2)x.
a) Xác đònh a để hàm số luôn luôn đồng biến.
b) Xác đònh a để đồ thò hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
c) Khảo sát và vẽ đồ thò của hàm số ứng với a =
2
3
. Từ đó suy ra đồ thò của hàm số:
y =
2
5
2
3
6
23
xxx
++
.
Tài liệu lưu hành nội bộ
10
Tài liệu lưu hành nội bộ 10 Tài liệu lưu hành nội bộ 10 Tài liệu lưu hành nội bộ 10 Tài liệu lưu hành nội bộ 10
Bài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh
HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ
Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh Hùng
NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY

1. NGUYÊN HÀM
Bài 1: Tính các nguyên hàm sau:
a)
∫
− 2x
dx. b)
∫
+
2
)3(x
dx
.
c)
∫
dxxe
x
2
. d)
∫
gxdxcot
.
e)
∫
xdxx 5cos3sin
. f)
∫
xdxtg
2
.
Bài 2: Kiểm tra xem hàm số nào là nguyên hàm của hàm số kia trong mỗi cặp hàm số sau đây:

a) f(x) = ln(x +
2
1 x+
) và g(x) =
2
1
1
x+
.
b) f(x) = e
sinx
cosx và g(x) = e
sinx
.
c) f(x) = sin
2
x
1
và g(x) = -
2
1
x
sin(
x
2
).
d) f(x) =
22
1
2

+−
−
xx
x
và g(x) =
22
2
+− xx
.
e) f(x) = x
2
x
e
1

và g(x) = (2x - 1)
x
e
1
.
Bài 3: Chứng minh rằng các cặp hàm số dưới đây đều là nguyên hàm của cùng một hàm số:
a) F(x) =
32
16
2
−
++
x
xx
và G(x) =

32
10
2
−
+
x
x
.
b) F(x) =
x
2
sin
1
và G(x) = 10 + cotg
2
x.
c) F(x) = 5 + 2sin
2
x và G(x) = 1 - cos2x.
Bài 4: Tìm một nguyên hàm của các hàm số sau đây:
a) f(x) = (x - 9)
4
. b) f(x) =
2
)2(
1
x−
.
c) f(x) =
2

1 x
x
−
. d) f(x) =
12
1
+x
.
e) f(x) =
x
x
2
cos
2cos1−
. f) f(x) =
1
12
2
++
+
xx
x
.
Bài 5: Tìm họ các nguyên hàm sau đây:
a)
∫
− dxex
x
)21(
. b)

∫
−
dxxe
x
.
Tài liệu lưu hành nội bộ
11
Tài liệu lưu hành nội bộ 11 Tài liệu lưu hành nội bộ 11 Tài liệu lưu hành nội bộ 11 Tài liệu lưu hành nội bộ 11
Bài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh
HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ
Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh Hùng
c)
∫
− dxxx )1ln(
. d)
∫
xdxx
2
sin
.
e)
∫
++ dxxx )1ln(
2
. f)
∫
xdxx
2
ln
.

g)
∫
dx
x
x
2
)
ln
(
. h)
∫
−
+
dx
x
x
x
1
1
ln
.
i)
∫
xdxx 2sin
2
. j)
∫
dxtgxx )ln(cos
.
Bài 6: Tính các nguyên hàm sau đây:

a)
∫
+ dxxx
3
32
1
(đặt t = 1 + x
3
). b)
∫
−
dxxe
x
2
(đặt t =x
2
).
c)
∫
+
dx
x
x
22
)1(
(đặt t = 1 + x
2
). d)
∫
−

dx
xx)1(
1
(đặt t =
x
).
e)
∫
dx
xx
2
1
.
1
sin
(đặt t =
x
1
). f)
∫
dx
x
x
2
)(ln
(đặt t = lnx).
g)
∫
dx
x

x
3
2
cos
sin
(đặt t = cosx). h)
∫
xdxx
3
sincos
(đặt t = sinx).
i)
∫
−
−
dx
ee
xx
1
(đặt t = e
x
). j)
∫
−
+
dx
xx
xx
cossin
sincos

(đặt t = sinx - cosx).
Bài 7: Tính các nguyên hàm sau đây:
a)
∫
− dxxx
5
)3(
. b)
∫
− dx
xx 2
)32(
.
c)
∫
− dxxx 52
. d)
∫
dx
x
x
2
cos
)ln(sin
.
e)
∫
dx
x
x

2
sin
. f)
∫
+−
+
dx
xx
x
)3)(2(
1
.
g)
∫
−
dx
x1
1
. h)
∫
xdxx 2cos3sin
.
i)
∫
dx
x
x
2
3
cos

sin
. j)
∫
+
dx
xbxa
xx
2222
cossin
cossin
(a
2
b
2
).
Bài 8: Bằng cách biến đổi các hàm số lượng giác, hãy tính các nguyên hàm sau đây:
a)
∫
xdx
4
sin
. b)
∫
dx
x
3
sin
1
.
c)

∫
xdxx
43
cossin
. d)
∫
xdxx
44
cossin
.
e)
∫
dx
xx
2
sincos
1
. f)
∫
+
+
dx
x
x
cos1
sin1
.
Bài 9: Tính các nguyên hàm:
Tài liệu lưu hành nội bộ
12

Tài liệu lưu hành nội bộ 12 Tài liệu lưu hành nội bộ 12 Tài liệu lưu hành nội bộ 12 Tài liệu lưu hành nội bộ 12
Bài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh
HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ
Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh Hùng
a)
∫
−− 3)32( xx
dx . b)
∫
+
dx
x
x
2
3
)1(
.
c)
∫
−
+
dx
ee
e
xx
x
. d)
∫
−
dx

ax sinsin
1
.
e)
∫
dxxx sin
. f)
∫
+
dx
x
x
x
1
ln
.
Bài 10: Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số: f(x) =
xsin1
1
+
?
a) F(x) = 1 - cotg(
42
π
+
x
). b) G(x) = 2tg
2
x
.

c) H(x) = ln(1 + sinx). c) K(x) = 2(1 -
2
1
1
x
tg+
).
2. TÍCH PHÂN
Bài 1: Tính các tích phân sau:
a)
∫
+
4
0
2sin21
2cos
π
dx
x
x
. b)
∫
+
4
0
2
cos
2sin1
π
dx

x
x
.
c)
∫
2
6
32
cossin
π
π
xdxx
. d)
∫
+
3
3
2
3x
dx
.
Bài 2: Tính các tích phân sau:
a)
∫
−
2
1
2
9x
dx

. b)
∫
−
3
1
2
3
16x
dxx
.
c)
dxxx
2
2
0
3
3
8
∫
−
. c)
∫
−
3
2
2
1x
dx
.
d)

∫
−
1
0
2
4 x
dx
. d)
∫
−
+
1
1
5
2y
dyy
.
Bài 3: Tính các tích phân sau:
a)
∫
3
2
x
dxe
x
. b)
∫
2
0
2cos

2sin
π
xe
x
.
c)
∫
+
8
1
3
1
dx
x
x
.
Tài liệu lưu hành nội bộ
13
Tài liệu lưu hành nội bộ 13 Tài liệu lưu hành nội bộ 13 Tài liệu lưu hành nội bộ 13 Tài liệu lưu hành nội bộ 13
Bài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh
HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ
Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh Hùng
Bài 4: Tính các tích phân sau:
a)
∫
+−
2
0
2
sin)32(

π
xdxxx
. b)
∫
+
1
0
22
)1( dxex
x
.
c)
∫
−
2
1
ln)12( xdxx
.
Bài 5: Tính các tích phân sau:
a)
∫
4
0
2
)sin(
π
dxx
. b)
∫
3

6
2
cos
)ln(sin
π
π
dx
x
x
.
c)
∫
−+
2
0
2
)1ln( dxxx
. d)
∫
2
1
)cos(ln dxx
.
Bài 6: Tính các tích phân sau đây:
a)
∫
−+
1
0
23

)23( dyyy
. b)
∫
−+
4
1
2
)
11
( dt
t
t
t
.
c)
∫
−
2
0
)2sin2cos2(
π
dxxx
. d)
∫
−
1
0
2
)23( ds
ss

.
e)
∫∫∫
++
2
5
2
3
2
3
3
3
0
3cos3cos3cos
π
π
π
π
π
xdxxdxxdx
. f)
∫
−−
3
0
2
2 dxxx
.
g)
∫

+
−
4
5
2sin1
cossin
π
π
dx
x
xx
.
Bài 7: Tính các tích phân sau đây:
a)
∫
2
0
2cos
π
xdxx
. b)
∫
−
2ln
0
2
dxxe
x
.
c)

∫
+
1
0
)12ln( dxx
. d)
∫
+−−
3
2
)]1ln()1[ln( dxxx
.
e)
∫
+
−+
2
2
1
1
)
1
1( dxe
x
x
x
x
. f)
∫
2

0
2
sincos
π
xdxxx
.
g)
∫
+
1
0
2
)1(
dx
x
xe
x
. h)
∫
+
e
x
dxe
x
xx
1
ln1
.
Tài liệu lưu hành nội bộ
14

Tài liệu lưu hành nội bộ 14 Tài liệu lưu hành nội bộ 14 Tài liệu lưu hành nội bộ 14 Tài liệu lưu hành nội bộ 14
Bài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh
HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ
Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh Hùng
i)
dxxe
x
∫
+
+
3
0
1
1.
(đặt t =
1+x
).
Bài 8: Tính các tích phân sau đây:
a)
∫
−
2
1
5
)1( dxxx
, đặt t = 1 - x. b)
∫
−
2ln
0

1dxe
x
, đặt =
1−
x
e
.
c)
∫
−
9
1
3
1 dxxx
, đặt t =
3
1 x−
. d)
∫
−
++
+
1
1
2
1
12
dx
xx
x

, đặt u = x
2
+ x + 1.
e)
∫
+
2
1
4
2
1
dx
x
x
, đặt t =
x
1
. f)
∫
+
π
0
2
cos1
sin
dx
x
xx
, đặt x = - t.
Bài 9: Tính các tích phân sau:

a)
∫
−
+
−
4
2
2
)
3
2
( dx
x
x
. b)
∫
−
−−+
6
4
)43( dxxx
.
c)
∫
−
++
2
3
37x
dx

. d)
∫
+
2
0
sin41
cos
π
dx
x
x
.
e)
∫
+
3
0
2
)2( dxex
x
. g)
∫
++
2
1
510
9
44
dx
xx

x
.
h)
∫
+
5
2
4
dx
x
x
.
Bài 10: Tính các tích phân sau:
a)
∫
−
+−
2
1
5,02
)5( dxexx
x
. b)
∫
+−
2
5,0
3
)cos
3

2( dxx
x
x
.
c)
∫
+
2
1
32x
dx
. d)
∫
+
2
1
2
3
1
3
)43( dxxx
.
e)
dxxx
∫
−
−
2
2
)2(

. g)
∫
0
1
cos xdxx
.
h)
∫
+
++
2
6
cossin
2cos2sin1
π
π
dx
xx
xx
. i)
∫
2
0
sin
π
xdxe
x
.
k)
dxxx

e
∫
1
22
ln
.
Bài 11: Tính các tích phân:
Tài liệu lưu hành nội bộ
15
Tài liệu lưu hành nội bộ 15 Tài liệu lưu hành nội bộ 15 Tài liệu lưu hành nội bộ 15 Tài liệu lưu hành nội bộ 15
Bài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh
HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ
Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh Hùng
a)
∫
−
1
0
2
)1( dyyy
. b)
dzzz
∫
−+
2
1
3
2
2
)1)(1(

.
c)
∫
+
1
0
2
1
2
3
)1( dttt
. d)
ϕϕϕ
π
d)sin(cos
5
2
0
5
−
∫
.
e)
∫
π
ααα
0
3
3coscos d
. f)

∫
π
β
β
β
0
sin
3sin
d
.
Bài 12: Chứng minh các bất đẳng thức sau đây:
a) 0
∫
+
1
0
3
6
19
1
dx
x
x

20
1
. b) 0
∫
+
−

200
0
5
20
dx
x
e
x

100
1
.
c) 1 -
n
1

dxe
n
x
∫
−
1
0
1, n > 1.
Bài 13: Chứng minh rằng:
xdxx
n
n
π
sinlim

∞→
= 0.
Bài 14: Chứng minh rằng hàm số f(x) cho bởi f(x) =
∫
+
x
dt
t
t
0
4
1
, x R là hàm số chẵn.
Bài 15: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a; a]. Chứng minh rằng:
∫
∫
−





=
a
a
dxxf
lẻsốhàmlàfnếu0
chẵnsốhàmlàfnếuf(x)dx2
a
0

)(
Áp dụng để tính
)1ln(
2
2
2
∫
−
++ xx
.
Bài 16: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Chứng minh rằng:
∫ ∫
=
2
0
2
0
)(cos)(sin
π π
dxxfdxxf
.
Bài 17: Đặt I
n
=
∫
2
0
sin
π
xdx

n
, n N. Chứng minh rằng I
n
=
n
n 1−
I
n - 2
, n 2.
Bài 18: Đặt I
m, n
=
∫
−
1
0
)1( dxxx
nm
, m, n N. Chứng minh rằng I
m, n
=
1,1
1
−+
+
nm
I
m
n
, m 0, n 1.

3. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y = x
2
- 2x + 4, y - 4 = x.
Tài liệu lưu hành nội bộ
16
Tài liệu lưu hành nội bộ 16 Tài liệu lưu hành nội bộ 16 Tài liệu lưu hành nội bộ 16 Tài liệu lưu hành nội bộ 16
Bài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh
HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ
Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh Hùng
b) y =
x
e
2
1
−
, y = e
-x
, x = 1.
c) y = x, y = 0, y = 4 - x.
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y = 2x - x
2
, x + y = 2.
b) y = x
3
- 12x, y = x
2
.

c) x + y = 1, x + y = -1, x - y = 1, x - y = -1.
d) y =
2
1
1
x+
, y =
2
1
.
e) y = x
3
- 1 và tiếp tuyến với y = x
3
- 1 tại điểm (-1; -2).
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y = x - 1 +
x
xln
, y = x - 1 và x = e.
b) y = x
3
- x
2
và y =
9
1
(x - 1).
c) y = 1 -
2

1 x−
và y = x
2
.
Bài 4: Tìm diện tích của hình tam giác được cắt ra bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ thò
của hàm số y = lnx, tại giao điểm của đồ thò đó với trục Ox.
Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y = x
2
- 2x + 3, y = 5 - x.
b) y = x
2
- 2x + 2, y = -x
2
- x + 3.
c) y = 2x
3
- x
2
- 8x + 1, y = 6.
d) Parabol y = -x
2
+ 6x - 8, tiếp tuyến tạo bởi đỉnh của parabol và trục tung.
e) y = x
3
- 3x và tiếp tuyến với đường cong tại điểm có hoành độ x = -
2
1
.
g) y =

2
1
x
2
- 2x + 2 và các tiếp tuyến với đường cong xuất phát từ điểm M(
2
5
; - 1).
Bài 6: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y = x
2
- 1 và y = 5 + x.
b) 2y = x
2
+ x - 6 và 2y = -x
2
+ 3x + 6.
c) y =
x
1
+ 1, x = 1 và tiếp tuyến với đường thẳng y =
x
1
+ 1 tại điểm (2;
2
3
).
Bài 7: Một hình phẳng được giới hạn bởi y = e
-x
, y = 0, x = 0 và x = 1. Ta chia đoạn [0; 1] thành

n phần bằng nhau tạo thành một hình bậc thang.
Tài liệu lưu hành nội bộ
17
Tài liệu lưu hành nội bộ 17 Tài liệu lưu hành nội bộ 17 Tài liệu lưu hành nội bộ 17 Tài liệu lưu hành nội bộ 17
Bài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh
HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ
Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh Hùng
n
n
2
n
1
n
1
x
y
O
a) Tính diện tích S
n
của hình bậc thang.
b) Tìm
n
x
S
∞→
lim
và so sánh với cách tính diện tích hình phẳng này bằng công thức tính tích
phân.
Bài 8: Trong các cặp hình phẳng giới hạn bởi các đường sau, cặp nào có diện tích bằng nhau?
a) {y = x + sinx, y = x với 0 x } và {y = x + sinx, y = x với x 2}.

b) {y = sinx, y = 0 với 0 x } và {y = cosx, y = 0, 0 x }.
c) {y = 2x - x
2
, y = x} và {y = 2x - x
2
và y = 2 - x}.
d) {y = logx, y = 0, x = 10} và {y = 10
x
, x = 0, y = 10}.
e) {y =
x
, y = x
2
} và {y =
2
1 x−
, y = 1 - x}.
4. THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
Bài 1: Tính thể tích các hình tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây
quay quanh trục Ox:
a) y = x
3
+ 1, y = 0, x = 0, x = 1.
b) y = -3x
2
+ 3x + 6, y = 0.
Bài 2: Tìm thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi:
a) y = 5x - x
2
, y = 0, khi nó quay quanh xung quanh trục Ox.

b) y
2
= 4x, y = x, khi nó quay quanh xung quanh trục Ox.
Bài 3: Tính thể tích các khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác đònh bởi:
a) y = 2 - x
2
, y = 1, quanh trục Ox.
b) y = 2x - x
2
, y = x, quanh trục Ox.
c) y =
3
1
)12( +x
, x = 0, y = 3, quanh trục Oy.
d) y = x
2
+ 1, x = 0 và tiếp tuyến với y = x
2
+ 1 tại điểm (1; 2), quanh trục Ox.
e) y = lnx, y = 0, x = e, quanh trục Oy.
Bài 4: Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay quanh trục Ox các miền giới hạn bởi các
đường:
a) y = x
3
, y = 8 và x = 3.
b) y =
π
2
x, y = sinx, x [0;

2
π
].
c) y = x, > 0, x [0; 1].
Bài 5: Tính thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng xác đònh bởi:
Tài liệu lưu hành nội bộ
18
Tài liệu lưu hành nội bộ 18 Tài liệu lưu hành nội bộ 18 Tài liệu lưu hành nội bộ 18 Tài liệu lưu hành nội bộ 18
Bài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh
HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ
Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh Hùng
a) y =
3
2
x
, x = 0 và tiếp tuyến với đường y =
3
2
x
tại điểm có hoành độ x = 1, quanh trục Oy.
b) y =
x
1
- 1, y = 0, y = 2x, quanh trục Ox.
c) y = 2x - x
2
, y = 0 và x = 3 quanh:
Trục Ox.
Trục Oy.
Bài 6: Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng sau đây:

y =
x
1
, y = 0, x = 1 và x = a (a > 1)
Gọi thể tích đó là V(a). Xác đònh thể tích của vật thể khi a + (tức là
)(lim aV
a +∞→
).
Tài liệu lưu hành nội bộ
19
Tài liệu lưu hành nội bộ 19 Tài liệu lưu hành nội bộ 19 Tài liệu lưu hành nội bộ 19 Tài liệu lưu hành nội bộ 19
Bài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh
HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ
Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh Hùng
ĐẠI SỐ TỔ HP


1. HOÁN VỊ - CHỈNH HP - TỔ HP
Bài 1:
a) Có bao nhiêu số tự nhiên chẳn có 4 chữ số đôi một khác nhau.
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẳn.
c) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số và chia hết cho 5.
d) Có bao nhiêu số chẳn có 3 chữ số.
Bài 2: Từ các chữ số : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6.
a) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau.
b) Có bao nhiêu số tự nhiên chẳn có 5 chữ số đôi một khác nhau.
c) Có bao nhiêu số tự nhiên có gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau và trong đó phải có mặt
chữ số 5.
d) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5.
e) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 10.

Bài 3: Trong một bình đựng viên bi gồm có 4 bi trắng và 6 bi đỏ, ta lấy ra ba viên bi để kiểm tra
lại. Nhất thiết phải có 1 viên bi trắng và 1 viên bi đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách kiểm tra.
Bài 4: Trong không gian cho 9 điểm không có 4 điểm nào đồng phẳng (thuộc cùng một mặt
phẳng). Có thể lập được bao nhiêu hình tứ diện với đỉnh thuộc tập hợp 9 điểm đã cho.
Bài 5: Cho n điểm phân biệt trên đường một đường tròn.
a) Có bao nhiêu đường thẳng được tạo thành từ các điểm trên.
b) Có bao nhiêu tam giác có các đỉnh là các điểm trên.
Bài 6: Một nhóm học sinh có gồm 4 trai và 3 gái, ta chọn ra 3 em trong đó có ít nhất một trai
một gái. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
Bài 7: Một cái khay tròn đựng bánh, kẹo ngày tết có 6 ô hình quạt. Hỏi có bao nhiêu cách bày 6
loại bánh kẹo vào 6 ô đó?
Bài 8: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn nam và 5 bạn nữ vào 10 ghế được sắp xếp thành hàng
ngang, sao cho
a) Nam và nữ ngồi xen kẽ nhau?
b) Các bạn nam ngồi liền nhau?
Bài 9: Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn trong đó có An và Bình vào 10 ghế sắp thành
hàng ngang, nếu
a) Hai bạn An và Bình ngồi cạnh nhau?
b) Hai bạn An và Bình ngồi cách nhau?
Bài 10: Thầy giáo có ba quyển sách Toán khác nhau cho ba bạn mượn (mỗi bạn một quyển).
Sang tuần sau thầy giáo thu lại và tiếp tục cho ba bạn mượn ba cuốn đó. Hỏi có bao nhiêu cách cho
mượn sách mà không bạn nào phải mượn cuốn đã học?
Bài 11: Bốn người đàn ông, hai người đàn bà và một đứa trẻ được xếp ngồi vào bảy chiếc ghế
đặt quanh một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho
Tài liệu lưu hành nội bộ
20
Tài liệu lưu hành nội bộ 20 Tài liệu lưu hành nội bộ 20 Tài liệu lưu hành nội bộ 20 Tài liệu lưu hành nội bộ 20
Bài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh
HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ
Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh Hùng

a) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn bà?
b) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn ông?
Bài 12: Ba quả cầu được phân phối vào ba cái hộp khác nhau (không nhất thiết hộp nào cũng có
quả cầu). Hỏi có bao nhiêu cách phân phối, nếu
a) Các quả cầu giống hệt nhau (không phân biệt)?
b) Các quả cầu đôi một khác nhau?
Bài 13: Có bao nhiêu cách chia 10 người thành
a) Hai nhóm, một nhóm 7 người, nhóm kia 3 người?
b) Ba nhóm tương ứng gồm 5, 3, 2 người?
Bài 14: Một giá sách bốn tầng xếp 40 quyển sách khác nhau, mỗi tầng xếp 10 quyển. Có bao
nhiêu cách chọn từ mỗi tầng
a) Hai quyển sách?
b) Tám quyển sách?
Bài 15: Cô mẫu giáo chia 4 quả táo, 3 quả cam và 2 quả chuối cho 9 cháu (mỗi cháu một quả).
Hỏi có ba nhiêu cách chia?
Bài 16: Một đoàn đại biểu gồm bốn học sinh được họn từ một tổ gồm 5 nam và 4 nữ. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn sao cho trong đó có ít nhất một nam và ít nhất một nữ?
Bài 17: Có thể dựng được bao nhiêu tam giác mà đỉnh của chúng thuộc tập hợp gồm 10 điểm
nằm trên đường tròn?
Bài 18: Một đa giác lồi 20 cạnh có bao nhiêu đường chéo?
Bài 19: Có bao nhiêu tập con của tập hợp gồm 4 điểm phân biệt?
Bài 20: Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào 10 ghế mà không có hai
bạn nữ nào ngồi cạnh nhau, nếu
a) Ghế xếp thành hàng ngang?
b) Ghế xếp quanh một bàn tròn?
Bài 21: Với các chữ số 1, 2, 3, 4 và 5 có thể lập được bao nhiêu
a) Số chẵn có ba chữ số khác nhau?
b) Số có ba chữ số khác nhau và không lớn hơn 345?
c) Số chẵn có ba chữ số khác nhau và không lớn hơn 345?
Bài 22: Một tập thể nhà khoa học gồm 2 nhà toán học và 10 nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách

thành lập từ tập thể đó một phái đoàn gồm 8 người trong đó có ít nhất một nhà toán học?
Bài 23: Trên giá sách có 30 quyển sách, trong đó 27 quyển có tác giả khác nhau và 3 quyển của
cùng một tác giả. Hỏi có bao nhiêu cách sắp các sách đó, sao cho các sách của cùng một tác giả
đứng cạnh nhau?
Bài 24: Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy n điểm, trên cạnh BC lấy m điểm và trên cạnh
CA lấy k điểm. Hỏi có bao nhiêu tam giác với đỉnh là các điểm đó?
Bài 25: Một đa giác lồi n cạnh (n 4) có bao nhiêu đường chéo?
Bài 26: Tìm số giao điểm tối đa của
a) 10 đường thẳng phân biệt.
b) 10 đường tròn phân biệt.
c) 10 đường thẳng và 10 đường tròn phân biệt.
Tài liệu lưu hành nội bộ
21
Tài liệu lưu hành nội bộ 21 Tài liệu lưu hành nội bộ 21 Tài liệu lưu hành nội bộ 21 Tài liệu lưu hành nội bộ 21
Bài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh
HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ
Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh Hùng
Bài 27: Khoa ngoại của một bệnh viện có 40 bác só. Hỏi có bao nhiêu cách lập kíp mổ:
a) Nếu mỗi kíp mỗ có 1 người mổ và 1 người phụ mổ?
b) Nếu mỗi kíp mổ có 1 người mổ và 4 phụ mổ?
Bài 28: Hội đồng quản trò của một xí nghiệp có 11 người, gồm 7 nam và 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu
cách lập ban thường trực, biết rằng trong đó phải có ít nhất một người nam?
Bài 29: Chứng minh rằng với 1 k n ta có
k
n
k
n
k
n
CCC

1
1
1 −
+
+
+=
+ +
k
k
k
k
CC +
+1
.
Bài 30: Tìm số hạn âm của dãy x
n
=
nn
n
PP
A
4
143
2
4
4
−
+
+
(n = 1, 2, 3, ).

Bài 31: Giải các phương trình:
a)
48.
12
=
−x
xx
CA
. b)
23
24
43
1
4
=
−
−
+
x
xx
x
CA
A
.
c)
210
.
3
4
1

2
=
−
−
+
PA
P
x
x
x
.
Bài 32: Rút gọn biểu thức: E =
111
21
2
1
−−
+++++
n
n
n
n
p
n
p
n
n
nn
C
C

n
C
C
p
C
CC
.
Bài 33: Chứng minh:
a)
121
2 2
−
=+++
nn
nnn
nnCCC
.
b)
0)1( 2
121
=−++−
− n
n
n
nn
nCCC
.
Bài 34: Chứng minh:
a)
p

qrq
p
r
p
qr
p
qr
CCCCCCC
+
−
=+++
0110

b)
n
n
n
nnn
CCCC
2
22120
)( )()( =+++
biết rằng p r và p q.
Bài 35: Giải các phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình:
a)
xCA
x
xx
14
23

=+
−
. b)
8109
9
xxx
AAA =+
.
c)
xCCC
xxx
2
7
321
=++
. d)
( )
443
1
2324
x
x
xx
ACA =−
−
+
.
e)
0502
22

2
=+−
xx
AA
. f)
05512
2
1
4
3
=−
++ xx
AC
.
g) P
x+2
= 210
3
4
1
.pA
x
x
−
−
. h)
1002
333222
=++
−− n

nnnn
n
nn
CCCCCC
.
i)
0
4
5
2
1
3
1
4
1
〈−−
−−− xxx
ACC
. j)
xx
CC
10
1
10
2〉
−
.
k)
2:5:6::
11

1
=
−+
+
y
x
y
x
y
x
CCC
. l)





=−
=−
−
+
054
0
1
1
y
x
y
x
y

x
y
x
CC
CC
.
m)





=+
=+
402
503
y
x
y
x
y
x
y
x
CA
CA
.
Bài 36: Tính tổng :
Tài liệu lưu hành nội bộ
22

Tài liệu lưu hành nội bộ 22 Tài liệu lưu hành nội bộ 22 Tài liệu lưu hành nội bộ 22 Tài liệu lưu hành nội bộ 22
Bài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh
HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ
Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh Hùng
1 a)
11
11
7
11
6
11
CCCS +++=
.
2 b)
n
n
n
nn
CCCS 2 22
221
+++=
.
c)
n
n
nn
nnn
CCCCS 2)1( 2221
33221
−++−+−=

.
d)
5
5
51
5
0
5
2 2 CCCS +++=
, sau đó giải phương trình:

1023
109321
=+++++
−−−−− x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
CCCCC
Bài 37: Chứng minh đẳng thức :
a)
( )
11
1

3
1
2
1
1
21
+
=
+
−
++−
+
n
n
C
n
CC
n
n
n
nn
.
b)
1
13
1
2

3

2
2
2
2
11
2
3
1
2
0
+
−
=
+
++++
++
n
C
n
CCC
n
n
n
n
nnn
.
2. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON
Bài 1: a) Tìm hệ số đầu trong sự khai triển nhò thức NewTon của (
4
1

2
1
2
1
−
+ xx
)
n
(x > 0).
b) Xác đònh số mũ n, biết rằng 3 hệ số nói trên lập thành một cấp số cộng theo thứ tự đó.
Bài 2: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhò thức NewTon:
a)
12
1






+ x
x
. b)
16
3
1







+
x
x
. d)
12
1
2






−
x
x
.
Bài 3:
a) Tìm hệ số của x
101
y
99
trong khai triển nhò thức (2x-3y)
200
.
b) Tìm hệ số của x
9
trong khai triển ( 2-x )

19
.
c) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển nhò thức
10
3
5
1






+ x
x
.
d) Cho nhò thức
n
x
x






+
2
3
1

. Xác đònh hệ số thứ 1 , 2 , 3 trong khai triển đó và cho tổng 3 hệ
số nói trên là 11. Tìm hệ số chứa x
2
.
e) Tìm hệ số chứa x
4
trong khai triển:
6
])1[( ++ xx
.
f) Tìm hệ số chứa x
4
trong khai triển:
82
])1[1( xx −+
.
Bài 4: Cho đa thức p(x) = (x - 2y)
18
được khai triển dạng:
P(x) = a
0
x
18
+ a
1
x
17
y + a
2
x

16
y
2
+ ……………… + a
17
xy
17
+ a
18
y
18
.
a) Tính tổng: S = a
0
+ a
1
+ a
2
+ …….+ a
17
+ a
18
.
b) Tìm hệ số a
15
.
Bài 5: Khai triển đa thức P(x) = (1 + 2x)
12
thành dạng: P(x) = a
0

+ a
1
x
1
+ a
2
x
2
+… + a
12
x
12
.
Tìm max(a
1
, a
2
,………, a
12
).
Bài 6: Khai triển các nhò thức :
Tài liệu lưu hành nội bộ
23
Tài liệu lưu hành nội bộ 23 Tài liệu lưu hành nội bộ 23 Tài liệu lưu hành nội bộ 23 Tài liệu lưu hành nội bộ 23
Bài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh
HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ
Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh Hùng
a)(1 - 2y)
6
. b)

7
3
3






−
x
x
. c)(x - y)
10
. d)
12
3
1






+ x
x

Bài 7: Trong khai triển tổng
( ) ( ) ( )
171312

1 11 ++++++= xxxS
. Hãy tìm hệ số chúa x
8
.
Tài liệu lưu hành nội bộ
24
Tài liệu lưu hành nội bộ 24 Tài liệu lưu hành nội bộ 24 Tài liệu lưu hành nội bộ 24 Tài liệu lưu hành nội bộ 24
Bài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh
HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ
Thanh HùngBài tập Giải Tích 12 - Giáo viên: Võ Thanh Hùng
BÀI TẬP TỔNG HP



Bài 1: a) Xác đònh a, b, c, d để đồ thò của các hàm số y = x
2
+ ax + b và y = cx + d cùng đi qua
hai điểm M(1; 1) và B(3; 3).
b) Vẽ đồ thò của các hàm số ứng với các giá trò a, b, c, d vừa tìm được trên cùng hệ trục
tọa độ. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong trên.
c) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng trên khi quay quanh trục hoành.
Bài 2: a) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số y =
2
2
2
+
−−
x
xx
.

b) Giả sử tiếp tuyến với (C) tại M (C) cắt hai tiệm cận tại các điểm P và Q. Chứng minh
rằng MP = MQ.
Bài 3: a) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số y =
1
44
2
−
−+−
x
xx
.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), tiệm cận xiên của (C) và hai đường thẳng x
= 0, x = a (a < 0). Tìm a để diện tích đó bằng 5.
Bài 4: Cho hàm số y =
3
1
x
3
- (m - 1)x
2
+ (m - 3)x +
2
9
(m là tham số) (1).
a) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m = 0.
b) Viết phương trình của tiếp tuyến với đồ thò (C) đi qua điểm O(0; 0).
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và các đường thẳng x = 0 và x = 2.
d) Xác đònh m để đồ thò của (1) cắt đường thẳng y = -3x +
2
9

tại ba điểm phân biệt.
Bài 5: a) Khảo sát hàm số y =
x
xx 13
2
++
.
b) Tìm k để phương trình x + 3 +
x
1
= log
2
k có đúng ba nghiệm phân biệt.
Bài 6: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y =
2
4 xx −
tại điểm x
0
=
∫
−
6
6
cos
π
π
dx
.
Bài 7: Tìm giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = x
2

+
x
16
trên đoạn [
∫
6
0
3sin
π
xdx
; 4]
Bài 8: Cho parabol y =
4
2
x
(P) và đường thẳng y = kx + 1 (d).
a) Chứng minh rằng (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm M và N. Tìm quỹ tích trung điểm của
đoạn MN.
Tài liệu lưu hành nội bộ
25
Tài liệu lưu hành nội bộ 25 Tài liệu lưu hành nội bộ 25 Tài liệu lưu hành nội bộ 25 Tài liệu lưu hành nội bộ 25