Tim chu so tan cung

A. LÝ DO VIẾT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Số học là khoa học về số. Trong số học người ta nghiêm cứu những tính
chất cơ bản của các số và những quy tắc tính toán trên các số. Số học là bộ
môn khó đối với học sinh nói chung và đối với học sinh lớp 6 nói riêng.
Việc giải bài tập số học cần phải nắm vững những quy tắc tính chất về số.
Người học cần phải biết vận dụng các tính chất, quy tắc đã học một cách
sáng tạo mới giải được bài tập với phương pháp hợp lý nhất.
Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 6
trong đó có phần số học tôi luôn tìm tòi phương pháp tối ưu để giúp học
sinh tiếp cận tri thức và giải các bài toấn một cách hợp lý nhất.
Các bài toán tìm chữ số tận cùng và tìm một số chữ số tận cùng trong
biểu diễn thập phân của một số tự nhiên đối với học sinh gặp không ít khó
khăn trong quá trình dạy. Các em chưa biết vận dụng lượng kiến thức nào
đã học để giải bài toán một cách hợp lý nhất.
II. THỰC TRẠNG
Học sinh lớp 6 nói chung và học sinh lớp 6 tôi phụ trách nói riêng các
em mới bước vào cấp II còn rất nhiều bỡ ngỡ đối với các môn học nói
chung trong đó có môn toán. khi giải các bài toán các em chưa biết vận
dụng kiến thức một cách linh hoạt và sáng tạo, tư duy chưa sâu. khi học về
cách ghi số tự nhiên, phép chia hết và phép chia có dư học sinh chưa biết
vận dụng mảng kiến thức nào để giải các bài toán tìm chữ số tận cùng hay
một số chữ số tận cùng.
Ví dụ: Đối với các bài tập tìm chữ số tận cùng hay hai chưc số tận cùng
của các số tự nhiên nhỏ như: 2
3
, 3
5
, 4
3
, thì các em có thể tính toán và tìm

được ngay. Nhưng đối với việc giải bài toán tìm chữ số tận cùng hay một
số chữ số tận cùng của các số lớn như: 9
9
, 2
1000
, 3
999
,
Cụ thể như trong lớp tôi phụ trách có 40 em học sinh khi giải bài toán
dạng này chỉ được một đến 2 em định hướng được phương án giải còn lại
các em chưa biết áp dụng những kiến thức nào để giải quyết bài toán.
Xuất phát từ thực tiễn và suy nghĩ của tôi, tôi viết bài này kính mong đồng
nghiệp đọc và góp ý kiến.
B. NỘI DUNG
I. NHẮC LẠI VỀ CÁCH GHI SỐ TỰ NHIÊN TRONG HỆ THẬP
PHÂN
1. Với số tự nhiên A ta viết được dưới dạng:
A= abc = 100a + 10b + c
A= abcd = 1000a + 100b + 10c + d
Với a,b,c,d € N; 1≤ a ≤ 9; 0 ≤ b,c,d ≤ 9
Dạng tông quát:
A= a
n
a
n-1
a
1
a
0
= 10

n
a
n
+10
n-1
a
n-1
+10a
1
+ a
0
với a
0,
a
n
€ N (1 ≤ a
n
≤ 9;
0 ≤ a
n-1
a
1,
a
0
≤ 9)
Các số như: c, d hay a
0
là các chữ số tận cùng của A
Các số bc; bcd; ; a
n-1

a
1
a
0
là các chữ số tận cùng của A.
2. Nhắc lại về phép chia hết và phép chia có dư
Cho a, b € với b ≠ 0 ta luôn tìm được q, r € N với 0 ≤ r < b
sao cho: a = b. q + r trong đó a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là
số dư.
+ Nếu r ≠ 0 gọi là phép chia có dư
+ nếu r = 0 gọi là phép chia hết
3. Một số kiến thức liên quan
a. lũy thừa với số mũ tự nhiên
a
n
= a.a a (n thừa số a, n ≠ 0)
(a
m
)
n
= a
mn
; (a.b)
m
= a
m
b
m
; a
m

a
n
=a
m + n
+ Các số tự nhiên tận cùng là 0, 1, 5, 6 dù nâng lên bất kỳ lũy thừa tự
nhiên nào khác 0 cũng vẩn có tận cùng bằng những chữ số đó.
+ Tích của một số tự nhiên tận cùng là 0 với bất kỳ số tự nhiên nào
cũng cho ta một số tận cùng bằng 0.
+ Tích của một số tự nhiên tận cùng là 5 với bất kỳ số tự nhiên lẻ nào
cũng cho ta một số có tận cùng là 5.
+ ở đây tôi đề cập đến dùng phép chia có dư để giải bài toán tìm chữ số
tận cùng hay một số chữc số tận cùng.
Về kiến thức tổng quát
Số tự nhiên A = (10. q + r)
k
= 10.t +r
k
(0 ≤ r ≤ 9)
Việc tìm chữ số tận cùng có nghĩa là tìm số dư của phép chia của một số
cho 10.
Chữ số cuối cùng của a cũng là chữ số cuối cùng của r
k

Ta đi xét một số bài toán sau:
Bài toán 1: tìm số tận cùng của số A = 9
k
( k € N)
Xét T/h1: k chẵn => k= 2m => A = 9
2m
= 81

m
= (80 + 1)
m
= (10.q + 1)
m
=
10.t +1 , với m,q,t € N
Vậy nếy k chẵn thì A có tận cùng là 1
T/h2: Nếu k lẻ => k= 2m +1 => A = 9
2m + 1
= 81
m
.9 = (80 + 1)
m
.9 =
(10.q + 1)
m
.9 = (10.t +1).9 = 10p +9 , với m,q,p,t € N
Vậy nếy k lẻ thì A có tận cùng là 9
Khi học sinh đã nắm được quy trình giải bài toán tổng quát này thì dễ dàng
giải được các bài toán như:
Tìm chữ số tận cùng như : 9
9
; 9
1000
; 3
2006
;
Ví dụ 1: tìm chữ số tận cùng của 3
2006

Ta có: 3
2006
= 3
2.1003
= 9
1003
, vì 1003 lẻ nên 9
1003
có tận cùng là 9
 3
2006
có tận cùng là 9
Ví dụ 2: tìm chữ số tận cùng của 3
2000
Ta có: 3
2000
= 3
2.1000
= 9
1000
, vì 1000 chẵn nên 9
1000
có tận cùng là 1
 3
2000
có tận cùng là 1
Tìm chữ số tận cùng của số có dạng 3
k
( k € N)
Ta đưa 3

k
về dạng 9
k’
Nếu k chẵn thì k = 2k’ => 3
k
= 3
2k’
= 9
k’
ta giải bài toán như ở trên
Nếu k lẻ thì k = 2k’+ 1=> 3
k
= 3
2k’ + 1
= (9
k’
).3 ta tìm được số tận cùng của 9
k’
sau đó ta tìm được chữ số tận cùng của 3
3
Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của 3
999

Ta có: 3
999
= 3
998 + 1
= 9
499
.3

Chữ số tận cùng của 9
499
là 9 => chữ số tận cùng của 3
999
là 7
Bài toán 3: Tìm chữ số tận cùng của 2
k
(k € N)
Ta thấy số có tận cùng là 6 thì lũy thừa bậc mấy (n ≠ 0) cũng sẽ có chữ số tận
cùng là 6
Ta viết k dưới dạng: k= 4m
k= 4m + 1
k= 4m +2
k= 4m (với m € N)
Nếu k = 4m => 2
k
= 2
4m
= (16
m
) sẽ có tận cùng là 6
Nếu k= 4m + 1 => 2
k
= 2
4m + 1
= 16
m
.2 sẽ có tận cùng là 2
Nếu k= 4m + 2 => 2
k

= 2
4m + 2
= 16
m
.4 sẽ có tận cùng là 4
Nếu k= 4m + 3 => 2
k
= 2
4m + 3
= 16
m
.8 sẽ có tận cùng là 8
Từ đó học sinh có thể giải được các bài toán dạng tìm chữ số tận cùng của
2
1000
, 2
1005
, 2
10001
,
Bài toán 4: Tìm số tận cùng của 4
k
ta có 4
K
= 2
2K
và giải như bài toán
trên
Bài toán 5: Tìm số tận cùng của 8
k

ta có 8
K
= 2
3K
và giải như bài toán
trên
Bài toán 6: Tìm số tận cùng của 7
k
với ( k € N)
Ta có : 7
4
= 2401
Số có tận cùng là 1 nâng lên lũy thừa bất kỳ ≠ 0 sẽ có chữ số tận cùng là 1
k= 4m
k= 4m + 1
k= 4m +2
Nếu k = 4m => 7
k
= 7
4m
= (2401)
m
= (2400 + 1)
m
= 10t +1 => có tận cung bằng
1
Nếu k= 4m + 1 => 7
k
=7
4m + 1

= (2401)
m
.7 = (2400 + 1)
m
.7= (10t +1).7 => có
tận cung bằng 7
Nếu k= 4m + 2 => 7
k
=7
4m + 2
= (2401)
m
.49 = (2400 + 1)
m
.49= (10t +1).49 =>
có tận cùng bằng 9
Nếu k= 4m + 3 => 7
k
=7
4m + 3
= (2401)
m
.343= (2400 + 1)
m
.343= (10t +1).343
=> có tận cung bằng 3
Từ đó học sinh có thể dễ dàng giải các bài toán có dạng như trên.
Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của số 7
1000
, 7

9999
,
2. Mở rộng bài toán tím số tận cùng thành bài toán tìm 2 chữ số tận cùng
Bài toán 1: Tìm 2 chữ số tận cùng của 9
k
( k € N)
Ta tìm số dư của phép chia (9
5
+ 1) cho 100
9
5
+ 1 = (9 + 1) (9
4
– 9
3
+ 9
2
- 9 +1)
Số (9
4
+ 9
2
+1) có tận cùng là 3
Số (9
3
+ 9) có tận cùng là 8
 (9
4
– 9
3

+ 9
2
- 9 +1) có tận cùng là 5
(9
4
– 9
3
+ 9
2
- 9 +1) = 10.q + 5 => 9
5
+ 1 = 10(10q + 5)
=> 9
5
+ 1 = 100q + 50 => 9
10
– 1 = (9
5
+ 1)(9
5
– 1) = 100t
Ta có: 9
m
– 1 = 3
2k
– 1 (với m = 2k) => 3
2k
– 1 chia hết cho 100
 3
2k

có chữ số tận cùng bằng 1
Mặt khác 3
2k
chia hết cho 3 => chữ số hàng trăm của 3
2k
là 2
 3
2k
có tận cùng là 201.
Từ đó ta có thể giải được các bài toán tìm 2 chữ số tận cùng của 3
999
; (9
9
)
9
;
Bài toán 2: Tìm 4 chữ số cuối cùng của 5
k
( với k € N)
Ta tìm quy luật như sau:
5
4
= 625
5
5
= 3125 tận cùng là 3125
5
6
= 15625 tận cùng là 5625
5

7
tận cùng là 8125
5
8
tận cùng là 0625
5
9
tận cùng là 3125
5
10
tận cùng là 5625
5
11
tận cùng là 8125
5
12
tận cùng là 0625
Qua đó ta thấy chu kỳ lặp lại là 4
Với k = 4m => 5
4m
tận cùng là 0625
Với k= 4m + 1 => 5
4m + 1
tận cùng là 3125
Với k= 4m +2 => 5
4m + 2
tận cùng là 5625
Với k= 4m +3 => 5
4m + 3
tận cùng là 8125

Từ bài toán tổng quát đó giúp học sinh có thể giải được các bài toán như tìm 4
chữ số tận cùng của: A= 5
2006

2006 có dạng 4m + 2 => A có tận cùng là 5625
Tương tự giải được các bài toán tìm chữ số tận cùng là 5
k
C. Kết luận
I. HIỆU QUẢ THỰC HIỆN
Sau khi sử dụng phương pháp trên đối với việc bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6
tôi thấy các em học sinh rất hứng thú với việc tìm tòi lời giải một số bài toán
nâng cao. Phần lớn các em nêu được định hướng giải các bài toán tìm chữ số
tận cùng hopặc một số chữ số tận cùng
II. Ý KIẾN ĐỀ XUẤT
Trong dạy học nói chung và đối với môn toán nói riêng phát huy được tính
tích cực và tư duy sáng tạo của học sinh là nhiệm vụ rất cần thiết đối với mỗi
người giáo viên. Muốn đạt được mục tiêu như vậy thì người thầy phải không
ngừng học hỏi tìm tòi phương án tối ưu nhất để trang bị cho học sinh phương
pháp giải toán.
Trên đây là một số ý kiến nhỏ của tôi trong việc sử dụngphép chia hết và
phép chia có dư để tìm số tận cùng hay tìm số chữ số tận cùng của một số tự
nhiên trong biểu diễn thập phân kính mong đồng nghiệp đóng góp ý kiến.
Hương Sơn, ngày 20 tháng 4 năm 2006